ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα. Αν f () > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Μονάδες 7 A. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]; Μονάδες 4 A3. Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο 0 œa τοπικό μέγιστο; Μονάδες 4 A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα β) Μια συνάρτηση f είναι -, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f()=y έχει ακριβώς μία λύση ως προς ( ) γ) Αν είναι lim f = +, τότε f()<0 κοντά στο 0 0 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ δ) (σφ) =, œ { ημ=0} ημ β β ε) f()g ()d = β [f()g()] + f ()g()d, όπου f,g είναι α α α συνεχείς συναρτήσεις στο [α,β] Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z και w για τους οποίους ισχύουν οι επόμενες σχέσεις: z _ + z + = 4 () w _ 5 w = () B. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ = Μονάδες 6 B. Αν z, z είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z με z _ z = τότε, να βρείτε το z. z + Μονάδες 7 B3. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w στο επίπεδο είναι η έλλειψη y με εξίσωση + = και στη συνέχεια να βρείτε τη 9 4 μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του w Μονάδες 6 B4. Για τους μιγαδικούς αριθμούς z,w που επαληθεύουν τις σχέσεις () και () να αποδείξετε ότι: z w 4 Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΘΕΜΑ Γ ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ίνεται η συνάρτηση f()=( ) ln, >0 Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα =(0,] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα =[,+ ). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών της f Μονάδες 6 03 Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση =, >0 έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες. Μονάδες 6 Γ3. Αν, με < είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος Γ, να αποδείξετε ότι υπάρχει 0 œ(, ) τέτοιο, ώστε (0) + f( ) = 0 f 0 - Μονάδες 6 Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g()=f()+ με >0, τον άξονα και την ευθεία = Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f:(0,+ ), η οποία για κάθε >0 ικανοποιεί τις σχέσεις: f() 0 + f(t)dt l n = nt t l dt + f(t) f(). Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε τον τύπο της. Μονάδες 0 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Αν είναι f() = ( ln ), >0, τότε:. Να υπολογίσετε το όριο: lim ( f( ) ) + 0 ημ f ( ) f ( ) Μονάδες 5 3. Με τη βοήθεια της ανισότητας ln, που ισχύει για κάθε >0, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F ( ) α = f(t) dt, >0, όπου α>0, είναι κυρτή (μονάδες ). Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι: F() + F(3) > F(), για κάθε >0 (μονάδες 4). Μονάδες 6 4. ίνεται ο σταθερός πραγματικός αριθμός β>0. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξœ(β,β) τέτοιο ώστε: F(β) + F(3β) = F(ξ) Μονάδες 4 Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ. 6. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 7. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 0.30 π.μ. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 53 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 9 Α3. Σχολικό βιβλίο σελίδα 58 Α4. α. Σωστό, β. Σωστό, γ. Λάθος, δ. Λάθος, ε. Λάθος. ΘΕΜΑ Β B. ος τρόπος z - + z + = 4 (z - )(z - ) + (z + )(z + ) = 4 zz - z - z + + zz + z + z + = 4 zz = zz = z = z = άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ = ος τρόπος z = + yi z - + z + = 4 + yi - + + yi + = 4 ( - ) + y + ( + ) ( - ) + y + ( + ) + y = 4 + y = + y = + y = 4 - + + y + + + + y = 4 άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ =
B3. w = + yi w - 5w = + yi - 5( - yi) =, yir + yi - 5 + 5yi = -4 + 6yi = (-4) + (6y) = 6 + 36y = 44 6 36y y + = + = 44 44 9 4 y O γ.τ. των εικόνων των w είναι έλλειψη με εξίσωση + = 9 4 ος τρόπος y Η έλλειψη με εξίσωση + = έχει : 3 μεγάλο άξονα στον και κορυφές Α (3, 0), Α (-3, 0) και μικρό άξονα στον y y και κορυφές Β (0, ), Β (0, -) Σχεδιάζουμε την έλλειψη Επομένως : w = (OA) = (OA ) = και min w = (OB) = (OB ) = 3 ma
ος τρό πος y 9 4 4 + 9y = 36 Β4. ος τρόπος + = 4 + 9y = 36 4 + 4y = 36-4y άρα 4 + 4y 36 + y 9 w 9 w 3 H ισότητα ισχύει όταν = 4 + 9y = 36 3 και y = 0, άρα w = 3 9 + 9y = 36 + 5 άρα 9 + 9y 36 + y 4 w 4 w H ισότητα ισχύει όταν = 0 και y =, άρα w = ma min z - w = (BΓ) = (Β Γ ) = min z - w 4 z - w = (A ) = (Α ) = 4 ma ος τρόπος z - w z + w + w = + 3 = 4 ma w > z - w z - w = - w = w - w - = - Επομένως z - w 4 min
> 0-03 - 03 Γ. = n = n ( - ) n = 03 ( - ) n - = 0 f () = 0 H f συνεχής και γν. φθίνουσα στο Α και 0 f (A ) άρα η εξίσωση f () = 0 έχει μοναδική ρίζα στο A H f συνεχής και γν. αύξουσα στο Α και 0 f (A ) άρα η εξίσωση f () = 0 έχει μοναδική ρίζα στο A Επομένως η εξίσωση f () = 0 έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες Γ3. oς τρόπος Θεωρούμε τη συνάρτηση h, με h () = [f () - 0] h παραγωγίσιμη στο [, ] ως πράξεις παραγωγίσιμων με h () = [f () + f () - 0] h ( ) = h ( ) = 0 από Θ. Roll υπάρχει 0 (, ) τέτοιο ώστε h ( 0) = 0 0 [f ( 0) + f ( 0) - 0] = 0 f ( 0) + f ( 0) - 0 = 0 f ( ) + f ( ) = 0 0 0 oς τρόπος Θεωρούμε τη συνάρτηση S, με S () = f () + f () - 0 S συνεχής στο [, ] ως πράξεις συνεχών S ( ) = f ( ) + f ( ) - 0 = f ( ) < 0, διότι < S ( ) = f ( ) + f ( ) - 0 = f ( ) > 0, διότι > από Θ. Βοlzano υπάρχει 0(, ) τέτοιο ώστε S ( 0) = 0 f ( 0) + f ( 0) - 0 = 0 f ( ) + f ( ) = 0 0 0
Γ4. Eίναι g () = f () + = ( - ) n g () = 0 ( - ) n = 0 = ΘΕΜΑ Αναζητούμε το πρόσημο της g στο [, ] Eίναι g () > 0 στο [, ], διότι - > 0 και n > 0 Άρα Ε = g () d = ( - ) n d = - n d = - n - - n d = - - - d = - - - d = - - - = - - - - - 4 4 4 3-3 = - - + - = τ.μ. 4 4 4 - + -. Θεωρούμε συνάρτηση φ, με φ () = f (t) dt -, >0 Eίναι φ () 0 = φ (). Η φ παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 = H φ είναι παραγωγίσιμη στο (0, + ) με - φ () = f ( - + ) ( - ) - To 0 = είναι εσωτερικό σημείο του (0, + ) Από Θ. Frmat ισχύει ότι φ () = 0 f () + = 0 f () = -
H f είναι συνεχής στο (0, + ) f () 0, για κάθε > 0 από συνέπειες Θ. Bolzano, η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (0, + ) και επειδή f () = - < 0, θα είναι f () < 0, για κάθε (0, + ) f () < 0 nt - t n - = - dt + f () f (t) nt - t n - = f () dt + () f (t) Aπό εφαρμογή σχολικού βιβλίου είναι n - <, () nt - t άρα n - < 0 dt + > 0 f () < 0 f (t) () f () = n - nt - t dt + f (t) n - H συνάρτηση f, με f () = είναι συνεχής στο (0, + ) f () ως πράξεις συνεχών, άρα η συνάρτηση f, nt - t με f () = dt είναι παραγωγίσιμη στο (0, + ). f (t) Επομένως η f είναι παραγωγίσιμη στο (0, + ) ως πράξεις παραγωγίσιμων. f () < 0 n - () = f () nt - t dt + () f (t)
oς τρόπος Θεωρούμε συνάρτηση h, με h () = nt - t n - Eίναι h () = dt + = f (t) f () () h () = h (), για κάθε (0, + ) nt - t dt + f (t) Aπό εφαρμογή σχολικού βιβλίου είναι h () = c nt - t f (t) nt - t f (t) dt + = c dt = c - (3) Για = έχουμε c = nt - t f (t) c = (3) dt = -, > 0 Παραγωγίζουμε κατά μέλη και έχουμε n - oς τρόπος - f () = f () = -, > 0 n n - f () = Θεωρούμε συνάρτηση Κ, με Κ () = n -, (0, + ) Κ (t) Κ () = f () dt + f (t) Κ (t) Κ () dt + = (4) f (t) f () (3) Παραγωγίζουμε την (3) κατά μέλη και έχουμε : Κ (t) Κ () = f () dt + + f () f (t) n Κ () = + n f () Κ () f () Κ () Κ () f () Κ () = f () + Κ () = + f () Κ () f () (4)
Aπό συνέπειες Θ.Μ.Τ. έχουμε nκ () = + n f () + c Για = είναι nκ () = + n f () + c n - = + n - + c 0 = - + c c = 0, άρα nκ () + nf () nκ () = + n f () = f () < 0 Κ () = f () -Κ () = -f () K () < 0 f () = Κ () f () = - f () = -, > 0 n Κ (). n - f () = = n f () - im = im = 0, + + 0 f () 0 n - διότι im = και im n - = - + + 0 0 im f () ημ - f () = im + - 0 f () Θέτω = u f () im = 0 f () 0 + u0 ημu - u u ημu - u συνu - = im = im - DL'H - u0 u u0 u συνu - = im u 0 - = 0 = 0 u
3. Για > 0 είναι : F () = f (t) dt = f () = α - - - n n - - n - n - n - F () = = = = - - n + + - - n = > 0, διότι n - άρα η F είναι κυρτή στο (0, + ) oς τρόπος u F (u) = f (t) dt, u > 0 α H F είναι παραγωγίσιμη στα [, ] και [, 3], > 0 Από Θ.Μ.Τ. υπάρχουν : F () - F () (, ), τέτοιο ώστε F ( ) = F (3) - F () (, 3), τέτοιο ώστε F ( ) = F < F ( ) < F ( ) F () - F () F (3) - F () < F () - F () < F (3) - F () F () + F (3) > F (). > 0
oς τρόπος H F είναι κυρτή στο (0, + ), άρα η C f βρίσκεται πάνω από οποιαδήποτε εφαπτομένη της με εξαίρεση το σημείο επαφής. Έστω (ε) η εφαπτομένη της C f στο τυχαίο σημείο της Μ (θ, f (θ)), με θ > 0. (ε) : y - F (θ) = F (θ) ( - θ) (ε) : y = F (θ) + F (θ) ( - θ) θ θ, άρα F (θ) > F (θ) + F (θ) (θ - θ) F (θ) > F (θ) - θ F (θ) () 3θ θ, άρα F (3θ) > F (θ) + F (θ) (3θ - θ) F (3θ) > F (θ) + θ F (θ) () Από () και () με πρόσθεση κατά μλ έ η προκύπτει F (θ) + F (3θ) > F(θ), για τυαίο θ > 0. Επομένως F () + F (3) > F(), για κάθε > 0. 4. F () = f () < 0, άρα F γνησίως φθίνουσα στο (0, + ) Θεωρούμε συνάρτηση Q, με Q () = F () - F (β) - F (3β) Q () = F () = f () < 0, άρα Q γνησίως φθίνουσα στο (0, + ) Η Q είναι συνεχής στο [β, β] ως πράξεις συνεχών Q (β) = F (β) - F (β) - F (3β) = F (β) - F (3β) > 0, F διότι β < 3β F (β) > F (3β) Q (β) = F (β) - F (β) - F (3β) < 0, από 3 για = β Από Θ. Bolzano η εξίσωση Q () = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (β, β), η οποία είναι μοναδική αφού η Q είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, + ). Επομένως υπάρχει μοναδικό ξ (β, β), τέτοιο ώστε Q (ξ) = 0 F (ξ) - F (β) - F (3β) = 0 F (β) + F (3β) = F (ξ)