ιαίρεση Πολυωνύμων η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να διαιρέσουμε δύο πολυώνυμα Δίνονται τα πολυώνυμα: P x x x x 8x 4 = + +4 και δ ( x) = x x α) Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P( x ) με το πολυώνυμο δ( x) β) Να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης P( x ) : ( x) α) Η διαίρεση του x ε το δ x γίνεται ως εξης: P μ 4 x x x + 8x + 4 x x 4 x + x + x x x -x +8x +4 x x x x + 5x + 4 + x 4x 6 δ Όταν μας ζητούν να γράψουμε την ταυτότητα της διαίρεσης δύο πολυωνύμων τότε: Αρχικά φέρνουμε τον διαιρετέο Δ( x) και τον διαιρέτη δ ( x) στη μορφή: v v α x +α x + +αx+ α v v Έπειτα κάνουμε την διαίρεση των πολυωνύμων o x 5
β) Η ταυτότητα της διαίρεσης του P ( x) με το ( x) P δ είναι: x + x ( x) = δ( x) π( x) + υ( x) = ( x x )( x ) Β τρόπος: Για να απαντήσουμε στα α), β) ερωτήματα της παραπάνω άσκησης θα μπορούσαμε να ακολουθήσουμε και τον παρακάτω τρόπο: Επειδή το δ ( x) έχει βαθμό και το P( x) έχει βαθμό 4, το πηλίκο έχει βαθμό Το δ( x) έχει βαθμό άρα το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι το πολύ πρώτου βαθμού, Έστω π ( x) = κx + αx+ β και υ( x ) = γx + δ Από τη σχέση P( x) δ( x) π( x) + υ(x 4 4 = ) μετά τις πράξεις παίρνουμε: x x x8x+ 4= κx + α κ x + β α κ x + β α+ γ x+ δ β από όπου εύκολα προκύπτει ότι κ= -, α =, β =, γ = και δ = Px= δ x x x + x Άρα Να κάνετε τις διαιρέσεις και να γράφετε την ταυτότητά της διαίρεσης: i ( x + x + 5x + ):( x + ) ii 4 ( x + x 4x + 5 ):( x ) iii ( x 5 + x + 4x ):( x + ) i x + x + 5x + x + x x x x + 6 x + 5x + + x + x Πως γίνεται η διαίρεση μεταξύ πολυωνύμων: Το πηλίκο είναι ένα άθροισμα μονώνυμων Για να βρούμε το μονώνυμο που κάθε φορά προστίθεται στο πηλίκο, διαιρούμε τον πρώτο όρο του πολυωνύμου με τον πρώτο όρο του διαιρέτη Πολλαπλασιάζουμε το αντίστοιχο μονώνυμο με το διαιρέτη και μετά αφαιρούμε το γινόμενο από το διαιρετέο Βρίσκουμε έτσι ένα μερικό υπόλοιπο, που παίρνει το «ρόλο» του διαιρετέου για τη συνέχεια της διαίρεσης 6 x + 6x 6 5 Άρα x x + 5x + = ( x + )( x x + 6) 5 + 5
ii Επειδή εδώ λείπει ο όρος x, προσθέτουμε στο πολυώνυμο τον όρο 0 x Έτσι αφενός μεν ο διαιρετέος Δ ( x) δε μεταβάλλεται, αφετέρου έχουμε παρούσες όλες τις δυνάμεις του x που απαιτούνται για να γίνει η διαίρεση 4 x + x + 0x 4x + 5 x -x 4 +x x + x + x + x 4x + 5 -x +x + x x + 5 -x + 4 Η ίδια διαδικασία συνεχίζεται για το μερικό υπόλοιπο, μεχρις ότου το υπόλοιπο υ(x) γίνει μηδέν ή ο βαθμός του υ(x) να είναι μικρότερο από το δ x βαθμό του x + 7 4 Άρα x + x + 0x 4x + 5 = ( x ) ( x + x + ) x + 7 iii Έχουμε x + = x + x + Οπότε η διαίρεση γίνεται: 5 4 x + 0x + 0x + x + 4x x + x + 5 4 x 6x x 4 6x + x + x + 4x 4 6 x + x + 6x 9x 9x 4x + 4x 8x 9x 4x + x 4x + 8x + 4 x 5 + 6x 9x + 4 Για να γίνεται η διαίρεση, πρέπει το Δ( x) να είναι μεγαλύτερου βαθμού από το δ x ( x) Βαθμός π = βαθμός Δ( x) - βαθμός δ( x) Άρα: x 5 + x + 4x = 5x 6 ( x + x + )( x + 6x 9x + 4) 5x 6 5
Να κάνετε την διαίρεση και να γράφετε την ταυτότητά της διαίρεσης: x :( x + ) Το σχήμα Horner με διαιρετέο το x + = χ ( ) δίνει: x και διαιρέτη το 0 0 0 Αν ο διαιρέτης δ( x) είναι της μορφής x-ρ τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και το σχήμα Horner Άρα π ( x) = x + x και υ x = Οπότε η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται: x = ( x+ )( x + x ) + Β τρόπος: Επειδή το δ ( x) έχει βαθμό και το P( x) έχει βαθμό, το πηλίκο έχει βαθμό Το δ( x) έχει βαθμό άρα το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι το πολύ μηδενικού βαθμού, Έστω π ( x) = αx + βx+ γ και υ ( x) = δ Από τη σχέση P( x) = δ( x) π( x) + υ(x) μετά τις πράξεις παίρνουμε: -x = αx + (α+β) x + (γ+β) x +γ + δ από όπου εύκολα προκύπτει ότι - α =, β =, γ = και δ = Άρα: x = x+ x + x + Για να εφαρμόσουμε το σχήμα Horner, τα μονώνυμα του πολυωνύμου πρέπει να είναι διατεταγμένα κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του x η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που αναφέρονται στο υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου με ένα πολυώνυμο Q x P( x ) 54
Να βρείτε τα υπόλοιπα των διαιρέσεων 5x + 6x 8x 4 : x i ii ( x 5 x 5 + x 5 4x 5 + ):( x+ ) iii ( x ):( x ) i υ = Ρ Άρα υ = 5 + 6 8 4 = ii iii () 4 5+ 6 8 4= 5 5 5 5 υ = Ρ Άρα υ = ( ) ( ) + ( ) 4( ) = = + 4 + = υ =Ρ Άρα υ = = 9 Να βρεθούν τα κ και m έτσι ώστε το P x =κx mx + 5x+ 4, διαιρούμενο με το x+ και το x, να δίνει υπόλοιπο 6 και αντίστοιχα 6 Πρέπει P = και P () =, άρα τα κ, m δίνονται από τη λύση του συστήματος: P( ) = 6 8κ 4m 0 + 4 = 6 8κ + 4m = P() = κ m + 5 + 4 = κ m = 7 κ + m = κ + κ + 7 = κ = 0 m = κ + 7 m = κ + 7 m = κ + 7 Όταν μας ζητούν να βρούμε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυώνυμου P(x) με το πολυώνυμο Q(x): Aν Q(x) = x-ρ τότε έχουμε τρεις τρόπους εύρεσης α υ = P(ρ) β Με σχήμα Horner γ Με την διαίρεση πολυωνύμων Aν Q(x) x-ρ τότε μόνο με την διαίρεση πολυωνύμων 0 0 κ = κ = 0 = + m 7 m = 55
Nα βρείτε τo υπόλοιπo της διαίρεσης: ( x + x + 5 ): x + Το σχήμα Horner με διαιρετέο το x + δίνει: x + x + 5 και διαιρέτη το 0 5 Χρησιμοποιούμε το σχήμα Horner για τον υπολογισμό του P( ρ) συνήθως όταν: το ρ είναι μεγάλος αριθμός, το πολυώνυμο έχει μεγάλους εκθέτες 4 6 6 Άρα: υ x = η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να υπολογίσουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου P x P( x ) με το πολυώνυμο Q x όταν δεν γνωρίζουμε το Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολύωνύμου P( x) με το α x + β, είναι το β u =Ρ α Αν πολυώνυμο P x διαιρεθεί με το x +, δίνει υπόλοιπο, ενώ, αν διαιρεθεί με το x, αφήνει υπόλοιπο Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης: Ρ ( x) ( x+ ) ( x ) Γνωρίζουμε ότι Ρ( ) = και Ρ = Το πολυώνυμο ( x ) ( x ) υπόλοιπο της διαίρεσης : [( x + ) ( x ) πρώτου βαθμού δηλαδή της μορφής: υ = αx + είναι δευτέρου βαθμού Άρα το Ρ x ] θα είναι, το πολύ, x + β 56
Οπότε η ταυτότητα της διαίρεσης είναι: Ρ( x ) = ( x + ) ( x ) π( x) + αx + β () Για x = - η () γίνεται: P ( ) = ( + ( ) π( ) + α ( ) + β = α + β () Για x = η () γίνεται: Ρ( ) = ( + )( ) π + α + β = α + β () Λύνουμε το σύστημα των (), () α + β = β = + α β = α + β = α + + α = α = Άρα υ x = x + Ένα πολυώνυμο P x διαιρούμενο με x δίνει υπόλοιπο και διαιρούμενο με x+ δίνει υπόλοιπο 0 Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το x x+ P( x ) Όταν μας ζητούν να βρούμε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυώνυμου P(x) με το πολυώνυμο Q(x) και δεν γνωρίζουμε το P(x) γράφουμε τον τύπο της διαίρεσης: Px = Qx () π( x) + υ( x) όπου π(x) το πηλίκο και υ(x) το υπόλοιπο Γνωρίζουμε ότι Ρ () = και Ρ ( ) = 0 Έστω π ( x) το πηλίκο και υ ( x) το υπόλοιπο της διαίρεσης του P ( x) με το ( x )( x + ) Επειδή το ( x )( x + ) είναι δευτέρου βαθμού, το υ x θα είναι της μορφής υ ( x) = αx + β, α, β R Οπότε η ταυτότητα της διαίρεσης είναι: P ( x) = ( x )( x + ) π( x) + αx + β () Η () για x = δίνει: Ρ() = α + β ή = α + β () και για x = δίνει: Ρ = α + ή 0 = α + β () β Το σύστημα των () και () δίνει α = 7 και β = 9 υ x = 7x + 9, οπότε υπολογίζουμε τον μέγιστο βαθμό του υ( x) από την σχέση: βαθμ < βαθμ Q x υ ( x) ( x) γράφουμε το υ ανάλογα με τον βαθμό του πχ αν είναι δευτέρου βαθμού το γράφουμε: αχ + βχ + γ πχ αν είναι τρίτου βαθμού το γράφουμε: αχ + βχ + γχ + δ 57
Ένα πολυώνυμο P( x ) έχει την ιδιότητα xp( x+ ) + ( x+ ) P( x+ ) = x+ 0 για κάθε x R α) Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του P( x ) με τα x και x + β) Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του P( x ) με το πολυώνυμο: Q( x) = x x α) Το υπόλοιπο της διαίρεσης P( x) : ( x ) είναι ίσο με P ( ) Όμοια, το υπόλοιπο της διαίρεσης του P ( x) με το x + είναι ίσο με P( ) Αρκεί λοιπόν να βρούμε τις τιμές P ( ) και P( ) Από την υπόθεση έχουμε ότι: xp ( x + ) + ( x + ) P( x + ) = x + 0 () Η () για x = 0 δίνει: 0 + P() = 0 P( ) = 5 Η () για x = δίνει: P( ) = 4 + 0 P( ) = Επομένως το υπόλοιπο της διαίρεσης ( x) : ( x ) το υπόλοιπο της διαίρεσης P ( x) : ( x + ) είναι υ = P είναι υ 5 και = 4 παραγοντοποιούμε το Q( x) και βρίσκουμε τις τιμές που το μηδενίζουν 5 αντικαθιστούμε τις παραπάνω τιμές στον τύπο της διαίρεσης οπότε προκύπτει ένα σύστημα 6 λύνουμε το σύστημα οπότε προκύπτει υ x το υπόλοιπο β) Το πολυώνυμο Q x = x x είναι β βαθμού και οι ρίζες του είναι: ± 4 + ± 4 x = = δηλαδή x = και x = Το υπόλοιπο υ ( x) της διαίρεσης P ( x) : Q( x) είναι το πολύ πρώτου βαθμού Άρα υ( x) = αx + β Έτσι, σύμφωνα με την ταυτότητα της Ευκλείδιας διαίρεσης είναι: P ( x) = Q( x) π( x) + ( αx + β) () Η () για x = και x = δίνει: P () = Q() π() + α + β 5 = 0 + α + β α + β = 5 () P( ) = Q( ) π( ) α + β = 0 α + β α + β = (4) α + β = 5 Από το σύστημα των (), (4) α + β = παίρνουμε α = και β = Άρα το υπόλοιπο της διαίρεσης του P ( x) με το Q ( x) είναι υ x = x 58
P( x) 4 Έστω ένα πολυώνυμο Να αποδείξετε ότι οι διαιρέσεις P( x+ ):( x ) και P( 6x+ 0 ):( x+ ) έχουν το ίδιο υπόλοιπο Η διαίρεση ( x ) : ( x υ = P( + ) = P( ) Η διαίρεση P ( 6x 0) : ( x + ) υ = P( 6( ) + 0) = P P + ) έχει υπόλοιπο: Άρα λοιπόν είναι υ = υ + έχει υπόλοιπο: 5 Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Q( x ) με το x 5 είναι και για το πολυώνυμο Ρ ( x) ισχύει: Ρ ( x + ) = x Q( x + ) + x () να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ ( x) με το x Είναι: Q ( 5) = Το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ ( x) με το x είναι το ( ) x + = x= x= Για x = η () γίνεται Ρ + = Q + + Ρ = Q 5 + Ρ ( ) = Ρ ( ) = Άρα: υ = υ =Ρ Όταν μας ζητούν να βρούμε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυώνυμου P(x) με το πολυώνυμο Q(x) και δεν γνωρίζουμε το P(x) αλλά μας δίνουν μια σχέση που περιέχει το πολυώνυμο P και το Q(x) είναι της μορφής x- ρ τότε: στην σχέση που μου δίνουνε αντικαθιστώ κατάλληλα το x ώστε να εμφανισθεί το P(ρ) στην συνέχεια υπολογίζουμε το P(ρ) που είναι και το ζητούμενο υπόλοιπο 4 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να εξεταστεί αν το Q x είναι παράγοντας του P x 59
Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω διαιρέσεις ο διαιρέτης είναι παράγοντας του διαιρετέου: 0 x 04 : x+ i ii v v x+ x x : x+ 0 i Για ρ = : Ρ( ) = ( ) 04 = 04 04 = 0 Άρα το x + είναι διαιρέτης του x 0 04 ii Για ρ = v v P = + = v v = + = 0 v v Άρα το x + είναι διαιρέτης του ( x + ) x x Να βρείτε τις τιμές του α R ώστε το x να είναι παράγοντας του πολυωνύμου: P( x) = x +α x + x 8 Αρκεί: P = 0 + α + 8 = 0 8 + 4α + 4 8 = 0 4α = 4 α = Εξετάστε αν το x είναι παράγοντας του P x = x x + 5x και αν είναι να γίνει η παραγοντοποίηση 4 Το πολυώνυμο x ρ είναι παράγοντας του P( x) αν, και μόνο αν, P ρ = 0 Για να βρούμε το P ρ ακολουθούμε τους εξής τρόπους: α υ = P(ρ) β Με σχήμα Horner γ Με την διαίρεση πολυωνύμων Με το σχήμα Horner θα εξετάσουμε αν η ρίζα του x, το, είναι αι ρίζα του P x κ 0-5 - - - 0 60