Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού)

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 03-04 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων των προαγωγικών εξετάσεων στη Β τάξη του Γενικού Λυκείου αποτελεί συνέχεια παρόμοιας προσπάθειας που έγινε κατά τα προηγούμενα δύο σχολικά έτη Τα θέματα προέρχονται από Λύκεια του Νομού ΔωδεκανήσουΤα θέματα επιλέχθηκαν αφενός με βάση το τεχνικό κριτήριο της δυνατότητας επεξεργασίας και αφετέρου το κριτήριο της λιγότερης παρέμβασης Όμως φέτος τα θέματα που παραθέτουμε έχουν υποστεί, στο μέτρο του δυνατού, αξιολόγηση ως προς: Α Το υφιστάμενο νομικό πλαίσιο επιλογής και διάρθρωσης των θεμάτων, Β Το περιεχόμενο τους καθώς και την επιστημονική τους ορθότητα, Γ Την διαβαθμισμένη δυσκολία τους, Δ Την αισθητική τους καθώς και την ηλεκτρονική τους σελιδοπόιηση, Ε Την φιλολογική τους επιμέλεια Έτσι, πολλά από τα θέματα που ακολουθούν, έχουν υποστεί κάποιας μορφής «παρέμβαση», χωρίς ωστόσο να αλλοιωθεί ο χαρακτήρας και η δομή τους Παραδίδουμε λοιπόν στους αγαπητούς μαθητές μας και στους αξιόμαχους συναδέλφους μας μαθηματικούς, αλλά και σε όποιον ενδιαφέρεται για την μαθηματική εκπαίδευση, το υλικό που ακολουθεί και ελπίζουμε να τους βοηθήσει Μάρτιος 05 Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ν Δωδεκανήσου Μαθηματικός Περιηγητής

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Ο(0,0) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση x y (Μονάδες 0) Β Να διατυπώσετε τον ορισμό της παραβολής Γ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α Αν Ax, y και Bx, y, τότε AB x x y y β Αν a x, y και x, y γ Η απόσταση του σημείου 0, 0 από τον τύπο: δ Η εξίσωση 0 0 K x y και ακτίνα 0, 0, τότε a x y x y M x y από τη ευθεία ε: Ax By 0 δίνετε d M, Ax By 0 0 A B x x y y παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο ε Οι ασύμπτωτες της υπερβολής: (Μονάδες 5x=0 ) ΘΕΜΑ ο x a y είναι οι ευθείες: y x και y x a a Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(,), Β(-, 5), Γ(5, 6) Α Να αποδείξετε ότι η γωνία Α του τριγώνου είναι ορθή Β Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Γ Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από την κορυφή Α του τριγώνου και είναι παράλληλη στην πλευρά ΒΓ του τριγώνου (Μονάδες 0) Μαθηματικός Περιηγητής 3

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΘΕΜΑ 3 ο Δίνετε ο κύκλος C x y : 5 Α Να αποδείξετε ότι το σημείο M 4, 3 ανήκει στον παραπάνω κύκλο (Μονάδες 4) Β Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας (ε) του παραπάνω κύκλου στο σημείο του M 4, 3 Γ Να αποδείξετε ότι η ευθεία (ε) εφάπτεται και του κύκλου x y (Μονάδες 3) 0 5 36 ΘΕΜΑ 4 ο x y Δίνεται η έλλειψη με εξίσωση: 5 0 Α Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των κορυφών, των εστιών καθώς επίσης και τη εκκεντρότητα της έλλειψης (Μονάδες 0) Β Να βρείτε τις εφαπτόμενες της έλλειψης οι οποίες είναι κάθετες στην ευθεία : x y 0 Μαθηματικός Περιηγητής 4

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο Α Δίνονται τα διανύσματα ( x, ) και ( x, ), τα οποία δεν είναι παράλληλα στον άξονα ψ ψ και έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι: (Μονάδες 0) Β Να διατυπώσετε τον ορισμό της έλλειψης με εστίες τα σημεία Ε, Ε του επιπέδου και μεγάλο άξονα α (Ισχύει α > (Ε Ε) και α > 0) Στη συνέχεια να γράψετε την εξίσωση της έλλειψης όταν οι εστίες της Ε, Ε είναι σημεία του άξονα x x, την εξίσωση όταν οι εστίες Ε, Ε είναι σημεία του άξονα ψ ψ και να γράψετε τη σχέση που συνδέει τις παραμέτρους α, β και γ Να σχεδιάσετε ένα σχετικό σχήμα Γ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α Αν det(, ) είναι η ορίζουσα των διανυσμάτων και, τότε ισχύει η ισοδυναμία: / / det(, ) β Αν και 0, τότε ισχύει πάντα γ Η ευθεία Ax By 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα (, ) δ Η απόσταση της εστίας Ε της παραβολής x py από τη διευθετούσα της δ είναι ίση με p (Μονάδες 4x=8) ΘΕΜΑ ο Δίνονται τα σημεία: Α(-, 4), Β(, -) και Γ(-, 3) του καρτεσιανού επιπέδου Α Να βρείτε το διάνυσμα και το Β Να βρείτε το διάνυσμα, το συντελεστή διεύθυνσής του και τη γωνία ω που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα x x Μαθηματικός Περιηγητής 5

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου Γ Να γράψετε το διάνυσμα u ( 3,5) ως γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων και Δ Έστω Ε και Ε σημεία του άξονα x x συμμετρικά ως προς το Ο(0,0) τέτοια ώστε: ( ) Να βρείτε την εξίσωση του γεωμετρικού τόπου των σημείων Μ του επιπέδου, τα οποία ικανοποιούν τη σχέση: ( ) ( ) ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η εξίσωση C : x + ψ x 3 = 0 () Α Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () παριστάνει κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα Β Να βρείτε την εξίσωση παραβολής C, της οποίας η εστία Ε ταυτίζεται με το κέντρο του κύκλου και η παράμετρος p της παραβολής με την ακτίνα του κύκλου Γ Να αποδείξετε ότι το σημείο (3, 3) είναι σημείο της παραπάνω παραβολής (Μονάδες 3) Δ Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της παραβολής C στο σημείο (3, 3) εφάπτεται και του κύκλου ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η εξίσωση (ε λ ): (λ+)x (λ + )ψ + 3 = 0, Α Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (ε λ ) παριστάνει ευθεία για κάθε Β Για λ= να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε ), το σημείο Α στο οποίο η ευθεία (ε ) τέμνει τον άξονα x x και την απόσταση του σημείου Ο (0,0) από την (ε ) Γ Για λ = 0, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε 0 ), το σημείο Β στο οποίο η ευθεία (ε 0 ) Μαθηματικός Περιηγητής 6

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου τέμνει τον άξονα ψ ψ, το σημείο τομής Γ των ευθειών (ε 0 ) και (ε ) και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Δ Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες (ε λ ) διέρχονται από το σταθερό σημείο Γ που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα και να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου από τα οποία δε διέρχεται καμιά ευθεία από αυτές που παριστάνει η εξίσωση (ε λ ) Μαθηματικός Περιηγητής 7

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3 ΘΕΜΑ ο Α Να διατυπώσετε τον ορισμό της παραβολής Β Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής και την εστία της αν έχει διευθετούσα δ: x = - Γ Να μεταφέρετε τον παρακάτω πίνακα στην κόλλα σας και να τον συμπληρώσετε εξίσωση κωνικής γραφή της κωνικής στην κανονική της μορφή χαρακτηρισμός κωνικής (κύκλος, παραβολή, έλλειψη, υπερβολή) α β γ δ 4x 36 9y x y x y 4 6 4 0 9x 00 5y y x 0 (Μονάδες ) ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής: Ax By 0 με A 0 ή B 0 () και αντιστρόφως, κάθε εξίσωση της μορφής () παριστάνει ευθεία Β Δίνεται η εξίσωση x y 3 3 0 με Β Να αποδείξετε ότι παριστάνει ευθεία για κάθε (Μονάδες 4) Β Για ποιες τιμές του η παραπάνω ευθεία να διέρχεται από την αρχή των αξόνων; (Μονάδες 3) Μαθηματικός Περιηγητής 8

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΘΕΜΑ 3 ο Δίνονται τα σημεία A,, B3, 8 και 5, 6 Α Να αποδείξετε ότι δεν είναι συνευθειακά Β Να βρείτε τα μέσα Μ και Ν των τμημάτων ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα (Μονάδες 4) Γ Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας ΜΝ (Μονάδες 4) Δ Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που είναι παράλληλες στην ΜΝ και απέχουν από την αρχή των αξόνων απόσταση d (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 4 ο Α Δίνονται τα διανύσματα a y, x και y, x γεωμετρικό τόπο C των σημείων, με x, y Να βρείτε τον M x y του επιπέδου για τα οποία είναι a Β Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος C είναι κύκλος, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα Γ Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων του κύκλου που διέρχονται από το σημείο A 0, 5 (Μονάδες 0) Μαθηματικός Περιηγητής 9

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4 ΘΕΜΑ ο Α Αν x, y και x, y δύο διανύσματα με συντελεστές διεύθυνσης, αντίστοιχα, να αποδείξετε την ισοδυναμία: / / Β Να σχεδιάσετε τη παραβολή με εξίσωση y px με p 0 σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Oxy και να σημειώσετε πάνω στο σχήμα την εστία (με τις συντεταγμένες της) και τη διευθετούσα (με την εξίσωσή της) Γ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α Η εξίσωση x a y a ( 0 ) παριστάνει υπερβολή β Αν είναι η εκκεντρότητα μιας έλλειψης τότε γ Η ευθεία με εξίσωση Ax By 0 είναι παράλληλη με το διάνυσμα A, B δ Για δύο οποιαδήποτε διανύσματα, ισχύει ε Η εξίσωση o 0 (Μονάδες x5=0) a x x y y παριστάνει πάντα κύκλο ΘΕΜΑ Ο Δίνονται τα σημεία Α(5, 3) Β(-, 8) Γ(4, 0) Α Να αποδείξετε ότι δεν είναι συνευθειακά (Μονάδες 0) Β Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη στην ΒΓ (Μονάδες 0) Γ Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Μαθηματικός Περιηγητής 0

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΘΕΜΑ 3 Ο Έστω διανύσματα, και w με, 3 και, 3 Αν 3 Α (Mονάδες 8) Β w (Mονάδες 8), Γ (Mονάδες 9), να υπολογίσετε: ΘΕΜΑ 4 Ο Α Να βρείτε η εξίσωση της έλλειψης με κέντρο την αρχή των αξόνων, μεγάλο άξονα πάνω στον άξονα των y y και διέρχεται από τα σημεία A 3, 4 και, 6 (Μονάδες 3) Β Αν η εξίσωση έλλειψης του ερωτήματος (Α) είναι Να βρείτε : i Τον μεγάλο άξονα ii Τον μικρό άξονα (Μονάδες 3x4=) iii Τις εστίες x y 3 5 iv Την εκκεντρότητα B Μαθηματικός Περιηγητής

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5 ΘΕΜΑ ο Α Αν a x, y και x, y δύο διανύσματα, να αποδείξτε ότι: a, όπου και είναι οι συντελεστές διεύθυνσης των a, αντίστοιχα, εφόσον αυτά δεν είναι παράλληλα στον άξονα y y (Μονάδες 0) Β Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α Αν a, ομόρροπα διανύσματα τότε a a β Η ευθεία με εξίσωση Ax By 0 γ Mια ευθεία που διέρχεται από το σημείο o, o έχει εξίσωση y y δ Η παραβολή με εξίσωση o είναι παράλληλη στο διάνυσμα B, A y p px έχει εστία E, 0 ε Η εξίσωση της έλλειψης με εστίες E, 0 και, 0 είναι (Μονάδες x5=0) x y a με A x y και είναι παράλληλη στον x x E και μήκος μεγάλου άξονα Γ Να διατυπώσετε τον ορισμό της έλλειψης με εστίες τα σταθερά σημεία E και E του επιπέδου ΘΕΜΑ ο Για τα διανύσματα a, ισχύει a Έστω επίσης το διάνυσμα v a Α Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a, και a, ˆ 4 Μαθηματικός Περιηγητής

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου Β Να βρείτε το v Γ Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο av Δ Να αποδείξετε ότι a, ˆ ΘΕΜΑ 3 5 5 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και οι συντεταγμένες των κορυφών του Α(6, ) και Γ(, 3) Αν το ύψος του ΑΔ έχει εξίσωση x y 4 0 και η διάμεσός του ΒΛ έχει εξίσωση y x 6, να βρείτε: Α Την εξίσωση της πλευράς ΒΓ Β Την εξίσωση της πλευράς ΑΓ Γ Τις συντεταγμένες της κορυφής Β Δ Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΛ, όπου Λ το μέσο της ΑΓ ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η εξίσωση * x y x 4 y 0 () όπου Α Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () παριστάνει κύκλο για κάθε προσδιορισετε το κέντρο και την ακτίνα του * του οποίου να Β Να αποδείξετε ότι τα κέντρα όλων των παραπάνω κύκλων ανήκουν σε παραβολή από την οποία εξαιρείται η κορυφή της Γ Να βρείτε την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής του ερώτηματος (Β) Δ Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραπάνω παραβολής που είναι κάθετη στην ευθεία y x Μαθηματικός Περιηγητής 3

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6 ΘΕΜΑ ο Α Να διατυπώσετε τον ορισμό της έλλειψης Β Αν ( x, y), να αποδείξετε ότι x y (Μονάδες 0) Γ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α Αν det( a, ) 0 β Αν / /, R γ Αν : Ax By 0 ευθεία και σημείο 0 ( x 0, y 0 ) εκτός αυτής τότε: d(, ) 0 A B 0 0 x y 0 0 δ Η εξίσωση x y Ax By 0 παριστάνει πάντα κύκλο (Μονάδες x4=8) ΘΕΜΑ ο Δίνονται τα διανύσματα (, 4) και ( 8, 5) Να αναλύσετε το σε δύο κάθετες συνιστώσες και από τις οποίες η / / ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται το σημείο του επιπέδου M t, 4t 3, t Α Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων M είναι η ευθεία : x y 0 (Μονάδες 9) Β Να υπολογίσετε την απόσταση του σημείου O 0, 0 από την ευθεία Μαθηματικός Περιηγητής 4

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου Γ Να βρείτε το σημείο της ευθείας που απέχει από το O 0, 0 την ελάχιστη δυνατή απόσταση (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 4 ο Α Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων όταν διέρχεται από το Μ (, 3 ) Β Αν Ρ( x, y ) σημείο του κύκλου του προηγούμενου ερωτήματος, με x 0 και y 0 βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο Ρ και τα σημεία Α και Β που αυτή τέμνει τους άξονες (συναρτήσει των x και y ) Γ Να βρείτε το σημείο Ρ τέτοιο ώστε η εφαπτομένη του κύκλου στο Ρ να τέμνει τους άξονες σε δύο σημεία Α και Β ώστε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ να έχει μήκος 4 (Μονάδες ), να Μαθηματικός Περιηγητής 5

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΘΕΜΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7 Α Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου x y στο σημείο του, A x y έχει εξίσωση xx yy Β Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α Αν a x, y β Αν a τότε a x y, τότε γ Η ευθεία με εξίσωση Ax By 0 p δ Η παραβολή με εστία E, 0 και αντιστρόφως είναι παράλληλη στο διάνυσμα B, A p και διευθετούσα : x έχει εξίσωση x py ε Όταν η εκκεντρότητα μιας έλλειψης τείνει στη μονάδα, τότε η έλλειψη τείνει να γίνει κύκλος (Μονάδες 5x=0) ΘΕΜΑ ο Δίνονται τα σημεία A,, B,,, 4 Α Να αποδείξετε ότι τα σημεία A, B, είναι κορυφές τριγώνου Β Να βρείτε σημείο Δ, ώστε το ΑΒΓΔ να είναι παραλληλόγραμμο (Μονάδες 9) Γ Να βρείτε το κέντρο Κ του παραλληλογράμμου (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ Γ Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι, 3 Έστω ότι το ύψος και η διάμεσος που άγονται από την κορυφή Α έχουν εξισώσεις 3x 5y 6 0 και x y 0 αντίστοιχα Α Να αποδείξετε ότι το σημείο Α έχει συντεταγμένες, 0 Μαθηματικός Περιηγητής 6

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου Β Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΒΓ Γ Να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες του Β είναι 5, Δ Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ ΘΕΜΑ 4 ο Δίνονται οι εξισώσεις: C x y x y και : 6 0 C x y x y με : 4 4 4 0 Α Για ποιες τιμές του οι παραπάνω εξισώσεις παριστάνουν κύκλους; Β Να βρείτε τα κέντρα και τις ακτίνες (συναρτήσει του ) των παραπάνω κύκλων Γ Να αποδείξετε ότι για οι εφαπτομένες τους σε ένα κοινό τους σημείο είναι κάθετες μεταξύ τους και να βρείτε την εξίσωση της κοινή τους χορδής (Μονάδες ) Μαθηματικός Περιηγητής 7

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8 ΘΕΜΑ ο Α Αν ( x, y ) ( x, y) με συντελεστές διεύθυνσης,, να αποδείξετε ότι: / / (Μονάδες 0) Β Να διατυπώσετε τον ορισμό της παραβολής με εστία Ε και διευθετούσα την ευθεία (δ) Γ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α Αν τότε, είναι παράλληλο στην ευθεία: β Το διάνυσμα : x y 0, 0 ή 0 γ Το εμβαδόν του τριγώνου δίνεται πάντα από τον τύπο: ( ) det, δ Σε κάθε έλλειψη με εστιακή απόσταση και μήκος μεγάλου άξονα ισχύει ότι : ε Κάθε ευθεία του επιπέδου που διέρχεται από το σημείο Ax, 0 y o έχει εξίσωση της μορφής y y0 x x0 (Μονάδες 5x=0), ΘΕΜΑ ο Δίνονται τα σημεία A,, B,, 0,, Α Να βρείτε τις τιμές του ώστε τα σημεία Α, Β, Γ να ορίζουν τρίγωνο Β Για, να υπολογίσετε: α το μήκος της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ, (Μονάδες 9) β την τιμή της παράστασης ( ) Μαθηματικός Περιηγητής 8

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΘΕΜΑ 3 ο Δίνονται οι ευθείες : x 3y 4 0 και : 4x 3y 0, κ Α Να βρείτε το ώστε οι ευθείες, να είναι παράλληλες Β Για α Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας δ, η οποία είναι κάθετη στην στο σημείο της A, και το σημείο τομής της Β με την (Μονάδες 0) β Να βρείτε την απόσταση των ευθειών, γ Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C ο οποίος εφάπτεται στις ευθείες, στα σημεία Β, Α ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η υπερβολή C :6 x 9 y 44 και η γραμμή C : x y 6x y 9 0 Α Να βρείτε τις εστίες και οι ασύμπτωτες της υπερβολής C Β Να αποδείξετε ότι η γραμμή C είναι κύκλος του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα Γ Να εξετάσετε τη σχετική θέση του κύκλου C και της ασύμπτωτης της υπερβολής που σχηματίζει οξεία γωνία με τον x x Δ Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που διέρχονται από την αρχή των αξόνων Μαθηματικός Περιηγητής 9