ΟΔΕΥΟΝΤΑ ΚΥΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΟΜΑΔΕΣ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΟΔΕΥΟΝΤΑ ΚΥΜΑΤΑ ΚΥΜΑΤΟΜΑΔΕΣ Σγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778. Κματοσνάρτηση οδεύοντος κύματος Μια κματική διαταραχή διαδίδεται από ένα σημείο το χώρο σε κάποιο άλλο, χρησιμοποιώντας ως φορέα το μέσο στο οποίο παρατηρείται, χωρίς όμως να μετακινείται το ίδιο το μέσο. Ατή είναι η βάση της κματικής κίνησης. Για την επίδειξη της κματικής κίνησης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια χορδή, η οποία διεγείρεται στο ένα άκρο της από μια αρμονική εξωτερική δύναμη. Αν η χορδή έχει άπειρο μήκος τότε τα κύματα πο διαδίδονται στο μέσο ατό, χωρίς να ανακλώνται ποθενά ονομάζονται οδεύοντα κύματα. Αντίθετα αν η χορδή έχει σταθερά και τα δύο άκρα, τότε τα οδεύοντα κύματα πο διαδίδονται πάνω στη χορδή θα ανακλώνται και στα δύο άκρα και επομένως η ταλάντωση της χορδής προκύπτει από το σνδασμό τέτοιων κμάτων, πο κινούνται εκατέρωθεν κατά μήκος της χορδής και θα σχηματίζονται στάσιμα κύματα. Κύματα σε χορδές είναι εγκάρσια κύματα γιατί οι μετατοπίσεις ή ταλαντώσεις το μέσο είναι κάθετες στη διεύθνση διάδοσης το κύματος. Αντίθετα όταν οι ταλαντώσεις το μέσο είναι παράλληλες με τη διεύθνση διάδοσης το κύματος, τα κύματα λέγονται διαμήκη (π.χ. τα ηχητικά κύματα). Έστω μια χορδή απείρο μήκος και στο άκρο της (x=0) ασκείται μια αρμονική εξωτερική δύναμη F( Fο sin ωt. Η εξίσωση πο περιγράφει την κίνηση της χορδής είναι ανεξάρτητη από το μήκος της και από τον τρόπο με τον οποίο διεγείρεται και είναι η γνωστή κματική εξίσωση (-): y( ρ y( x T t (5-) Επειδή όλα τα σημεία της χορδής πρέπει να εκτελούν εξαναγκασμένη ταλάντωση με σχνότητα ω, αν το πλάτος της ταλάντωσης στο άκρο x=0 της χορδής είναι Α, τότε η κίνηση εκεί (αφού δεν πάρχον τριβές) πρέπει να γίνεται σε φάση με τη διεγείροσα δύναμη και να περιγράφεται από τη σχέση: y( 0, t ) Asin ω (5-) ο t ο όπο y 0, t ) είναι η τιμή της κματοσνάρτησης y( στο σημείο x=0 σε κάθε χρονική ( ο στιγμή t ο. Η εξαναγκασμένη ταλάντωση πο προκαλείται στο άκρο της χορδής από την εξωτερική δύναμη τη χρονική στιγμή t ο, διαδίδεται κατά μήκος της και φτάνει, έχοντας το ίδιο σχήμα εφόσον δεν πάρχει απόσβεση, στο σημείο x σε κάποια μεταγενέστερη χρονική στιγμή t. Δηλαδή πρέπει να ισχύει: y( 0, t ο ) y( ( 5) y( Asin ωt ο (5-3) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Η απόσταση x διανύεται από το κύμα σε χρόνο Δt=t-to. Αν η ταχύτητα με την οποία διαδίδεται το κύμα είναι τότε θα ισχύει: t t ο x t ο t x Άρα η (5-3) γίνεται: ω y( A sin ω( t x / ) y( A sin ωt x (5-4) Αν πολογιστούν οι δεύτερες παράγωγοι της y( ως προς x και t και αντικατασταθούν στην κματική εξίσωση (5-) προκύπτει: T ρ (5-5) Δηλαδή η ταχύτητα διάδοσης το αρμονικού κύματος είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα το λόγο T/ρ της τάσης της χορδής προς τη γραμμική της πκνότητα, όπως έχει αποδειχθεί και στην παράγραφο.3. για τα στάσιμα κύματα χορδής μήκος L. Χρησιμοποιώντας τον ορισμό το μήκος κύματος, ως το μήκος εκείνο στο οποίο η φάση το κύματος μεταβάλλεται κατά π και από την θεμελιώδη κματική εξίσωση προκύπτει: λν λ ν λ π πν λ π ω π λ ω k όπο k π / λ ω/ ο κματάριθμος. Σνεπώς η κματοσνάρτηση (5-4) ενός αρμονικού κύματος παίρνει τελικά τη μορφή: y( Asin( ωt kx) (5-6) ω Το μέγεθος φ( ωt kx είναι η φάση το κύματος. Παρατηρείται ότι σε ένα σταθερό σημείο η φάση αξάνει κατά π μέσα σε χρόνο μιας περιόδο, δηλαδή είναι αύξοσα σνάρτηση το χρόνο σε κάποια σταθερή θέση. Επίσης σε κάποια σγκεκριμένη χρονική στιγμή, η φάση κατά τη θετική διεύθνση x ελαττώνεται κατά π σε μια απόσταση ίση με το μήκος κύματος, δηλαδή είναι φθίνοσα σνάρτηση της απόστασης από την πηγή της διεγείροσας δύναμης για σταθερό χρόνο. Σνεπώς η φάση στο σημείο x σε κάποια χρονική στιγμή t είναι ίση με τη φάση στο σημείο x=0 σε κάποια προγενέστερη χρονική στιγμή t-x/. Έτσι αν παρατηρείται π.χ. η κορφή ενός κύματος καθώς ατό διαδίδεται στο χώρο, παρατηρείται οσιαστικά ένα σημείο σταθερής φάσης κατά τη μετατόπισή το στο χώρο. Αλλά επειδή η φάση εκεί είναι σταθερή, τότε το διαφορικό της σνάρτησης φ θα πρέπει να είναι ίσο με μηδέν. Δηλαδή: dφ ωdt kdx 0 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Προφανώς η σχέση ατή ορίζει την ταχύτητα με την οποία μετατοπίζεται στο χώρο το σημείο σταθερής φάσης πο παρατηρείται, οπότε: ph dx ω (5-7) dt k Δηλαδή ο λόγος ω/k είναι ίσος με την ταχύτητα διάδοσης το αρμονικού κύματος πο περιγράφει η σχέση (5-6) και ονομάζεται φασική ταχύτητα, αφού σνδάζεται με την ταχύτητα μετατόπισης στο χώρο ενός σημείο σταθερής φάσης. Σημείωση : Μόνο στην περίπτωση πο μια διαταραχή μπορεί να παρασταθεί σαν ένα αρμονικό κύμα, η φασική ταχύτητα τατίζεται με την ταχύτητα διάδοσης της διαταραχής ατής στο χώρο. Αν η διαταραχή είναι μη αρμονική (π.χ. ένας παλμός), τότε ορίζεται σαν ταχύτητα διάδοσής της η λεγόμενη ταχύτητα ομάδας, όπως θα παροσιαστεί στη σνέχεια. Παρατηρήσεις : ) Αν το κύμα διαδίδεται κατά την αρνητική φορά το άξονα επειδή η φάση θα πρέπει, για την ίδια χρονική στιγμή t, να μειώνεται όσο πιο πολύ απομακρύνεται από το σημείο εφαρμογής της εξωτερικής δύναμης, η κματοσνάρτηση πο περιγράφει στην περίπτωση ατή το οδεύον κύμα, θα είναι: y( A sin( ωt kx) (5-8) Ισοδύναμες κματοσναρτήσεις των (5-6) ή (5-8) είναι οι: y( Asin( kx - ω ή y( Asin( kx ω Η γραφική αναπαράσταση της κματοσνάρτησης ενός ημιτονοειδούς αρμονικού κύματος αποδίδεται στο ακόλοθο σχήμα. y A -A λ x Σχήμα 5. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Η μέγιστη τιμή το y λέγεται πλάτος Α το κύματος, ενώ η απόσταση μεταξύ δύο σνεχόμενων σημείων με την ίδια φάση είναι το μήκος κύματος λ. Τέλος ο χρόνος πο απαιτείται για να διαδοθεί το κύμα μεταξύ δύο σνεχόμενων σημείων ίδιας φάσης λέγεται περίοδος Τ. ) Οι κματοσναρτήσεις (5-6), (5-8) μπορεί να είναι σνημιτονοειδείς, αφού και ατές αποτελούν λύσεις της κματικής εξίσωσης (5-). Πολλές φορές για διεκόλνση της μελέτης των ημιτονοειδών ή σνημιτονοειδών κμάτων οι κματοσναρτήσεις τος μπορούν να γραφούν σε μιγαδική μορφή ως: y( Ae i( ωtkx) A cos( ωt kx) ia sin( ωt kx) (5-9) όπο το + αντιστοιχεί σε διάδοση κύματος προς τα αριστερά και το προς τα δεξιά ενώ το i είναι η φανταστική μονάδα. Σημειώνεται ότι η κματοσνάρτηση (5-9) δεν περιγράφει ένα παρκτό κύμα, αλλά το πραγματικό της μέρος περιγράφει ένα σνημιτονοειδές κύμα, ενώ το φανταστικό της μέρος ένα ημιτονοειδές κύμα. 3) Η γενική λύση της κματικής εξίσωσης (5-), όπως μπορεί να δειχτεί, είναι κάθε σνάρτηση πο είναι γραμμικός σνδασμός των σναρτήσεων και g(t+x) ή f(x- και g(x+, όπο η ταχύτητα διάδοσης της διαταραχής. 4) Καθεμία από τις παραπάνω κματοσναρτήσεις είναι μια λύση της κματικής εξίσωσης και δίνει την απομάκρνση ενός ταλαντωτή και τη φάση το ως προς ένα ταλαντωτή αναφοράς. Οι μεταβολές των μετατοπίσεων των ταλαντωτών και η διάδοση των φάσεών τος είναι ατό πο παρατηρείται σαν κματική κίνηση. 5) Εφαρμογή ( ) i f ( t x) Να δειχτεί ότι κάθε σνάρτηση της μορφής y=f(t-x) είναι λύση της κματικής εξίσωσης (5-). Λύση Αν f παριστάνει παραγώγιση της σνάρτησης ως προς το όρισμα (t-x) τότε είναι: y y f ( t x) f ( t x) () x x και y y y f ( t x) f ( t x) f ( t x) t t t () Άρα εξισώνοντας τις () και () προκύπτει η κματική εξίσωση: y y x t Όμοιο αποτέλεσμα προκύπτει και για τη σνάρτηση y=g(t+x). ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778. Στάσιμα κύματα σε χορδή σταθερού μήκος y y Aνακλαστήρας Σχήμα 5. Έστω ότι κατά μήκος μιας χορδής σταθερού μήκος διαδίδονται δύο ημιτονοειδή οδεύοντα κύματα ίδιο πλάτος Α και ίδιας σχνότητας ω. Δηλαδή: y ( Asin( kx ω, ( Asin( kx ω y y ( Η κματοσνάρτηση αντιστοιχεί σε ένα οδεύον κύμα πο διαδίδεται προς τα δεξιά (προσπίπτον κύμα) και η σε κύμα πο διαδίδεται προς τα αριστερά (ανακλώμενο κύμα), το οποίο έχει ανακλαστεί τελείως στο σταθερό άκρο της χορδής. Σνεπώς η επαλληλία των δύο ατών κμάτων δίνει την ολική μετατόπιση y( ενός τχαίο σημείο της χορδής ως: y ( y ( y ( y ( y( Asin( kx ω Asin( kx ω x Χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική τατότητα: sin( α β) sin α cosβ cos αsin β η τελεταία σχέση γράφεται: y( Asin kx cos ωt A cos kx sin ωt A sin kx cos ωt A cos kx sin ωt y( Asin kx cos ωt (5-0) Από τη σχέση (5-0) προκύπτει ότι ένα τχαίο σημείο x της χορδής εκτελεί ταλάντωση με πλάτος πο μεταβάλλεται σνημιτονοειδώς με το χρόνο κατά απόλτη τιμή από 0 ως Α. Επίσης ο όρος sinkx δείχνει ότι κάθε χρονική στιγμή η μορφή της χορδής είναι μια ημιτονοειδής καμπύλη. Άρα η μορφή το κύματος δεν κινείται κατά μήκος της χορδής, αλλά παραμένει στην ίδια θέση και το πλάτος αξομειώνεται με το χρόνο. Για το λόγο ατό η κματική ατή μορφή ονομάζεται στάσιμο κύμα. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Παρατηρείται ότι πάρχον ιδιαίτερα σημεία της χορδής, τα οποία είναι ακίνητα και λέγονται κόμβοι (ή δεσμοί). Για τον πολογισμό της θέσης των κόμβων, λαμβάνεται πόψη ότι η μετατόπιση y( εκεί είναι πάντοτε μηδέν, οπότε σύμφωνα και με την (5-0) προκύπτει: y( 0 ( 50) sin kx 0 kx nπ x nπ k x nπ π / λ λ x n, n 0,,,... (5 ) όπο k=π/λ είναι ο κματάριθμος. Άρα δύο διαδοχικοί κόμβοι απέχον μεταξύ τος κατά λ/. Επίσης πάρχον σημεία της χορδής, τα οποία ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος Α και λέγονται κοιλίες (ή αντιδεσμοί). Για τον πολογισμό της θέσης των κοιλιών, λαμβάνεται πόψη ότι η μετατόπιση y( εκεί είναι πάντοτε μέγιστη, οπότε σύμφωνα και με την (5-0) προκύπτει: y( max ( 50) sin kx kx n π x n π π / λ λ x n, n 0,,,... (5 ) Σνεπώς οι κοιλίες εμφανίζονται στις θέσεις όπο είναι ημιακέραιος αριθμός ημιμηκών κύματος ή αλλιώς στο ενδιάμεσο μεταξύ δύο κόμβων πάρχει μια κοιλία. Επειδή και τα δύο άκρα της χορδής είναι κόμβοι και δύο γειτονικοί κόμβοι βρίσκονται μεταξύ τος σε απόσταση μισού μήκος κύματος λ/, σύμφωνα με την (5-), προκύπτει ότι το μήκος της χορδής θα πρέπει να είναι γενικά κάποιος ακέραιος αριθμός ημιμηκών κύματος. Δηλαδή μπορεί να πάρχει ένα στάσιμο κύμα σε χορδή μήκος, η οποία έχει δύο ακλόνητα άκρα, μόνο όταν το μήκος κύματος ικανοποιεί την εξίσωση: λ n λ n, n,, 3,... (5-3) n Η εξίσωση (5-3) δίνει τα επιτρεπόμενα μήκη κύματος για τα οποία είναι δνατή η ύπαρξη στάσιμο κύματος σε ακλόνητη χορδή μήκος. Για τον πολογισμό τώρα των επιτρεπτών σχνοτήτων ν n, χρησιμοποιώντας τη θεμελιώδη κματική εξίσωση =λν στη σχέση (5-3) προκύπτει: ν n ν n n n, n,, 3,... (5-4) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Για n= είναι και ονομάζεται θεμελιώδης σχνότητα, ενώ όλες οι άλλες σχνότητες, πο είναι ακέραια πολλαπλάσια της Δηλαδή για n= είναι ( η αρμονική), για n=3 είναι ν 3 3 / (3 η αρμονική) κ.ο.κ. ν / ν / ν, ονομάζονται αρμονικές. Στο ακόλοθο σχήμα παριστάνονται οι τέσσερις πρώτες αρμονικές (n=,,3,4) των στάσιμων κμάτων πο επιτρέπονται μεταξύ των δύο σταθερών άκρων μιας χορδής. λ/ n=4: λ κοιλία λ/ n=3: 3 λ / λ/ κόμβος n=: λ λ/ n=: λ / Σχήμα 5.3 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 3. Κματομάδες και ομαδική ταχύτητα Στα προηγούμενα η ανάλση περιορίστηκε μόνο σε μονοχρωματικά κύματα, δηλαδή κύματα με μία μόνο σχνότητα και ένα μήκος κύματος. Είναι όμως πολύ πιο σνηθισμένο να εμφανίζονται τα κύματα με τη μορφή μίγματος ενός πλήθος ή μιας ομάδας σνιστωσών σχνοτήτων, πο ονομάζονται κματομάδες ή παλμοί. Δηλαδή παλμός είναι μια μη αρμονική διαταραχή, η οποία μπορεί να αναλθεί στις αρμονικές σνιστώσες της. Στη σνέχεια θα εξεταστεί η σμπεριφορά μιας τέτοιας κματομάδας. Σε κάποια μέσα, όπως για παράδειγμα σε μια ομογενή χορδή, η σχέση διασποράς ω=ω(k) είναι μια γραμμική σνάρτηση [δείτε σχέση (-3)] κι ατό σημαίνει ότι η ταχύτητα διάδοσης είναι σταθερή και ίδια για όλες τις αρμονικές σνιστώσες πο διαδίδονται στο μέσο. Τότε ο παλμός διατηρεί το σχήμα το καθώς διαδίδεται στο μέσο και η ταχύτητα διάδοσής το είναι ίδια με την κοινή ταχύτητα όλων των αρμονικών σνιστωσών, δηλαδή με τη φασική ταχύτητα. Σε άλλα μέσα όμως, όπως π.χ. σε μια χορδή με σφαιρίδια η σχέση διασποράς δεν είναι γραμμική [δείτε σχέση (-8)] και επομένως η ταχύτητα διάδοσης της κάθε αρμονικής σνιστώσας εξαρτάται από τη σχνότητά της. Ατό έχει ως αποτέλεσμα την αλλαγή το σχήματος το παλμού κατά τη διάδοσή το στο μέσο. Είναι προφανές ότι στην περίπτωση ατή πάρχει ανάγκη να καθοριστεί η ταχύτητα διάδοσης το παλμού. Για το λόγο ατό ορίζεται η ταχύτητα με την οποία μετατοπίζεται το μέγιστο ενός παλμού στο χώρο ως: dω g (5-5) dk Η ταχύτητα ατή ονομάζεται ομαδική ταχύτητα και είναι ίση με την κλίση της καμπύλης ω=ω(k). Σημείωση: Επειδή η ενέργεια σε μια ταλάντωση είναι ανάλογη το τετραγώνο το πλάτος και εφόσον η ομαδική ταχύτητα είναι η ταχύτητα με την οποία μετατοπίζεται στο χώρο το μέγιστο πλάτος το παλμού, σμπεραίνεται ότι η ομαδική ταχύτητα είναι η ταχύτητα διάδοσης της ενέργειας πο μεταφέρει ο παλμός. Παρατηρείται ότι από τον ορισμό της φασικής ταχύτητας (5-7) είναι ω=kph, οπότε η ομαδική ταχύτητα σύμφωνα με την (5-5) είναι: g dω d dph ( kph) ph k (5-6) dk dk dk ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Η εξίσωση (5-6) είναι η σχέση της ομαδικής d ph / dk ενώ όταν το διασπορά. είναι αρνητικό τότε είναι d ph / dk g < είναι θετικό τότε ph g και της φασικής ph ταχύτητας. Όταν το και ατό ονομάζεται κανονική διασπορά, g > ph και ατό ονομάζεται ανώμαλη Στο ακόλοθο σχήμα οι τρεις καμπύλες απεικονίζον σχέσεις διασποράς: α) μια εθεία γραμμή πο παριστάνει ένα μη διασκορπιστικό μέσο, όπο το ω/k είναι σταθερό, δηλαδή, g = ph β) μια σχέση κανονικής διασποράς, όπο η παράγωγος dω / dk ω k και g ph / γ) μια σχέση ανώμαλης διασποράς, όπο g > ph. ω dk (γ) g ph Ανώμαλη διασπορά (α) g ph χωρίς διασπορά g dω / k ph ω / g dω / dk (β) g ph κανονική διασπορά 0 ph ω / k k Σχήμα 5.4 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 f( A Έστω τώρα ότι ένας παλμός είναι μια μη περιοδική σνάρτηση το χρόνο, όπως η σνάρτηση f( το Σχήματος 5.5. Η σνάρτηση f( είναι μη μηδενική για 0<t<T και ο χρόνος Δt=T ονομάζεται διάρκεια το παλμού. 0 T t Σύμφωνα με το ολοκληρωτικό θεώρημα το Fourier η σνάρτηση f( γράφεται στη μορφή: Σχήμα 5.5 f ( 0 A( ω)sin ωtdω 0 B( ω) cos ωtdω (5-7) Η σχέση (5-7) λέγεται ολοκλήρωμα Fourier και η ολοκλήρωση γίνεται ως προς τη μεταβλητή ω, κρατώντας το t σταθερό, οπότε τελικά προκύπτει σνάρτηση το t. Οι σντελεστές Fourier Α(ω), Β(ω) της σχέσης (5-7) δίνονται από τις σχέσεις: ( ω) f ( sin ωtdt και ( ω) f ( cos ωtdt π π (5-8) Τα δύο ολοκληρώματα της (5-8) πολογίζονται ως προς t, κρατώντας το ω σταθερό. Το διάστημα Δω όπο ένας τολάχιστον από τος σντελεστές Α(ω), Β(ω) είναι μη μηδενικός ονομάζεται εύρος σχνοτήτων. Αν Δt είναι η διάρκεια ενός παλμού και Δω το εύρος σχνοτήτων το, τότε ισχύει η προσεγγιστική σχέση: ω t π ή ν t (5-9) Η προσέγγιση (5-9) είναι γνωστή ως θεώρημα εύρος ζώνης και σύμφωνα με ατό ένας παλμός διάρκειας Δt είναι το αποτέλεσμα της επαλληλίας σνιστωσών με σχνότητες πο περιέχονται μέσα στο διάστημα Δω. Δηλαδή όσο βραχύτερο είναι το διάστημα Δt το παλμού, τόσο πλατύτερο είναι το διάστημα σχνοτήτων Δω πο χρειάζονται για την παράστασή το. Παρατηρείται ότι όταν το Δω είναι μηδέν προκύπτει μια μοναδική σχνότητα, δηλαδή μονοχρωματικό κύμα, πο πρέπει θεωρητικά να έχει άπειρη χρονική έκταση. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 4. Χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση ή εμπέδηση χορδής και μετάδοση ενέργειας Κάθε μέσο στο οποίο μεταδίδονται κύματα εμφανίζει μια σύνθετη αντίσταση σε ατά τα κύματα. Μια χορδή παροσιάζει μια τέτοια σύνθετη αντίσταση ή εμπέδηση σε οδεύοντα κύματα και ορίζεται ως: εγκάρσια δύναμη Fy (5-0) εγκάρσια ταχύτητα y Έστω η ομογενής ελαστική θ χορδή γραμμικής πκνότητας ρ, το Σχήματος 5.6, η οποία F y( x είναι τεντωμένη με τάση Τ. Έναν οδεύον κύμα y( A διαδίδεται κατά μήκος της χορδής. Σχήμα 5.6 Θεωρώντας το τμήμα εκείνο της χορδής πο βρίσκεται δεξιότερα ενός σημείο A(x), το τμήμα ατό δέχεται από το αριστερό τμήμα της χορδής μια δύναμη F πο έχει τη διεύθνση της εφαπτομένης στο σημείο ατό. Η οριζόντια σνιστώσα της δύναμης F έχει μέτρο ίσο με την τάση Τ με την οποία έχει τεντωθεί η χορδή και λόγω της εγκάρσιας ταλάντωσης της χορδής στην οριζόντια διεύθνση x πάρχει ισορροπία. Δηλαδή: F x T Fcosθ F T/ cosθ (5-) Επίσης η κάθετη σνιστώσα της δύναμης F είναι: F y Fsin θ και λόγω της (5-) γίνεται: αφού η κλίση tan θ F y y T tan θ Fy T (5-) x σε οποιαδήποτε θέση είναι y / x. Η εγκάρσια ταχύτητα το σημείο Α της χορδής, η οποία προσέξτε ότι είναι τελείως διαφορετική από την ταχύτητα διάδοσης το κύματος στη χορδή, είναι: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 y y( t Σνεπώς η (5-0) λόγω των (5-) και (5-3) δίνει: (5-3) y T x (5-4) y / t Επειδή ένα κύμα πο διαδίδεται στη χορδή προς τα δεξιά, δηλαδή προς τα θετικά, με ταχύτητα διάδοσης έχει τη μορφή: y( f ( x προκύπτει ότι οι παράγωγοι της κματοσνάρτησης ατής ως προς x και t είναι: y x f ( x y και f ( x t (5-5) Άρα αντικαθιστώντας τα (5-5) στην (5-4) τελικά προκύπτει: Tf ( x T Tρ ρ (5-6) f ( x όπο T / ρ είναι η ταχύτητα διάδοσης κύματος στη χορδή. Η σχέση (5-6) αποτελεί τη χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση ή εμπέδηση χορδής και καθορίζεται από την αδράνεια και την ελαστικότητα της χορδής. Η ισχύς της δύναμης, δηλαδή ο ρθμός παραγωγής ενέργειας, είναι ίση με το γινόμενο F y της εγκάρσιας δύναμης F y επί την εγκάρσια ταχύτητα y και ισούται με την ισχύ πο μεταδίδεται στο δεξιό τμήμα της χορδής. Άρα η ισχύς πο διαδίδεται μέσω το κύματος είναι: P( F x y ( 50) P( ( 53) y y P( t (5-7) Η έκφραση ατή ισχύει για κάθε κύμα, ημιτονοειδές ή μη και έχει σποδαία σημασία στην Κματική. Για ημιτονοειδές κύμα με κματοσνάρτηση y( Asin( ωt kx), πο διαδίδεται σε χορδή με σύνθετη αντίσταση Ζ, η σχέση (5-7) πο δίνει την διαδιδόμενη ισχύ γίνεται: y P ( ( Aω cos( ωt kx)) t P( A ω cos ( ωt kx) (5-8) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Η εξίσωση (5-8) δίνει τον στιγμιαίο ρθμό μεταφοράς ενέργειας κατά μήκος της χορδής και είναι ανάλογος προς το τετράγωνο το πλάτος και προς το τετράγωνο της σχνότητας. Άρα η μέση διαδιδόμενη ισχύς είναι: P( A ω cos ( ωt kx) P( A ω (5-9) αφού cos ( ω t kx) cos ( ωt kx) dt T T 0 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 5. Ανάκλαση και μετάδοση κμάτων χορδής σε ένα σύνορο Στην προηγούμενη παράγραφο αναφέρθηκε ότι μια χορδή προβάλλει χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση Ζ=ρ στα κύματα πο μεταδίδονται κατά μήκος της. Στη σνέχεια θα εξεταστεί η σμπεριφορά των κμάτων σε μια ξαφνική αλλαγή της σύνθετης αντίστασης, δηλαδή της τιμής ρ. y i ( y t ( Ζ x=0 Ζ y r ( x Σχήμα 5.7 Έστω μια χορδή απείρο μήκος, πο αποτελείται από δύο τμήματα σνδεδεμένα με ομαλό τρόπο στο σημείο x=0 και τείνονται με σταθερή τάση Τ σε όλο το μήκος της χορδής. Τα δύο τμήματα έχον διαφορετικές γραμμικές πκνότητες ρ και ρ και επομένως διαφορετικές ταχύτητες κύματος / ρ και / ρ, ενώ οι χαρακτηριστικές σύνθετες αντιστάσεις τος είναι ρ και ρ αντίστοιχα. Ένα προσπίπτον ημιτονοειδές κύμα πο οδεύει κατά μήκος της χορδής σναντάει την ασνέχεια της σύνθετης αντίστασης στη θέση x=0, με αποτέλεσμα ένα μέρος το προσπίπτοντος κύματος να ανακλαστεί και ένα μέρος να μεταδοθεί στην περιοχή με σύνθετη αντίσταση. Η κματοσνάρτηση το προσπίπτοντος κύματος είναι yi ( Ae, δηλαδή ένα κύμα με πλάτος Α και σχνότητα ω πο οδεύει κατά τη θετική κατεύθνση x με ταχύτητα i( ωtkx). Η κματοσνάρτηση το ανακλώμενο κύματος είναι yr ( Be, δηλαδή ένα κύμα με πλάτος Β και σχνότητα ω, πο οδεύει κατά την αρνητική κατεύθνση x με ταχύτητα. Τέλος η κματοσνάρτηση το μεταδιδόμενο κύματος είναι y ( Ce t i( ωtk x) i( ωtk x), δηλαδή ένα κύμα με πλάτος C και σχνότητα ω, πο οδεύει κατά τη θετική κατεύθνση x με ταχύτητα. Παρατηρείται ότι τα τρία κύματα έχον την ίδια σχνότητα ω, η οποία είναι και η σχνότητα της πηγής πο δημιούργησε το προσπίπτον κύμα y i (, ενώ ο κματάριθμος είναι διαφορετικός για κύματα τα οποία διαδίδονται σε διαφορετικές περιοχές, δηλαδή τα κύματα yi (, yr ( έχον ίδιο κματάριθμο k γιατί διαδίδονται στην περιοχή σύνθετης αντίστασης, ενώ το κύμα y t ( έχει κματάριθμο k γιατί διαδίδεται στην περιοχή σύνθετης αντίστασης. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Για τον προσδιορισμό των σντελεστών ανάκλασης και μετάδοσης πλάτος, δηλαδή των λόγων των πλατών Β/Α και C/Α εφαρμόζονται δύο σνοριακές σνθήκες πο πρέπει να ικανοποιούνται στο σημείο ασνέχειας της σύνθετης αντίστασης x=0. α) Η γεωμετρική σνθήκη, ότι η απομάκρνση είναι η ίδια αμέσως αριστερά και αμέσως δεξιά από το x=0 κάθε χρονική στιγμή, έτσι ώστε να μην πάρχει ασνέχεια στην απομάκρνση δίνει: y i y r y t Ae i( ωtk x) i( ωtk x) i( ωtk x) Be Ce Έτσι στο x=0 απαλείφονται οι εκθετικοί όροι και η παραπάνω γίνεται: A+B=C (5-30) β) Η δναμική σνθήκη, ότι πάρχει σνέχεια στην εγκάρσια δύναμη και επομένως η παράγωγος είναι σνεχής δίνει: T( y / x) στο x=0 T y ( yi yr ) t i( ωtkx) i( ωtkx) i( ωtk x) T ktae ktbe k TCe x x Έτσι στο x=0 για κάθε t απαλείφονται οι εκθετικοί όροι και η παραπάνω γίνεται: k TA k TB k TC ω TA ω TB ω TC T T ( A B) C ( A B) C (5-3) όπο k ω/, k ω/ είναι οι κματάριθμοι και T /, T / είναι οι σύνθετες αντιστάσεις στις δύο περιοχές της χορδής. Άρα οι εξισώσεις (5-30) και (5-3) δίνον τος σντελεστές ανάκλασης και μετάδοσης ως: Σντελεστής ανάκλασης: B R (5-3) A Σντελεστής μετάδοσης: C T (5-33) A Οι σντελεστές R, T σνδέονται με τη σχέση: T=+R (5-34) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Παρατηρήσεις: ) Οι σντελεστές R, T δεν εξαρτώνται από το ω και επομένως ισχύον για κύματα όλων των σχνοτήτων. Επιπλέον οι σντελεστές ατοί εξαρτώνται αποκλειστικά από τις σύνθετες αντιστάσεις. ) Αν τότε το x=0 είναι ένα σταθερό άκρο της χορδής, γιατί δεν πάρχει μεταδιδόμενο κύμα (Τ=0), ενώ R=B/A= -, δηλαδή το προσπίπτον κύμα ανακλάται εντελώς με αντιστροφή φάσης. Αποτέλεσμα ατού είναι η δημιοργία στάσιμων κμάτων. 3) Αν Ατό εξηγεί το τίναγμα στο άκρο ενός μαστιγίο ή στο ελεύθερο άκρο μιας χορδής όταν σε ατό φτάνει ένα κύμα. z z 0, τότε το x=0 είναι ένα ελεύθερο άκρο της χορδής και είναι R= και Τ=. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 6. Διαμήκη κύματα Όταν οι ταλαντώσεις το μέσο διάδοσης των κμάτων γίνονται πάνω στη διεύθνση διάδοσης των κμάτων τότε τα κύματα ατά ονομάζονται διαμήκη. Για παράδειγμα όταν ένα κατακόρφο τεντωμένο ελατήριο τεθεί σε ταλάντωση πάνω-κάτω στο ένα άκρο, κατά μήκος το ελατηρίο διαδίδεται ένα διαμήκες κύμα, αφού οι σπείρες ταλαντώνονται μπροστά-πίσω στη διεύθνση στην οποία διαδίδεται η διαταραχή κατά μήκος το ελατηρίο. Επίσης τα ηχητικά κύματα σε ένα αέριο είναι διαμήκη κύματα, επειδή τα μόρια το αερίο ταλαντώνονται κατά μήκος της διεύθνσης διάδοσης το κύματος. Σε ένα αέριο αν y( είναι η μετατόπιση ενός μορίο το τότε αποδεικνύεται ότι η y( ικανοποιεί την κλασική κματική εξίσωση: t y x y Η ταχύτητα διάδοσης ενός διαμήκος κύματος σε αέριο εξαρτάται μόνο από το μέτρο ελαστικότητας Β και την πκνότητα ρ το μέσο και δίνεται από τη σχέση: ρ (5-35) Δηλαδή η ταχύτητα διάδοσης των διαμήκων, όπως και των εγκάρσιων κμάτων, καθορίζεται από τις μηχανικές ιδιότητες το μέσο. Για ηχητικά κύματα στον αέρα θεωρώντας τον ως ιδανικό αέριο η (5-35) παίρνει τη μορφή: γp (5-36) ρ όπο γ είναι ο λόγος Poisson το αέρα, P η πίεση και ρ η πκνότητα το αέρα. Όταν η σχνότητα ενός διαμήκος κύματος εμπίπτει στην περιοχή της ανθρώπινης ακοής (από 0 Hz ως 0000 Hz περίπο) ονομάζεται ήχος και η περιοχή ατή ακοστική περιοχή. Αν η σχνότητα διαμήκος κύματος είναι κάτω από την ακοστική περιοχή λέγεται ποηχητικό κύμα, ενώ αν είναι πάνω από ατήν λέγεται περηχητικό κύμα. Η κματοσνάρτηση πο περιγράφει ένα ηχητικό κύμα, πο οδεύει μόνο προς μια κατεύθνση δίνεται από τη σχέση: P( Pο sin( ωt kx) BkA sin( ωt kx) (5-37) όπο ο P είναι το πλάτος πίεσης, το οποίο είναι ανάλογο το πλάτος μετατόπισης Α, το κματάριθμο k και το μέτρο ελαστικότητας Β. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Παρατηρείται ότι η εξίσωση ενός ηχητικού κύματος εκφράζεται για εκολία σναρτήσει της μεταβολής της πίεσης αντί της μετατόπισης των σωματίων πο μεταβιβάζον το κύμα. Όπως και όλα τα άλλα κύματα, τα ηχητικά κύματα μεταφέρον ενέργεια από μια περιοχή το χώρο σε άλλη. Ορίζεται ως ένταση Ι ενός κύματος ο μέσος χρονικός ρθμός με τον οποίο μεταφέρεται ενέργεια από το κύμα ανά μονάδα εμβαδού δια μέσω μιας επιφάνειας κάθετης προς την κατεύθνση διάδοσης, δηλαδή είναι η μέση μεταφερόμενη ισχύς ανά μονάδα εμβαδού. Για ηχητικά κύματα είναι: Pο Pο ωbka (5-38) ρb ρ Επειδή το ανθρώπινο ατί είναι εαίσθητο σε μια εκτεταμένη περιοχή εντάσεως (ακοστική περιοχή), χρησιμοποιείται σνήθως η λογαριθμική κλίμακα έντασης ή κλίμακα decibel. Η στάθμη έντασης β ενός ηχητικού κύματος ορίζεται ως: ο β 0og (db) (5-39) όπο ο 0 W / m είναι μια ένταση αναφοράς επιλεγμένη στο κατώφλι της ανθρώπινης ακοής στο khz περίπο. Μονάδες μέτρησης της στάθμης έντασης είναι τα decibels(db). Εφαρμογή Δύο ηχητικά κύματα έχον ακοστότητες πο διαφέρον κατά 0 db. Βρείτε τος λόγος των εντάσεών τος και των πλατών πιέσεών τος. Λύση Η διαφορά της ακοστότητας των δύο ηχητικών κμάτων είναι: β ( 539) β 0dB 0og 0 ο 0og / / ο ο 0 og og ο 0 0 Σύμφωνα με τη σχέση (5-38) ο παραπάνω λόγος των εντάσεων γράφεται: P P ο ο / ρ P 0 / ρ P ο ο P 0 P ο ο 0 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778