Γωμτρία Λυκίου Λξιλόγιο Γωμτρίας Φροντιςτιριο Μ.Ε. «ΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλθ 28 (μ Δθμθτριάδοσ) όλοσ τθλ. 2421302598 Επιμζλια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μακθματικόσ
Γωμτρία Λυκίου Λξιλόγιο Γωμτρίασ Λυκίου Ευκίσ Ευκφγραμμα Σμιματα 1. θμίο. Ζνα ςθμίο δν ζχι διαςτάςισ, παριςτάνται μ μία τλία και ςυμβολίηται μ ζνα κφαλαίο γράμμα του Ελλθνικοφ ι του Λατινικοφ αλφαβιτου. 2. Ευκία. Μία γραμμι που δν ζχι αρχι και τζλοσ. υμβολίηται μ δφο κφαλαία γράμματα (π.χ. ) ι μ ζνα «μικρό» γράμμα (π.χ. ) ίτ ωσ xx x' x 3. Ευκίσ Παράλλθλσ. Δφο υκίσ που δν ζχουν κανζνα κοινό ςθμίο.ν, θ οι δφο υκίσ τότ παράλλθλθ ςτθν θ ςυμβολίηται ωσ θ 4. Σμνόμνσ υκίσ. Δφο υκίσ που ζχουν ζνα κοινό ςθμίο. θ 5. Σομι. Σο κοινό ςθμίο δφο τμνόμνων υκιϊν. το διπλανό παράδιγμα θ τομι των υκιϊν και θ ίναι το ςθμίο θ 6. Ημιυκία. Μία υκία που ζχι αρχι και δν ζχι τζλοσ, ι ζχι τζλοσ και δν ζχι αρχι. υμβολίηται μ ζνα κφαλαίο γράμμα που ςυμβολίηι τθν αρχι και ζνα μικρό για το τζλοσ. Π.χ. Ax ι Ax xϋ 7. Φορζασ Ημιυκίασ. Θ υκία πάνω ςτθ οποία βρίςκται μία θμιυκία, κα καλίται φορζασ τθσ θμιυκίασ 8. ντικίμνσ θμιυκίσ. Δφο θμιυκίσ Ax, Ay μ μόνο κοινό ςθμίο τθν αρχι τουσ, όταν ζχουν τον ίδιο φορζα κα λζγονται αντικίμνσ y x 9. Ευκφγραμμο Σμιμα. Λζγται το ςχιμα που αποτλίται από δφο ςθμία, και όλα τα ςωτρικά ςθμία τθσ υκίασ που βρίςκονται μταξφ τουσ. Ευκφγραμμο τμιμα Επιμέλια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μαθηματικόσ Σλίδα 1
Γωμτρία Λυκίου 10. Άκρα υκφγραμμου τμιματοσ λζγονται τα ςθμία που ςυμβολίηουν τθν αρχι και το τζλοσ του υκφγραμμου τμιματοσ. Π.χ. ςτο διπλανό ςχιματα τα και 11. Εςωτρικά, ςθμία νόσ υκφγραμμου τμιματοσ λζγονται τα ςθμία που βρίςκονται «μζςα» ςτο υκφγραμμο τμιμα Εςωτρικά ςθμία 12. Εξωτρικά, ςθμία νόσ υκφγραμμου τμιματοσ λζγονται όλα τα ςθμία που βρίςκονται κτόσ του υκφγραμμου τμιματοσ Εξωτρικά ςθμία Εξωτρικά ςθμία 13. Εκατζρωκν. Δφο ςθμία π.χ., κα λζμ ότι βρίςκονται κατζρωκν νόσ άλλου ςθμίου π.χ. Γ αν και μόνο αν το Γ ίναι ςωτρικό του Γ 14. Δφο ςθμία, π.χ., Γ, κα λζγονται ςθμία Προσ το ίδιο μζροσ νόσ ςθμίου, π.χ. του αν και μόνο αν το ίναι ξωτρικό του Γ Γ 15. Διαδοχικά κα καλοφνται δφο υκφγραμμα τμιματα που ζχουν ζνα κοινό άκρο και δν ζχουν κοινά ςωτρικά ςθμία Γ Σα Γ και Γ ίναι διαδοχικά 16. Μζςο νόσ υκφγραμμου τμιματοσ καλίται ζνα ςωτρικό ςθμίο του υκφγραμμου τμιματοσ που το χωρίηι ς δφο ίςα μζρθ. ν Μ μζςο τότ AM MB AB 2 Μ Μ μζςο αν-ν Μ=Μ 17. πόςταςθ δφο ςθμίων π.χ., καλίται το μικοσ του υκφγραμμου τμιματοσ () πόςταςθ Επιμέλια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μαθηματικόσ Σλίδα 2
Γωμτρία Λυκίου 18. υμμτρικό. Ζνα ςθμίο π.χ. κα λζγται ςυμμτρικό του π.χ. ωσ προσ ζνα ςθμίο π.χ. αν και μόνο αν το ίναι μζςο του, δθλ. = Σότ τα ςθμία, κα καλοφνται ςυμμτρικά ςυμμτρικό του ωσ προσ 19. Κζντρο υμμτρίασ καλίται το ςθμίο ωσ προσ το οποίο τα υπόλοιπά ςθμία ίναι ςυμμτρικά κζντρο ςυμμτρίασ των, 20. Ημιπίπδο. Κάκ υκία νόσ πιπζδου Π χωρίηι το πίπδο ς δφο μζρθ 1, 2, τα οποία βρίςκονται κατζρωκν. Σα ςθμία του 1 μαηί μ τα ςθμία τθσ αποτλοφν ζνα ςχιμα που λζγται θμιπίπδο. Γωνίσ 21. Ζςτω ςθμία, των θμιυκιϊν x, y αντίςτοιχα. Σο ςχιμα που αποτλίται από τα κοινά ςθμία των θμιπιπζδων Ox, B και Oy, A λζγται κυρτι γωνία μ κορυφι και πλυρζσ x,y. θμίωςθ. Μία κυρτι γωνία ίναι μία γωνία που ίναι μικρότρθ από 180 ο Μία μθ κυρτι γωνία ίναι μία γωνία που ίναι μγαλφτρθ από 180 ο 1 Κορυφι Κυρτι γωνία Μθ Κυρτι γωνία 2 Πλυρζσ 22. Εςωτρικά ςθμία μιασ γωνίασ καλοφνται τα ςθμία τθσ γωνίασ που δν ανικουν ςτισ πλυρζσ και αποτλοφν το ςωτρικό μίασ γωνίασ Εςωτρικά θμία τθσ γωνίασ ˆ Επιμέλια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μαθηματικόσ Σλίδα 3
Γωμτρία Λυκίου 23. Εξωτρικά ςθμία μιασ γωνίασ καλοφνται τα ςθμία τθσ γωνίασ που δν ανικουν ςτο ςωτρικό τθσ γωνίασ. Εξωτρικά θμία τθσ γωνίασ ˆ 24. Μθδνικι Γωνία λζγται μία γωνία τθσ οποίασ οι πλυρζσ ταυτίηονται Θ Μθδνικι γωνία ίναι 0 ο Μθδνικι γωνία y x 25. Πλιρθσ Γωνία λζγται θ μθ κυρτι γωνία τθσ μθδνικισ γωνίασ. Θ πλιρθσ γωνία ίναι 360 ο Πλιρθσ γωνία y x 26. Ευκία Γωνία λζγται μία γωνία τισ οποίασ οι πλυρζσ ίναι αντικίμνσ θμιυκίσ. Θ υκία γωνία ίναι 180 ο y x Ευκία Γωνία 27. Διχοτόμοσ μίασ γωνίασ καλίται θ θμιυκία που βρίςκται ςτο ςωτρικό μίασ γωνίασ και τθν χωρίηι ς δφο ίςσ γωνίσ. xoy xo Oy 2 Ιδιότθτα. Κάκ ςθμίο τθσ διχοτόμου ιςαπζχι από τισ πλυρζσ τθσ γωνίασ Μ=Μ x y δ Διχοτόμοσ Μ δ 28. ρκι λζγται μία γωνία που ςχθματίητ από τθν διχοτόμο μίασ υκία γωνίασ Θ ορκι γωνία ίναι 90 ο Θ ορκι γωνία ςυμβολίηται ωσ y x Επιμέλια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μαθηματικόσ Σλίδα 4
Γωμτρία Λυκίου y 29. Κάκτσ κα καλοφνται δφο θμιυκίσ που ςχθματίηουν μία ορκι γωνία ι θμιυκίσ x και y ίναι κάκτσ x y 30. ξία καλίται θ κυρτι γωνία που ίναι μικρότρθ από τθν ορκι. Μία οξία γωνία ίναι μικρότρθ από 90 ο ξία Γωνία x 31. μβλία καλίται θ κυρτι γωνία που ίναι μικρότρθ από τθν ορκι. Μία αμβλία γωνία ίναι μγαλφτρθ από 90 ο y μβλία Γωνία x 32. πόςταςθ ςθμίου από υκία καλίται το μικοσ του κάκτου υκφγραμμου τμιματοσ που ςυνδζι το ςθμίο μ τθν υκία =πόςταςθ του από τθν () 33. Μςοκάκτοσ νόσ υκφγραμμου τμιματοσ καλίται θ υκία που διζρχται από το μζςο νόσ υκφγραμμου τμιματοσ και ίναι κάκτθ ς αυτό. Ιδιότθτα: Κάκ ςθμίο τθσ μςοκακζτου ιςαπζχι από τα άκρα του υκφγραμμου τμιματοσ μςοκάκτοσ Μ, Μ αποςτάςισ του Μ από τα άκρα του Μ Κ 34. υμμτρικά ωσ προσ μία υκία κα καλοφνται δφο ςθμία, αν θ υκία ίναι μςοκάκτοσ του υκφγραμμου τμιματοσ που ςχθματίηουν τα δφο ςθμία, ςυμμτρικά ωσ προσ ( μςοκάκτοσ ) Κ Επιμέλια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μαθηματικόσ Σλίδα 5
Γωμτρία Λυκίου 35. Άξονασ ςυμμτρίασ κα λζγται θ υκία ωσ προσ τθν οποία φζρνουμ τα ςυμμτρικά ςθμία, ςυμμτρικά ωσ προσ ( μςοκάκτοσ ) Κ Άξονασ ςυμμτρίασ 36. Εφξισ καλοφνται δφο γωνίσ που ζχουν κοινι κορυφι μία πλυρά κοινι και οι μθ κοινζσ πλυρζσ βρίςκονται κατζρωκν τθσ κοινισ Εφξισ γωνίσ Διαδοχικζσ γωνίσ 37. Διαδοχικζσ καλοφνται οι γωνίσ που ίναι ανά δφο ίναι φξισ. υμπλθρωματικζσ Γωνίσ 38. υμπλθρωματικζσ καλοφνται δφο γωνίσ που ζχουν άκροιςμα μία ορκι γωνία, δθλ. ζχουν άκροιςμα 90 ο 39. Παραπλθρωματικζσ κα καλοφνται οι γωνίσ που ζχουν άκροιςμα μία υκία γωνία, δθλ. 180 ο Θϊρθμα: ι διχοτόμοι δφο φξισ και παραπλθρωματικϊν γωνιϊν ίναι κάκτσ, δθλ. ςχθματίηουν μία ορκι γωνία Παραπλθρωματικζσ γωνίσ 40. Κατακορυφιν λζγονται δφο γωνίσ, αν ζχουν κοινι κορυφι και οι πλυρζσ τθσ μίασ ίναι προκτάςισ των πλυρϊν τθσ άλλθσ, δθλ. οι πλυρζσ τουσ ίναι αντικίμνσ θμιυκίσ. Ιδιότθτα ι κατακορυφιν γωνίσ ίναι ίςσ Κατακορυφιν Γωνίσ Επιμέλια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μαθηματικόσ Σλίδα 6
Γωμτρία Λυκίου 41. Δφο γωνίσ που ζχουν τισ πλυρζσ τουσ παράλλθλσ μία προσ μία ίναι: Ίςσ αν ίναι και οι δφο οξίσ ι και οι δφο αμβλίσ Παραπλθρωματικζσ αν θ μία ίναι οξία και θ άλλθ αμβλία 42. Δφο γωνίσ που ζχουν τισ πλυρζσ τουσ κάκτσ μία προσ μία, ίναι: Ίςσ αν ίναι και οι δφο οξίσ ι και οι δφο αμβλίσ Παραπλθρωματικζσ αν θ μία ίναι οξία και θ άλλθ αμβλία 43. Γωμτρικόσ Σόποσ καλίται το ςφνολο των ςθμίων που ζχουν μία κοινι χαρακτθριςτικι ιδιότθτα Γνωςτοί Γωμτρικοί Σόποι: Μςοκάκτοσ Διχοτόμοσ Κφκλοσ Κφκλοσ 44. Κφκλοσ καλίται ο γωμτρικόσ τόποσ των ςθμίων που απζχουν ςτακρι απόςταςθ απόςταςθ (ακτίνα )από ςτακρό ςθμίο (κζντρο) Κζντρο Κφκλοσ 45. κτίνα καλίται το υκφγραμμο τμιμα που νϊνι το κζντρο του κφκλου μ τθν πριφζριά του. κτίνα ρ 46. Σόξο καλίται ζνα τμιμα μταξφ δφο ςθμίων του κφκλου Σόξο AB Επιμέλια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μαθηματικόσ Σλίδα 7
Γωμτρία Λυκίου 47. Χορδι καλίται το υκφγραμμο τμιμα που νϊνι δφο ςθμία του κφκλου. Χορδι Σόξο AB 48. Διάμτροσ καλίται θ χορδι που διζρχται από το κζντρο του κφκλου Θ διάμτροσ χωρίηι τον κφκλο ς δφο ίςα μζρθ (τόξα) που ονομάηονται θμικφκλια. Σο μικοσ τθσ διαμζτρου ίναι διπλάςιο τθσ ακτίνασ. δ=2ρ (δ:= διάμτροσ, ρ:= ακτίνα ) Διάμτροσ 49. ντιδιαμτρικά ςθμία καλοφνται δφο ςθμία που βρίςκονται ςτα άκρα μίασ διαμζτρου Δφο αντιδιαμτρικά ςθμία ζχουν μζςο το κζντρο του κφκλου. Σα, ίναι ντιδιαμτρικά Διάμτροσ 50. πόςτθμα καλίται το κάκτο υκφγραμμο τμιμα που νϊνι το κζντρο του κφκλου μ μία χορδι. Ιδιότθτσ : Σο απόςτθμα χωρίηι τθν αντίςτοιχθ χορδι και το αντίςτοιχο τόξο ς δφο ίςα μζρθ. Δφο χορδζσ ίναι ίςσ αν και μόνο αν τα αποςτιματά τουσ ίναι ίςα Χορδι Κ πόςτθμα OK AB Κ μέσο 51. Κςοι Κφκλοι καλοφνται δφο κφκλοι που ζχουν τθν ίδια ακτίνα 52. Επίκντρθ καλίται μία γωνία που ζχι τθν κορυφι τθσ ςτο κζντρο του κφκλου. Θ πίκντρθ γωνία ίναι ίςθ μ το τόξο ςτο οποίο βαίνι. Δφο πίκντρσ γωνίσ ίναι ίςσ αν και μόνο αν βαίνουν ςτο ίδιο ι ς ίςα τόξα Επίκντρθ γωνία Σόξο AB Επιμέλια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μαθηματικόσ Σλίδα 8
Γωμτρία Λυκίου 53. Εγγγραμμζνθ καλίται μία γωνία που ζχι τθν κορυφι τθσ ςτθν πριφζρια του κφκλου Ιδιότθτσ Θ γγγραμμζνθ γωνία ίναι το ίςθ μ το μιςό του τόξου ςτο οποίο βαίνι, και ίςθ μ το μιςό τθσ αντίςτοιχθσ πίκντρθσ. Εγγγραμμζνθ γωνία Σόξο AB 2 2 χτικζσ κζςισ Ευκίασ και Κφκλου 54. Θωροφμ μία υκία και ζνα κφκλο (,R). ρίηουμ ακόμθ ωσ δ τθν απόςταςθ του κζντρου από τθν υκία ν R τότ θ υκία κα λζγται ξωτρικι του κφκλου (,R) ) (ςχ. α) ν R τότ θ υκία κα καλίται φαπτόμνθ του κφκλου (,R) (ςχ. ) ν τότ θ υκία κα λζγται τζμνουςα του κφκλου (,R) (ςχ. γ) Επιμέλια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μαθηματικόσ Σλίδα 9
Γωμτρία Λυκίου 55. Σα φαπτόμνα τμιματα που άγονται από ςθμίο κτόσ κφκλου ίναι μταξφ τουσ ίςα. ν Ρ ζνα ςθμίο κτόσ κφκλου τότ θ διακντρικι υκία του ίναι μςοκάκτοσ τθσ χορδισ του κφκλου μ άκρα τα ςθμία παφισ διχοτομί τθν γωνία των φαπτομζνων τμθμάτων και τθ γωνία των ακτινϊν που καταλιγουν ςτα ςθμία παφισ χτικζσ κζςισ δφο Κφκλων 56. Διάκντροσ καλίται μία υκία που νϊνι τα κζντρα δφο κφκλων, δθλ. 57. σ κωριςουμ δφο κφκλουσ (Κ, R) και (Λ, ρ) μ R και δ θ διάκντροσ αυτϊν. ν R τότ οι δφο κφκλοι ίναι ςωτρικοί και δν ζχουν κανζνα κοινό ςθμίο (ςχ. α) ν R τότ οι δφο κφκλοι φάπτονται ςωτρικά και ζχουν ζνα κοινό ςθμίο (ςχ. β) ν R R τότ οι δφο κφκλοι κα λζγονται τμνόμνοι και κα ζχουν δφο κοινά ςθμία (ςχ. γ) ν R τότ οι δφο κφκλοι φάπτονται ξωτρικά και ζχουν ζνα κοινό ςθμίο (ςχ. δ) ν R τότ οι δφο κφκλοι ίναι ξωτρικοί και δν ζχουν κανζνα κοινό ςθμίο (ςχ. ) Επιμέλια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μαθηματικόσ Σλίδα 10
Γωμτρία Λυκίου 58. Θ διάκντροσ δφο τμνόμνων κφκλων ίναι θ μςοκάκτοσ τθσ κοινισ τουσ χορδισ. ν οι δφο κφκλοι ίναι ίςοι τότ θ κοινι χορδι ίναι μςοκάκτοσ τθσ διακζντρου Σρίγωνα αςικά τοιχία 59. Πρίμτροσ νόσ τριγϊνου καλίται το άκροιςμα που μικουσ των πλυρϊν του. γ α β Π= α+ β +γ Γ 60. καλθνό ονομάηται ζνα τρίγωνο που ζχι όλσ τισ πλυρζσ του άνιςσ 61. Ιςοςκλζσ καλίται το τρίγωνο που ζχι δφο πλυρζσ ίςσ. Θ πλυρά που δν ίναι ίςθ μ τισ άλλσ δφο καλίται βάςθ του ιςοςκλοφσ τριγϊνου Ιδιότθτσ ι προςκίμνσ ςτθν βάςθ γωνίσ νόσ ιςοςκλοφσ τριγϊνου ίναι ίςσ Σο φψοσ που αντιςτοιχί ςτθν βάςθ ίναι διάμςοσ και διχοτόμοσ Θ διάμςοσ που αντιςτοιχί ςτθν βάςθ ίναι διχοτόμοσ και φψοσ. Θ διχοτόμοσ τθσ γωνίασ που βρίςκται απζναντι από τθν βάςθ ίναι φψοσ και διάμςοσ Γ Δ =Γ ˆ ˆ Δ= διάμςοσ, φψοσ και διχοτόμοσ Επιμέλια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μαθηματικόσ Σλίδα 11
Γωμτρία Λυκίου 62. Ιςόπλυρο καλίται ζνα τρίγωνο που ζχι όλσ του τισ πλυρζσ ίςσ. Ιδιότθτσ: ι γωνίσ του ιςόπλυρου τρίγωνου ίναι μταξφ τουσ ίςσ και μάλιςτα ίςσ μ 60 ο Όλα τα φψθ του ιςόπλυρου τριγϊνου ίναι διχοτόμοι και διάμςοι = Γ= Γ ˆ ˆ ˆ Γ 63. ξυγϊνιο καλίται ζνα τρίγωνο που ζχι όλσ του τισ γωνίσ οξίσ 64. ρκογϊνιο καλίται ζνα τρίγωνο που ζχι μία ορκι γωνία 65. μβλυγϊνιο καλίται ζνα τρίγωνο που ζχι μία αμβλία γωνία Δυτρφοντα τοιχία Σριγϊνου 66. Διάμςοσ λζγται το υκφγραμμο τμιμα που νϊνι μία κορυφι νόσ τριγϊνου μ το μζςο τθσ απζναντι πλυράσ. Θ διάμςοσ Μ του τριγϊνου Γ, που αντιςτοιχί ςτθν πλυρά α (Γ), ςυμβολίηται μ μ α μ α Μ διάμςοσ Μ μζςο Γ Μ Γ Επιμέλια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μαθηματικόσ Σλίδα 12
Γωμτρία Λυκίου 67. Διχοτόμοσ καλίται το υκφγραμμο τμιμα τθσ διχοτόμου τθσ γωνίασ, από τθν κορυφι μζχρι τθν απζναντι πλυρά Δ διχοτόμοσ ˆ ˆ Δ Γ 68. Ύψοσ καλίται το κάκτο υκφγραμμο τμιμα του τριγϊνου που νϊνι μία κορυφι μ τθν απζναντι πλυρά. Σο ςθμίο Δ λζγται προβολι του πάνω ςτθν Γ ι ίχνοσ τθσ κακζτου που φζρται από το ςτθν υκία Γ Δ διχοτόμοσ ˆ ˆ υ α Δ Γ Κριτιρια Ιςότθτασ Σριγϊνων 69. 1 ο Κριτιριο Ιςότθτασ (Π-Γ-Π) αν δφο τρίγωνα ζχουν δφο πλυρζσ ίςσ μία προσ μία και τισ πριχόμνσ ς αυτζσ γωνίσ ίςσ, τότ ίναι ίςα. Επιμέλια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μαθηματικόσ Σλίδα 13
Γωμτρία Λυκίου 70. 2 ο Κριτιριο Ιςότθτασ (Γ-Π-Γ) ν δφο τρίγωνα ζχουν μία πλυρά και τισ προςκίμνσ ς αυτι γωνίσ ίςσ μία προσ μία, τότ τα τρίγωνα ίναι ίςα. 71. 3 ο Κριτιριο Ιςότθτασ (Π-Π-Π) ν δφο τρίγωνα ζχουν τισ πλυρζσ τουσ ίςσ μία προσ μία, τότ ίναι ίςα Κριτιρια Ιςότθτασ ρκογωνίων Σριγϊνων 72. Δφο ορκογϊνια τρίγωνα ίναι ίςα αν και μόνο αν ζχουν δφο πλυρζσ τουσ ίςσ μία προσ μία Επιμέλια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μαθηματικόσ Σλίδα 14
Γωμτρία Λυκίου 73. Δφο ορκογϊνια τρίγωνα ίναι ίςα αν και μόνο αν ζχουν μία οξία γωνία και μία πλυρά ίςσ μία προσ μία νιςωτικζσ χζςισ ςτα Σρίγωνα 74. Σριγωνικι νιςότθτα: Κάκ πλυρά νόσ τριγϊνου ίναι μγαλφτρθ από τθν διαφορά των άλλων δφο και μικρότρθ από το άκροιςμά τουσ 75. πζναντι από όμοια άνιςσ πλυρζσ νόσ τριγϊνου βρίςκονται όμοια άνιςσ γωνίσ και αντίςτροφα. Παρατθριςισ: Θ υποτίνουςα νόσ ορκογωνίου τριγϊνου ίναι θ μγαλφτρθ πλυρά του πζναντι από τθν αμβλία γωνία νόσ αμβλυγϊνιου τριγϊνου βρίςκται θ μγαλφτρθ πλυρά χζςισ ςτα Σρίγωνα 76. Σο άκροιςμα των γωνιϊν νόσ τριγϊνου ίναι ίςο μ δφο ορκζσ, δθλ. 180 ο ˆ ˆ ˆ 180 υμπράςματα: ν γνωρίηουμ τισ δφο γωνίσ νόσ τριγϊνου μποροφμ να υπολογίςουμ τθν τρίτθ Σο άκροιςμα των οξιϊν γωνιϊν νόσ ορκογωνίου τριγϊνου ίναι ίςο μ 90 ο Επιμέλια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μαθηματικόσ Σλίδα 15
Γωμτρία Λυκίου 77. Κάκ ξωτρικι γωνία νόσ τριγϊνου ίναι ίςθ μ το άκροιςμα των δφο απζναντι ςωτρικϊν ˆ ˆ ˆ 78. Σο υκφγραμμο τμιμα που νϊνι τα μζςα δφο πλυρϊν νόσ τριγϊνου ίναι παράλλθλο προσ τθν τρίτθ πλυρά και ίςο μ το μιςό τθσ. και 2 79. ν από το μζςο μίασ πλυρά νόσ τριγϊνου φζρουμ μία υκία παράλλθλθ προσ μία άλλθ πλυρά τότ αυτι κα διζρχται και από το μζςο τθσ τρίτθσ. χζςισ ςτα ρκογϊνια Σρίγωνα 80. Θ διάμςοσ που αντιςτοιχί ςτθν υποτίνουςα νόσ ορκογωνίου τριγϊνου ίναι ίςθ μ το μιςό τθσ. 2 Παρατιρθςθ: Θ διάμςοσ χωρίηι το τρίγωνο ς δφο ιςοςκλι τρίγωνα. 81. ν θ διάμςοσ νόσ τριγϊνου που αντιςτοιχί ς μία πλυρά ίναι ίςθ μ το μιςό τθσ, τότ το τρίγωνο ίναι ορκογϊνιο μ υποτίνουςα τθν πλυρά αυτι. Επιμέλια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μαθηματικόσ Σλίδα 16
Γωμτρία Λυκίου 82. ν ς ορκογϊνιο τρίγωνο θ μία του γωνία ίναι ίςθ μ 30 ο τότ θ απζναντι πλυρά ίναι ίςθ μ το μιςό τθσ υποτίνουςασ 2 θμαντικά ςθμία ςτα Σρίγωνα 83. ρκόκντρο καλίται το ςθμίο τομισ των υψϊν νόσ τριγϊνου 84. αρφκντρο καλίται το ςθμίο τομισ των διαμζςων νόσ τριγϊνου. Χαρακτθριςτικι Ιδιότθτα: Θ απόςταςθ μίασ κορυφισ από το βαρφκντρο βρίςκται ςτα 2 3 του μικουσ τθσ αντίςτοιχθσ διαμζςου Δθλ. ν Δ, Ε, ΓΗ οι διάμςοι του τριγϊνου Γ και Θ το βαρφκντρο του τριγϊνου τότ ιςχφουν οι παρακάτω ςχζςισ 2 1 2 3 3 2 1 2 3 3 2 1 2 3 3 Επιμέλια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μαθηματικόσ Σλίδα 17
Γωμτρία Λυκίου 85. Πρίκντρο καλίται το ςθμίο τομισ των μςοκακζτων νόσ τριγϊνου. Σο πρίκντρο ίναι το κζντρο του γγγραμμζνου κφκλου 86. Ζγκντρο καλίται το ςθμίο τομισ των διχοτόμων των γωνιϊν νόσ τριγϊνου. Σο ζγκντρο ίναι το κζντρο το γγγραμμζνου κφκλου 87. Δφο ςθμία και ίναι ςυμμτρικά ωσ προ ζνα ςθμίο αν και μόνο αν τα και ιςαπζχουν από το, δθλ. το ίναι το μζςο του AA υμμτρίσ 88. Δφο ςχιματα και ϋ κα λζγονται ςυμμτρικά ωσ προσ ζνα ςθμίο αν και μόνο αν κάκ ςθμίο του ϋ ίναι ςυμμτρικό νόσ ςθμίου του ωσ προσ το. Σο κα καλίται κζντρο ςυμμτρίασ και θ ςυμμτρία κντρικι ςυμμτρία. 89. Ζςτω δφο ςθμία και ϋ και μία υκία. Θ υκία κα καλίται άξονασ ςυμμτρίασ των και ϋ αν και μόνο αν θ απόςταςθ το από τθν ίναι ίςθ μ τθν απόςταςθ του ϋ από τθν. Επιμέλια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μαθηματικόσ Σλίδα 18
Γωμτρία Λυκίου 90. Δφο ςχιματα και ϋ κα λζγονται ςυμμτρικά ωσ προσ μία υκία αν και μόνο αν κάκ ςθμίο του ϋ ίναι ςυμμτρικό νόσ ςθμίου του ωσ προσ το τθν υκία. Θ ςυμμτρία αυτι κα καλίται αξονικι ςυμμτρία Ευκίσ Παράλλθλσ χζςισ Παραλλιλων Ευκιϊν 91. Εντόσ χαρακτθρίηονται οι γωνίσ που βρίςκονται ντόσ των παραλλιλων υκιϊν Εντόσ 92. Εκτόσ καλοφνται οι γωνίσ που βρίςκονται κτόσ των παράλλθλων υκιϊν Εκτόσ 93. Εναλλάξ καλοφνται οι γωνίσ που βρίςκονται κατζρωκν τθσ υκίασ που τζμνι τισ παράλλθλσ υκίσ Εναλλάξ Εναλλάξ 94. Επί τα αυτά λζγονται οι γωνίσ που βρίςκονται ςτθν ίδια πλυρά από τθν υκία που τζμνι τισ παράλλθλσ Επί τα αυτά Επιμέλια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μαθηματικόσ Σλίδα 19
Γωμτρία Λυκίου Επί τα αυτά 95. Δφο υκίσ παράλλθλσ που τζμνονται από μία τρίτθ ςχθματίηουν τισ ντόσ ναλλάξ γωνίσ ίςσ και αντίςτροφα ˆ ˆ και ˆ ˆ θ η κ γ β δ α Εντόσ Εναλλάξ ˆ ˆ και ˆ ˆ 96. Δφο υκίσ παράλλθλσ που τζμνονται από μία τρίτθ ςχθματίηουν τισ ντόσ κτόσ και πί τα αυτά μζρθ γωνίσ ίςσ και αντίςτροφα θ η κ ˆ ˆ, ˆ ˆ, ˆ ˆ, ˆ ˆ γ β δ α Εντόσ Εκτόσ και πί τα αυτά 97. Δφο υκίσ παράλλθλσ που τζμνονται από μία τρίτθ ςχθματίηουν τισ ντόσ και πί τα αυτά μζρθ γωνίσ παραπλθρωματικζσ και αντίςτροφα θ η κ ˆ ˆ 180 και ˆ ˆ 180 γ β δ α ντόσ και πί τα αυτά 98. Δφο υκίσ που ίναι κάκτσ ςτθν ίδια υκία ίναι μταξφ τουσ παράλλθλσ Επιμέλια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μαθηματικόσ Σλίδα 20
Γωμτρία Λυκίου 99. Δφο υκίσ που ίναι παράλλθλσ ςτθν ίδια υκία ίναι μταξφ τουσ παράλλθλσ Πολφγωνα 100. Σο άκροιςμα των ςωτρικϊν γωνιϊν νόσ κυρτοφ ν- γϊνου ιςοφται μ 2ν-4 ορκζσ. Δθλ. 2 4 90 180 360 όπου ν το πλικοσ των γωνιϊν 101. Σο άκροιςμα των ξωτρικϊν γωνιϊν νόσ κυρτοφ ν- γϊνου ίναι ίςο μ τζςςρισ ορκζσ. Δθλ. 360 ο 102. Παραλλθλόγραμμο καλίται το ττράπλυρο που ζχι τισ απζναντι πλυρζσ του παράλλθλσ. Ιδιότθτσ ι απζναντι πλυρζσ του ίναι ίςσ ι απζναντι γωνίσ ίναι ίςσ ι διαγϊνιοί του διχοτομοφνται Παραλλθλόγραμμα 103. Κριτιρια για να ίναι ζνα ττράπλυρο παραλλθλόγραμμο: Δφο απζναντι πλυρζσ ίναι ίςσ και παράλλθλσ ι απζναντι πλυρζσ του ίναι ίςσ ι απζναντι γωνίσ του ίναι ίςσ ι διαγϊνιοί του διχοτομοφνται Επιμέλια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μαθηματικόσ Σλίδα 21
Γωμτρία Λυκίου 104. ρκογϊνιο λζγται το παραλλθλόγραμμό που ζχι μία ορκι γωνία: Ιδιότθτσ ι διαγϊνιοι του ίναι ίςσ 105. Κριτιρια για να ίναι ζνα ττράπλυρο ορκογϊνιο: Είναι παραλλθλόγραμμο και ζχι μία ορκι γωνία. Είναι παραλλθλόγραμμο και οι διαγϊνιοί του ίναι ίςσ Ζχι τρίσ ορκζσ γωνίσ Ζχι όλσ του τισ γωνίσ ίςσ 106. Ρόμβοσ λζγται το παραλλθλόγραμμο που ζχι δφο διαδοχικζσ πλυρζσ του ίςσ. Ιδιότθτσ: ι διαγϊνιοι του ρόμβου τζμνονται κάκτα ι διαγϊνιοι του ρόμβου διχοτομοφν τισ γωνίσ του 107. Κριτιρια για να ίναι ζνα ττράπλυρο ρόμβοσ: Ζχι όλσ του τισ πλυρζσ ίςσ Είναι παραλλθλόγραμμο και δφο διαδοχικζσ πλυρζσ του ίναι ίςσ Είναι παραλλθλόγραμμο και οι διαγϊνιοί του τζμνονται κάκτα Είναι παραλλθλόγραμμο και μία διαγϊνιόσ του διχοτομί μία γωνία του Επιμέλια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μαθηματικόσ Σλίδα 22
Γωμτρία Λυκίου 108. Στράγωνο λζγται το παραλλθλόγραμμο που ίναι ορκογϊνιο και ρόμβοσ. Ιδιότθτσ: ι ιδιότθτσ του ττραγϊνου ίναι όλσ οι ιδιότθτσ του ορκογωνίου και του ρόμβου 109. Κριτιρια για να ίναι ζνα ττράπλυρο ττράγωνο: Για να χαρακτθριςτί ζνα ττράπλυρο ττράγωνο αρκί να δίξουμ μία από τισ ιδιότθτσ του ορκογωνίου και μία από τισ ιδιότθτσ του ρόμβου Σραπζηια 110. Σραπζηιο λζγται το ττράπλυρο που ζχι δφο πλυρζσ του παράλλθλσ Ιδιότθτσ ι διαδοχικζσ γωνίσ του τραπηίου ίναι παραπλθρωματικζσ 111. άςισ νόσ τραπηίου καλοφνται οι παράλλθλσ πλυρζσ του άςισ 112. Ύψοσ νόσ τραπηίου καλίται θ απόςταςθ των παράλλθλων πλυρϊν του. Ύψοσ Επιμέλια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μαθηματικόσ Σλίδα 23
Γωμτρία Λυκίου 113. Διάμςοσ νόσ τραπηίου καλίται το υκφγραμμο τμιμα που νϊνι τα μζςα των μθ παράλλθλων πλυρϊν Ιδιότθτσ Θ διάμςοσ ίναι παράλλθλθ προσ τισ βάςισ και Θ διάμςοσ ιςοφται μ το θμιάκροιςμα των βάςων 2 Διάμςοσ 114. Θ διάμςοσ ΕΗ του τραπηίου ΓΔ διχοτομί τισ διαγωνίου Γ και Δ ςτα ςθμία Κ και Λ αντίςτοιχα. Σο μικοσ του υκφγραμμου τμιματοσ ΚΛ ίναι ίςο μ τθν θμιδιαφορά των βάςων και ΓΔ 2 115. Ιςοςκλζσ τραπζηιο λζγται το τραπζηιο που ζχι τισ μθ παράλλθλσ πλυρζσ του ίςσ. Ιδιότθτσ ι διαγϊνιοι του ιςοςκλοφσ τραπηίου ίναι ίςσ ι γωνίσ που πρόςκινται ς μία βάςθ ίναι ίςσ 116. Κριτιρια για να ίναι ζνα τραπζηιο ιςοςκλζσ. ι γωνίσ που πρόςκινται ς μία βάςθ ίναι ίςσ ι διαγϊνιοί του ίναι ίςσ Επιμέλια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μαθηματικόσ Σλίδα 24