i) Nά δείξετε ότι το νήµα θα χαλαρώσει και ότι το σφαιρίδιο θα συγκρουσθεί µε την οροφή.

Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m, είναι στερεωµένο στο ένα άκρο απολύτως ελαστικού νήµατος φυσικού µήκους L =3mg/k και σταθεράς k, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας, του οποίου το άλλο άκρο έχει στερεωθει σε οριζόντια οροφή. Εκτρέ πουµε το σφαιριδιο από την θέση ισορροπίας του προς τα κάτω κατά 3mg/k και το αφήνουµε ελεύθερο. i) Nά δείξετε ότι το νήµα θα χαλαρώσει και ότι το σφαιρίδιο θα συγκρουσθεί µε την οροφή. ii) Eάν η κρούση του σφαιριδίου µε την οροφή είναι µερικώς ανε λαστική και το σφαιρίδιο χάνει κατά την κρούση το µισό της κινητικής του ενέργειας, να βρεθεί η µέγιστη προς τα κάτω µετα τόπιση του σφαιριδίου µετά την κρούση του. ΛΥΣΗ: i) Kατά τον χρόνο που το ελαστικό νήµα είναι τεντωµένο το σφαι ρίδιο εκτελεί αρµονική ταλάντωση µε κέντρο ταλάντωσης την θέση ισορρο πίας του Ο, µε σταθερά ταλάντωσης k και πλάτος x =3mg/k. Εξετάζοντας το σφαιρίδιο σε µια τυχαία θέση στην οποία η αποµάκρυνσή του ως προς το Ο είναι x και η τάση του νήµατος T και θεωρώντας ως θετική φορά στην κα τακόρυφη διεύθυνση την προς τα πάνω µπορούµε για τις αλγεβρικές τιµές των x και T να γράψουµε την σχέση: -mg +T = -kx T = mg - kx µε -x x x 1) Από την 1) παρατηρούµε ότι για όλες τις θέσεις του σφαιριδίου που βρίσκον ται κάτω από την θέση ισορροπίας του Ο x<) ισχύει Τ>, που σηµαίνει ότι στις θέσεις αυτές το ελαστικό νήµα είναι τεντωµένο και εποµένως αν υπάρ χει θέση όπου επίκειται η χαλάρωση του νήµατος αυτή θα βρίσκεται πάνω από την θέση Ο. Ας δεχθούµε ότι η τάση του νήµατος µηδενίζεται στην θέση Α * όπου η αποµάκρυνση του σφαιριδίου είναι x * x * >). Tότε από την 1) θα έχουµε: = mg - kx * x * = mg/k ) Η ταχύτητα v * του σφαιριδίου στην θέση Α * έχει θετική αλγεβρική τιµή που θα βρεθεί αν γράψουµε τις σχέσεις αποµάκρυνσης και ταχύτητας του σφαιρι δίου την χρονική στιγµή t *, οπότε θα έχουµε:

) ) x * = x µ "t * + v * = x "$%& "t * + ) ) ) x * / x = µ "t * + v * /x " =$%& "t * + ) Σχήµα 1 x * / x ) = µ "t * + ) v * /x ") =$%& "t * + ) ) *) + ) x * $ & " % x + v * $ & " x % = 1 ) ) 3mg v * = " v * = x - x * & k $ % " - mg $ k % ) + * v * = 8m g = 8m g k k k m = 8mg k 3) όπου φ η αρχική φάση της ταλάντωσης, ενώ ελήφθη υπ όψη ότι mω =k. To σφαιρίδιο φθάνοντας στην θέση Α * εκτελεί κατακόρυφη βολή προς τα πάνω στην οποία αντιστοιχεί µέγιστη µετατόπιση h max, που δίνεται από την σχέση: h max = v 3) * g h max = 8mg gk = 4mg k 4) Eπειδή το φυσικό µήκος του ελαστικού νήµατος είναι 3mg/k<h max, το σφαιρί διο θα συγκρουσθεί µε την οριζόντια οροφή ii) Η ταχύτητα πρόσκρουσής v του σφαιριδίου θα υπολογισθεί εφαρµόζοντας για το σφαιρίδιο το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας, οπότε θα έχουµε την σχέση:

mv * 3mg - mg k = mv + 3) m 8mg k - 3m g k = mv v = mg k v = g m k 5) Όµως το σφαιρίδιο κατά την κρούση του µε την οροφή χάνει το µισό της κινητικής του ενέργειας, οπότε αν v είναι η ταχύτητα ανάκλασής του θα έχουµε την σχέση: mv mv " = 1 v = v " 5) v = mg k 6) Mετά την κρούση του το σφαιρίδιο κινείται κατακόρυφα προς τα κάτω και όταν φθάσει στην κατώτατη θέση του Α Κ η ταχύτητά του θα µηδενιστεί, το δέ νήµα θα είναι τεντωµένο έστω κατά s. Eφαρµόζοντας για το σύστηµα σφαιρίδιο-ελαστικό νήµα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας για το χρονικό διάστηµα της προς τα κάτω µετατόπισης του σφαιριδίου, παίρ νουµε την σχέση: mv " 3mg + + = - mg k +s $ % + ks 6) m g k = - 3m g k - mgs + ks ks - mgs - 7m g k = k s - kmgs - 7m g = s - mg k s - 7m g k = 7) Η 7) είναι εξίσωση ου βαθµού ως προς s και έχει ρίζες πραγµατικές και ετερόσηµες είναι δε δέκτή η θετική ρίζα: s = mg k + 1 " mg + 8m g k $ k s = mg k 1+ ) 8) Η µέγιστη προς τα κάτω µετατόπιση του σφαιριδίου θα είναι: H max = 3mg k +s 8) H max = 3mg k H max = mg k + ) < 7mg k + mg k 1+ ) δηλαδή η κατώτατη θέση Α Κ του σφαιριδίου βρίσκεται πιο ψηλά από την αρχική του θέση Α, πράγµα που αναµενόταν λόγω της ανελαστικής του κρούσεως. P.M. fysikos

Ένας παγοδρόµος µάζας Μ, φορώντας παγο πέδιλα βρίσκεται σε ακινησία επί οριζόντιας παγοµένης πίστας και κάποια στιγµή ωθεί µε τα χέρια του µια µπάλα µάζας m, η οποία εκτοξεύεται µε σχετική ως προς αυτόν ταχύτητα µέτρου v, της οποίας ο φορέας σχηµατίζει γωνία φ<π/ µε την οριζόντια διεύθυνση. Εάν ο χρόνος επαφής Δt της µπάλας µε τα χέρια του παγοδρόµου είναι της τάξεως µερικών sec και κατά τον χρόνο αυτόν το σώµα του παραµένει κατακόρυφο, να βρεθούν: i) η ταχύτητα του παγοδρόµου αµέσως µετά την εκτόξευση της µπάλας και ii) η µέση αντίδραση που δέχεται στα πεδιλά του ο παγοδρόµος από την πίστα κατά τον χρόνο Δt. H τριβή µεταξύ πίστας και πεδίλων να θεωρηθεί ασήµαντη. ΛΥΣΗ: i) To σύστηµα παγοδρόµος-µπάλλα δεν δέχεται οριζόντιες εξωτερι κές δυνάµεις, οπότε η ορµή του κατά την οριζόντια διεύθυνση x παραµένει σταθερή, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: -Mv +mv Mx = 1) όπου v η ταχύτητα του παγοδρόµου ως προς το ακίνητο έδαφος την στιγ µή που φεύγει η µπάλα από τα χέρια του και v Mx η αντίστοιχη οριζόντια συ νιστώσα της ταχύτητας της µπάλας. Εάν v " x ) είναι η οριζόντια συνιστώσα της σχετικής ταχύτητας v " της µπάλας ως προς τον παγοδρόµο, θα έχουµε: Σχήµα v " x ) = v Mx +- v ) v " x ) = v Mx +v v "$ = v Mx +v % v Mx = v "$ - v % ) H 1) λόγω της ) γράφεται:

-Mv +m v "$% - v ) = M +m)v = mv "$% v = mv "$% M +m 3) ii) Στην διάρκεια του χρόνου επαφής Δt της µπάλας µε τα χέρια του παγο δρόµου η µπάλα δέχεται το βάρος της w M και την δύναµη επαφής από τον παγοδρόµο, που αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα F x και στην κατακό ρυφη συνιστώσα F y σχ. ). Στον ίδιο χρόνο ο παγοδρόµος δέχεται το βάρος του w, την δύναµη επαφής N από την παγωµένη πίστα και την δύναµη επαφής από την µπάλα, που αναλύεται στις συνιστώσες F x, F y οι οποίες είναι αντίθετες προς τις δυνάµεις F x, F y αντιστοίχως, όπως προβλέπει το αξίωµα ισότητας µεταξύ δράσεως-αντιδράσεως. Εφαρµόζοντας για την µπάλα το θεώρηµα ώθησης-ορµής κατα τον κατακό ρυφο άξονα y παίρνουµε την σχέση: "t mv y = + F y - mg)dt mv µ" +mgt = $ F y dt 4) στην οποία τέθηκε v y =v " y) =v $µ%, διότι η σχετική ταχύτητα της µπάλας ως προς τον παγοδρόµο κατά τον κατακόρυφο άξονα y είναι ίση µε την v My. Εφαρµόζοντας για τον παγοδρόµο το ίδιο θεώρηµα, πάλι κατά τον άξονα y, παίρνουµε την σχέση: "t = + N - F y - Mg)dt = " Ndt - " F y dt - Mgt t t t t " Ndt = " F y dt +Mgt 4) t t " Ndt = mv µ$ + m +M)gt t 1 t " Ndt = mv t µ$ + m +M )g N = mv t "µ + m +M)g 5) όπου N η µέση τιµή της δύναµης επαφής που δέχεται ο παγοδρόµος από την πίστα, για το χρονικό διάστηµα Δt. P.M. fysikos Mια σφαίρα µάζας m 1 κινούµενη σε λείο οριζόν τιο δάπεδο προσκρούει σε σφαίρα µάζας m, που είναι ακίνητη επί του δαπέδου. Οι σφαίρες είναι λείες η κρούση τους ελαστική και µη µετωπική. i) Nα δείξετε ότι οι σφαίρες µετά την κρούση τους κινούνται µε

ταχύτητες v 1 καί v, που οι φορείς τους σχηµατίζουν γωνία θ, για την οποία ισχύει: "$ = m - m 1 )v m 1 v 1 ii) Εάν η σφαίρα µάζας m 1 αποκλίνει από την αρχική διεύθυνση κίνησής της κατα γωνία φ, να δείξετε ότι ηµφ m 1 /m. ΛΥΣΗ: i) To σύστηµα των δύο σφαιρών είναι µηχανικά µονωµένο και συνεπώς ισχύει κατά την κρούση τους η αρχή διατηρήσεως της ορµής. Έτσι αν P είναι η ορµή της σφαίρας µάζας m 1 πριν την κρούση και P 1, P οι ορµές των δύο σφαιρών µετά την κρούση, θα ισχύει η διανυσµατική σχέση: P = P 1 + P 1) και σύµφωνα µε τον κανόνα του παραλληλόγραµµου για τα µέτρα των δια νυσµάτων της σχέσεως 1) θα έχουµε: P = P 1 +P +P 1 P "$ m 1 v = m 1 v 1 +m v +m 1 v 1 m v "$ ) όπου θ η γωνία των διανυσµάτων P 1, P ή των ταχυτήτων v 1, v. Επειδή η κρούση των σφαιρών είναι ελαστική η κινητική ενέργεια του συστήµατος πριν την κρούση είναι ίδια µε την κινητική του ενέργεια µετά την κρούση, δηλαδή ισχύει η σχέση: m 1 v = m v 1 1 + m v m 1 v = m 1 v 1 +m 1 m v 3) Σχήµα 3 Συνδυάζοντας τις σχέσεις ) και 3) παίρνουµε: m 1 v 1 +m 1 m v = m 1 v 1 +m v +m 1 m v 1 v "$ m 1 m v = m v +m 1 m v 1 v "$ m 1 v = m v +m 1 v 1 v "$ m 1 -m )v =m 1 v 1 "$

"$ = m -m 1 )v 4) m 1 v 1 Παρατήρηση: Aπό την 4) προκύπτει ότι αν οι συγκρουόµενες σφαίρες έχουν ίδια µαζα, τότε συνθ= ή θ=π/ που σηµαίνει ότι στην περίπτωση αυτή οι σφαίρες µετά την κρούση κινούνται επί καθέτων διευθύνσεων. ii) Eφαρµόζοντας στο σκιασµένο τρίγωνο του σχήµατος 3) τον νόµο του συνηµιτόνου, έχουµε: P = P 1 +P - P 1 P "$ m v = m 1 v 1 +m 1 v - m 1 v 1 v "$ 5) Eξάλλου από την σχέση διατήρησης της κινητικής ενέργειας προκύπτει: m 1 m v = m 1 m v 1 +m v m v = m 1 m v -m 1 m v 1 6) Συνδυάζοντας τις σχέσεις 5) και 6) παίρνουµε: m 1 m v -m 1 m v 1 = m 1 v 1 +m 1 v - m 1 v 1 v "$ m v -m v 1 = m 1 v 1 +m 1 v - m 1 v 1 v "$ m 1 +m )v 1 - m 1 v "$ )v 1 + m 1 -m )v = 7) H 7) είναι έξίσωση ου βαθµού ως προς v 1 και πρέπει οι ρίζες της να είναι πραγµατικές, δηλαδή πρέπει να έχει µη αρνητική διακρίνουσα, οπότε θα ισχύει: 4m 1 v " $ - 4 m 1 +m ) m 1 -m )v % " $ % m 1 - m ) / m 1 " $ % 1 -m / m 1 m / m 1 1 -"$ % µ" m / m 1 8) P.M. fysikos Δύο ακριβώς όµοιες ελαστικές και λείες σφαί ρες Σ 1, Σ 3 ηρεµούν πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο και τα κέντρα τους απέχουν απόσταση α=4r, όπου R η ακτίνα των σφαιρών σχ. 4). Τρίτη σφαίρα Σ όµοια µε τις δύο προηγούµενες, κινείται επί του δαπέδου, ώστε το κέντρο της να διαγράφει ευθεία ε) κάθετη προς την διάκεντρο των δύο άλλων σφαιρών και κάποια στιγµή συγκρούεται µε την Σ 3. i) Eάν η σφαίρα Σ µετά την κρούση της κατευθύνεται µετωπικά προς την Σ 1, να καθορισθεί η θέση της ευθείας ε).

ii) Mετά πόσο χρόνο θα συµβεί η κρούση της Σ µε την Σ 1 και ποια θα είναι η θέση της Σ 3 την στιγµή αυτή; Δίνεται η ταχύτητα πρόσκρουσης v της Σ επί της Σ 3. ΛΥΣΗ: i) Σύµφωνα µε τα δεδοµένα του προβλήµατος η ταχύτητα v της σφαίρας Σ µετά την κρούση της µε την Σ 3 κατευθύνεται προς το κέντρο Ο 1 της Σ 1. Επειδή οι µάζες των σφαιρών Σ και Σ 3 είναι ίσες και οι σφαίρες ελα Σχήµα 4 στικές η ταχύτητα v 3 που αποκτά η σφαίρα Σ 3 µετά την κρούση διευθύνεται κάθετα προς την v βλέπε παρατήρηση της προηγούµενης άσκησης). Aυτό σηµαίνει ότι το τρίγωνο Ο 1 Ο Ο 3 ) είναι ορθογώνιο και εποµένως η διεύθυνση ε) της ταχύτητας πρόσκρουσης v της Σ σχηµατίζει µε την Ο Ο 3 γωνία ίση µε την γωνία φ του τριγώνου Ο 1 Ο Ο 3 ). Από το σχήµα 4) προκύπτει για την γωνία φ η σχέση: µ" = O O 3 ) / O 1 O 3 ) = R/ µ" = R/4R = 1/ = "/6 1) Εάν Μ είναι το σηµείο τοµής της ευθείας ε) µε την Ο 1 Ο από το ορθογώνιο τρίγωνο Ο ΜΟ 3 προκύπτει: µ" = MO 3 ) / O O 3 ) 1 ) µ"/6 = MO 3 )/R MO 3 ) = R ) H σχέση ) καθορίζει την θέση της ευθείας ε) επί της οποίας κινείται το κέντρο της σφαίρας Σ πριν συγρουσθει µε την Σ 3. ii) Kάτα την διεύθυνση O x η ορµή των σφαιρών Σ, Σ 3 διατηρείται δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: mv µ" + = mv + v = v µ" = v / 3) Eξάλλου εάν t είναι ο χρόνος που µεσολάβει από την στιγµή που η σφαίρα Σ συγκρούεται µε την Σ 3 µέχρις ότου συγκρουσθεί µε την Σ 1 θα έχουµε: t = O O ) v = O O 1 - R ) v 3)

t = R"" - R ) v / = 4R "" -1 ) ) 4R 3-1 t v 4) v Στον χρόνο t το κέντρο Ο 3 της σφαίρας Σ 3 θα έχει µετατοπιστει επί της διευθύνσεως Ο y κατά O 3 O 3 και θα ισχύει: O 3 O 3 ) = v 3 t 5) Σχήµα 5 Όµως κάτα την διεύθυνση O y η ορµή των σφαιρών Σ, Σ 3 επίσης διατηρεί ται, δηλαδή έχουµε την σχέση: mv "$ + = mv 3 + v "$/6 = v 3 v 3 = v 3 / 6) H 4) λόγω των 4) και 6) γράφεται: O 3 O 3 ) = v 3 4R 3-1) O 3 v O 3 ) = 3R 3-1 ) 7) H σχέση 7) καθορίζει την θέση της σφαίρας Σ 3 την στιγµή που η Σ συγκρού εται µε την Σ 1. P.M. fysikos Δύο τροχαλίες τ 1 και τ αντίστοιχων µαζών m 1, m m 1 >m ) που θεωρούνται συγκεντρωµένες στην περιφέρεια τους µπορούν να περιστρέφονται περί τους γεωµετρικούς τους άξονες που είναι σταθεροί και παράλληλοι µεταξύ τους. Στα αυλάκια των τροχαλιών έχει περιτυλιχθεί αβαρές και µη εκτατό νήµα που αρχι κά είναι αρκετά χαλαρό. Με µια απότοµη εφαπτοµενική ώθηση δίνουµε στην τροχαλία τ γωνιακή ταχύτητα και καθώς η τροχα λία αυτή περιστρέφεται κάποια στιγµή το νήµα τεντώνει απότοµα.

i) Eάν ο λόγος των ακτίνων των τροχαλιών είναι R 1 /R =, να βρε θούν οι γωνιακές τους ταχύτητες αµέσως µετά το τέντωµα του νήµατος. ii) Nα δείξετε ότι το τέντωµα του νήµατος ισοδυναµεί µε ένα είδος µη ελαστικής κρούσεως των τροχαλιών. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι το τέντωµα του νήµατος διαρκεί µικρό χρόνο Δt Δt ). Στην διάρκεια του χρόνου αυτού το τεντωµένο νήµα ασκεί στην τροχαλία τ 1 εφαπτοµενική δύναµη F 1 και στην τροχαλία τ εφαπτοµενική δύναµη F αντίθετη της F 1, διότι το νήµα θεωρείται αβαρές. Εφαρµόζοντας για τις δύο τροχαλίες το θεώρηµα γωνιακής ώθησης-στροφορµής περί τα κέντρα τους και για το χρονικό διάστηµα Δt παίρνουµε τις σχέσεις: Σχήµα 6 "t $ I 1 1 = + F 1 R 1 dt & "t % I = I - F R dt & & m 1 R 1 1 = R 1 "t F 1 dt m R = m R -R "t F 1 dt $ & % & & m 1 R 1 1 = "t m R - F 1 dt "t ) = - F 1 dt $ & % & & - = m 1R 1 m R 1 - = m 1 1 m m 1 1 m + = 1) όπου 1, οι γωνιακές ταχύτητες των τροχαλιών τ 1, τ αντιστοίχως, αµέ σως µετά το τέντωµα του νήµατος. Όµως στο τέλος του χρόνου Δt οι ταχύ τητες των σηµείων επαφής A και Β του νήµατος µε τις τροχαλίες είναι ίσες, διότι το νήµα είναι µη εκτατό, οπότε θα ισχύει ακόµη η σχέση:

1 R 1 = R = 1 R 1 / R = 1 ) Από την λύση του συστήµατος των 1) και ) προκύπτει: m 1 = m 1 +m ) και = m m 1 +m 3) ii) H κινητική ενέργεια του συστήµατος των δύο τροχαλιών, λίγο πριν το τέντωµα του νήµατος είναι: K " = I 1 $ / = m 1 R 1 $ / 4) H κινητική ενέργεια του συστήµατος, αµέσως µετά το τέντωµα του νήµατος είναι: K " = I 1 $ 1 / +I $ / = m 1 R 1 $ 1 / +m R $ / K " = m R 1 1$ 1 K " = R 1 m $ 4 m 1 +m + m R 1 4 4$ 1 $ 1 = R 1 ) m 1 +m m 1 +m ) 3) ) K = R 1 " Διαιρωντας κατά µέλη τις 4) και 5) παίρνουµε: K " = 1 m K $%& 4m 1 m 1 +m ) = 1 4 m 1 / m +1) < 1, διότι m 1>m. 8 m $ m 1 +m 5) Δηλαδή κατά το τέντωµα του νήµατος µειώνεται η κινητική ενέργεια του συστήµατος και αυτό ισοδυναµεί µε ανελαστική κρούση των δύο τροχαλιών. P.M. fysikos Κυκλικός δίσκος µάζας m και ακτίνας R κυλίε ται χωρίς ολίσθηση επί οριζοντίου δαπέδου ελκόµενος από σταθερό κέντρο K µε δύναµη f της οποίας ο φορέας βρίσκεται επί της ευθείας που συνδέει το K µε το κέντρο µάζας C του δίσκου, το δε µέτρο της ακολουθεί την σχέση f=kr, όπου r η απόσταση OC και k θετική σταθερή ποσότητα. i) Nα δείξετε ότι το κέντρο µάζας του δίσκου εκτελεί αρµονική ταλαντωση, της οποίας να υπολογίσετε την κυκλική συχνότητα. ii) Εάν µ είναι ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ δίσκου και δαπέδου, να βρεθεί το µέγιστο επιτρεπτό πλάτος της ταλάντωσης. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι C =mr / τoυ δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του C και είναι κάθετος στο επίπεδό του,

η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η σταθερή απόσταση α του ελκτικού κέντρου K από την ευθεία ταλάντωσης του κέντρου του δίσκου. ΛΥΣΗ: i) Εξετάζουµε τον κυλιόµενο δίσκο κατά µια τυχαία στιγµή t που η αποµάκρυνση του κέντρου µάζας του C από την θέση ισορροπίας του Ο * είναι x και δεχόµαστε ότι το κέντρο µάζας του έχει επιτάχυνση a C κατευθυ νόµενο προς το Ο σχ. 7). Την ίδια στιγµή ο δίσκος περιστρέφεται περί το κέντρο µάζας του µε γωνιακή επιτάχυνση ", της οποίας η φορά ανταποκρί νεται στην σχέση: ) = a C + " CE a C = - " CE ) 1) η οποία είναι συνέπεια της κύλισης, που απαιτεί η εφαπτοµενική επιτά χυνση του σηµείου επαφής Ε του δίσκου µε το οριζόντιο δάπεδο να είναι µηδενική. Ο δίσκος δέχεται το βάρος του w, την δύναµη f από το ελκτικό κέντρο Κ που αναλύεται στην κάτακόρυφη συνιστώσα f y και την οριζόντια συνιστώσα f x και τέλος την δύναµη επαφής από το δάπεδο που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην τριβή T που είναι στατική τριβή, αφού ο Σχήµα 7 δίσκος κυλίεται. Η συνισταµένη δύναµη επί του κέντρου µάζας έχει αλγεβ ρική τιµή που δίνεται από την σχέση: F x ) = T - f x = T - f"µ F x ) = T - kr"µ = T - kx ) Εφαρµόζοντας για τον δίσκο τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: TR = I C " TR = mr " / T = mr " / 3) Εάν a C είναι η αλγεβρική τιµή του διανύσµατος a C θα ισχύει a C =-ω R, όπου το αρνητικό πρόσηµο δικαιολογείται από το γεγονός ότι τα διανύσµατα a C και x είναι αντίρροπα, δηλαδή το a C έχει την αρνητική φορά του άξονα Οx. -------------------------- * Η θέση ισορροπίας Ο του κέντρου µάζας του δίσκου είναι η προβολή του ελκτι κού κέντρου Κ πάνω στην ευθεία κίνησης του κέντρου µάζας.

Έτσι η σχέση 3) γράφεται: T = -ma C / 4) H ) λόγω της 4) παίρνει την µορφή: F x ) = - ma C - kx = -F x ) - kx 3 F x ) = -kx F x ) = - k 3 x 5) H σχέση 5) εγγυάται ότι το κέντρο µάζας του δίσκου εκτελεί αρµονική ταλάντωση µε κέντρο ταλάντωσης την θέση ισορροπίας του Ο και σταθερά ταλάντωσης Ω, που ικανοποιεί την σχέση: m = k/3 = k/3m 6) ii) Eπειδή η τριβή είναι στατική το µέτρο της ικανοποιεί την σχέση: T µn 4) -ma C / µn -F x) / " µn 5) k x / 3 µn 7) Όµως το κεντρο µάζας του δίσκου µετατοπίζεται οριζόντια που σηµαίνει ότι η συνισταµένη των κατακόρυφων δυνάµεων επί του δίσκου είναι µηδενική, δηλαδή θα ισχύει: N- mg - f y = N = mg +f"$ N = mg +kr"$ N = mg +k 8) Συνδυάζοντας την 7) µε την 8) παίρνουµε: k x 3µ mg +k" ) 9) H 9) πρέπει να ισχύει και για x ίσο προς το πλάτος x της αρµονικής ταλάν τωσης του κέντρου του δίσκου, οπότε θα έχουµε: kx 3µ mg +k" ) x ) max = 3µ mg/k + ) P.M. fysikos Oµογενής κύβος ακµής α ισορροπεί ασταθώς πάνω σε τραχύ οριζόντιο έδαφος µε µια διαγωνίο του κατακόρυφη. i) Δίνουµε στον κύβο ελαφρά οριζόντια ώθηση και τότε αυτός αρχί ζει να περιστρέφεται περί την ακµή επαφής του µε το έδαφος. Να

βρέθει η γωνιακή ταχύτητα του κύβου λίγο πριν η έδρα του φθάσει στο έδαφος. ii) Nα απαντήσετε στο ίδιο ερώτηµα στην περίπτωση που το έδαφος είναι λείο και ο κύβος αρχίσει να κινείται εκ της ηρεµίας από την θέση ασταθούς ισορροπίας του. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι C =mα /6 του κύβου ως προς οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας του και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Στην περίπτωση που το οριζόντιο έδαφος είναι τραχύ η δύναµη που εξασκεί στον κύβο επιτρέπει σ αυτόν να στρέφεται περί την ακµή επα φής του µε το έδαφος, χωρίς η ακµή αυτή να ολισθαίνει. Κατά την διάρκεια της περιστροφής του κύβου η µηχανική του ενέργεια παραµένει σταθερή, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: K " +U " = K $%& +U $%& +mgh " = I A $ %& mg / = I A " $% / +mgh " / +mg/ I A = m /6 +m / = m /3 1) Σχήµα 8 όπου "$ η γωνιακη ταχύτητα του κύβου λίγο πριν την έδρασή του στο έδα φος και Ι Α η ροπή αδράνειάς του ως προς την ακµή περιστροφής του. Σύµ φωνα µε το θεώρηµα Steiner για την Ι Α ισχύει η σχέση: I A = I C +m AC) = m /6 +m / ) I A = m /3 ) Συνδυάζοντας την 1) µε την ) παίρνουµε: mg = m " $% / 3 +mg g 1) = " $%& / 3 "$ = 3g % 1) / & 3) ii) Στην περίπτωση που το έδαφος είναι λείο η ακµή επαφής του κύβου ολισθαίνει πάνω σ αυτό και ο κύβος εκτελεί επίπεδη κίνηση που µπορεί να θεωρηθεί ως επαλληλία µιας µεταφορικής κίνησης και µιας περιστροφής περί το κέντρο µάζας του. Όµως κατά την κίνησή του ο κύβος δεν δέχεται οριζόντιες δυνάµεις το βάρος του και η δύναµη επαφής από το έδαφος είναι κατακόρυφες δυνάµεις) που σηµαίνει ότι η µεταφορική του κίνηση γίνεται

µε µηδενική οριζόντια επιτάχυνση, δήλαδή η ταχύτητά του κέντρου µάζας του κύβου κατα την οριζόντια διευθυνση είναι σταθερή και ίση µε µηδέν διότι η έναρξη της κίνησης του κύβος έγινε εκ της ηρεµίας. To κέντρο µά ζας λοιπόν του κύβου µετατοπίζεται κατακόρυφα και η y συντεταγµένη του κατά µια τυχαία στιγµή t θα είναι: y C = AC)"$ = % /)"$ 4) όπου φ η γωνία στροφής του κύβου την στιγµή t. H αντίστοιχη ταχύτητα του κέντρου µάζας του κύβου αλγεβρική τιµή) θα βρεθεί µε παραγώγιση της 4) ως προς τον χρόνο t, οπότε θα έχουµε: v C = dy C dt = " & % $ Σχήµα 9 )µ* d* dt = dy C dt = " & % $ +)µ* 5) όπου η γωνιακή ταχύτητα του κύβου την στιγµή t. Εφαρµόζοντας για τον κύβο το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας µεταξύ της αρχικής του θέσεως και της τελικής του θέσεως, όπου εδράζεται στο έδαφος παίρνουµε: K " +U " = K $%& +U $%& +mgh " = I C $ %& / +mv %& / + mgh %& mg / = m / 6)" $% / +mv $% / + mg/ g = " $% / 6 +v $% + g 6) όπου v " η ταχύτητα του κέντρου µάζας του κύβου την στιγµή της έδρασής του στο έδαφος. Όµως την στιγµή αυτή η 5) δίνει: % v " = - $ & ) * +,µ % - " & 4 ) H 6) λόγω της 7) γράφεται: = - $+ " 7) g = " $% 6 + - " & $% + g )

) = 5" $% g -1 1 "$ = 1g -1) 5% 8) P.M. fysikos Oµογενής ράβδος µήκους L και µάζας m κρατεί ται οριζόντια και κατά το 1/3 του µήκους της εφάπτεται οριζόντιου τραπεζιού, ενώ το υπόλοιπο µήκος της είναι εκτός τραπεζιού σχ. 9). Κάποια στιγµή η ράβδος αφήνεται ελεύθερη και αρχίζει περι στρεφόµενη περί την άκρη του τραπεζιού, όταν δε έχει στραφεί κατα γωνία φ ως προς την αρχική της θέση επίκειται η ολίσθησή της. Να βρεθεί ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ ραβδου και τραπεζιού. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδρά νειας Ι C =ml /1 της ράβδου ως προς άξονα κάθετο στην ράβδο και διερχόµενο από το κέντρο µάζας της C. ΛΥΣΗ: i) Εξετάζουµε την ράβδο κάποια στιγµή t, που ακόµη δεν έχει αρχίσει η ολίσθησή της στην άκρη του τραπεζιού. Η ράβδος δέχεται το βάρος της w και την δύναµη επαφής από το τραπέζι που αναλύεται στην στατική τριβή T εφα πτοµενική της ακρής του τραπεζιού και στην κάθετη αντίδραση N σχ. 1). Κατά την περιστροφή της ράβδου το κέντρο µάζας της C διαγράφει κυκλικό τόξο κέντρου O και ακτίνας OC=R/6 και η µεν συνισταµένη των δυνάµεων επί της ράβδου κατά την διεύθυνση α) της ακτίνας της τροχιάς του αποτελεί κεντροµόλο δύναµη για το κέντρο µάζας, η δε συνισταµένη των δυνάµεων κατά την διεύθυνση ε) της εφαπτοµένης της τροχιάς του αποτελεί επιτρόχια δύναµη. Θα έχουµε λοιπόν τις σχέσεις: T - w = m L/ 6 $ w 1 - N = m " L/6 % T = m L/ 6 +mg"µ ) N = mg$%& - m L/6 * 1) Σχήµα 1 όπου φ η γωνία στροφής της ράβδου την στιγµή t που την εξετάζουµε, η αντίστοιχη γωνιακή της ταχύτητα και " η αντίστοιχη γωνιακή της επιτά χυνση. Εφαρµόζοντας εξάλλου για την ράβδο το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας από την έναρξη της κίνησής της µέχρι την στιγµή t θα έχουµε:

+ = I O / - mgl"µ/6 [ I C +m L/6) ] / = mgl"µ/6 ml /1 +ml /36) = mgl"µ/3 = 3g"µ/ L ) όπου για την ροπή αδράνειας Ι Ο της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της εφαρµόστηκε το θεώρηµα του Steiner. Ακόµη εφαρµόζοντας για την ράβ δο την στιγµή t τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: wl"$ / 6 = I O &% mgl"$ / 6 = I C +m L/6 & [ ) ] % mgl"$ / 6 = ml /1 +ml /36)& % " = 3g$%& / L 3) Οι σχέσεις 1) λόγω των ) και 3) γράφονται: T = ml/6)3gµ"/ L +mgµ" N = mg$%" - m3g$%" / L)L/6 & T = 3mgµ"/ N = 3mg$%" / 4 Eπειδή η τριβη T είναι στατική το µέτρο της ικανοποεί την σχέση: & 4) T µn 4) 3mgµ"/ 3µmg$%&" / 4 µ" µ$%&" µ "$ µ min = " P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος 11) η ράβδος µάζας m και µήκους L είναι αρθρωµένη κατά το άκρο της Α στο σώµα Σ, που θεωρείται αµελητέας µάζας και µπορεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα. Αρχικά το σύστηµα κρατείται ακίνητο µε την ράβδο σε κατακόρυ φη θέση και κάποια στιγµή αφήνεται ελεύθερο. Να βρεθούν: i) η γωνιακή επιτάχυνση εκκίνησης της ράβδου και ii) η επί του σώµατος Σ δύναµη από το κεκλιµένο επίπεδο, κατά την έναρξη της κίνησής του πάνω σ αυτό. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=ΜL /1 της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της και είναι κάθετος στην ράβδο και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Την στιγµή t= που τo σύστηµα ράβδος-σώµα αφήνεται ελεύθερο οι δυνάµεις επί του συστήµατος είναι το βάρος w της ράβδου που αναλύεται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα w x και στην κάθετη προς αυτό συνιστώσα w y και η δύναµη επαφής N από το κεκλιµένο επίπεδο

που διευθύνεται κάθετα προς αυτό. Eφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας * C της ράβδου τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νευτωνα κατά τις διευθύνσεις των ορθογώνιων αξόνων Cx και Cy παίρνουµε τις σχέσεις: w x = ma Cx " N- w y = -ma Cy mgµ" = ma Cx & N- mg$%" = -ma Cy a Cx = gµ" ) & N = m g$%" - a Cy όπου a Cx η x-συνιστώσα και a Cy η y-συνιστώσα της επιτάχυνσης του κέν τρου µάζας. Εφαρµόζοντας εξάλλου την στιγµή t= για την ράβδο τον θεµε λιώδη νόµο της στροφικής κίνησης έχουµε την σχέση: " C) = I C $ NLµ" / = ml $ / 1 Nµ" = ml $ / 6 ) 1) Σχήµα 11 όπου " η γωνιακή επιτάχυνση εκκίνησης της ράβδου. H επιτάχυνση a A του άκρου Α της ράβδου την στιγµή t= υπολογίζεται µέσω της διανυσµα τικής σχέσεως: ) = a A = a C - CA + " CA a A = a Cx + a Cy + " CA ) a C + " CA ) 3) όπου η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου, που όµως είναι µηδε νική. Προβάλλοντας την σχέση ) στον άξονα Cy παίρνουµε: a Ay j = j - acy j +L "µ$ j / aay = -a Cy +L "µ$ / 4) όπου j το µοναδιαίο διάνυσµα του άξονα Cy. Όµως το άκρο Α µπορεί να κινείται µόνο κατά την διεύθυνση του άξονα Cx, που σηµαίνει ότι η συνιστώ ----------------------------- * Το κεντρο µάζας C της ράβδου αποτελεί και κέντρο µάζας του συστήµατος, διότι το σώµα Σ θεωρήθηκε µε αµελητέα µάζα.

σα a Ay της επιτάχυνσης a A κατά την διεύθυνση του άξονα Cy είναι µηδενι κή, οπότε η σχέση 4) δίνει: = -a Cy +L " µ$ / a Cy = L "µ$ / 5) Συνδυάζοντας την ) και 5) µε την δεύτερη εκ των εξισώσεων 1) παίρνου µε: ml " / 6µ$ = m g%&$ - L "µ$ / ) L " / 6µ$ = g%&$ - L "µ$ / L " 6µ$ + L "µ$ = g%&$ L " 1 +3µ $ ) = 6gµ$%&$ " = 6gµ$%&$ L 1+3µ $ ) 6) ii) H σχέση ) λόγω της 6) γράφεται: Nµ" = ml 6 6gµ"$%" L 1+3µ " ) N = mg"$ 1+3%µ $ P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος 1) η ράβδος µάζας m και µήκους L µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α και είναι αρθρωµένος στο κέντρο κυκλικού δίσκου µάζας m και ακτίνας R, ο οποίος εφάπτεται οριζόντιου δαπέδου µε το επίπεδό του κατακόρυφο. Αρχικά το σύστηµα ισορροπεί µε την ράβδο σε κατακόρυφη θέση και κάποια στιγµή εξασκείται στο κάτω άκρο της Β οριζόντια δύναµη F, της οποίας ο φορέας είναι παράλληλος προς το επίπεδο του δίσκου. Nα βρεθούν: i) η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου κατά την έναρξη της κινήσε ώς της µε την προυπόθεση ότι η αντίστοιχη κίνηση του δίσκου είναι κύλιση χωρίς ολίσθηση και ii) η αντίστοιχη επιτάχυνση του άκρου B της ράβδου. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι G =ml /1 της ράβδου, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της και είναι κάθετος σ αυτήν. ΛΥΣΗ: Εάν a C είναι η επιτάχυνση του κέντρου µάζας C της ράβδου την στιγµή t= που ασκείται στο άκρο της B η οριζόντια δύναµη F και " η αντίστοιχη γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου περί το κέντρο µάζας της, τότε για την αντίστοιχη επιτάχυνση a A του άκρου A της ράβδου θα ισxύει η σχέ ση: a A = a C - " CA " $CA a C + " $ CA ) + ) = ) 1)

διότι η γωνιακή ταχύτητα " της ράβδου την στιγµή t= είναι µηδενική. Όµως η επιτάχυνση a A είναι και επιτάχυνση του κέντρου µάζας του δίσκου, δηλαδή έχει οριζόντια διεύθυνση, αλλά και το διάνυσµα " $CA) διευθύ νεται οριζόντια, σύµφωνα δε µε την 1) και η επιτάχυνση a C είναι οριζόντια σχ. 1). Έτσι η διανυσµατική σχέση 1) µετατρέπεται σε σχέση αλγεβρικών τιµών που έχει την µορφή: a A = -a C + " L/ ) Σχήµα 1 H ράβδος την στιγµή t= εκτός από την δυναµη F δέχεται ακόµα το βάρος της w και την δύναµη επαφής από τον δίσκο, που αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα f x και στην κατακόρυφη συνιστώσα f y σχ. 1) Eφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας της ράβδου τον o νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε: F +f x = ma C 3) Εξάλλου ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης δινει για την ράβδο την χρονική στιγµή t= την σχέση: " C) = I C $ % FL - f L x = ml 1 " " F - f x = ml 6 4) Εστιάζοντας την ίδια στιγµή στον δίσκο παρατηρούµε ότι δέχεται το βάρος του w, την δύναµη επαφής από το οριζόντιο δάπεδο που αναλύεται στην κατακόρυφη δύνάµη στήριξης N και στην τριβή T που είναι στατική τριβή, αφού µε την έναρξη της κίνησής του αυτός δεν ολισθαίνει αλλά κυλίεται και τέλος την δύναµη επαφής από την ράβδο που αναλύεται στις συνιστώσες f x, f y αντίθετες των f x, f y αντιστοίχως, όπως προβλέπει το αξίωµα ισότητας δράσης-αντίδράσης. O δεύτερoς νόµος κίνησης του Νεύτωνα για το κέντρο µάζας του δίσκου δίνει: f x - T = ma A f x - T = ma A 5)

Για την περιστροφή του δίσκου περί το κέντρο µάζας του ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης δίνει: TR = I A " TR = mr " / T = mr " / = ma A / 6) όπου " η γωνιακη επιτάχυνση του δίσκου κατά την έναρξη της κύλισής του, της οποίας το µέτρο ικανοποιεί την σχέση a A = " R. Συνδυάζοντας την 5) µε την 6) παίρνουµε: f x - ma A = ma f = 3ma A A x H 3) λόγω της 7) γράφεται: ) f x = 3m $ -a C + " L& % 7) F + 3m $ -a C + " L& % = ma C F + 3m " L = 5ma C 4 8) H 4) λόγω της 7) γράφεται: F - 3m $ -a + " L & C % = ml " 6 -F + 3m " L 4 + m " L = 3ma C 6 -F + 11m " L = 3ma C 1 9) Διαιρώντας κατά µέλη τις 8) και 9) παίρνουµε: F +3m " L/ 4 -F +11m " L/ 1 = 5 3 9m 3F + " L 4 = -5F + 55m " L 1 7m " L = 8F " 3 = 4F 7mL ii) Η επιτάχυνση a B του άκρου Β της ράβδου την χρονική στιγµή t= θα προκύψει από την σχέση: a B = a C - " CB) + " $CB ) = ) a C + " $ CB 1) -a B = -a C -" L/ a B = a C + " L/ 11) Από την σχέση 8) έχουµε: 4F +3m " L = 1ma C a C = F 5m + 3 " L 1 και η 11) γράφεται: a B = F 5m + 3 " L 1 + " L = F 5m + 8 " L 1 1)

a B = F 5m + 4F 8L 7mL 1 = F 5m + 96F 35m a B = F 7m P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος 13) το άκρο Α οµογενούς ράβδου ΑΒ µάζας m και µήκους L, συνδέεται µε το ένα άκρο ελατηρίου σταθεράς k και φυσικού µήκους α, του οποίου το άλλο άκρο Ο είναι ακλόνητο. Το ελατήριο περιορίζεται κατάλληλα ώστε να παραµένει κατακόρυφο και κάποια στιγµή η ράβδος ευρι σκόµενη υπό κλίση ως προς την κατακόρυφη διεύθυνση αφήνεται ελεύθερη να κινηθεί. Να βρεθούν οι διαφορικές εξισώσεις που καθορίζουν την κίνηση του συστήµατος ελατήριο-ράβδος. Ποια µορ φή θα πάρουν οι εξισώσεις αυτές αν η αρχική κλίση της ράβδου ως προς την κατακόρυφη είναι µικρή; Δίνεται η ροπή άδράνειας Ι C =ml /1 της ράβδου ως προς άξονα κάθετο στην ράβδο και διερχόµενο από το κέντρο µάζας της, η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι η ράβδος κινείται στο κατα κόρυφο επίπεδο που καθορίζει ο άξονας του ελατηρίου και η αρχική της θέση. ΛΥΣΗ: Eξετάζοντας την ράβδο κάποια στιγµή που η κλίση της ως προς την κατακόρυφη διέυθυνση είναι φ και η αποµάκρυνση του άκρου της Α από το σταθερό σηµείο Ο είναι x, παρατηρούµε ότι η ράβδος δέχεται το βάρος της w και την δύναµη T από το παραµορφωµένο ελατήριο υποτίθεται ότι το άκρο Σχήµα 13 Α δεν διατηρεί επαφή µε τον οδηγό που αναγκάζει το ελατήριο να παραµέ νει κατακόρυφο). Επειδή οι δύο αυτές δυνάµεις είναι κατακόρυφες το κέντρο µάζας C της ράβδου δε επιταχύνεται κατά την οριζόντια διεύθυνση που σηµαίνει ότι η ταχύτητα του κέντρου µάζας κατά την διεύθυνση αυτή είναι σταθερή. Όµως την στιγµή t= που η ράβδος αφήνεται ελεύθερη η

οριζόντια ταχύτητα του κέντρου µάζας C είναι µηδενική και εποµένως συνεχίζει να είναι µηδενική σε όλη την διάρκεια της κινήσεως της ράβδου, δηλαδή το κέντρο µάζας µετατοπίζεται κατακόρυφα. Eφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας της ράβδου τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέ ση: m x C = w - T m x C = mg - k x - ) x C = g - k x - ) / m 1) όπου x C η συντεταγµένη του κέντρου µάζας της ράβδου την στιγµή που την εξετάζουµε. Για την συντεταγµένη x C έχουµε: x C = x +L"$ / x C = x - Lµ" " / x C = x - Lµ" " / - L$%" " / ) Συνδυάζοντας την 1) µε την ) παίρνουµε: x - L µ" " - L $%" " = g - k m x -& ) " ) = g + k& m x + k m x - L µ" " +$%" 3) Eξάλλου η ράβδος εκτελει επίπεδη κίνηση στο κατακόρυφο επίπεδο που καθορίζει ο άξονας του ελατηρίου και η αρχική της θέση, που σηµαίνει ότι έχει και περιστροφική συνιστώσα κίνησης περί το κέντρο µάζας της, σύµφω να δε µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα έχουµε την σχέση: I C = -T L ml "µ 1 = -k x -" ) L µ ml 6 = -k x -" )µ + 6k x -" ) µ = 4) ml Οι σχέσεις 3) και 4) αποτελουν τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση της ράβδου. Στην περίπτωση που η γωνία φ είναι πολύ µικρή της τάξεως λίγων µοιρών), οπότε αναφερόµαστε σε µικρές κινήσεις της ράβδου, τότε µε καλή προσέγγιση µπορούµε να θέτουµε "$ $ % $ % και ηµφ φ µε αποτέλεσµα οι διαφορικές εξισώσεις 3) και 4) να παίρνουν την µορφή: x + k m x - L = g + k" m και + 6k x -" ml = P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος 14) τo άκρο Α αβαρούς ράβδου µήκους L είναι αρθρωµένο στο κέντρο κυκλικής τροχαλίας µαζας M και ακτίνας R, η οποία εφαπτεται σε οριζόντιο δάπεδο µε το επίπεδό της κατακόρυφο. Στο άλλο άκρο Β της ράβδου έχει στερεωθεί µικρό σφαιρίδιο µάζας m και το σύστηµα κρατείται ακίνητο µε την ράβδο υπό κλίση ως προς την κατακόρυ

φη διεύθυνση. Να βρεθούν οι διαφορικές εξισώσεις κίνησης του συστήµατος, όταν αυτό αφεθεί ελεύθερο µε την προυπόθεση ότι η τροχαλία κυλίεται χωρίς ολίσθηση επί του δαπέδου. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=ΜR / της τροχαλίας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της και η επιτά χυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Eξετάζοντας το σύστηµα κάποια στιγµή t που η ράβδος βρίσκεται υπό γωνιακη εκτροπή φ ως προς την κατακόρυφη διεύθυνση η δε οριζόντια µετατό πιση του κέντρου Α της κυκλικής τροχαλίας ως προς την αρχή Ο του συστή µατος συντεταγµένων Οxy είναι x, παρατηρούµε τα έξης: Tο σφαιρίδιο Β δέχεται το βάρος του w και την δύναµη f B από την ράβδο, που αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα f Bx και στην κατακόρυφη συνι στώσα f By. Η τροχαλία δέχεται το βάρος της W, την δύναµη επαφής f A από την ράβδο και την δύναµη επαφής από το οπιζόντιο δάπεδο που αναλύεται στην κατα κόρυφη αντίδραση N και στην τριβή T που είναι στατική τριβή, αφου η τροχαλία κυλίεται χωρίς ολίσθηση. Σχήµα 14 Εξάλλου οι δυνάµεις f A f B έχουν φορέα την ράβδο και είναι αντίθετες για τον έξής λόγο. Η ράβδος δέχεται στις άκρες της Β και Α τις δυνάµεις f B, f A από το σφαιρίδιο και την τροχαλία αντιστοίχως, οι οποίες λόγω του αξιώµα τος της ισότητας µεταξύ δράσης-αντίδρασης είναι αντίθετες των δυνάµεων f A, f B αντιστοίχως. Η συνολική ροπή των δυνάµεων αυτών περί το κέντρο της ράβδου είναι µηδενική, διότι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το κέντρο της είναι περίπου µηδενική, αφού η ραβδος θεωρήθηκε µε αµελητέα µάζα θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης). Αυτό δικαιολογειται µόνον αν οι φορείς των δύο δυνάµεων f B, f A διέρχονται από το κέντρο της ράβ δου, δήλαδή αν οι φορείς τους βρίσκονται επί της ράβδου, οπότε και οι φορείς των f A, f B βρίσκονται επί της ράβδου. Επί πλέον οι δυνάµεις f B, f A πρέπει να είναι αντίθετες πράγµα που εγγυάται ο δευτέρος νόµος κίνησης του Νεύτωνα για το κέντρο µάζας της ράβδου, αφού η µάζα της ράβδου είναι

περίπου µηδενική. οπότε και οι δυνάµεις f A, f B είναι αντίθετες. Εφαρµό ζοντας για το κέντρο µάζας του δίσκου τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα και για την περιστροφική συνιστώσα της κύλισης του δίσκου τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, παίρνουµε τις σχέσεις: M x = f Ax - T $ TR = I A " % M x = f - T Ax TR = MR " / $ % M x = f - T Ax $ T = MR " / % M x = f Ax - T " T = M x / f Ax = 3M x / 1) όπου f Ax η οριζόντια συνιστώσα της δύναµης f A και x η αλγεβρική τιµή της επιτάχυνσης του κέντρου µάζας της τροχαλίας. Εφαρµόζοντας εξάλλου για το σφαιρίδιο Β τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά τις διευθύνσεις των ορθογώνιων αξόνων Ox, Oy παίρνουµε τις σχέσεις: m x B = -f Bx = -f Ax m y " B = mg - f By m x = -f B Ax $ % m y B = mg - f Ax " & 1 ) m x B = -3M x / m y B = mg - 3M" $ % x / & ) όπου x B, y B οι συντεταγµένες του σφαιριδίου, για τις οποίες έχουµε: x B = x +Lµ" y B = L$%" & x = x +L"$ B $ y B = -L%µ$ $ & x B = x +L"$ $ - L%µ$ $ y B = -L%µ$ $ - L"$ & $ 3) Συνδυάζοντας τις ) και 3) παίρνουµε: m x +ml"$ $ - ml%µ$ $ = -3M x / -ml%µ$ $ - ml"$ $ = mg - 3M&$ x / ) $ ) = m +3M / ) x +ml "$ $ - %µ$ 3M&$ x / - ml %µ$ $ +"$ $ ) = mg ) *) 4) Oι σχέσεις 4) αποτελουν τις διαφορικές εξισώσεις κίνησης του συστήµατος. P.M. fysikos