14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.

13 η εβδομάδα (16/01/2017 & 19/01/2017) Ασυμπτωτική διεύθυνση και ασυμπτωτικό διάνυσμα επιφάνειας. Πρωτεύουσες διευθύνσεις και πρωτεύουσες καμπυλότητες. Γραμμές καμπυλότητας. Έγιναν οι ασκήσεις 24, 25, 26 και 27.

12 η εβδομάδα (19/12/2016 & 22/12/2016) Οι συνθήκες ολοκληρωσιμότητας. Εξισώσεις των Mainardi-Codazzi. Εξισώσεις του Gauss. Theorema Egregium. Τύπος του Briochi για την καμπυλότητα του Gauss και τύποι όταν το παραμετρικό δίκτυο είναι ορθογώνιο. Ισομετρικές επιφάνειες. Θεμελιώδης Πρόταση της Θεωρία των Επιφανειών (του O. Bonnet). Έγιναν οι ασκήσεις: 17, 18, 20, 21 και 22. Κάθετη καμπυλότητα επιφάνειας σε σημείο, που αντιστοιχεί σε μια επιφανειακή καμπύλη. Θεώρημα του Meusnier. Έγινε η άσκηση 23.

11 η εβδομάδα (12/12/2016 & 15/12/2016) Σύμβολα του Christoffel α και β είδους: Ορισμός, ιδιότητες και υπολογισμός. Ο μικτός τανυστής καμπυλότητας του Riemann. Εξισώσεις των παραγώγων του Gauss και του Weingarten. Πρόταση του. Meusnier Έγιναν οι ασκήσεις: 13, 14, 15, 16 και 19.

10 η εβδομάδα (05/12/2016 & 08/12/2016) Εμβαδικό στοιχείο και εμβαδόν επιφάνειας. Καμπυλότητα του Gauss, μέση καμπυλότητα και κυκλικά σημεία. Ασυμπτωτικές γραμμές. Ελαχιστικές επιφάνειες. Γωνία ασυμπτωτικών γραμμών ελαχιστικής επιφάνειας. Παράδειγμα: Πρώτη θεμελιώδης μορφή, δεύτερη θεμελιώδης μορφή, κυκλικά σημεία, καμπυλότητα του Gauss, μέση καμπυλότητα, ελλειπτικά, παραβολικά και υπερβολικά σημεία της σπείρας, εμβαδόν και ολική καμπυλότητα. Έγιναν οι ασκήσεις: 7, 8, 9, 10, 11 και 12.

9 η εβδομάδα (28/11/2016 & 01/12/2016) Πρώτη θεμελιώδης μορφή επιφάνειας. Υπολογισμός μηκών καμπυλών και μέτρων διανυσμάτων με τη βοήθεια της πρώτης θεμελιώδους μορφής. Μετρικές του Riemann. Μεταβολή της ορίζουσας g ως προς επιτρεπτούς μετασχηματισμούς των παραμέτρων. Παραδείγματα. Έγινε η Άσκηση 6. Θεμελιώδη ποσά δεύτερης τάξεως επιφάνειας (τρεις τύποι) και μεταβολή τους ως προς επιτρεπτούς μετασχηματισμούς των παραμέτρων. Ελλειπτικά, παραβολικά και υπερβολικά σημεία επιφάνειας. Δεύτερη θεμελιώδης μορφή επιφάνειας και μεταβολή της ως προς επιτρεπτούς μετασχηματισμούς των παραμέτρων. Παραδείγματα. Μεταβολή της ορίζουσας l ως προς επιτρεπτούς μετασχηματισμούς των παραμέτρων. Αποδείχθηκε η Πρόταση: Η μοναδική επιφάνεια, για την οποία ισχύει II = 0, είναι το επίπεδο. Η απεικόνιση του Gauss και η σφαιρική εικόνα επιφάνειας. Τρίτη θεμελιώδης μορφή επιφάνειας και συνιστώσες της. Ορθογώνιο παραμετρικό δίκτυο. Γωνία επιφανειακών καμπυλών.

8 η εβδομάδα (24/11/2016) Αναφερθήκαμε στα ορθογώνια δίκτυα. Εκ περιστροφής επιφάνειες: Καμπύλη κάτοψης, άξονας, παραμετρικές παραστάσεις και ειδικές περιπτώσεις (σπείρα, σφαίρα, κυκλικοί κύλινδροι και κώνοι, επίπεδο). Παραμετρικό δίκτυο. Ελικοειδείς επιφάνειες: Καμπύλη ελίκωσης, άξονας, παραμετρική παράσταση. Κοινή ελικοειδής και παραμετρικό δίκτυο αυτής. Έγιναν οι ασκήσεις 4 και 5 του φυλλαδίου της Θεωρίας Επιφανειών. Θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξεως επιφάνειας και μεταβολή τους ως προς επιτρεπτούς μετασχηματισμούς των παραμέτρων.

7 η εβδομάδα (14/11/2016 & 16/11/2016) Αναφερθήκαμε σε μονοπαραμετρικές οικογένειες καμπυλών, ιδιαίτερα στις παραμετρικές καμπύλες u = σταθ. και v = σταθ., και στα δίκτυα καμπυλών. Έγιναν παραδείγματα. Ορίστηκαν οι ευθειογενείς και οι ειδικές περιπτώσεις τους των κυλινδρικών, των κωνικών και των εφαπτομενικών επιφανειών. Έγιναν οι ασκήσεις 1, 2 και 3 του φυλλαδίου της Θεωρίας Επιφανειών.

6 η εβδομάδα (7/10/2016 & 10/11/2016) Έγιναν, οι ασκήσεις 30, 31 και 32. Ο συμβολισμός του Einstein. Τετραγωνικές μορφές πάνω σε n-διάστατο διανυσματικό χώρο. Ξεκινήσαμε τη Θεωρία Επιφανειών. Κάναμε το παράδειγμα της παραμετρικής παράστασης του ελλειψοειδούς, της σφαίρας, του ορθού κυκλικού κυλίνδρου, του ορθού κυκλικού κώνου, του μονόχωνου υπερβολοειδούς και του επιπέδου, βρήκαμε αν και πότε αυτές είναι ομαλές. Δώσαμε τον ορισμό της παραμετρικής παράστασης και της ομαλής παραμετρικής παράστασης της κλάσης διαφορισιμότητας C r, r 1, ενός σημειοσυνόλου του E 3. Δώσαμε τον ορισμό του επιτρεπτού μετασχηματισμού των παραμέτρων. Αποδείξαμε, ότι Αν x(u,v) είναι παραμετρική παράσταση ενός σημειοσυνόλου M της κλάσης διαφορισιμότητας C r, r 1, σ ένας επιτρεπτός μετασχηματισμός της παραμέτρου και x * = x σ, τότε η x είναι ακριβώς τότε ομαλή, όταν η x * είναι ομαλή. Έγινε η 2.2 (Η έννοια της επιφάνειας): Ορισμός της ισοδυναμίας ομαλών παραμετρικών παραστάσεων του σημειοσυνόλου M της κλάσης διαφορισιμότητας C r, ορισμός της επιφάνειας της κλάσης διαφορισιμότητας C r, ορισμός της προσανατολισμένης επιφάνειας. Ορίσαμε τον εφαπτόμενο χώρο, το εφαπτόμενο επίπεδο και το μοναδιαίο καθετικό διάνυσμα σε σημείο επιφάνειας. Δώσαμε τη γεωμετρική ερμηνεία του προσήμου της ιακωβιανής ενός επιτρεπτού μετασχηματισμού των παραμέτρων. Έγιναν παραδείγματα.

5 η εβδομάδα (31/10/2016 & 3/11/2016) Αναφέραμε: το κέντρο καμπυλότητας, τον πολικό άξονα, την εγγύτατη σφαίρα (κέντρο και ακτίνα) και τον εγγύτατο κύκλο σε σημείο καμπύλης. Αποδείξαμε, ότι ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι μια καμπύλη μη μηδενικής στρέψης σφαιρική, είναι να ισχύει = 0. Ασχοληθήκαμε με τις ισοκλινείς καμπύλες και αποδείξαμε την πρόταση με τις τρεις ισοδύναμες συνθήκες για να είναι μια μη επίπεδη καμπύλη ισοκλινής. Έγιναν, τέλος, οι ασκήσεις 26, 27, 28 και 29.

4 η εβδομάδα (24/10/2016 & 27/10/2016) Ορίσαμε τη στρέψη, βρήκαμε τις εξισώσεις των παραγώγων. Αποδείξαμε την Πρόταση 4.4.2, που χαρακτηρίζει τις επίπεδες καμπύλες, ως τις μόνες καμπύλες, των οποίων η στρέψη μηδενίζεται σε κάθε σημείο. Βρήκαμε τις εξισώσεις των παραγώγων και τη στρέψη, όταν η παράμετρος είναι τυχούσα. Αποδείξαμε επίσης την Πρόταση 4.5.1: Όταν κ = σταθ. και σ = 0, τότε η καμπύλη είναι κύκλος. Αναφέραμε το Θεμελιώδες Θεώρημα της Θεωρίας Καμπυλών (χωρίς απόδειξη). Είπαμε τι είναι οι φυσικές εξισώσεις μιας καμπύλης του Ε 3 ή της φυσικής εξίσωσης μιας καμπύλης του E 2. Έγιναν οι ασκήσεις 20, 21, 22, 23, 24,33, 34 και 35.

3 η εβδομάδα (17/10/2016 & 20/10/2016) Έγιναν οι ασκήσεις 13 και 14. Εξηγήσαμε ότι δεν είναι δυνατό να εισάγουμε πάντα φυσική παράμετρο στην παραμετρική παράσταση μιας καμπύλης (με το παράδειγμα της έλλειψης - Παράδειγμα 3.3.3). Κάναμε το παράδειγμα του κύκλου και της κυκλικής έλικας. Έγινε η άσκηση 15. Δώσαμε τον ορισμό του διανύσματος καμπυλότητας, της καμπυλότητας και της ακτίνας καμπυλότητας μιας καμπύλης ( 3.5). Αποδείξαμε την Πρόταση 3.5.2, που χαρακτηρίζει μέσω της καμπυλότητας τις ευθείες ως τις μόνες καμπύλες, των οποίων η καμπυλότητα μηδενίζεται σε κάθε σημείο. Αποδείξαμε, ότι η καμπυλότητα ενός κύκλου ακτίνας r είναι σταθερή και ίση με 1/r και συνάγαμε από αυτό, ότι για την καμπυλότητα του κύκλου ως συνάρτηση της ακτίνας του ισχύει lim r 0. r Είδαμε πώς εκφράζονται το διάνυσμα καμπυλότητας και η καμπυλότητα μιας καμπύλης όταν η παράμετρος είναι τυχαία ( 3.6) και τα βρήκαμε για την έλλειψη. Αναφερθήκαμε στην προσημασμένη καμπυλότητα μιας επίπεδης καμπύλης. Είδαμε, χωρίς απόδειξη, από ποιον τύπο δίνεται και ποια είναι η σχέση της με την καμπυλότητα, όπως την ορίσαμε για καμπύλες του E 3. Κάναμε μια εισαγωγή στο Κεφάλαιο 4: Ορίσαμε το διάνυσμα της πρώτης και της δεύτερης καθέτου σε ένα σημείο μιας καμπύλης, το συνοδεύον τρίακμο, το εγγύτατο και το ευθειοποιούν επίπεδο. Κάναμε το παράδειγμα του συνοδεύοντος τριάκμου της κυκλικής έλικας. Βρήκαμε το συνοδεύον τρίακμο ως προς τυχαία παράμετρο. Βρήκαμε το συνοδεύον τρίακμο σε συγκεκριμένο σημείο της καμπύλης του Viviani.

2 η εβδομάδα (10/10/2016 & 13/10/2016) Έγινε η 2.2 (Η έννοια της καμπύλης): Ορισμός της ισοδυναμίας ομαλών παραμετρικών παραστάσεων του σημειοσυνόλου M της κλάσης διαφορισιμότητας C r, και απόδειξη, ότι αυτή είναι σχέση ισοδυναμίας. Ορισμός της ομαλής καμπύλης της κλάσης διαφορισιμότητας C r. Έγινε ένα παράδειγμα, βάσει του οποίου φτάσαμε στον ορισμό της προσανατολισμένης ομαλής καμπύλης. Έγινε το παράδειγμα της κυκλικής έλικας και η άσκηση 5 του φυλλαδίου. Εξηγήσαμε, τι σημαίνει απλό, διπλό, κ.ο.κ. σημείο μιας καμπύλης και τι σημαίνει επίπεδη καμπύλη. Έγιναν οι ασκήσεις 6 και 7. Μιλήσαμε για παραμετρικές παραστάσεις καμπυλών α) του E 2, που είναι γράφημα συνάρτησης και β) του E 3, που είναι τομή επιφανειών. Έγινε η άσκηση 8. Περάσαμε στο Κεφάλαιο 3 (Εφαπτομενικό διάνυσμα. Κάθετο επίπεδο. Μήκος καμπύλης. Φυσική παράμετρος. Καμπυλότητα) Κάναμε την 3.1 (Εφαπτομενικό διάνυσμα. Κάθετο επίπεδο) Ορίσαμε το εφαπτομενικό διάνυσμα, τον εφαπτόμενο χώρο, την εφαπτομένη και το κάθετο επίπεδο σε σημείο καμπύλης. Έγιναν οι ασκήσεις 9, 10, 11 και 12. Κάναμε την 3.2 (Μήκος καμπύλης. Φυσική παράμετρος) Ορίσαμε το μήκος τόξου καμπύλης και αποδείξαμε, ότι αυτό είναι αναλλοίωτο ως προς τις μετατοπίσεις του E 3 και ανεξάρτητο από τη χρησιμοποιούμενη παράμετρο. Ορίσαμε τη φυσική παράμετρο καμπύλης και αποδείξαμε τις ιδιότητες ( 3.3: Ιδιότητες της φυσικής παραμέτρου): Μια παράμετρος t είναι τότε και μόνον τότε φυσική, όταν d dt x = 1 και Όταν μια παράμετρος t είναι φυσική, τότε 2 dx d x, 2 dt dt = 0.

1 η εβδομάδα (3/10/2016 & 6/10/2016) Στα μαθήματα της 1ης εβδομάδας έγινε μια σύντομη αναδρομή στους ευκλείδειους διανυσματικούς χώρους (εσωτερικός πολλαπλασιασμός, μέτρο διανύσματος, γωνία διανυσμάτων, ορθομοναδιαία βάση, εξωτερικό (διανυσματικό) και μικτό γινόμενο στο διανυσματικό χώρο V 3, ορίζουσα διανυσμάτων), και στους ευκλείδειους σημειακούς χώρους (ορισμός, σύστημα συντεταγμένων, καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων). Έγιναν οι ασκήσεις: ΑΣΚΗΣΗ. Έστω η συνάρτηση f(x 1, x 2 )= (x 1 + 2) 2 + (x 2 3) 2 4. Τι είναι το σχήμα f(x 1, x 2 ) = 0 α) στο χώρο Ε 2, β) στο χώρο Ε 3 ; ΑΣΚΗΣΗ. Δίνεται το επίπεδο E: x 1 + x 2 + x 3 4 = 0 και η σφαίρα S 2 (3): x 2 1 + x 2 2 2 + x 3 9 = 0. Να αποδειχτεί, ότι το σύνολο E S 2 (3) είναι κύκλος, του οποίου να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα. Έγινε επίσης μια σύντομη αναφορά στο συμβολισμό της κλάσης διαφορισιμότητας μιας συνάρτησης και μιας διανυσματικής απεικόνισης ( 1.1). Έγινε η 1.2 (Μερικές χρήσιμες ιδιότητες). Ως εφαρμογή του Πορίσματος 1.2.2 αποδείχτηκε, ότι: 1. Το εφαπτομενικό διάνυσμα σε κάθε σημείο Χ του κύκλου x 2 1 + x 2 2 = r 2 είναι κάθετο στη διανυσματική ακτίνα Α 0 Χ του σημείου. 2. Το εφαπτομενικό διάνυσμα σε κάθε σημείο μιας καμπύλης, που κείται πάνω στη σφαίρα S 2 (r): x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = r 2, είναι κάθετο στη διανυσματική ακτίνα Α 0 Χ του σημείου. Έγιναν οι ασκήσεις 1, 2, 3 και 4 του φυλλαδίου. Ολοκληρώθηκε το Κεφάλαιο 1. Έγινε εισαγωγή στο Κεφάλαιο 2: Η έννοια της καμπύλης στη Διαφορική Γεωμετρία. Ξεκινήσαμε με το παράδειγμα της καμπύλης του οκτώ. Έγινε η 2.1 (Παραμετρικές παραστάσεις σημειοσυνόλων του E 3 ): Ορισμός της παραμετρικής παράστασης ενός σημειοσυνόλου M της κλάσης διαφορισιμότητας C r, r 1, Ορισμός της ομαλής παραμετρικής παράστασης ενός σημειοσυνόλου M της κλάσης διαφορισιμότητας C r, r 1, και Ορισμός του επιτρεπτού μετασχηματισμού της παραμέτρου. Έγιναν τρία παραδείγματα και αποδείχτηκε, ότι Αν x(t) είναι παραμετρική παράσταση ενός σημειοσυνόλου M της κλάσης διαφορισιμότητας C r, r 1, t = σ(t * ) ένας επιτρεπτός μετασχηματισμός της παραμέτρου και x * = x σ, τότε η x είναι ακριβώς τότε ομαλή, όταν η x * είναι ομαλή.