ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ (ΚΕΦ. 6-11) 371 AΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ (ΚΕΦ. 6-11) ΑΣΚΗΣΗ 1 Το µηκυνσιόµετρο στο σηµείο Α της δοκού του σχήµατος καταγράφει θλιπτική παραµόρφωση ίση µε 0.05. Πόση είναι η τιµή του P; Θεωρήσατε υλικό γραµµικά ελαστικό µε µέτρο ελαστικότητας Ε=200 GPa. (Οι διαστάσεις του σχήµατος σε mm). (P=10.36 kn) ΑΣΚΗΣΗ 2 Στη διατοµή του σχήµατος δρα ροπή κάµψης (ως προς τον ισχυρό άξονα) ίση µε 100 knm. Να υπολογίσετε το µέγεθος και το σηµείο εφαρµογής της συνολικής εφελκυστικής δύναµης Τ που δρα στη διατοµή (ως συνισταµένη των εφελκυστικών τάσεων λόγω κάµψης). εδοµένου ότι η δύναµη αυτή ισούται µε τη συνολική θλιπτική C, επιβεβαιώσατε ότι η ροπή των δυνάµεων C-T ισούται µε 100 knm. (Οι διαστάσεις του σχήµατος σε mm). ΑΣΚΗΣΗ 3 Υπολογίσατε τη µέγιστη εφελκυστική και τη µέγιστη θλιπτική τάση στη σύνθετη διατοµή του σχήµατος θεωρώντας ότι στη διατοµή δρα θετική ροπή 80 knm. Τα µέτρα ελαστικότητας των δύο υλικών είναι E Al = 70 GPa και Ε St = 210 GPa. (Οι διαστάσεις του σχήµατος σε mm). (σ max,εφ =96.8 ΜPa, σ max,θλ,st =-62.9 ΜPa, σ max,θλ,al =-47.5 ΜPa)
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ (ΚΕΦ. 6-11) 372 ΑΣΚΗΣΗ 4 Για τον πρόβολο του σχήµατος υπολογίσατε τις ορθές τάσεις στις 4 γωνίες της διατοµής που απέχει 500 mm από το ελεύθερο άκρο. Επίσης προσδιορίσατε τον ουδέτερο άξονα. (24.6 MPa, 9.6 MPa, -24.6 MPa, -9.6 MPa,...) ΑΣΚΗΣΗ 5 Ο πρόβολος του σχήµατος αποτελείται από υλικό ελαστικό απόλυτα πλαστικό µε τάση διαρροής σε εφελκυσµό ίση µε f yt =400 MPa και σε θλίψη f yc =200 MPa. Η διατοµή του προβόλου είναι λεπτότοιχη ορθογωνική 100x140 mm µε πάχος τοιχώµατος 10 mm. A 2 m B P 10 mm ιατοµή 100 mm 140 mm Να υπολογίσετε το φορτίο κατάρρευσης θεωρώντας συντελεστή ασφάλειας 1.5. (P=17.51 kn) ΑΣΚΗΣΗ 6 Για την ελαστική δοκό του σχήµατος να υπολογίσετε τη µέγιστη διατµητική τάση. P=8 kn, L=3 m, c=1 m, b=75 mm, b 1 =10 mm, h=100 mm, h 1 =75 mm. (-8 MPa) ΑΣΚΗΣΗ 7 H αµφιέρειστη ελαστική δοκός του σχήµατος έχει µήκος L=4 m και φορτίζεται µε οµοιόµορφα κατανεµηµένο φορτίο q=48 kn/m. H διατοµή της δοκού είναι τύπου συµµετρικού «διπλού ταυ» µε πλάτος πελµάτων b=200 mm, πάχος πελµάτων t f =15 mm, πάχος κορµού t w =10 mm και ύψος κορµού (απόσταση από τα q d L (α) max σ t = a µέσα του πάχους των πελµάτων) h=300 mm. Να υπολογίσετε: (α) τη µέγιστη t w t f b h
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ (ΚΕΦ. 6-11) 373 εφελκυστική τάση στη δοκό, (β) τη µέγιστη διατµητική τάση τ max στη διατοµή Α-Α η οποία απέχει απόσταση d=1 m από τη δεξιά στήριξη, (γ) τη διατµητική τάση τ Β στη διατοµή Α-Α, στο σηµείο Β του κάτω πέλµατος, το οποίο βρίσκεται στο µέσο του πάχους του πέλµατος και σε απόσταση a=25 mm από το δεξιό άκρο. Για τα ερωτήµατα (β) και (γ) να δειχθούν οι τάσεις πάνω στη διατοµή. (98.2 MPa, -17.2 MPa - προς τα πάνω, -1.2 MPa προς τα αριστερά) ΑΣΚΗΣΗ 8 Η σύνθετη διατοµή του σχήµατος αποτελείται από 4 τεµάχια ξύλου 50x100 mm στερεωµένα πάνω σε ορθογωνική διατοµή 25x450 mm (από το ίδιο ξύλο) µε κόλλα. Υπολογίσατε τη µέγιστη ροπή κάµψης και τη µέγιστη τέµνουσα δύναµη που µπορεί να παραλάβει η διατοµή αν η µέγιστη επιτρεπόµενη ορθή τάση είναι 10 MPa, η µέγιστη επιτρεπόµενη διατµητική τάση είναι 0.6 MPa και η µέγιστη επιτρεπόµενη διατµητική τάση στις κολληµένες επιφάνειες είναι 0.3 MPa. (Οι διαστάσεις του σχήµατος σε mm). (Μ max =36.4 knm, V max για αστοχία του ξύλου = 5.16 kn, V max για αστοχία της κόλας =28.1 kn, άρα V max =5.16 kn) ΑΣΚΗΣΗ 9 Η ράβδος του σχήµατος έχει κυκλική διατοµή διαµέτρου 12 mm και φορτίζεται µε ροπή στρέψης Τ. Να υπολογίσετε το ελάχιστο απαιτούµενο µήκος L ώστε η διατοµή του ενός άκρου να στραφεί ως προς αυτήν του άλλου κατά 180 ο χωρίς να γίνει υπέρβαση της µέγιστης επιτρεπόµενης διατµητικής τάσης των 300 MPa. To υλικό της ράβδου έχει µέτρο διάτµησης G=80 GPa. (L=5.03 m)
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ (ΚΕΦ. 6-11) 374 ΑΣΚΗΣΗ 10 Ο πρόβολος του σχήµατος φορτίζεται µε τρεις ροπές στρέψης. Να υπολογίσετε (α) τη µέγιστη διατµητική τάση και (β) τη γωνία στροφής στο ελεύθερο άκρο. To υλικό έχει µέτρο διάτµησης G=80 GPa. (66 MPa στο µεσαίο τµήµα, 0.0426 rad) ΑΣΚΗΣΗ 11 Μια µεταλλική (G=80 GPa) κοιλοδοκός έχει τη λεπτότοιχη ισόπλευρη τριγωνική διατοµή του σχήµατος. Θεωρώντας ότι η µέγιστη επιτρεπόµενη διατµητική τάση είναι 50 MPa, να υπολογίσετε τη µέγιστη ροπή στρέψης Τ που µπορεί να αναπτυχθεί στην κοιλοδοκό. Πόση είναι η γωνία στροφής της κοιλοδοκού ανά µονάδα µήκους? (7.79 knm, 0.0144 rad/m) ΑΣΚΗΣΗ 12 Μια δοκός σχήµατος Γ φορτίζεται µε µια λοξή δύναµη 3000 Ν όπως δίνεται στο διπλανό σχήµα. Η διατοµή της δοκού είναι τετράγωνη µε πλευρά 12 mm. Να υπολογίσετε τις τάσεις στο σηµείο Α. (σ Α =333 ΜPa, τ Α =578 MPa) ΑΣΚΗΣΗ 13 Ο οριζόντιος πρόβολος του σχήµατος έχει τετραγωνική διατοµή στην οποία οι δύο πλευρές σχηµατίζουν γωνία 30 ο ως προς την κατακόρυφο. Η διατοµή του προβόλου στο ελεύθερο άκρο φορτίζεται µε κατακόρυφη δύναµη F=4.45 N, η οποία έχει ως σηµείο εφαρµογής τη γωνία της διατοµής, όπως φαίνεται στο σχήµα.
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ (ΚΕΦ. 6-11) 375 Να υπολογίσετε τις τάσεις (ορθές και διατµητικές) στα σηµεία Α (άνω δεξιά γωνία) και Β (µέσον άνω πλευράς) της διατοµής στην πάκτωση. Οι τάσεις να δειχθούν και ως διανύσµατα στα στοιχεία Α και Β, όπως αυτά φαίνονται από πάνω. (σ Α =2.11 ΜPa και τ Α =0, σ Β =1.34 ΜPa και τ Β =0.124 MPa) ΑΣΚΗΣΗ 14 Να αποδείξετε ότι: (α) H βύθιση στο ελεύθερο άκρο του προβόλου του σχήµατος είναι v A =Pb 2 (3L-b)/6EI. (β) Η βύθιση στο σηµείο Α λόγω της δύναµης P στο σηµείο Β ισούται µε τη βύθιση που προκύπτει στο σηµείο Β αν η δύναµη P ασκείται στο σηµείο Α. ΑΣΚΗΣΗ 15 Για την ελαστική δοκό ABCD του σχήµατος: (α) Να υπολογίσετε το λόγο a/l έτσι ώστε η κατακόρυφη µετατόπιση του σηµείου Β να είναι ίση µε µηδέν. (β) Να υπολογίσετε το λόγο a/l έτσι ώστε η στροφή του σηµείου Β να είναι ίση µε µηδέν. (a/l=2/3, a/l=1/2) ΑΣΚΗΣΗ 16 To συρµατόσχοινο του σχήµατος συνδέει το µέσον µιας αµφιέρειστης δοκού µε το ελεύθερο άκρο ενός προβόλου. Να υπολογίσετε το βέλος κάµψης στο άκρο του προβόλου θεωρώντας πτώση της θερµοκρασίας στο συρµατόσχοινο κατά 40 ο C. Το συρµατόσχοινο έχει µέτρο ελαστικότητας Ε σ =180 GPa, εµβαδόν διατοµής Α=170 mm 2 και συντελεστή θερµικής µεταβολής α=12x10-6 / ο C. Η δοκός και ο πρόβολος έχουν µέτρο ελαστικότητας Ε=12 GPa και ροπή αδράνειας (διατοµής) Ι=10x10 6 mm 4. (1.49 mm)
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ (ΚΕΦ. 6-11) 376 ΑΣΚΗΣΗ 17 Τα δύο µέλη του δικτυώµατος του σχήµατος αποτελούνται από χαλύβδινη κοιλοδοκό κυκλικής διατοµής µε εξωτερική διάµετρο 100 mm και πάχος τοιχώµατος 6 mm. Να προσδιορίσετε τη µέγιστη επιτρεπόµενη δύναµη P στον κόµβο Β έτσι ώστε η κατασκευή να έχει συντελεστή ασφάλειας n=2. Το υλικό των ράβδων έχει µέτρο ελαστικότητας Ε=200 GPa και θλιπτική αντοχή f=400 MPa. L = 7 m. (P=102 kn)