Aplicatii tehnice ale gazului perfect si ale transformarilor termodinamice

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Aplicatii tehnice ale gazului perfect si ale transformarilor termodinamice"

Transcript

1 Aplicatii tehnice ale gazului perfect si ale transformarilor termodinamice 4.. Gaze perfecte 4... Definirea gazului perfect Conform teoriei cinetico-moleculare gazul perfect este definit prin următoarele ipoteze: - moleculele gazului sunt perfect sferice şi perfect elastice; - volumul propriu al moleculelor este neglijabil în raport cu volumul total ocupat de gaz; - forţele de interacţiune intermoleculare sunt nule. Ca atare, gazul perfect este lipsit de viscozitate, nu apare frecarea în procesul de curgere a gazului perfect, el rămâne în stare gazoasă şi cu aceleaşi proprietăţi, indiferent de presiunea şi temperatura la care este supus. În apropierea punctului de zero absolut, volumul gazului perfect tinde spre zero, din cauza volumului propriu neglijabil al moleculelor, fără să se lichefieze. Interacţiunea dintre molecule, în decursul agitaţiei termice, se produce numai sub formă de ciocniri elastice. Între două ciocniri moleculele au o mişcare rectilinie uniformă, până întâlnesc altă moleculă. Lungimea medie a drumului parcurs între două ciocniri (parcursul liber mijlociu), depinde de densitatea gazului. Deoarece gazele reale, la presiuni mici, se comportă din multe puncte de vedere ca şi gazul perfect, se vorbeşte de gaze perfecte deşi riguros vorbind nu există decât un singur gaz perfect, cel imaginar, definit mai sus. Întrucât gazele reale prezintă unele abateri faţă de gazul perfect, chiar în stare rarefiată, convenţional se numesc gaze perfecte acele gaze reale a căror comportare se apropie de comportarea gazului perfect. Gazul perfect are căldura specifică independentă de presiune şi de temperatură, pe când gazele perfecte (adică gazele asimilabile gazului perfect), au căldura specifică mai mult sau mai puţin variabilă cu temperatura. Aceste gaze au fost numite de către Stodola gaze semiperfecte. Se poate afirma că toate gazele (inclusiv vaporii) la presiuni mici au comportarea gazelor semiperfecte. Variaţia căldurii specifice cu temperatura şi presiunea, poate fi studiată cu ajutorul EES, prin utilizarea funcţiilor implementate în acest program pentru calculul căldurii specifice: CP(subst_gaz_perfect,T=T) CP(subst_reala,T=T,P=P) Programul utilizat este: p= c_p_id=cp(ho,t=t) c_p_r=cp(water,t=t,p=p) În cazul aerului, Air desemnează aerul ca gaz perfect şi Air_ha desemnează aerul ca amestec de gaze având comportare reală.

2 În figurile alăturate sunt prezentate variaţiile obţinute pentru cp în diferite situaţii. Curbele de culoare roşie cu simboluri cerc, reprezintă rezultatele obţinute pentru substanţe considerate ideale, iar curbele ce culoare albastră cu simboluri patrat, reprezintă rezultatele obţinute pentru substanţe considerate reale. Variaţia c p cu temperatura pt. aer (p= bar) Variaţia c p cu temperatura pt. vapori de apă (p= bar; t>00 C) Se remarcă variaţia semnificativă şi abaterea puternică a c p de la curba obţinută pentru substanţa ideală, în zona din apropierea temperaturii de 00 C, când vaporii de apă se apropie de zona de saturaţie şi comportarea acestora se abate mult de la comportarea gazului perfect.

3 Variaţia c p cu temperatura pt. apă (p= bar; t= C) Se remarcă variaţia puternică a c p de la curba obţinută pentru substanţa ideală, în zona temperaturilor mai mici de 00 C, pentru care vaporii de apă încep să condenseze şi comportarea acestora nu mai poate să fie considerată în nici un caza apropiată de a gazului perfect. Variaţia c p cu presiunea pt. vapori de apă Se observă că în cazul substanţei reale, c p variază cu presiunea, în timp ce pentru gazul perfect, c p nu variază cu presiunea. Coeficienţii de dilatare izobară şi de compresibilitate izocoră a gazului perfect sunt constanţi, independenţi de presiune şi temperatură şi au valoarea α = β = K, iar 73,5 coeficientul de compresibilitate izotermă χ = /035 Pa -. În calculele termodinamice, referitoare la procesele din maşinile şi instalaţiile termice cu gaze, agenţii de lucru pot fi consideraţi gaze perfecte cu o aproximaţie suficient de bună.

4 4... Legile gazelor perfecte Legile transformărilor simple ale gazelor perfecte redau relaţiile dintre doi parametri de stare, la menţinerea constantă a celui de-al treilea parametru. Legea Boile-Mariotte se referă la legătura dintre volum şi presiune într-o transformare izotermică şi a fost stabilită experimental, în mod independent, de către Boyle în anul 66 şi Mariotte în anul 676. Conform acestei legi, într-o transformare izotermică produsul dintre volum şi presiune rămâne constant. Valoarea acestei constante depinde de temperatură şi de natura gazului. Forma matematică a acestei legi, pentru o stare iniţială caracterizată prin p, v şi o stare finală p, v este: p v = pv = constant = f(t), adică produsul pv este proporţional cu temperatura gazului. Diferenţiind relaţia anterioara şi împărţind cu pv = constant se obţine forma diferenţială a ecuaţiei izotermei: dv dp + = 0. v p Legea Gay-Lussac exprimă legătura dintre volum şi temperatură într-o transformare izobară: la presiune constantă volumul unui gaz perfect este proporţional cu temperatura absolută. T v T v = v 0 ; = = constan t = f ( p) T 0 v0 T0 Legea lui Charles stabilită experimental se referă la legătura dintre presiune şi temperatură într-o transformare izocoră: într-o transformare la volum constant presiunea gazului este proporţională cu temperatura. p T = = cons tan t = f( v). p0 T0 Ecuaţia termică de stare a gazelor perfecte (Ecuaţia lui Clapeyron) exprimă relaţia dintre parametrii de stare într-o transformare oarecare. p V pv N MN M = T T ; 035,44 pvm = T = R M T N 73,5 unde R M este constanta universală a gazelor perfecte, R M = 834 Jkmol - K -. Pentru n kmoli de gaz, de masă m kg, şi masa molară M kg/kmol, ecuaţia termică de stare devine: pv = n R M T; pv = RT; pv = m R T unde R = R M /M = 834/M J kg - K - reprezintă constanta de gaz perfect a gazului respectiv. Aceasta depinde numai de natura gazului şi are semnificaţia lucrului mecanic efectuat de kg de gaz la creşterea temperaturii acestuia cu un grad. Între constanta universală a gazelor perfecte şi numărul lui Avogadro există proporţionalitatea scrisă de Boltzmann: R M = k N A [J kmol - K - ] în care constanta universală a lui Boltzmann (k = R M /N A ) reprezintă cota parte din lucrul mecanic ce revine unei molecule, la o variaţie de temperatură de un grad. Ecuaţia de stare a gazelor perfecte sub formă diferenţială: dv dp dt + = v p T Între o stare iniţială v 0, p 0, T 0 şi o stare finală v, p, T se obţine:

5 p v pv = 0 T Legea lui Avogadro enunţată în 8, confirmată ulterior, atât teoretic cât şi experimental, are următoarea formulare: volume egale din orice gaz perfect, la aceeaşi presiune şi temperatură, conţin acelaşi număr de molecule. Reciproca legii lui Avogadro este: volumul ocupat de un kmol de gaz, considerat gaz perfect, în condiţii de presiune şi de temperatură egale este acelaşi, independent de natura gazului. Astfel la starea normală fizică, 3 toate gazele perfecte au volumul molar V MN =,44m N kmol, sau kmol =,44 m 3 N. Legea lui Joule stabileşte influenţa volumului şi a presiunii asupra energiei interne a gazului perfect. Se consideră doi cilindrii întroduşi într-un vas calorimetric foarte bine izolat termic, umplut cu apă, legaţi între ei printr-o conductă, prevăzută cu un robinet. În cilindrul este un gaz la o presiune la care acesta se comportă ca un gaz perfect, iar în cilindrul s-a realizat un vid înaintat, robinetul de pe conducta de legătură fiind închis. Întregul sistem se găseşte în echilibru termic, la temperatura t iniţial, evidenţiată cu termometrul T. Prin deschiderea robinetului are loc destinderea în vid a gazului din cilindrul, care trece parţial în cilindrul, unde presiunea se micşorează iar volumul creşte. În urma acestui experiment se constată că, în final, la restabilirea echilibrului termic, temperatura apei din termostat ajunge la temperatura iniţială t final = t iniţial. Aplicând ecuaţia primului principiu al termodinamicii acestui sistem, se observă că lucrul mecanic schimbat cu exteriorul (lucrul mecanic de dilatare) este nul, δl = 0, pentru că sistemul în ansamblul său este suficient de rigid pentru a nu-şi modifica volumul, căldura este de asemenea nulă, δq = 0, pentru că temperatura apei nu s-a modificat şi sistemul este adiabat. Ca urmare: du = 0 adică energia internă a sistemului a rămas constantă, cu toate că volumul şi presiunea s-au modificat. 0 0 T. Experienţa lui Joule: cilindru cu gaz; cilindru vidat; R robineţi; T termometru. Concluzia care se desprinde este chiar legea lui Joule: energia internă a gazului perfect nu depinde de volum şi de presiune ci numai de temperatură. Având în vedere definiţia entalpiei ( h = u + pv) este uşor de văzut că nici entalpia gazului perfect nu depinde de volum şi de presiune ci numai de temperatură. Aceasta pentru că produsul pv este funcţie doar de T, conform ecuaţiei termice de stare a gazelor perfecte.

6 Măsurători riguroase au arătat că energia internă şi entalpia gazelor reale depind atât de temperatură cât şi de volum şi presiune. Pe această proprietate se bazează de exemplu, tehnica lichefierii gazelor. Variaţia energiei interne şi a entalpiei cu temperatura, pt aer, calculate cu EES (p= bar) Variaţia energiei interne cu presiunea, pt aer, calculate cu EES (t=00 C) Variaţia entalpiei cu presiunea, pt aer, calculate cu EES (t=00 C)

7 4.3. Transformările particulare reversibile ale gazelor perfecte Transfomările particulare sunt transformările la care se impune o anumită restricţie ca: menţinerea constantă a unui parametru, lipsa schimbului de energie sub formă de căldură sau având o anumită căldură specifică. Dintre transformările particulare cunoscute, izocora şi izobara fac parte din transformările calorice, iar izoterma, adiabata şi politropa se încadrează în transformările mecanice. În studiul oricărei transfomări se urmăreşte: legea după care are loc transformarea (ecuaţia transformării sub forma diferenţială şi integrală), reprezentarea transformării în diferite coordonate, (deocamdată se prezintă reprezentarea în diagrama dinamică p-v, iar pentru unele transformări şi diagrama T-v), relaţiile pentru calculul schimbului de energie (căldura şi lucrul mecanic), în absenţa şi prezenţa curgerii (sisteme termodinamice închise, respectiv deschise), măsura în care căldura se transformă în lucru mecanic, bilanţul energetic al transformării şi se dau câteva exemple privind locul unde se întâlneşte în practică transformarea respectivă Transformarea izocoră Transformarea izocoră este transformarea termodinamică în care volumul rămâne constant. Ea se desfăşoară după legea lui Charles, conform căreia într-o transformare izocoră presiunea este proporţională cu temperatura. Forma diferenţială: dp dt = p T Pentru o transformare între o stare iniţială şi o stare finală, ecuaţia izocorei, în mărimi finite, este: p p p = = = constan t T T T Reprezentarea izocorei în coordonate p-v se face printr-o verticală descendentă, dacă procesul este de răcire şi una ascendentă dacă se produce încălzirea sistemului, reprezentarea în diagrama T-v este asemănătoare, dar nu prezintă un interes deosebit. Transformarea izocoră; Bilanţul energetic al transformării izocore a. În absenţa curgerii, căldura primită sau cedată de un kg de gaz perfect într-o transformare izocoră, reversibilă este: q = + = = ( ) = ( ) kj du pdv u u c v T T c v t t kg sau pentru m kg de substanţă, = mq = nc (T T ) Q Mv [ kj]

8 Lucrul mecanic absolut, schimbat cu mediul exterior este: l = pdv = 0, adică sistemul nu schimbă cu mediul exterior energie sub formă de lucru mecanic de dilatare. Bilanţul energetic al transformării izocore, arată că toată căldura (energia primită sau cedată de un corp prin contact termic) serveşte la variaţia energiei sale interne. Raportul dintre lucrul mecanic tehnic şi cel de dilatare, la transformarea izocoră este infinit. b. În prezenţa curgerii, în transformarea izocoră, căldura se calculează folosind entalpia şi temperatura frânată: q = dhf vdp = hf hf v( p p) T p q = c T f p v kj p f T p kg f kj kg În prezenţa curgerii, lucrul mecanic tehnic se produce nu numai datorită variaţiei presiunii ci şi ca urmare a variaţiei energiei cinetice: w w l = q ( h h ) = c ( T T ) c ( T T ) + t f f v p w w l v( p p ) t = + Transformarea izocoră se întâlneşte la studiul proceselor de ardere la volum constant, în camerele de ardere ale instalaţiilor de turbine cu gaze, în ciclul teoretic al motoarelor cu ardere internă cu piston cu aprindere prin scânteie etc Transformarea izobară Transformarea izobară este cea mai utilă transformare calorică. Ea se desfăşoară după legea Gay-Lussac, conform căreia, într-o transformare termodinamică la care presiunea rămâne constantă, volumul este proporţional cu temperatura absolută. Forma diferenţială a ecuaţiei izobarei este: dv dt =. v T Pentru o transformare finită între stările şi, se poate scrie: v v v = = = cons tan t. T T T În diagrama p-v izobara se reprezintă printr-o orizontală, - într-un proces de încălzire şi - într-un proces de răcire. În diagrama T-v izobara este o dreaptă care trece prin origine, cu un coeficient unghiular cu atât mai mare cu cât presiunea este mai mare: dt T tg α = = dv v

9 Transformarea izobară în diagrama p-v; Transformarea izobară în diagrama T-v. a. În absenţa curgerii, energia schimbată cu mediul exterior sub formă de căldură se calculează din ecuaţia primului principiu al termodinamicii pentru sisteme închise: q = du + pdv = u u + p ( v v ) T v q = + c vt pv T v Lucrul mecanic de dilatare este: l = = ( ) pdv p v kj v kg kj kg În diagrama p-v, l este numeric egal cu aria cuprinsă între izobară şi axa volumului. Măsura în care căldura se transformă în lucru mecanic este dată de raportul: l c p c v k = = q c k p unde k = c p /c v. Din căldura primită de un gaz, o parte se transformă în lucru mecanic, iar restul se acumulează sub formă de energie internă, aşa cum este ilustrat în figură. Bilanţul energetic al transformării izobare b. În prezenţa curgerii, căldura se calculează prin integrarea ecuaţiei primului principiu pentru sisteme deschise, introducând restricţia dp = 0, δ q = dh vdp dh ;q h h c ( T T ) kj f = f = f f = p f f ; kg q = c T Tf T kj ; kg p f f

10 Concluzia ce se desprinde din relaţiile de mai sus este că într-un proces de încălzire sau răcire izobar, în prezenţa curgerii, toată căldura provoacă variaţia entalpiei frânate. Lucrul mecanic tehnic al unui sistem deschis, într-o transformare izobară, este produs numai prin variaţia energiei cinetice, într-adevăr: w w l = q ( h h ) = c ( T T ) c ( T T ) = kj t f f p p f f kg În general, toate procesele de transfer termic în aparatele termice se consideră că au loc la presiune constantă, acolo unde variaţia presiunii este relativ mică. De asemenea, procesul de ardere în focare şi camere de ardere, în cele mai multe cazuri, sunt izobare, exemple: instalaţii de turbine cu gaze, cu ardere la presiune constantă, o parte din ciclul teoretic al motoarelor Diesel etc. Izobara de încălzire a aerului, ca gaz perfect şi ca substanţă reală Izobara de încălzire a vaporilor de apă, ca gaz perfect şi ca substanţă reală

11 Transformarea izotermică Transfomarea izotermică este o transformare mecanică la care temperatura rămâne constantă. Conform legii Boyle-Mariotte, cu această restricţie, produsul dintre presiune şi volum rămâne constant, astfel ecuaţia izotermei este: v = p v = pv constan t iar sub formă diferenţială: p = dv v + dp = 0 p În diagrama p-v izoterma se reprezintă printr-o hiperbolă echilateră. O izotermă împarte planul p-v în două zone; deasupra izotermei se găsesc punctele de temperatură mai mare, iar sub izotermă sunt puncte de temperatură mai mică decât temperatura izotermei. Cu cât o curbă izotermă se găseşte mai sus sau la dreapta, reprezintă o temperatură mai mare, T 3 >T. În sensul - are loc o destindere izotermică, iar - reprezintă o comprimare la temperatură constantă. Transformarea izotermic în diagrama p-v; Subtangenta la transformarea izotermică dp p 0 ab p tgα = = ; tgα = tg( 80 β) = tgβ = = dv v bc bc bc = v adică, subtangenta la izotermă este numeric egală cu volumul în punctul de tangenţă. Această proprietate este foarte importantă pentru studiul transformărilor termodinamice în diagrama dinamică p-v. În diagrama T-v izoterma este o dreaptă orizontală, - reprezentînd o destindere iar, - o comprimare izotermică. Având în vedere legea lui Joule, într-o transformare izotermică variaţia energiei interne şi a entalpiei gazului perfect este nulă: du = 0; u -u = 0; dh=0, h -h = 0, ca urmare la gazul perfect izoterma este totodată şi izentalpă. sau a. În absenţa curgerii: dv v δ q = δl = pdv ; q = = = = l pdv pv pv ln v v v p q = l = RT ln = RT ln ; Q = L = v p p mrt ln p [ kj]

12 Transformarea izotermică în diagrama T-v; Bilanţul energetic al transformării izotermice Se observă că, în această transformare, toată căldura primită de un sistem termodinamic se transformă în lucru mecanic, în sistem nu se acumulează energie internă, bilanţul energetic fiind cel redat în figură. Lucrul mecanic tehnic produs pe seama lucrului mecanic de dilatare este: dp p = = = p l = t vdp pv pv kj ln RT ln p p kg p iar l t /l =, adică lucrul mecanic tehnic este egal cu lucrul mecanic de dilatare. Aceasta se explică prin faptul că lucrul mecanic de dislocare la intrare şi ieşire din sistem sunt egale şi de semne contrare. b. În prezenţa curgerii, căldura se obţine din ecuaţia principiului I pentru sisteme deschise, cu particularizarea dh = 0: p w w δ q = vdp + wdw;q p v ln kj = + ; p kg p w w δ l q wdw; l p v ln kj t = δ t = +. p kg Aceste relaţii arată că energia primită de gazul perfect, prin contact termic (căldura) într-o transformare izotermică, în prezenţa curgerii, se foloseşte pentru producerea de lucru mecanic şi variaţia energiei cinetice a sistemului, iar lucrul mecanic tehnic apare prin efectul de dilatare şi variaţia energiei cinetice. Realizarea practică a unei transformări izotermice presupune o viteză de desfăşurare infinit mică, pentru a se putea produce schimbul de energie sub formă de căldură în proporţia reclamată de menţinerea constantă a temperaturii. Această transformare se foloseşte ca transformare de referinţă în studiul proceselor termodinamice din compresoarele cu piston, intervine la instalaţiile de turbine cu gaze cu destindere şi comprimare izotermică etc.

13 Transformarea izotermă de comprimare a vaporilor de apă

14 Transformarea adiabatică Transformarea care are loc fără schimb de energie prin contact termic, adică fără căldură, se numeşte transformare adiabatică. Relaţia dintre mărimile de stare într-o transformare adiabatică se deduce din ecuaţiile principiului I al termodinamicii: dv dp k + = 0 v p unde k reprezintă indicele adiabatic. Prin integrare, se obţine ecuaţia adiabatei: v p kln k k k + ln = 0; pv = pv = pv = const. v p Ţinând seama de ecuaţia de stare a gazului perfect, se poate scrie: k k pv = RT v ; k k k T v = Tv = Tv. k k pv = RT v, k v T v = T k k p = p În diagrama dinamică p-v adiabata se reprezintă printr-o hiperbolă. ab p dp p tgα = tgβ = = ; tgα = = bc bc dv v k Transformarea adiabatică în diagrama p-v; Subtangenta la transformarea adiabatică astfel că, subtangenta la adiabată are valoarea bc = v, mai mică decât subtangenta la k izotermă ( bc < bd ). Ca urmare, la destindere adiabata coboară sub izotermă, gazul micşorându-şi temperatura, iar la comprimare adiabata urcă deasupra izotermei, gazul mărindu-şi temperatura. În diagrama T-v adiabata se reprezintă printr-o hiperbolă a cărei ecuaţie este Tv k- = constant.

15 Transformarea adiabatică în diagrama T-v; Bilanţul energetic al transformării adiabatice a. În absenţa curgerii, lucrul mecanic de dilatare schimbat între mediul exterior şi sistem, într-o transformare adiabatică, se calculează din relaţia: δl = du = pdv; l = pdv = u u = cv T ( T ) de unde se poate vedea că, într-o destindere adiabatică, lucrul mecanic se produce pe seama reducerii energiei interne a gazului, aspect evidenţiat în bilanţul energetic al acestei transformări. Lucrul mecanic primit de un gaz într-un proces de comprimare, duce la creşterea energiei sale interne. k RT k T pv p l = = k T k p Aceste relaţii sunt mult folosite pentru calculul lucrului mecanic în procesele de destindere şi comprimare din maşinile termice motoare cu piston, precum şi în maşinile generatoare. Lucrul mecanic tehnic schimbat de un sistem cu mediul exterior prin efectul dilatării se calculează: k l t = vdp = p v p dp = kl adică, într-o transformare adiabatică lucrul mecanic tehnic este de k ori mai mare decât lucrul mecanic de dilatare. b. În prezenţa curgerii, lucrul mecanic tehnic se calculează din ecuaţia primului principiu al termodinamicii pentru sisteme deschise, cu particularizarea specifică transformării adiabatice: w w l t = dh f = h f h f = c p ( Tf Tf ) = c p ( T T ) + ; krt T + w w l = kj t k T kg Se observă că lucrul mecanic tehnic într-o transformare adiabatică, în prezenţa curgerii este egal cu variaţia entalpiei frânate. Realizarea în practică a unei transformări apropiată de o adiabată presupune o viteză de desfăşurare a procesului foarte mare şi o bună izolaţie termică. Transformarea adiabatică se întâlneşte la analiza termodinamică a ciclurilor teoretice ale motoarelor cu ardere internă cu k

16 piston, la studiul proceselor de destindere a agentului de lucru în turbine, la determinarea lucrului mecanic necesar antrenării turbocompresoarelor etc. Adiabata de comprimare a vaporilor de apă la presiuni mari Adiabata de comprimare a vaporilor de apă la presiuni mici Variaţia fugacităţii la comprimarea adiabatică a vaporilor de apă, calculată cu EES p [bar],5,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 f [bar] 0,8,3,80,8,77 3,5 3,73 4, 4,69 5,8

17 Transformarea politropică Transformarea politropică se caracterizează prin variaţia tuturor mărimilor de stare, în prezenţa schimbului de energie prin contact termic (adică a căldurii) şi a schimbului de lucru mecanic dintre sistem şi mediul exterior. O asemenea transformare se poate defini printr-o valoare constantă a căldurii specifice. Într-adevăr, aşa cum transformările izocoră şi izobară sunt definite prin căldurile specifice c v, respectiv c p, se poate determina o căldură specifică c pol = constant pentru o transformare politropică. În această accepţiune ecuaţiile primului principiu al termodinamicii, se pot scrie sub forma: δ q = cv dt + pdv = cpoldt ; δ q = cp dt vdp = cpoldt de unde rezultă: ( cv cpol ) dt = pdv ; ( cp cpol ) dt = vdp Prin eliminarea lui dt şi împărţirea cu se obţine: cp cpol dv dp + = 0 cv cpol v p Cum c pol este constant şi primul raport din relaţie este constant. Acest raport se notează cu n şi se numeşte indice politropic: cp cpol n = [ ] cv cpol În practică indicele politropic se determină cunoscând valorile parametrilor de stare determinate experimental, astfel încât se poate calcula c pol cu relaţia: n k kj cpol = cv n kgk Ecuaţia diferenţială a transformării politropice: dv dp n + = 0 v p De remarcat asemănarea dintre ecuaţia transformării adiabatice şi a transformării politropice, sub formă diferenţială. Ca urmare toate relaţiile dintre parametrii de stare p, v, T, deduse la transformarea adiabatică sunt valabile şi la transformarea politropică prin înlocuirea lui k cu n. Astfel ecuaţiile transformării politropice au forma: v p nln n n n + ln = 0; pv = pv = pv = const. v p T n n n v = T v = Tv = n n v T n p = v = T p const. Transformarea politropică în diagrama dinamică se reprezintă printr-o curbă a cărei alură depinde de valoarea indicelui politropic. În mod similar ca la transformarea adiabatică, se demonstrează că subtangenta la transformarea politropică, în diagrama p-v, este numeric egală cu volumul în punctul de tangenţă împărţit la n, bc = v. n

18 Subtangenta la transformarea politropică a. În absenţa curgerii, pentru o transformare politropică cu n, lucrul mecanic de dilatare se calculează: n n pv p v l p v v dv kj = =, n kg sau p v p v R l = = ( T T ) kj n n kg Pentru cazul particular n =, expresia de calcul a lucrului mecanic devine similară cu cea de la transformarea izotermică: = v p l p v v dp = p v ln = RT ln kj v p kg Căldura într-o transformare politropică se poate calcula uşor folosind căldura specifică a acestei transformări c pol : q R n k = cpoldt = cpol T k n ( T T ) = ( T ) La acelaşi rezultat se ajunge şi dacă se integrează ecuaţia primului principiu al termodinamicii pentru sisteme închise: q n k = cvdt + pdv = cv T n ( T ) Fracţiunea care se transformă în lucru mecanic din căldura primită de un sistem termodinamic într-o transformare politropică, este dată de raportul: q k n = l k Din acest raport se vede că dacă n > k, cum k >, căldura şi lucrul mecanic au acelaşi semn; adică la destindere, sistemul primeşte căldură şi transmite mediului exterior lucru mecanic, iar la comprimare sistemul primeşte energie prin contact mecanic, sub formă de lucru mecanic şi cedează energie sub formă de căldură, mediului exterior. Pentru n = toată căldura se transformă în lucru mecanic (cazul transformării izotermice). Pentru n, lucrul mecanic tehnic obţinut prin efectul de dilatare, este: n n n l t = vdp = pv = nl n ε adică, lucrul mecanic tehnic este de n ori mai mare decât lucrul mecanic de dilatare. Această proprietate rămâne valabilă şi pentru transformarea izotermică, la care n =, dar nu se poate aplica pentru transformarea izocoră, la care n = ±.

19 b. În prezenţa curgerii lucrul mecanic tehnic rezultă din ecuaţia principiului I al termodinamicii pentru sisteme deschise: n n w w l t = δq dhf = ( cpol cp ) dt wdw ; l p v n t = + n ε Căldura primită sau cedată de sistem într-o transformare termodinamică însoţită de curgere este: n w w q vdp c dt ( p v p v ) c (T T ) = + p f = + p + ; n ( T T ) W w + q = kj cpol kg Transformarea politropică este una dintre cele mai utilizate transformări în studiul proceselor termodinamice din maşinile şi instalaţiile termice, pentru că ea se apropie cel mai mult de transformările reale. Pentru a aproxima o transformare reală printr-o transformare politropică trebuie cunoscută valoarea indicelui politropic. Dacă se cunosc valorile presiunii şi a volumului în două puncte ale transformării reale, (p, v, p, v ), din ecuaţia transformării politropice, prin logaritmare, se obţine: ln p ln p ln p + nln v = ln p + nln v n = ln v ln v În coordonate logaritmice transformarea politropică între două puncte este reprezentată printr-un segment de dreaptă. n = tgβ Reprezentarea transformării politropice în coordonate logaritmice; Determinarea grafică a indicelui politropic Dacă experimental se cunoaşte alura transformării în diagrama p-v, indicele politropic se poate determina grafic, folosind relaţia care precizează mărimea subtangentei la transformarea politropică. v ob n = = bc bc Prelungind tangenta la o politropă într-un punct până intersectează axa presiunilor, se poate obţine o altă expresie pentru calculul indicelui politropic, astfel se ajunge la relaţia: np de n = = p od

20 Segmentul de = np pentru că, utilizând ecuaţia diferenţială a transformării politropice, dp np de de se poate scrie tg β = =, iar din figură se vede că tg β = =. dv v da v Transformările reale care nu pot fi descrise printr-o transformare politropică cu n = constant, se divid în porţiuni atât de mici încât, fiecare interval să poată fi aproximat cu o politropă de n = constant, cu o precizie suficient de mare.

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Forme de energie. Principiul I al termodinamicii

Forme de energie. Principiul I al termodinamicii Forme de energie. Principiul I al termodinamicii Există mai multe forme de energie, care se pot clasifica după natura modificărilor produse în sistemele termodinamice considerate şi după natura mişcărilor

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Noțiuni termodinamice de bază

Noțiuni termodinamice de bază Noțiuni termodinamice de bază Alexandra Balan Andra Nistor Prof. Costin-Ionuț Dobrotă COLEGIUL NAȚIONAL DIMITRIE CANTEMIR ONEȘTI Septembrie, 2015 http://fizicaliceu.wikispaces.com Noțiuni termodinamice

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

ENUNŢURI ŞI REZOLVĂRI 2013

ENUNŢURI ŞI REZOLVĂRI 2013 ENUNŢURI ŞI REZOLVĂRI 8. Un conductor de cupru ( ρ =,7 Ω m) are lungimea de m şi aria secţiunii transversale de mm. Rezistenţa conductorului este: a), Ω; b), Ω; c), 5Ω; d) 5, Ω; e) 7, 5 Ω; f) 4, 7 Ω. l

Διαβάστε περισσότερα

1.10. Lucrul maxim. Ciclul Carnot. Randamentul motoarelor

1.10. Lucrul maxim. Ciclul Carnot. Randamentul motoarelor 2a temperatura de inversie este T i =, astfel încât λT i şi Rb λ>0 pentru T

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

FIZICĂ. Elemente de termodinamica. ş.l. dr. Marius COSTACHE

FIZICĂ. Elemente de termodinamica. ş.l. dr. Marius COSTACHE FIZICĂ Elemente de termodinamica ş.l. dr. Marius COSTACHE 1 ELEMENTE DE TERMODINAMICĂ 1) Noţiuni introductive sistem fizic = orice porţiune de materie, de la o microparticulă la întreg Universul, porţiune

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1.

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1. Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a X-a 1 of 2 4/14/2008 12:27 PM Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1 1 Un termometru cu lichid este gradat intr-o scara de temperatura liniara,

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

FC Termodinamica. November 24, 2013

FC Termodinamica. November 24, 2013 FC Termodinamica November 24, 2013 Cuprins 1 Noţiuni fundamentale (FC.01.) 2 1.1 Sistem termodinamic... 2 1.2 Stări termodinamice... 2 1.3 Procese termodinamice... 3 1.4 Parametri de stare... 3 1.5 Lucrul

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

CURS 5 TERMODINAMICĂ ŞI FIZICĂ STATISTICĂ

CURS 5 TERMODINAMICĂ ŞI FIZICĂ STATISTICĂ CURS 5 ERMODINAMICĂ ŞI FIZICĂ SAISICĂ 5.. Noţiuni fundamentale. Corpurile macroscopice sunt formate din atomi şi molecule, constituenţi microscopici aflaţi într-o mişcare continuă, numită mişcare de agitaţie

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili

Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Sistem hidraulic de producerea energiei electrice. Turbina hidraulica de 200 W, de tip Power Pal Schema de principiu a turbinei Power Pal

Sistem hidraulic de producerea energiei electrice. Turbina hidraulica de 200 W, de tip Power Pal Schema de principiu a turbinei Power Pal Producerea energiei mecanice Pentru producerea energiei mecanice, pot fi utilizate energia hidraulica, energia eoliană, sau energia chimică a cobustibililor în motoare cu ardere internă sau eternă (turbine

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Studiu privind soluţii de climatizare eficiente energetic

Studiu privind soluţii de climatizare eficiente energetic Studiu privind soluţii de climatizare eficiente energetic Varianta iniţială O schemă constructivă posibilă, a unei centrale de tratare a aerului, este prezentată în figura alăturată. Baterie încălzire/răcire

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Noţiuni introductive

5.1. Noţiuni introductive ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

NOŢIUNI INTRODUCTIVE. Necesitatea utilizării a două trepte de comprimare

NOŢIUNI INTRODUCTIVE. Necesitatea utilizării a două trepte de comprimare INSTALAŢII FRIGORIFICE ÎN DOUĂ TREPTE DE COMPRIMARE NOŢIUNI INTRODUCTIVE Necesitatea utilizării a două trepte de comprimare Odată cu scăderea temperaturii de vaporizare t 0, necesară obţinerii unor temperaturi

Διαβάστε περισσότερα

Unitatea atomică de masă (u.a.m.) = a 12-a parte din masa izotopului de carbon

Unitatea atomică de masă (u.a.m.) = a 12-a parte din masa izotopului de carbon ursul.3. Mării şi unităţi de ăsură Unitatea atoică de asă (u.a..) = a -a parte din asa izotopului de carbon u. a.., 0 7 kg Masa atoică () = o ărie adiensională (un nuăr) care ne arată de câte ori este

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

IV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI

IV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI V. POL S FLTE ELETE P. 3. POL ELET reviar a) Forma fundamentala a ecuatiilor cuadripolilor si parametrii fundamentali: Prima forma fundamentala: doua forma fundamentala: b) Parametrii fundamentali au urmatoarele

Διαβάστε περισσότερα

Exemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni

Exemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni Problema 1. Se dă circuitul de mai jos pentru care se cunosc: VCC10[V], 470[kΩ], RC2,7[kΩ]. Tranzistorul bipolar cu joncţiuni (TBJ) este de tipul BC170 şi are parametrii β100 şi VBE0,6[V]. 1. să se determine

Διαβάστε περισσότερα

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument: Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB 1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRĂ ŞI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ FIZICĂ

ALGEBRĂ ŞI ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ FIZICĂ Sesiunea august 07 A ln x. Fie funcţia f : 0, R, f ( x). Aria suprafeţei plane delimitate de graficul funcţiei, x x axa Ox şi dreptele de ecuaţie x e şi x e este egală cu: a) e e b) e e c) d) e e e 5 e.

Διαβάστε περισσότερα

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului

Διαβάστε περισσότερα

1. NOŢIUNI TERMODINAMICE DE BAZĂ

1. NOŢIUNI TERMODINAMICE DE BAZĂ . NOŢIUNI TERMODINAMIE DE BAZĂ.. Noţiuni desre structura discretă a substanţei onceţia atomistă desre substanţă enunţată acum 5 ani de către Leuci şi Democrit, a fost confirmată în secolul al XIII-lea

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

2. MĂRIMI ȘI UNITĂȚI CARACTERISTICE STRUCTURII DISCRETE A SUBSTANȚEI

2. MĂRIMI ȘI UNITĂȚI CARACTERISTICE STRUCTURII DISCRETE A SUBSTANȚEI Prin fenomen termic înțelegem, în general, orice fenomen fizic legat de mișcarea haotică, complet dezordonată care se manifestă la nivel molecular. Variația proprietăților fizice ale substanței la încălzirea

Διαβάστε περισσότερα

2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede

2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede 2. STATICA FLUIDELOR 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede Aplicația 2.1 Să se determine ce masă M poate fi ridicată cu o presă hidraulică având raportul razelor pistoanelor r 1 /r 2 = 1/20, ştiind

Διαβάστε περισσότερα

VII.2. PROBLEME REZOLVATE

VII.2. PROBLEME REZOLVATE Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Reactia de amfoterizare a aluminiului

Reactia de amfoterizare a aluminiului Problema 1 Reactia de amfoterizare a aluminiului Se da reactia: Al (s) + AlF 3(g) --> AlF (g), precum si presiunile partiale ale componentelor gazoase in functie de temperatura: a) considerand presiunea

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

BAZELE TERMOENERGETICII

BAZELE TERMOENERGETICII Adrian BADEA Mihaela STAN Roxana PĂTRAŞCU Horia NECULA George DARIE Petre BLAGA Lucian MIHĂESCU Paul ULMEANU BAZELE TERMOENERGETICII Universitatea POLITEHNICA din Bucureşti Facultatea de Energetică Bucureşti,

Διαβάστε περισσότερα

Lucrul mecanic. Puterea mecanică.

Lucrul mecanic. Puterea mecanică. 1 Lucrul mecanic. Puterea mecanică. In acestă prezentare sunt discutate următoarele subiecte: Definitia lucrului mecanic al unei forţe constante Definiţia lucrului mecanic al unei forţe variabile Intepretarea

Διαβάστε περισσότερα

4.PRINCIPIUL AL II -LEA AL TERMODINAMICII

4.PRINCIPIUL AL II -LEA AL TERMODINAMICII 4.PRINCIPIUL AL II -LEA AL ERMODINAMICII Istoria acestui principiu este una dintre fascinantele aventuri ale ştiinţei, care a generat nenumărate paradoxuri, controverse şi predicţii tulburătoare (moartea

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii trigonometrice

Ecuatii trigonometrice Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii în tehnică

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii în tehnică Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii în tehnică Sisteme de încălzire a locuinţelor Scopul tuturor acestor sisteme, este de a compensa pierderile de căldură prin pereţii locuinţelor şi prin sistemul

Διαβάστε περισσότερα

Emil Petrescu Viorel Păun

Emil Petrescu Viorel Păun Probleme de fizică Emil Petrescu iorel Păun October 6, 2004 Curins 4 ERMODINAMICĂ 72 72 Caitolul 4 ERMODINAMICĂ PROBLEMA 4.1 a Să se demonstreze că în cazul unui roces adiabatic alicat unui gaz ideal este

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Lucrul mecanic şi energia mecanică.

Lucrul mecanic şi energia mecanică. ucrul mecanic şi energia mecanică. Valerica Baban UMC //05 Valerica Baban UMC ucrul mecanic Presupunem că avem o forţă care pune în mişcare un cărucior şi îl deplasează pe o distanţă d. ucrul mecanic al

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

2.PRIMUL PRINCIPIU AL TERMODINAMICII

2.PRIMUL PRINCIPIU AL TERMODINAMICII 0 Termotehnica.PRIMUL PRINCIPIU AL TERMODINAMICII Noţiunea de rinciiu defineşte o afirmaţie care nu se oate demonstra matematic. Princiiul rerezintă rezultatul studiilor exerimentale asura roceselor din

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

V O. = v I v stabilizator

V O. = v I v stabilizator Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

In cazul sistemelor G-L pentru care nu se aplica legile amintite ale echilibrului de faza, relatia y e = f(x) se determina numai experimental.

In cazul sistemelor G-L pentru care nu se aplica legile amintite ale echilibrului de faza, relatia y e = f(x) se determina numai experimental. ECHILIBRUL FAZELOR Este descris de: Legea repartitiei masice Legea fazelor Legea distributiei masice La echilibru, la temperatura constanta, raportul concentratiilor substantei dizolvate in doua faze aflate

Διαβάστε περισσότερα