Σχόι Θεωρίς ο Κεφάιο Μέθοδοι οοήρωσης ι ορισέ οοηρώτ Αωιοί τύοι οοηρωάτω Θετιή Τεχοοιή Νο Κτεύθυση Στ εόε ρουσιάζουε τις τρεις σιές εθόδους οοήρωσης τω ορισέω οοηρωάτω.. Προτιή οοήρωση : Γι δύο συρτήσεις f, g ε f ι g είι συεχείς στο [, ] είι : f ( g ( d = [ f ( g( ] - f ( ( g d Τύοι ορισέω οοηρωάτω ου υοοίζοτι ε ροτιή οοήρωση είι : Α = P ( d, Β = P ( η( d, Γ = P( συ( d, όου Ρ( είι (συήθως ουωυιή συάρτηση, ε,, IR. Θεωρούε ι ρχιή συάρτηση ι τη, τη η( ι τη συ( οότε : Α = P ( d = ( P - P ( d. Β= P( συ( d = ( συ( - P ( συ( P Γ = P( η( d = ( η( - P ( η( P d. d. Προσοχή! Μορεί εφροστεί η ροτιή οοήρωση ερισσότερες ό ί φορά το δεύτερο οοήρω δε ορεί υοοιστεί ό τη ρώτη εφροή. Είσης ι τους τύους : η ( ( Δ = δ d, Ε = συ δ d, θεωρούε ι ρχιή της ι εφρόζουε δύο φορές ροτιή οοήρωση θεωρώτς ι τη δεύτερη φορά ι ρχιή της, ε,. Εεφίζετι το ρχιό οοήρω Δ ή Ε ι ύουε ως οοηρωτιή εξίσωση ως ρος Ε ή Δ. (, δ,, IR. Δ = η ( δ d = ( δ η - ( η ( δ d = η = ( δ είι είσης : - ( δ( συ d (, thoan_(intruls/cl - -
Σχόι Θεωρίς ο Κεφάιο Αωιοί τύοι οοηρωάτω ( ( Ε = δ d = συ ( δ συ = ( δ = ( δ συ = ( δ - ( ( δ συ η Δ = ( δ Δ = συ d = συ d = ( δ η d = Δ, (, οότε η ( στη ( είι : - η Δ = ( δ ( δ η Τέος ι τους τύους : συ ( δ - - - Δ συ ( δ ( δ συ P ( ( ( ( ( Ζ = ln g d, Η = ln g d,. θεωρούε ι ρχιή της συάρτησης P( ι το οοήρω Ζ ή δε υάρχει τέτοι συάρτηση όως στο Η, θεωρούε ι ρχιή συάρτηση του = (, οότε : ln ( ( ( [ ( ( ] Η = g d = ln g -. Οοήρωση ε τιτάστση : g g ( ( d. Γι συρτήσεις f ι g ου είι συεχείς στο [, ] ι ε u = g(, du = g (, u = g(, u = g(, είι : f ( g( g ( d = f( u Προσοχή! Συήθως τιθιστούε ε u : ρστάσεις ου είι υψωέες σε εθέτη: ρ.. I = ( 8 ( - d, θέτουε u = ( 8, du = (-8d du = (-d, ι = είι u =, ι = είι u = - 5, οότε I = 5 u u u du = - du u 5 =... - -
Σχόι Θεωρίς ο Κεφάιο Αωιοί τύοι οοηρωάτω ρστάσεις σε ροοστή: ρ.. d, θέτουε u =, du = (-d, ρστάσεις σε υόριζ: ρ.. d, θέτουε u =, ρστάσεις σε τριωοετριές: ρστάσεις σε εθέτη εθετιής συάρτησης: du = d ι = u, 6 ρ.. η d, θέτουε u =, du = d, ρ.5. συ η d, θέτουε u = η, du = συ d, ρστάσεις σε οάριθο: ρ.6. ln( d, θέτουε u =, du = d, ΓΕΝΙΚΑ : (ε τη ροϋόθεση ότι ορίζοτι οι εόεες ρστάσεις ι τις ρέτρους,,,, ρ. Π(, ( d, Ζ, όου Π : ράστση τω, (, θέτουε u =, εώ = u, Π, ( d,, ΙΝ *, θέτουε u = ( ρ Π, ( = u /,... (, d, ρ, ΙΝ {, }, το Ε.Κ.Π. (ρ, =, τότε θέτουε u = ( = u v ρ, ( = u /ρ ι ( = u /,... ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗΣ - ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ f ( g( Π(, η( d, θέτουε u = g(, du = g( g (d, τόι εφρόζουε ροτιή οοήρωση ρ.7. η( d... f ( g( (, συ( d Π, ύουε οοίως ε το ροηούεο οοήρω. - -
Σχόι Θεωρίς ο Κεφάιο Αωιοί τύοι οοηρωάτω. Οοήρωση ε ά άστ : Γι τύους ορισέω οοηρωάτω ορφής Ι = d, ε ι Δ = δ ε >, οότε, οι ρίζες του δ ε Α B ροοστή ι τότε =, οότε : δ ε Α B Ι = d d (τόι ορεί εφροστεί ι έθοδος τιτάστσης Κ = P( Q( d, ε Q( δευτεροάθιο ουώυο ι P( ουώυο ίσου ή εύτερου θού του δευτεροάθιου, ρι εφρόσουε τη έθοδο τω ώ σάτω ρέει ροηηθεί η διίρεση P( : Q( ώστε P( υ( P( = Q( ( υ(, άρ = (, ε θό υ( < θού Q(, Q( Q( υ( άρ : Κ = ( d d. (ι το δεύτερο οοήρω εφρόζουε έθοδο ώ Q( σάτω Το Κ οοήρω ορεί είι ειά ιοστού θού ι ροτοοιείτι σε ρωτοάθιους ράοτες ώστε εφρόζετι η ράω έθοδος ώ σάτω. Ασήσεις. Ν υοοίσετε τ εόε οοηρώτ : - ln - d d d δ d ε - ln ζ d ln - d στ d ln θ ( η d η d συ ι η d ι ln d ι Α Ν Α Λ Υ Σ Η Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 6 Νο d - -
Σχόι Θεωρίς ο Κεφάιο Αωιοί τύοι οοηρωάτω. Ν υοοίσετε τ εόε οοηρώτ : συ d d d η δ d ε d στ η d 6 7 ζ d η d θ d ι ( ( 5 d ι συv d ι d ι d. Ν ύσετε τη εξίσωση du =. uln u (Α. =. Δίοτι οι συρτήσεις f, g ε f, g συεχείς στο [, ]. Α f( = g( = ι f ( = g (, οδείξετε ότι : ( f ( g( f( g ( d = f ((f( g( 5. Α η συάρτηση f είι συεχής στο IR οδείξετε ότι : f ( d = [ f( f( ] d 6. Ν ρεθεί η συεχής συάρτηση f ι τη οοί ισχύει : η f ( d = f( η (Α. f( = - η Ε ι έ ε ι : Π. Δ. Τρίης Μθητιός - 5 -