Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 3: Χρήσιμες Κατανομές Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Εκμάθηση των γνωστών κατανομών (με έμφαση στην κανονική κατανομή) με δυνατότητα εφαρμογών. 4

Περιεχόμενα ενότητας Διακριτές χρήσιμες κατανομές Διωνυμική Poisson Συνεχείς χρήσιμες κατανομές Κανονική κατανομή Κατανομή Χ 2 Κατανομή Student 5

Χρήσιμες Κατανομές ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Έστω πείραμα δύο αποτελεσμάτων όπου το ένα έχει πιθανότητα p και ονομάζεται επιτυχία και το άλλο 1-p και ονομάζεται αποτυχία. Η πιθανότητα σε n επαναλήψεις του πειράματος να έχουμε x επιτυχίες δίνεται από τη συνάρτηση πιθανότητας της διωνυμικής κατανομής:

Διωνυμική Κατανομή Και η συνάρτηση κατανομής που δίνει την πιθανότητα μέχρι και x επιτυχιών δίνεται από τον τύπο:

Παράδειγμα Η πιθανότητα επιτυχούς στόχευσης βολής κατά στόχου είναι 0,6 α) ποια η πιθανότητα τριών επιτυχιών σε πέντε προσπάθειες β) ποια η πιθανότητα μέχρι και τριών επιτυχιών σε πέντε προσπάθειες γ) ποια η πιθανότητα άνω των τριών επιτυχιών σε πέντε προσπάθειες δ) Έστω ότι αλλάζει η απόσταση του στόχου έτσι ώστε η πιθανότητα πέντε επιτυχιών σε δέκα προσπάθειες να είναι διπλάσια από την πιθανότητα τεσσάρων επιτυχιών σε δέκα προσπάθειες. Ποια η πιθανότητα τριών επιτυχιών σε έξι προσπάθειες.

Λύση

Κατανομή Poisson Με τη μεταβλητή X ή Χ(t) συμβολίζουμε το πλήθος γεγονότων που συμβαίνουν στη μονάδα του χρόνου ή του χώρου. Παραδείγματα όπου η Χ(t) είναι αριθμός γεγονότων στην μονάδα του χρόνου είναι: Οι αφίξεις σε μηχάνημα ανάληψης χρημάτων τράπεζας (ATM). Ο αριθμός των γκολ κατά τη διάρκεια ενός ποδοσφαιρικού αγώνα. Ο αριθμός των κλοπών σε μία πόλη κατά τη διάρκεια του Καλοκαιριού. Ενώ παραδείγματα όπου η Χ(t) είναι αριθμός γεγονότων στην μονάδα του χώρου είναι: Πλήθος λαθών σε ένα βιβλίο ή σε ένα πρόγραμμα υπολογιστή. Ο αριθμός των ελαιοδέντρων ανά στρέμμα σε μία γεωργική έκταση.

Κατανομή Poisson

Παράδειγμα Οι αφίξεις σε μηχάνημα ανάληψης χρημάτων τράπεζας (ATM): ακολουθούν κατανομή Poisson με μέση τιμή 5,5 αφίξεις την ώρα. α) Να βρεθεί η πιθανότητα να έχουμε 3αφίξεις σε μια ώρα β) μέχρι και τρεις αφίξεις σε μια ώρα γ) πάνω από τρεις αφίξεις σε μια ώρα.

Λύση

Κανονική Κατανομή Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή ακολουθεί κανονική κατανομή όταν το ιστόγραμμα συχνοτήτων της μεταβλητής έχει σχήμα κωδωνοειδές (σχήμα καμπάνας ) δηλαδή:

Κανονική Κατανομή Ο συμβολισμός που χρησιμοποιείται για την μέση τιμή είναι μ ενώ για την τυπική απόκλιση σ. Για την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ και τυπική απόκλιση σ έχουμε το συμβολισμό. Στην κορυφή της κατανομής βρίσκεται η μέση τιμή της κατανομής ενώ τα σημεία που εφάπτεται με τον οριζόντιο άξονα είναι η μέση τιμή αν προσθαφαιρέσουμε τρεις τυπικές αποκλίσεις δηλαδή (μ-3σ, μ+3σ). Ανάλογα με την τυπική απόκλιση καθορίζεται και το σχήμα της κατανομής, όπως φαίνεται παρακάτω:

Κανονική Κατανομή Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι: Με τον όρο τυποποιημένη κανονική κατανομή εννοούμε την κανονική κατανομή με μ=0 και σ=1 (δηλαδή Ν(0,1)). Η συγκεκριμένη κατανομή έχει καταγραφεί σε πίνακες και χρησιμοποιείται συνέχεια στη λύση προβλημάτων. Ο συμβολισμός που χρησιμοποιούμε για μια μεταβλητή που ακολουθεί τυποποιημένη κανονική κατανομή είναι Ζ. Η παρακάτω πρόταση μας δίνει τη δυνατότητα μετασχηματισμού μιας κανονικά κατανεμημένης μεταβλητής σε μεταβλητή που ακολουθεί τυποποιημένη κανονική κατανομή.

Πρόταση

Κατανομή Χ2

Κατανομή t ή Κατανομή Student

Ασκήσεις

Λύση

Άσκηση

Λύση

Άσκηση

Λύση

Άσκηση

Λύση

Άσκηση

Λύση

Άσκηση

Ασκήσεις Επανάληψης

Λύση

Βιβλίο Λ. Καμαρινόπουλου (Άσκηση 7, ΣΕΛ. 70) Κάλπη περιέχει 5 σφαίρες αριθμημένες με 1 έως 5. Επιλέγονται τυχαία τρεις σφαίρες και έστω Χ ο μέγιστος παρατηρούμενος αριθμός. Ποια η συνάρτηση πυκνότητας και κατανομής της Χ ; Δειγματοχώρος S X : ΜΕΓΙΣΤΟΣ Πεδίο τιμών, x R 1 2 3 1 2 4 2 3 4 1 3 4 3 4 1 2 5 1 3 5 1 4 5 2 3 5 2 4 5 3 4 5 5 5 3 = 5! 3! 2! = 4 2 5 = 10 10 δυνατά αποτελέσματα, οπότε κάθε ένα έχει πιθανότητα 1 10

( X x) f ( x) = P = F ( x) = P ( X x) 1 = 10 10 4 10 1 10 0 2 3 4 5 x 1 10 3 10 6 10

Βιβλίο Λ. Καμαρινόπουλου (Άσκηση 7, ΣΕΛ. 70) Η μηνιαία κατανάλωση πετρελαίου για θέρμανση μιας πολυκατοικίας σε χιλιάδες γαλόνια είναι τυχαία μεταβλητή με πυκνότητα, f ( x) = 0 ( 1 x ) 4 α 0 x 1 αλλού Ποια η χωρητικότητα του λέβητα, ώστε η πιθανότητα να εξαντληθεί το πετρέλαιο σε ένα μήνα να είναι = 0, 01 p ; + f (x) d x = 1 α 0 4 4 ( 1 x) d x = α ( 1) ( 1 x) d ( 1 x) = 1 0 = α ( 1 x ) 5 5 1 0 = α 5 = 1 α = 5

f (x) 5 0, 01 C 1 (χωρητικότητα λέβητα) x (κατανάλωση) 1 C f 1 ( x) d x = 5 ( 1 x ) d x = 0, 01 C 4 5 ( 1 x ) 5 5 C 1 = 5 ( 1 C ) = 0, 01 5 1 C = 0, 01 C = 1 5 0, 01 C = 0, 6

f (t ) Βιβλίο Λ Καμαρινόπουλου β (ΑΣΚΗΣΗ 14, σελ. 7) α t 2 Αν η f(t) είναι συνάρτηση πυκνότητας, να υπολογιστούν : α) τα α και β ; β) το Ρ (Τ 6) 12 16 t α) + f 16 t 3 ( t) d t = f(t) d t = + 4 β = 1 0 α 3 12 0 f (12) α = 12 3 α 3 + 12 4 β 2 = = β 1 α = 8, β = 0, 64 125 10 4 β) P ( T 6 ) = 1 P ( T < 6 ) 6 = 1 8, 0 64 10 4 t 2 = d t = 1 8, 64 10 4 3 6 3 = 0, 938

(Βιβλίο Λ Καμαρινόπουλου ΑΣΚΗΣΗ 14, σελ. 7) Στα πλαίσια μελέτης κατασκευής αντιπλημμυρικού φράγματος δίδονται : - Ο αριθμός πλημμυρών Χ στην περιοχή ακολουθεί κατανομή Poisson με λ = 1,5 πλημμύρες / έτος - Το ύψος Η της πλημμύρας ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή 5m, F ( h ) = - To κόστος κατασκευής 1, K κ h e - Κάθε πλημμύρα προξενεί ζημία 35.000 5 K κ = Κ 0 + h 4.000 Να βρεθεί το ύψος του φράγματος που ελαχιστοποιεί το συνολικό κόστος για χρονικό διάστημα 10 ετών.

K = K κ + Κ Π κόστος λόγω πλημμύρας συνολικό κόστος κόστος κατασκευής Έστω h Φ το ύψος του φράγματος K κ = K 0 + h Φ 4. 000 ( H ) K = 10 h Π 35.000 λ P > Φ ζημιά από μία πλημμύρα = 1,5 10 = 15 μέσο πλήθος πλημμύρων σε 10 έτη Πιθανότητα το ύψος της πλημμύρας Η, να υπερβεί το ύψος του φράγματος

( ) = > + + = Φ Φ h H P h K K 15 35.000 4.000 0 5 1 Φ = Φ = h e h H P 5 / 105 4 0 5 5 1 15 35.000 4.000 0 0 Φ = Φ + = = Φ h e h e h κ h 5m 16, 105 4 ln 5 = Φ

Άλυτες Ασκήσεις

Τέλος Ενότητας