ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει και με τα διανύσματα x, 6, z.. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και δύο σημεία του επιπέδου Δ και Ε. Αν ισχύει 0, να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα ΔΕ διέρχεται από ένα σταθερό σημείο.. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου, για τα οποία ισχύει: ι), ιι). 4. Έστω, δύο μη μηδενικά διανύσματα και Ο ένα τυχαίο σημείο του επιπέδου των διανυσμάτων. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ, για τα οποία ισχύει:,. 5. Θεωρούμε τα σταθερά σημεία Α, Β, Γ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ, για τα οποία ισχύει:,. 6. Να λυθεί το σύστημα : 4x x 6. Να παρασταθεί γραφικά η λύση. 7. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος τριγώνου, διχοτομεί την ευθεία η οποία συνδέει τα μέσα των δύο άλλων πλευρών του. 8. Αν ισχύει ότι 5 0, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 9. Θεωρούμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Προεκτείνουμε τις διαμέσους ΒΔ, ΓΕ κατά τμήματα ΔΘ = ΒΔ και ΕΖ = ΓΕ. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Ζ, Θ είναι συνευθειακά. 0. Δίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ, με, 7 8 και ένα σημείο Ρ, τέτοιο ώστε. Να αποδείξετε ότι το Ρ ανήκει στη ΒΓ.. Αν το διάνυσμα είναι μοναδιαίο και 4 0, να αποδείξετε ότι:.. Δίνεται ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Αν Μ, Λ είναι τα μέσα των πλευρών του ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ΜΛ < ΑΔ + ΒΓ.. Να αποδείξετε ότι: (, 0 0 ). Άλκης Τζελέπης Σελίδα

4. Αν για τα διανύσματα,, ύ 0, να αποδείξετε ότι: 5 α) ) ) 5. Δίνονται τα διανύσματα,, 0. Να αποδείξετε ότι τα 4 τρία διανύσματα είναι συγγραμμικά. 6. Δίνεται το κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και έστω Μ, Ν τα μέσα των πλευρών ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα. Αν ισχύει ότι (ΜΝ) = (ΑΒ) + (ΓΔ), να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο. 7. Δίνεται κύκλος (Ο,R) και δύο κάθετες μεταξύ τους χορδές ΑΒ και ΓΔ που τέμνονται στο Σ. Να αποδείξετε ότι: α). β) Αν Κ, Λ είναι τα μέσα των ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΟΚΣΛ είναι παραλληλόγραμμο. 8. Θεωρούμε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ. α) Να προσδιορίσετε ένα σημείο Μ, τέτοιο ώστε:. β) Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα u είναι σταθερό. 9. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ. Αν για δύο σημεία Κ, Λ ισχύει ότι, να αποδείξετε ότι: 4 α) MK AB 4 β) τα σημεία Κ, Μ και Λ είναι συνευθειακά. 0. Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ και πραγματικός αριθμός x. Για τις διάφορες τιμές του x θεωρούμε σημεία Ε και Κ τέτοια, ώστε x x. α) Να προσδιορίσετε σε ένα σχήμα τα σημεία Ε και Κ, όταν x. β) Να αποδείξετε ότι // ά x. γ) Να βρείτε την τιμή του x για την οποία το τετράπλευρο ΕΚΓΒ είναι παραλληλόγραμμο.. Σε ένα τρίγωνο ΟΑΒ με OA OB, Μ είναι το μέσο της πλευράς ΟΑ και Ν είναι το μέσο της πλευράς ΑΒ. Οι ΟΝ και ΒΜ τέμνονται στο σημείο Ρ. α) Να αποδείξετε ότι. β) Το διάνυσμα BN είναι ίσο με: : : : Άλκης Τζελέπης Σελίδα : :

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. γ) Να αποδείξετε ότι αν, ό. δ) Η διανυσματική ισότητα που συνδέει τις πλευρές του τριγώνου ΟΡΒ, είναι: : 0 : 0 : 0 : 0 : 0 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. ε) Με βάση την απάντηση στο ερώτημα (δ) και αν, να αποδείξετε ότι και να υπολογίσετε τα κ και λ.. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Ρ της ΒΓ. Αν χ + ψ =. να αποδείξετε ότι. α) Αν τα διανύσματα, είναι μη συγγραμμικά και, να αποδείξετε ότι κ = λ = 0. β) Αν τα διανύσματα, είναι μη συγγραμμικά, να αποδείξετε ότι και τα διανύσματα 5 6, είναι μη συγγραμμικά. Άλκης Τζελέπης Σελίδα 4

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Στο επίπεδο Οχψ δίνονται τα σημεία Α(,0) και Β(,). Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες της τέταρτης κορυφής του παραλληλογράμμου ΟΑΒΓ.. Δίνονται τα σημεία Α(-,-5) και Β(,-4). Να βρείτε σημείο Γ του άξονα χ χ τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με βάση την πλευρά ΑΒ.. Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του κέντρου του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου που έχει κορυφές τα σημεία Α(,), Β(6,4) και Γ(5,5). 4. Αν τα σημεία Κ(4,0), Λ(6,) και Μ(,5) είναι αντίστοιχα τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΑΓ του τριγώνου ΑΒΓ, να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου. 5. Στο σύστημα αναφοράς Οχψ θεωρούμε τα σημεία Α και Β του άξονα χ χ, των οποίων οι τετμημένες είναι ρίζες της εξίσωσης x 4 7 x 4 0. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ, για την οποία το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ έχει τετμημένη. 6. Δίνονται τα σημεία Α(6,-), Β(,), Γ(,), Δ(-,-) και Ε(,-). α) Να βρείτε σημείο Μ τέτοιο ώστε β) Να υπολογίσετε το λ, ώστε τα σημεία Γ, Δ και Μ να είναι συνευθειακά. γ) Αν τα Γ, Δ και Μ είναι συνευθειακά και ακόμη είναι,,, να αποδείξετε ότι κντ =. 7. Δίνονται τα σημεία Α(,), Β(,0) και Γ(0,4). Αν η ΑΓ τέμνει τον άξονα χ χ στο Δ και η ΑΒ τον άξονα ψ ψ στο σημείο Ε, τότε: α) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των Δ και Ε. β) Να αποδείξετε ότι τα μέσα των ΟΑ, ΕΔ και ΒΓ είναι συνευθειακά. 8. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(5,), Β(,-) και Γ(9,-7). Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ και το σημείο Δ τέτοιο ώστε, να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου Δ. Αν η 4 ΒΔ τέμνει την ΑΓ στο Ε, να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου Ε. 6 9. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(,4), Β(,) και,. Αν ΑΔ είναι η διχοτόμος της γωνίας Α του τριγώνου, να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου Δ. ( Θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου ). 0. Θεωρούμε τα διανύσματα (,), (,4). Να ορίσετε τα συγγραμμικά τους διανύσματα τα οποία να έχουν άθροισμα (0,). Άλκης Τζελέπης Σελίδα 5

. Θεωρούμε τα διανύσματα (,), (, ). Να εκφράσετε το διάνυσμα (, ) ως γραμμικό συνδυασμό των,.. Δίνονται τα σημεία Α(,), Β(7, 4). Να βρεθεί σημείο του άξονα χ χ, ώστε το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι: α) ισοσκελές με κορυφή το Μ. β) ορθογώνιο στο Μ.. Να βρείτε σημείο Μ του άξονα χ χ, ώστε το άθροισμα των αποστάσεών του από τα σημεία Α(,) και Β(,4) να είναι ελάχιστο. 4. Να βρείτε σημείο Μ του άξονα ψ ψ, ώστε η διαφορά των αποστάσεών του από τα σημεία Α(,) και Β(,5) να είναι μέγιστη. 5. Αν, 4,,,,,,4 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες x του διανύσματος u., β) Να βρείτε τη σχέση ανάμεσα στα χ και ψ ώστε u //. γ) Να υπολογισθούν τα χ και ψ αν είναι u 0., τότε: 6. Τα σημεία Κ(,), Λ(5,6) και Μ(,4) αποτελούν τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα ενός τριγώνου ΑΒΓ. α) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των κορυφών Α, Β και Γ του τριγώνου. β) Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΒΛ και να προσδιορίσετε τη θέση της ως προς τον άξονα χ χ. 7. Ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έχει κορυφές τα σημεία Α( 4,) και Β(, ) του επιπέδου. Αν το κέντρο του είναι το σημείο Κ( /, /), να βρείτε τις κορυφές Γ και Δ. 8. Η διανυσματική ακτίνα ενός σημείου Α είναι παράλληλη στο διάνυσμα (, 4) μάλιστα είναι. 0, να βρείτε: και α) το πρόσημο των συντεταγμένων του Α. β) τις συντεταγμένες του Α. 9. Στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οχψ θεωρούμε τα σημεία Α, Β και Γ τα οποία ορίζονται από τις ισότητες j, i j 0i j. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β και Γ. β) Οι συντεταγμένες του μέσου του ΒΓ είναι (5,). Συμφωνείται με αυτόν τον ισχυρισμό; γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Δ, ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να είναι παραλληλόγραμμο. δ) Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του σημείου Ε, ώστε να ισχύει: ε) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Γ και Ε είναι συνευθειακά. 4 Άλκης Τζελέπης Σελίδα 6

0. Θεωρούμε τα σημεία Α(,4), Β(6,4), Γ(9,) και Δ(,) του επιπέδου. α) Να αποδείξετε ότι: ι) το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο 7 ιι). 5 β) Θεωρούμε σημείο Μ τέτοιο, ώστε,. Να υπολογίσετε το χ, ώστε το σημείο Μ να είναι συμμετρικό του Γ ως προς το Δ.. Μια περιοχή που πρόκειται να αναμορφωθεί αποτυπώνεται στο τοπογραφικό σχέδιο ενός εργολάβου, με καρτεσιανό σύστημα αξόνων Οχψ. Τα σημεία Α(0,7), Β(4,) και Γ(6,) παριστάνουν τρία χωριά. α) Να αποδείξετε ότι ο εργολάβος μπορεί να χαράξει έναν ευθύγραμμο δρόμο που να συνδέει τα τρία χωριά. β) Να βρείτε σε ποιο σημείο του άξονα χ χ πρέπει να σχεδιάσει ένα πρατήριο βενζίνης Π, το οποίο να ισαπέχει από τα χωριά Α και Γ. γ) Στο σημείο Μ(,λ) θέλει να τοποθετήσει έναν στύλο παροχής ηλεκτρικού ρεύματος προς τα χωριά Β και Γ, ώστε το άθροισμα των μηκών των καλωδίων να είναι ελάχιστο. Να βρείτε το σημείο Μ. Άλκης Τζελέπης Σελίδα 7

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ, να. Αν,, ί ό,.. Δίνονται τα διανύσματα,. δείξετε ότι 0.,. Να δείξετε ότι το μη μηδενικό διάνυσμα είναι κάθετο στο μη μηδενικό διάνυσμα u u. 4. Θεωρούμε τα διανύσματα (, ), (,), (, ). Να βρεθούν: α) Το εσωτερικό γινόμενο των,. β) Η διανυσματική προβολή του. γ) Αν, να βρεθεί το διάνυσμα, όπου ΑΓ είναι το ύψος του τριγώνου ΟΑΒ. 5. Θεωρούμε τα διανύσματα, με μέτρο ίσο με. Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν, αν γνωρίζουμε ότι τα διανύσματα w 5 4 u είναι κάθετα. 6. Αν τα διανύσματα, είναι κάθετα και έχουν ίσα μέτρα, τότε το ίδιο συμβαίνει και με τα διανύσματα w v. 7. Αν τα μοναδιαία διανύσματα, σχηματίζουν γωνία τέτοια ώστε 0, 90 ο και τα διανύσματα p q 5 4 είναι κάθετα μεταξύ τους, να αναλυθεί το διάνυσμα v v ( v, ) 60 ο σε δύο συνιστώσες παράλληλες προς τα. 8. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρά α =. Αν ΑΔ είναι το ύψος του τριγώνου, να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: ) ) ) ) 9. Έστω, δύο διανύσματα του επιπέδου, με, (, ). v, να υπολογίσετε: α) το v β) τις γωνίες (, v) ( v, ). Αν είναι Άλκης Τζελέπης Σελίδα 8

Άλκης Τζελέπης Σελίδα 9 0. Να αποδείξετε ότι:., ) 4 ) ) ό. Έστω,, τρία μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου. Αν είναι ) ( ), (, να αποδείξετε ότι ). (. Έστω τα διανύσματα, του επιπέδου με 6 ), (,. Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων.. Να αναλύσετε το διάνυσμα ), ( σε δύο συνιστώσες, από τις οποίες η μία είναι παράλληλη προς το διάνυσμα ), ( και η άλλη κάθετη σε αυτό. 4. Δίνεται τρίγωνο ΟΑΒ στο οποίο είναι., 4, Αν Μ είναι το μέσο της ΑΒ, να υπολογίσετε τη γωνία., 5. Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ στο οποίο είναι. Αν ισχύουν επίσης ότι ), (, να υπολογίσετε τα μήκη των διαγωνίων του ΑΒΓΔ. 6. Να υπολογίσετε το άθροισμα 0 4,, ί. 7. Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα ) ( ) ( v u είναι κάθετα στο. 8. Αν για κάθε πραγματικό αριθμό λ ισχύουν, να αποδείξετε ότι: 5 4 ) ) ) 9. Αν έχουμε τρία διανύσματα του επιπέδου,,, να αποδείξετε ότι είναι.

0. Να βρεθεί το μέτρο του διανύσματος (, ) (, ) και 4, (, μη συγγραμμικά ).. Αν, είναι μοναδιαία διανύσματα και θ η μεταξύ τους γωνία, να αποδείξετε ότι:.. Αν u (, ) v (, ) 0 ( u, v), να αποδείξετε ότι: ( u, v ). Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα,,. Να βρείτε διάνυσμα x, τέτοιο ώστε x // ( ) ( x). 4. Δίνονται τα διανύσματα (, ), (, ) (,0 ). Να βρείτε όλα τα διανύσματα v v 0 v. Στη συνέχεια να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς λ, μ ώστε v. 5. Αν x ( x ) 0 να αποδείξετε ότι Στη συνέχεια να υπολογίσετε το διάνυσμα x. 6. Αν (,) (,4 ), να βρείτε την. x. x 7. Να δείξετε ότι το διάνυσμα x είναι κάθετο στο για κάθε διάνυσμα x. 8. Δίνονται τα διανύσματα, ώ ( ) ( ),,. α) Να αποδείξετε ότι β) Να βρεθεί το, ό 9. Αν, (, ) 45 ο, να βρείτε τη γωνία (, ). 0. Θεωρούμε τα συγγραμμικά διανύσματα,,. Να δείξετε ότι η σχέση συνεπάγεται ότι δύο από τα διανύσματα είναι αντίρροπα. Άλκης Τζελέπης Σελίδα 0

. Θεωρούμε τα διανύσματα,, 6. Να οριστεί ο πραγματικός αριθμός λ, ώστε ( ) ( ).. Αν για τα διανύσματα, ύ, να αποδείξετε ότι.. α) Να εξετάσετε πότε ισχύει η ισότητα, ό, 0. β) Δίνονται τα διανύσματα,, τέτοια, ώστε να ισχύουν: 0 ι) Να αποδείξετε ότι ιι) Να υπολογίσετε το ως συνάρτηση του λ ιιι) Να υπολογίσετε το διάνυσμα. 4. Α. α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε διανύσματα,, ύ. β) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή του ; γ) Πότε το παίρνει την ελάχιστη τιμή του; Β. Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης Α = 6 x 8 ψ αν x 6. Γ. Να αποδείξετε ότι 6 x 8 x 0 5. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα. α) Να αποδείξετε ότι β) Αν ισχύει, να αποδείξετε ότι γ) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά την ισότητα του ερωτήματος (α). 6. Θεωρούμε δύο διανύσματα, τέτοια ώστε 4 α) Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε τα διανύσματα u, v να είναι κάθετα. β) Αν για τη μικρότερη τιμή του λ που θα βρείτε ισχύει ( u v, u v), να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο 7. Έστω ΑΒΓΔ τετράγωνο με κέντρο Ο και πλευρά (ΑΒ) = 6. Α. Να υπολογίσετε τα παρακάτω εσωτερικά γινόμενα: ) ) ) ) ) ) Άλκης Τζελέπης Σελίδα

Β. α) Να προσδιορίσετε τη θέση των σημείων Λ, Μ και Κ που ορίζονται από τις ισότητες, β) Να αποδείξετε ότι: ι) τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά ιι) το τετράπλευρο ΚΑΓΜ είναι παραλληλόγραμμο ιιι) 0 8. Δίνεται τετράγωνο ΟΑΓΒ με Ο(0,0), Α(α,0) και Β(0, β) ( α, β > 0 ). α) Να εκφράσετε τις συντεταγμένες του σημείου Γ με τη βοήθεια των α και β. β) Αν Κ είναι το κέντρο του τετραγώνου και Μ το μέσο του τμήματος ΚΓ, να βρείτε τις συντεταγμένες του Μ ως συνάρτηση των α και β. γ) Αν Λ είναι το μέσο του τμήματος ΟΑ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΜΛ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. 9. Οι διανυσματικές ακτίνες, των σημείων Α, Β και Γ είναι τέτοιες, ώστε να ισχύουν οι σχέσεις:, 7 0 α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά. β) Να υπολογίσετε: ι) τα εσωτερικά γινόμενα, ιι) τη γωνία των διανυσμάτων. γ) Αν για το διάνυσμα x ισχύουν οι σχέσεις x // ( ) ( x ) ( ) ι) να αποδείξετε ότι x ( ) 4 ιι) να υπολογίσετε το x. 40. Έστω ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με 90 ο. Αν Κ και Λ είναι τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΑΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: ) ) ), ό 4. Σε μια περιοχή υπάρχουν τρεις πόλεις Α, Β και Γ. Οι πόλεις Α και Β απέχουν μεταξύ τους 4 km. Από την πόλη Α αναχωρεί ένας ποδηλάτης, ο οποίος κινούμενος ευθύγραμμα φθάνει στην πόλη Β. Τη διαδρομή ΑΓ τη συμβολίζουμε με το διάνυσμα και για την πόλη Γ. ισχύει ότι 6 α) Να αποδείξετε ότι η διαδρομή ΓΒ είναι κάθετη στη διαδρομή ΑΒ. β) Ο ποδηλάτης, φθάνοντας στην πόλη Β, αναχωρεί με κατεύθυνση κάθετη στη διαδρομή Άλκης Τζελέπης Σελίδα

ΑΓ και συναντά την ΑΓ στο σημείο Δ. Αν είναι (ΑΔ) = km, να υπολογίσετε την απόσταση των πόλεων Α και Γ. 4. Α. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα,. α) Να αποδείξετε ότι β) Αν (,) (,4), να βρεθεί η προβολή του. Β. Δίνονται τα διανύσματα,,., τότε η γωνία των διανυσμάτων, είναι ίση με: ι) π/6 ιι) π/ ιιι) π/4 ιv) π Γ. Αν, v και η γωνία των δύο διανυσμάτων είναι ίση με π/6, να βρείτε την προβολή του διανύσματος v ά. 4. Δίνονται τα σημεία Α(4,0), Β(0,5) στο ορθοκανονικό σύστημα Οχψ. α) Να βρεθεί σημείο Μ του ΑΒ τέτοιο, ώστε β) Αν Κ είναι το μέσο του ΟΑ και Λ το μέσο του ΟΒ, τότε το εσωτερικό γινόμενο είναι ίσο με: ι) ιι) MO ιιι) ιv) 0 44. Αν,, 5 0, να αποδείξετε ότι: α) 5 β) Το τρίγωνο με πλευρές τα μήκη των διανυσμάτων,, είναι ορθογώνιο γ) Υπολογίσατε το άθροισμα 45. Έστω τα διανύσματα (,), (,) (, ). α) Να γράψετε το διάνυσμα με μοναδικό τρόπο, ως γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων,. β) Να αναλύσετε το διάνυσμα σε δύο συνιστώσες, ώ // //. 46. Αν για τα μοναδιαία διανύσματα,, έ (, ) (, ), 4 να λύσετε την εξίσωση: Άλκης Τζελέπης Σελίδα

47. Αν, 4 (, ), να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ, ώστε να ισχύει: 6 ( ) 48. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓΔ με (ΑΒ) = 0 και τα διανύσματα. Να βρεθεί το γινόμενο. 5 Άλκης Τζελέπης Σελίδα 4

Άλκης Τζελέπης Σελίδα 5 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ Ι. Συνθήκες Παραλληλίας:. // (αν λ>0 είναι ομόρροπα, ενώ αν λ<0 είναι αντίρροπα ). ι) ιι). Αν, &, x x, τότε: 0, det // ι) 0, και ιι), ΙΙ. Συνθήκες Καθετότητας:. 0. Αν, &, x x, τότε: 0 x x., 0, ΙΙΙ. Παρατηρήσεις:. Τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά AB // (β.λ.π. συνθήκες παραλληλίας). Το v είναι συνεπίπεδο των, υπάρχουν R, : v. Για να υπολογίσουμε το v, συνήθως υπολογίζουμε το v 4. Αν δύο διανύσματα του επιπέδου ΔΕΝ είναι συγγραμμικά, τότε έχουμε: αν 0 τότε ισχύει κ = λ = 0, όπου κ, λ πραγματικοί αριθμοί 5. ΔΕΝ ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα στο εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων, δηλαδή: 6. ΔΕΝ ισχύει η ιδιότητα της διαγραφής στο εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων, έτσι: ι) u u (δεν ισχύει το αντίστροφο) ιι) 0 0 ή ή

IV. Γεωμετρικοί Τόποι:. Σχέση: MA, όπου Α σταθερό σημείο, κ > 0 Τα σημεία Μ ανήκουν σε κύκλο με κέντρο το Α και ακτίνα κ.. Σχέση: MA MB, όπου Α, Β σταθερά σημεία Τα σημεία Μ ανήκουν στη μεσοκάθετη ευθεία του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.. Σχέση:, όπου Α, Β, Γ σταθερά σημεία, λ πραγματικός αριθμός Τα σημεία Μ ανήκουν σε ευθεία, που διέρχεται από το σημείο Α και είναι παράλληλη προς την ευθεία ΒΓ. 4. Σχέση: 0, όπου Α, Β, Γ σταθερά σημεία Τα σημεία Μ ανήκουν σε ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετη στην προς την ευθεία ΒΓ. Άλκης Τζελέπης Σελίδα 6

Άλκης Τζελέπης Σελίδα 7

Άλκης Τζελέπης Σελίδα