ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Ποια συνάρτηση ονομάζεται αρχική ή αράγουσα της f στο ; Μονάδες 4 Α. Να διατυώσετε το θεώρημα Rolle. Μονάδες (1+1+1+1)4 Α3. Να διατυώσετε και να αοδείξετε το θεώρημα Fermat. Μονάδες (+++3)9 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίλα στο γράμμα ου αντιστοιχεί σε κάθε ρόταση. Μαθηµατικός Περιηγητής α) Η εικόνα f ( ) ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. β) Αν η f είναι συνεχής στο [ α,β ] με f (α) < και υάρχει ξ ( α,β) κατ ανάγκη f (β) >., ώστε f (ξ), τότε γ) Αν μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο A είναι συνεχής στο A και f () για κάθε εσωτερικό σημείο του A, τότε η f είναι άντα σταθερή σε όλο το σύνολο A. δ) Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [ α,β ], τότε ισχύει: β α α f d + f d β Μονάδες (4)8 /5/16
ΘΕΜΑ Β Μιχάλης Σουλάνης Έστω συναρτήσεις f,g :R R για τις οοίες ισχύουν: (fof) 4 3 R : (1) 3(1) (gof)() + 1 e R : () + i. Να δείξετε ότι η f είναι συνάρτηση 1 1. ii. Να δείξετε ότι f( R) R. iii. Να υολογίσετε το f( 1 ) iv. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών αραστάσεων C f και C g. Μονάδες 5 Μονάδες 6 Μονάδες 5 Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Γ Κώστας Σερίφης Δίνεται η συνεχής στο Rσυνάρτηση f με f ( ) e, 1. Να μελετήσετε την f ως ρος την μονοτονία στο [,+ ). Μονάδες 5. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της fστο [,+ ) Μονάδες 7 3. Να βρεθεί το λήθος των ριζών της εξίσωσης ln ln Μονάδες 6 4. Να υολογίσετε το όριο lim ( f ( ) f ( ηµ ) ) Μονάδες 6 /5/16
ΘΕΜΑ Δ Βασίλης Μαυροφρύδης Έστω οι αραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g : R και F μία αρχική της f στο F. Η f είναι τέτοια ώστε να ισχύει f και για κάθε, ικανοοιεί την ώστε f e F. Δ1. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και δύο φορές αραγωγίσιμη στο,. Μονάδες 3 Δ. Να δείξετε ότι f f + 1 για κάθε,. Μονάδες 3 Δ3. Να δείξετε ότι f > 3 3 και ότι υάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε 3 f( ) 1. Μονάδες 5 Δ4. Αν ο αριθμός του ροηγούμενου ερωτήματος, να υολογίσετε το ολοκλήρωμα I f 1+f d. Μονάδες 3 Δ5. Να λύσετε την ανίσωση 1 1 f ( ) f > f ( + 1) f Μονάδες 6 Δ6. Έστω η συνάρτηση q( ) συν f( ) ημ,,. Να δείξετε ότι η q είναι σταθερή και έειτα να βρείτε τον τύο της f. Μονάδες 5 /5/16
ΘΕΜΑ Α Α4. α)σ, β)λ, γ)λ, δ)σ ΘΕΜΑ Β ΛΥΣΕΙΣ Β1.Έστω, R με f f (*).Τότε έχουμε : f f f f fof fof 4 34 3 εομένως η f είναι 11 Β.Έστω y R τότε για f έχουμε : f f f fof 4 3y Εομένως είναι f R R Β3. Θέτοντας 1 στην αρχική (1) έχουμε: fof 1 43 fof 1 1 I Θέτοντας f 1 στην αρχική (1) έχουμε: fof f 1 4f 1 3 f fof 1 4f 1 3 f 1 4f 1 3 3f 1 3 f 1 1 Β4. Θέτοντας 1 στην αρχική () έχουμε: gof 1 1+1e g f 1 e g 1 1 Εομένως οι γραφικές αραστάσεις, τέμνονται στο σημείο A 1,1.Θα δείξουμε ότι το A 1,1 είναι και το μόνο σημείο στο οοίο αυτές τέμνονται. Ας υοθέσουμε ότι οι, τέμνονται και σε κάοιο άλλο σημείο B k,k,k 1, θα ναι τότε: f k g k II Όμως k Rf R εομένως υάρχει μοναδικό R με f k III Η II γράφεται f f g f fof gof, 4 3 +1e 3 1 +e 1 h 1 h R 1 (ΙV) /5/16
διότι η h 3+e 1 έχει h 3+e > R και άρα είναι h R Όμως αό το συμέρασμα της (ΙV) ροκύτει 1 f f 1 1 k1, άτοο. Εομένως οι, δεν τέμνονται σε άλλο σημείο, αρά μόνο στο σημείο A 1,1. ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνεχής στο Rσυνάρτηση f με f ( ) e, 1. Μονοτονία της f στο [,+ ). Είναι f ( ) e e e (1 ), είναι γνησίως αύξουσα στο [,1 ] και γνησίως φθίνουσα στο [ 1,+ ). Σύνολο τιμών της fστο [,+ ) Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [,1 ] οότε f ([ ]) [ f f ] Οότε η f 1,1 (), (1), e H f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο 1 f ( 1, + ) ( lim f ( ), f (1), e Άρα ([ )) 1 f, +, e [ 1,+ ) οότε [ ) 1 lim f ( ) lim ( e ) lim lim DLH e + e 3. Πλήθος των ριζών της εξίσωσης ln ln Η εξίσωση για > γίνεται ισοδύναμη με την ln e e e e e f ( ) f () Στο διάστημα [ ) μοναδική ρίζα το. 1, +, όου η f είναι γνησίως φθίνουσα, η εξίσωση f ( ) f () έχει Στο διάστημα [,1 ], όου η f είναι γνησίως αύξουσα, με σύνολο τιμών το 1 f (), e, η f ( ) f () θα έχει ακριβώς μία ρίζα. Συνεώς η εξίσωση f ( ) f () 4. Υολογισμός του lim ( f ( ) f ( ηµ ) ) έχει δύο ακριβώς ρίζες, μία στο διάστημα [ ] /5/16 1, e και,1 και το Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [ 1,1] οότε αό το θεώρημα μέγιστης ελάχιστης τιμής θα έχει μια ελάχιστη τιμή, έστω ε, και μια μέγιστη έστω µ. Εφόσον ηµ [ 1,1] θα είναι: ε f ( ηµ ) µ ε f ( ) f ( ) f ( ηµ ) µ f ( ) για κάθε κοντά στο + Ακόμα ( ε f ) ( µ f ) lim, lim και έτσι αό το Κριτήριο Παρεμβολής θα είναι και ( f f ηµ ) lim
ΘΕΜΑ Δ Δ1. Είναι, άρα, Είσης: F( ) f e > για κάθε η f είναι γνησίως αύξουσα στο. η F είναι αραγωγίσιμη στο, ως αρχική της f στο άρα η συνάρτηση h() F( ) είναι αραγωγίσιμη στο, η y e είναι αραγωγίσιμη στο h ως αραγωγίσιμη στο. Άρα, η f είναι αραγωγίσιμη στο ως σύνθεση αραγωγίσιμων συναρτήσεων, οότε η f είναι δυο φορές αραγωγίσιμη στο. Δ. Αφού η f είναι αραγωγίσιμη για κάθε, έχουμε: F F( ) e f F ( ) e F f( ) e f ( ) f( ) f ( ) ( ) f f, εομένως, υάρχει c R (ραγματική σταθερά), ώστε: Αό την ( 1 ), για, έχουμε: άρα, f f + c, F, : ( 1 ). ( f ) F( )) f f + c e f + c c 1 Δ3. Α τρόος Η f είναι γνησίως αύξουσα στο Έστω η συνάρτηση f f + 1 για κάθε φ f, 3. άρα και συνάρτηση 1 1 : ( E ). /5/16
Η φ είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών στο αραγωγίσιμων συναρτήσεων. 3 και αραγωγίσιμη στο 3 ως διαφορά Για κάθε 3 συνάρτηση 1 1), άρα Έχουμε Β τρόος, είναι φ f 1 f > (αφού η f αίρνει την τιμή, μόνο στο ως η φ είναι γνησίως αύξουσα στο, ως συνεχής σε αυτό. 3 < φ < φ < f f >. 3 3 3 3 3 3 Η συνάρτηση f ως αραγωγίσιμη στο, είναι: οότε, άρα, συνεχής στο,, 3, αραγωγίσιμη στο 3, Αό την ( E ) για Εειδή, Έχουμε: η f ικανοοιεί τις ροϋοθέσεις θεωρήματος μέσης τιμής στο υάρχει τουλάχιστον ένα ξ τέτοιο ώστε: 3 ξ 3 έχουμε: f f f 3 3 f ( ξ) 3 3 f 3 f ( ξ) f ( ξ) + 1 f ( ξ) + 1. 3 η f είναι γνησίως αύξουσα στο, έχουμε: < < ξ< f < f( ξ) f( ξ) > f 3 f ( ξ) + 1> 1 > 1 f > 3 3 3, 3, /5/16
f συνεχής στο, 3, f < 1< < f 3 3, οότε, αό τo θεώρημα ενδιαμέσων τιμών, έεται ότι: υάρχει τουλάχιστον ένα, τέτοιο ώστε: 3 f( ) 1 : ( ). Δ4. Εειδή, η f είναι γνησίως αύξουσα στο, είναι και «1 1», άρα το είναι μοναδικό. Α τρόος Αό την ( E ) για κάθε Έχουμε: Β τρόος I, έχουμε: f f + 1 f f + 1 f ( ) f + 1 ( ) + ( f( ) ) f 1 + f f f( ) f ( ) + 1 f 1 ( f ( ) + 1) + f( ) f ( ) + 1 f 1 f ( ) + 1 f f + 1 : ( Σ ) ( Σ) ( ) I f 1+ f d f + 1 d f + 1 f + 1 f + 1 1 + 1 + 1 1 f F( ) ( ) f 1+ f d f f d f e d ( ) e d F F 1 1 1 1 F e f + 1 f + 1 f + 1 + + f Δ5. Το σύνολο ορισμού της ανίσωσης /5/16
1 1 f f f 1 f : Α > ( + ) 1 1 F( ) + F F( + 1) + F Θεωρούμε την συνάρτηση είναι το, 1. 1 1 F F 1 1 F( ) F( + 1) f ( ) f > f ( + 1) f e e > e e 1 1 e > e F( ) + F > F( + 1) + F 1 1 F( ) + F > F( + 1) + F 1 1 F F > F( + 1) F( ) : (Α 1) h( ) F( + 1) F( ),, 1, η οοία είναι αραγωγίσιμη ως διαφορά αραγωγίσιμων συναρτήσεων αφού η είναι F αραγωγίσιμη ως αρχική της fστο, 1, και η F ( + 1) είναι αραγωγίσιμη ως σύνθετη αραγωγίσιμων συναρτήσεων στο, 1. Για κάθε, 1 είναι : - h ( ) ( F( 1) F( ) ) f( 1) ( 1) f( ) f( 1) f( ) + + + + και f γν.αύξουσα - + 1> f( + 1) > f( ) h ( ) >, άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο, 1. Εομένως, αό την (Α 1) ισοδύναμα έχουμε: 1 h γν.αύξουσα 1 h > h < Συναληθεύοντας με το σύνολο ορισμού της ( Α ), τελικά είναι 1,. Δ6. H q είναι αραγωγίσιμη στο, ως ράξεις αραγωγίσιμων Για κάθε είναι: ( ) ηµ f( ) συν f ( ) f( ) ( συν f( ) ηµ) f( ) q( ) F ( ) q( ) q ηµ f + συν f συν ηµ f + συν f + 1 συν + /5/16
Άρα F( ) q F q F e q F e q F( ) F e q e q q( ) F( ) e εομένως, υάρχει k R (ραγματική σταθερά), ώστε: q( ) k,, F( ) e. q Για : k k F e Δηλαδή q( ) q ( ),, F e (σταθερή). Εειδή q( ) συν f( ) ηµ και έεται ότι ικανοοιεί τις υοθέσεις της άσκησης. f εφ,, η οοία /5/16