Ομάδα Δ. Λύνοντασ Προβλήματα Φυςικήσ με τον υπολογιςτή Πρόβλημα 9 α : Κλίςη καμπύλησ Πρόβλημα 9 β : Εμβαδόν καμπύλησ Πωσ μπορεί κανείσ να λύςει προβλήματα με τη βοήθεια τησ Mahemaica
Πρόβλημα 9 α : Κλίςη καμπύλησ [_] := 3* + 5 Plo[[], {, -1,1 },GridLines->Auomaic] Η κλίςη μιασ ευθείασ γραμμήσ δείχνει πόςο απότομη είναι η ευθεία ςε ςχέςη με τον οριζόντιο άξονα
Πρόβλημα 9 α : Κλίςη καμπύλησ Η κλίςη τησ () υπολογίζεται από τη ςχέςη ( ) ( ) 2 1 8 1 5 0 3 2 1 επιλέγοντασ 2 οποιαδήποτε ςημεία από τη γραφική παράςταςη τησ ευθείασ ( 2 )=8, 2 =1, ( 1 )=5, 1 =0
Ο υπολογιςμόσ τησ κλίςησ μπορεί να γίνει και από τη ςχέςη θεωρώντασ 2 = 1 +Δ, = 1 ( ) ( ) Ο υπολογιςμόσ τησ κλίςησ με τη Mahemaica μπορεί να γίνει θεωρώντασ ένα βήμα Δ και μια ςυνάρτηςη Slope με βάςη τον παραπάνω τύπο Δ=0.1; Πρόβλημα 9 α : Κλίςη καμπύλησ Slope[ _]: [ ] [ ]
Πρόβλημα 9 α : Κλίςη καμπύλησ Slope[ _]: [ ] [ ] Μπορώ άραγε να χρηςιμοποιήςω την ίδια ςχέςη και ςε μια καμπύλη γραμμή;
Πρόβλημα 9 α : Κλίςη καμπύλησ [_]:=Sin[]; Δ=0.1; Plo[[], {, 0, 2*Pi}] Slope[ _]: [ ] [ ] Plo[Slope[], {, 0, 2 pi}] Υπάρχει κάποια ςχέςη μεταξύ τησ κλίςησ καμπύλησ ςυνάρτηςησ και τησ παραγώγου τησ; Ποια ςυνάρτηςη ςασ θυμίζει αυτή η καμπύλη; Η καμπύλη αυτή θυμίζει το Cos(), όπωσ αναμένεται αν παραγωγίζαμε την ςυνάρτηςη Sin().
Πρόβλημα 9 α : Κλίςη καμπύλησ Ο κανονικόσ υπολογιςμόσ τησ κλίςησ γίνεται από την παρακάτω ςχέςη όπου το Δ τείνει ςτο 0 d d lim0 ( ) ( ) Η κλίςη τησ καμπύλησ μιασ ςυνάρτηςησ ταυτίζεται με την παράγωγο τησ Η ςχέςη που χρηςιμοποιήςαμε μέχρι τώρα μπορεί να θεωρηθεί μια προςεγγιςτική ςχέςη για τον υπολογιςμό τησ κλίςησ, που ανάλογα με την τιμή του Δ δίνει ςωςτά ή όχι αποτελέςματα. Slope[ _]: [ ] [ ]
Πρόβλημα 9 α : Κλίςη καμπύλησ Στην άςκηςη αυτή καλείςτε να διερευνήςετε την ορθότητα τησ προςεγγιςτικήσ ςχέςησ για τον υπολογιςμό τησ κλίςησ. Slope[ _]: 1. α). Υπολογίςτε την κλίςη τησ καμπύλησ g()=2 3 ςτο ςημείο =1.0 θεωρώντασ το Δ=1.0, 0.5, 0.1, 0.01, 0.0001 β). Με τη βοήθεια τησ LisPlo ςχεδιάςτε το διάγραμμα (Κλίςησ, Δ) γ). Τι ςυμβαίνει ςτην αριθμητική τιμή τησ κλίςησ καθώσ το Δ γίνεται ολοένα και μικρότερο; δ). Δείξτε με την εντολή Show την κλίςη ςε 2 ακραίεσ τιμέσ (Δ=10 και Δ=0.001) ςε δύο διαςτήματα i). 0<<10 και ii). 0<<100. Τι παρατηρείτε από τη ςύγκριςη των δύο καμπύλων ςε κάθε διάγραμμα; 2. α). Σχεδιάςτε την κλίςη τησ καμπύλησ ()=3+4 5 χρηςιμοποιώντασ Δ= 0.1 για τισ τιμέσ 0 < < 5. β). Επίςησ ςχεδιάςτε την παράγωγο τησ παραπάνω ςυνάρτηςησ γ). Με την εντολή Show δείξτε ςτο ίδιο διάγραμμα τισ δύο καμπύλεσ δ). Πόςο καλή είναι η ςυμφωνία μεταξύ κλίςησ και παραγώγου; ε). Επαναλάβετε την άςκηςη 2 για την καμπύλη h()=cos() με Δ=0.05 και 0<<2π. 3. Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα τησ ςυνάρτηςησ U[] := 3 3-9 2 + 5-12 ςτο διάςτημα [-2, 2] με τη βοήθεια τησ παραγώγου τησ (Τοπικό ακρότατο αλλαγή πρόςημου παραγώγου) [ ] [ ] Ο έλεγχοσ αυτόσ θα γίνει δοκιμάζοντασ διάφορεσ τιμέσ για την παράμετρο Δ και βλέποντασ την επίδραςη ςτη ςχέςη και ςυγκρίνοντασ τη ςχέςη αυτή με την παράγωγο τησ ςυνάρτηςησ που αποτελεί και τον ακριβή τύπο υπολογιςμού τησ κλίςησ daa = Table[{1.0, Slope[1]}, {0.5, Slope[0.5]}, {0.1, Slope[0.1]}, {0.01, Slope[0.01]}, {0.001, Slope[0.001]}]; LisPlo[daa, AxesLabel->{ Δ",«Slope"}, AspecRaio->1.0]
Ομάδα Δ. Λύνοντασ Προβλήματα Φυςικήσ με τον υπολογιςτή Πρόβλημα 9 α : Κλίςη καμπύλησ Πρόβλημα 9 β : Εμβαδόν καμπύλησ Πωσ μπορεί κανείσ να λύςει προβλήματα με τη βοήθεια τησ Mahemaica
Πρόβλημα 9 β : Εμβαδόν καμπύλησ a Το ολοκλήρωμα μιασ ςυνάρτηςησ αποτελεί ςτην ουςία το εμβαδόν που περικλείεται από την ςυνάρτηςη αυτή, τον άξονα των x και δύο κατακόρυφουσ άξονεσ ςτισ θέςεισ x=α και x=β. b ή : ( x) dx Ένασ πρακτικόσ τρόποσ υπολογιςμού του εμβαδού αυτού είναι η διαίρεςη του διαςτήματοσ [α,β] ςε μικρά ίςα διαςτήματα και ςτη ςυνέχεια να θεωρήςουμε το εμβαδόν ςαν το άθροιςμα των εμβαδών των ορθογωνίων που ςχηματίζονται. b a Δx N
Πρόβλημα 9 β : Εμβαδόν καμπύλησ Η ερώτηςη που πηγάζει είναι γιατί να προςπαθώ να υπολογίςω αριθμητικά ολοκληρώματα από τη ςτιγμή που τελικά η Mahemaica κάνει όλη τη δουλειά; Πέρα από τον καθαρά εκπαιδευτικό χαρακτήρα τησ άςκηςησ υπάρχουν και προβλήματα όπου δίνονται πειραματικά αποτελέςματα και δεν είναι δυνατή η εύρεςη τησ ςυνάρτηςησ (x), όποτε είμαςτε αναγκαςμένοι να καταφύγουμε ςε αριθμητικέσ λύςεισ.
Πρόβλημα 9 β : Εμβαδόν καμπύλησ Έχουμε λοιπόν το ολοκλήρωμα τησ ςυνάρτηςησ (x)=x 3 από 0 ωσ 1 0.25 Και την αριθμητική του προςέγγιςη Εύκολα μπορεί να δοκιμάςει κανείσ και να δει ότι ανεβάζοντασ τον αριθμό των βημάτων Num, η αριθμητική προςέγγιςη για το ολοκλήρωμα πληςιάζει την τιμή 0.25, ολοένα και με αργότερο ρυθμό. 0.237656
Πρόβλημα 9 β : Εμβαδόν καμπύλησ 0.237656 Εναλλακτικά μπορεί να χρηςιμοποιήςει και μια διαφορετική προςέγγιςη (μεςαίασ τιμήσ) με λίγο καλύτερα αποτελέςματα 0.249922
Πρόβλημα 9 β : Εμβαδόν καμπύλησ Τι γίνεται ςε περιπτώςεισ όπου έχουμε εμβαδόν κάτω από τον άξονα των x; -0.25 0.75
Πρόβλημα 9 β : Εμβαδόν καμπύλησ 1. α). Υπολογίςτε με τισ δύο προςεγγιςτικέσ μεθόδουσ το εμβαδόν που περικλείεται από την καμπύλη (x)=x 4 από x=1 ωσ x=4 θέτοντασ τον αριθμό των βημάτων Ν=40. β). Υπολογίςτε το αντίςτοιχο ολοκλήρωμα. γ). Ποια από τισ δύο προςεγγιςτικέσ μεθόδουσ δίνει καλύτερο αποτέλεςμα; 2). α). Υπολογίςτε με τη δεύτερη προςεγγιςτική μέθοδο από =1 ωσ =4 (μεςαίασ τιμήσ) το εμβαδόν τησ καμπύλησ g()=4 3 για Ν=30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. daa2 = Table[{x, Emb2[x]}, {x, 30, 100, 10}] LisPlo[daa2, AxesLabel->{ Δx",«Embadon"}, AspecRaio->1.0] β). Σχεδιάςτε την αντίςτοιχη καμπύλη. γ). Τι παρατηρείτε; 3). Το έργο μιασ δύναμησ δίνεται από το ολοκλήρωμα τησ δύναμησ ςε ένα ςυγκεκριμένο διάςτημα. Με τη βοήθεια αυτήσ τησ ςχέςησ να ςχεδιάςετε ένα διάγραμμα έργου-απομάκρυνςησ για τισ εξήσ δυνάμεισ F=-Kx, F=-1/2 Kx 2, F=KCos(x) για x από -1 μέχρι 1 και Κ=100 και να υπολογίςετε το έργο κάθε δύναμησ αλλά και το ςυνολικό έργο.