Moo armonico: equazione del moo: d x ( ) = x ( ) soluzione: x ( ) = A s in ( + φ ) =π/ Τ T : periodo, = pulsazione A: ampiezza, φ : fase
sposameno: x ( ) = X s in ( ) velocià: dx() v () = = X cos( ) accelerazione: dv() a () = = X sin( ) = = x ()
Esempi di moo armonico: i) moo di un puno maeriale di massa m soo l azione di una forza elasica : F F = -k x u x x x. (posizione di equilibrio) F x <. F x = -k x >. x >. F x = -k x <. x. Legge di Newon: F = m a x F x = m a x kx = m d x ( ( ) ) d x ( ) = x ( ) con: k/m
Pendolo semplice In un piano vericale soo l azione della forza peso mg, per piccole oscillazioni inornoalla posizione di equilibrio (asse vericale): l dθ l θ τ m a θ mg T Vale la relazione geomerica: ds = - l dθ ds d s( ) d ϑ ( ) = l ma = F o = mg + τ Proiezione sull asse angene T: d m d s ( ) ma T = mg sin θ d θ ( ) m l = = m g sin θ ( ) Per piccole oscillazioni: sinθ θ Perano: θ ( ) m g sin θ ( ) con: = θ ( ) g/l
Legge oraria del moo del pendolo : Moo di un pendolo semplice per piccole oscillazioni: d θ ( ) = θ ( ) Legge oraria: θ ( ) = θ s in ( + ϕ ) Periodo: T π = π l g indipendene dalla massa m del pendolo: isocronismo del moo; dalla misura di T deerminazione di g 5
sposameno: x ( ) = X sin ( + φ ) velocià: dx( ) v ( ) X Energia cineica: = cos( + ) φ E k ( ) m v = m X c o s ( + φ ) Energia poenziale: x [ ] [ φ ] E p ( ) F ( x' ) dx' = kx = kx s in ( + ) E() Energia in un moo armonico
E E + E = M k p = mx + φ + kx + φ = kx [ + + + ] cos ( φ ) sin ( φ ) = kx [ cos( )] [ sin( )] k m E M = k X / = cosane Energia meccanica: E(x) E = E E k M p = E M k x E p = kx 7 -X. X x
Corpo soggeo ad una forza elasica ed a una forza resisene proporzionale alla velocià : r r r Moo armonico smorzao m a = F λ v m d x ( ) el dx( ) = kx( ) λ d x ( ) dx( ) + + x ( ) = coefficiene di smorzameno : λ/m k m pulsazione propria Si hanno re possibili casi: > = < moo sovrasmorzao smorzameno criico oscillazioni smorzae
Soluzione di un equazione differenziale lineare omogenea a coefficieni cosani: d x ( ) dx + ( ) + x ( ) = Poso: x ( ) e α d x ( ) α d x ( ) = α e, = d d α e α α α α α e + α e + e = Equazione (algebrica) caraerisica associaa all equazione differenziale: α + α + = soluzione: α = ±
α, α Moo sovrasmorzao : > soluzioni reali dell eq.caraerisica; Soluzione generale: x ( ) = A e + B e α α ( + ) ( ) = A e + B e ( ) ( + ) x( ) = Ae + Be Esempio: = = 3. 4 6. s s 3
Smorzameno criico : = d x ( ) dx + ( ) + x ( ) = d x ( ) dx( ) dx( ) + + + x ( ) = d dx( ) + dx( ) x ( ) x ( ) + + = z() dz( ) + z ( ) = z ( ) = A e Perano: 4 e dx dx + x ( ) z ( ) = A e + e x ( ) = A e x A B [ ( )] d e x ( ) = + x ( ) = e ( A + B ) = A
Leggi orarie del moo: moo sovrasmorzao : ( ) ( + ) x( ) = Ae + Be moo con smorzameno criico : x ( ) = e ( A + B ) 5
α, α 6 soluzioni complesse dell eq.caraerisica : x ( ) = A e + B e = A e + α α ( + i ) ( i ) B e i i = e ( A e + B e ) cos + i sin cos i sin = e [( A + B ) co s + i ( A B ) sin ] Imponendo che x() funzione reale A,B complessi A = a + ib (ossia: A+B = numero reale coniugai : Infai, poso: A - B = numero immaginario) B = a ib A = a + ib A + B = a + a + i ( b + b ) r B = a + ib A B = a a + i ( b b ) ir Moo oscillaorio smorzao : < dove: b a + b = a = b = b b a = a a
Soluzione per il moo debolmene smorzao: A = a + ib B = a ib A + B = a A B = ib x ( ) = e [ a c o s + i b s i n ] = e [ a c o s b s i n ] x ( ) = X e s i n ( + φ ) [ con: a n /, 7 φ = a b X = b + ( a / b ) infai: x ( ) = X e s i n ( + φ ) X X = X e [sin co s φ + co s sin φ ] cosφ = b sin φ = a e [ a c o s b s i n ] an φ = ( a / b ) an φ X sin φ = X = a + an φ ]
Soluzione dell oscillaore armonico con debole smorzameno ( < ) : legge oraria Esempio: x ( ) = X e s i n ( + φ ) Pseudoperiodo : π T = π / = π = 3. 4 s, T = s =. 6 s π / 5,. 9 7, T. 3 T 8
T τ Esempi: = 68. s π = s =. s 3 = 5s 5T oscillazione con debole smorzameno: x () cosane di empo dello smorzameno = 68. s π T = s = s 3 τ = 5. s T.. 3. 4. 5. (s) oscillazione con fore smorzameno: x () (s) 9.. 3. 4. 5.
Equazioni differenziali omogenee e non omogenee : Esempi di equazioni differenziali lineari omogenee (del secondo ordine): d x ( ) + x ( ) = d x ( ) dx + ( ) + x ( ) = Equaz.differenziali lineari non omogenee ( associae alle precedeni): d x ( ) + x ( ) = f ( ) d x ( ) dx( ) + + x f ( ) = ( ) funzione incognia ermine noo ( funzione noa del empo)
Soluzione generale delle equazioni differenziali non omogenee : Imporane proprieà: noa una soluzione paricolare x p la sua soluzione generale è daa da: () dell eq. non omogenea, y()= x()+ x p () { Infai: d x ( ) d x ( ) p + x ( ) = f ( ) + x ( ) = p soluzione generale dell eq.omogenea associaa d x ( ) [ ( ) + p ( )] d x x d x p ( ) + x ( ) + + x p ( ) = f ( ) [ x ( ) x p ( )] d y ( ) + + + y ( ) = f ( )
Su di esso agisce una forza (aggiuniva) noa F(); paricolare ineresse ha il caso: F ( ) = F s in d x ( ) d x ( ) F + + x ( ) = s i n d d m Soluzione generale: Oscillaore armonico forzao : r r r r m a = F el λ v + F ( ) r r r = kxu λ v + F sin u x α x ( ) A e + B e + x ( ) soluzione generale dell eq.omogenea associaa: moo smorzao x om () soluzione paricolare dell eq.non omogenea: soluzione di regime : x () x p () 3 dove si è definio: α x p k m, λ m
Soluzione paricolare dell eq. per un moo armonico forzao da una forza F ( ) = F s in : Soluzione di regime x p ( ) = A ( ) sin ( + ϕ ( )) pulsazione forzane ampiezza e sfasameno dipendeni da Imponendo che x p () sia soluzione dell equazione complea (non omogenea) : d x p ( ) d x p ( ) F + + x p ( ) = s i n d d m A sin( + ϕ ) + A cos( + ϕ ) + A sin( + ϕ ) cos cosϕ sin sin ϕ sin cosϕ + cos sin ϕ 4 = F sin m
( ) A [s in c o s ϕ + c o s s in ϕ ] + Fase ( ) : F A [cos cosϕ sin sin ϕ ] = sin m [( ) A cosϕ A sin ϕ ]sin + [( F ) A sin ϕ + A cos ϕ ]cos = sin m ( ) A c o s ϕ A s in ϕ = ( ) A s in ϕ + A c o s ϕ = F m ( ) a n ϕ + = an ϕ = A F F [( ) an ϕ ] = = + an m cosϕ m 5 ϕ
A Ampiezza A() : ( 4 ) + F 4 = m + ( ) A F [( ) + 4 ] = ( ) + 4 m A ( ) = F / m ( ) + 4 ϕ ( ) = arcan A ( ), ϕ ( ) : ampiezza e fase del moo a regime 6 non dipendono dalle condizioni iniziali, x P () che deerminano le cosani A, B della pare ransioria del moo : x om ()= A e α + B e β
da una forza : Moo di un oscillaore forzao F ( ) = F s in x ( ) x ( ) + x ( ) o m p x om ( ) x p ( ) x x ( ) = ( ) x ( om + p ) 7
L ampiezza dell oscillazione forzaa dipende dalla frequenza forzane : A ( ) = F / m ( ) + 4 = 3rad / s ν = T Hz π curva di risonanza = 3s / M = = 6 s / 5.. 3. 4. (rad/s) Massimo della ampiezza : 8 da d ( ) = ( ) ( ) + 8 = M M M M = M