ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Λ. Περιβολαροπουλος ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWELL Σκοπός Το κεφάλαιο αυτό έχει τέσσερις βασικούς στόχους. Πρώτον, τη ελέτη των εξισώσεων του Maxwell στην τελική τους ορφή, όπου περιλαβάνεται και το ρεύα ετατόπισης. εύτερον, την επεξήγηση της χρήσης του βαθωτού και διανυσατικού δυναικού στην απλοποίηση των εξισώσεων του Maxwell. Τρίτον, τον ορισό της ενέργειας και της ορής του ηλεκτροαγνητικού πεδίου και την απόδειξη της αντίστοιχης εξίσωσης συνέχειας. Τέταρτον, τη ελέτη των βασικών χαρακτηριστικών των ηλεκτροαγνητικών κυάτων στο κενό και την απόδειξη της κυατικής εξίσωσης από τις εξισώσεις του Maxwell. Προσδοκώενα αποτελέσατα Με την ολοκλήρωση της ελέτης του κεφαλαίου, θα πορείτε να: προσδιορίσετε τη σχέση του ρεύατος ετατόπισης ε την εξίσωση της συνέχειας για το ηλεκτρικό φορτίο προσδιορίσετε πώς αλλάζει η σχέση εταξύ βαθωτού δυναικού και ηλεκτρικού πεδίου σε η στατικά συστήατα αναφέρετε τη χρησιότητα του ετασχηατισού βαθίδας και το είδος των προβληάτων στα οποία χρησιοποιείται η βαθίδα Coulomb δικαιολογήσετε γιατί είναι συνήθως ευκολότερη η λύση των εξισώσεων που αφορούν τα δυναικά από τις αντίστοιχες εξισώσεις που αφορούν τα πεδία (Maxwell) προσδιορίσετε τις συνοριακές συνθήκες των εξισώσεων Maxwell στην ύλη Σηειώσεις-Εξισώσεις Maxwell, Λ. Περιβολαρόπουλος
δικαιολογήσετε την καθετότητα εταξύ του ηλεκτρικού και του αγνητικού πεδίου στα ηλεκτροαγνητικά κύατα. Έννοιες κλειδιά ρεύα ετατόπισης εξίσωση συνέχειας βαθωτό και διανυσατικό δυναικό ετασχηατισός βαθίδας ενέργεια-ορή ηλεκτροαγνητικού πεδίου ηλεκτροαγνητικά κύατα ρεύα ενέργειας ΕΝΟΤΗΤΑ 9.1: Ρεύα ετατόπισης Οι εξισώσεις του Maxwell είναι οι διαφορικές εξισώσεις που ελετήσαε στα προηγούενα κεφάλαια οι οποίες συνδέουν το ηλεκτρικό πεδίο E( x, t), το αγνητικό πεδίο B( x, t) και τις πηγές τους, τις πυκνότητες φορτίου ( x ρ, t) και ρεύατος J ( x, t). Στο κενό (έξω από διηλεκτρικά και αγνητικά υλικά) οι εξισώσεις που βρήκαε έχουν τη ορφή: ρ E (9.1) ε B (9.) B E (9.3) B J (9.4) Επιπλέον, ισχύει η εξίσωση της συνέχειας, που αναφέρεται στην τοπική διατήρηση του φορτίου: Η ροή του φορτίου έξω από δεδοένο όγκο ισούται ε τη είωση του φορτίου στο εσωτερικό του. Σε διαφορική ορφή η εξίσωση της συνέχειας γράφεται ως: ρ J (9.5)
Οι εξισώσεις του Maxwell (9.1)-(9.4) είναι συβατές ε την εξίσωση της συνέχειας (9.5) όνο στο όριο που τα πεδία E και B είναι στατικά. Πραγατικά, παίρνοντας την απόκλιση της (9.4) {νόος του Ampere} και χρησιοποιώντας το γεγονός ότι παίρνουε: που είναι συβατή ε την (9.5) όνο αν αν δηλαδή το ηλεκτρικό πεδίο είναι στατικό. B (9.6) ( ) J (9.7) ρ E ε (9.8) Στη γενική περίπτωση χρονικά εξαρτώενων πεδίων, η (9.4) {νόος του Ampere} πρέπει να αλλάξει για να είναι συβατή ε την εξίσωση της συνέχειας (9.5). Η γενικευένη ορφή του νόου του Ampere για χρονικά εξαρτώενα πεδία είναι: E B J + ε (9.9) Ο γενικευένος νόος του Ampere που διατύπωσε ο Maxwell (νόος Ampere-Maxwell) E περιέχει τον επιπλέον όρο ε ώστε να είναι συβατός ε την εξίσωση της συνέχειας (9.5). Πραγατικά, παίρνοντας την απόκλιση της (9.9) έχουε: J + ε E ρ + J ε (9.1) ε όπου χρησιοποιήσαε το νόο του Gauss. Η εξίσωση (9.1) προφανώς ταυτίζεται ε την εξίσωση της συνέχειας (9.5). Ο επιπλέον όρος στο νόο Amper-Maxwell δηλώνει ότι ένα εταβαλλόενο ηλεκτρικό πεδίο δρα ως πηγή αγνητικού πεδίου και λέγεται ρεύα ετατόπισης, J D : J D E D ε (9.11)
όπου D εe είναι το πεδίο ετατόπισης στο κενό. Ο νόος Ampere-Maxwell, εποένως, γράφεται: B J + J ( ) D (9.1) και σε ολοκληρωτική ορφή: B dl ( J+ J D) da ( I+ I D) (9.13) c s Ρεύατα ετατόπισης πορεί να παρατηρηθούν πειραατικά, π.χ. σε κύκλωα φόρτισης πυκνωτή (Σχήα 9.1). Σχήα 9.1: Ρεύα ετατόπισης κατά τη φόρτιση πυκνωτή
Κατά τη φόρτιση του πυκνωτή, το ρεύα που διαρρέει τους αγωγούς που συνδέονται ε τον πυκνωτή είναι: dq( t) I (9.14) dt όπου Q(t) το φορτίο στους οπλισούς του πυκνωτή. Το ρεύα ετατόπισης είναι: ( σ ε ) Ε dq ε dt ID ε A A (9.15) όπου σ η επιφανειακή πυκνότητα φορτίου στους οπλισούς του πυκνωτή και Α η επιφάνεια των οπλισών. Από τις (9.14) και (9.15) προκύπτει πως Ι Ι D (9.16) ηλαδή, το ρεύα φορτίου συνεχίζεται κατά τη φόρτιση του πυκνωτή στο χώρο εταξύ των οπλισών ως ρεύα ετατόπισης. Το αποτέλεσα αυτό είναι συβατό ε την ολοκληρωτική ορφή του νόου Ampere-Maxwell (9.13). Η επιφάνεια S στην επιφανειακή ολοκλήρωση πυκνότητας ρεύατος στην (9.13) είναι αυθαίρετη αρκεί να έχει ως όριο το βρόχο C γύρω από τους ρευατοφόρους αγωγούς. Έτσι, πορούε να επιλέξουε SS α, όπου S α επιφάνεια που τένει το ρευατοφόρο αγωγό, ή S Sb, όπου b S επιφάνεια που δεν τένει τους αγωγούς αλλά διέρχεται από το χώρο εταξύ των οπλισών του πυκνωτή (δείτε Σχήα 9.1). Για την αυτοσυνέπεια της (9.13) θα πρέπει: B dl J da J D da (9.17) αφού από την επιφάνεια διέρχεται όνο ρεύα ετατόπισης. Εποένως, από την (9.17) έχουε: που είναι σε συφωνία ε την (9.16). C Sa Sb S a διέρχεται όνο ρεύα φορτίων, ενώ από την επιφάνεια B dl I Ι D (9.18) C S b
Άσκηση αυτοαξιολόγησης 9.1 Όταν ο διακόπτης του σχήατος κλείνει, ρεύα I ( t ) ρέει στο κύκλωα και φορτία ± Q( t) συγκεντρώνονται στους οπλισούς του πυκνωτή. Σχήα 9. Θεωρήστε κλειστή καπύλη Γ γύρω από το σύρα όπως φαίνεται στο Σχήα 9.. Οι επιφάνειες S 1 και S έχουν ως όριο την καπύλη Γ. (Η S έχει το σχήα δοχείου και η S 1 αντιστοιχεί στο καπάκι του δοχείου.) είξτε ότι το ρεύα έσω της S 1 ισούται ε το ρεύα ετατόπισης έσω της S. ΕΝΟΤΗΤΑ 9.: ιανυσατικό και βαθωτό δυναικό Στην ηλεκτροστατική ορίσαε το βαθωτό δυναικό V( x ) και το διανυσατικό δυναικό A(x), τα οποία ικανοποιούν συγκεκριένες διαφορικές εξισώσεις: A J (9.19) V ρ ε (9.) Από τα δυναικά αυτά πορούε να υπολογίσουε το ηλεκτρικό πεδίο Ε ( x, t) και το αγνητικό πεδίο B( x, t) ε τις σχέσεις: E V (9.1) B A (9.) Τα πλεονεκτήατα εισαγωγής των δυναικών αυτών είναι η σχετική απλότητα των διαφορικών εξισώσεων τις οποίες υπακούουν και η είωση του αριθού των
συνιστωσών, που πρέπει να υπολογιστούν από 6 για τα πεδία B και E σε 4 για τα δυναικά V και A. Για χρονικά εταβαλλόενα πεδία, τα παραπάνω πλεονεκτήατα παραένουν, αλλά η σχέση εταξύ πεδίων και δυναικών αλλάζει ελαφρά σε σχέση ε τις (9.1), (9.). Η (9.) διατηρεί την ίδια ορφή όπως στη αγνητοστατική και γι αυτό πορούε και πάλι να γράψουε την (9.) ώστε να ικανοποιείται η (9.). Η (9.3) όως δεν έχει την ίδια ορφή όπως στην ηλεκτροστατική (λόγω του όρου και έτσι αντικατάσταση του E από την (9.1) δεν ικανοποιεί την (9.3). B ), Αντικαθιστώντας την (9.) στην (9.3), παίρνουε: A E + (9.3) και εποένως: A E + V (9.4) Βλέπουε, δηλαδή, ότι η σχέση εταξύ ηλεκτρικού πεδίου και βαθωτού δυναικού V ( x, t) δεν είναι η ίδια όπως στην ηλεκτροστατική, αλλά: A E V (9.5) t Ορίζοντας τα δυναικά A και Vε τις (9.) και (9.5), οι δύο εξισώσεις Maxwell (9.) και (9.3) ικανοποιούνται αυτόατα. Οι άλλες δύο εξισώσεις (9.1) και (9.9) οδηγούν σε νέες διαφορικές εξισώσεις για τα A( x, t) και V ( x,t). ΕΝΟΤΗΤΑ 9.3: Μετασχηατισοί βαθίδας Πριν δούε τις εξισώσεις αυτές, θα ελετήσουε τους ετασχηατισούς βαθίδας όπως ισχύουν στην περίπτωση που τα πεδία είναι χρονικά εξαρτώενα. Όπως σε στατικά συστήατα, έτσι και σε χρονικά εξαρτώενα υπάρχει ια αυθαιρεσία στον ορισό των δυναικών: σε δεδοένο ηλεκτρικό και αγνητικό πεδίο αντιστοιχεί ια απειρία διαφορετικών δυναικών Aκαι V.
Πραγατικά, αν θεωρήσουε δυναικά A και V που αντιστοιχούν σε δεδοένα πεδία E και Β έσω των (9.) και (9.5), τότε και τα δυναικά A A + f (9.6) [όπου f ( x, t) f V ' V (9.7) t αυθαίρετη συνάρτηση] οδηγούν στα ίδια πεδία Eκαι Β. Πραγατικά, από την (9.) έχουε: A' A + f A B και από την (9.5): A' f A A V ' V + f V E (9.8) (9.9) Η αναλλοιότητα των πεδίων κάτω από τους γενικούς ετασχηατισούς βαθίδας (9.6) και (9.7) αποτελεί τη συετρία βαθίδας (gange symmetry) στον ηλεκτροαγνητισό. Η συετρία αυτή χρησιεύει στην απλοποίηση πολλών προβληάτων. Ειδική περίπτωση συετρίας βαθίδας στην ηλεκτροστατική αποτελεί η αυθαιρεσία στον ορισό του βαθωτού δυναικού αναφορικά ε την προσθήκη ιας αυθαίρετης σταθεράς C (το V ' V + C δίνει το ίδιο E όπως και το V). 9.3.1 Επιλογές βαθίδας Πριν γράψουε τις διαφορικές εξισώσεις που ικανοποιούν τα δυναικά A και V, είναι χρήσιο να χρησιοποιήσουε τη συετρία βαθίδας και να επιβάλουε συγκεκριένες συνθήκες στα δυναικά, περιορίζοντας έτσι την αυθαιρεσία στον ορισό τους, αλλά απλοποιώντας συγκεκριένες κατηγορίες προβληάτων. Η επιβολή των επιπλέον αυτών συνθηκών λέγεται επιλογή βαθίδας. Ένα παράδειγα επιλογής βαθίδας που χρησιοποιείται σε στατικά συστήατα είναι η βαθίδα Coulomb. Στη βαθίδα Coulomb η συνθήκη που επιβάλλεται είναι: A (9.3) Η συνθήκη (9.3) εξαφανίζει την αυθαιρεσία στην επιλογή των δυναικών, διότι, αν το A ικανοποιεί την (9.3), τότε, για να την ικανοποιεί και το A ' που παράγεται από την (9.6), θα πρέπει f. Θεωρώντας, επιπλέον, τις συνοριακές συνθήκες που πρέπει
να ικανοποιούν τα A και A (ίδιες και για τα δύο), οδηγούαστε ότι η f πρέπει να είναι ια σταθερά, και εποένως τα Aκαι A ταυτίζονται. Εποένως, ε δεδοένες πηγές και συνοριακές συνθήκες, υπάρχει όνο ένα A( x, t) δίνει τα σωστά πεδία και ικανοποιεί και την (9.3). Το ίδιο ισχύει και για το βαθωτό δυναικό V ( x, t), αφού η f είναι σταθερά. Στη βαθίδα Coulomb έχουε A, οπότε ο νόος του Gauss οδηγεί στην απλή εξίσωση ρ V ( x, t) ε που (9.31) χρησιοποιώντας την (9.1), την (9.5) και την (9.3). Η χρονικά εξαρτώενη ορφή της (.) αποτελεί τη λύση της (9.31), δηλαδή: 3 1 ρ( x, t) d x ' V ( x, t) 4 πε (9.3) x x ' Η ορφή του A ( x, t) είναι αρκετά περίπλοκη στη βαθίδα Coulomb σε χρονικά εξαρτώενα προβλήατα, γι αυτό η βαθίδα αυτή χρησιοποιείται σε στατικά προβλήατα. Για την ανάλυση χρονικά εξαρτώενων συστηάτων ε πηγές πιο χρήσιη είναι η βαθίδα Lorentz, όπου η συνθήκη βαθίδας (gauge condition) είναι της ορφής: V A ε (9.33) Στη βαθίδα αυτή οι εξισώσεις του Maxwell (9.1) και (9.9) απλοποιούνται, γιατί τα V και A αποσυνδέονται εταξύ τους και ικανοποιούν ξεχωριστές εξισώσεις. Από την (9.1) έχουε: E V ( A) V V ρ + ε ε (9.34) όπου χρησιοποιήσαε την (9.5) και την (9.33). Όοια, από το νόο Ampere-Maxwell (9.9) έχουε:
( ) ( ) ( V ) A A A ε A Ε Α E J + ε Α A + ε J ε + ε A όπου χρησιοποιήσαε διαδοχικά την (9.33), την (9.5) και την (9.9). (9.35) Βλέπουε, δηλαδή, ότι τα V και A ικανοποιούν αυτόνοες αλλά παρόοιες διαφορικές εξισώσεις. Αν δεν καθορίζαε συνθήκες βαθίδας, οι διαφορετικές εξισώσεις που προκύπτουν για τα A και V είναι συνδεδεένες και περίπλοκες. ΕΝΟΤΗΤΑ 9.4: Εξισώσεις Maxwell στην ύλη Ο νόος του Gauss για χρονικά εξαρτώενα συστήατα έσα σε διηλεκτρικά παίρνει τη ορφή D ρ f (9.36) και είναι της ίδιας ορφής όπως για στατικά συστήατα. Άρα, η (9.1) παίρνει την αναενόενη ορφή στο εσωτερικό διηλεκτρικών. Οι επόενες δύο εξισώσεις του Maxwell (9.) και (9.3) δεν αλλάζουν ορφή στο εσωτερικό διηλεκτρικών ή αγνητικών υλικών, αφού είναι ανεξάρτητες από την ηλεκτρική και τη αγνητική διαπερατότητα. Ο νόος Ampere-Maxwell (9.9) όως υφίσταται αλλαγές στο εσωτερικό διηλεκτρικών. Αρκεί να αντικαταστήσουε τη αγνητική διαπερατότητα του κενού ε τη αγνητική διαπερατότητα του υλικού ( ) και αντίστοιχα για την ηλεκτρική διαπερατότητα (ε ε). Αυτό πορεί να γίνει κατανοητό ως εξής: Οι συνεισφορές στην πυκνότητα ρεύατος J πορεί να χωριστούν σε τρεις κατηγορίες: α) το ρεύα ελεύθερων φορτίων J f, β) το ρεύα δέσιων φορτίων J b, και γ) το ρεύα πόλωσης J p, που δεν εφανίζεται στη αγνητοστατική και οφείλεται στη ετακίνηση
φορτίων των στοιχειωδών διπόλων της ύλης λόγω χρονικά εταβαλλόενου ηλεκτρικού πεδίου. Το ρεύα πόλωσης ορίζεται ως: J p P (9.37) ενώ το J b είναι όπως στη αγνητοστατική: M (9.38) J b Ο ορισός (9.37) του ρεύατος πόλωσης προκύπτει και από την απαίτηση να ικανοποιείται η εξίσωση συνέχειας για τα φορτία πόλωσης. Από τον ορισό της πυκνότητας φορτίων πόλωσης (δέσιων φορτίων): ρ P και την (9.37) προκύπτει αέσως η τοπική διατήρηση των φορτίων πόλωσης ως: b J p ρb (9.39) (9.4) Εποένως, η ολική πυκνότητα ρεύατος στην ύλη γράφεται ως: J J + J + J f b p Χρησιοποιώντας τώρα την (9.41) στο νόο Ampere-Maxwell, έχουε: P Ε Β J f + Μ + + ε που πορεί να γραφτεί και ως: όπου και D Η J f + t Β Β Η Μ D ε Ε + P εε (9.41) (9.4) (9.43) (9.44) (9.45) Η (9.43) είναι η αναενόενη γενίκευση του νόου Ampere-Maxwell στο κενό. 9.4.1 Οριακές συνθήκες Οι οριακές συνθήκες που έχουε δείξει σε προηγούενα κεφάλαια για χρονικά ανεξάρτητα πεδία στην ύλη είναι:
D Β D1 σ F (9.46) Β1 (9.47) Ε // Ε1// Η Η Κ F n // ˆ 1// (9.48) (9.49) όπου, όπως προηγουένως, τα σύβολα και // συβολίζουν διανυσατικές συνιστώσες που είναι κάθετες και παράλληλες, αντίστοιχα, στην επιφάνεια S του ορίου, ενώ ˆn είναι οναδιαίο διάνυσα κάθετο στην S ε κατεύθυνση 1. Ακόα Κ F είναι η επιφανειακή πυκνότητα ρεύατος στην S (δείτε και τη σχέση 7.7). Οι επιπλέον όροι χρονικών παράγωγων πεδίων που δεν εφανίζονται σε στατικά συστήατα δε εταβάλλουν τις συνοριακές συνθήκες, διότι εταβάλλονται οαλά στο χώρο και δεν απειρίζονται πάνω στην S. Έτσι, τα επιφανειακά ολοκληρώατά τους ηδενίζονται στο όριο που η κάθετη στην επιφάνεια διάσταση και η αντίστοιχη επιφάνεια ολοκλήρωσης τείνει στο. ΕΝΟΤΗΤΑ 9.5: Ενέργεια και ορή ηλεκτροαγνητικών πεδίων Στις θεωρίες πεδίου, όπως είναι ο ηλεκτροαγνητισός, η πυκνότητα ενέργειας στο χώρο διατηρείται όχι όνο συνολικά, όπως στην κλασική ηχανική, αλλά και τοπικά, όπως η πυκνότητα φορτίου στο χώρο. Η πυκνότητα ενέργειας ικανοποιεί, δηλαδή, ια εξίσωση συνέχειας. Η εξίσωση αυτή της τοπικής διατήρησης της ενέργειας έχει τη ορφή: u u S κ (9.5) όπου S είναι η ροή ενέργειας (αντίστοιχα ε την πυκνότητα ρεύατος J ), u είναι η 1 1 πυκνότητα ενέργειας πεδίων ( u εε + Β ) και uκείναι η πυκνότητα κινητικής ενέργειας των φορτίων. Για να αποδείξουε την (9.5) και να βρούε την ακριβή ορφή των S και u, θα χρησιοποιήσουε τις εξισώσεις του Maxwell και το θεώρηα έργου-ενέργειας για να υπολογίσουε τη u κ.
Η εταβολή της κινητικής ενέργειας dk φορτίων ισούται ε το έργο της δύναης Lorentz: dk F dx F vdt (9.51) Από την (9.51) έχουε: αφού από τη δύναη Lorentz: dk dt u 3 3 k ( ) d x F q( Ε + v Β ) ρd x E v το αγνητικό πεδίο δεν παράγει έργο διότι είναι κάθετο στην ταχύτητα. Όως ρ ν J, και εποένως η (9.5) γράφεται: u k Ε J (9.5) (9.53) (9.54) Ξεκινώντας τώρα από την (9.54), θα «χτίσουε» την (9.5) χρησιοποιώντας τις εξισώσεις του Maxwell. Από το νόο Ampere-Maxwell έχουε: 1 Ε Ε J Ε ( Β) εε Ακόα, έχουε από ταυτότητα διανυσατικής ανάλυσης ότι Ε ( Β ) ( Ε Β) + Β ( Ε ) ( Ε Β ) Β Β όπου στην τελευταία ισότητα χρησιοποιήσαε το νόο του Faraday. (9.55) (9.56) Από τις (9.55) και (9.56) έχουε: 1 Ε J Ε Β 1 1 t ε Ε Β + (9.57) Συγκρίνοντας την (9.57) ε την (9.5) και χρησιοποιώντας την (9.44) για την πυκνότητα κινητικής ενέργειας, βλέπουε ότι η (9.57) αποτελεί την εξίσωση συνέχειας για την τοπική διατήρηση της ενέργειας, ε την προϋπόθεση ότι το «ρεύα ενέργειας» S είναι: 1 S ( Ε Β) (9.58)
Το «ρεύα ενέργειας» S που δίνεται από την (9.58) είναι γνωστό ως διάνυσα Poynting S. Επαναλαβάνοντας τον υπολογισό που οδήγησε στην (9.57) για την περίπτωση πεδίων έσα σε υλικά, πορούε πάλι να επαληθεύσουε την τοπική διατήρηση της ενέργειας (9.5), αλλά αυτή τη φορά θα πρέπει: 1 S Ε Β Ε Η (9.59) u εε + Β Ε D + Η Β 1 1 1 ( ) (9.6) Άσκηση αυτοαξιολόγησης 9. Θεωρήστε ευθύ κυλινδρικό σύρα ακτίνας r προσανατολισένο κατά ήκος του άξονα z που διαρρέεται από ρεύα σταθερής έντασης I. Προσδιορίστε την ολική ενέργεια ανά ονάδα ήκους του σύρατος. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 9.3 Αν το διάνυσα Poynting ενός επίπεδου κύατος είναι 5 W/m και το κύα διαδίδεται στο κενό, βρείτε τη έση πυκνότητα ενέργειάς του. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 9.4 Υπολογίστε το διάνυσα Poynting για ένα γραικά πολωένο επίπεδο κύα στο κενό. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 9.5 Το πεδίο ακτινοβολίας ιας κεραίας είναι B ( 1/ r) sin cos( t r) ϕ θ ω β και Eθ 377Bϕ. Προσδιορίστε τη ροή ενέργειας σε Watt έξω από τον όγκο που περιβάλλεται από σφαιρική επιφάνεια S ακτίνας r και κέντρο την πηγή. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 9.6 Από τη σχέση P ds J EdV (όπου P το διάνυσα Poynting) που προκύπτει V ως ειδική περίπτωση της (9.56) υπολογίστε την ολική ροή ενέργειας που εισέρχεται σε
κλειστή κυλινδρική επιφάνεια S που περικλείει ευθύγραο αγωγό ήκους l που διαρρέεται από ρεύα σταθερής έντασης Ι (Σχήα 9.3α). Σχήα 9.3 9.5.1 Ορή ηλεκτροαγνητικού πεδίου Όπως το ηλεκτροαγνητικό πεδίο έχει ενέργεια, έτσι έχει και η ορή η οποία διατηρείται τοπικά. Το ρεύα της ορής όως (που αντιστοιχεί στο ρεύα J για την πυκνότητα φορτίου και το διάνυσα Poynting S για την ενέργεια) είναι τανυστής ης τάξης. Η πυκνότητα ορής είναι: dρ dv em 1 ε S S (9.61) c σε αντιστοιχία ε τη σχετικιστική σχέση που ισχύει για φωτόνια E Η πυκνότητα στροφορής του ηλεκτροαγνητικού πεδίου είναι: γ P c. γ
dl dv em dρ em r ε r S dv (9.6) Οι πυκνότητες ενέργειας, ορής και στροφορής πρέπει να λαβάνονται υπόψη στη διατήρηση των αντίστοιχων ποσοτήτων σε φυσικά συστήατα, διότι, σε αντίθετη περίπτωση, οδηγούαστε σε παράδοξα, που περιλαβάνουν παραβιάσεις των βασικών νόων διατήρησης (δείτε παράδειγα στη σελίδα 4 των PS). ΕΝΟΤΗΤΑ 9.6: Ηλεκτροαγνητικά κύατα στο κενό Οι εξισώσεις του Maxwell στο κενό (έξω από υλικά) και χωρίς πηγές γράφονται: Ε Β Ε t Β Β ε Ε (9.63) (9.64) (9.65) (9.66) Οι χρονικά εξαρτώενες λύσεις των εξισώσεων αυτών είναι τα ηλεκτροαγνητικά κύατα, ικανοποιούν δηλαδή την κυατική εξίσωση 1 c ϕ ϕ (9.67) όπου ϕ είναι συνιστώσα του ηλεκτρικού ή του αγνητικού πεδίου και c είναι η ταχύτητα του φωτός. Για την κατανόηση της κυατικής εξίσωσης (9.67), ας θεωρήσουε επίπεδα κύατα που διαδίδονται κατά τη διεύθυνση x. Τότε, η ϕ είναι ανεξάρτητη από τις y, z συντεταγένες και η (9.67) ικανοποιείται από οποιαδήποτε συνάρτηση ( x, t) οποία ισχύει ϕ για την φ ( x, t) F( x ct) (9.68) όπου F οποιαδήποτε παραγωγίσιη συνάρτηση. Η γενική λύση (9.68) αντιπροσωπεύει ένα κύα, διότι, αν υποθέσουε ότι η F(ξ) έχει ένα έγιστο στη θέση ξ, τότε στη λύση ( ct ) F x το έγιστο αυτό βρίσκεται στη θέση x ξ + ct και, εποένως, κινείται στη
διεύθυνση x ε ταχύτητα c. Άρα, η F ( x ct ), που είναι λύση της (9.67), αντιπροσωπεύει ένα κύα που κινείται ε ταχύτητα c. Θα δείξουε ότι οι εξισώσεις του Maxwell χωρίς πηγές οδηγούν στην κυατική εξίσωση για τα πεδία Ε και Β και ότι η ταχύτητα των ηλεκτροαγνητικών κυάτων είναι: c (9.69) ε 1 Η περιστροφή του αριστερού έλους της (9.64) γράφεται: ( Ε ) ( Ε ) Ε Ε (9.7) όπου χρησιοποιήσαε την (9.63). Η περιστροφή του αριστερού έλους της (9.64) είναι: Β Ε ( Β ) ε (9.71) όπου στην τελευταία ισότητα χρησιοποιήσαε την (9.66). Από τις (9.64), (9.7) και (9.71): Ε ε Ε (9.7) Από την (9.7) προκύπτει ότι κάθε συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου Ε ικανοποιεί την κυατική εξίσωση ε ταχύτητα κύατος που δίνεται από την (9.69). Με τον ίδιο τρόπο, παίρνοντας την περιστροφή της (9.66), πορεί να δειχτεί ότι κάθε συνιστώσα του αγνητικού πεδίου Β ικανοποιεί την κυατική εξίσωση Β Β ε (9.73) Τα ηλεκτροαγνητικά κύατα πορεί να αναπτυχθούν σε άθροισα αρονικών κυάτων ε ορισένο ήκος κύατος λ και συχνότητα ν. Ειδική περίπτωση ηλεκτροαγνητικών κυάτων αποτελεί το ορατό φως ε συχνότητες στην περιοχή 1 14-1 15 Hz. Μια ειδική λύση της (9.7) που αντιστοιχεί σε επιπλέον αρονικό κύα που κινείται στη διεύθυνση z και είναι πολωένο στη διεύθυνση x έχει τη ορφή του πραγατικού έρους της: Ε (, ) Ε i( kz ωt ) x t e i ˆ (9.74)
όπου k π λ είναι ο κυατάριθος του κύατος και ω πν είναι η γωνιακή συχνότητα του κύατος. Αντικαθιστώντας την (9.74) στην (9.7), βρίσκουε τη σχέση διασποράς του κύατος, δηλαδή τη σχέση εταξύ ω και k, ως: ω 1 k c k (9.75) ε Η γενική ορφή του ηλεκτροαγνητικού επιπέδου αρονικού κύατος ε καθορισένη συχνότητα ν ω π είναι: Ε( x, t) Ε B( x, t) B e i( k x ωt ) e i( k t ωt ) (9.76) (9.77) όπου Ε και Β είναι σταθερά διανύσατα. Τα φυσικά πεδία είναι τα πραγατικά έρη των (9.76), (9.77). Οι σχέσεις αυτές περιγράφουν ηλεκτροαγνητικό κύα που διαδίδεται στη διεύθυνση του κυατοδιανύσατος k, το οποίο καθορίζει και το ήκος κύατος λ k π. Εφαρόζοντας τις εξισώσεις του Maxwell (9.63) και (9.65) στις (9.76), (9.77), βρίσκουε: k Ε k Β (9.78) (9.79) Εποένως, η πόλωση των ηλεκτροαγνητικών κυάτων (διεύθυνση των ταλαντούενων κυάτων) είναι κάθετη στη διεύθυνση διάδοσης k. Τέτοιου είδους κύατα λέγονται εγκάρσια κύατα. Εφαρόζοντας τις άλλες δύο εξισώσεις του Maxwell (9.64), (9.66) στις (9.76), (9.77), βρίσκουε: k Ε ωβ k Β ε ωε (9.8) (9.81) Εποένως, τα πλάτη Ε και Β είναι κάθετα εταξύ τους και κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης του κύατος k (Σχήα 9.4).
Σχήα 9.4: Μορφή γραικά πολωένου διαδιδόενου ηλεκτροαγνητικού κύατος Το διάνυσα Poynting είναι: 1 S Ε B k x t cos ( ω ) (9.8) Λόγω της καθετότητας εταξύ Ε, Β και k, από (9.8), (9.81) προκύπτουν σχέσεις για τα έτρα E, B και k : από τις οποίες προκύπτει ότι E B E B ω (9.83) k k (9.84) ε ω ω k 1 ε c (9.85) δηλαδή η σχέση διασποράς για τα ηλεκτροαγνητικά κύατα. Χρησιοποιώντας τώρα τη σχέση διασποράς (9.85) στην (9.83), έχουε τη σχέση εταξύ Β και Ε ως: B E c (9.86) Λόγω της γραικότητας των εξισώσεων του Maxwell, οποιαδήποτε λύση τους στο κενό χωρίς πηγές πορεί να γραφτεί ως γραική υπέρθεση επίπεδων αρονικών κυάτων της ορφής (9.76), (9.77).
Άσκηση αυτοαξιολόγησης 9.7 ίνεται επίπεδο κύα που ορίζεται από: + + E xˆ E x z, t xˆ E cos ω t β z και ( ) ( ) + + E B yˆ H y z t y t z η m m (, ) ˆ cos ( ω β ). Υπολογίστε την τελική ροή ενέργειας P(t) που εισέρχεται σε κλειστή επιφάνεια S όπως αυτή που φαίνεται στο παρακάτω Σχήα 9.5. είξτε ότι ο ρυθός αύξησης της ηλεκτροαγνητικής ακτινοβολίας έσα στον όγκο του κουτιού οδηγεί στην ίδια απάντηση. Σχήα 9.5 Άσκηση αυτοαξιολόγησης 9.8 Ηλεκτροαγνητικό κύα διαδίδεται στη διεύθυνση z και είναι πολωένο στη διεύθυνση y. Το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου είναι E. Βρείτε τα E ( x, t) και B( x, t). Άσκηση αυτοαξιολόγησης 9.9 Ένα ραδιόφωνο πορεί να λάβει σήατα ε πλάτος ηλεκτρικού πεδίου E 1 V / m. Πόση είναι η ένταση (έση ροή ενέργειας) του κύατος;
Άσκηση αυτοαξιολόγησης 9.1 Θεωρήστε ένα διανυσατικό δυναικό (, ) i( kz ωt A x t Ce )ˆ i, όπου ω ck. Η συνάρτηση αυτή περιγράφει ένα ηλεκτροαγνητικό κύα (ε C πραγατικό, η πραγατική τιή της συνάρτησης αντιστοιχεί στο φυσικό κύα). α) Βρείτε τα E ( x, t), B( x, t). β) είξτε ότι τα E ( x, t), B( x, t) και k σχηατίζουν ια ορθογώνια τριάδα. γ) Επαληθεύστε ότι ικανοποιείται ο νόος του Faraday. δ) Επαληθεύστε ότι ικανοποιείται ο νόος Ampere-Maxwell. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 9.11 Το ηλεκτρικό πεδίο ενός ηλεκτροαγνητικού κύατος στο κενό δίνεται από τη σχέση: E x π Ey π t x 3 E z 8 3cos ( 1 ) όπου Ε είναι σε Volt/meter, t σε δευτερόλεπτα και x σε έτρα. Βρείτε: α) τη συχνότητα f, β) το ήκος κύατος λ, γ) τη διεύθυνση της διάδοσης του κύατος, δ) τη διεύθυνση του αγνητικού πεδίου. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 9.1 Η ταχύτητα του φωτός c συναρτήσει των ε και δίνεται από τη σχέση: (α) c ε, (β) c ε, (γ) c 1 ε Άσκηση αυτοαξιολόγησης 9.13 Θεωρήστε τα ηλεκτροαγνητικά κύατα της ορφής: E( x, y, z, t) E ( x, y) e ikz ω t
B( x, y, z, t) B ( x, y) e ikz ω t όπου E και B είναι στο επίπεδο xy. α) Βρείτε τη σχέση εταξύ των k και ω, όπως και τη σχέση εταξύ των E ( x, y) και B( x, y). είξτε ότι τα E( x, y) και B( x, y) ικανοποιούν τις εξισώσεις για την ηλεκτροστατική και τη αγνητοστατική σε ελεύθερο χώρο. β) Ποιες είναι οι οριακές συνθήκες για τα E και B στην επιφάνεια ενός τέλειου αγωγού; γ) Θεωρήστε ένα κύα της παραπάνω ορφής που διαδίδεται κατά ήκος γραής ετάδοσης. Υποθέστε ότι ο κεντρικός κύλινδρος και το εξωτερικό περίβληα είναι τέλειοι αγωγοί. Σηειώστε τα σηεία των φορτίων και τις διευθύνσεις των ρευάτων στους αγωγούς. δ) Να παραγάγετε εκφράσεις για το E και το B συναρτήσει του φορτίου ανά ονάδα ήκους λ και του ρεύατος i στον κεντρικό αγωγό. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 9.14 Θεωρήστε ια πιθανή λύση στις εξισώσεις του Maxwell που δίνεται ως: i( K x ωt ) A( x, t) A e, φ ( x, t) όπου A είναι το διανυσατικό δυναικό και φ είναι το βαθωτό δυναικό. Ακόα, υποθέστε ότι τα A, K και ω είναι σταθερά. ώστε και ερηνεύστε τους περιορισούς στα A, K και ω που επιβάλλονται από τις εξισώσεις του Maxwell που δίνονται παρακάτω: (α) B (γ) E 1 B (β) E + c t 1 E (δ) B + c t Άσκηση αυτοαξιολόγησης 9.15 Ένα οντέλο για το ηλεκτρόνιο το θεωρεί ως ένα φλοιό φορτίου κατανεηένο οοιόορφα πάνω σε επιφάνεια ιας σφαίρας ακτίνας α. Το ηλεκτρόνιο κινείται ε ταχύτητα u<<c.
α) Ποια είναι τα E και B στο σηείο (r,θ) έξω από τη σφαίρα; β) Βρείτε την τιή της α τέτοιας ώστε η συνολική ορή του πεδίου να είναι όλις ίση ε τη ηχανική ορή mu, όπου u είναι η ταχύτητα του ηλεκτρονίου. γ) Χρησιοποιήστε την τιή της α για να υπολογίσετε την ενέργεια στο πεδίο του κινούενου φορτίου και συγκρίνετέ τη ε τη άζα ηρείας και την κινητική ενέργεια. Λύσεις Ασκήσεων αυτοαξιολόγησης Λύση 9.1 Το ρεύα διαέσου της S 1 είναι I(t). Από το νόο του Gauss, αγνοώντας τις επιδράσεις Q των άκρων, το ηλεκτρικό πεδίο εταξύ των πλακών είναι E σ ( t) nˆ / ε, όπου σ. Η A πυκνότητα του ρεύατος ετατόπισης είναι: D E 1 dq J ˆ D ε n A dt Από τη διατήρηση φορτίου, dq / dt I, έτσι το ρεύα ετατόπισης είναι: I D J Dn A I Λύση 9. Αρχικά υπολογίζουε το ηλεκτρικό και το αγνητικό πεδίο της διάταξής ας. Το αγνητικό πεδίο στην επιφάνεια του σύρατος είναι: I B ˆ ϕ π r Το ηλεκτρικό πεδίο έχει την κατεύθυνση του άξονα z και ισούται ε: J J zˆ I E zˆ σ σ π r σ ( ) όπου σ η αγωγιότητα του σύρατος. Τώρα πορούε να υπολογίσουε το διάνυσα Poynting στην επιφάνεια του αγωγού: Ι S E ˆ z Hϕ r 3 π σ ( r ) Η ολική ενέργεια σε στοιχειώδες ήκος dlτου αγωγού ας είναι:
de I 1 S ds r I I R 3 dl π S π ( r) σ π( r) σ το οποίο υποδηλώνει ότι το πεδίο ενισχύει την ενέργεια για να εξισορροπήσει τη θερική απώλεια (Ι R) στο σύρα. Η συνεισφορά του επιφανειακού ολοκληρώατος είναι όνο από το κυλινδρικό τήα της επιφάνειας. Η συνεισφορά από το πάνω και κάτω έρος του κυλινδρικού τήατος είναι ηδέν, γιατί το Ez H ϕ είναι κάθετο στο ds. Λύση 9.3 Το διάνυσα Poynting καθορίζει τη ροή ενέργειας, και εποένως η πυκνότητα ενέργειας και η ταχύτητα συνδέονται έσω του τύπου: ιάνυσα Poynting S Ταχύτητα u Γνωρίζουε ότι στο κενό av Eνεργειακή Πυκνότητα Uav 8 u 3 1 m / sec, υπολογίσουε την πυκνότητα ενέργειας U av : U av 3 1 3 6 8 5 5 1 3 1 3 J / m U erg / m 8 av S av 5 W / m (δίνεται), οπότε πορούε να Λύση 9.4 Για ένα γραικά πολωένο κύα στο κενό έχουε: E ye ˆ cos ( ω t kx ) B zb ˆ cos ω t kx Τότε: ( ) 1 1 ˆ ( ω ) S E B x E B c o s t k x Για x, η στιγιαία ροή ενέργειας θα έχει χρονική εξάρτηση: 1 S ( x, t ) xˆ E B c o s ω t Η έση τιή σε χρόνο ιας περιόδου είναι: 1 S xˆ E B
Αυτή είναι το σωστό αποτέλεσα που παίρνουε όταν κατά τον υπολογισό χρησιοποιούε τριγωνοετρικές συναρτήσεις. Αντί για τριγωνοετρικές συναρτήσεις, σε πολλές γραικές ποσότητες συνήθως χρησιοποιούνται, για απλοποίηση των πράξεων στη φυσική, ιγαδικές εκθετικές συναρτήσεις και στο τέλος λαβάνεται το πραγατικό έρος του αποτελέσατος. Το διάνυσα Poynting όως είναι η γραική ποσότητα και η τεχνική των εκθετικών συναρτήσεων δεν αποδίδει ε προφανή τρόπο. Πραγατικά, στο x έχουε: iω t E ye ˆ e iω t B zb ˆ e και δεν είναι πλέον σωστό να γράψουε ( 1/ ) S E B. Γι αυτό έχουε: 1 1 iωt iω t S Re ( E B ) Re ( ye ˆ e ) ( zb ˆ e ) 1 iωt 1 Re ( xe ˆ B e ) xˆ E B cos ωt Όχι όνο η στιγιαία τιή είναι λανθασένη, αλλά η έση τιή είναι ηδέν αντί για ( 1 / )( E / )( / ) ˆ B x. Υποθέστε ( 1 / ) S E B, όπου ο αστερίσκος συβολίζει συζυγή ιγαδικό. Τώρα πραγατικά στέκει για 1 1 S Re E B ye e zb e 1 Re iω t iωt ( ) Re ( ˆ ) ( ˆ ) ( xe ˆ B ) Ούτε αυτό όως αποδίδει τη σωστή τιή της για τη στιγιαία τιή της S [παρόοιο 1/ E B )]. Αλλά, αν εξαιρέσουε τον παράγοντα 1, ας αποτέλεσα θα είχαε αν ( ) δίνει τη σωστή τιή για τη έση ισχύ. Γι αυτό είναι συνηθισένη πρακτική να χρησιοποιούε τη ορφή: 1 S R e E B για τον υπολογισό της έσης τιής του διανύσατος Poynting.
Λύση 9.5 E B E B rˆ, διότι ˆ θ ˆ ϕ ˆr. θ ϕ Έτσι, έχουε: E B 377 / r sin θ cos ωt β r rˆ ( ) ( ) Η ισχύς σε Watt που διέρχεται έσα από κλειστή επιφάνεια S είναι: P ( E H) ds (1) S Το επιφανειακό διαφορικό διάνυσα ιας περιοχής ds της σφαιρικής επιφάνειας είναι r sin θ dθ dϕ rˆ. Με αντικατάσταση των E H και ds στην εξίσωση (1) και ε τις γωνίες θ από έως π και φ από έως π, παίρνουε: π π 3 P 377 cos t r sin d d ( ) ω β θ θ ϕ Μετά τον υπολογισό των ολοκληρωάτων, έχουε ότι ( ω β ) P t r 316 cos Watts Καθώς ο χρόνος εταβάλλεται, η συνάρτηση του τετραγώνου του συνηίτονου παίρνει τιές εταξύ ηδέν και ονάδας, ε έση τιή το 1. Γι αυτό και η έση τιή της ενέργειας σε σχέση ε το χρόνο είναι 158 Watts. Αυτή είναι και η ζητούενη ακτινοβολούενη ενέργεια. Λύση 9.6 Η κλειστή επιφάνεια S φαίνεται στο Σχήα 9.3b. Το διάνυσα Poynting P στην περιφερειακή επιφάνεια ρa υπολογίζεται από το ηλεκτρικό ( E ) και αγνητικό ( B ) πεδίο. Το B υπολογίζεται από το νόο του Ampere: I B ϕˆ π ρ Το E υπολογίζεται από την πυκνότητα ρεύατος φορτίου J σ E : E zˆ E zˆ J / σ zˆ I / σ A z z J z I / A συνδυασένο ε
B ˆ ϕ H ˆ ϕ I / π a ϕ Το διάνυσα Poynting στο ρa που ορίζει την S είναι: z ˆ I ˆ ϕ P E B I ˆ ρ I σ A π a π aaσ Όπως φαίνεται στο Σχήα 9.3b, η ολική εισερχόενη ισχύς στην S είναι: l π I P P ds ρˆ ρρ ˆ dϕ dz πaaσ S z φ I πal l I I R Watts πaaσ σ A Όπως αναένεται, το αποτέλεσα ταυτίζεται ε την ισχύ που καταναλώνεται στην αντίσταση του σύρατος. Το αποτέλεσα Ι R πορεί να προκύψει από την ολοκλήρωση της ποσότητας J E στον όγκο που περικλείεται από την επιφάνεια S. Έτσι, έχουε: J E dv ( σe) EdV σez dv V V V l π α Ι σ ρdρdϕdz σ A z φ ρ το οποίο και ισούται ε το Ι R, όπως και περιέναε. Λύση 9.7 Το διάνυσα Poynting P είναι πάντα στη διεύθυνση του z και, εποένως, η οναδική του συνεισφορά στη ροή ενέργειας που εισέρχεται στο κουτί είναι πάνω στις επιφάνειες S 1 και S. Οπότε, από την (9.57) έχουε: B ε E P() t P ds + dv (1) S V Για την S 1 έχουε:
1 () P t P ds + ( E m) S1 + ( E m) b a zˆ cos t z z dxdy η y x z η Για την S : () ab cos ωt ( ω β ) ( ˆ ) + ( E m) P t P ds ab cos t d ( ω β ) η S Η τελική ροή ενέργειας που εισέρχεται στην S είναι: P ds P t P t + P t S + ( E m) + ( E m) () () () 1 η ( ω β ) ab cos ωt cos t d ( ω β ) ab cos ωt cos t d Watts η () [χρησιοποιήσαε την ταυτότητα cos θ1/+(1/)cosθ]. Ισοδύναα, αν το δεξί έλος της (1) ολοκληρωθεί σε όλο τον όγκο του κουτιού, ας δίνει τη (). Με αντικατάσταση των E και B έσα στο ολοκλήρωα, έχουε: B ε E + dv V + d b a + d b a ( E m) ε( E ) m 1 cos( ωt β z) dxdydz 1 cos( ωt β z) dxdydz + + + 4η 4 + d b a ε( E m) 1+ cos( ωt β z) dxdydz ωε + ( E m) + ( E m) β ab cos( ωt β z) ab cosω t cos( ωt β d) η που είναι σύφωνη ε την εξίσωση (), όπως περιέναε. d
Λύση 9.8 Επειδή τα E ( x, t), B ( x, t) E( x, t) E ˆ je E B( x, t) ie ˆ c i( kz ωt ) i( kz ωt ) και k σχηατίζουν ια ορθογώνια τριάδα: Μπορείτε να επαληθεύσετε ότι και οι 4 εξισώσεις του Maxwell ισχύουν. Λύση 9.9 Η έση ενεργειακή ροή είναι: S E B E (1 1 ) W 1.33 1 W / m c 4 1 3 1 m 6 7 8 π 11 Το γεγονός ότι ένα ηλεκτροαγνητικό κύα ε ια τόση χαηλή ένταση πορεί να διεγείρει ένα ακριβές ρεύα σε ια κεραία λήψης (το οποίο κατόπιν ενισχύεται ε ένα ηλεκτρονικό κύκλωα) κάνει τη ραδιοεπικοινωνία εφικτή. Λύση 9.1 (α) Τα πεδία είναι: ˆ A z A ω x i( kz ωt) B A + j ikce j i( kz ωt ) E i Ce i ˆ ˆ (Πραγατικά, τα πραγατικά έρη αυτών των εξισώσεων αντιστοιχούν στο φυσικό κύα.) (β) E // iˆ, B // ˆj ορθογώνια τριάδα. (γ) Παρατηρήστε ότι ˆ E + ω z B i( kz ωt ) kωce ˆj και k // kˆ zˆ x i( kz ωt) E j kce j ˆ. Άρα, τα E ( x, t), B ( x, t) που είναι ίσα, και εποένως ο νόος του Faraday επαληθεύεται. και k σχηατίζουν ια
(δ) Έχουε ότι B ˆ z E 1 ε ωce c y i( kz ωt ) B i k Ce i i( kz ωt) iˆ ˆ που είναι ίσα, και εποένως ο νόος Ampere-Maxwell επαληθεύεται. Λύση 9.11 π 1 k m 3 (α) ω f π 8, ω π 1 s 8 1 Hz π (β) λ 3 m k 1 (γ) Το κύα διαδίδεται κατά ήκος της διεύθυνσης του θετικού άξονα x. (δ) εδοένου ότι τα E, B και k σχηατίζουν ένα δεξιόστροφο σύστηα, το B είναι παράλληλο στο k E. Αφού το k και το E είναι αντίστοιχα στις διευθύνσεις των αξόνων x και y το αγνητικό πεδίο είναι στη διεύθυνση του z. Λύση 9.1 Η απάντηση είναι η (γ). Λύση 9.13 ex E x E x e y y E y e z z E z e x e y z x y Ex E y e z i( kz ωt ) e E y E x i( kz ωt ) ike yex + ike xey + ez e x y ikez E + E e i( kz ωt ) Μια παρόοια έκφραση προκύπτει για το B. Άρα, οι εξισώσεις του Maxwell
B E t 1 E B c t πορεί να γραφούν αντίστοιχα ως: ike E ( x, y) iω B ( x, y) E z ω ikez B ( x, y) i E ( x, y) B c Σηειώνοντας ότι το E και το B έχουν όνο z-συνιστώσες, ενώ το ez E και το ez B είναι στο επίπεδο xy, απαιτούε E, B έτσι ώστε: ω ez E( x, y) B ( x, y) k ω ez B ( x, y) E ( x, y) kc (1) () (3) Παίρνοντας την παράγωγο του διανύσατος του e z και τη (), καταλήγουε: ω E ( x, y) ez B k Η αντικατάστασή της στην (3) δίνει: ω k c 1 ή ω k c Οι σχέσεις () και (3) συνδέουν το E και το B και δείχνουν ότι τα E, B και e z είναι αοιβαία κάθετα, σχηατίζοντας ένα δεξιόστροφο σύστηα. Επιπλέον, τα πλάτη τους συνδέονται ε τη σχέση: ω E ( x, y) B ( x, y) c B ( x, y) k Οι εξισώσεις του Maxwell E, B δίνουν: E, B (4)
Οι σχέσεις (1) και (4) δείχνουν ότι το E( x, y) και το B( x, y) ικανοποιούν τις εξισώσεις της ηλεκτροστατικής και της αγνητοστατικής σε ελεύθερο χώρο. (β) Οι οριακές συνθήκες για την επιφάνεια ενός ιδανικού αγωγού είναι: nˆ E, nˆ D nˆ H I, nˆ B l όπου n είναι το επιφανειακό οναδιαίο διάνυσα στην επιφάνεια του αγωγού και το I l είναι η επιφανειακή πυκνότητα ρεύατος (ρεύα ανά ονάδα πλάτους) στην επιφάνεια του αγωγού. (γ) Για ια συγκεκριένη διατοή στο zz και για δεδοένη στιγή tt, το ηλεκτρικό πεδίο είναι: E ( x, y)exp ikz ωt [ ] Αφού το E( x, y) ικανοποιεί τις ηλεκτροστατικές εξισώσεις, το ηλεκτρικό πεδίο είναι το ίδιο ε αυτό που βρίσκεται εταξύ δύο αντίθετα φορτισένων οοαξονικών κυλινδρικών επιφανειών. Άρα, οι δυναικές γραές του E( x, y) είναι ακτινωτές. Η αγνητική επαγωγή ικανοποιεί τη (), δηλαδή ισχύει: 1 B ( x, y) ez E( x, y) c έτσι ώστε οι δυναικές αγνητικές γραές να σχηατίζουν οόκεντρους κύκλους γύρω από τον άξονα του κυλίνδρου. Υποθέστε ότι στο (z,t ) ο κεντρικός κύλινδρος έχει θετικό φορτίο και το εξωτερικό περίβληα έχει αρνητικό φορτίο, οπότε τα E και B έχουν διευθύνσεις ακτινική και αζιουθιακή αντίστοιχα. Η γραική πυκνότητα ρεύατος στην επιφάνεια του κεντρικού αγωγού είναι κατά ήκος της διεύθυνσης του +z, ενώ αυτό στο εξωτερικό περίβληα είναι κατά ήκος της διεύθυνσης του z. Χρησιοποιώντας τις ολοκληρωτικές εξισώσεις του Maxwell (το νόο του Gauss και το νόο του Ampere), έχουε: E λ πε e r I π, B e r θ οι οποίες δίνουν το φορτίο ανά ονάδα ήκους λ και ρεύα I από τον κεντρικό αγωγό. Η σχέση εταξύ των E και B δίνει Icλ.
Λύση 9.14 Οι εξισώσεις του Maxwell που δίνονται σε αυτό το πρόβληα είναι σε Γκαουσιανές ονάδες, οι οποίες θα χρησιοποιηθούν επίσης παρακάτω. Αφού A A exp ( ) i K xx + K y y + Kz z ωt, έχουε: i( K y z K z y), i( K z x Kx z), i( K x y K y z ωt) x y z Άρα το ηλεκτροαγνητικό πεδίο πορεί να παρασταθεί ως: i( K x ωt ) B A ik A e 1 A 1 A ω i( K x ωt ) E φ i Ae c c c, ή ik i( K x ωt ) (α) εδοένου ότι B K ( K A ) e, κανένας περιορισός δεν επιβάλλεται από τη B. (β) Αφού 1 B iω ω ω E + ik E B K A + K A, κανένας περιορισός c c c c δεν επιβάλλεται από την εξίσωση. (γ) Αφού i ω iω E A K A, απαιτούε K A. c c Λύση 9.15 (α) Στο σύστηα ηρείας Σ του ηλεκτρονίου, το ηλεκτροαγνητικό πεδίο σε ένα σηείο απόστασης r από αυτό σε Γκαουσιανές ονάδες είναι: er ˆ E, B 3 r Στο σύστηα εργαστηρίου Σ, από το ετασχηατισό του Lorentz (ε u<<c), το πεδίο είναι: u E E B E, c u u B B + E E c c Θεωρούε τα πεδία στο σηείο ε συντεταγένες (r,θ) στο Σ. Αφού u<<c, έχουε και r r
er er E E 3 3 r r u e u r B E 3 c c r ε έτρα διανυσάτων: e E r eu sinθ B cr (β) Η πυκνότητα ορής του πεδίου είναι: S 1 g ( E B ) c 4π c Αντικαθιστώντας τα E και B, παίρνουε: e r ( u r ) e g ( ur ur cos θ ) 6 5 4π c r 4π c r Άρα, η ορή του ηλεκτροαγνητικού πεδίου του ηλεκτρονίου είναι: P gdv e d d dr r e u c r c a c a π π e u(1 cos θ) e u e Z ϕ θ sinθ 4 z 4π 3 3 a όπου θέσαε u e. Αν το ηλεκτροαγνητικό πεδίο της ορής του ηλεκτρονίου είναι ίσο z ε τη ηχανική ορή, mu, π.χ. e, u mu 3c a τότε: e 5 5.8 1 1.88 1 Å a 3mc 3 (γ) Η ενέργεια του πεδίου του ηλεκτρονίου είναι: 1 1 e e u sin θ W ( E + B ) dv dv 4 4 8π + 8π r c r u π π 1 sin θ e + dφ dθ r sin c dr 4 8π r a e u 3mc u 3 1 + + + a c c 1 1 mc mu 3 4 3 4 Αυτό οδηγεί στο ότι 1 u c, mu W mc Å
είτε ακόα PS, τα παραδείγατα του Κεφαλαίου 11, ε έφαση στα: Example 1 (σελ. 41), Example (σελ. 47), Example 3 (σελ. 419), Example 4 (σελ. 4), Example 6 (σελ. 49). Ερωτήσεις 1. Ποια η σχέση του ρεύατος ετατόπισης ε την εξίσωση της συνέχειας για το ηλεκτρικό φορτίο;. Πώς αλλάζει η σχέση εταξύ βαθωτού δυναικού και ηλεκτρικού πεδίου σε η στατικά συστήατα; 3. Πού χρησιεύει ο ετασχηατισός βαθίδας και σε τι είδους προβλήατα χρησιοποιείται η βαθίδα Coulomb; 4. Γιατί είναι συνήθως ευκολότερη η λύση των εξισώσεων που αφορούν τα δυναικά από τις αντίστοιχες εξισώσεις που αφορούν τα πεδία (Maxwell); 5. Ποιες είναι οι συνοριακές συνθήκες των εξισώσεων Maxwell στην ύλη; 6. Γιατί το ηλεκτρικό και το αγνητικό πεδίο είναι κάθετα εταξύ τους στα ηλεκτροαγνητικά κύατα; Γιατί είναι κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης του κύατος; Άλυτες ασκήσεις είτε PS, τις άλυτες ασκήσεις του Κεφαλαίου 11, ε έφαση στις: 11., 11.5, 11.7, 11.8, 11.11, 11.13, 11.18, 11.3, 11.7, 11.3.