ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού μ έναν άγνωστο ή αλλιώς δευτεροβάθμια εξίσωση; Ποιοι είναι οι όροι της; Τι είναι η επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης; Μία εξίσωση μ έναν άγνωστο, όπου η μεγαλύτερη δύναμη του αγνώστου είναι η η δύναμη, λέγεται εξίσωση ου βαθμού μ έναν άγνωστο ή δευτεροβάθμια εξίσωση. Όταν μεταφέρουμε όλους τους όρους της στο πρώτο μέλος και κάνουμε τις αναγωγές, η εξίσωση παίρνει τη μορφή αx + βx + γ = 0 με α 0 και α, β, γ πραγματικούς αριθμούς. Μία εξίσωση ου βαθμού έχει γενική μορφή: αx + βx + γ = 0, με α 0 γ είναι ο σταθερός όρος, β x είναι ο πρωτοβάθμιος όρος, αx είναι ο δευτεροβάθμιος όρος αυτής. Η διαδικασία με την οποία βρίσκουμε τις τιμές του αγνώστου που επαληθεύουν την εξίσωση, λέγεται επίλυση της εξίσωσης... ΕΡΩΤΗΣΗ Πώς λύνουμε μία δευτεροβάθμια εξίσωση, όταν έχει την ελλειπή μορφή αx + βx = 0 με α, β 0, δηλαδή όταν γ = 0 και β 0; 40
αx + βx = 0 x (αx + β) = 0 (βγάλαμε κοινό παράγοντα τον άγνωστο) x = 0 ή αx+β = 0 (στηριζόμαστε στην ιδιότητα α β=0 αν και μόνο αν α= 0 ή β = 0) x = 0 ή αx = -β (χωρίσαμε γνωστούς από αγνώστους) x = 0 ή x = - β α (διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου, α 0) Παράδειγμα Να λυθεί η εξίσωση 5x 1x = 0 Λύση 5x 1x = 0 x(5x 1) = 0 x = 0 ή 5x 1 = 0 5x = 1 5x 5 = 1 5 x = 1 5 3. ΕΡΩΤΗΣΗ Πώς λύνουμε μία δευτεροβάθμια εξίσωση, όταν έχει την ελλειπή μορφή αx + γ = 0 με α, γ 0, δηλαδή όταν β = 0 και γ 0; αx + γ = 0 αx = -γ x = - γ α (χωρίζουμε το σταθερό όρο από το δευτεροβάθμιο) (διαιρούμε με το συντελεστή του δευτεροβάθμιου όρου, α 0) 41
Σε αυτό το βήμα κοιτάμε τον αριθμό - γ α στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης. Αν - γ < 0, η εξίσωση είναι αδύνατη. α Αν - γ > 0, η εξίσωση έχει δύο λύσεις που είναι: α x 1 = γ - α, x = γ - α Παραδείγματα Να λυθούν οι εξισώσεις α) x + 3 = 0 και β) 3x 7 = 0 Λύση α) x + 3 = 0 β) 3x 7 = 0 x = -3 3x = 7 x = - 3 αδύνατη 3x 3 = 7 3 x = 9 x = ± 9 x = ± 3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x + 3x = 0 β) 4x 16x = 0 γ) 4 3 x = - x δ) x + 5 4 x = 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x 1 = 0 β) x 16 = 0 γ) 3x 48 = 0 δ) 4x 7 = 0 ε) 3x + = 0 στ) x + 4 = 0 4
3. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) (x 49) (x + ) = 0 β) x (x + 1) (x - ) = 0 γ) (x 5x) (x 64) = 0 δ) 5x (6x + 18x) = 0 Β. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού (τριωνύμου) με τη βοήθεια τύπου 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Πώς λύνουμε μία δευτεροβάθμια εξίσωση, όταν έχει την πλήρη μορφή αx + βx + γ = 0 με α 0; Η επίλυση της δευτεροβάθμιας αx + βx + γ = 0 με α 0, βασίζεται στη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου, Αποδεικνύεται ότι : Το πλήθος λύσεων μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης αx + βx + γ = 0 με α 0, εξαρτάται από τη παράσταση που ονομάζεται διακρίνουσα: Δ = β 4αγ. Ειδικότερα: Αν Δ > 0, έχουμε δύο ρίζες άνισες που δίνονται από τον τύπο: x 1, = -β± Δ α Αν Δ = 0, έχουμε δυο ρίζες ίσες ή όπως αλλιώς λέμε μία διπλή ρίζα που δίνεται από τον τύπο: x = -β α Αν Δ < 0, τότε δεν έχουμε ρίζες στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, δηλαδή η εξίσωση είναι αδύνατη. 43
Παραδείγματα α) Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x 5x 3 = 0 β) 3x 1x + 1 = 0 γ) x + x + 3 = 0 Λύση α) x 5x 3 = 0 α = β = -5 γ = -3 Δ = β 4αγ = (-5) 4 (-3) = 5 + 4 = 49 > 0 Άρα έχω ρίζες άνισες: 5+ 7 4 = 3 x = -β ± 5± 49 = α = 5 ± 7 4 = 5 7 4 = - 1 β) 3x 1x + 1 = 0 α = 3 β = -1 γ = 1 Δ = β 4αγ = (-1) = 4 3 1 = 144 144 = 0 Άρα έχω 1 διπλή ρίζα: x = - β α = 1 3 = 1 6 = γ) x + x + 3 = 0 α = 1 β = γ = 3 44
Δ = β 4αγ = 4 1 3 = 4 1 = -8 < 0 Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη.. ΕΡΩΤΗΣΗ Πώς παραγοντοποιείτε ένα τριώνυμο, όταν έχει την πλήρη μορφή αx + βx + γ με α 0; Αν x 1,x είναι οι λύσεις της εξίσωσης αx + βx + γ = 0 τότε το τριώνυμο παραγοντοποιείτε σύμφωνα με τον τύπο : αx + βx + γ = α(x-x 1 )(x-x ) Παράδειγμα Να παραγοντοποιηθεί το τριώνυμο : x 5x 3 Βρίσκουμε ότι η εξίσωση x 5x 3 = 0 έχει λύσεις τις 3 και 1 άρα το τριώνυμο παραγοντοποιείτε ως εξής : x 5x 3 = + 1 (x 3)(x ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x 5x + 6 = 0 β) x 3x + = 0 γ) x + 8x 6 = 0 δ) x + 9x 8 = 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x + 3x + 1 = 0 β) x 6x + 9 = 0 γ) x + 4x 4 = 0 δ) x + x + 1 = 0 3. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) (x 1) x 1 x x = x(x + 1) + 3 β) + = 1 3 6 γ) x - 5 6 x + 1 6 = 0 δ) x 3x - 8 = 0 45
4. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) (x ) (x 6x + 8) = 0 β) (4 x 8x) (x + 8x+16) = 0 γ) (x 3 x) (x + 3x + 4) = 0 δ) x (4x + 4x + 1) ( x 1) 5 = 0 5. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ για τις οποίες η εξίσωση: x x + λ 3 = 0 είναι αδύνατη. 6. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ για τις οποίες η εξίσωση x +4x+λ+1 = 0 α) έχει δύο ρίζες άνισες β) έχει μία διπλή ρίζα γ) είναι αδύνατη. 7. Nα παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα : α) x 6x + 5 β) x + 8x 6 γ) x 10x + 5 δ) x + 9x +8 8. Να βρείτε δύο διαδοχικούς ακεραίους με άθροισμα τετραγώνων 61. 9. Να βρείτε δύο αριθμούς με άθροισμα 8 και άθροισμα τετραγώνων 34. 10. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο η μία κάθετη πλευρά είναι κατά cm μεγαλύτερη από την άλλη κάθετη. Αν η υποτείνουσα του είναι 10 cm να βρείτε τις κάθετες πλευρές. 11. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει περίμετρο 0 cm και εμβαδό 4 cm. Να βρείτε τις διαστάσεις του. 46
.4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται κλασματική; Μία εξίσωση που υπάρχουν κλάσματα και σε ένα τουλάχιστον παρονομαστή υπάρχει ο άγνωστο λέγεται κλασματική εξίσωση.. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια βήματα ακολουθούμε για να λύσουμε μία κλασματική εξίσωση; 1 ο Βήμα: Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές ο Βήμα: Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών. 3 ο Βήμα: Παίρνομε περιορισμούς, δηλαδή το Ε.Κ.Π. 0 4 ο Βήμα: Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους της εξίσωσης με το Ε.Κ.Π. 5 ο Βήμα: Απαλείφουμε τους παρονομαστές κάνοντας απλοποίηση. 6 ο Βήμα: Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει 7 ο Βήμα: Ελέγχουμε αν κάποια από τις λύσεις που βρήκαμε εξαιρείται από τους περιορισμούς οπότε την απορρίπτουμε. Αν όλες οι λύσεις που βρήκαμε εξαιρούνται από τους περιορισμούς, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. Παράδειγμα Να λύσετε την εξίσωση: 4 1 = x- x -4 x+ 47
Λύση Ε.Κ.Π. = (x-)(x+) 0 4 3 = x- x -4 x+ 4 3 = x- (x )(x+ ) x+ x 0 και x + 0 x και x - (x ) (x + ) x 4 - (x )(x + ) (x )(x+ ) = (x )(x + ) 3 x+ (x + ) 4 = (x ) 3 x + 4 4 = 3x 6 x 3x = - 6 - x = - 6 x = 6 ΔΕΚΤΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 5 x+8 = 1 x-8 β) 8+5x x = 5x x- γ) x + 3 x+ = 3 δ) 1 x + 1 x-1 = 3. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x- x+ + x-1 x- = 3 x -4 x β) 5-x + 5 x+5 + 5 x -5 = 0 3. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x- x β) x+ x + 4 x- = 8 x -x = x+3 x+4-4 x +4x 3 γ) x+ = x + x-4 x +x 48
4. Να λύσετε τις εξισώσεις α) x- x- + x x-3 = 3 x -5x+6 + 4 β) x+1 x-3 + 1 1-x - 1 = 7(x-1) x -4x+3 6. Να βρείτε δύο αριθμούς που να έχουν διαφορά 1 ενώ οι αντίστροφοί τους να έχουν άθροισμα 5 6. 7. Δίνεται η εξίσωση x αx + α = 0. Εάν γνωρίζουμε ότι η ρίζα της παραπάνω εξίσωσης και ο αντίστροφός της έχουν άθροισμα 5, να βρείτε την τιμή του α. 49
.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. Διάταξη πραγματικών αριθμών 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Πώς συγκρίνουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β; Ο αριθμός α είναι μεγαλύτερος από τον β, όταν και μόνο όταν η διαφορά α β είναι θετικός αριθμός. Δηλαδή: α > β όταν και μόνο όταν α β > 0 Ο αριθμός α είναι μικρότερος από τον β όταν και μόνο όταν η διαφορά α β είναι αρνητικός αριθμός. Δηλαδή: α < β όταν και μόνο όταν α β < 0 Β. Ιδιότητες της διάταξης 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποιες ιδιότητες των ανισοτήτων γνωρίζετε; Να τις αποδείξετε. α) Αν προσθέσουμε και στα δύο μέλη μιας ανισότητας τον ίδιο αριθμό, προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά. Δηλαδή: α > β τότε α + γ > β + γ Απόδειξη (α + γ) (β + γ) = α + γ β γ = α β > 0, αφού α > β. Άρα α + γ > β + γ. β) Αν πολλαπλασιάσουμε η διαιρέσουμε και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με τον ίδιο θετικό αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα ίδιας φοράς. 50
Δηλαδή: αν α > β α β και γ > 0 τότε α γ > β γ και > γ γ Απόδειξη α γ β γ = γ (α β) > 0 αφού γ > 0 και α β > 0 Άρα α γ > β γ α β Ομοια για την < γ γ γ) Αν πολλαπλασιάσουμε η διαιρέσουμε και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με τον ίδιο αρνητικό αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα αντίθετης φοράς. Δηλαδή: αν α > β α β και γ < 0 τότε α γ < β γ και < γ γ δ) Αν προσθέσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες της ίδιας φοράς, προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς. Δηλαδή: αν α > β και γ > δ τότε α + γ > β + δ ε) Αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες της ίδιας φοράς και θετικά μέλη, προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς. Δηλαδή: αν α > β και γ > δ τότε α γ > β δ στ) Ισχύει η μεταβατική ιδιότητα: αν α > β και β > γ τότε α > γ 51
Δεν επιτρέπετε να αφαιρούμε η να διαιρούμε ανισότητες κατά μελή. Ισχύει α 0 Αν α + β = 0 τότε α = 0 και β = 0 Γ. Ανισώσεις 1 ου βαθμού μ έναν άγνωστο. 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια βήματα ακολουθούμε για να λύσουμε μία ανίσωση; 1 ο Βήμα: Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους της ανίσωσης με το Ε.Κ.Π. ο Βήμα: Απαλείφουμε τους παρονομαστές κάνοντας απλοποίηση. 3 ο Βήμα: Κάνουμε τις πράξεις και βγάζουμε τις παρενθέσεις εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα. 4 ο Βήμα: «Χωρίζουμε» τους γνωστούς από τους αγνώστους. 5 ο Βήμα: Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων. 6 ο Βήμα: Διαιρούμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το συντελεστή του αγνώστου. Αν είναι θετικός αριθμός η φορά της ανίσωσης παραμένει. Αν ο συντελεστής του αγνώστου είναι αρνητικός αριθμός, τότε η ανίσωση θα αλλάξει φορά. Μία ανίσωση λύνεται ακριβώς όπως μία εξίσωση με ενδεχομένως μία μόνο διαφορά. Αν ο συντελεστής του αγνώστου είναι αρνητικός αριθμός, στο σημείο που διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου, αλλάζει φορά ή ανίσωση. Παράδειγμα Να λυθεί η ανίσωση: 3x 5 < 6x + 1 5
Λύση 3x 5 < 6x + 1 3x 6x < 5 + 1-3x < 6-3x -3 > 6-3 x > - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Αν 0 < α < να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς: 1, α, α.. Αν α > β να συγκρίνετε τους αριθμούς 5α γ και 5β γ. 3. Αν α, β θετικοί αριθμοί με α > β να αποδείξετε ότι: α) α > α β β) α β > β 4. Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς να αποδείξετε ότι: x y xy β) ( x y) α) + + xy 5. Να βρείτε τις τιμές των x και y για τις οποίες ισχύει: x+ + y 1 = 0 β) x + x+ 1+ y = 0 α) ( ) ( ) 6. Αν 1 < x < και 3 < y < -1 να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών περιέχονται οι τιμές των παραστάσεων: α) 3x β) x + 5 γ) x + y δ) x 3y 53
7. Να λύσετε τις ανισώσεις: α) x-1 - -3x + 4 6 > x+ 4 β) x+1 3 - (x+4) < 1 5 8. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: (x 1) 4(x + ) > x + 7 και - (x + 3) + x 1 < x + 4 54