0 Termotehnica.PRIMUL PRINCIPIU AL TERMODINAMICII Noţiunea de rinciiu defineşte o afirmaţie care nu se oate demonstra matematic. Princiiul rerezintă rezultatul studiilor exerimentale asura roceselor din natură. El este accetat ca atare şi nu se cunosc situaţii care să-l infirme. Primul rinciiu al termodinamicii este o formă a legii generale a conservării energiei, alicată în cazul sistemelor termodinamice. El a fost formulat în 84 de către Julius Robert von Mayer. Enunţul general este următorul: într-un sistem izolat, energia se conservă indiferent de transformările care au loc în interior. Din unct de vedere cantitativ, rinciiul I statuează conservarea energiei: ea nu oate fi creată, nici distrusă. Din unct de vedere calitativ, rinciiul I indică osibilitatea transformării energiei dintr-o formă în alta, în cantităţi determinate.. Energia internă Energia internă este o mărime de stare care rerezintă energia termică a unui cor într-o stare termodinamică oarecare. Se notează cu U şi se masoară în [J]. În calcule este util să raortăm energia internă la unitatea de masă: u = U, m Mărimea u este energia internă secifică şi se măsoară în [J/Kg]. Energia internă se defineşte conform teoriei cinetico-moleculare (Maxwell şi Claussius) ca fiind : U = U cin + U ot + U0 unde: U cin -suma energiei cinetice moleculare coresunzătoare mişcărilor de rotaţie, translaţie şi vibraţie ; U ot -suma energiei otenţiale datorată forţelor de interacţiune (atracţie / resingere) dintre molecule ; U0 - suma energiei din interiorul articulelor (la nivel submolecular). Trebuie subliniat că din energia internă U nu face arte energia cinetică datorată mişcării sistemului în ansamblu şi nici energia otenţială a sistemului aflat în câm de forţe externe. Ambele tiuri de energie sunt externe. Energia internă este o mărime de stare, deci deinde de arametrii de stare ai sistemului. In calculele tehnice nu interesează valoarea absolută a energiei interne, ci numai variaţia ei atunci cand sistemul trece dintr-o stare în alta. U = U f U i unde U f -energia internă a sistemului în stare finală; U i -energia internă a sistemului în stare iniţială. Pentru un anumit sistem termodinamic, comoneneta U 0 a energiei conţinute în interiorul articulelor este constantă în timul oricărui roces temodinamic. Prorietăţile articulelor, rivite ca solide rigide, se consideră neschimbate în timul unui roces termodinamic. Astfel, variaţita energiei interne este: U = U cin + U ot
Termotehnica Energia internă deinde de viteza de agitaţie a moleculelor, de masa şi numărul lor. Ea se manifestă, la nivel macroscoic, rin gradul de încălzire a gazului, care se măsoară, la rândul său, rin temeratură. Deci, energia internă a unui gaz erfect deinde numai de temeratură, nu şi de volum. Ea rerezintă suma energiei articulelor (moleculelor) înseşi. Dacă numărul de molecule este acelaşi, indferent de volumul ocuat, energia internă rămane aceeaşi.. Lucrul mecanic Lucrul mecanic rerezintă energia schimbată între sistem şi mediul exterior în cursul unei interacţiuni mecanice. Lucrul mecanic, L, se exrimă rin rodusul dintre comonenta forţei, F, e direcţia de delasare şi distanţa x e care se delasează unctul de alicaţie al forţei. Pentru o delasare elementară, dx, lucrul mecanic elementar schimbat cu mediul va fi: δ L = F dx u>0 l<0 a) l>0 b) Fig.. Variaţia energiei interne şi lucrul mecanic în cazul roceselor de: a)comresiune; b)destindere Datorită interacţiunii mecanice între sistem şi mediu, energia internă a sistemului se modifică. Considerând ca sistem gazul curins în cilindrul din fig., variaţia energiei interne U este ozitivă sau negativă în funcţie de variaţia lucrului mecanic. Atât în cazul comresiunii, cât şi în cel al destinderii, considerând rocesul (mişcarea istonului ) suficient de lent, astfel încât resiunea să fie constantă e iston, lucrul mecanic elementar oate fi scris: δ L = A dx unde A- aria secţiunii transversale a istonului; - resiunea e iston, egală cu resiunea gazului. Dar dv = A dx rerezintă variaţia elementară a volumului de gaz. Astfel: (.) δ L = dv [J] Lucrul mecanic secific rerezină lucrul mecanic raortat la unitatea de masă de gaz. O cantitate elementară de lucru mecanic secific este dată de relaţia:
Termotehnica (.) δ l = dv [J/Kg] În termodinamică, s-a stabilit convenţional că lucrul mecanic rimit de către sistem din exterior este negativ (L<0) cazul comresiunii, iar lucrul mecanic cedat de sistem în exterior este ozitiv (L>0) cazul destinderii. In cazul comresiei, sau în cel al destinderii, rocesul oate fi considerat reversibl dacă se neglijează frecarea între iston şi gaz. În această situaţie, inversarea sensului de mişcare a istonului conduce la revenirea sistemului în starea iniţială. u>0 l<0 Fig...Lucrul mecanic efectuat de elice se transformă ireversibil în căldură Să urmărim sistemul din fig... Acest sistem (gazul din interiorul cilindrului) rimeşte energie sub formă de lucru mecanic din exterior, datorită interacţiunii mecanice dintre gaz şi aletele care se rotesc. Se observă că resiunea e aletele elicii este diferită de cea a gazului. Lucrul mecanic nu se oate exrima rin relaţiile de mai sus. In acest caz, lucrul mecanic rimit de sistem este de frecare şi se transformă ireversibil în căldură. Prin inversarea sensului rocesului, adică rin inversarea sensului de rotire a aletelor, sistemul nu mai oate fi adus în starea iniţială..3 Lucrul mecanic în transformările de stare reversibile Se consideră gaz închis într-un cilindru cu ajutorul unui iston mobil. El trece dintr-o stare termodinamică iniţială, într-o stare finală,. La un moment dat, într-o stare intermediară a acestei transformari, gazul are resiunea şi ocuă un volum V. Pentru o delasare infinitezimală a istonului, e distanţa dx, în cursul căreia se oate neglija variaţia resiunii, volumul se măreşte cu dv. Lucrul mecanic elementar efectuat de gaz rin delasarea istonului e distanţa dx se exrimă astfel: δ L = dv Se notează δ L şi nu dl deoarece nu este vorba desre variaţia infinit mică a mărimii L. Lucrul mecanic nu este o mărime de stare care să sufere variaţii la trecerea sistemului dintr-o stare în alta, ci o mărime de roces. Deci δ L rerezintă o cantitate elementară de lucru mecanic şi nu o diferenţială totală exactă.
Termotehnica 3 Lucrul mecanic efectuat de gaz rin delasarea sistemului e distanţa x la trecerea dintr-o stare iniţială într-o stare finală este: (.3) L = dv [J] l = dv δl=.dv v v v v Fig..3 Diagrama lucrului mecanic într-o transformare de stare reversibilă În figura.3 s-a rerezentat grafic variaţia resiunii gazului din cilindru în funcţie de volumul ocuat, într-o diagramă având în ordonată resiunea, iar în abscisă volumul. Se oate observa că lucrul mecanic efectuat de kg gaz, l, este rerezentat de aria curinsă sub curba -, adică aria haşurată ' '. Această diagramă, care ermite rerezentarea grafică a lucrului mecanic se numeşte diagrama mecanică. Lucrul mecanic ecific va fi: (.4) l = dv [J/Kg].4 Lucrul mecanic de dislocare (delasare) In cazul sistemelor deschise, e langă interacţiunea mecanică de tiul iston (iesă mobilă) gaz, mai aare o interactiune mecanică de tiul gaz gaz. Astfel, dacă în cilindrul unei maşini cu iston intră gaz la resiune constantă, rintr-o conductă care face legătura între sistem şi mediul ambiant (fig..4), entru introducerea fiecarui kilogram de gaz în sistem, se consumă din exterior un lucru mecanic egal cu: (.5) = F x = A x = V [J] L d
4 Termotehnica Acest lucru mecanic cedat fiecărei tranşe de gaz de către masa de gaz aflată în satele său (care actioneaza ca un iston), se numeşte lucru mecanic de delasare (de dislocare). În fig..4, tranşele de gaz cu masa de kg sunt rerezentate rin ătrate mici care se succed e conducta de admisie. Lucrul mecanic de delasare rerezintă măsura energetică a interacţiunii rin transfer de masă între sistem şi mediul exterior, la intrarea şi resectiv ieşirea fluidului din sistem. În timul admisiei, fluidul intră în sistem, deci sistemul rimeşte lucru mecanic din exterior. În timul evacuării, fluidul iese din sistem, deci sistemul cedează mediului lucru mecanic. kg gaz Fig..4 Interacţiunea gaz gaz la un sistem termodinamic deschis; cantitatea de gaz cu masa de kg este rerezentată rin simbolul:.5.lucrul mecanic tehnic Din cauza lucrului mecanic de dislocare, lucrul mecanic schimbat de sistem cu mediul nu rerezintă lucrul mecanic utilizabil, în cazul unui motor termic, sau lucrul mecanic consumat, în cazul comresoarelor. Astfel, se introduce noţiunea de lucru mecanic tehnic. Se consideră o maşină termică roducătoare de lucru mecanic. Masa de agent termic care trece rin maşină în intervalul τde tim este m. Parametrii la intrarea în maşină sunt,v, T. Duă admisie, agentul termic suferă o transformare termodinamică în urma căreia ajunge din starea, în starea. La evacuarea din maşină, agentul termic are arametrii,v, T. Lucrul mecanic total e care îl dezvoltă agentul termic în maşină (care include atât lucrul mecanic rodus la trecerea de la starea la, cât şi lucrul mecanic de admisie şi de evacuare a agentului termic) oartă numele de lucru mecanic tehnic sau lucru mecanic util exterior. Lucrul mecanic de admisie (dislocare) este ozitiv, L a =, V, iar cel de evacuare este negativ Le =, V. Lucrul mecanic tehnic se exrimă sub forma: (.6) Lt = La + L + Le = V + L V Lt = L ( V V ) sau (.7) = = L t dv d( V ) (.8) l = v d entru m = Kg t V d
Termotehnica 5 Lucrul mecanic tehnic se oate calcula grafic cu ajutorul ariilor delimitate în diagrama mecanică rerezetată în figura.5 ' ' l = aria + aria - aria 0 = aria t l a 0 l l e Fig..5. Diagrama mecanică entru deducerea grafică a lucrului mecanic tehnic, ca sumă de arii,unde: 0 aria roorţională cu lucrul de admisie, l a >0 aria roorţională cu lucrul efectuat, l - >0 0 aria roorţională cu lucrul de evacuare, l e <0 v Aria rezultată din însumarea de mai sus este haşurată în fig..6; ea este roorţională cu lucrul mecanic tehnic coresunzător rocesului. l t v v v Fig..6 Lucrul mecanic tehnic rezultat grafic din diagrama rerezentată în fig..5.6 Căldura Căldura este o formă de energie. Intre un sistem termodinamic şi mediul exterior se oate realiza, indeendent de interacţiunile de natură mecanică, un schimb de energie, us în evidenţă rin
6 Termotehnica modificarea temeraturii sistemului. Schimbul energetic încetează dacă temeratura mediului şi a sistemului devin egale [7]. Energia transmisă în acest mod se numeşte căldură. Exerimental s-a constatat că energia schimbată e această cale este roorţională cu masa sistemului şi cu variaţia temeraturii sale. Căldura schimbată de un sistem (cor) cu mediul exterior, într-un roces termodinamic elementar, în cursul căruia temeratura sistemului suferă o variaţie infinit mică, se exrimă astfel : (.9) δ Q = m c dt [J] unde : m - masa corului, [Kg]; dt - variaţia elementară a temeraturii, [K]; c - căldura secifică (căldura masică ), [ J ]. kg K Ecuaţia (.9) rerezintă ecuaţia calorică. Conform acestei relaţii, căldura secifică deinde de natura corului şi de starea sa termodinamică. Căldura elementară, δ Q, nu rerezintă variaţia infinit mică a unei mărimi de stare şi, deci, exresia δ Q nu este o diferenţială totală, ci o cantitate infinit mică de căldură. Căldura Q rimită sau cedată de un sistem într-un roces termodinamic -, în cursul căruia temeratura sistemului variază de la T la T va fi: (.0) Q = m c dt [J] Schimbul de energie între coruri, sub formă de căldură, deinde de natura rocesului termodinamic. Pentru masă unitară, m = kg, rezultă: (.) δ q = c dt (.) q = c dt [J/Kg] Prin convenţie, căldura rimită de un cor, în cursul unui roces termodinamic, este considerată ozitivă (conduce la creşterea temeraturii sistemului, dt > 0), iar căldura cedată este considerată negativă..6 Entalia Entalia este o mărime de stare, ce caractercterizează nivelul energetic al unui sistem termodinamic. Se notează cu H şi se măsoară în [J] sau, dacă se raortează la unitatea de masă, entalia secifică se notează cu h şi se măsoară în [J/kg]. Relaţia de definiţie : H = U + V (.3) h = u + v Entalia este, din unct de vedere analitic, suma dintre energia internă şi lucrul mecanic de delasare. Relaţia de legătură între entalie şi entalia secifică: H = m h Entalia, sau conţinutul total de căldură, este greu de definit ractic, deoarece nu este direct măsurabilă. Se consideră următoarea exerienţă imaginară: ţinem gazul sub resiune constantă şi reducem temeratura ână la zero absolut.
Termotehnica 7 Din acel moment, ăstrând resiunea constantă, introducem o cantitate de căldură ână atingem o anumită temeratură T. Cantitatea totală de căldură a sistemului, astfel introdusă, este egală cu variaţia entaliei..8 Exrimarea matematică a rimului rinciiu al termodinamicii a.sisteme închise Să considerăm un sistem termodinamic închis, care rimeşte de la mediul exterior căldura q şi efectuează (cedează) lucrul mecanic, l. Ţinând cont de convenţiile de semne, în acest caz avem: q > 0 şi l > 0. Dacă energia internă iniţială a sistemului este u, datorită schimbului de energie cu mediul exterior, sistemul va avea în final energia internă u. Primul rinciiu al termodinamicii sune că variaţia energiei interne va fi : (.4) u u = q l [ J/Kg] sau, într-un roces termodinamic elementar suferit de o unitate de masă (m= kg): (.5) du = δ q dv Enunţ : cantitatea de căldură, introdusă din exterior într-un gaz oarecare, se regăseşte în variaţia energiei interne şi în lucrul mecanic efectuat de acest gaz în exterior. δ q δ l du Sistem termodinamic închis, gaz ideal Fig..7 Ilustrarea rimului rinciiu al termodinamicii alicat unui sistem închis b.sisteme deschise Se consideră o maşină termică în care, de exemlu, agentul termic rimeşte căldură şi roduce lucru mecanic (fig..8). Sistemul este deschis deoarece rin maşină trece în ermanenţă un fluid de lucru. Conform legii generale a conservarii energiei, agentul are energia E la intrarea în sistem şi E la ieşire. Suma energiilor schimbate cu mediul exterior ( E S ), se oate scrie entru masa m de agent: E Q L = Q L + V V S = t (.6) ( ) unde L V + L V => L = L ( V V ) t = t
8 Termotehnica Energia totală a agentului într-un unct oarecare este comusă din energia cinetică, energia otenţială de oziţie şi energia internă. Aceasta este semnificaţia termenilor din relaţia: m w (.7) E = + m g z + U [J],T,V Maşina termică,t,v z z Fig..8 Maşină termică rivită ca un sistem deschis. Parametrii termici ai secţiunii de intrare sunt notaţi cu indice, iar cei ai secţiunii de ieşire, cu indice Inlocuind în ecuaţia de bilanţ energetic: (.8) E E = ES rezultă exresia matematică a rimului rinciiu entru sisteme deschise : (.9a) w w m + g z + u + v m + g z + u + v Q L t = Pentru o masă unitară de agent termic relaţia devine: w w (.9b) ( u u ) + ( v v ) + + g ( z z ) = q lt sau, ţinând cont de relaţia de definiţie a entaliei, (.3): w w l (.9c) ( h h ) + + g ( z z ) = q t.9 Formulări ale rimului rinciiu al termodinamicii Primul rinciiu al termodinamicii, care exrimă legea generală a conservarii şi transformării energiei în rocesele termice, cunoaşte mai multe formulări, rintre care [4]: a) Căldura oate fi rodusă din lucru mecanic şi se oate transforma în lucru mecanic, totdeauna în baza aceluiaşi raort de echivalenţă. In sistemul tehnic, echivalenţa dintre căldură şi lucru mecanic : kcal = 47kgf m 47 9,8Nm b) Energia unui sistem termodinamic izolat se menţine constantă. c) Nu se oate realiza o maşină termică cu funcţionare continuă, care să roducă lucru mecanic fără să consume o cantitate echivalentă de caldură (eretuum mobile de ordinul/seţa I).
Termotehnica 9.0 Căldura secifică Considerând o masă unitară de agent termic, care suferă o transformare elementară la volum constant (într-un reciient nedeformabil), din exresia matematică a rimului rinciiu entru sisteme închise se obţine : du = δq (.0) ( ) v ( ) v (.) unde : ( δ q) = c dt v v Rezultă : (.) u ( du) v = cv dt şi cv =, T v [J/kg K] Similar : (.3) h ( dh) = c dt şi c =, T [J/kg K] Căldura secifică la volum constant, c v, este egală cu variaţia energiei interne a unităţii de masă entru o variaţie a temeraturii egală cu unitatea, într-o transformare la volum constant. Căldura secifică la resiune constantă, c, este egală cu variaţia entaliei unităţii de masă, într-o transformare la resiune constantă entru o creştere a temeraturii egală cu unitatea. Pornind de la relaţia (.5) se oate scrie: (.4) δ q = du + dv în care introducem : ( du) v = cv dt, rezultă: δ q = cv dt + d( v) v d Din ecuaţia de stare rezultă: d( v) = R dt, deci : (.5) δ q = cv dt + R dt v d Pentru o transformare sub resiune constantă, avem : q (.6) = cv + R = c (Relaţia lui Robert Mayer) T Raortul dintre căldura secifică la resiune constantă şi cea la volum constant, raort notat cu k, se numeşte exonent adiabatic. c (.7) k = cv Din relaţiile de mai sus rezultă: c (.8) v c k = ; = R k R k Pentru gazele biatomice, cum ar fi aerul, se oate considera : c c v =,5 ; = 3, 5 ; k =, 4 R R Prorietăţi şi constante secifice unor gaze mai des utilizate sunt rezentate în tabelul 3 din anexa.
30 Termotehnica Întrebări test.energia internă este: a) mărime de stare care se manifestă rin gradul de încălzire a sistemului;... b) mărime de roces care se manifestă rin gradul de încălzire a sistemului; a) b) c) c) mărime de stare care deinde de volumul gazului erfect..lucrul mecanic total e care îl dezvoltă agentul termic în maşină se numeşte: a) lucru mecanic de evacuare;... b) lucru mecanic de dislocare; a) b) c) c)lucru mecanic de delasare. 3. Entalia este o mărime de stare care exrimă: a)nivelul energetic al unui sistem termodinamic;... b)conţinutul total de căldură al unui sistem termodinamic; a) b) c) c)fluxul de căldură evacuat de un cor. 4.Princiiul I al termodinamicii, alicat unui sistem închis, sune: cantitatea de căldură introdusă din exterior într-un gaz oarecare se regăseşte în : a)variaţia entaliei şi în lucrul mecanic efectuat de gaz în exterior;... b)variaţia entroiei şi în lucrul mecanic efectuat de acest gaz în exterior a) b) c) c)variaţia energiei interne şi în lucrul mecanic efectuat de acest gaz în exterior. 5.Energia totală a unui agent termic într-un unct oarecare al unui sistem termodinamic deschis este alcătuită din: a)energia internă, energia otenţială de resiune, energia cinetică;... b) energia cinetică, energia internă, energia otenţială de oziţie; a) b) c) c)energia cinetică şi energia otenţială. 6.Lucrul mecanic elementar, δ l, efectuat din exterior asura unui gaz aflat în interiorul unui cilindru cu iston este: a) δ l > 0 ;... b) δ l < 0 ; a) b) c) c) δ l = dv. 7.Princiiul I al termodinamicii constituie o formă a: a) legii conservării masei;. b) legii gravitaţiei; a) b) c) c) legii conservării energiei. 8.Exresia matematică a rimului rinciiu al termodinamicii, entru sisteme închise este: a) dq = du + dv.... b) δ q = du + v d a) b) c) c) δ q = du + dv Problema. Să se calculeze variaţia energiei interne a unui kilogram de aer uscat, care se răceşte, dacă entalia sa scade cu valoarea h = 30 kj. Pentru aerul uscat, se kg cunosc: căldura secifică la volum constant, c 774 kj v = 0, şi căldura kg K secifică la resiune constantă, c,0 kj =. kg K
Termotehnica 3 Rezolvare Relaţia matematică a rinciiului I al termodinamicii, scrisă în cazul unei transformări la volum constant ( dv = 0 ) ia forma du = δq, deoarece lucrul mecanic este nul δl = dv = 0. Rezultă: ( du) v = ( δq) v = cv dt Relaţia de definiţie a entaliei, scrisă sub formă diferenţială este: dh = c ( ) dt Făcând raortul între cele două relaţii de mai sus, rezultă: dh c = = k du cv, du = dh Deci, k, unde k este coeficientul adiabatic al aerului. Integrând relaţia obţinută, între cele două stări ale aerului, se obţine: u = u u = h k 0, 774 30 u = u u ( 30),7 kj = = =,0,4 kg Se observă că energia internă este mai mică în starea finală,, decât în starea iniţială,. Probleme rouse..in figura.3 este rerezentat un ansamblu de două butelii cu aer comrimat, legate între ele rintr-o conductă revăzută cu robinet. Ansamblul se consideră izolat adiabat. Starea aerului din butelia A este dată de arametrii A = bar, arametrii A 3 V = m, t C A = o, iar starea aerului din butelia B este dată de B = 6bar, V B = 40litri, T B = 300K. Se deschide robinetul conductei de legătură. Să se calculeze temeratura şi resiunea aerului din cele două butelii duă atingerea echilibrului termic. Se consideră aceeaşi căldură secifică sub resiune constantă, c, atât entru butelia A, cât şi entru butelia B. Volumul conductei de legătură se neglijează. A, B, T A T B, T, T a) b) Fig..3a) ansamblul cu robinetul închis; b)ansamblul cu robinetul deschis, duă atingerea echilibrului
3 Termotehnica.3.Ce căldură a absorbit unitatea de masă de amestec gazos, dacă temeratura sa o a crescut cu t = 35 C, fără ca resiunea să se modifice? Se cunoaşte căldura secifică la resiune constantă c, kj =. Care este entalia amestecului kg K gazos în stare finală, dacă temeratura este t = 7 C? o RĂSPUNSURI ŞI REZOLVĂRI Întrebări test.a;.-; 3.a,b; 4.c; 5.b; 6.b,c; 7.c; 8.c. Probleme.. Rezolvare Ansamblul celor două butelii formează un sistem - închis, deci masa gazului, în ansamblu, rămâne aceeaşi duă deschiderea robinetului, -izolat, deci energia lui se conservă. Ca urmare, cantitatea de căldură cedată de gazul cu temeratură mai ridicată, B, va fi egală cu cantitatea de căldură rimită de gazul cu temeratură mai scazută, A. Căldura cedată este negativă: Qcedat + Q rimit = 0 ma c (TA T ) + mbc (TB T ) = 0 unde am notat cu T temeratura finală, de echilibru entru gazul din sistem. Masa gazului din fiecare butelie se calculează cu ecuaţia de stare: 5 A VA 0 ma = = =,368kg RTA 87,3 ( 73,5 + ) 5 3 B VB 6 0 40 0 mb = = = 0,78kg RT 87,3 300 B Temeratura la echilibru rezultă: ma TA + mbtb,368( 73,5 + ) + 0,78 300 T = = = 94, 76K ma + mb (,368 + 078) Valoarea resiunii se determină alicând ecuaţia de stare entru ansamblul celor două butelii cu robinetul deschis: V + V = m + m R ( ) ( ) T A B = = A B ( m + m ) A V A B + V B RT (,368 + 0,78) = 87.3 94, 74 =,5 0 3 + 40 0 5 N m =,5bar
Termotehnica 33.3. Rezolvare Din ecuaţia calorică de stare, scrisă entru unitatea de masă a amesecului gazos, rezultă căldura absorbită la resiune constantă: q = c T Dar, T = t, rezultă: q =, 35 = 4 7, kj kg Entalia amestecului gazos de masă unitară, în starea finală, este dată de relaţia: h c T, ( 7 73,5) 4,083 kj = = + =. kg Observaţie În general, entalia, fiind o funcţie de stare, interesează ca variaţie între două stări şi nu ca valoare absolută, aşa cum s-a cerut în această roblemă.