Στραγγίσεις (Θεωρία)

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκαιδευτικό Ίδρυμα Ηείρου Στραγγίσεις (Θεωρία) Ενότητα 1 : Η ασταθής στράγγιση των εδαφών ΙΙ Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης

6... Πρώτος τρόος γραμμικοοίησης Η μη γραμμικότητα της διαφορικής εξίσωσης (6.1) οφείλεται στο έξω αό τις αραγώγους h των αρονομαστών και στη δεύτερη δύναμη του δεύτερου όρου. Αν λοιόν αντικαταστήσουμε το h των αρονομαστών σε μια μέση σταθερή τιμή και αραλείψουμε το δεύτερο όρο στην εξίσωση (6.1 ) θα άρουμε : (6.13) όου = σταθερό. Η εξίσωση ( 6.13 ) είναι γραμμική μερική διαφορική εξίσωση της δεύτερης τάξης και του αραβολικού τύου και είναι γνωστή στη βιβλιογραφία σαν εξίσωση θερμότητας ή εξίσωση του Fourier. Η αράλειψη του δεύτερου όρου της εξίσωσης ( 6.1 ) δικαιολογείται μόνο όταν έχουμε το h σχετικά ολύ μεγάλο και την κλίση της υόγειας στάθμης ολύ μικρή. Σε τέτοια ροβλήματα η χρησιμοοίηση της γραμμικής εξίσωσης ( 6.13 ) δεν εισάγει μεγάλο σφάλμα σε σύγκριση με τη μη γραμμική εξίσωση ( 6.1 ) και έχει όλα τα λεονεκτήματα των αναλυτικών λύσεών της ου έχουν βρεθεί σε αντίστοιχα ροβλήματα της θερμοδυναμικής. Για να εμεδώσουμε καλύτερα τη φυσική έννοια αυτής της γραμμικοοίησης ας θεωρήσουμε την ειδική ερίτωση στράγγισης ενός ανοικτού υδροφόρου στρώματος με αδιαέρατο οριζόντιο υόστρωμα, με κλειστούς αγωγούς στράγγισης (.χ. ηλοσωλήνες ) ου βρίσκονται άνω σε ένα αράλληλο είεδο σε αόσταση αό το αδιαέρατο υόστρωμα, όως φαίνεται στο σχήμα 6.. Εειδή h = +, όου = σταθερό και = (x, ), οι μερικές αράγωγοι του h, ως ρος x και, ισούνται με τις αντίστοιχες αραγώγους του. Εομένως η εξίσωση ( 6.1 ) γράφεται : x 1. x K(. ) ( 6.14 ) Η εξίσωση ( 6.14 ) εξακολουθεί να είναι μη γραμμική μερική διαφορική εξίσωση του αραβολικού τύου, όως και η εξίσωση (6.1) με τη μόνη διαφορά ότι έχει σαν εξαρτημένη μεταβλητή το, δηλαδή την κατακόρυφη αόσταση μεταξύ της υόγειας στάθμης και του ειέδου όου βρίσκονται οι στραγγιστικοί σωλήνες.

Σχήμα 6. Σκαρίφημα ενός ροβλήματος στράγγισης για την εμέδωση των γραμμικοοιήσεων Αν η κλίση της υόγειας στάθμης είναι μικρή (δηλαδή = μικρή ) και η αόσταση μεταξύ υόγειας στάθμης και αδιαέρατου υοστρώματος είναι μεάλη ( δηλαδή + = μεγάλη), τότε ο δεύτερος όρος της εξίσωσης (6.3) είναι ολύ μικρός και μορεί να αραλειφθεί. Ειλέον, αν, τότε + = Β = o/ +. Άρα η εξίσωση ( 6.3 ) γίνεται : x 1. α ( 6.15 ) KB όου α = σταθερό. Η εξίσωση (6.15), όως και η εξίσωση (6.13), είναι γραμμική μερική διαφορική εξίσωση αραβολικού τύου δεύτερης τάξης, γνωστή στη βιβλιογραφία σαν εξίσωση του Fourier και όως θα δούμε ειδέχεται αναλυτική λύση. 6...3 Δεύτερος τρόος γραμμικοοίησης Σε ροβλήματα στραγγίσεων, στα οοία το βάθος h του κορεσμένου υδροφόρου στρώματος μέχρι το αδιαέρατο στρώμα είναι σχετικά μικρό, ενώ η κλίση της υόγειας στάθμης είναι σχετικά μεγάλη, ο δεύτερος όρος της εξίσωσης (6.1) δεν μορεί να θεωρηθεί αμελητέος. Στις εριτώσεις αυτές το h των αρονομαστών της εξίσωσης (6.1) μορεί να αντικατασταθεί με μια μέση σταθερή τιμή (= σταθερή) και έτσι η εξίσωση (6.1) να άρει τη μορφή (6.16) (.5) όου α = ΚΒ/ = σταθερό. Η διαφορική εξίσωση (6.16) εξακολουθεί να είναι μη γραμμική λόγω του τετραγώνου του δευτέρου όρου της αλλά είναι λιγότερο μη γραμμική αό όσο ήταν η εξίσωση (6.1).

Η εξίσωση (6.16) λέγεται και ημιγραμμική διαφορική εξίσωση γιατί μορεί να μετασχηματισθεί στη γραμμική μορφή της εξίσωσης Fourίer (6.13). Πραγματικά, εισάγοντας μια νέα μεταβλητή ω (x, ) του Τερζίδη (1968) με τη γενικευμένη μορφή : (6.17) (.6) όου c1 και c είναι αυθαίρετες σταθερές ολοκλήρωσης, οι μερικές αράγωγοι της εξίσωσης (6.16) γίνονται: Ομοίως : (6.19) (.7 β) και Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (6.18), (6.19), (6.), στην εξίσωση (6.16) και εκτελώντας τις ράξεις, αίρνουμε: Η διαφορική εξίσωση (6.1) είναι γραμμική ως ρος την εξαρτημένη μεταβλητή ω και έχει την ίδια ακριβώς μορφή με τη διαφορική εξίσωση Fourier (6.13). Έτσι σε ροβλήματα στραγγίσεων, στα οοία οι αρχικές και οριακές συνθήκες μορούν να μετασχηματισθούν, με τη βοήθεια της εξίσωσης (6.17), σε κατάλληλες γνωστές μορφές λυμένων ροβλημάτων της θερμοδυναμικής, μορούμε να χρησιμοοιήσουμε αμέσως τις γνωστές λύσεις, τους ίνακες και τα διαγράμματα ου υάρχουν δημοσιευμένα σε εριοδικά και βιβλία της θερμοδυναμικής. Αό τις λύσεις αυτές της γραμμικής εξίσωσης (6.1), ως ρος ω, θα άρουμε τις λύσεις της ημιγραμμικής εξίσωσης (6.16), ως ρος h, με τη βοήθεια της εξίσωσης (6.17). Οι αυθαίρετες σταθερές c1 και c της εξίσωσης (6.17) συνήθως ροσδιορίζονται αό τις οριακές και αρχικές συνθήκες κατά τέτοιο τρόο ώστε να είναι μεν αλούστερη η μορφή της εξίσωσης (6.17), αλλά και οι συνθήκες ου θα ροκύψουν για την είλυση της διαφορικής εξίσωσης (6.1) να έχουν την κατάλληλη μορφή για να χρησιμοοιηθεί γνωστή αναλυτική λύση της θερμοδυναμικής. Για την εμέδωση αυτής της γραμμικοοίησης ας θεωρήσουμε, αναφερόμενοι στο σχήμα 6., το συγκεκριμένο αράδειγμα: Αν η κλίση της υόγειας στάθμης δεν είναι μικρή και το Βάθος είναι σχετικά μεάλο, τότε + = Β =o /+, αλλά ο δεύτερος όρος της εξίσωσης (6.14) δεν μορεί να αραλειφθεί. Στην ερίτωση αυτή η εξίσωση (6.13) γίνεται : (.9) (6.) Η εξίσωση (6.) εξακολουθεί να είναι μη γραμμική εξαιτίας του τετραγώνου του δευτέρου όρου. Οωσδήοτε όμως η εξίσωση (6.) είναι λιγότερο μη γραμμική αό ό,τι η εξίσωση (6.14) γιατί οι συντελεστές του δεύτερου και τρίτου όρου της εξίσωσης (6.14) εριέχουν στους αρονομαστές τους και την εξαρτημένη μεταβλητή. Η εξίσωση (6.) καλείται ημιγραμμική γιατί μορεί να μετασχηματισθεί σε γραμμική διαφορική εξίσωση. Πραγματικά, χρησιμοοιώντας μία νέα μεταβλητή (Τερζίδης, 1968) ή (6.3) οι μερικές αράγωγοι της εξίσωσης (6.) γίνονται:

(6.4) Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (6.4) στην εξίσωση (6.) αίρνουμε: Μετά την εκτέλεση των αλγεβρικών ράξεων η αραάνω εξίσωση γίνεται : (6.5) Η εξίσωση (6.5), με την εξαρτημένη μεταβλητή ω, είναι γραμμική και έχει την ίδια ακριβώς μορφή με την εξίσωση (6.15). Κατά συνέεια οι λύσεις της εξίσωσης Fourier, ου έχουν ειτευχθεί αό τους ερευνητές της θερμοδυναμικής και άλλων κλάδων της Φυσικής, μορούν άνετα να χρησιμοοιηθούν και για την είλυση των ροβλημάτων γραμμικής και ημιγραμμικής στράγγισης. 6...4 Τρίτος τρόος γραμμικοοίησης Αν στη μη γραμμική διαφορική εξίσωση του Boussinesq (6.1) θεωρήσουμε σαν σταθερό μόνο το h του αρονομαστή του δεύτερου μέλους της, δηλαδή του h ου βρίσκεται έξω αό τη χρονική αράγωγο,τότε η εξίσωση αυτή γίνεται : (6.6) όου Η διαφορική εξίσωση (6.6) εξακολουθεί να είναι μη γραμμική λόγω του τετραγώνου και του αρονομαστή του δεύτερου όρου του αριστερού μέλους της. Δηλαδή η διαφορική εξίσωση (6.6) έχει το ίδιο ακριβώς δεξιό μέλος με τις διαφορικές εξισώσεις (6.16) και (6.13). Κατά συνέεια η μη γραμμικότητα της εξίσωσης (6.6) είναι ανάμεσα στις μη γραμμικότητες των εξισώσεων (1.1 ) και (6.6). Η διαφορική εξίσωση (6.6) είναι είσης ημιραμμική, όως η (6.16), γιατί μορεί να μετασχηματισθεί στη γραμμική μορφή της εξίσωσης Fourier (6.13). Πραγματικά, εισάγοντας μια νέα εξαρτημένη μεταβλητή u η οοία σχετίζεται με την αλαιά μεταβλητή h με τη γενικευμένη σχέση: (6.7) (.14) όου είναι αυθαίρετες σταθερές ολοκλήρωσης, οι μερικές αράγωγοι των εξισώσεων (6.6) γίνονται: (6.8 ) (6.9 ) Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (6.8), (6.9) και (6.3) στην εξίσωση (6.6) και εκτελώντας τις ράξεις αίρνουμε: (6.31 )

Η διαφορική εξίσωση (6.31) είναι γραμμική ως ρος την εξαρτημένη μεταβλητή u και έχει την ίδια ακριβώς μορφή με τη διαφορική εξίσωση Fourier (6.13). Κατά συνέεια γνωστές λύσεις, ίνακες και διαγράμματα της διαφορικής εξίσωσης Fourier, αό δημοσιεύματα και βιβλία της θερμοδυναμικής, μορούν να χρησιμοοιηθούν για την είλυση της διαφορικής εξίσωσης (6.31) ως ρος u και ύστερα με τη βοήθεια της εξίσωσης (6.14) να άρουμε τη λύση, ως ρος h, της ημιγραμμικής διαφορικής εξίσωσης (6.13). Οι αυθαίρετες σταθερές c1 και c, της εξίσωσης (6.14) συνήθως ροσδιορίζονται αό τις οριακές και αρχικές συνθήκες κατά τέτοιο τρόο ώστε να είναι αλούστερη και η μορφή της εξίσωσης (6.7) και η μορφή των βοηθητικών συνθηκών της διαφορικής εξίσωσης (6.31). Στα ιο συνηθισμένα ροβλήματα έχουμε c1 = και c =1, οότε ή u = h.

6.3 Ισαοχή των αραλλήλων στραγγιστικώναγωγών χωρίς εαναλήρωση 6.3.1 Μέθοδος ροσέγγισης με την ρώτη γραμμικοοίηση 1 Η λύση της γραμμικής διαφορικής εξίσωσης., η οοία ροκύτει με τον x α ρώτο τρόο γραμμικοοίησης της εξίσωσης του Boussinesq, χρησιμοοιείται σήμερα αό την Υ.Ε.Β. των Η.Π.Α. και βασίζεται στην αραδοχή ότι η υόγεια στάθμη αρχικά έχει σχήμα ου μορεί να εριγραφεί αό αραβολή τετάρτου βαθμού. Συγκεκριμένα δέχονται ότι στην αρχική στιγμή ( = ) της ασταθούς στράγγισης ισχύει η εξίσωση: 3 4 x x x x (x,) 8 3 4 (6.3) με τις οριακές συνθήκες : (,) (, ) για Στο μεσοδιάστημα των στραγγιστικών αγωγών (x = /), η υόγεια στάθμη είναι άντοτε οριζόντια, ή αλλιώς η οριζόντια ταχύτητα είναι μηδενική, ήτοι ισχύει η εξίσωση: x για x και. Η γενική λύση της εξίσωσης (6.3) είναι : (x, ) 19 5 n1,3,5,... n n 5 8 e n α n x.sin (6.33) n x Στο μεσοδιάστημα είναι x=/, οότε sin ( 1) n1 και εομένως: 8 n-1 n n α 19 (, ) (-1) e (6.34) 3 n1,3,5,... 5 n Η εξίσωση (6.34) δίνει την τιμή του στο μεσοδιάστημα x = / για οοιοδήοτε χρόνο. Όως μορεί να αοδειχτεί η λύση αυτή είναι μία σειρά με άειρους όρους η οοία συγκλίνει ταχύτατα και για το λόγο αυτό χρησιμοοιείται συνήθως ο ρώτος όρος, ή το ολύ οι τρεις ρώτοι όροι, ως οι λέον σημαντικοί. Στη συνέχεια δίνουμε δύο μεθόδους είλυσης της εξίσωσης (6.34) αό τις οοίες η ρώτη δίνει λύση με μορφή διαγράμματος και δεύτερη αναλυτική λύση.

6.3.1.1 Μέθοδος της Υηρεσίας Εγγείων Βελτιώσεων των Η.Π.Α. Το σχήμα 6.3 δίνει τη λύση της εξίσωσης (6.33) με μορφή αδιάστατου διαγράμματος, το οοίο μορεί να χρησιμοοιηθεί εύκολα για τη λύση των ειδικών ροβλημάτων της ασταθούς στράγγισης. Σχήμα 6.3 Διάγραμμα της λύσης της Υ.Ε.Β. των Η.Π.Α. Εειδή για τη σύνταξη του διαγράμματος δεν λήφθηκε υόψη η σύγκλιση των γραμμών ροής κοντά στους στραγγιστικούς αγωγούς, όταν αυτοί βρίσκονται άνω αό το αδιαέρατο υόστρωμα, οι τιμές του, ου ροκύτουν αό αυτό, είναι μεγαλύτερες αό τις ραγματικές. Για τη διόρθωση του σφάλματος, εξαιτίας της σύγκλισης των γραμμών ροής, χρησιμοοιούνται οι ίδιες εξισώσεις όως και στην ερίτωση της σταθερής στράγγισης.

6.3.1. Αλουστευμένη μέθοδος των Glover - umm - Van Beers Χρησιμοοιώντας μόνο τον ρώτο όρο (n =1) της εξίσωσης (6.34) αίρνουμε : (, ) α (, ) 19 α 8 1 e 1,173 e 3 (6.35) Αν λύσουμε την (6.4) ως ρος και θέτοντας Κ Β α αίρνουμε : (6.36) 1,173 η οοία ισχύει για =, δηλαδή για την ερίτωση ου οι στραγγιστικοί αγωγοί είναι άνω στο αδιαέρατο υόστρωμα. Στην ερίτωση ου >, αντικαθιστούμε το με το ισοδύναμο βάθος d του Hooghoud οότε d. Η ραγματική ισαοχή δίνεται τότε : α. Αό την εξίσωση K (d ) (6.37) 1,173 β. Αό την εξίσωση του Van Beers K ( ) (6.38) r 1,173 6.3. Μέθοδος ροσέγγισης με την τρίτη γραμμικοοίηση h h Η λύση της ημιγραμμικής διαφορικής εξίσωσης., η οοία ροκύτει με x K h τον τρίτο τρόο γραμμικοοίησης της εξίσωσης του Boussinesq, με τις οριακές συνθήκες : h (x,) h και h (, ) h (, ), σχέση : όου B h = σταθερό, οδηγεί τελικά στη

h h 1,73 (6.39) η οοία δίνει τη θεωρητική ισαοχή χωρίς τη διόρθωση λόγω σύγκλισης των γραμμών ροής. Για τη διόρθωση αυτή μορεί να χρησιμοοιηθεί η ίδια ορεία όως και στην ροηγούμενη αράγραφο οότε η ραγματική ισαοχή δίνεται : α. Αό την εξίσωση d h d h 1,73 ) (d K (6.4) β. Αό την εξίσωση του Van Beers r h h 1,73 ) ( K (6.41) 6.3.3 Η μέθοδος του Τερζίδη με τη δεύτερη γραμμικοοίησης Ο Γ. Τερζίδης το 1968 εέλυσε το ρόβλημα με ροσέγγιση της δεύτερης γραμμικοοίησης και κατέληξε στην σχέση: B / B / e 1 e 1 1,73 (6.4) όου 4 B ή B η οοία δίνει τη θεωρητική ισαοχή χωρίς τη διόρθωση λόγω σύγκλισης των γραμμών ροής. Για τη διόρθωση αυτή μορεί να ακολουθηθεί η ίδια ορεία όως και ροηγουμένως, οότε η ραγματική ισαοχή δίνεται αό τη σχέση : ).r ( e 1 e 1 1,73 Β Κ /B /B (6.43)

Προτεινόμενη Βιβλιογραφία 1. Μενέλαος Θεοχάρης, Στραγγίσεις, Τ.Ε.Ι. Ηείρου, Άρτα, 1.. Μενέλαος Θεοχάρης, Ασκήσεις Στραγγίσεων, Τ.Ε.Ι. Ηείρου, Άρτα, 1. 3. Θεοχάρης Μ.: " Στραγγίσεις ", Άρτα 4 4. Θεοχάρης Μ.: " Ασκήσεις Στραγγίσεων ", Άρτα 5 5. Θεοχάρης Μ.: " Αρδεύσεις - Στραγγίσεις ", Άρτα 1998 6. Θεοχάρης Μ.: " Αρδεύσεις - Στραγγίσεις, Εργαστηριακές Ασκήσεις", Άρτα 1998 7. auger - Franzini : "Υδραυλική" Τόμοι Ι, ΙΙ, Εκδόσεις Πλαίσιο, Αθήνα. 8. avis- orensen : " Handbook of applied Hdraulics" Third ediion McGraw-Hill Book Compan, 1969. 9. Ηansen V. - Israelsen : "Αρδεύσεις. Βασικοί Αρχαί και Μέθοδοι. Μετάφραση αό τους Α. Νικολαϊδη και Α. Κοκκινίδη ", Αθήνα 1961. 1. Καρακατσούλης Π. : " Αρδεύσεις - Στραγγίσεις και Προστασία των Εδαφών ", Αθήνα 1993. 11. Τερζίδης Γ. - Καραμούζης Δ. :"Υδραυλική Υόγειων Νερών ", Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη 1985. 1. Τερζίδης Γ. - Καραμούζης Δ. :"Στραγγίσεις Γεωργικών Εδαφών " Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη 1986. 13. Τερζίδης Γ. : "Μαθήματα Υδραυλικής", Τόμοι Ι,ΙΙ, ΙΙΙ, Θεσσαλονίκη 1986. 14. Τερζίδης Γ. - Πααζαφειρίου Ζ. : "Γεωργική Υδραυλική ", Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη 1997. 15. Τζιμόουλος Χ. : " Στραγγίσεις - Υδραυλική Φρεάτων ", Θεσς/νίκη 1983. 16. Χαλκιάς Ν. :"Στραγγίσεις γαιών ", Αθήνα 197.

Σημείωμα Αναφοράς Θεοχάρης Μενέλαος, (15). Στραγγίσεις (Θεωρία). ΤΕΙ Ηείρου. Διαθέσιμο αό: hp://eclass.eiep.gr/courses/texg17/ Σημείωμα Αδειοδότησης Το αρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creaive Commons Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 4. Διεθνές [1] ή μεταγενέστερη. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων.χ. φωτογραφίες, Διαγράμματα κ.λ.., τα οοία εμεριέχονται σε αυτό και τα οοία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] hp://creaivecommons.org/licenses/b-nc-nd/4./deed.el Ο δικαιούχος μορεί να αρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοοιεί το έργο για εμορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Εεξεργασία: Δημήτριος Κατέρης Άρτα, 15