Πιθανότητες Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 7 / 0 / 0 6 Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο
ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-300.88.88 Τα πάντα για τις πιθανότητες A B : Α τομή Β και αποτελείται από τα κοινά τους στοιχεία A B : Α ένωση Β και αποτελείται απ όλα τα στοιχεία του Α και του Β μαζί A ' : συμπληρωματικό του Α και αποτελείται απ τα στοιχεία του Ω που δε βρίσκονται στο Α 59. Έστω τα σύνολα Ω={,,3,4,5,6}, Α={,,3,4},Β={4,5}. Να γράψεις με αναγραφή τα ενδεχόμενα B ', A B, A B, A B, A B ', A B ' και μετά να βρεις τις πιθανότητές τους 50. Έστω τα σύνολα,,3, 4,5, A / 4, B / ό, να βρεις τις πιθανότητες να ανήκει στο : Α ΑήΒ 5. Έστω τα σύνολα, 0,,, A a / 5. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. Α και Β Α και όχι Β σε ένα το πολύ από Α,Β Έστω τα σύνολα 0,,3, 4, / 3 0 P ( A) ; a 0έ ύ ί ά P( A) ; Ρίχνεις αμερόληπτο ζάρι. Να βρεις την πιθανότητα των ενδεχομένων : Α:περιττός Β:άρτιος και μικτότερος του 5 Γ:περιττός ή μεγαλύτερος του 3 Ρίχνεις αμερόληπτο ζάρι δύο φορές. Να βρεις την πιθανότητα των ενδεχομένων : Α: το αποτέλεσμα της ης ρίψης είναι μικρότερο από της ης Β: οι ενδείξεις και στις δύο ρίψεις είναι ίδιες Γ: το άθροισμα των ενδείξεων στις δύο ρίψεις είναι μεγαλύτερο του 9 Ρίχνεις κανονικό κέρμα 3 διαδοχικές φορές. Να βρεις την πιθανότητα να εμφανιστούν : 3 γράμματα δύο το πολύ γράμματα στις πρώτες ρίψεις γράμματα όλα ίδια Δύο παίκτες Α και Β παίζουν τάβλι με τη συμφωνία νικητής να είναι εκείνος που πρώτος θα κερδίσει παιχνίδια. Να βρεις την πιθανότητα στα δύο πρώτα παιχνίδια να κερδίσει ο Α ο νικητής να βγει μετά από δύο παιχνίδια Σε λύκειο με 36 μαθητές στην Α τάξη, 34 μαθητές στη Β τάξη, 30 μαθητές στη Γ τάξη, να βρεις τις πιθανότητες : να είναι της Α να είναι της Α ή της Β να μην είναι της Γ Κουτί περιέχει άσπρες, 3 κόκκινες και 5 πράσινες μπάλες. Να βρεις την πιθανότητα να επιλέξεις : κόκκινη άσπρη ή πράσινη να μην είναι πράσινη Κουτί περιέχει 6 κόκκινες, άσπρες και μαύρες σφαίρες. Η πιθανότητα να επιλέξεις κόκκινη ή άσπρη είναι 5. Να βρεις την πιθανότητα να βγει μαύρη 8 530. Σε Λύκειο με 54 μαθητές στην Α τάξη και πιθανότητα επιλογής μαθητή από την Α 36%, ενώ από τη Β 34%, να βρεις πλήθος μαθητών Λυκείου πλήθος μαθητών Β πιθανότητα μαθητής να είναι της Γ
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-300.88.88 53. Η Α τάξη Λυκείου έχει 50 αγόρια και κορίτσια.το 0% των αγοριών και τα /5 των κοριτσιών επέλεξαν βόλεϊ. Αν η πιθανότητα να επιλέξεις αγόρι που δεν επέλεξε βόλεϊ είναι 40%, να βρεις πόσα είναι τα αγόρια και πόσα τα κορίτσια, και να βρεις την πιθανότητα να είναι κορίτσι και να μην επέλεξε βόλεϊ. 53. Στον παρακάτω πίνακα να βρεις την πιθανότητα να επιλέξεις φοιτητή με βαθμό 8 το πολύ 6 τουλάχιστον 5 5 ή 7 Βαθμός Φοιτητές 4 5 6 6 8 7 4 533. Στον παρακάτω πίνακα να βρεις την πιθανότητα να επιλέξεις μαθητή με λιγότερες από 0 απουσίες τουλάχιστον 0 απουσίες κάτω από 5 απουσίες τουλάχιστον 3 απουσίες Απουσίες Μαθητές 0-0 5 0-0 0 0-30 0 30-40 5 3, ', ( ), ( ), ' ; 4 3 4, ' ' 7 ; P A B P( A) P( B) P A B 5 5 P, P A B 5 P P( A) P B ; 6 P A B ' P( A) P A B 534. Έστω τα ενδεχόμενα Α,Β με P A B P A P A B P A P B P A B 535. Αν P AB P A PB P A B 536. Αν 537. Αν 3P A B 3 P A B P B ' ; P B ' P A B' P A B 538. Αν P 3 PA, P( B) P( A), PA B PAB, P B A, P A B ' ; 539. Δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα έχουν γινόμενο πιθανοτήτων, να βρεις την πιθανότητα του καθενός 9 540. Έστω Α,Β: P( A) P( ) P( ) P ( B), ν.δ.ο. το Α είναι βέβαιο και το Β είναι αδύνατο 3a 3a 54. Έστω 0,,,3,4,5, A 0,,, B 3,5, P( A), P( B) P A B ; 5 5 54. Αν P( A B), P( B '), να βρεις την πιθανότητα να μην πραγματοποιείται κανένα από τα Α,Β 4 543. Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα όπου η πιθανότητα να μην πραγματοποιείται κανένα από τα Α,Β είναι ¼, η πιθανότητα να πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α,β είναι /3, να βρεις την πιθανότητα να πραγματοποιείται ένα το πολύ από τα Α,Β
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-300.88.88 544. Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω όπου η πιθανότητα να πραγματοποιείται το Α και να μην πραγματοποιείται το Β είναι /6, η πιθανότητα να μην πραγματοποιούνται συγχρόνως το Α και Β είναι ¾, η πιθανότητα να πραγματοποιείται το Α ή το Β είναι /3, να βρεις τις πιθανότητες : να πραγματοποιείται το Α να πραγματοποιείται μόνο το Β ή μόνο το Α να πραγματοποιούνται και τα δύο ή κανένα να πραγματοποιείται το Α ή να μην πραγματοποιείται το Β 545. Έστω Α,Β τα ενδεχόμενα δ.χ. Ω όπου η πιθανότητα να πραγματοποιείται το Α είναι /5, να μην πραγματοποιείται το Β είναι 3/5, να πραγματοποιούνται συγχρόνως και τα δύο είναι /6, να βρει ςτην πιθανότητα να πραγματοποιείται : ένα τουλάχιστον από τα Α,Β το πολύ ένα από τα Α και Β κανένα από τα Α και Β μόνο το Α μόνο ένα από τα Α και Β το Α ή να μην πραγματοποιείται το Β 546. Στη Γ τάξη ενός Λυκείου το 40% των μαθητών ασχολείται με ποδόσφαιρο, το 30% με μπάσκετ και το 0% και με τα δύο. Να βρεις την πιθανότητα να επιλέξεις μαθητή και να μην ασχολείται με το μπάσκετ να μην ασχολείται ούτε με ποδόσφαιρο, ούτε με μπάσκετ να ασχολείται με μπάσκετ και όχι με ποδόσφαιρο να ασχολείται με ένα το πολύ από τα αθλήματα 547. Στη Γ τάξη ενός Λυκείου το 40% είναι αγόρια, το 30% είναι οπαδοί του ΠΑΟΚ και το 0% είναι κορίτσια και οπαδοί του ΠΑΟΚ. Να βρεις την πιθανότητα ένα άτομο που θα επιλεγεί να είναι αγόρι ή ΠΑΟΚ, ομοίως να είναι κορίτσι και να μην είναι ΠΑΟΚ 548. 50 εργαζόμενοι μιας εταιρείας γνωρίζουν Αγγλικά (Α) ή Γαλλικά (Γ). Οι 30 γνωρίζουν Αγγλικά και οι 5 γνωρίζουν Γαλλικά. Ν.δ.ο. τα ενδεχόμενα Α,Γ δεν είναι ασυμβίβαστα. Να βρεις την πιθανότητα να γνωρίζει ένα άτομο μόνο Γαλλικά, να γνωρίζει μία μόνο ξένη γλώσσα. 549. Από 50 μαθητές μίας τάξης 0 ασχολούνται με ποδόσφαιρο, 40 με το μπάσκετ και καθένας ασχολείται με ποδόσφαιρο ή μπάσκετ. Να βρεις την πιθανότητα Να βρεις την πιθανότητα να συμβεί Το Α : P( A ) Το Α ή το Β : P A B Το Α και το Β : P A B Τουλάχιστο ένα από τα Α,Β : P A B Κανένα από τα Α,Β : P B ' P A B' Μόνο το Α : P A B ' Μόνο το Β : P B Μόνο ένα από τα Α,Β : P A B ' + P B Το πολύ ένα από τα Α,Β : : P A B ' + P B + P B ' 3
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-300.88.88 να μην ασχολείται με το ποδόσφαιρο να ασχολείται με το ποδόσφαιρο και με το μπάσκετ να ασχολείται με το ποδόσφαιρο αλλά όχι με το μπάσκετ 550. Σε τάξη υπάρχουν 5 αγόρια και 0 κορίτσια. Τα 4/5 των αγοριών και τα ¾ των κοριτσιών θα πάνε πενθήμερη εκδρομή.να βρεις την πιθανότητα να επιλέξεις ένα μαθητή και να είναι αγόρι και να μην πάει εκδρομή. Ομοίως να είναι κορίτσι ή να μην έχει πάει εκδρομή. 55. Στο μάθημα Γεωμετρίας το 0% δεν έχει διαβήτη, το 5% δεν έχει χάρακα,το 5% δεν έχει ούτε διαβήτη ούτε χάρακα. Να βρεις την πιθανότητα να επιλέξεις μαθητή και να έχει διαβήτη και χάρακα. 55. Σε επιχείρηση το 60% των εργαζομένων δεν ξέρει Αγγλικά, το 80% δεν ξέρει Γαλλικά και το 55% δεν ξέρει καμία γλώσσα. Να βρεις την πιθανότητα να επιλέξεις εργαζόμενο και να γνωρίζει και τις δύο γλώσσες. Ανίσωση με P A B Ακολουθείς τα επόμενα βήματα : Λόγω Venn : P A B P( A) Λόγω Venn : P A B P( B) Ισχύει : 0 P A B οπότε P A P B P A B 0 ( ) ( )... Ανίσωση με P A B Ακολουθείς τα επόμενα βήματα : Λόγω Venn : P A B P( A) Λόγω Venn : P A B P( B) Ισχύει : 0 P A B οπότε P A P B P A B 0 ( ) ( )... 553. Αν Α,Β ενδεχόμενα δ.χ. Ω P( A B) P( A) P( A B) P( A) P( B) P( A B) P( A) P( B) 554. Αν Α,Β ενδεχόμενα δ.χ. Ω P( A B) P( A B) 555. Αν A, A 4 P( A) P( ) 556. Αν Α,Β ενδεχόμενα δ.χ. Ω όπου P( A), P( A B), P( A B) είναι ρίζες της εξίσωσης 3 3 0 P( B) ; 557. Αν P( A) P( A) 3a a 3 558. Αν Α,Β ενδεχόμενα δ.χ. Ω με P( A), P( B) ί & P( A B) 3 6 559. Αν Α,Β ενδεχόμενα δ.χ. Ω με P( A) 0,3 & P( B) 0, 78 ί & 0, P( A B) 0,3 560. Αν Α,Β ενδεχόμενα δ.χ. Ω με P( A), P( B ') ί ; 56. Αν Α,Β ενδεχόμενα δ.χ. Ω με P( A), P( B ') P( A B) 3 6 56. Αν Α,Β ενδεχόμενα δ.χ. Ω με P( A), P( A B) P( B) 3 6 3 5 563. Αν Α,Β ενδεχόμενα δ.χ. Ω με P( A) 3 P( B), P( ) 3 P( B) P( A B) 6 4
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-300.88.88 f ( ), 0, ; f. Αν Α ενδεχόμενο του δ.χ. Ω το οποίο δεν είναι αδύνατο αλλά και ούτε βέβαιο 4 P( A) P( ) 564. Έστω η συνάρτηση min 565. Έστω η συνάρτηση f ( ), 0, fmin ;. Αν Α ενδεχόμενο του δ.χ. Ω το οποίο δεν είναι αδύνατο αλλά και ούτε βέβαιο 8 P ( A) P ( ) 566. Το 40% των μαθητών σχολείου ασχολούνται με το ποδόσφαιρο και το 80% με το μπάσκετ. Να βρεις την μέγιστη και ελάχιστη τιμή της πιθανότητας ένας μαθητής να ασχολείται με το ποδόσφαιρο και το μπάσκετ. 567. Δίνεται συνάρτηση f ( ) e, να βρεις την μονοτονία της και αν Α,Β ενδεχόμενα δ.χ. Ω όπου 568. Έστω a, b, c 569. Έστω A B P( B) e P( A) e P ( A ) P( B) P( A) f P( A B) e P( A) f P( A B e δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης όπου P( a), P( b) P( c) ; 3 P( a) 3 P( b) 3 P( c) P( i) ;, i a, b, c 0,,3, P( a), a,3 P(0) ; a 0,,, P( i) ai, i 0,, a ; 570. Έστω i 0,,, P( i), i P( i) ; a a,,..., v, P( a), a,,..., v v ; 0 57. Έστω 57. Έστω 573. Έστω P i a, i4,4 7 0, a7,,3,..., 03, ( ) a a, να βρεις το α και να υπολογίσεις τις πιθανότητες των ενδεχομένων : A c : 3 c 6, B c, cά, c 03 4 k k k a, b, c, P( a), P( b), P( c) k ; 6 6 3 574. Έστω 575. Έστω Α,Β δύο ξένα μεταξύ τους ενδεχόμενα ενός δ.χ. Ω με P( A) 4, P( B), A B ; 576. Έστω Α,Β δύο ξένα μεταξύ τους ενδεχόμενα ενός δ.χ. Ω με P( A), P( B) 3, A B βέβαιο, να βρεις την τιμή του χ 3 a, b, c, A a, b, B b, c, P( A), P( B) P( i) ;, i a, b, c 4 577. Έστω 5
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-300.88.88 3 a, b, c, d, P( b) P( c), A a, b, c, B b, c, d, P( A), P( B) 4 P( i) ;, i a, b, c, d 578. Έστω 579. Να αντιστοιχήσεις τα παρακάτω Το Α δεν πραγματοποιείται Ένα τουλάχιστον από τα Α,Β πραγματοποιείται Πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β Α A B ' A Το Α πραγματοποιείται A B Κανένα από τα Α,Β δεν πραγματοποιείται A B Πραγματοποιείται μόνο το Α ή μόνο το Β Α Το Β πραγματοποιείται A B' Πραγματοποιείται μόνο το Α A B ' B Πραγματοποιείται μόνο το Β Β A B ' B B A A B' B 580. Να συμπληρώσεις τον πίνακα ώστε στη στήλη Β να φαίνεται ο χαρακτηρισμός Σωστό ή Λάθος. Οπου υπάρχει Λάθος στη στήλη Γ γράψε το σωστό Α Β Γ A A A A A A A Λ A A A A A A A ' ' A B B A A B B A ' A B A B B A A ' A A B A B A 6
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-300.88.88 58. Στη διάρκεια του μαθήματος να δώσω γραφήματα Venn για να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας Γραφή σε γλώσσα συνόλου Γραφή σε φυσική γλώσσα Μέρος του σχήματος Venn A B Α τομή Β II B ' A B A A B B A A B ' B 58. Σε ένα κουτί έχουμε 4 σφαιρίδια. Ένα κόκκινο (Κ), ένα άσπρο (Α), ένα γαλάζιο (Γ) και ένα πράσινο (Π). Επιλέγουμε τυχαία και διαδοχικά. Να βρεις το δειγματικό χώρο αν Η επιλογή γίνεται με επανατοποθέτηση Η επιλογή γίνεται χωρίς επανατοποθέτηση 583. Ρίχνουμε κέρμα διαδοχικές φορές. Οι ρίψεις τερματίζονται όταν φέρεις φορές Κ ή 3 φορές Γ. Ποιος ο δ.χ 584. Παιδί παίζει με 5 κύβους αριθμημένους από το έως το 5. Τοποθετεί τους κύβους στη σειρά και σταματάει όταν εμφανιστούν δύο διαδοχικές ζυγές ή δύο μονές ενδείξεις. Ποιος ο δ.χ. 585. Βιομηχανία κατασκευής εκτυπωτών κάνει έλεγχο στην αποθήκη της. Ένας εκτυπωτής μπορεί να είναι Κανονικός(κ) ή ελαττωματικός(ε). Ο έλεγχος σταματάει όταν έχουν βρεθεί ε ή έχουν ελεχθεί μέχρι και 4 εκτυπωτές. Ποιος ο δ.χ. 586. Αν Α,Β ενδεχόμενα ενός δ.χ. Ω τότε είναι ασυμβίβαστα τα A, B 587. Αν A,3,5,7, B,3,5, 7,9,,,3, 4,5, 6, 7,8,9, να βρεις τα παρακάτω ενδεχόμενα A B ', B ', A B ', B ' 588. Αν Α,Β ενδεχόμενα δ.χ. Ω με τη βοήθεια σχέσεων ή Vennν.δ.ο. A B ' B '& A B ' B ' 589. Ρίχνουμε νόμισμα 3 διαδοχικές φορές. Έστω τα ενδεχόμενα : Α:δύο διαδοχικές ενδείξεις είναι Κ, Β:3 διαδοχικές ενδείξεις είναι όμοιες. Να βρεις τα ενδεχόμενα A B, A B,, B' 590. Αν Α,Β,Γ τα ενδεχόμενα πειράματος να εκφράσεις : πραγματοποιείται τουλάχιστο ένα από τα Α και Β αλλά όχι το Γ δεν πραγματοποιείται το Α αλλά το Β και το Γ κανένα από τα Α,Β,Γ πραγματοποιείται 59. Στη διάρκεια του μαθήματος να σκιαγραφήσω διαγράμματα Venn και να μεταφράζονται 59. Αν Α,Β ενδεχόμενα του δ.χ. του Ω να γράψεις : δεν πραγματοποιείται το Α και πραγματοποιείται το Β δεν πραγματοποιείται το Α ή πραγματοποιείται το Β δεν πραγματοποιείται ούτε το Α ούτε το Β πραγματοποιείται ένα μόνο από τα Α,Β πραγματοποιείται το πολύ ένα από τα Α,Β 593. Δίνεται σύνολο A a, b, c, d, P( a), P( b), P( c), P( d) Σ ή Λ 3 4 5 7
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-300.88.88 a, b, c, d, P( a) 0,3, P( b) 0, 4, P( c) P( d) P( i) ;, i a, b, c, d. Αν 594. Δίνεται δ.χ. A a, b, B b, c P ;. P( B ') ;, P( A B) ;, P( A B) ; 595. Ποια έκφραση είναι λάθος ; Η πιθανότητα να μείνεις μαθηματικά είναι 0,5 και να μη μείνεις είναι 0,75 Η πιθανότητα να μείνεις μαθηματικά είναι /7 και να μείνεις μαθηματικά και χημεία /6 Η πιθανότητα να μείνεις μαθηματικά είναι 5% και να μείνεις μαθηματικά ή χημεία είναι 0% 596. Αν Α,Β ενδεχόμενα του δ.χ. Ω με P( A) 0%, P( B') 60%, P( A B) 56% P( A B) ; 597. Μαθητής υπολόγισε ότι τα ενδεχόμενα A, B : P( A) 0,75, P( B) 0,45, P( A B) 0, Σ ή Λ 598. Η πραγματοποίηση ενός ενδεχομένου Α έχει πιθανότητα 30% και η μη πραγματοποίηση ενός Β έχει πιθανότητα 40% ενώ η πραγματοποίηση ενός τουλάχιστον των Α,Β είναι 90%. Να βρεις την πιθανότητα να μην πραγματοποιηθούν και τα δύο συγχρόνως 599. Η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο ως προς την πιθανότητα να συμβεί το συμπληρωματικό του είναι 5 προς 7. Να βρεις την πιθανότητά του να συμβεί 600. Αν P( A) 0,75, P( B) 0,45 P( A B) 0, 60. Αν A B P( A) P( B) 60. Αν Α,Β,Γ ενδεχόμενα του δ.χ. Ω να δείξεις ότι : P( A B) P( A) P( A) P( A B) P( A) P( B) P( A B ) P( A) P( B) P( ) 603. Έστω δ.χ. Ω με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων και Α,Β υποσύνολά του Ω. Αν P( ) 0,8, P( B') 0,7 τότε ν.δ.ο. P( A B).0 P( A B), A B 604. Αν A, B : P( A) 0,5, P( B) 0,375, P( A B) 0,5 P( A B), P( B'), P( B') ; 605. Σε ένα συνέδριο το 35% είναι Ασιάτες, το 55% είναι Χριστιανοί και το 0% είναι Ασιάτες και Χριστιανοί, ποια η πιθανότητα να μην είναι Ασιάτης και ούτε Χριστιανός 606. Αν P( B') P( B') P( A B) P( A) 607. Αν P( A) 0,, P( B) 0,5, P( A B) 0, ποια η πιθανότητα να συμβεί μόνο το Β 608. Αν P( A B) 0,, P( B') 0,8 P( B), P( A B') ; 609. Αν P( B) P( B) P( A B) 0, P( B') 60. Ρίχνουμε ένα ζάρι διαδοχικές φορές, Α το ενδεχόμενο το άθροισμα των ενδείξεων να είναι 8 και Β το ενδεχόμενο η μία ένδειξη διπλάσια της άλλης να βρεις την πιθανότητα το Α, του Β, της τομής τους και της ένωσής τους 6. Οι σύνεδροι μιας διεθνούς διάσκεψης είναι Γάλλοι, Κινέζοι και Βραζιλιάνοι. Οι Γάλλοι είναι διπλάσιοι των Βραζιλιάνων και οι Κινέζοι τριπλάσιοι των Γάλλων. Ποια η πιθανότητα να επιλέξεις Βραζιλιάνο; 6. Βιοτεχνία γυναικείων ενδυμάτων παράγει ζακέτες τύπου Α,Β,Γ,Δ. Σε μία ημερήσια παραγωγή οι τύπου Α είναι 3πλάσιες από του Γ. Αν επιλέξουμε τυχαία μία ζακέτα με την πιθανότητα να προκύψει Β ή Δ είναι 0,4 ποια η πιθανότητα να μην προκύψει ζακέτα Γ 8