ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) Πολλά ΧΠ δεν µπορούν να αναπαρασταθούν αριθµητικά. Τα ΧΠ χαρακτηρίζονται συµµορφούµενα και µη-συµµορφούµενα. Τα ΧΠ τέτοιου είδους ονοµάζονται Ιδιότητες. Το διάγραµµα ελέγχου για κλάσµα (ποσοστό) µη-συµµορφούµενων. Ονοµάζεται ο δείκτης του αριθµού των µησυµµορφούµενων αντικειµένων σε ένα πληθυσµό προς το συνολικό αριθµό των αντικειµένων του πληθυσµού. Τα αντικείµενα µπορεί να έχουν διάφορα ΧΠ που εξετάζονται ταυτόχρονα από τον επιθεωρητή. Το στατιστικό υπόβαθρο βασίζεται στην ιωνυµική Κατανοµή. Υποθέτουµε ότι η διαδικασία διενεργείται σε µια σταθερή βάση, δηλαδή η πιθανότητα µια µονάδα να µην είναι συµµορφούµενη είναι (p) και η επιτυχηµένες µονάδες που παράγονται είναι ανεξάρτητες. Κάθε µονάδα που παράγεται βασίζεται σε δοκιµές Bernouli µε παράµετρο (p). n PD=x= p 1-p x x { } ( ) n-x Όπου: x=0,1,2,,n D=Αριθµός µη-συµµορφούµενων προϊόντων
Το είγµα Ποσοστού Μη-Συµµορφούµενων είναι ο δείκτης: D ˆp= n Ακολουθεί την διωνυµική κατανοµή µε µ=p και 2 p(1-p) σ ˆp = n
Κατασκευή και λειτουργία του διαγράµµατος. Σε προηγούµενη ενότητα περιγράψαµε το γενικό διάγραµµα ελέγχου (διάγραµµα Shewhart). Εάν (w) είναι ένα στατιστικό που µετράει ένα ΧΠ µε µ.ο. (µ) και διακύµανση w w 2 σ w UCL=µ +Lσ w τότε: Κεντρική Γραµµή=µ LCL=µ -Lσ w w L= η απόσταση του ορίου ελέγχου από την κεντρική γραµµή, εκφράζεται σε µονάδες τυπικής απόκλισης, συνήθως L=3 Εάν η αναλογία (p) είναι γνωστή και σταθερή τότε: p(1-p) UCL=p+3 n Κεντρική Γραµµή=p LCL=p-3 p(1-p) n Εάν η αναλογία (p) δεν είναι γνωστή τότε πρέπει να υπολογιστεί από τις παρατηρήσεις. Επιλέγουµε (m) (συνήθως είναι 20 ή 25) δείγµατα µεγέθους (n). Τότε εάν υπάρχουν D i µη συµµορφούµενες µονάδες στο δείγµα i
Di p i=, i=1,2,...,n n Και m D p= mn = m i i=1 i=1 m pˆ i Το στατιστικό (p) εκτιµά το άγνωστο κλάσµα µησυµµορφούµενων p(1-p) UCL=p+3 n Κεντρική Γραµµή=p LCL=p-3 p(1-p) n Όρια ελέγχου δοκιµής.
Παράδειγµα
Το διάγραµµα (np) Όταν σχεδιάζουµε ένα διάγραµµα βασισµένοι στον αριθµό µη-συµµορφούµενων και όχι στο κλάσµα. UCL=np+3 np(1-p) Κεντρική Γραµµή=np LCL=np-3 np(1-p) Μεταβλητό µέγεθος δείγµατος Όταν η επιθεώρηση γίνεται 100% σε όλο το αποτέλεσµα (output) της διαδικασίας παραγωγής. Οπότε παράγονται διαφορετικές µονάδες άρα και µεταβλητά όρια ελέγχου. Ι) Μεταβλητό πλάτος ορίων ελέγχου Για κάθε ατοµικό δείγµα µπορούµε πολύ εύκολα να προσδιορίσουµε τα όρια ελέγχου. ηλαδή: εάν το i th δείγµα έχει µέγεθος n i τα όρια ελέγχου είναι p±3 p(1-p) n i
Παράδειγµα: 25 Di i=1 234 25 p= = =0.096 2450 n i=1 i
Συνεπώς: UCL=p+3σ ˆ =0,096+3 LCL=p-3σ ˆ =0,096-3 Όπου ˆσ ˆp ˆπ ˆπ (0,096)(0,904) n (0,096)(0,904) n είναι η εκτιµήτρια της τυπικής απόκλισης του δειγµατικού κλάσµατος µη-συµµορφούµενων i i ˆp
ΙΙ) Όρια ελέγχου που βασίζονται στο Μέσο Μέγεθος είγµατος Η προσέγγιση αυτή προϋποθέτει ότι τα µεγέθη των µελλοντικών δειγµάτων δεν θα διαφέρουν σηµαντικά από τα µέχρι τώρα. Τα όρια ελέγχου πρέπει να είναι σταθερά. Για τα δεδοµένα του προηγούµενου πίνακα, έχουµε: 25 n 2450 25 25 i i=1 n= = =98 p(1-p) (0,096)(0,904) UCL=p+3 =0,096+3 =0,185 n 98 p(1-p) (0,096)(0,904) LCL=p-3 =0,096-3 =0,007 n 98 Εάν υπάρχει ασυνήθιστα µεγάλη απόκλιση σε κάποιο δείγµα ή εάν κάποιο σηµείο απεικονίζεται κοντά στο όριο ελέγχου τότε τα όρια πρέπει να υπολογίζουν και αυτή την περίπτωση και να µεταβάλλονται.
ΙΙΙ) Το σταθεροποιηµένο διάγραµµα Οι παρατηρήσεις απεικονίζονται σε µονάδες της τυπικής απόκλισης. Η κεντρική γραµµή είναι στο 0 και τα όρια ελέγχου στο ±3 αντίστοιχα. Η µεταβλητή που απεικονίζεται στο διάγραµµα είναι: ˆp-p i Z= i p(1-p) n i Το σταθεροποιηµένο διάγραµµα του προηγούµενου παραδείγµατος.
Οι υπολογισµοί του σταθεροποιηµένου διαγράµµατος της προηγούµενης εικόνας.
Το σταθεροποιηµένο διάγραµµα της προηγούµενης εικόνας όπως το παρήγαγε ένα στατιστικό πρόγραµµα.
Η συνάρτηση Λειτουργικών Χαρακτηριστικών και ο υπολογισµός του Μέσου Αριθµού ειγµάτων Η συνάρτηση λειτουργικών χαρακτηριστικών παρέχει µια οπτική θεώρηση της πιθανότητας µε την οποία λανθασµένα δεχτήκαµε την υπόθεση του στατιστικού ελέγχου έναντι της διαδικασίας κλάσµατος µησυµµορφούµενων (σφάλµα τύπου ΙΙ). Είναι µια µέτρηση της ευαισθησίας του διαγράµµατος δηλαδή της ικανότητας του να ανιχνεύει µετατόπιση στη διαδικασία κλάσµατος µη-συµµορφούµενων από την ιδανική τιµή p σε µια άλλη (p). { ˆ } { ˆ LCL p} { } { β=p p<ucl p -P p =P D<nUCL p -P D nlcl p} Βασίζεται στην προσθετική διωνυµική κατανοµή.
Ο επόµενος πίνακας παρουσιάζει τους υπολογισµούς που απαιτούνται για τον υπολογισµό της πιθανότητας και την κατασκευή της καµπύλης. n=50 LCL=0,0303 UCL=0,3697 Οπότε: β=p D<(50)(0,3697) p -P D (50)(0,0303) p { } { } { } { 1,52 p} = P D<18,49 p -P D Το D πρέπει να είναι ακέραιος { } { } Άρα β =P D<18 p -P D 1 p
Καµπύλη Λειτουργικών χαρακτηριστικών για το διάγραµµα κλάσµατος µη-συµµοροφύµενων
Μέσος Αριθµός δειγµάτων 1 ARL= P(δείγµα σηµείων εκτός ελέγχου) ιαδικασία σε έλεγχο 1 ARL 0= α ιαδικασία εκτός ελέγχου 1 ARL 1= 1-β Οι πιθανότητες α,β υπολογίζονται από την διωνυµική κατανοµή ή από τη καµπύλη λειτουργικών χαρακτηριστικών. Παράδειγµα: Από προηγούµενο πίνακα n=50 LCL=0,0303 UCL=0,3697 Κεντρική γραµµή p = 0,20 Εάν η διαδικασία είναι σε έλεγχο τότε p α=1-β=0,0027 Οπότε 1 1 ARL 0= = = 370 α 0,0027 = p
1 1 ARL 1= = = 7 1-β 1 0,8594 Χρειάζονται 7 δείγµατα για να ανιχνευθεί η µεταβολή στο µ.ο. Εάν αυτό δεν είναι ικανοποιητικό τότε πρέπει να υιοθετηθούν ενέργειες για τη µείωση του ARL 1.
ιαγράµµατα Ελέγχου Αριθµού Μη-Συµµορφούµενων Μη-Συµµορφούµενο είναι ένα προϊόν που δεν ικανοποιεί µία ή περισσότερες προδιαγραφές. Συνεπώς κάθε µη-συµµορφούµενη µονάδα θα περιέχει τουλάχιστο µία µη-συµµόρφωση (ελάττωµα). ιαδικασίες µε σταθερό µέγεθος δείγµατος Υποθέτουµε ότι ένα ελάττωµα ανιχνεύεται σε µία επιθεωρούµενη µονάδα και ακολουθεί την κατανοµή Poison. Η µονάδα µπορεί να είναι ένα προϊόν µε ένα αριθµό ελαττωµάτων ή ένα σύνολο προϊόντων. -c x e c p(x)= x!, x=0,1,2,... Όπου x=αριθµός µη-συµµορφώσεων και c>0 η παράµετρος της κατανοµής. µ=c σ 2 =c Όρια Ελέγχου µε (c) γνωστό UCL=c+3 c Κεντρική Γραµµή=c LCL=c-3 c Όταν το LCL βγεί αρνητικό τότε παίρνουµε LCL=0. Όρια Ελέγχου µε (c) άγνωστο c=µ.ο. των παρατηρούµενων µη-συµµορφώσεων c
UCL=c+3 c Κεντρική Γραµµή=c LCL=c-3 c Παράδειγµα
Επιλογή στο µέγεθος του δείγµατος. Το διάγραµµα (u). Κατασκευάζουµε ένα διάγραµµα βασισµένοι στο µ.ο. των µη-συµµορφώσεων ανά µονάδα. Εάν ευρεθούν (x) συνολικά µη-συµµορφώσεις σε ένα δείγµα (n) επιθεωρούµενων µονάδων, τότε ο µ.ο. µησυµµορφώσεων ανά µονάδα είναι: x u= n Εάν η (χ) είναι τ.µ. που ακολουθεί την Poison κατανοµή τότε: Όρια ελέγχου για το µ.ο. αριθµού µησυµµορφώσεων ανά µονάδα u UCL=u+3 n Κεντρική Γραµµή=u LCL=u-3 u n
Παράδειγµα
ιαδικασίες µε µεταβλητά µεγέθη δειγµάτων Παράδειγµα
Συστήµατα Ελαττωµάτων (Demerit Systems) Σε πολύπλοκα συστήµατα παραγωγής παράγονται προϊόντα τα οποία περιέχουν διάφορα ελαττώµατα. Για να χαρακτηριστεί ένα προϊόν ελαττωµατικό πρέπει τα ελαττώµατα να είναι σηµαντικά, προϊόντα µε δευτερεύουσας σηµασίας ελαττώµατα δεν θεωρούνται ελαττωµατικά. Ταξινόµηση ελαττωµάτων: Κλάση Α: Ελαττώµατα-Πολύ σοβαρά. Τελικά προϊόντα τα οποία κατά τη χρήση τους θα παρουσιάσουν αστοχίες. Κλάση Β: Ελαττώµατα-Σοβαρά. Το προϊόν θα παρουσιάσει ελαττώµατα Κλάσης Α ή έχει µειωµένη διάρκεια ζωής. Κλάση Γ: Ελαττώµατα-Μέτριας σοβαρότητας. Το προϊόν πιθανόν να παρουσιάσει αστοχία ή παρουσιάζει αστοχίες που δεν είναι τόσο σοβαρές όσο οι λειτουργικές. Κλάση : Ελαττώµατα- ευτερεύουσας Σηµασίας. Ελαττώµατα στην εµφάνιση, στην ποιότητα εργασίας κλπ. Έστω C ia, C ib, C ic και C id, αντιπροσωπεύουν τις παραπάνω κλάσεις ελαττωµάτων στην i th µονάδα. Οι κλάσεις είναι ανεξάρτητες. Η εµφάνιση ελαττωµάτων εκφράζεται από κατανοµή Poison. Ο αριθµός των ελαττωµάτων στο σύστηµα «µονάδα προϊόντος» είναι: i ia ib ic d =100C +50C +10C +C id Τα βάρη έχουν προκύψει από την πρακτική εµπειρία.
Χρησιµοποιούµε ένα δείγµα (n) επιθεωρούµενων µονάδων. Ο αριθµός των ελαττωµάτων ανά µονάδα είναι: D u= i n όπου D= n i=1 d i Το (u) είναι γραµµικός συνδυασµός από ανεξάρτητες Poison µεταβλητές, συνεπώς το στατιστικό (u i ) µπορεί να απεικονιστεί από το παρακάτω διάγραµµα ελέγχου: UCL=u+3σˆ Κεντρική Γραµµή=u LCL=u-3σˆ u u u όπου: u=100u +50u +10u +u και: σˆ A B C D ( ) ( ) ( ) 2 2 2 100 u + 50 u + 10 u +u A B C D = n Συνάρτηση Λειτουργικών Χαρακτηριστικών Η Συνάρτηση Λειτουργικών Χαρακτηριστικών για τα διαγράµµατα (c) και (u) µπορεί να υπολογιστεί από την κατανοµή Poison. Για το διάγραµµα c.
Η καµπύλη λειτουργικών χαρακτηριστικών απεικονίζει την πιθανότητα σφάλµατος τύπου ΙΙ σε σχέση µε τον πραγµατικό µέσο αριθµό ελαττωµάτων (c). { } { LCL c} β=p x<ucl c -P x Εάν είναι LCL=6,48 και UCL=33,22 τότε β=p{x<33,22 c}-p{x 6,48 c} αφού το (c) είναι ακέραιος, τότε β=p{x 33 c}-p{x 6 c} Οι πιθανότητες υπολογίστηκαν στον παρακάτω πίνακα
Για το διάγραµµα u. { } { LCL c} { } { } { } β=p x<ucl c -P x =P c<nucl u -P c nlcl u =P nlcl<x nucl u = ( nu) [ nucl] -nu x x= nlcl e [ ] x! όπου nlcl είναι ο µικρότερος ακέραιος που είναι µεγαλύτερος ή ίσος µε το nlcl και αντίστοιχα το nucl µεγαλύτερο ή ίσο µε το nucl.
Χαµηλά επίπεδα ελαττωµάτων Όταν ο αριθµός εµφάνισης ελαττωµάτων είναι πολύ µικρός π.χ. 1000 εµφανίσεις στο εκατοµµύριο τότε σχηµατίσουµε µια νέα µεταβλητή: το χρόνο µεταξύ επιτυχηµένων εµφανίσεων κατά την διαδικασία των καταµετρήσεων. Υποθέτουµε ότι τα ελαττώµατα ακολουθούν την κατανοµή Poison. Τότε η κατανοµή πιθανότητας του χρόνου µεταξύ των ελαττωµάτων είναι η εκθετική κατανοµή. Επειδή η Εκθετική κατανοµή έχει µεγάλο βαθµό ασυµµετρίας µετασχηµατίζουµε την τ.µ. σε Weibull τ.µ. διότι η κατανοµή Weibull αντιστοιχίζεται πολύ καλά από την κανονική κατανοµή. Εάν (y) είναι η αρχική εκθετική τ.µ. τότε ο µετασχηµατισµός γίνεται από: 1 3,6 x=y =y 0,2777
Παράδειγµα