Υπολογισμός παραστάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : 4 6 6 4 δ) ε) 4 6 4. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : δ) ε) 4 6 γ) 4 γ) 6. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών: 75 5 γ) 5 δ) 95 ε) 65 4. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών: 465 55 γ) 465 δ) 555 ε) 795 5. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : 5 75 5 75 65 0 65 0 γ) 5 5 8 8 8 8 δ) 7 7 90 90 90 90 6. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : 6 6 6 6 6 6 γ) 8 8 8 8 δ) ημ0 συν + συν0 ημ 7. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : 4 4 9 9 9 9
γ) 7 7 δ) ημ40 συν5 + συν40 ημ5 6 6 6 6 8. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : 80 50 80 50 9. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : 5 80 5 80 50 85 50 85 0 0. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : 5 5 5 5. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : 4 8 4 8 9 9 9 9 4 7 4 7 8 8 8 8 γ) 7 7 6 6 6 6 δ) 5 5 7 7 7 7. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : 5 55 5 55 8 7 8 7 γ) 5 6 6 5 δ) 8 7 8 7. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : 40 85 5 50 8 7 7 6 γ) 5 6 84 9 δ) 5 8 5 8 40 0 40 0 Απλοποίηση παραστάσεων 4. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις : A=συν7 συν6 ημ7 ημ6 B= 4 4
γ) Γ= ( ) δ) Δ= ημ(α + ημβ + συν(α + συνβ ε) Ε= 4 4 4 4 5. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις : Α= συν4 συν(- ) - ημ4 ημ(- ) Β= γ) Γ= 6 6 δ) Δ= ημ(α + ημβ + συν(α + συνβ ε) Ε= 4 4 4 4 6. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις : 5 5 6 6 6 Β= 6 γ) Γ= δ) Δ= 6 7. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις: Α= 6 Β= 9 9 6 9 9 ( ) 6 6 γ) Γ= δ) Δ= ( ) 6 6 8. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις: 4 5 5 Α= Β= 9 9 4 5 5 9 9
γ) Γ= 5 6 6 5 6 6 δ) Δ= 6 6 6 6 9. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις : ημα συνα - συνα ημα ημ(α + 45 ) συν(α - 45 ) - συν(α + 45 ) ημ(α - 45 ) γ) ημ(α + ημβ + συν(α + συνβ δ) συν(α + συν(α - - ημ(α + ημ(α - ε) συνα ημα εφα,με συνα 0 στ), με συνα 0 ζ) Υπολογισμός τριγωνομετρικών αριθμών αθροίσματος και διαφοράς γωνιών 0. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α-β αν : i) ημα = 4, ημβ = 5, 0 < α < και < β < π ii) συνα = 5, ημβ = 5, 0 < α < και iii) ημα = 5 4, συνβ =, 0 < α < 5 και π < β <. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α+β αν : i) ημα = 4 5, εφβ = 4, < α <π και ii) ημα =, εφβ =, 0 < α < και 4 iii) εφα = 4 4, ημβ =, 0 < α < και π < β < 5. Να υπολογίσετε το συν(α + και το συν(α - αν : i) ημα = 5, ημβ = 8 7, 0 < α < και < β < π ii) ημ(90 - = 4 5, ημ(90 - = 5 7, 0 < α < και < β < π Αν ημα = 5, ημβ = 7, 0 < α < και π < β <, να υπολογίσετε: 5 i) το ημ(α + ii) το συν(α - iii) την εφ(α - 4
. Να υπολογίσετε: την εφ(45 +, αν < α < π και συνα = 5, το ημ(45 -, αν π < α < και ημα =, 4 γ) το συν(0 -, αν εφα = 4 και π < α <. Αποδείξεις τριγωνομετρικών ταυτοτήτων 4. Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες: ημ( - π) =- ημ συν( - π) = - συν γ) συν( + y) συν( - y) - συν συν y- ημ χ ημ y δ) ημ( + y) ημ( - y) = ημ συν y - συν ημ y ε) ημ(0 + = ημα + συνα στ) ημ(45 - = συνα - ημα ζ) η) 4 4 4 5. Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) γ) ( ) 6. Να αποδείξετε ότι: 4 γ) 7. Να αποδείξετε ότι: 6 6 4 7 γ) 6 6 4 4 δ) 9 ( y) ( y) δ) y y 8. Να αποδείξετε ότι: y y (y ) 6 6 5
y y ( y) 4 4 4 4 4 4 γ) 5 4 4 9. Να αποδείξετε ότι: συν(45 -) - ημ(45 + ) = 0 συν(45 +) - ημ(45 - ) = 0 γ) (συνα - ημ(συνβ - ημ = συν(α - - ημ(α + δ) (συνα + ημ(συνβ - ημ = συν(α + + ημ(α - ( ) ε) ( ) ( ) ( ) στ) ( ) ( ) ( ) ( ) η) ( ) ( ) 0. Να αποδείξετε ότι: συνα - συν(α + 60 ) + συν(α + ) = 0 ημα + ημ(α + ) + ημ(α + 40 ) = 0 γ) συνα + συν(α + ) + συν(α + 40 ) = 0 δ) συν68 συν78 + συν συν - συν = 0 ε) ημ0 - ημ47 ημ + ημ4 ημ77 =. Να αποδείξετε ότι: ημ75 - ημ5 = ημ45 συν5 + συν5 = συν5 γ) ημ5 + εφ0 συν 5 = 6 δ) ημ0 + ημ40 - ημ0 = ημ40. Να υπολογίσετε τα παρακάτω: i) συν(α - β + γ) ii) ημ(α + β + γ) iii) ημ(α - β - γ) iv) συν(α + β γ) Για τις επιτρεπόμενες τιμές των γωνιών α, β και γ να αποδείξετε ότι ( ). Για τις επιτρεπόμενες τιμές των α, β, α + β και α- β να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) γ) ( ) ( ) δ) εφ(α + - εφα - εφβ = εφα εφβ εφ(α + 6
ε) ( a ) (45 ) (45 ) 4. Για τις επιτρεπόμενες τιμές των α, β, α + β και α- β να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) γ) ( ) ( ) δ) ( ) ( ) 5. Για τις επιτρεπόμενες τιμές των α, β και α + β να αποδείξετε ότι: ( a ) (45 ) (45 ) ( ) ( ) ( ) γ) σφ5 ο -εφ5 = εφ60 6. Να αποδείξετε ότι: ημ (0 + - ημ (0 - = ημα συνα ημ (0 + + ημ (0 - - ημ α = γ) συν (0 + + συν (0 - + ημ α = δ) συν α + συν ( + + συν ( - = 7. Να αποδείξετε ότι: ημ(α + 45 ) ημ(α - 45 ) = ημ α - συν α συν(α + 45 ) συν(45 - = συν α - ημ α γ) ημ(α + 45 ) συν(β - 45 ) = συν(α - + ημ(α + 8. Να αποδείξετε ότι: (συνα + συν + (ημα + ημ = [ + συν(α - ] (συνα + ημ + (ημα - συν = [ - ημ(α - ] 9. Να αποδείξετε ότι: ημ (α- + ημ(α - συνα ημβ + ημ β = ημ α συν (α - - συν(α - συνα συνβ + συν β = ημ α γ) ημ5 - ημ8 συν - συν8 ημ = ημ συν συν5 Τριγωνομετρικές ταυτότητες υπό συνθήκη 40. Αν ημ(α + = ημ(α -, τότε για τις επιτρεπόμενες τιμές των α και β να αποδείξετε ότι εφα = 5εφβ. 7
4. Αν συν(α + = 0, να αποδείξετε ότι ημ(α + = ημα. 4. Αν ημ( + y) = 4 και ημ( - y) =, τότε για τις επιτρεπόμενες τιμές των και y να αποδείξετε ότι εφ =5εφy. 4. Αν,να αποδείξετε ότι: ( y) ( y) y 44. Αν ( y) ( y),τότε να αποδείξετε για τις επιτρεπόμενες τιμές των,y,-y και +y ότι : y 45. Να αποδείξετε ότι: αν ημβ = ημ(α +, τότε για τις επιτρεπόμενες τιμές των,y και + y ισχύει εφ(α + = εφα, αν ημ(α + = ημβ, τότε για τις επιτρεπόμενες τιμές των α, β και α + β ισχύει εφ (α + = εφα. 46. Αν α + β = 4, να αποδείξετε ότι: ( +εφ( + εφ = ( - σφ( - σφ = 47. Αν α + β + γ =,να αποδείξετε ότι: εφα εφβ + εφβ εφγ + εφγ εφα = εφ α + εφ β + εφ γ 48. Έστω, y (0, ) να αποδείξετε ότι: αν εφ = και εφy =, με κ > 0, τότε χ + y =, 4 αν εφ =, εφy = και < κ < 4, τότε - y =. 4 6 49. Να αποδείξετε ότι: αν α + β = γ, τότε συν α + συν β + συν γ - συνα συνβ συνγ =, εφ(α- + εφ(β- γ) + εφ(γ- = εφ(α- εφ(β- γ) εφ(γ -. 50. Αν εφα = και εφβ = +,τότε για τις επιτρεπόμενες τιμές των γωνιών α και β και για κάθε R: να δικαιολογήσετε γιατί β > α, να υπολογίσετε τη σφ(β- ως συνάρτηση του, γ) να βρείτε σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας β - α. 5. Αν α + β + γ = 80 και σφθ = σφα + σφβ + σφγ με 0 < θ < 90, να αποδείξετε ότι: ( ) ημ θ = ημ(α - θ) ημ(β - θ) ημ(γ - θ) 8
5. Αν εφα = εφβ, να αποδείξετε ότι για τις επιτρεπόμενες τιμές των γωνιών α, β και α - β ισχύει εφ (α - 4. 5. Να αποδείξετε ότι για κάθε α και β ισχύει : i) συν(α + συν(α - συν α ii) ημ(α + ημ(α - ημ α 54. Να αποδείξετε ότι για κάθε α και β ισχύει : 4 Προσδιορισμός είδους τριγώνου 55. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει :,να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές με βάση την πλευρά ΒΓ. 56. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει :,να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο. 57. Να εξετάσετε αν υπάρχει τρίγωνο στο οποίο ισχύει :. 58. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει : ορθογώνιο με ορθή την γωνία ˆ.,να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι 59. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει : ορθογώνιο με ορθή την γωνία ˆ.,να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ( ) 60. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει : είναι ορθογώνιο με ορθή την γωνία ˆ.,να αποδείξετε ότι το τρίγωνο (A ) 6. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει : είναι ορθογώνιο με ορθή την γωνία ˆ.,να αποδείξετε ότι το τρίγωνο 6. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει : είναι ισοσκελές.,να αποδείξετε ότι το τρίγωνο 6. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει : είναι ισοσκελές.,να αποδείξετε ότι το τρίγωνο 9
Υπολογισμός γωνιών 64. Σ ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι συνα = 9 και συνβ = 4. Να υπολογίσετε το συνημίτονο της 5 εξωτερικής γωνίας Γ του τριγώνου. 65. Δίνονται γωνίες, y 0, για τις οποίες ισχύει : ( ) 4 y y. Να αποδείξετε ότι y 66. Δίνονται γωνίες, y 0, για τις οποίες ισχύει : ( ) 4 y y. Να αποδείξετε ότι y 6 67. Δίνονται γωνίες, y 0, για τις οποίες ισχύει : ( )( y ) y Να αποδείξετε ότι y 6 68. Δίνονται γωνίες, y 0, για τις οποίες ισχύει : ( )( ) y y. Να αποδείξετε ότι y 4 69. Δίνονται γωνίες, y 0,,με y, για τις οποίες ισχύει : y y Να αποδείξετε ότι y.. 70. Δίνονται γωνίες, y 0,,τέτοιες ώστε οι, y να είναι ρίζες της εξίσωσης 6 0.Να αποδείξετε ότι y. 7. Δίνονται γωνίες, y 0,,τέτοιες ώστε οι, y να είναι ρίζες της εξίσωσης 0.Να αποδείξετε ότι y. 4 Αποδείξεις τριγωνομετρικών ταυτοτήτων με γωνίες τριγώνου 7. Για τις γωνίες Α, Β και Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι: ΒΓ Α ( ) Α ( ) Β Γ
γ) ( ) Γ ( ) 7. Για τις γωνίες Α, Β και Γ ενός μη ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι: ( ) φβ ( ) ( ) φβ ( ) 74. Για τις γωνίες Α, Β και Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι: Α Γ ( ) ( ) σφγ, ˆ 90 Α Γ ( ) ( ) σφα σφβ + σφβ σφγ + σφγ σφα = Α Β Γ γ) ΒΓ Α Γ Α Β ( ) Γ ( ) ( ) 0 δ) ε) σφα+σφ σφβ+σφγ σφγ+σφα εφα+εφ εφβ+εφγ εφγ+εφα 75. Για τις γωνίες Α, Β και Γ ενός μη ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι: εφεφ εφ εφ εφεφ Α Β Γ Τριγωνομετρικές εξισώσεις 76. Να λύσετε τις εξισώσεις : γ) 6 77. Να λύσετε τις εξισώσεις : 6 δ) 4 4 78. Να λύσετε τις εξισώσεις : 4 6
γ) εφ( + = 7, όταν εφα = 4 79. Να λύσετε την εξίσωση : 0 στο διάστημα (0,π) 4 80. Να λύσετε τις εξισώσεις : 6 8. Να λύσετε τις εξισώσεις : 6 6 6 4 8. Να λύσετε την εξίσωση : στο διάστημα (0,π) 4 4 8. Να αποδείξετε ότι. 4 4 Να λύσετε την εξίσωση. 4 4 84. Αν ισχύει :εφα=,να λύσετε την εξίσωση : ( ) 85. Αν ισχύει:,να λύσετε την εξίσωση : ( ) ( ) 86. Αν ισχύει :εφα=-,να λύσετε την εξίσωση : ( ) ( ) 0 5 87. Αν ισχύει:,να λύσετε την εξίσωση : 9 ( ) ( ) 4 88. Δίνεται γωνία, έτσι ώστε 5 5 Να βρείτε το συνα και την εφα Να λύσετε την εξίσωση εφ(+=. 89. Να λύσετε τις εξισώσεις : 6 6 6 6 6
90. Να αποδείξετε ότι : ( ) ( ) Να αποδείξετε ότι : 6 4 5 γ) Να λύσετε την εξίσωση : 6 4 5 0 9. Να αποδείξετε ότι : ( ) ( ) Να αποδείξετε ότι : 8 4 6 γ) Να λύσετε την εξίσωση : 8 4 8 0 9. Να αποδείξετε ότι : ( ) ( ) Να αποδείξετε ότι : 6 4 9. Να αποδείξετε ότι : ( ) ( ) Να αποδείξετε ότι : 8 6 γ) Να αποδείξετε ότι : 7 5 4 Συνδυαστικά θέματα 94. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και η εξίσωση 04 0 0 (). Αν οι εφα και εφβ είναι ρίζες της εξίσωσης (),να βρείτε τη γωνία ˆ. 95. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και η εξίσωση 67 06 0 (). Αν οι εφα και εφβ είναι ρίζες της εξίσωσης (),να βρείτε τη γωνία ˆ. 96. Αν σε ένα τρίγωνο ισχύει να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Α 97. Αν σε ένα τρίγωνο ισχύει να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Γ 98. Να λύσετε την εξίσωση 5 5 99. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, για το οποίο ισχύει: και 5 Να υπολογίσετε τα: i) ( ) ii) ( ) iii) ( ) iv) Να αποδείξετε ότι : i) 9 ii) 6 γ) Να δείξετε ότι ˆ ˆ
0. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ,με ˆ για το οποίο ισχύει: και Να υπολογίσετε τα: i) ( ) ii) ( ) iii) ( ) iv) Να αποδείξετε ότι : i) ii) γ) Να βρείτε την εφγ και τη γωνία ˆ. Δίνονται τρεις γωνίες α, β, γ έτσι, ώστε α 0, β 0, γ 0, α + β +γ = π και Να αποδείξετε ότι: i) ημ(β+γ) = ii) συν(β + γ) = iii) εφ(β + γ) = Να υπολογίσετε τα γινόμενα: i) συνβ συνγ ii) εφβ εφγ γ) Αν είναι 0 < γ <, να υπολογίσετε τη γωνία β και την εφγ.,. Δίνεται η παράσταση f ( ). 4 4 Να αποδείξετε ότι f ( ). Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης f (χ), γ) Να βρείτε για ποια τιμή του, στο διάστημα (0, π), η f () παίρνει την ελάχιστη τιμή της.. Δίνονται οι συναρτήσεις f() = ημ και g() = f f ( ) Να γράψετε τη συνάρτηση g στη μορφή g() = ρσυν( + φ), όπου ρ, φ πραγματικοί και ρ > 0. Να λύσετε την εξίσωση g( ) f ( ) f g 6 6 4. Δίνεται η συνάρτηση f () = συν- ημ - συν ημ Να γράψετε τη συνάρτηση f στη μορφή f () = ρσυν( +φ), όπου ρ, φ πραγματικοί και ρ > 0. Να λύσετε την εξίσωση f () - f = 0 στο διάστημα,. 4
γ) Να αποδείξετε ότι f f 4 6 6 5. Έστω α και β δύο τόξα στο διάστημα 0, τέτοια, ώστε α + β = 5. 6 Θεωρούμε την παράσταση Π = ημα + συνβ. Να αποδείξετε ότι Π =. 6 Να προσδιορίσετε την τιμή του α, ώστε η παράσταση Π να παίρνει τη μέγιστη τιμή της. γ) Για την τιμή του α που βρήκατε στο ερώτημα ( να υπολογίσετε το β. 6. Δίνεται η συνάρτηση f () = συν - συνα συν( + όπου πραγματικός αριθμός, 0 < α < και συνα 0. Να αποδείξετε ότι f () = ημα ημ( +. Αν f () + f ( - = 0, να αποδείξετε ότι = κπ -, κ Ζ. γ) Αν f = ημα, να υπολογίσετε τον αριθμό α. δ) Για α =, να αποδείξετε ότι f ( ) f ( ) 6 5