ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΣΚΗΣΗ d x dx Η διαφορική εξίσωση κίνησης ενός ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση: λ μx 0. Αν η μάζα d d του ταλαντωτή είναι ίση με 0.500 kg, τότε να διερευνήσετε την κίνηση του ταλαντωτή στις εξής περιπτώσεις: α. λ0,50 s -, μ5,4 s - β. λ7,85 s -, μ5,4 s - γ. λ0,00 s -, μ5,4 s -. δ. λ8,50 s -, μ5,4 s - Λύση Πρώτα λίγη θεωρία: Η γενική μορφή της διαφορικής εξίσωσης που εν γένει μπορεί να περιγράφει μια οποιαδήποτε d x dx k αρμονική ταλάντωση με απόσβεση είναι: x 0 d d Από τα δεδομένα της άσκησης έχουμε ότι: λ και μ k ω 0 Η γενική λύση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης είναι μια συνάρτηση του χρόνου η οποία αποτελεί την εξίσωση κίνησης του ταλαντωτή. Από τη θεωρία έχουμε την εξής διερεύνηση: Περίπτωση η : Ω k λ > 0 ή ισοδύναμα: Ω μ > 0 Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης θα είναι: 4 4 x() e (ae ( 4 k ) + βe ( 4 k ) ) x() e λ (ae ( λ 4 μ) + βe ( λ 4 μ) ) Στην περίπτωση αυτή δεν υπάρχει ταλάντωση. Αυτό προκύπτει από την εξίσωση κίνησης στην οποία επικρατούν οι εκθετικοί παράγοντες e λ και e ( λ 4 μ) από τους οποίους, ο πρώτος μειώνεται εκθετικά ενώ ο δεύτερος αυξάνεται εκθετικά. Το γινόμενο των δυο αυτών παραγόντων δίνει ένα αποτέλεσμα το οποίο τελικά τείνει ασυμπτωτικά στο μηδέν. Ο τρίτος εκθετικός παράγοντας, δεν επηρεάζει το τελικό αποτέλεσμα επειδή αυτός είναι προσθετικό και μειώνεται εκθετικά με το χρόνο. Το παρακάτω σχήμα δίνει γραφικά την εξίσωση κίνησης του αντικειμένου. x Ταλαντωτής με υπεραπόσβεση

Περίπτωση η : Ω k λ 0 ή ισοδύναμα: Ω μ 0. Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης θα είναι: 4 4 x() e (Α + Β) x() e λ (Α + Β) Και στην περίπτωση αυτή το αντικείμενο δεν εκτελεί ταλάντωση. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι στη συγκεκριμένη εξίσωση κίνησης, η οποία περιλαμβάνει μια φθίνουσα εκθετική συνάρτηση και μια γραμμική αύξουσα συνάρτηση. Το γινόμενο των δυο αυτών συναρτήσεων δίνει ένα αποτέλεσμα το οποίο τείνει στο μηδέν πιο γρήγορα σε σχέση με την πρώτη περίπτωση (βλέπε το παρακάτω σχήμα). x Περίπτωση 3 η : Ταλαντωτής με κρίσιμη απόσβεση Ω k λ < 0 ή ισοδύναμα: Ω μ < 0. Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης θα είναι: 4 4 x() e cos(ω + φ) όπου ω Ω k 4 λ ή ισοδύναμα: ω μ 4 Το αντικείμενο εκτελεί αρμονική ταλάντωση με γωνιακή συχνότητα ω k απόσβεση τ όπως δείχνει το παρακάτω σχήμα. λ x 4 και με χρόνο Αρμονικό ταλαντωτής με απόσβεση Από τα δεδομένα της άσκησης προκύπτουν και οι εξής παράμετροι της ταλάντωσης με απόσβεση: Από τη σχέση τ προκύπτει η σταθερά χρόνου της απόσβεσης: τ λ λ καθώς και ο συντελεστής απόσβεσης : λ Από τη σχέση μ k προκύπτουν η ιδιοσυχνότητα ω 0 του ταλαντωτή: ω 0 μ καθώς και η σταθερά k του ελατηρίου: k μ και η συχνότητα του ταλαντωτή: ω μ λ 4

Η ποιότητα συντονισμού το ταλαντωτή θα είναι ίση με: Q ω 0 τ. Για κάθε ζεύγος τιμών λ και μ υπολογίζουμε τη διαφορά: Ω 4 k λ 4 μ α. λ0,50 s -, μ5,4 s - Ω 4 k λ 4 μ (0,50 s ) 5,4 s 5,4 s < 0 4 (περίπτωση 3, Αρμονικός ταλαντωτής με απόσβεση, βλέπε και αντίστοιχη γραφική παράσταση). Σταθερά χρόνου: τ 4,00 s λ 0,50 s Συντελεστής απόσβεσης: λ (0,500 kg)(0,50 s ) 0,5 kg s Ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή: ω 0 μ 5,4 s 3,9 s Συχνότητα ταλάντωσης: ω μ λ (5,4 4 s ) (0,50 s ) 5,39 s 3,9 s 4 Σταθερά k του ταλαντωτή: k μ (0,500 kg)(5,4 s ) 7,70 kg/s Ποιότητα συντονισμού: Q ω 0 τ (3,9 s )(4,00 s) 5,7 β. λ7,85 s -, μ5,4 s - Ω 4 k λ 4 μ (7,85 s ) 5,4 s 0 4 (περίπτωση, Ταλαντωτής με κρίσιμη απόσβεση, βλέπε και αντίστοιχη γραφική παράσταση). Παράμετροι που προσδιορίζουν τον συγκεκριμένο ταλαντωτή: Συντελεστής απόσβεσης: λ (0,500 kg)(7,85 s ) 3,9 kg s Σταθερά k της ταλάντωση: k μ (0,500 kg)(5,4 s ) 7,70 kg/s γ. λ0,00 s -, μ5,4 s -. Ω 4 k λ 4 μ 5,4 s < 0 Παράμετροι που προσδιορίζουν τον συγκεκριμένο ταλαντωτή: Σταθερά χρόνου: τ λ 0,00 s s Συντελεστής απόσβεσης: λ (0,500 kg)(0,000 s ) 0,00 kg Ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή: ω 0 μ 5,4 s 3,9 s Συχνότητα ταλάντωσης: ω μ λ (5,4 4 s ) 0 3,9 s Σταθερά k του ταλαντωτή: k μ (0,500 kg)(5,4 s ) 7,70 kg/s Ποιότητα συντονισμού: Q ω 0 τ (3,9 s )( s) (περίπτωση Ταλαντωτή με μηδενική απόσβεση, δηλαδή αρμονική ταλάντωση με σταθερό πλάτος). s

δ. λ8,50 s -, μ5,4 s - Ω 4 k λ 4 μ (8,50 s ) 5,4 s,66 s > 0 4 (περίπτωση, Ταλαντωτής με υπεραπόσβεση, βλέπε και αντίστοιχη γραφική παράσταση). Παράμετροι που προσδιορίζουν τον συγκεκριμένο ταλαντωτή: Συντελεστής απόσβεσης: λ (0,500 kg)(8,50 s ) 4,5 kg s Σταθερά k της ταλάντωση: k μ (0,500 kg)(5,4 s ) 9,63 kg/s ΑΣΚΗΣΗ Το πλάτος μιας ταλάντωσης μειώνεται στο 33,3% της αρχικής τιμής του σε 0,0 s. Ποια είναι η τιμή της σταθεράς χρόνου; Δεδομένα: Φθίνουσα ταλάντωση με 33,3% μείωση του πλάτους ταλάντωσης σε χρόνο 0, s. A( ) A0 e A0 e όπου είναι η σταθερά χρόνου της αποσβένουσας ταλάντωσης, και είναι η μάζα και η σταθερά απόσβεσης. A( ) A A( ) n A e 0 ) A( n A A( ) 0,0 s Όταν 0,0 s τότε 0, 333, οπότε: 4,55s A n(0,333) 0 0 ΑΣΚΗΣΗ 3 Μια μάζα 5,00 kg είναι προσαρμοσμένη στο άκρο ενός ελατηρίου. Αν εκτρέψετε τη μάζα από τη θέση ισορροπίας και στη συνέχεια την αφήσετε ελεύθερη θα παρατηρήσετε τότε ότι το σύστημα μάζα ελατήριο θα αρχίσει να ταλαντώνετε με τέτοιο ρυθμό και τέτοια απόσβεση ώστε σε χρονικό διάστημα Δ,80 s η μάζα να εκτελεί δέκα (0) πλήρεις ταλαντώσεις και το πλάτος της ταλάντωσης να μειώνεται στο 5% του αρχικού πλάτους. Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραμέτρους: α. Το συντελεστή απόσβεσης και τη σταθερά χρόνου τ της ταλάντωσης. β. Την πραγματική συχνότητα f και τη φυσική συχνότητα f 0 του ταλαντωτή, καθώς και τη σταθερά του ελατηρίου k. α. Τις χρονικές στιγμές και + Δ το πλάτος ταλάντωσης της μάζας είναι αντίστοιχα:

Α Α 0 e και Α Α 0 e Α 0 e ( +Δ) Α 0 e e Δ A e Δ Α A e Δ Από το γεγονός ότι το πλάτος Α είναι το 5% του πλάτους Α προκύπτει ότι: A A 0,05 Οπότε: A A e ή ισοδύναμα A A 0 e Δ ln ( A ) ln (e Δ ) Δ A ln ( A A ) Δ (5,00 kg) ln 0,80 s Η σταθερά χρόνου είναι ίση με: τ 5,00 kg 6,7 kg s τ 0,99 s 6,7 kg s Δ ln (A A ) Δ β. Από το γεγονός ότι ο ταλαντωτής με το μηχανισμό απόσβεσης εκτελεί Ν 6 ταλαντώσεις σε χρονικό διάστημα Δ,80 s προκύπτει ότι η πραγματική περίοδος του ταλαντωτή, και κατ επέκταση η συχνότητα ω είναι ίση με: T,80 s 0 0,80 s f Τ 0,80 s f 5,56 s H φυσική συχνότητα ή ιδιοσυχνότητα f 0 του ταλαντωτή προκύπτει από τη σχέση: ω ω 0 4 4π f 4π f 0 4 f f 0 4π f 0 f + f 0 5,59 Hz 4π (5,56 Hz) + (6,7 kg/s) 4 (6,8) 3, s (5,00 kg) Από τον ορισμό της γωνιακής συχνότητας ω k k ω 4π f 4(3,4) (5,59 s ) (5,00 kg) k 660 N/ ΑΣΚΗΣΗ 4 Πάνω σε ένα αεροδιάδρομο ένα αντικείμενο 50 g είναι στερεωμένο σε ένα ελατήριο με σταθερά ελατηρίου 4,0 N/. Η σταθερά απόσβεσης λόγω της αντίστασης αέρα είναι 0,05 kg/s. Το αντικείμενο σπρώχνεται 0 c από το σημείο ισορροπίας και αφήνεται. Πόσες ταλαντώσεις θα κάνει στο χρόνο στον οποίο το πλάτος μειώνεται στο /3 της αρχικής του τιμής;

Δεδομένα: 50 g, σταθερά ελατηρίου k 4,0 N/, σταθερά απόσβεσης 0,05 kg/s, A 0 0 c σε πόσο χρόνο?? ώστε [A()/A 0 ]/3 Σταθερά χρόνου: 0,50kg 0,05kg / s 6,6 s Γωνιακή συχνότητα ταλαντωτή: k 4,0 N / 0,5kg 4,0 s Περίοδος ταλάντωσης: T T, 57s 4,0 s A ) e A e 3 3 e n(3) ln e ( 0,,, 6,6 s 36, 5s στο χρόνο αυτό το πλάτος της ταλάντωσης θα είναι το /3 του αρχικού πλάτους A 0. Δεδομένου ότι η περίοδος είναι T,57 s στο χρονικό διάστημα 36,5 s θα 36,5 s υπάρχουν N 3 ταλαντώσεις. T,57 s ΑΣΚΗΣΗ 5 Μια μάζα,0 kg είναι αναρτημένη στο άκρο ενός ελατηρίου με περίοδο T0,65 s. Η σταθερά του ελατηρίου είναι k50,0 Ν/. α. Η ταλάντωση της μάζας έχει απόσβεση ή όχι; Πως το αποδεικνύεται αυτό; Αν η ταλάντωση έχει απόσβεση, να υπολογίσετε τη σταθερά απόσβεσης. β. Η ταλάντωση της μάζας είναι χωρίς απόσβεση ή βρίσκεται σε κατάσταση κρίσιμης ή υπερκρίσιμης απόσβεσης; Πως το αποδεικνύετε αυτό; Η περίοδο T0.65 s αντιστοιχεί σε γωνιακή συχνότητα: T 0.65s 0, s α. Από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι ένα ταλαντούμενο σύστημα ελατήριο-μάζα χωρίς απόσβεση έχει k γωνιακή συχνότητα: 0 ()

Αντίθετα, όταν το σύστημα ελατήριο-μάζα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση με συντελεστή απόσβεσης k, το σύστημα αυτό ταλαντώνεται με γωνιακή συχνότητα: () 4 Στην περίπτωση που η γωνιακή συχνότητα ω που μας δίνεται είναι ίση με την γωνιακή συχνότητα ω 0 τότε το σύστημα θα ταλαντώνεται χωρίς απόσβεση. Στην περίπτωση που η γωνιακή συχνότητα ω που μας δίνεται είναι μικρότερη από τη γωνιακή συχνότητα ω 0, τότε πρέπει να υπάρχει ένας αποσβεστικός παράγοντας ο οποίος σύμφωνα με τη Σχέση () θα δίνει γωνιακή συχνότητα ω στο σύστημα ελατήριο-μάζα η οποία θα είναι μικρότερη από την ω 0. Από τη Σχέση () έχουμε: k 50.0N / 0, s,0kg 0 0 7 Παρατηρούμε ότι ω<ω 0, οπότε για να συμβαίνει αυτό πρέπει το σύστημα ελατήριο-μάζα να εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση με γωνιακή συχνότητα που δίνεται από τη Σχέση (): k 4 k 4 k (,0kg) 50,0n /,0kg 0,s 3,6 kg s β. Η ταλάντωση του συστήματος ελατήριο-μάζα είναι απλά μια φθίνουσα ταλάντωση με σταθερά,0kg χρόνου: 0,6s 3,6kgs Κρίσιμη απόσβεση θα είχαμε όταν ω0 και υπεκρίσιμη απόσβεση θα είχαμε μόνο στην περίπτωση k που η μάζα κινείτο ασυμπτωτικά προς τη θέση ισορροπίας. Αυτό θα ίσχυε μόνο όταν: 0. ΑΣΚΗΣΗ 6 Μια μάζα 50,0 g ταλαντώνεται στο άκρο ενός ελατηρίου με σταθερά k5,0 N/. Τη χρονική στιγμή 0 s η μετατόπιση της μάζας είναι Α 0 0,300. Μια δύναμη αντίστασης F x υ x δρα πάνω στη μάζα και το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται σε Α0,00 σε χρονικό διάστημα 5,00 s. Να υπολογίσετε τη σταθερά χρόνου τ. Από τη θεωρεία των ταλαντώσεων με απόσβεση έχουμε το πλάτος ταλάντωσης του ταλαντωτή μειώνεται εκθετικά με το χρόνο, Συγκεκριμένα ισχύει η σχέση: A A 0 e () Δίνεται ότι σε χρονικό διάστημα 5,00 s το πλάτος της ταλάντωσης από Α 0 0,300 που ήταν στη χρονική στιγμή 0 μειώνεται στη τιμή Α0,00. Οπότε από τη Σχέση () έχουμε:

Μετατόπιση y () A A 0 e A ln A0 A (0,050kg) 0,00 ln ln 0,00kg s A0 5,00s 0,300 Η σταθερά χρόνου της φθίνουσας ταλάντωσης είναι: 0,050kg 0,00kgs,7s ΑΣΚΗΣΗ 7 Ένα σύστημα με μάζα 5 kg είναι προσαρμοσμένο σε κατακόρυφο ελατήριο και εκτελεί κατακόρυφη ταλάντωση με εξίσωση κίνησης yf() που ανταποκρίνεται στην παρακάτω γραφική παράσταση. Με τα δεδομένα της γραφικής παράστασης να υπολογίσετε τη σταθερά k του ελατηρίου καθώς και το συντελεστή απόσβεσης της ταλάντωσης. 0,03 0,0 0,0 0 0 3 4 5 6 (s) 7-0,0-0,0-0,03 Τη χρονική στιγμή 0 το πλάτος της ταλάντωσης είναι A 0 0,03 και σε χρονικό διάστημα ΔT (δηλαδή μιας περιόδου) το πλάτος μειώνεται στη τιμή Α0,0. Από τη γραφική παράσταση όμως προκύπτει ότι T,5 s. Οπότε, όπως και στην Άσκηση Σ.3, έχουμε: A A 0 e A ln A0 A e A () A (5kg) 0,0 ln ln 0kg s A0,5 s 0,03 5kg Η σταθερά χρόνου της φθίνουσας ταλάντωσης είναι: 0,75s 0kgs () k Στη φθίνουσα ταλάντωση, η γωνιακή συχνότητα είναι ίση με: (3) 4 Αλλά ωπ/t όπου T,5 s είναι η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης. Οπότε η Σχέση (3) γίνεται: 0 k 4 k k 4 4 k T 4 T 4 T 4 T 4

4 k ( 5kg) k 70 N /,5 4 0,75 ΑΣΚΗΣΗ 8 Σε μια ταλάντωση με απόσβεση, να αποδείξετε ότι ο λόγος των πλατών δυο διαδοχικών περιόδων είναι σταθερός. Στην ταλάντωση αυτή είναι γνωστά η περίοδος T και η σταθερά χρόνου τ αυτής. Έστω και είναι οι χρονικές στιγμές στις οποίες δυο διαδοχικά πλάτη μιας οποιασδήποτε ταλάντωσης με απόσβεση είναι Α και Α, αντίστοιχα. x A A Επειδή τα πλάτη Α και Α είναι διαδοχικά την ταλάντωση με απόσβεση, οι αντίστοιχες χρονικές στιγμές και θα διαφέρουν κατά χρονικό διάστημα μιας περιόδου T. Συγκεκριμένα: T + T A A 0 e τ A 0 e +T τ A A 0 e τ e T τ A A 0 e τ Οπότε: Α A 0e τ e T τ Α A 0 e τ e T τ Α Α e T τ ΑΣΚΗΣΗ 9 Σε ένα ταλαντωτή με απόσβεση ο συντελεστής ποιότητας συντονισμού Q δίνεται από τη σχέση: Q π E, όπου E είναι η μέγιστη ενέργεια του ταλαντωτή μέσα σε μια περίοδο και ΔΕ είναι η ΔΕ απώλεια ενέργειας του ταλαντωτή κατά τη διάρκεια της συγκεκριμένης περιόδου. Να αποδείξετε ότι Q ω 0 τ όπου ω 0 k και τ είναι η ιδιοσυχνότητα και η σταθερά χρόνου του ταλαντωτή. Δίνεται το ανάπτυγμα της εκθετικής συνάρτησης: e x + x + x! + x3 3! + x4 4! + Σε μια ταλάντωση με απόσβεση παίρνουμε μια οποιαδήποτε πλήρη ταλάντωση. Αν είναι η χρονική στιγμή στην οποία το πλάτος της ταλάντωσης της ενέργειας του ταλαντωτή είναι Ε, τότε μετά από

χρονικό διάστημα μιας περιόδου T, δηλαδή τη χρονική στιγμή +T το πλάτος ταλάντωσης της ενέργειας του ταλαντωτή θα είναι E με E >E. Κατά συνέπεια, η ενέργεια ΕE θα είναι η μέγιστη ενέργεια στη συγκεκριμένη πλήρη ταλάντωση που πήραμε και ΔΕΕ Ε θα είναι η απώλεια ενέργειας του ταλαντωτή στη συγκεκριμένη αυτή πλήρη ταλάντωση. Οπότε: Ε Ε 0 e τ και Ε Ε 0 e τ Ε 0 e +Τ τ Ε Ε 0 e τ e Τ τ ΔE E E Ε 0 e τ Ε 0 e τ e Τ τ Ε 0 e τ ( e Τ τ) ΔE E ( e Τ τ) ΔE E e Τ τ () Ανάπτυγμα του εκθετικού παράγοντα: e Τ τ + ( Τ τ ) +! ( Τ τ ) + 3! ( Τ τ )3 + 4! ( Τ τ )4 + Για να υφίσταται αρμονική ταλάντωση με απόσβεση θα πρέπει πρακτικά η σταθερά χρόνου τ να είναι μεγαλύτερη από την περίοδο T της ταλάντωσης και μάλιστα θα πρέπει να λαμβάνουν χώρα δυο τουλάχιστον πλήρης ταλαντώσεις μέχρι να σταματήσει ο ταλαντωτής να ταλαντώνεται. Αυτό σημαίνει ότι θα πρέπει να ισχύει τ>t. Κάτω από τη συνθήκη αυτή, οι παράγοντες του αναπτύγματος που είναι δεύτερης τάξης και πάνω γίνονται πολλές φορές μικρότεροι της μονάδας και έτσι απαλείφονται. Κατόπιν τούτου, το παραπάνω ανάπτυγμα είναι ίσο με: e Τ τ + ( Τ τ ) e Τ τ Τ τ Οπότε, από τη σχέση () θα έχουμε: ΔE E Τ e τ ( Τ τ ) + Τ τ ΔΕ Ε Τ τ Ε ΔΕ τ Τ π Ε ω τ Q ω τ ΔΕ Σε μια οποιαδήποτε ταλάντωση με απόσβεση η γωνιακή συχνότητά της ω είναι πρακτικά ίση με την ιδιοσυχνότητα ω 0 του ταλαντωτή (βλέπε απόδειξη παρακάτω). τ π ω ω τ π ΑΣΚΗΣΗ 0 Σε μια οποιαδήποτε ταλάντωση με απόσβεση, η γωνιακή συχνότητά της ω είναι πρακτικά ίση με την ιδιοσυχνότητα ω 0 του ταλαντωτή. Από τη θεωρία των ταλαντώσεων με απόσβεση προκύπτει ότι η γωνιακή συχνότητα αυτών δίνεται από τη σχέση: ω ω 0 4τ 4π Τ π Τ 0 0 4τ Τ 0 6π τ Ακόμη και στην ακραία περίπτωση όπου η σταθερά χρόνου είναι ίση με την ιδιοπερίοδο Τ 0 του ταλαντωτή (ττ 0 ), η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης θα είναι ίση με: ω π Τ 0 6π ω 0 0,994 0,997 ω 0 ω 0

ΑΣΚΗΣΗ Στο διπλανό σχήμα η μάζα 40 kg δύναται να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβές. Η σταθερά του ελατηρίου είναι k 700 N/ και ο μηχανισμός απόσβεσης που βρίσκεται πάνω από το ελατήριο έχει σταθερά απόσβεσης 60 Ns/. Η μάζα συμπιέζει το ελατήριο και αφήνεται ελεύθερη. Να διερευνήσετε το είδος της κίνησης που θα κάνει η μάζα. k α. Αν η μάζα εκτελεί ταλάντωση με απόσβεση, τότε να υπολογίσετε την ακριβή συχνότητα της ταλάντωσης καθώς και τη σταθερά χρόνου τ της απόσβεσης. β. Ποια πρέπει να είναι η τιμή της σταθεράς απόσβεσης ώστε η διάταξη που απεικονίζεται στο διπλανό να είναι σε κατάσταση κρίσιμης απόσβεσης; α. Διερευνούμε την ποσότητα: Δ 4 k Ns 60 4 40 kg 700 N 40 kg Δ 6,9 rad s Αν Δ > 0, τότε κατά την αποσυμπίεση του ελατηρίου το σύστημα θα επανέλθει αργά στη θέση ισορροπίας χωρίς να εκτελέσει ταλάντωση (περίπτωση υπεραπόσβεσης). Αν Δ 0, τότε κατά την αποσυμπίεση του ελατηρίου, η μάζα επανέρχεται στη θέση ισορροπίας γρηγορότερα σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση (περίπτωση κρίσιμης απόσβεσης). Στη διάταξη που διερευνούμε ισχύει Δ < 0, οπότε κατά την αποσυμπίεση του ελατηρίου η μάζα θα εκτελέσει ταλάντωση με απόσβεση με γωνιακή συχνότητα: ω Δ ( 4 k ) k 4 6,9 rad ω 4, rad/s s f ω π 4, rad/s 6,8 rar f 0,654 Hz β. Για να είναι το σύστημα μάζας ελατηρίου σε κατάσταση κρίσιμης απόσβεσης πρέπει: Δ 0 4 k 0 k (700 N Ns ) (40 kg) 335 4 k 4k k

ΑΣΚΗΣΗ Το διπλανό σχήμα αναπαριστά ένα σεισμογράφο. Αυτός αποτελείται από μια μάζα η οποία δύναται να κινείται οριζόντια χωρίς τριβές μέσα σε ένα κουτί το οποίο είναι πακτωμένο σε k σταθερή οριζόντια επιφάνεια. Η μάζα είναι προσαρμοσμένη στο άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου ενώ η άλλη άκρη του ελατηρίου είναι στερεωμένη πάνω στο κουτί. Το σύστημα μάζα ελατήριο φέρει ένα αποσβεστικό μηχανισμό που έχει συντελεστή απόσβεσης. Κατά τη διάρκεια μιας σεισμικής δόνησης, το κουτί συμμετέχει στην παλινδρομική κίνηση της επιφάνειας της γης και ταλαντώνεται με πλάτος Α 0 ενώ, λόγω αδράνειας, το σύστημα μάζα ελατήριο που βρίσκεται μέσα στο κουτί θα εκτελέσει και αυτό ταλάντωση με απόσβεση της οποίας το αρχικό πλάτος είναι Α 0. Ένας τέτοιος σεισμογράφος είναι τοποθετημένος στην στέγη μιας πολυκατοικίας. Η σταθερά του ελατηρίου k, η μάζα και ο συντελεστής απόσβεσης είναι αντίστοιχα, k 50 N/, 0,500 kg και 3,00 Ns/. Σε μια σεισμική δόνηση στη διάρκεια της οποίας η πολυκατοικία ταλαντώθηκε οριζόντια με συχνότητα f 3,00 Hz η μάζα μέσα στο σεισμογράφο ταλαντώθηκε με μέγιστο αρχικό πλάτος Α 5,00. Να υπολογίσετε τη μέγιστη οριζόντια μετατόπιση Α της στέγης της πολυκατοικίας. Κατά τη διάρκεια της σεισμικής δόνησης, η βάση στήριξης του σεισμογράφου, δηλαδή η στέγη της πολυκατοικίας, ταλαντώνεται με πλάτος Α ενώ η μάζα μέσα στο σεισμογράφο ταλαντώνεται λόγω αδράνειας με πλάτος ταλάντωσης Α. Σε μια χρονική στιγμή της ταλάντωσης του συστήματος, η βάση στήριξης του σεισμογράφο θα έχει μετατοπισθεί κατά διάστημα x προς τα δεξιά συμπιέζοντας λόγω αδράνειας το ελατήριο κατά διάστημα x, ενώ ταυτόχρονα το δεξιό τμήμα του ελατηρίου θα έχει εκτονωθεί κατά διάστημα x μετατοπίζοντας τη μάζα κατά διάστημα x προς τα δεξιά. Αν L 0 είναι το φυσικό μήκος του ελατηρίου και L είναι το μήκος του παραμορφωμένου ελατηρίου, τότε: L L 0 x + x Οπότε, η ολική παραμόρφωση X του ελατηρίου θα είναι ίση με: X ΔL L L 0 x + x X x x όπου: x A sin ω () x Κατάσταση ισορροπίας k k Κατάσταση σεισμικής δόνησης x F F

και f είναι η συχνότητα ταλάντωσης της γης από το σεισμό. Η παραμόρφωση X προκαλεί μια δύναμη F sp πάνω στη μάζα, η οποία δίνεται από τη σχέση: F sp kx k(x x ) kx + kx () Επίσης, πάνω στη μάζα ασκείται και η δύναμη αντίστασης F η οποία οφείλεται στον αποσβεστικό μηχανισμό και η οποία είναι ίση με: F υ dx d (3) όπου υ είναι η στιγμιαία ταχύτητα της μάζας. Η συνισταμένη δύναμη F ne θα είναι ίση με: F ne F sp + F d x d + dx d + k x k x a kx + kx dx d d x d + dx d + k x k A sin ω (4) d x dx + d d + kx kx Η Διαφορική Εξίσωση 4 είναι ακριβώς όμοια με την κλασική διαφορική εξίσωση της ταλάντωσης με απόσβεση και διέγερση: d x d + dx d + k x F 0 sin ω από την οποία προκύπτει η σχέση που συνδέει το πλάτος ταλάντωσης Α του ταλαντωτή με τη γωνιακή συχνότητα ω του διεγέρτη: Α(ω) k A (ω 0 ω ) + ω ω 0 A (ω 0 ω ) + ω (5) όπου F 0 k A ω 0 A και ω 0 πf 0 k 50 N/ 0,500 kg f 0,76 s Δεδομένου τώρα ότι ω 0 πf 0 και ω πf, η Εξίσωση 5 γίνεται: Α(f) f 0 A (f 0 f ) + 4π f A ( f f ) + f 0 π 4 f 0 A Α(f) ( f f ) + f 0 4π 4 f 0

A (5,00) ( (3,00 s ) (,76 s ) ) (3,0 Ns + ) (3,00 s ) 4(3,4) (0,500 kg) (,76 s ) 4 A,09 ΑΣΚΗΣΗ 3 Οι σεισμολόγοι και οι γεωφυσικοί έχουν προσδιορίσει ότι αν η γη δονηθεί, τότε η ταλάντωση που διεγείρεται έχει περίοδο συντονισμού T54 in και ποιότητα συντονισμού Q400. Μετά από ένα δυνατό σεισμό, η γη θα συνεχίσει να δονείται για δυο () περίπου μήνες. α. Να υπολογίσετε το ποσοστό της ενέργειας της ταλάντωσης που χάνεται σε χρονικό διάστημα μιας πλήρους ταλάντωσης, δηλαδή σε χρονικό διάστημα μιας περιόδου T. β. Να αποδείξετε ότι μετά από n περιόδους η ενέργεια ταλάντωσης της γης δίνεται από τη σχέση E n (0.984) n E 0. γ. Αν η αρχική ενέργεια που εκλύεται από τη σεισμική δόνηση είναι E 0, πόση θα είναι η ενέργεια της σεισμικής ταλάντωσης μετά από.0 ημέρες; Δίνεται το ανάπτυγμα της εκθετικής συνάρτησης: e x + x + x! + x3 3! + x4 4! + α. Ορισμός του συντελεστή ποιότητας Q της ταλάντωσης με απόσβεση: Q π Ε ΔΕ ΔΕ Ε π Q π 400 ΔΕ Ε 0,057 ή ΔΕ Ε,57% β. Για τον συντελεστή ποιότητας Q μιας ταλάντωσης με απόσβεση ισχύει: Q ω 0 τ Σταθερά χρόνου της ταλάντωσης της γης: τ Q ω 0 Q π T0 Q Τ π 0 500 54 in τ 3440 in π Μετά από n πλήρης ταλαντώσεις, δηλαδή μετά από χρονικό διάστημα nt η ενέργεια ταλάντωσης της γης Ε n θα είναι ίση με: Ε n E 0 e nt τ E 0 (e T n τ) E 0 ( + ( T ) + ( T τ! τ ) + ( T n 3! τ )3 + ) Παρατηρούμε ότι ο παράγοντας: Τ τ 54 in 3440 in 0,057 Για το λόγο αυτό, οι παράγοντες του παραπάνω αναπτύγματος που είναι δεύτερης τάξης και πάνω απαλείφονται επειδή πρακτικά είναι ίσοι με το μηδέν. Κατόπιν τούτου, έχουμε: Ε n E 0 ( + ( T n )) Ε τ 0 ( Τ τ )n 54 in Ε 0 ( 3440 in )n E n E 0 (0,984) n γ. Το χρονικό διάστημα των δυο ημερών σε λεπτά είναι ίσο με: Δ ( ημέρες) (4 ώρες in ) (60 ) ημέρα ώρα Δ 880 in

Στο χρονικό αυτό διάστημα έλαβαν χώρα n πλήρεις ταλαντώσεις οι οποίες διάρκεσαν χρονικό διάστημα n περιόδων. Με βάση το συλλογισμό αυτό έχουμε: nt n Δ T 880 in 54 in n 53,3 Σύμφωνα με το αποτέλεσμα του ερωτήματος (β), η ενέργεια των ταλαντώσεων της γης μετά από δυο ημέρες θα είναι ίση με: E n E 0 (0,984) n Ε 0 (0,984) 53,3 Ε n 0,44 Ε 0 ΑΣΚΗΣΗ 4 Καλείστε ως μηχανικοί να υπολογίσετε το ιξώδες ενός τύπου λαδιού με την εξής μέθοδο: Το ιξώδες ενός ρευστού μπορεί να μετρηθεί χρησιμοποιώντας ένα ταλαντωτή ο οποίος ταλαντώνεται μέσα στο συγκεκριμένο ρευστό. Υποθέστε ότι ο ταλαντωτής που θα χρησιμοποιήσετε είναι μια χαλύβδινη σφαίρα που έχει ακτίνα r 6,00 c και η οποία είναι προσαρμοσμένη στο άκρο ενός ελατηρίου που έχει σταθερά k 0,0 N/c και η οποία βρίσκεται εξ ολοκλήρου μέσα στο λάδι που σας έχουν δώσει. Εκτρέπετε τη σφαίρα από τη θέση ισορροπία, εκτείνοντας ή συμπιέζοντας το ελατήριο κατά διάστημα Α 0 και στη συνέχεια αφήνετε το σύστημα ελατηρίου χαλύβδινης σφαίρας να ταλαντωθεί ελεύθερα. Μετά από χρονικό διάστημα οχτώ περιόδων ταλάντωσης ( 8T) παρατηρείτε ότι το πλάτος Α ταλάντωσης της χαλύβδινης σφαίρας έχει μειωθεί στο 50% του αρχικού πλάτους Α 0. Με βάση τα δεδομένα αυτά να υπολογίσετε: α. Το ιξώδες του λαδιού που σας έδωσαν. β. Τον παράγοντα Q (ποιότητα συντονισμού) του ταλαντωτή που χρησιμοποιήσατε. Δίνονται επίσης: Η ταχύτητα υ της ταλαντευόμενης σφαίρας μέσα σε ρευστό είναι σχετικά μικρή, οπότε η οπισθέλκουσα δύναμη (δύναμη εσωτερικής τριβής) που ασκεί το ρευστό πάνω στη σφαίρα είναι ανάλογη με την ταχύτητα υ: F d 6πηrυ (νόμος του Sokes), όπου η είναι το ιξώδες του ρευστού και r είναι η ακτίνα της σφαίρας. Η πυκνότητα του χάλυβα: ρ7,80 g/c 3. α. Σε κάθε ταλάντωση με απόσβεση θεωρούμε ότι το μέτρο της δύναμη αντίστασης (οπισθέλκουσας δύναμης) η οποία είναι υπεύθυνη για τις απώλειες ενέργειας του ταλαντωτή είναι ανάλογη με την ταχύτητα του ταλαντωτή: F d υ () Στην περίπτωση που ο ταλαντωτής είναι σφαίρα ακτίνας r η δύναμη αντίστασης δίνεται από το νόμο του Sokes και είναι ίση με: F d 6πηrυ () Από τις σχέσεις () και () προκύπτει ότι: 6πηr (3) Από τη θεωρία όμως έχουμε ότι η σταθερά χρόνου τ της ταλάντωσης είναι ίση με: τ (4) Από τις σχέσεις (3) και (4) προκύπτει ότι: τ η (5) 6πηr 6πτr Πρέπει να υπολογίσουμε τη μάζα της χαλύβδινης σφαίρας καθώς και σταθερά χρόνου τ.

Η πυκνότητας μάζας ρ ομογενούς σώματος δίνεται από τη σχέση: ρ V ρv ρ 4πr3 3 όπου ο όγκος σφαίρας ακτίνας r είναι ίσο με: V 4πr3 (7800 kg 3 4π (0,0600 )3 ) 7,057 kg 3 Για τον υπολογισμό της σταθεράς χρόνου θα χρησιμοποιήσουμε την παρατήρηση ότι το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται στο 50% του αρχικού πλάτους Α 0 σε χρονικό διάστημα οχτώ περιόδων. Γνωρίζουμε λοιπόν ότι Α Α 0 0,5 (6) Από την εξίσωση που δίνει το πλάτος ταλάντωσης συναρτήσει του χρόνου σε μια ταλάντωσης με απόσβεση έχουμε: Α Α 0 e τ Α e τ 0,5 e 8Τ τ (7) Α 0 Από την εξίσωση που δίνει τη γωνιακή συχνότητα ενός ταλαντωτή που έχει μάζα και ταλαντώνεται σε ελατήριο με σταθερά k, υπολογίζουμε την περίοδο της ταλάντωσης: 3 ω k 4π Τ k Τ π k π 7,057 kg 000 N/ T 0,576 s Γνωρίζοντας πλέον την περίοδο T του ταλαντωτή, από την Εξίσωση 7 με λογαρίθμιση υπολογίζουμε τη σταθερά χρόνου τ: ln 0,5 ln (e 8Τ τ) 8Τ τ 4Τ τ Οπότε, η σχέση (5) μας δίνει: η 6πτr 7,057 kg 6π (3,045 s) (0,0600 ) τ 4Τ 4 0,576 s ln 0,5 (0,693) η,040 kg s β. Ο συντελεστής ποιότητας Q δίνεται από τη σχέση: Q ω 0 τ ( k ) τ τ 3,045 s Q ω 0 τ k N/ τ 000 (3,045s) Q 36,5 7,057 kg ΑΣΚΗΣΗ 5 Αν το πλάτος μιας αρμονικής ταλάντωσης με απόσβεση μειώνεται στο /e του αρχικού πλάτους Α 0 (δηλαδή ΑΑ/e) μέσα σε n περιόδους όπου n>, τότε να αποδείξετε ότι ο λόγος της περιόδου T της

συγκεκριμένης αυτής ταλάντωσης δια την περίοδο Τ 0 της ταλάντωσης χωρίς απόσβεση είναι ίσος με: T ( + T 0 4π n )/ + 8π n Αν η σταθερά χρόνου (δηλαδή ο χρόνος απόσβεσης) της συγκεκριμένης ταλάντωσης είναι τ, τότε σε χρονικό διάστημα ΔnT, όπου n> και T η περίοδος της ταλάντωσης, το πλάτος το πλάτος της ταλάντωσης θα είναι ίσο με: A A 0 e Δ τ A 0 e nτ τ Επειδή όμως μας δίνεται ότι: Α Α 0 e Α e nτ τ Α 0 η προηγούμενη σχέση γίνεται: Α Α 0 e nτ τ e e nτ τ e ln e nτ τ ln e nt T τ τ n () H γωνιακή συχνότητα ω ενός ταλαντωτή με απόσβεση είναι ίση με: ω ω 0 4τ () Θέτουμε στη σχέση () ωπ/t και ω 0 π/t 0 : π Τ 4π Τ 4π 4π 0 4τ Τ Τ 4π 0 4τ Τ 4π + (3) 0 Τ 4τ Πολλαπλασιάζουμε και τα δυο σκέλη της σχέσης (3) επί Τ, οπότε έχουμε: Τ Τ 0 + Τ + Τ + ( Τ 6π τ 4π 4τ 4π τ ) (4) Από τις σχέσεις () και (4) έχουμε: Τ Τ + + T ( + 0 4π n 4π n T 0 4π n ) Επειδή n>, εύκολα διαπιστώνει κανείς ότι 4π n ή ισοδύναμα Ισχύει η ταυτότητα: αν x ( ± x) n ± nx 4π (5) 4π n (6) Με βάση την ταυτότητα αυτή και με δεδομένη ότι ισχύει η σχέση (6), η σχέση (5) γίνεται: T T 0 + T + 4π n T 0 8π n Παρατηρούμε ότι και στην περίπτωση που n, ο παράγοντας (/8π )<<, οπότε ισχύει πρακτικά: Τ Τ 0 ή ισοδύναμα ω ω 0 ΑΣΚΗΣΗ 6 Ένα αντικείμενο που έχει μάζα.00 kg ταλαντώνεται στο άκρο ενός ελατηρίου που έχει σταθερά k400 N/. Ο συγκεκριμένος ταλαντωτής έχει μια σταθερά απόσβεσης.00 kg/s και διεγείρεται από μια δύναμη η οποία μεταβάλλεται ημιτονικά με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση FF 0 sin(ω), όπου F 0 0.0 N και ω0.0 rad/s. α. Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης του αντικειμένου.

β. Εάν μεταβάλλετε τη συχνότητα της εξωτερικής δύναμης, τότε σε ποια συχνότητα θα παρατηρήσετε το συντονισμό; γ. Να υπολογίσετε το πλάτος ταλάντωσης του ταλαντωτή στην κατάσταση του συντονισμού. δ. Να υπολογίσετε το εύρος Δω της καμπύλης συντονισμού. α. Α(ω) Α(ω) F0 (ω 0 ω ) + ω τ όπου: ω 0 F0 ( k ω ) + ω k και F 0 ( k ω ) + ω τ. Οπότε: F 0 (k ω ) + ω Στη γωνιακή συχνότητα ω0,0 rad/s του διεγέρτη, το πλάτος της ταλάντωσης θα είναι: 0,0 Ν Α(0,0rad/s) (400 Ν/ (,00 kg)(0,0 rad/s) ) + (,00 kg/s) (0,0 rad/s) A (ω 0,0 rad rad ) 0,0498 ή A (ω 0,0 ) 4,98 c s s β. Σε κάθε ταλάντωση με εξωτερική διέγερση, ο συντονισμός παρατηρείται όταν η γωνιακή συχνότητα ω του διεγέρτη είναι ίση με τη γωνιακή συχνότητα συντονισμού ω 0 του ταλαντωτή: ω ω 0 k 400 N/,00 kg γ. Στην κατάσταση συντονισμού: ω 4, rad/s A ax A(ω ω 0 ) F 0 ω 0 A ax 0,355 ή A ax 35,5 c Α ax F 0 ω 0 δ. Συντελεστής ποιότητας του συντονισμού: Q ω 0 τ όπου ω 0 4, rad/s και τ,00 kg,00 kg/s,00 s Οπότε: Q ω 0 τ (4,rad/s)(,00s) Q 4, Εξ ορισμού όμως: Q ω 0 Δω Δω ω 0 Q 4, rad/s 4, 0,0 Ν (,00 kg rad s ) (4, s ) Δω,00 rad/s ΑΣΚΗΣΗ 7 Ένα φυσικό εκκρεμές εκτελεί μια αρμονική ταλάντωση με απόσβεση. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της γωνίας εκτροπής σε rad του εκκρεμούς συναρτήσει του χρόνου. Η ροπή αδράνειας του φυσικού εκκρεμούς ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι Ι5.90x0-5 kg :

θ (rad) α. Να υπολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης καθώς και τη σταθερά ροπή επαναφοράς D του φυσικού εκκρεμούς (ροπή επαναφοράς ανά μονάδα γωνιακής μετατόπισης, δηλαδή το αντίστοιχο της σταθεράς ελατηρίου). β. Να υπολογίσετε το συντελεστή ποιότητας Q του ταλαντωτή. (s) α. Υπολογισμός της περιόδου T και της γωνιακής συχνότητας ω του φυσικού εκκρεμούς: Στο γράφημα θf() του φυσικού εκκρεμούς μετρούμε n50 πλήρεις ταλαντώσεις σε χρονικό διάστημα Δ600 s. Από την παρατήρηση ατή προκύπτει η περίοδος ταλάντωσης του φυσικού εκκρεμούς: T Δ n 600 s 50 T,0 s Η γωνιακή συχνότητα ταλάντωσης του φυσικού εκκρεμούς είναι: ω π Τ π,0s ω 0,53 s Η σταθερά ροπή επαναφοράς του φυσικού εκκρεμούς προκύπτει ως εξής: Η ροπή επαναφοράς τ του φυσικού εκκρεμούς είναι ανάλογη της γωνίας εκτροπής θ αυτού: τ D θ () όπου D είναι η ζητούμενη σταθερά ροπή επαναφοράς και τ Ι d θ d Οπότε, η σχέση () γίνεται: Ι d θ d D θ d θ d + D Ι θ 0 Ο συντελεστή D/I της γωνίας εκτροπής θ στην παραπάνω διαφορική εξίσωση είναι ίση με το τετράγωνο της γωνιακής ιδιοσυχνότητας ω 0 του φυσικού εκκρεμούς. Αποδείξαμε στις ασκήσεις 9 και ότι, σε μια ταλάντωση με απόσβεση, στην οποία η σταθερά χρόνου τ είναι πολλές φορές μεγαλύτερη από την περίοδο Τ της ταλάντωσης, η γωνιακή συχνότητα ω της ταλάντωσης με απόσβεση είναι ίση με τη γωνιακή ιδιοσυχνότητα ω 0 του ταλαντωτή (ωω 0 ). Κατόπιν τούτων, ο συντελεστής D/I στην παραπάνω διαφορική εξίσωση θα είναι ίση με: ω D I D ω Ι (0,53 s ) (5,90 0 5 kg ) D,6 0 5 kg /s β. Υπολογισμός του συντελεστή ποιότητας Q: Το αρχικό πλάτος της ταλάντωσης είναι Α 0 0,60 rad

Από τη γραφική παράσταση θf() που δίνεται, προκύπτει ότι τη χρονική στιγμή 00 s το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α0,0 rad. Α() A 0 e τ A() A 0 e τ 0,0 rad 00 s 0,60 rad e τ 0,60 e00 s τ 0,0 00 s 00 s ln(3,00) ln (e τ ) ln(3,00) τ τ 00 s ln(3,00) τ 546 s Q ω 0 τ (0,53 s )(546 s) Q 86 ΑΣΚΗΣΗ 8 Σε ένα ταλαντωτή με πολύ ασθενή απόσβεση, όπου ο συντελεστής απόσβεσης είναι πολύ μικρός: α. Να αποδείξετε ότι, η αλλαγή Δω ω 0 ω της γωνιακής συχνότητας, εξαιτίας της απόσβεσης, είναι περίπου ω 0 /8Q. β. Αν η απόσβεση μειώνει τη γωνιακή συχνότητα ενός ταλαντωτής κατά 0,000%, τότε ποια είναι η τιμή Q του συντελεστή ποιότητας; γ. Σε πόσες πλήρεις ταλαντώσεις το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται κατά 5%; α. Η γωνιακή συχνότητα κάθε ταλάντωσης με απόσβεση είναι ίση με: ω ω 0 4τ () όπου τ είναι η σταθερά χρόνου της ταλάντωσης ω, και είναι η φυσική συχνότητα (ιδιοσυχνότητα), η μάζα και ο συντελεστής απόσβεσης του ταλαντωτή, αντίστοιχα. Σε κάθε ταλάντωση με απόσβεσης, ο συντελεστής ποιότητας Q της ταλάντωση είναι ίσος με: Q ω 0 τ () Δεδομένου ότι η ταλάντωση έχει ασθενή απόσβεση, η σταθερά χρόνου τ πρέπει να είναι πολύ μεγαλύτερη από την περίοδο T της ταλάντωσης, ή ισοδύναμα, το /τ πρέπει να είναι πολλές φορές μικρότερο από τη συχνότητα f της ταλάντωσης. Με άλλα λόγια, θα πρέπει η γωνιακή συχνότητα ω του ταλαντωτή να προσεγγίζει την ιδιοσυχνότητα ω 0. Με βάση το συλλογισμό αυτό, από την Εξίσωση έχουμε: ω ω 0 ω 0 4τ ω 0 4τ ω 0 4τ ω 0 (3) Η Ανισότητα 3 σε συνδυασμό με την Εξίσωση δίνει: 4Q (4) Οπότε:

Δω ω 0 ω ω 0 ω 0 4τ ω 0 ω 0 4τ ω 0 ω 0 ω 0 4Q Δω ω 0 ω 0 ( 4Q ) ω0 ω 0 ( 4Q ) ω 0 ω 0 + ω 0 8Q Δω ω 0 8Q (5) Έγινε χρήση της προσέγγισης μικρών αριθμών: Αν x ( ± x) n ± nx β. Από το γεγονός ότι η απόσβεση προκαλεί 0,000% μείωση στη τιμή της γωνιακής συχνότητας ω 0 η Εξίσωση 5 δίνει: Δω 0,00000 ω 0 ω 0 8Q 0,00000 ω 0 8Q 0,00000 8Q 000000 Q 354 (6) γ. Τη χρονική στιγμή το πλάτος ταλάντωσης του ταλαντωτή είναι: Α Α 0 e τ (7) Τη χρονική στιγμή, μετά από Ν περίοδοι της ταλάντωσης, δηλαδή μετά από χρονικό διάστημα ΝT, το πλάτος της ταλάντωσης του ταλαντωτή θα είναι ίσο με: Α Α 0 e τ Α0 e +NT τ (8) Από τις Εξισώσεις 7 και 8 προκύπτει η σχετική μεταβολή του πλάτους της ταλάντωσης (η οποία είναι ίση με 5%): ΔΑ Α Α Α Α 0e τ Α 0 e +NT τ Α Α 0 e Α 0e τ Α 0 e τ e NT τ τ Α 0 e τ ΔΑ Α NT e τ 0,5 e NT τ 0,75 ln (e NT τ ) ln(0,75) ΝΤ τ 0,88 Ν 0,88 τ 0,88 0,88 τf Τ π N 0,88 π τω 0,88 π τπf 0,88 π 0,88 Q 354 N 6 πλήρης ταλαντώσεις π Α 0 e τ ( e NT τ ) Α 0 e τ τπf

ΑΣΚΗΣΗ 9 Ένας ταλαντωτής με ασθενή απόσβεση έχει μάζα, σταθερά ελατηρίου k και συντελεστή απόσβεσης. Να αποδείξετε ότι σε κάθε χρονική στιγμή ο ρυθμός απωλειών ενέργειας από τον ταλαντωτή είναι ίσος με υ (σε J/s), όπου υ είναι η στιγμιαία ταχύτητα του ταλαντωτή.