ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Η καταοή πιθαότητας η έση τιή και η διασπορά ιας τυχαίας εταβλητής εξετάσθηκα στο Κεφάλαιο Στο κεφάλαιο αυτό ελετώται διεξοδικά οι σηατικότερες διακριτές καταοές Πιο συγκεκριέα διατυπώοται τα πιο βασικά και χρήσια στοχαστικά πρότυπα οτέλα καθ έα από τα οποία δύαται α χρησιοποιηθεί για τη περιγραφή ιας ευρείας κλάσης στοχαστικώ τυχαίω πειραάτω ή φαιοέω Ορίζοται διακριτές τυχαίες εταβλητές και σε κάθε περίπτωση προσδιορίζεται η καταοή τους υπολογίζοτας τη συάρτηση πιθαότητας αυτής Επίσης υπολογίζοται η έση τιή και η διασπορά της καταο-ής και αποδεικύοται χρήσιες ιδιότητές της Για τη διευκόλυση τω εφαρογώ γίεται χρήση τω πιάκω τω καταοώ αυτώ Στο επόεο κεφάλαιο ελετώται ε το ίδιο διεξοδικό τρόπο οι σπουδαιότερες συεχείς καταοές ΚΑΤΑΝΟΜΗ BRNOULLI ΚΑΙ ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Καταοή Benolli Ας θεωρήσουε έα τυχαίο πείραα ε δειγατικό χώρο Ω και έα εδεχόεο Α στο Ω Α A είαι το συπληρωατικό εδεχόεο του Α στο Ω τότε τα εδεχόεα A A αποτελού ια διαίρεση του δειγατικού χώρου Ω εφ όσο A A και A A Ω Το εδεχόεο Α χαρακτηρίζεται συήθως ως επιτυχία και το A ως αποτυχία Παριστάοτας ε ε τη επιτυχία και α τη αποτυχία ο δειγατικός χώρος δύαται α παρασταθεί ως Ω { α ε} Έα τέτοιο τυχαίο πείραα καλείται δοκιή Benolli Έστω P { ε} P { α} P{ ε} και ας θεωρήσουε τη ακόλουθη τυχαία εταβλητή Ορισός Έστω Χ ο αριθός τω επιτυχιώ σε ια δοκιή Benolli ε πιθαότητα επιτυχίας και αποτυχίας Η καταοή της δίτιης ηδέ-έα τυχαίας εταβλητής Χ καλείται ηδέ-έα καταοή Benolli ε παράετρο Οι συαρτήσεις πιθαότητας και καταοής όπως επίσης η έση τιή και η διασπορά της καταοής Benolli δίδοται στο ακόλουθο θεώρηα Θεώρηα Η συάρτηση πιθαότητας της καταοής Benolli ε παράετρο δίδεται από τη f P και η συάρτηση καταοής από τη

6 < < F < 3 < Η έση τιή και διασπορά της καταοής Benolli ε παράετρο δίδοται από τις σ V 4 Απόδειξη Ο αριθός Χ τω επιτυχιώ σε ια δοκιή Benolli είαι ια τυχαία εταβλητή ορισέη στο Ω { α ε} ε α ε και έτσι συάγουε τις πιθαότητες P P{ ω Ω: ω } P{ α} P P{ ω Ω: ω } P{ ε} οι οποίες συεπάγοται τη συάρτηση πιθαότητας Η συάρτηση καταοής 3 προκύπτει άεσα από τη ε τη χρησιοποίηση της 4 του Κεφ H έση τιή της τυχαίας εταβλητής Χ είαι και η διασπορά αυτής συάγεται ως εξής: σ V [ ] ιωυική καταοή Ορισός Έστω Χ ο αριθός τω επιτυχιώ σε ια ακολουθία αεξαρτήτω δοκιώ Benolli ε πιθαότητα επιτυχίας και αποτυχίας P i { ε} { α} i P i σταθερή ίδια σε όλες τις δοκιές Η καταοή της τυχαίας εταβλητής Χ καλείται διωυική ε παραέτρους και Οι συαρτήσεις πιθαότητας και καταοής της διωυικής καταοής συάγοται στο ακόλουθο θεώρηα Θεώρηα Η συάρτηση πιθαότητας της διωυικής καταοής ε παραέτρους και δίδεται από τη f P 5 και η συάρτηση καταοής από τη [ ] κ F κ κ όπου [ ] παριστάει το ακέραιο έρος του κ < < < < 6

6 Απόδειξη Ο δειγατικός χώρος του συθέτου τυχαίου πειράατος τω αεξαρτήτω δοκιώ Benolli είαι σύφωα ε το Εδάφιο 9 του Κεφ το -πλό καρτεσιαό γιόεο του Ω { α ε} ε το εαυτό του Ω { ω ω ω : ωi { α ε} i } Το εδεχόεο { } α πραγατοποιηθού επιτυχίες στις δοκιές περιλαβάει στοιχειώδη εδεχόεα όσα και ο αριθός τω επιλογώ τω θέσεω για τις επιτυχίες από τις θέσεις Επιπλέο κάθε τέτοιο στοιχειώδες εδεχόεο επειδή οι δοκιές είαι αεξάρτητες έχει πιθαότητα Εποέως Σηειώουε ότι f P f > f { } και σύφωα ε το τύπο του διωύου του Νεύτωα f όπως απαιτείται από το ορισό της συάρτησης πιθαότητας Η συάρτηση καταοής 6 προκύπτει άεσα από τη 5 ε τη χρησιοποίηση της 4 του Κεφ Οι πίακες της συάρτησης πιθαότητας 5 και της συάρτησης καταοής 6 της διωυικής καταοής διευκολύου τους υπολογισούς που περιλαβάου διωυικές πιθαότητες και χρησιοποιούται ευρύτατα ιδιαίτερα στη Στατιστική Ο Πίακας του παραρτήατος δίδει τη συάρτηση πιθαότητας 5 για και 5 5 Στη περίπτωση που > 5 οπότε < 5 χρησιοποιείται ο τύπος 7 Στο επόεο θεώρηα συάγοται η έση τιή και η διασπορά της διωυικής καταοής Θεώρηα 3 Έστω ότι η τυχαία εταβλητή Χ ακολουθεί τη διωυική καταοή ε συάρτηση πιθαότητας τη 5 Τότε η έση τιή και η διασπορά της αυτής δίδοται από τις σ V 8 Απόδειξη Η έση τιή της τ Χ σύφωα ε το ορισό δίδεται από τη

63 Χρησιοποιώτας τη σχέση!!!!!! παίρουε και σύφωα ε το τύπο του διωύου του Νεύτωα συπεραίουε ότι Επίσης ] [ και επειδή!!!!!! παίρουε ] [ Εποέως V σ ] [ ] [ Παράδειγα Έστω ότι σε ασθεείς ετρείται η πίεση του αίατος πρι και ετά τη χορήγηση εός ορισέου φαράκου και τα αποτελέσατα είαι Α θεωρούε ότι η κ οστή δοκιή είχε αποτέλεσα επιτυχία εώ α αποτυχία z z z κ z κ > κ z κ κ Α το φάρακο δε έχει καιά επίδραση τότε η πιθαότητα επιτυχίας είαι ίση ε τη πιθαότητα αποτυχίας και εποέως / Έστω Χ ο αριθός τω επιτυχιώ στις δοκιές Τότε υποθέτοτας ότι το φάρακο δε έχει καιά επίδραση στη πίεση του αίατος P f Σηειώουε ότι πολύ ικρός αριθός επιτυχιώ αποτελεί έδειξη ότι το φάρακο δε έχει καία επίδραση στη πίεση Να υπολογισθού οι πιθαότητες α το πολύ επιτυχιώ και β 7 τουλάχιστο επιτυχιώ στη περίπτωση 8 ασθεώ Χρησιοποιώτας το Πίακα του παραρτήατος παίρουε 8 445 94 3 39 5 8 P 8 7 8 35 39 3 5 8 7 P

64 Παράδειγα Ας θεωρήσουε έα αρχικό πληθυσό στο οποίο οι γοότυποι AA Aα και αα εφαίζοται ε πιθαότητες και αεξάρτητα φύλου Έστω ότι καθέας από τους γοείς πατέρας και ητέρα κληροοεί σύφωα ε το όο κληροοικότητας του Mendel σε κάθε παιδί του έα από τα γοίδια Α και α Ας θεωρήσουε έα ζευγάρι άδρα και γυαίκα από το πληθυσό αυτό το οποίο αποκτά παιδιά και έστω ότι το εδιαφέρο για κάθε παιδί εστιάζεται στο κατά πόσο έχει το γοότυπο AA Χαρακτηρίζοτας το εδεχόεο Γ όπως έα παιδί έχει το γοότυπο AA ως επιτυχία και το συπληρωατικό του ως αποτυχία η γέηση εός παιδιού δύαται α θεωρηθεί ως δοκιή Benolli ε πιθαότητες βλ Παράδειγα 9 του Κεφ P{ ε P Γ P { α} P Γ } Η σειρά τω γεήσεω αποτελεί ια ακολουθία αεξαρτήτω δοκιώ Benolli και έτσι ο αριθός Χ τω παιδιώ που έχου το γοότυπο AA ακολουθεί τη διωυική καταοή ε συάρτηση πιθαότητας f Στη ερική περίπτωση που οι πιθαότητες τω τριώ γοοτύπω στο αρχικό πληθυσό είαι / 4 οπότε / 4 3/ 4 ο αριθός Χ τω παιδιώ που έχου το γοότυπο AA σε σύολο 4 παιδιώ έχει συάρτηση πιθαότητας 4 4 3 f 3 4 4 4 Η πιθαότητα όπως έα τουλάχιστο από τα 4 παιδιά έχει το γοότυπο ε 3 75 P P 6834 4 56 Ο ααεόεος αριθός παιδιώ ε το γοότυπο AA είαι 4 4 4 AA είαι ίση 3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΗ PASCAL 3 Γεωετρική καταοή Ορισός 3 Ας θεωρήσουε ια ακολουθία αεξαρτήτω δοκιώ Benolli ε πιθαότητα επιτυχίας και αποτυχίας P i { ε} P i { α} i σταθερή ίδια σε όλες τις δοκιές Έστω Χ ο αριθός τω δοκιώ έχρι τη πρώτη επιτυχία Η καταοή της τυχαίας εταβλητής Χ καλείται γεωετρική ε παράετρο Οι συαρτήσεις πιθαότητας και καταοής της γεωετρικής καταοής συάγοται στο ακόλουθο θεώρηα

65 Θεώρηα 3 Η συάρτηση πιθαότητας της γεωετρικής καταοής ε παράετρο δίδεται από τη f P 3 και η συάρτηση καταοής από τη όπου [ ] παριστάει το ακέραιο έρος του < < F 3 [ ] < Απόδειξη Το εδεχόεο { } η πρώτη επιτυχία α πραγατοποιηθεί στη - οστή δοκιή περιλαβάει έα όο δειγατικό σηείο στοιχειώδες εδεχόεο και συγκεκριέα το { α α α ε} όπου στις θέσεις δοκιές έχει αποτυχία και στη -οστή θέση δοκιή έχει επιτυχία Χρησιοποιώτας ότι οι δοκιές είαι αεξάρτητες τούτο έχει πιθαότητα Εποέως η συάρτηση πιθαότητας της τ Χ είαι η Σηειώουε ότι f P f > f { } και σύφωα ε το τύπο του αθροίσατος τω απείρω όρω γεωετρικής προόδου σειράς f όπως απαιτείται από το ορισό της συάρτησης πιθαότητας Η συάρτηση καταοής 3 προκύπτει άεσα από τη συάρτηση πιθαότητας 3 ε τη χρησιοποίηση της 4 του Κεφ Στο επόεο θεώρηα συάγοται η έση τιή και η διασπορά της γεωετρικής καταοής Θεώρηα 3 Έστω ότι η τυχαία εταβλητή Χ ακολουθεί τη γεωετρική καταοή ε συάρτηση πιθαότητας τη 3 Τότε η έση τιή και η διασπορά αυτής δίδοται από τις σ V 33 Απόδειξη Η έση τιή και η δεύτερης τάξης παραγοτική ροπή της γεωετρικής καταοής δίδοται από τις και [ ]

66 Παρατηρούε ότι παραγωγίζοτας διαδοχικά τη γεωετρική σειρά συάγουε τις σχέσεις Εποέως και οπότε 3 [ ] 3 σ V [ ] [ ] Η έλλειψη ήης αποτελεί χαρακτηριστική ιδιότητα της γεωετρικής καταοής Η ιδιότητα αυτή αποδεικύεται στο επόεο θεώρηα Θεώρηα 33 Έστω ότι η τυχαία εταβλητή Χ ακολουθεί τη γεωετρική καταοή ε συάρτηση πιθαότητας τη 3 Τότε P > κ > κ P > κ 34 Απόδειξη Η δεσευέη πιθαότητα του εδεχοέου { w : w > κ } δεδοέου του εδεχοέου { w : w > κ} λαβάοτας υπόψη ότι { w: w > κ } { w : w > κ} και χρησιοποιώτας τη 3 είαι ίση ε και επειδή P συάγεται η 34 > κ > κ P > κ P > κ F κ F κ P > F > κ κ κ P > κ P > κ Σηειώουε ότι η ιδιότητα αυτή σηαίει έλλειψη ήης της γεωετρικής καταοής ε τη ακόλουθη έοια Η πιθαότητα α απαιτηθού επιπρόσθετα περισσότερες από δοκιές έχρι τη πρώτη επιτυχία δεδοέου ότι δε έχει πραγατοποιηθεί επιτυχία στις κ πρώτες δοκιές είαι η ίδια ε τη η δεσευέη πιθαότητα α απαιτηθού περισσότερες από δοκιές έχρι τη πρώτη επιτυχία Εποέως η πληροφορία η επίτευξης του στόχου επιτυχία ξεχιέται και η προσπάθεια συεχίζεται όπως ότα πρωταρχίζει Παρατήρηση 3 Η συάρτηση πιθαότητας του αριθού Υ τω αποτυχιώ έχρι τη πρώτη επιτυχία υπολογίζεται ε τη χρησιοποίηση της σχέσης Y και της 3 ως εξής: g P Y P 35

67 Η καταοή της τ Υ καλείται επίσης γεωετρική ε παράετρο H έση τιή και η διασπορά αυτής προκύπτου από τις 33: Y V Y V 36 Παράδειγα 3 Το κόστος εκτέλεσης για πρώτη φορά εός συγκεκριέου πειράατος είαι 5 ευρώ Α το πείραα αποτύχει για ορισέες εταβολές που πρέπει α γίου πρι από τη επόεη εκτέλεσή του απαιτείται έα πρόσθετο ποσό ευρώ Υποθέτουε ότι οι δοκιές είαι αεξάρτητες ε πιθαότητα επιτυχίας 4 / 5 και ότι συεχίζοται έχρι τη πρώτη επιτυχία Να υπολογισθού α η πιθαότητα α απαιτηθού 4 το πολύ δοκιές έχρι τη πρώτη επιτυχία και β το ααεόεο κόστος έχρι τη πρώτη επιτυχία α Ο αριθός Χ τω δοκιώ έχρι τη πρώτη επιτυχία ακολουθεί τη γεωετρική καταοή ε συάρτηση πιθαότητας 4 f P 5 5 και συάρτηση καταοής Εποέως και 5 [ ] F < < < P 4 F4 9984 5 β Α Υ είαι το κόστος έχρι τη πρώτη επιτυχία τότε Y 5 6 Y 6 Η έση τιή της τυχαίας εταβλητής Χ είαι ίση ε και συεπώς 3 Καταοή Pacal 5 4 Y 65 Ορισός 3 Ας θεωρήσουε ια ακολουθία αεξαρτήτω δοκιώ Benolli ε πιθαότητα επιτυχίας και αποτυχίας P i { ε} { α} i P i σταθερή ίδια σε όλες τις δοκιές Έστω Χ ο αριθός τω δοκιώ έχρι τη -οστή επιτυχία Η καταοή της τυχαίας εταβλητής Χ καλείται καταοή Pacal ε παραέτρους και 4

68 Οι συαρτήσεις πιθαότητας και καταοής της καταοής Pacal συάγοται στο ακόλουθο θεώρηα Θεώρηα 34 Η συάρτηση πιθαότητας της καταοής Pacal ε παραέτρους και δίδεται από τη f P 37 και η συάρτηση καταοής από τη [ ] F κ κ όπου [ ] παριστάει το ακέραιο έρος του < < 38 κ < Απόδειξη Το εδεχόεο { } περιλαβάει τα δειγατικά σηεία στοιχειώδη εδεχόεα ω ω ε επιτυχίες στις πρώτες δοκιές και ω ε επιτυχία στη -οστή δοκιή τα οποία είαι πλήθους όσα και ο αριθός τω επιλογώ τω θέσεω για τις επιτυχίες από τις δυατές θέσεις Επιπλέο κάθε τέτοιο δειγατικό σηείο έχει πιθαότητα Εποέως f P Σηειώουε ότι f > f { } και χρησιοποιώτας το αρητικό διωυικό αάπτυγα συάγουε τη σχέση t t < t < 39 f όπως απαιτείται από το ορισό της συάρτησης πιθαότητας Η συάρτηση καταοής 38 προκύπτει άεσα από τη συάρτηση πιθαότητας 37 ε τη χρησιοποίηση της 4 του Κεφ Στο επόεο θεώρηα συάγοται η έση τιή και η διασπορά της καταοής Pacal Θεώρηα 35 Έστω ότι η τυχαία εταβλητή Χ ακολουθεί τη καταοή Pacal ε συάρτηση πιθαότητας τη 37 Τότε η έση τιή και η διασπορά αυτής δίδοται από τις σ V 3

69 Απόδειξη Η έση τιή της τ Χ δίδεται από τη οπότε χρησιοποιώτας τη σχέση!!!!!! και τη 39 συάγουε τη έκφραση Η δεύτερης τάξης αοδική παραγοτική ροπή της τ Χ δίδεται από τη ] [ ] [ οπότε χρησιοποιώτας τη σχέση!!!!!! και τη 39 συάγουε τη έκφραση [] ] [ Εποέως η διασπορά της τ Χ είαι ] [ ] [ V σ Παρατήρηση 3 Ας θεωρήσουε το αριθό Υ τω αποτυχιώ έχρι τη -οστή επιτυχία σε ια ακολουθία αεξαρτήτω δοκιώ Benolli ε πιθαότητα επιτυχίας Η συάρτηση πιθαότητας της τυχαίας αυτής εταβλητής δύαται α υπολογισθεί είτε απευθείας είτε ε τη χρησιοποίηση της σχέσης Y και της συάρτησης πιθαότητας 37 της Χ Έχουε P Y P g 3 Η καταοή της τ Υ καλείται επίσης καταοή Pacal ή αρητική διωυική ε παραέτρους και Η έση τιή και η διασπορά αυτής δύαται α προκύψου από τις 3 ως εξής: Y V Y V σ 3

7 Παρατήρηση 33 Σύδεση τω καταοώ Pacal και διωυικής Ας παραστήσουε ε το αριθό τω δοκιώ έχρι τη -οστή επιτυχία σε ια P ακολουθία αεξαρτήτω δοκιώ Benolli ε πιθαότητα επιτυχίας και ε το αριθό τω επιτυχιώ σε ια ακολουθία αεξαρτήτω δοκιώ Benolli ε πιθαότητα επιτυχίας Τότε P P P 33 επειδή το εδεχόεο όπως ο αριθός τω δοκιώ έχρι τη -οστή επιτυχία είαι το πολύ είαι ισοδύαο ε το εδεχόεο όπως ο αριθός τω επιτυχιώ στις δοκιές είαι τουλάχιστο Επίσης P P P 34 επειδή το εδεχόεο όπως η -οστή επιτυχία πραγατοποιηθεί στη δοκιή είαι ίσο ε τη τοή τω αεξαρτήτω εδεχοέω όπως πραγατοποιηθού επιτυχίες στις δοκιές και επιτυχία στη δοκιή Η σχέση 34 δύαται α χρησιοποιηθεί αζί ε το Πίακα τω πιθαοτήτω της διωυικής καταοής για το υπολογισό τω πιθαοτήτω της καταοής Pacal Παράδειγα 33 Μια γυαίκα εξακολουθεί α τεκοποιεί έχρι α αποκτήσει δύο αγόρια Έστω ότι η πιθαότητα γέησης αγοριού είαι 49 Να υπολογισθού α η πιθαότητα όπως η γυαίκα αυτή αποκτήσει το πολύ 4 παιδιά έχρι α πετύχει το σκοπό της και β ο ααεόεος αριθός παιδιώ έχρι τη γέηση του δεύτερου αγοριού α Έστω Χ ο αριθός τω παιδιώ έχρι και τη γέηση του δεύτερου αγοριού Τότε η τ Χ έχει τη καταοή Pacal ε παραέτρους 49 και έτσι P 4 4 κ κ 49 5 κ 49 { 5 35 } 67 β Ο ααεόεος αριθός παιδιώ έχρι τη γέηση του δεύτερου αγοριού σύφωα ε τη πρώτη από τις 3 είαι 48 49 Παράδειγα 34 Το πρόβληα τω σπιρτόκουτω του Banach Στη διάρκεια ιας τελετής προς τιή του γωστού αθηατικού Banach o Steinha ααφερόεος χιουοριστικά στις καπιστικές συήθειες του τιοέου έδωσε το ακόλουθο παράδειγα ως εφαρογή της καταοής Pacal Έας αθηατικός έχει πάτα αζί του έα σπιρτόκουτο στη δεξιά τσέπη και έα άλλο στη αριστερή Ότα χρειάζεται σπίρτο παίρει τυχαία έα από τα κουτιά και εποέως οι διαδοχικές εκλογές σπιρτόκουτω αποτελού ια ακολουθία αεξαρτήτω δοκιώ Benolli ε / Έστω ότι αρχικά το κάθε κουτί περιέχει σπίρτα και ας θεωρήσουε τη στιγή κατά τη οποία για πρώτη φορά ο αθηατικός αακαλύπτει ότι το έα κουτί είαι κεό Τη στιγή αυτή το άλλο κουτί θα περιέχει Ζ σπίρτα Η τυχαία αυτή εταβλητή πορεί α πάρει τις τιές z Να υπολογισθεί η συάρτηση πιθαότητας f Z z P Z z z Ας θεωρήσουε ως επιτυχία τη εκλογή του σπιρτόκουτου που βρίσκεται στη δεξιά τσέπη Παρατηρούε ότι το σπιρτόκουτο στη δεξιά τσέπη θα βρεθεί κεό ότα το άλλο θα περιέχει z σπίρτα α και όο α ο αριθός Χ τω δοκιώ έχρι τη

7 επιτυχία είαι ίσος ε z z Το ίδιο ισχύει και ε τη εαλλαγή του ρόλου τω δύο τσεπώ Εποέως σύφωα ε τη 37 f Z z z z P Z z P Z z z 4 ΥΠΕΡΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ας θεωρήσουε έα πεπερασέο πληθυσό του οποίου τα στοιχεία σύφωα ε κάποιο χαρακτηριστικό κατατάσσοται σε δύο κατηγορίες Έστω ότι έα δείγα συγκεκριέου εγέθους εκλέγεται από το πληθυσό αυτό χωρίς επαάθεση Ο αριθός τω στοιχείω της ιας ή της άλλης κατηγορίας που περιλαβάοται στο δείγα αποτελεί ατικείεο πιθαοθεωρητικής ελέτης Σχετικά θέτουε το ακόλουθο ορισό Ορισός 4 Έστω ότι από ια κάλπη που περιέχει άσπρα και αύρα σφαιρίδια εξάγοται διαδοχικά το έα ετά το άλλο χωρίς επαάθεση σφαιρίδια Στο τυχαίο στοχαστικό αυτό πείραα έστω Χ o αριθός τω άσπρω σφαιριδίω τα οποία εξάγοται Η καταοή της τ Χ καλείται υπεργεωετρική ε παραέτρους και Η συάρτηση πιθαότητας της υπεργεωετρικής καταοής συάγεται στο ακόλουθο θεώρηα Θεώρηα 4 Η συάρτηση πιθαότητας της υπεργεωετρικής καταοής ε παράετρους και δίδεται από τη f P 4 Απόδειξη Ο δειγατικός χώρος Ω περιλαβάει N Ω δειγατικά σηεία όσα και ο αριθός τω -άδω σφαιριδίω που δύαται α εξαχθού Τα δειγατικά αυτά σηεία είαι ισοπίθαα Το εδεχόεο { } περιλαβάει - άδες σφαιριδίω ε άσπρα από τα και αύρα από τα Εποέως σύφωα ε το κλασικό ορισό της πιθαότητας f P Σηειώουε ότι f f { } και σύφωα ε το τύπο του Cach ισχύει 4 f

7 όπως απαιτείται από το ορισό της συάρτησης πιθαότητας Επίσης τα σηεία ε θετική πιθαότητα καθορίζοται από τις αισότητες και είαι οι ακέραιοι ε } min{ } ma{ Στο επόεο θεώρηα συάγοται η έση τιή και η διασπορά της υπεργεω- ετρικής καταοής Θεώρηα 4 Έστω ότι η τυχαία εταβλητή Χ ακολουθεί τη υπεργεωετρική καταοή ε συάρτηση πιθαότητας τη 4 Τότε η έση τιή και η διασπορά αυτής δίδοται από τις V σ 43 Απόδειξη Η έση τιή της τ Χ σύφωα ε το ορισό δίδεται από τη Χρησιοποιώτας τη σχέση!!!!!! και το τύπο 4 του Cach H δεύτερης τάξης παραγοτική ροπή της τ Χ δίδεται από τη ] [ Χρησιοποιώτας τη σχέση!!!!!! και το τύπο 4 του Cach συάγουε τη Εποέως

73 ] [ ] [ V σ Η υπεργεωετρική καταοή δύαται α προσεγγισθεί για εγάλο από τη διωυική καταοή σύφωα ε το επόεο θεώρηα Θεώρηα 43 Έστω ότι η τυχαία εταβλητή Χ έχει τη υπεργεωετρική συάρτηση πιθαότητας 4 ε Α έτσι ώστε lim τότε lim 44 Απόδειξη Σύφωα ε τη υπόθεση lim και επειδή έχουε lim lim Επίσης c lim για σταθερό ως προς αριθό c Εποέως lim lim L lim lim L lim lim L Χρησιοποιώτας τις οριακές αυτές σχέσεις συάγουε τη 44 Παράδειγα 4 Εκτίηση του αριθού τω ψαριώ λίης Felle 968 Aς υποθέσουε ότι σε ια λίη υπάρχει έας άγωστος αριθός ψαριώ Από τη λίη αυτή ψαρεύουε ψάρια τα οποία σηαδεύουε ε ια αεξίτηλη κόκκιη κηλίδα και αφήουε και πάλι ελεύθερα Μετά από ορισέο χρόο ψαρεύουε από τη λίη αυτή ψάρια και παρατηρούε ότι κ από αυτά έχου τη κόκκιη κηλίδα Να υπολογισθεί η τιή του η οποία εγιστοποιεί τη πιθαότητα το δεύτερο δείγα ψαριώ α περιέχει κ σηαδεέα ψάρια κ Παρατηρούε ότι στο στοχαστικό αυτό πείραα ικαοποιούται οι υποθέσεις του υπεργεωετρικού στοχαστικού προτύπου οτέλου και σύφωα ε τη 43 η πιθαότητα δίδεται από τη κ κ κ κ Για τη εγιστοποίηση ως προς της πιθαότητας αυτής σηειώουε ότι το πηλίκο

74 κ κ κ / κ / είαι εγαλύτερο του α / < κ / και ικρότερο του α / > κ / Εποέως η πιθαότητα ως συάρτηση του αυξάει στο διάστηα < /κ φθίει στο διάστηα > /κ και παίρει τη έγιστη τιή της για [/κ] όπου [ ] παριστάει το ακέραιο έρος του Η τιή αυτή του η οποία εγιστοποιεί τη πιθαότητα αποτελεί ια εκτίηση του αριθού τω ψαριώ της λίης κ κ 5 ΚΑΤΑΝΟΜΗ POISSON Ορισός 5 Έστω Χ ια διακριτή τυχαία εταβλητή ε συάρτηση πιθαότητας λ λ f e 5! όπου < λ < Η καταοή της τ Χ καλείται καταοή Poion ε παράετρο λ Σηειώουε ότι f > f { } και χρησιοποιώτας το αάπτυγα της εκθετικής συάρτησης συπεραίουε ότι f e z e σε δυαοσειρά z z e 5! λ λ e! λ e λ όπως απαιτείται από το ορισό της συάρτησης πιθαότητας Η συάρτηση καταοής της τ Χ δίδεται από τη F [ ] e κ όπου [ ] παριστάει το ακέραιο έρος του < < κ λ 53 λ < κ! O Πίακας του παραρτήατος δίδει τη συάρτηση πιθαότητας 5 της καταοής Poion για λ Η καταοή Poion ελετήθηκε από το Γάλλο αθηατικό Simeon Denia Poion 78-84 ως προσεγγιστική καταοή της διωυικής καταοής Σχετικά ο Poion απέδειξη το 837 το ακόλουθο θεώρηα Θεώρηα 5 Έστω ότι η τυχαία εταβλητή Χ έχει τη διωυική καταοή ε συάρτηση πιθαότητας τη 5 Α για το έτσι ώστε λ ή γεικότερα lim λ όπου σταθερή τότε

75 lim e λ λ! 54 Απόδειξη Η συάρτηση πιθαότητας 5 της διωυικής καταοής σύφωα ε τη υπόθεση λ/ δύαται α γραφεί ως εξής Χρησιοποιώτας τις οριακές σχέσεις λ! λ λ lim lim L συάγουε τη 54 λ λ λ lim e lim Παρατήρηση 5 Η προσέγγιση 54 είαι ικαοποιητική για και / Επειδή η πιθαότητα εφάισης εός εδεχοέου επιτυχίας υποτίθεται ικρή θεωρητικά για η καταοή Poion θεωρείται ως καταοή τω σπάιω εδεχοέω Επίσης ααφέρεται και ως όος τω ικρώ αριθώ Σχετικά ε τη έση τιή και τη διασπορά της καταοής Poion αποδεικύουε το ακόλουθο θεώρηα Θεώρηα 5 Έστω ότι η τυχαία εταβλητή Χ έχει τη καταοή Poion ε συάρτηση πιθαότητας τη 5 Τότε η έση τιή και η διασπορά αυτής δίδοται από τις λ σ V λ 55 Απόδειξη Η έση τιή της τ Χ σύφωα ε το ορισό δίδεται από τη e λ λ λe! λ λ! οπότε χρησιοποιώτας τη 5 συάγουε τη πρώτη από τις 55 Η δεύτερης τάξης παραγοτική ροπή της τ Χ δίδεται από τη [ ] e οπότε χρησιοποιώτας τη 5 συπεραίουε ότι Εποέως λ ] λ λ e! [ λ λ χ λ! σ V [ ] [ ] λ λ λ λ Παράδειγα 5 Ας υποθέσουε ότι η παραγωγή εός βιοηχαικού προϊότος γίεται κάτω από στατιστικό έλεγχο ποιότητας έτσι ώστε α πληρούται οι υποθέσεις του στοχαστικού προτύπου οτέλου τω αεξαρτήτω δοκιώ Benolli Μια

76 οάδα του προϊότος αυτού θεωρείται ελαττωατική α δε πληρoί όλες τις καθορισέες προδιαγραφές και η πιθαότητα γι αυτό έστω ότι είαι Να υπολογισθεί η πιθαότητα όπως σε έα κιβώτιο οάδω του προϊότος αυτού υπάρχει ια το πολύ ελαττωατική Έστω Χ ο αριθός τω ελαττωατικώ οάδω του προϊότος στο κιβώτιο τω οάδω Η τυχαία αυτή εταβλητή έχει τη διωυική καταοή ε συάρτηση πιθαότητας P 99 πειδή το είαι εγάλο και το ικρό έτσι ώστε λ είαι ικρότερο του η προσέγγιση αυτής από τη Poion ε P e! είαι ικαοποιητική Χρησιοποιώτας το Πίακα του παραρτήατος παίρουε P P P 887 637 984 Σηειώουε ότι χρησιοποιώτας τη διωυική συάρτηση πιθαότητας παίρουε P P P 88 65 983 Παρατήρηση 5 Στοχαστική αέλιξη διαδικασία Poion Ας θεωρήσουε έα τυχαίο πείραα στο οποίο έα εδεχόεο Α πορεί α εφαίζεται πραγατοποιείται σε διάφορες χροικές στιγές ή σε διάφορα σηεία του χώρου οοδιάστατου διδιάστατου ή τριδιάστατου Για παράδειγα σε έα σταθό βεζίης το εδεχόεο άφιξης αυτοκιήτου πορεί α πραγατοποιηθεί σε οποιαδήποτε χροική στιγή όπως και σε ια πλάκα Peti ε βακτηρίδια το εδεχόεο παρατήρησης ε το ικροσκόπιο σκοτιού σηείου το οποίο σηαίει τη ύπαρξη αποικίας βακτηριδίω πορεί α εφαισθεί σε οποιοδήποτε σηείο αυτής δηλαδή σηείο του επιπέδου Υποθέτουε ότι οι συθήκες του πειράατος παραέου αετάβλητες στο χρόο ή το χώρο και ότι ο αριθός εφαίσεω του Α σε δύο ξέα εταξύ τους χροικά ή χωρικά διαστήατα είαι αεξάρτητα εδεχόεα Επιπλέο υποθέτουε ότι η πιθαότητα όπως το εδεχόεο Α πραγατοποιηθεί ια φορά σε έα ικρό χροικό διάστηα είαι αάλογη του ήκους του εώ η πιθαότητα όπως το εδεχόεο Α πραγατοποιηθεί δύο ή περισσότερες φορές στο ικρό αυτό χροικό διάστηα είαι αελητέα Στο τυχαίο αυτό πείραα ας παραστήσουε ε το αριθό εφαίσεω του Α σε χροικό ή χωρικό διάστηα ήκους t Για δεδοέο t η είαι ια τυχαία εταβλητή που πορεί α πάρει τις τιές εώ ότα το t εταβάλλεται η t t ορίζει ια οικογέεια τυχαίω εταβλητώ η οποία καλείται στοχαστική αέλιξη ή διαδικασία Για το προσδιορισό της συάρτησης πιθαότητας της t χωρίζουε το διάστηα t] σε έα εγάλο αριθό υποδιαστηάτω ήκους t t/ Σε κάθε τέτοιο διάστηα θα έχουε σύφωα ε τις συθήκες του πειράατος είτε ια πραγατοποίηση του Α επιτυχία ε πιθαότητα θ t θt/ θ > είτε καιά πραγατοποίηση του Α αποτυχία ε πιθαότητα t t Η συάρτηση

77 πιθαότητας του αριθού t εφαίσεω του Α στα υποδιαστήατα αεξάρτητες δοκιές είαι η θt P t Επειδή για t το και lim θt η διωυική αυτή συάρτηση πιθαότητας στο όριο γίεται θt θt P t e θ > t > 56! Αξίζει α σηειώσουε ερικά από τα πιο χαρακτηριστικά παραδείγατα φαιοέω που εφαίζοται στη πράξη και ικαοποιού τις συθήκες του πιθαοθεωρητικού οτέλου της καταοής Poion α Μια ραδιεεργός πηγή εκπέπει σωάτια α Ο αριθός τω σωατίω που φθάου σε δεδοέο τήα του χώρου σε χρόο t αποτελεί το πιο γωστό παράδειγα τυχαίας εταβλητής που ακολουθεί τη καταοή Poion Στο περίφηο πείραα τω Rthefod Chadwick και lli 9 παρατηρήθηκε ια ραδιεεργός πηγή για 68 χροικά διαστήατα τω 7 5 δευτερολέπτω Τα παρατηρηθέτα αποτελέσατα βρέθηκα πολύ κοτά στα ατίστοιχα θεωρητικά που δίδει η καταοή Poion ε λ 387 β Είαι γωστό το πρόβληα τω λαθασέω τηλεφωικώ συδέσεω όπου ατί του αριθού που έχει σχηατισθεί στο κατρά καλείται άλλος αριθός Έχει πειραατικά παρατηρηθεί ότι ο αριθός τω λαθασέω τηλεφωικώ συδέσεω ακολουθεί τη καταοή Poion Επίσης ο αριθός τω τηλεφωικώ κλήσεω που φθάου σε έα τηλεφωικό κέτρο στη διάρκεια ιας χροικής περιόδου ακολουθεί τη καταοή Poion γ Ο αριθός τω τροχαίω ατυχηάτω σε ια πόλη ή σε κάποιο τήα του οδικού δικτύου στη διάρκεια ιας χροικής περιόδου ηέρα ήας χρόος κλπ ακολουθεί τη καταοή Poion Το οτέλο όως αυτό δε πορεί α εφαροσθεί για τη περίπτωση του αριθού τω αυτοκιήτω που συγκρούοται γιατί σε ερικά δυστυχήατα επλέκοται περισσότερα από έα αυτοκίητα δ Ο αριθός τω επιβατώ ιας αεροπορικής πτήσης που δε εφαίζοται τη ώρα της ααχώρησης εώ έχου κρατήσει θέσεις Με αυτό υπόψη οι αεροπορικές εταιρείες έχου σε ααοή έα ικρό κατάλογο επιβατώ από το οποίο και συπληρώου τις κεές θέσεις του αεροσκάφους ε Κατά το βοβαρδισό εός στόχου οι βόβες πέφτου συήθως σε διάφορα σηεία κοτά στο στόχο Ο αριθός τω βοβώ που πέφτου σε επιφάεια t τετραγωικώ έτρω γύρω από το στόχο ακολουθεί τη καταοή Poion Αυτό έχει αποδειχθεί και από τα στατιστικά στοιχεία του βοβαρδισού του Λοδίου ε ιπτάεες βόβες στη διάρκεια του δευτέρου παγκοσίου πολέου στ Μια πλάκα Peti ε αποικίες βακτηριδίω οι οποίες ε το ικροσκόπιο είαι ορατές ως σκοτειές κηλίδες χωρίζεται σε ικρά τετραγωίδια Ο αριθός τω βακτηριδίω σε επιφάεια t τετραγωιδίω ακολουθεί τη καταοή Poion Εκτός από τα παραδείγατα αυτά υπάρχου και άλλα φαιόεα ή πειράατα ίσως λιγότερο γωστά στα οποία πορεί α εφαροσθεί η καταοή Poion Στη συέχεια θα εξετάσουε ερικά αριθητικά παραδείγατα εφαρογής της καταοής Poion

78 Παράδειγα 5 Σε ια συγκεκριέη αεροπορική πτήση που εξυπηρετείται από αεροπλάο 8 θέσεω έχει παρατηρηθεί ότι 4 επιβάτες κατά έσο όρο δε εφαίζοται κατά τη ααχώρηση Ποια είαι η πιθαότητα άτοο που βρίσκεται α στη δεύτερη θέση και β στη πέπτη θέση του καταλόγου ααοής α ταξιδεύσει; Ο αριθός Χ τω επιβατώ που δε εφαίζοται κατά τη ααχώρηση ακολουθεί τη καταοή Poion ε συάρτηση πιθαότητας P 4 4 e! Εποέως χρησιοποιώτας το Πίακα του παραρτήατος παίρουε για τη περίπτωση α P P P 83 733 984 που σηαίει ότι είαι σχεδό βέβαιο ότι το άτοο θα ταξιδέψει Για τη περίπτωση β παίρουε P 5 4 P 83 733 465 954 954 37 που σηαίει ότι υπάρχει εγάλη πιθαότητα το άτοο α ταξιδέψει Παράδειγα 53 Έχει παρατηρηθεί ότι 3 άτοα το ήα κατά έσο όρο πεθαίου στη Αθήα από ια σπάια ασθέεια Να υπολογισθού οι πιθαότητες: α α υπάρξου το πολύ θάατοι από τη ασθέεια αυτή σε έα ήα β α υπάρξου το πολύ 4 θάατοι από τη ασθέεια αυτή σε χροικό διάστηα ηώ γ α υπάρξου τουλάχιστο ήες ε το πολύ θαάτους στο επόεο τρίηο Ο αριθός t τω θαάτω από τη ασθέεια αυτή σε διάστηα t ηώ ακολουθεί τη καταοή Poion ε P t 3t 3t e! Εποέως χρησιοποιώτας το Πίακα του παραρτήατος παίρουε α και β P P 3 3 e 498 494 4 43! 6 4 6 4 e 5 49 446 89 339 85! Ο αριθός Υ τω ηώ ε το πολύ θαάτους ακολουθεί τη διωυική καταοή ε και έτσι γ P Y 3 3 43 5768 3 3 3 3 P Y 43 5768 43 5768 3

79 6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Έστω ότι δύο διακεκριέοι κύβοι ρίχοται φορές Να προσδιορισθεί η συάρτηση πιθαότητας του αριθού Χ τω ρίψεω στις οποίες ο αριθός του πρώτου κύβου υπερβαίει το αριθό του δευτέρου κύβου Έστω ότι σε ρίψεις εός η αερόληπτου οίσατος η πιθαότητα α εφαισθεί 5 φορές κεφαλή είαι διπλάσια της πιθαότητας α εφαισθεί 4 φορές κεφαλή Να υπολογισθεί η πιθαότητα σε 5 ρίψεις του οίσατος α εφαισθεί ια τουλάχιστο φορά κεφαλή 3 Έστω ότι η πιθαότητα επιτυχούς βολής κατά στόχου είαι 3 Να υπολογισθεί ο αριθός τω βολώ που απαιτούται έτσι ώστε η πιθαότητα α κτυπηθεί ο στόχος τουλάχιστο ια φορά α είαι εγαλύτερη ή ίση του 9 4 Έστω ότι έα σωάτιο υπό τη επίδραση δυάεω κιείται σε ευθεία έα βήα δεξιά ε πιθαότητα ή έα βήα αριστερά ε πιθαότητα Υποθέτουε ότι τα διάφορα βήατα είαι αεξάρτητα και ότι το σωάτιο βρίσκεται αρχικά στη θέση Α είαι η θέση του σωατίου ετά βήατα δείξετε ότι α η τυχαία εταβλητή Y / ακολουθεί τη διωυική καταοή ε παραέτρους και β v V 4 5 Έα χαλύβδιο έλασα λυγίζεται πολλές φορές έχρις ότου κοπεί Η πιθαότητα α κοπεί σε οποιαδήποτε λύγιση είαι σταθερή και ίση ε Να υπολογισθού α η πιθαότητα α κοπεί το έλασα έχρι τη τρίτη λύγιση και β ο έσος αριθός τω λυγίσεω που απαιτούται για α κοπεί το έλασα 6 Έστω ότι η πιθαότητα επιτυχούς βολής κατά στόχου είαι 9 Να υπολογισθού α η πιθαότητα α απαιτηθού 5 το πολύ βολές για α κτυπηθεί ο στόχος και β ο έσος αριθός τω βολώ που απαιτούται για α κτυπηθεί ο στόχος 7 Ας θεωρήσουε ια ακολουθία αεξαρτήτω δοκιώ Benolli ε πιθαότητα επιτυχίας / και έστω Χ ο αριθός αριθός τω δοκιώ πρι από τη εφάιση για πρώτη φορά δύο συεχόεω επιτυχιώ είξετε ότι η συάρτηση πιθαότητας της τυχαίας εταβλητής Χ δίδεται από τη [ / ] κ f P κ κ 8 Έστω ότι έα κίβδηλο όισα ρίχεται διαδοχικά έχρις ότου εφαισθεί για - οστή φορά το αποτέλεσα της πρώτης ρίψης Έστω Χ ο αριθός τω ρίψεω που απαιτούται Α είαι η πιθαότητα όπως σε ια ρίψη του οίσατος η όψη γράατα α υπολογισθού α η συάρτηση πιθαότητας f P και β η έση τιή και η διασπορά V 9 Έστω ότι δύο παίκτες α και β αγωίζοται σε ια σειρά παιγιδιώ και ικητής ααδεικύεται εκείος που κερδίζει πρώτος παιγίδια και ας υποθέσουε ότι η πιθαότητα σε οποιοδήποτε παιγίδι α κερδίσει ο α είαι και ο β είαι Α Ζ είαι ο αριθός τω ικώ που ο ηττηέος υπολείπεται του ικητή κατά τη

8 λήξη της σειράς τω παιγιδιώ α υπολογισθεί η συάρτηση πιθαότητας P f Ας θεωρήσουε ια ακολουθία αεξαρτήτω δοκιώ Benolli ε πιθαότητα επιτυχίας Να υπολογισθού οι πιθαότητες α α πραγατοποιηθεί άρτιος αριθός επιτυχιώ σε δοκιές και β α απαιτηθεί περιττός αριθός δοκιώ έχρι τη οστή επιτυχία Από τους 5 εργαζόεους σε ια επιχείρηση 5 είαι γυαίκες Έστω ότι για κάποια συγκεκριέη εργασία επιλέγοται τυχαία 5 εργαζόεοι Να υπολογισθεί η πιθαότητα όπως εταξύ τω 5 οι είαι γυαίκες χρησιοποιώτας α τη ακριβή καταοή του αριθού Χ τω γυαικώ εταξύ τω 5 και β κατάλληλη προσέγγιση της καταοής αυτής Από ια κληρωτίδα που περιέχει κλήρους αριθηέους από το έχρι το εξάγοται διαδοχικά ο έας ετά το άλλο χωρίς επαάθεση κ κλήροι Έστω Χ ο εγαλύτερος αριθός που εξάγεται Να υπολογισθού α η συάρτηση πιθαότητας f P και β η έση τιή και η διασπορά V 3 Έστω ότι έα βιβλίο 35 σελίδω περιέχει 4 τυπογραφικά λάθη Α τα λάθη αυτά είαι τυχαία καταεηέα στο βιβλίο α υπολογισθού οι πιθαότητες α όπως ια σελίδα που εκλέγεται τυχαία περιέχει λάθη και β όπως σελίδες που εκλέγοται τυχαία όο 3 δε έχου λάθος 4 Μια ασφαλιστική εταιρεία έχει διαπιστώσει ότι % του πληθυσού επλέκεται σε έα τουλάχιστο δυστύχηα κάθε χρόο Α η εταιρεία αυτή έχει ασφαλίσει 5 άτοα α υπολογισθού οι πιθαότητες α επλακού σε δυστύχηα α το πολύ 3 πελάτες της το επόεο χρόο β το πολύ σε κάθε έα από τα επόεα δύο χρόια και γ το πολύ 4 στα επόεα δύο χρόια 5 Έστω ότι ο αριθός τω θαάτω σε οσοκοείο τω Αθηώ σε έα ήα ακολουθεί τη καταοή Poion Α η πιθαότητα α συβεί το πολύ έας θάατος είαι τετραπλάσια της πιθαότητας α συβού δύο ακριβώς θάατοι σε έα ήα α υπολογισθού οι πιθαότητες α α η συβεί θάατος σε έα ήα και β α συβού το πολύ δύο θάατοι σε δύο ήες