5η Γραπτή Εργασία. = -k 2 (7) Άσκηση 1. (2 µονάδες)

5η Γραπτή Εργασία Νικόλαος Μανάρας (Α.Μ. 52209) Άσκηση 1. (2 µονάδες) Μελέτη του προβλήµατος της ταλάντωσης ενός κυκλικού τυµπάνου ακτίνας α: u tt = c 2 Iu ρρ ρ -1 u ρ M, 0<ρ<α, t>0 H1L uhρ, 0L = fhρl u t Hρ, 0L = ghρl uhα, tl = 0 0<ρ<α 0<ρ<α t 0 H2L HL H4L όπου: f(ρ) = 1 - ρ 2, g(ρ) =1 και α = c = 1. Επίσης θεωρώ li m u(r,t)=<, t 0 (5) rø0 Αναζητούµε λύσεις της χωριζοµένης µορφής u(r,t) = R(r) T(t). (6) Αντικαθιστώντας αυτήν στην κυµατική εξίσωση και για λόγους περιοδικότητας παίρνουµε: R''H1êrL R' = 1 T'' R c 2 T = -k 2 (7) όπου k µια θετική σταθερά. Έτσι παίρνουµε τις εξισώσεις: rr'' R' k 2 rr = 0 (8) T'' k 2 c 2 T = 0 (9) Οι λύσεις της Τ(t) δίνονται από: Clear@"Global` "D; c = 1; DSolveAT''@tDk 2 c 2 T@tD 0, T@tD, te 88THtLØc 2 sinhk tlc 1 coshk tl<< Στην συνέχεια αρκεί να βρούµε τη λύση R(r) από το ακόλουθο Sturm - Liouville σύστηµα: rr'' R' k 2 rr = 0 (10) R(1)=0, li m R(r) < (11) rø0 DSolveArR''@rDR'@rDk 2 rr@rd 0, R@rD, re 88RHrLØc 1 J 0 Hk rlc 2 Y 0 Hk rl<<

2 Manaras_Nikolaos_ergasia5.nb Η (10) είναι συνάρτηση Bessel µηδενικής τάξης, η λύση της οποίας δίδεται από τον τύπο: R(r) = CJ 0 (kr) DY 0 (kr) (12) όπου J 0 και Y 0 είναι συναρτήσεις Bessel πρώτου και δευτέρου τύπου αντίστοιχα και τάξης µηδέν. Από την (10) παίρνουµε D=0,άφου Y 0 (kr) ö- για rø0. Οπότε: R(r) = CJ 0 (kr). Κι επειδή R(1)=0 παίρνουµε J 0 (k)=1. Έτσι η λύση του προβλήµατος είναι η: u(r,t) = J 0 (kr) HA n coshk n t) B n sinhk n t)) (1) Κι επειδή η Bessel είναι γραµµική και οµογενής µε την αρχή της υπέρθεσης παίρνουµε: u n (r,t) = Σ J0 Hk n r) HA n coshk n t) B n sinhk n t)) (14) η=1 Αν παραγωγίσουµε ως προς t την παραπάνω θα πάρουµε: Clear@"Global` "D; H ορίζουµε ως α η να είναι ο νιοστός όρος της µηδενικής τάξης της συνάρτησης Bessel J 0 HxL. L a n_ := a n = BesselJZero@0, nd H ορίζουµε τις σταθερές R και c L c = 1; R = 1; H και των συναρτήσεων fhrl, ghrl και k n L f@r_d := 1 r 2 g@r_d := 1 k n_ := k n = NB a n R F H Ο τύπος για τους συντελεστές Α η και Β η L A n_ := A n = B n_ := B n = 2 R 2 BesselJ@1, a n D 2 NIntegrate@r f@rd BesselJ@0, k n rd, 8r, 0, R<D 2 c R a n BesselJ@1, a n D 2 NIntegrate@r g@rd BesselJ@0, k n rd, 8r, 0, R<D Table@8n, A n, B n, k n <, 8n, 1, 10<D êê TableForm 1 1.10802 0.66615 2.4048 2-0.19778-0.192896 5.52008 0.0454765 0.09885 8.657 4-0.0209909-0.0618787 11.7915 5 0.011662 0.04449 14.909 6-0.00722118-0.02626 18.0711 7 0.0048787 0.0256548 21.2116 8-0.0042568-0.0208559 24.525 9 0.0025295 0.017864 27.495 10-0.0019015-0.014782 0.646 10 uaproax@r_, t_d = HA n Cos@ck n tdb n Sin@ck n tdlbesselj@0, k n rd n=1 J 0 H2.4048 rlh0.66615 sinh2.4048 tl1.10802 cosh2.4048 tll J 0 H5.52008 rlh-0.192896 sinh5.52008 tl-0.19778 cosh5.52008 tll J 0 H8.657 rlh0.09885 sinh8.657 tl0.0454765 cosh8.657 tll J 0 H11.7915 rlh-0.0618787 sinh11.7915 tl-0.0209909 cosh11.7915 tll J 0 H14.909 rlh0.04449 sinh14.909 tl0.011662 cosh14.909 tll J 0 H18.0711 rlh-0.02626 sinh18.0711 tl-0.00722118 cosh18.0711 tll J 0 H21.2116 rlh0.0256548 sinh21.2116 tl0.0048787 cosh21.2116 tll J 0 H24.525 rlh-0.0208559 sinh24.525 tl-0.0042568 cosh24.525 tll J 0 H27.495 rlh0.017864 sinh27.495 tl0.0025295 cosh27.495 tll J 0 H0.646 rlh-0.014782 sinh0.646 tl-0.0019015 cosh0.646 tll

Manaras_Nikolaos_ergasia5.nb graphs = Table@ ParametricPlotD@8 r Cos@thetaD, r Sin@thetaD, uaproax@r, td<, 8r, 0, R<, 8theta, Pi, Pi<, Boxed False, PlotRange 8 1.25, 1.25<, BoxRatios 81, 1, 1< D, 8t, 0, 1.5, 1.5ê20<D; howtoshow = Partition@graphs, D H Show@GraphicsArray@howtoshowDD L ListAnimate@graphsD

4 Manaras_Nikolaos_ergasia5.nb

Manaras_Nikolaos_ergasia5.nb 5

6 Manaras_Nikolaos_ergasia5.nb

Manaras_Nikolaos_ergasia5.nb 7 FindMinimum@ uaproax@0, td, 8t, 1.5<D 81.7849, 8-Ht Ø.0186L<< Άσκηση 2. (1 µονάδα) Θα χρησιµοποιήσουµε το (r,θ,φ) για να παραστήσουµε τις σφαιρικές συντεταγµένες του σηµείου (x,y,z). x=rcosφsinθ y=rsinφsinθ z=rcosθ Clear@"Global` "D; r@theta_d := Abs@LegendreP@n, Cos@thetaDDD lobes = Table@ ParametricPlotD@8r@thetaD Cos@phiD Sin@thetaD, r@thetad Sin@phiD Sin@thetaD, r@thetad Cos@thetaD<, 8theta, 0, Pi<, 8phi, 0, 2Pi<, ImageSize 820, 240<D, H ImageSize 8640,480<D, ΑΝ ΘΕΛΑΜΕ ΝΑ ΚΑΝΟΥΜΕ ΕΞΑΓΩΓΗ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ L 8n, 0, 4, 1<D

8 Manaras_Nikolaos_ergasia5.nb :,,

Manaras_Nikolaos_ergasia5.nb 9,, > ListPlot@Flatten@Table@8n, x< ê. NSolve@LegendreP@n, xd 0, xd, 8n, 1, 4<D, 1D, Axes False, Frame TrueD

10 Manaras_Nikolaos_ergasia5.nb 0.5 0.0-0.5 1.0 1.5 2.0 2.5.0.5 4.0 Παρατηρώ ότι ο αριθµός των ριζών των πολυωνύµων Legendre P n είναι ίδιος µε τον αριθµό των λοβών των συναρτήσεων Pn(cosθ) Άσκηση. (2 µονάδες) Μελέτη του προβλήµατος Dirichlet στο εσωτερικό σφαίρας ακτίνας α=1 2 uhr,θl=0 0<r<α, 0<θ<π uhα,θl= fhθl Ñ (1) όπου f(θ) = cosθ, 0<θ<πê2 0, πê2<θ<π Η εξίσωση του Laplace σε σφαιρικές συντεταγµένες γράφεται στη µορφή 2 u 2 u 1 2 r cosθ ÿ u 1 ÿ 2 u = 0 () r 2 r r r 2 θ 2 r 2 sinθ θ r 2 sin 2 θ φ 2 Λόγω αζιµουθιακής ανεξαρτησίας της λύσης στο σύνορο, έχουµε ότι η λύση θα είναι ανεξάρτητη από τη γωνία φ, δηλαδή θα είναι u(r,θ), άρα η παραπάνω σχέση γίνεται 2 u 2 u 1 2 r cosθ ÿ u = 0 (4) r 2 r r r 2 θ 2 r 2 sinθ θ 1 r 2 r (r2 u r ) 1 r 2 1 sinθ (2) θ (sinθ u θ ) = 0 (5) Επιχειρούµε το χωρισµό των µεταβλητών u(r,θ) = R(r) Θ(θ) (6) και η (5) γράφεται 1 R R (r2 ) 1 r r Θsinθ θ (sinθ Θ θ ) =0 (7) Χωρίζοντας τις µεταβλητές r και θ στην εξίσωση (7) παίρνουµε R (r2 ) - v R = 0 (8) r r 1 sinθ θ (sinθ Θ θ ) v Θ =0 (9) όπου v η σταθερά χωρισµού. Η ακτινική εξίσωση (8) είναι τύπου Euler και γίνεται 2 rÿ R r r2 ÿ 2 R r 2 - vr = 0 ó r2 R'' 2r R' -vr = 0 (10) Clear@"Global` "D; DSolveAr 2 R @rd2r R @rd v R@rD 0, R@rD, re 1 ::RHrLØc 1 r ÂJ- -4 v-1 ÂN 2 c 2 r 1 2 ÂJ -4 v-1 ÂN >>

Manaras_Nikolaos_ergasia5.nb 11 Συνεπώς οι λύσεις της (10) είναι R n (r) = Η εξίσωση της γωνίας ύψους (9) γράφεται r n r -Hn1L ö R n(r)= a n r n b n r -Hn1L (11) Θ'' cosθ Θ' n(n1) Θ = 0 (12) sinθ όπου n(n1) = v προκειµένου η λύση να είναι πεπερασµένη. DSolveBΘ @θd Cos@θD 88ΘHθLØc 1 P n HcosHθLLc 2 Q n HcosHθLL<< Sin@θD Θ @θdn Hn1L Θ@θD 0, Θ@θD, θf ΉΘHθL = c n P n HcosHθLLd n Q n HcosHθLL (1) Επειδή θέλουµε η λύση Θ να είναι πεπερασµένη για θ=0 ή θ=π παίρνουµε d n =0, δηλαδή Θ(θ)= c n P n (cosθ), (14) όπου P n πολυώνυµα Legendre. Ακόµη για λύσεις µε καλή συµπεριφορά στην αρχή των αξόνων στην (11) παίρνουµε b n =0 οπότε R n (r)= a n r n (15) Το ανάπτυγµα της λύσης εποµένως θα είναι u(r,θ) = Σ An r n P n (cosθ) (16) n=0 Από την (2) και την (16) έχουµε Α η = 2η1 2 Ÿ 0 π fhθl Pn HcosθL sinθ θ H Ορίζουµε την συνοριακή συνάρτηση fhθl L f@θ_d := Which@0 < θ < Pi ê2, Cos@θD, Pi ê2 < θ < Pi, 0D H Ο τύπος για τους συντελεστές Α η L A n_ := A n = 2n1 NIntegrate@f@θD LegendreP@n, Cos@θDD Sin@θD, 8θ, 0, Pi<D 2 H Η προσεγγιστική λύση L u@r_, θ_d = Sum@A n r n LegendreP@n, Cos@θDD, 8n, 0, 9<D 0. r 9 I12 155 cos 9 HθL-25 740 cos 7 HθL18 018 cos 5 HθL-4620 cos HθL15 coshθlm- 0.00025999 r 8 I645 cos 8 HθL-12 012 cos 6 HθL690 cos 4 HθL-1260 cos 2 HθL5M 0. r 7 I429 cos 7 HθL-69 cos 5 HθL15 cos HθL-5 coshθlm0.00178 r 6 I21 cos 6 HθL-15 cos 4 HθL105 cos 2 HθL-5M 0. r 5 I6 cos 5 HθL-70 cos HθL15 coshθlm-0.0117188 r 4 I5 cos 4 HθL-0 cos 2 HθLM 0. r I5 cos HθL- coshθlm0.15625 r 2 I cos 2 HθL-1M0.5 r coshθl0.25 data = Table@u@i, θd, 8i, 1ê4, ê4, 1ê4<, 8θ, 0, Pi, Piê4<D; d = TableForm@data, TableHeadings 88"uH1ê4,θL", "uh1ê2,θl", "uhê4,θl"<, 8"0", "πê4", "πê2", "πê4", "π"<<, TableSpacing 82, 5<D 0 πê4 πê2 πê4 π uh1ê4,θl 0.94177 0.4418 0.24009 0.166641 0.144177 uh1ê2,θl 0.572929 0.44852 0.208457 0.0949785 0.0729294 uhê4,θl 0.77682 0.568828 0.147252 0.084976 0.026821 Grid@Prepend@data, 8"0", "πê4", "πê2", "πê4", "π"<d, Background 888Blue, Pink, Yellow, Orange, Green, Red<<<, Frame All, Spacings 84,.9< D 0 πê4 πê2 πê4 π 0.94177 0.4418 0.24009 0.166641 0.144177 0.572929 0.44852 0.208457 0.0949785 0.0729294 0.77682 0.568828 0.147252 0.084976 0.026821

12 Manaras_Nikolaos_ergasia5.nb Table@SphericalPlotD@u@r, θd, 8θ, 0, Pi<, 8φ, 0, 2 Pi<, Exclusions 8θ 0, θ Piê4, θ Pi ê2, θ Piê4, θ Pi<, Mesh All, ColorFunction "BlueGreenYellow"D, 8r, 0, 1, 1.01<D : > Άσκηση 4. (2 µονάδες) Πρόβληµα αποκατάστασης θερµικής ισορροπίας σε τοίχο όπου οι πλευρές του έχουν σταθερή θερµοκρασία Μαθηµατική διατύπωση του προβλήµατος: Η εξίσωση: u t - 1 4 u xx =0, 0< x <, t > 0 (1) Οι Συνοριακές Συνθήκες: u(0,t) = -100 (2) u(,t) = -1 () Η Αρχική Συνθήκη: u(x,0)=2x-1, 0 <x < (4) Παρατηρώ ότι δεν εξαρτάται από τον χρόνο, αλλά µόνο το χώρο, άρα ασυµπτωτικά δεν πρέπει να επηρεάζεται απ' το χρόνο, δηλαδή: t Ø v (x, t) = k( x) και t khxl = 0. οπότε k xx Hx, tl = 0 kh0l= -100 khl = -1 ó k( x) = x -100 Clear@"Global` "D; s1 = k@0d == 100; s2 = k@d == 1; DSolve@8k''@xD 0, s1, s2<, k@xd, xd 88kHxLØ x-100<<

Manaras_Nikolaos_ergasia5.nb 1 Οπότε u(x,t) = v(x,t) k(x) µε αντικατάσταση στο αρχικό πρόβληµα έχουµε v t - 1 4 v xx - k xx = 0 vh0, tl kh0l = -100 ó vh, tl khl = -1 vhx, 0L khxl = 2 x-1 k@x_d := x 100 g@x_d := 2x 1 k@xd 4 v t Hx, tl = v xx Hx, tl H5L vh0, tl = 0 vh, tl = 0 vhx, 0L = 2 x-1 - khxl = ghxl Με τη µέθοδο χωρισµού των µεταβλητών αναζητούµε λύση του προβλήµατος (5)-(8) στη µορφή v(x,t)=x(x)t(t) (9) και αντικαθιστώντας στην (5) παίρνουµε: 4ΧΤ =X Τ ñ Χ = 4Τ =-λ, λ>0 (10) Χ Τ διότι η χρονική εξίσωση Τ =-4λΤ θα έχει λύση το φθίνον εκθετικό T(t)= e -λt 4. (11) DSolve@4T'@tDλT@tD 0, T@tD, td ::THtLØc 1 - tλ 4 >> Ως προς τη χωρική συνάρτηση Χ(x), η (5) δίνει: Χ λχ = 0 (12) Επειδή λ>0, Έστω λ=n 2,τότε λαµβάνοντας υπόψη και την ΣΣ (6) έχουµε: DSolveA9X''@xDn 2 X@xD 0, X@0D 0 =, X@xD, xe 88XHxLØc 2 sinhn xl<< µε ιδιολύσεις: Χ n (x) = B n sinnx (1) Από τη Σ.Σ.2 u(,t) = 0 ñ sinn = 0 ñ n = kπ ñ n= kπ, k=1,2,..., (οπότε λ= k2 π 2 9 ) Άρα Χ n (x) = B n sin( nπx ) (14) Οπότε παίρνουµε τις χωριζοµένες λύσεις: v(x,t) = c n e - n2π2 t 6 sin( nπx ) (15) Για να ικανοποιήσουµε την Α.Σ. (8) v(x,0)=g(x) παίρνουµε µε υπέρθεση τη λύση v(x,t) = Σ cn e - n2 π 2 t 6 sin( nπx ) (16) n=1 και επειδή v(x,0)=g(x) cn sini nπx v(x,0)= Σ ) = g(x) (17) n=1 θα αναπτύξουµε τη συνάρτηση g(x) σε ηµιτονική σειρά Fourier αn sini nπx Είναι g(x) = Σ ) (18) n=1 όπου α n = 2 Ÿ nπx 0 ghxl sini N x,n>0 (19) Και λόγω ορθογωνιότητας του συνόλου 9 sini nπx M= n=1 TrigId = 8Cos@Pin_D H 1L n, Sin@Pin_D 0<; η (17) έπεται ότι cn = a n c n_ := 2 IntegrateBg@xDSinBn π x F, 8x, 0, <F c n ê. TrigId - 6H2πH-1Ln n-πnl π 2 n 2 H6L H7L H8L

14 Manaras_Nikolaos_ergasia5.nb c1 = Table@c n, 8n, 1, 20<D ListPlot@c1D c 0 : 210 π, 9 π, 70 π, 9 2π, 42 π, 1 π, 0 π, 9 4π, 70 π, 9 5π, 210 11π, 1 2π, 210 1π, 9 7π, 14 π, 9 8π, 210 17π, 1 π, 210 19π, 9 10π > 0 25 20 15 10 5 0 v@x_, t_d := 5 10 15 20 ModuleB8term1, res<, term1 = c1 TableBExpB n2 Pi 2 t n Pi x F SinB F, 8n, 1, 20<F; 6 v@ x, td res = Apply@Plus, term1d; Return@resDF 210 -π2 t 6 sini π x M π 1 -π2 t sinh2π xl π 210-121π2 t 9-64π2 t 6 sinj 11πx 11π 9 sinj 16πx 8π 9 -π2 t 9 sinj 2πx N N π 0-49π2 t 6 sinj 7πx N π π 2 t 70-4 sinhπ xl 9-4π2 t π 1-4π2 t sinh4π xl 2π N 210-289π2 t 17π u@x_, t_d := v@x, tdk@xd 6 sinj 17πx 9-16π2 t 9 sinj 8πx N N 4π 210-169π2 t 1π 9 sinj 4πx 2π 6 sinj 1πx 1-9π2 t sinh6π xl π N 42-25π2 t 6 sinj 5πx N 9π 2 t 70-4 sinhπ xl 9-25π2 t π N 9-49π2 t 7π 210-61π2 t 19π π 9 sinj 14πx 6 sinj 19πx N 9 sinj 10πx 5π N 25π 2 t 14-4 sinh5π xl π N 9-100π2 t 10π 9 sinj 20πx N

Manaras_Nikolaos_ergasia5.nb 15 ToPlot = Table@u@x, td, 8t, 0, 0.5, 0.5 ê20<d; mystyle = Table@GrayLevel@iD, 8i, 0, 0.5, 0.5 ê 20<D; Plot@Evaluate@ToPlotD, 8x, 0, <, PlotRange All, PlotStyle mystyled 20-20 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5.0-40 -60-80 -100 H Παρακάτω βλέπουµε πως κατανέµεται η θερµοκρασία µε το πέρασµα του χρόνου L DensityPlot@u@x, td, 8x, 0, <, 8t, 0, 0.5<, ColorFunction Hue, PlotPoints 0, Mesh 10D Και η λύση του ΠΑΣΤ (1)-(4) είναι η σειρά u(x,t) = Σ cn e - n2 π 2 t 6 sin( nπx ) x -100, µε c n=1 n= - 6H2πH-1Ln n-πnl π 2 n 2 Για θεωρητικά άπειρο χρόνο οπότε και θα επέλθει η κατάσταση θερµικής ισορροπίας η θερµοκρασία του τοίχου θα είναι σταθερή και ίση µε τη µέση τιµή της αρχικής θερµοκρασιακής κατανοµής, δηλαδή θα είναι ίση µε x-100. Πράγµατι: Limit@u@x, td, t InfinityD x-100

16 Manaras_Nikolaos_ergasia5.nb ü Β' τρόπος Clear@"Global` "D; H ορίζουµε τις σταθερές L c = 1 4 ; p = ; T0 = 100; T1 = 1; H και την συνάρτηση fhxl της αρχικής συνθήκης L f@x_d := 2x 1 H Η λύση khxl της σταθερής κατάστασης L k@x_d := T0 T1 T0 x p λ n_ := nπ 2 H Οι συντελεστές L c n_ := 2 p NIntegrateBHf@xD k@xdlsinbnπx F, 8x, 0, p<f p H Η προσεγγιστική λύση L 20 uapprox@x_, t_d := k@xd c n SinB nπx p FExp@ λ n tcd n=1 Table@8n, c n <, 8n, 1, 20<D êê TableForm 1 66.8451 2 29.6028 22.2817 4 14.8014 5 1.69 6 9.86761 7 9.549 8 7.4007 9 7.4272 10 5.92056 11 6.0768 12 4.98 1 5.1419 14 4.22897 15 4.4564 16.7005 17.9206 18.2892 19.51816 20 2.96028 H Παρατηρούµε ότι καθώς το t, uhx,tl khxl L Limit@uapprox@x, td, t D. x-100.

Manaras_Nikolaos_ergasia5.nb 17 ToPlot = Table@uapprox@x, td, 8t, 0, 0.5, 0.5 ê20<d; mystyle = Table@GrayLevel@iD, 8i, 0, 0.5, 0.5 ê 20<D; Plot@Evaluate@ToPlotD, 8x, 0, <, PlotRange All, PlotStyle mystyled 20-20 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5.0-40 -60-80 -100 H Παρακάτω βλέπουµε πως κατανέµεται η θερµοκρασία µε το πέρασµα του χρόνου L DensityPlot@uapprox@x, td, 8x, 0, <, 8t, 0, 0.5<, ColorFunction Hue, PlotPoints 0, Mesh 10D

18 Manaras_Nikolaos_ergasia5.nb Άσκηση 5. (1 µονάδα) Η εξίσωση: u t = u xx, 0< x <π, t > 0 (1) Οι Συνοριακές Συνθήκες: u x (0,t) = 0 (2) u x (π,t) = 0 () Η Αρχική Συνθήκη: u(x,0) = x 2, 0 <x < π (4) Οι Συνοριακές Συνθήκες 2, εξασφαλίζουν µηδενική ροή θερµότητας λόγω µόνωσης στις επιφάνειες. Αναζητούµε τις λύσεις της χωριζοµένης µορφής: u(x,t)=x(x)t(t) (5) και αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουµε: ΧΤ =X Τ και διαιρώντας µε u(x,t)=x(x)t(t) Χ =-λ, λ>0 Χ Τ (6) Από όπου παίρνουµε τελικά τις Τ λτ = 0 (7) µε ιδιολύσεις: T(t)= e -λt. (8) Clear@"Global` "D; DSolve@T'@tDλT@tD 0, T@tD, td 99THtLØc 1 -tλ == Ως προς τη χωρική συνάρτηση Χ(x), η (6) δίνει: Χ λχ = 0 (11) Χ'(0) = 0 και Χ (π) = 0 (12) Επειδή λ>0, Έστω λ=k 2, έχουµε: DSolveA9X''@xDk 2 X@xD 0, X'@0D 0 =, X@xD, xe 88XHxLØc 1 coshk xl<< Και για Χ (π)=0 παίρνουµε: c 1 sin(kπ)=0 ó sin(kπ) =0 ó kπ = nπ ó k = n, n=0,1,2... Τελικά : Χ n (x) = cos(nx), λ n = n 2, n=0,1,2,... Οπότε η γενική λύση που ικανοποιεί τις Σ.Σ µε υπέρθεση είναι : u(x,t) = Σ cn e -λ n t cos(nx) = Σ cn e -n2 t cos(nx) n=0 n=0 (1) Για να ικανοποιήσουµε την Α.Σ. (4) uhx, 0L= x 2 παίρνουµε: u(x,0) = Σ cn e -n2 t cos(nx) t=0 = Σ cn cos(nx) = x 2 n=0 n=0 (14) θα αναπτύξουµε τη συνάρτηση σε συνηµιτονική σειρά Fourier Pi c 0 = 1 Pi x 2 x; 0 TrigId = 8Cos@Pi n_d H 1L^n, Sin@Pi n_d 0 <; c n_ = 2 Pi 0 Pi x 2 Cos@n xd x; c n = c n ê. TrigId; Print@"µε c 0 = ", c 0, " και c n = ", c n D µε c 0 = π2 και c n = 4H-1Ln n 2 Και η λύση του προβλήµατος (1)-(4) θα είναι τελικά η σειρά u(x,t) = π2 Σ cn e -n2 t cos(nx), µε c n = 4H-1Ln n=1 n 2

Manaras_Nikolaos_ergasia5.nb 19 c1 = Table@c n, 8n, 1, 20<D ListPlot@c1D :-4, 1, - 4 9, 1 4, - 4 25, 1 9, - 4 49, 1 16, - 4 81, 1 25, - 4 121, 1 6, - 4 169, 1 49, - 4 225, 1 64, - 4 289, 1 81, - 4 61, 1 100 > 0.2 0.1-0.1 5 10 15 20-0.2-0. d n_ := 4 H 1Ln n 2 u@x_, t_, N_D := c 0 SumAd n Cos@nxDExpA n 2 te, 8n, 1, N<E u@x, t, 20DH Η λύση χρησιµοποιώντας τους 20 πρώτους όρους L -4 -t coshxl -4 t cosh2 xl- 4 9-9 t cosh xl 1 4-16 t cosh4 xl- 4 4 49-49 t cosh7 xl 1 1 6-144 t cosh12 xl- 4 4 289-289 t cosh17 xl 1 16-64 t cosh8 xl- 4 169-169 t cosh1 xl 1 81-24 t cosh18 xl- 4 81-81 t cosh9 xl 1 49-196 t cosh14 xl- 4 61-61 t cosh19 xl 1 25-25 t cosh5 xl 1 9-6 t cosh6 xl- 25-100 t cosh10 xl- 4 225-225 t cosh15 xl 1 121-121 t cosh11 xl 100-400 t cosh20 xl π2 64-256 t cosh16 xl- ContourPlot@u@x, t, 20D, 8x, 0, Pi<, 8t, 0, 0.5<, ColorFunction "DarkRainbow"D

20 Manaras_Nikolaos_ergasia5.nb DensityPlot@u@x, t, 20D, 8x, 0, Pi<, 8t, 0, 0.5<, ColorFunction Hue, PlotPoints 0, Mesh 10 D T1 = Table@u@x, t, 20D, 8t, 0, 0.5, 0.5 ê20<d; Plot@Evaluate@T1D, 8x, 0, Pi<D 8 6 4 2 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5.0

Manaras_Nikolaos_ergasia5.nb 21 ü Β' τρόπος Clear@"Global` "D; H ορίζουµε τις σταθερές L c = 1; p = Pi; H και την συνάρτηση fhxl της αρχικής συνθήκης L f@x_d := x 2 λ n_ := n 2 H Οι συντελεστές L c 0 = 1 Pi 0 Pi f@xd x; c n_ := 2 p NIntegrateBf@xDCosBnπx F, 8x, 0, p<f p H Η προσεγγιστική λύση L 20 uapprox@x_, t_d := c 0 c n CosB nπx p FExp@ λ n td n=1 Table@8n, c n <, 8n, 1, 20<D êê TableForm 1-4. 2 1. -0.444444 4 0.25 5-0.16 6 0.111111 7-0.081627 8 0.0625 9-0.049827 10 0.04 11-0.00579 12 0.0277778 1-0.026686 14 0.0204082 15-0.0177778 16 0.015625 17-0.018408 18 0.012457 19-0.011080 20 0.01

22 Manaras_Nikolaos_ergasia5.nb ToPlot = Table@uapprox@x, td, 8t, 0, 0.5, 0.5 ê20<d; mystyle = Table@GrayLevel@iD, 8i, 0, 0.5, 0.5 ê 20<D; Plot@Evaluate@ToPlotD, 8x, 0, Pi<, PlotStyle mystyled 8 6 4 2 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5.0 H Παρακάτω βλέπουµε πως κατανέµεται η θερµοκρασία µε το πέρασµα του χρόνου L DensityPlot@uapprox@x, td, 8x, 0, Pi<, 8t, 0, 0.5<, ColorFunction Hue, PlotPoints 0, Mesh 10D

Manaras_Nikolaos_ergasia5.nb 2 ContourPlot@uapprox@x, td, 8x, 0, Pi<, 8t, 0, 0.5<, ColorFunction "DarkRainbow"D Άσκηση 6. (2 µονάδες) Θα λύσουµε το παρακάτω ΠΑΣΤ u t (x,t) = u xx (x,t), - < x <, t>0 (1) u(x,0) = f(x) (2) 100 x < 1 όπου f(x) = 0 διαφορετικά Εφαρµόζουµε µετασχηµατισµό Fourier στο ΠΑΣΤ (1), (2) και έχουµε F{u(x,t)}(λ,t) = ū (λ,t) = 1 2π Ÿ - e iλx uhxl x F 8u xx (x,t)}(λ,t) = -λ 2 ū (λ,t) - F 8u t (x,t)}(λ,t) = u t (λ,t). Τότε η (1) γίνεται - (λ,t) λ 2 ū (λ,t) = 0, - < x <, t>0 (4) u t η αρχική συνθήκη (2) γίνεται ū(λ,0) = f - (λ) (5) Η Σ Ε έχει γενική λύση: Clear@"Global` "D; DSolveA t u@λ, tdλ 2 u@λ, td 0, u@λ, td, te 99u@λ, tdøc 1 -tλ2 == (5) ïū (λ,t) = f - (λ) tλ2 Αντιστρέφουµε τον µετασχηµατισµό Είναι u(x,t) = F -1 8 ū (λ,t)} = F -1 { f - (λ) e -λ2 t } (x,t) = Είναι f - (λ) = F{f(x)} και

24 Manaras_Nikolaos_ergasia5.nb Θα είναι δηλαδή : e -λ2 t = F { e- x 2 4 t 2 t Από το θεώρηµα της συνέλιξης για το µετασχηµατισµό Fourier έχουµε u(x,t) = f(x) * e - x2 4 t 2 t = 1 2π } Ÿ - fhx- ylÿ e - Clear@"Global` "D; f@x_d := If@ 1 < x < 1, 100, 0D u@x_, t_d = y 2 4 t 2 t y = 1 2 tπ Ÿ - fhx- ylÿ e - y2 J1í J2 Pi t NN Integrate@f@x yd Exp@ y^2êh4 tld, 8y,, <, Assumptions t > 0D 4 t y -50 erf x-1 2 t - erf x1 2 t o1 = 1ì K2 π t O Integrate@100 ^H y^2êh4 tll, 8y, 1, 1<, Assumptions t > 0D 100 erf 1 2 t Plot@o1, 8t, 0, 100<D 20 15 20 40 60 80 100 H Μερικά γραφήµατα της λύσης L graphs = Table@ Plot@u@x, td, 8x, 6, 6<, PlotRange 80, 101<, Ticks > 88 2, 2<, 80, 105<<D, 8t, 0.1, 10, 0.5<D; HowToShow = Partition@graphs, 4D; Show@GraphicsArray@HowToShowDD -2 2-2 2-2 2-2 2-2 2-2 2-2 2-2 2-2 2-2 2-2 2-2 2-2 2-2 2-2 2-2 2-2 2-2 2-2 2-2 2

Manaras_Nikolaos_ergasia5.nb 25 Manipulate@ Plot@u@x, td, 8x, 6, 6<, Ticks AutomaticD, 8t, 0.1, 15<D t 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2-6 -4-2 2 4 6 Εποµένως η λύση της εξίσωσης της θερµότητας για τµηµατικά σταθερή αρχική συνθήκη: 1 temp@x_, t_d := WithB:η = >, HErf@Hx1LηD Erf@Hx 1LηDLê2F 2 t Ένας έλεγχος ότι η λύση ικανοποιεί την εξίσωση της θερµότητας D@temp@x, td, td == D@temp@x, td, x, xd êê Simplify True Γραφική της λύσης για διάφορες τιµές του χρόνου: Plot@Evaluate@8temp@x, 0.01D, temp@x, 0.2D, temp@x, 0.6D, temp@x, 1.5D<D, 8x, 6, 6<D 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2-6 -4-2 2 4 6

26 Manaras_Nikolaos_ergasia5.nb ü β' τρόπος Clear@"Global` "D; f@x_d := If@ 1 < x < 1, 100, 0D fhat@λ_d = FourierTransform@f@xD, x, λd uhat@λ_, t_d = fhat@λd ExpA λ 2 te 100 2 π -tλ2 sinhλl λ 100 2 π sinhλl λ u@x_, t_d = InverseFourierTransform@uhat@λ, td, λ, xd 50ÂHlogHÂ x-âl-loghâ xâl-loghx-1lloghx1ll π Manipulate@ Plot@u@x, td, 8x, 6, 6<, Ticks AutomaticD, 8t, 0, 0.05, 0.05 ê1000<d t 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2-6 -4-2 2 4 6

Manaras_Nikolaos_ergasia5.nb 27 graphs = Table@ Plot@u@x, td, 8x, 6, 6<, PlotRange 80, 101<, Ticks > 88 2, 2<, 80, 105<<D, 8t, 0, 15<D; HowToShow = Partition@graphs, 4D; Show@GraphicsArray@HowToShowDD Plot@u@x, 0D, 8x, 6, 6<, PlotRange 80, 101<, Ticks > 88 2, 2<, 80, 105<<D -2 2-2 2-2 2-2 2-2 2-2 2-2 2-2 2-2 2-2 2-2 2-2 2-2 2-2 2-2 2-2 2-2 2 Αναφορές - Πηγές è Σ. Τραχανάς, "Μερικές ιαφορικές εξισώσεις", ΠΕΚ,2007 è Γ. άσιος, "Μερικές ιαφορικές εξισώσεις", 1994 Υπεύθυνη ήλωση Βεβαιώνω ότι είµαι συγγραφέας αυτής της εργασίας και ότι κάθε βοήθεια την οποία είχα για την προετοιµασία της είναι πλήρως αναγνωρισµένη και αναφέρεται στην εργασία στην ενότητα Αναφορές/Πηγές. Επίσης έχω αναφέρει τις όποιες πηγές από τις οποίες έκανα χρήση δεδοµένων, ιδεών ή λέξεων, είτε αυτές αναφέρονται ακριβώς είτε παραφρασµένες. Επίσης βεβαιώνω ότι αυτή η εργασία προετοιµάστηκε από εµένα προσωπικά ειδικά για τη συγκεκριµένη Θεµατική Ενότητα ΜΣΜ61 «Υπολογιστικές Μέθοδοι και Λογισµικό στα Μαθηµατικά». Ηµεροµηνία υποβολής: 10/04/2011 Τόπος:Θεσσαλονίκη Ο ηλών Νικόλαος Μανάρας (Α.Μ. 52209.)