Initial value problem in General Relativity

Εθνικο Μετσ οβιο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσ μενων Μαθηματικων & Φυσ ικων Επισ τημων Τομεασ Φυσ ικησ Initial value problem in General Relativity Stratoc Q. Papadoudhc Τριμελής Επιτροπή: Κωνσ ταντινος Αναγνωσ τοπουλος Αλεξανδρος Κεχαγιας Νικος Ηργες Επιβλέπων: Kwnsvtantinoc Anagnwsvtopouloc

ii

Perieqìmena I MAJHMATIKO UPOBAJRO 1 1 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ 3 1.1 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ................................ 3 1.2 ΔΙΑΦΟΡΙΣΙΜΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ................................ 6 1.3 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ..................................... 8 1.3.1 Γεωμετρικός ορισ μός...................................... 8 1.3.2 Αλγεβρικός ορισ μός...................................... 10 1.3.3 Παράγωγος σ υνάρτησ ης.................................... 12 1.4 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΔΕΣΜΗ...................................... 13 1.4.1 Δέσ μη πλαισ ίων........................................ 14 1.5 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ..................................... 16 1.5.1 Γεωμετρικός ορισ μός...................................... 16 1.5.2 Αλγεβρικός ορισ μός...................................... 17 1.5.3 Διανυσ ματικά πεδία κατά μήκος απεικονίσ εων........................ 18 1.5.3.1 Διανυσ ματικά πεδία κατά μήκος καμπυλών..................... 20 1.5.4 Συσ χετισ μένα διανυσ ματικά πεδία............................... 20 1.5.4.1 Ολοκληρωτικές καμπύλες - Διαφορικές εξισ ώσ εις................. 21 1.6 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΡΟΕΣ........................................ 22 1.7 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΥΠΟΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ............................. 24 2 ΟΜΑΔΕΣ LIE 25 2.1 ΟΜΑΔΕΣ LIE............................................ 25 2.1.1 Διαφορίσ ιμες Δράσ εις..................................... 26 2.2 ΑΛΓΕΒΡΕΣ LIE........................................... 27 2.2.1 Συζυγής (adjoint) παράσ τασ η ομάδος Lie.......................... 28 2.2.2 Εφαπτόμενη δέσ μη ομάδος Lie................................ 28 2.3 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ..................................... 28 3 ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ RIEMANN 29 3.1 ΣΥΝΟΧΕΣ.............................................. 29 3.1.1 Καμπυλότητα......................................... 30 3.2 ΣΥΝΑΛΛΟΙΩΤΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ.................................. 32 3.2.1 Συνοχές κατά μήκος απεικονίσ εων.............................. 32 3.2.1.1 Συνοχές κατά μήκος καμπυλών........................... 32 3.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ RIEMANN......................... 34 3.3.1 Συνοχή Riemann........................................ 35 3.3.2 Παράλληλη μετατόπισ η..................................... 36 iii

iv ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ II EISAGWGH STH GENIKH JEWRIA THS SQETIKOTHTAS 37 4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 39 4.1 ΨΕΥΔΟΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΙ ΧΩΡΟΙ.................................. 39 4.1.1 Τανυσ τές............................................ 40 4.1.1.1 Πράξεις τανυσ τών.................................. 40 4.2 ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΑΦΗΡΗΜΕΝΩΝ ΔΕΙΚΤΩΝ.......................... 42 4.2.1 Σύμβασ η άθροισ ης Einstein.................................. 42 5 ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 43 5.1 ΣΥΝΟΧΗ & ΣΥΝΑΛΛΟΙΤΩΤΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ.......................... 43 5.1.1 Σύνδεσ η με σ υνοχή...................................... 44 5.2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ RIEMANN...................................... 45 5.2.1 Ιδιότητες τανυσ τή Riemann.................................. 46 5.2.2 Γεωδαισ ία............................................ 48 5.2.2.1 Συσ τήματα κανονικών σ υντεταγμένων....................... 49 5.2.2.2 Γεωδαισ ιακή απόκλισ η................................ 51 6 Η ΓΕΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 57 6.1 ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ............................ 60 6.2 ΓΕΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ............................ 62 III INITIAL VALUE PROBLEM OF GENERAL RELATIVITY 63 7 ΑΙΤΙΑΚΗ ΔΟΜΗ 65 7.1 ΟΡΙΣΜΟΙ............................................... 65 7.2 ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ............................................. 71 8 INITIAL VALUE FORMULATION 73 8.1 ΓΕΝΙΚΑ................................................ 73 8.2 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ CAUCHY (ΘΕΜΕΛΙΩΣΗ)........................... 76 8.2.1 Αρχικές σ υνθήκες....................................... 76 8.2.1.1 Congruence..................................... 77 8.2.2 Οι εξισ ώσ εις εξέλιξης..................................... 78 8.2.2.1 Περιορισ μοί σ τις αρχικές σ υνθήκες......................... 79 8.2.2.2 Επιλογή βαθμίδας.................................. 80 8.3 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ CAUCHY (ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ)........................... 82 8.3.1 Αρχικές σ υνθήκες....................................... 82 8.3.2 Χρονική εξέλιξη........................................ 83 8.3.2.1 Υπαρξη....................................... 83 8.3.2.2 Μοναδικότητα.................................... 83 8.3.2.3 Globalization.................................... 83 8.3.2.4 Maximal Cauchy Development.......................... 83 8.4 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ CAUCHY (ΜΕ ΥΛΗ).............................. 84 IV PARARTHMA 85 Αʹ ΔΟΜΕΣ ΣΥΝΟΛΩΝ & ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 87 Αʹ.1 ΔΟΜΕΣ ΣΥΝΟΛΩΝ........................................ 87 Αʹ.1.1 Τοπολογία........................................... 87 Αʹ.1.1.1 Συμπάγεια..................................... 89 Αʹ.1.1.2 Συνεκτικότητα................................... 90 Αʹ.1.2 Διμελείς Σχέσ εις....................................... 91

ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ v Αʹ.1.2.1 Μερική διάταξη................................... 91 Αʹ.1.2.2 Διαμέρισ η...................................... 91 Αʹ.2 ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ........................................... 92 Αʹ.2.1 Γενικά.............................................. 92 Αʹ.2.2 Τοπολογικών χώρων...................................... 94 A.3 FINITE-DIMENSIONAL VECTOR SPACES AND LINEAR MAPPINGS........... 95 A.3.1 Algebras............................................ 95 A.3.2 Linear Mappings of a Vector Space............................. 96 Βʹ ΒΟΗΘΗΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 99 Βʹ.1 ΟΡΟΙ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑΣ..................................... 99 Βʹ.1.1 ΤΑΝΥΣΤΗΣ RICCI..................................... 99 Βʹ.1.1.1 ΤΑΝΥΣΤΗΣ RIEMANN.............................. 100 Βʹ.2 ΣΥΝΘΕΤΟΙ ΟΡΟΙ CHRISTOFFEL................................ 101 Βʹ.2.1 Οροι τάξης 1.......................................... 101 Βʹ.2.2 Οροι τάξης 11......................................... 101 Βʹ.2.3 Οροι τάξης 2.......................................... 102

vi ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ

Mèroc I MAJHMATIKO UPOBAJRO 1 1 ìpwc svto [1] 1

Kefˆlaio 1 DIAFORIKES POLLAPLOTHTES 1.1 DIAFORIKES POLLAPLOTHTES Ορισ μός 1.1.1 (τοπικός χαρτης). Εσ τω σ ύνολο X και n N. Ορίζεται τοπικός χάρτης διάσ τασ ης n του σ υνόλου X ένα υποσ ύνολο U X εφοδιασ μένο με μια απεικόνισ η φ : X U φ(u) T ϱ (R n ) αμφιμονοσ ήμαντη. Σχόλιο. Εσ τω {π i : R n R : (h k ) n k=1 hi } n οι κανονικές προβολές σ τον Rn. Τότε η φ ορίζεται μονοσ ήμαντα από τις σ υνισ τώσ ες της, {x i π i φ : X U R} n. x U X, {xi (x)} n είναι οι σ υντεταγμένες του x σ τον χάρτη (U φ). Ορισ μός 1.1.2 (C k -συμβιβαστότητα σε χάρτες). k N ή k = ή k = ω ή k = 0, δύο τοπικοί χάρτες (U φ) και (V ψ) διάσ τασ ης n N ενός σ υνόλου X είναι C k -σ υμβιβασ τοί αν και μόνο αν: τα επόμενα σ ύνολα είναι ανοιχτά: φ(u V ) T ϱ (R n ) ψ(u V ) T ϱ (R n ) οι επόμενες σ υναρτήσ εις είναι k-τάξης 1 : (ψ φ 1 : R n φ(u V ) ψ(u V ) R n ) C k [φ(u V ) ψ(u V )], (φ ψ 1 : R n ψ(u V ) φ(u V ) R n ) C k [ψ(u V ) φ(u V )]. Γράφουμε (U φ) (V ψ). Σχόλιο. Οι C /C ω /C 0 -σ υμβιβασ τοί χάρτες ονομάζονται διαφορικώς/αναλυτικώς/τοπολογικώς σ υμβιβασ τοί. Ορισ μός 1.1.3 (άτλας). Μια οικογένεια A = {(U i X φ i )} i I τοπικών χαρτών του X είναι άτλας του X αν και μόνο αν: X = i I U i. Ορισ μός 1.1.4 (C k -άτλας). Ενας άτλας A του X, είναι C k -άτλας αν όλοι οι χάρτες του είναι ανά δύο C k -σ υμβιβασ τοί. Σχόλιο. Οι C /C ω /C 0 -άτλαντες ονομάζονται διαφορικοί/αναλυτικοί/τοπολογικοί άτλαντες. 1 C k [A B], ìpou A R n kai B R m, eðnai to svônolo ìlwn twn svunart svewn k-tˆxhc apì to A svto B. C k x[r n R m ] antðsvtoiqa eðnai to svônolo ìlwn twn svunart svewn k-tˆxhc svto x R n, anexart twc pedðou orisvmoô. 3

4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ Ορισ μός 1.1.5 (C k -συμβιβαστότητα σε άτλαντες). Εσ τω σ ύνολο X και A(X) το σ ύνολο όλων των ατλάντων του X. k N ή k = ή k = ω ή k = 0, A k n(x) := {A A(X) A = n} είναι το σ ύνολο όλων των C k -ατλάντων διάσ τασ ης n του X. 2 Η διμελής σ χέσ η 3 του ορισ μού 1.1.2 μεταξύ χαρτών, επεκτείνεται με φυσ ικό τρόπο και σ ε σ ύνολα χαρτών, ειδικότερα σ ε άτλαντες: A, B A k n(x), A B A B A k n(x). Τότε οι άτλαντες ονομάζονται C k -σ υμβιβασ τοί. Πρότασ η 1.1.1. n N και k N ή k = ή k = ω ή k = 0, (A k n(x) ) είναι μερικά διατεταγμένος χώρος 4 και (A k n(x) ) είναι χώρος με διαμέρισ η 5. Απόδειξη. Για τη μερική διάταξη: P 1 : A A k n (X), A A, P 2 : A, B A k n (X), A B B A = A = B, P 3 : A, B, C A k n (X), A B B C = A B C. Για τη διαμέρισ η: S 1 : A A k n(x), A A = A A k n(x) = A A, S 2 : A, B A k n(x), (A B A k n(x) = B A A k n(x)) = (A B = B A). Για το S 3, έσ τω A, B, C A k n(x) και (U φ) A, (W χ) C. Αρκεί να δείξουμε ότι (U φ) και (W χ) είναι C k -σ υμβιβασ τοί. B A k n(x) άρα x U W, (V x ψ x ) B τέτοιος, ώσ τε x U V x W U W. Τότε ((U φ) k (V x ψ x ) = ψ x (U V x ) T ϱ (R n )) ((V x ψ x ) k (W χ) = ψ x (V x W ) T ϱ (R n )) = ψ x (U V x W ) = ψ x (U V x V x W ) = ψ x (U V x ) ψ x (V x W ) T ϱ (R n ): (U φ) k (V x ψ x ) = φ ψx 1 C k [ψ x (U V x ) φ(u V x )] ψ x φ 1 C k [φ(u V x ) ψ x (U V x )] = φ(u V x W ) = (φ ψx 1 )(ψ x (U V x W )) T ϱ (R n ) = φ(u W ) = x U W φ(u V x W ) T ϱ (R n ), (V x ψ x ) k (W χ) = χ ψx 1 C k [ψ x (V x W ) χ(v x W )] ψ x χ 1 C k [χ(v x W ) ψ x (V x W )] = χ(u V x W ) = (χ ψx 1 )(ψ x (U V x W )) T ϱ (R n ) = χ(u W ) = x U W χ(u V x W ) T ϱ (R n ). x U W : χ φ 1 = χ ψ 1 x ψ x φ 1 C k [φ(u V x W ) χ(u V x W )], φ χ 1 = φ ψ 1 x ψ x χ 1 C k [χ(u V x W ) φ(u V x W )], σ υνεπώς: χ φ 1 C k [ x U W φ(u V x W ) x U W χ(u V x W )] = C k [φ( x U W (U V x W )) χ( x U W (U V x W ))] = C k [φ(u W ) χ(u W )], φ χ 1 C k [ x U W χ(u V x W ) x U W φ(u V x W )] = = C k [χ( x U W (U V x W )) φ( x U W (U V x W ))] = C k [χ(u W ) φ(u W )], quod erat demonstrandum. Θεώρημα 1.1.1 (μέγιστος C k -άτλαντας). A [A] A k n(x), A A = [A] [A] A k n(x). Απόδειξη. Είναι προφανές ότι A [A] = A. Αρκεί να δείξουμε ότι A [A] A k n(x). Πράγματι, A = [A] = B [A] B = B [A] B = B [A] X = X. Επιπλέον, B [A], A B ισ οδύναμα, (U φ) A και B [A], (V ψ) B, ή (U φ) A και (V ψ) B [A] B = [A] = A, (U φ) και (V ψ) είναι C k -σ υμβιβασ τοί, οπότε A A A [A] A k n(x). 6 2 Oi qˆrtec enìc C k -ˆtlanta èqoun ìloi thn Ðdia diˆsvtasvh apì orisvmì 1.1.2. 3 upoenìthta Aþ.1.2 sth selðda 91 4 orisvmìc Aþ.1.2.1.1 5 upoenìthta Aþ.1.2.2 sth selðda 91 6 Autì pou lèei me ˆlla lìgia to je rhma eðnai ìti gia kˆje ˆtlanta A, upˆrqei mègisvtoc ˆtlac A, C k -svumbibasvtìc me ton A. Profan c, o A eðnai monadikìc, afoô A A, A [A], pìrisvma1.1.1.

1.1. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ 5 Πόρισ μα 1.1.1. Ο A είναι μεγισ τικός του (A k n(x) ). Απόδειξη. Ισ χυρισ μός. A, B A k n(x), A B B A = A k B. Πράγματι, αν π.χ. A B τότε A B = B A k n(x). Συνεπώς (A A = A A [A] = A [A] = A A ) = A = A. Πόρισ μα 1.1.2. (U φ) A και A U με φ(a) T ϱ (φ(u)), (A φ) A. Απόδειξη. (V ψ) A, φ(a V ) = φ(a) φ(v ) T ϱ (R n ). φ ψ 1 C k [φ(u V ) ψ(u V )] = (ψ φ 1 )(φ(a V )) = ψ(a V ) T ϱ (R n ). φ(a V ) φ(u V ) και ψ(a V ) ψ(u V ), οπότε και ψ φ 1 C k [φ(a V ) ψ(a V )] και φ ψ 1 C k [ψ(a V ) φ(a V )]. Ορισ μός 1.1.6 (C k -πολλαπλότητα). Ενα σ ύνολο X εφοδιασ μένο με ένα μέγισ το άτλαντα A A k n(x) καλείται C k -πολλαπλότητα διασ τάσ εως n. Ειδικότερα: για k =, καλείται διαφορική πολλαπλότητα διασ τάσ εως n, για k = ω, καλείται αναλυτική πολλαπλότητα διασ τάσ εως n, για k = 0, καλείται τοπολογική πολλαπλότητα διασ τάσ εως n. Το σ ύνολο X καλείται και φορέας της πολλαπλότητας. Γράφουμε (X A) και X = A = n. Ορισ μός 1.1.7 (κανονική τοπολογία πολλαπλότητας). Εσ τω τοπολογική πολλαπλότητα (X A). Η οικογένεια T A (X) := {A X (U φ) A, φ(a U) T ϱ (R X )} σ υνισ τά τοπολογία 7 του X, η οποία ονομάζεται και κανονική τοπολογία της πολλαπλότητας (X A). Απόδειξη. Πράγματι: T 1 : T 2 : T 3 : φ( U) = T ϱ (R X ) = T A (X) & φ(x U) = φ(u) T ϱ (R X ) = X T A (X), {A i } i I T A (X), φ( i I A i U) = φ( i I (A i U)) = i I φ(a i U) T ϱ (R X ) οπότε A i T A (X), i I {A i } n T A(X), φ( n A i U) = φ( n (A i U)) = n φ(a i U) T ϱ (R X ) οπότε n A i T A (X), quod erat demonstrandum. Θεώρημα 1.1.2. Εσ τω τοπολογική πολλαπλότητα (X A). Τότε A είναι βάσ η της κανονικής τοπολογίας T A. Απόδειξη. Ισ χυρισ μός. (U φ) A, U T A. Πράγματι, (U φ) A και (V ψ) A, ψ(u V ) T ϱ (R X ) σ υνεπώς U T A. x A T A, (U x φ x ) A τέτοιος, ώσ τε x U x T A σ υνεπώς x U x A A. Επιπλέον, (U x A φ) A 8. Τότε (U x A) = A, quod erat demonstrandum. 7 orisvmìc Aþ.1.1.1 8 orisvmìc 1.1.7 kai pìrisvma 1.1.2 x A

6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ 1.2 DIAFORISIMES APEIKONISEIS Ορισ μός 1.2.1 (τοπική παρασταση απεικόνισης). Εσ τω σ υνάρτησ η f : X Y μεταξύ διαφορικών πολλαπλοτήτων (X A), (Y B). Ισ χυρισ μός. x X, (U φ) A και (V ψ) B τέτοιοι, ώσ τε x U f 1 (V ). Πράγματι, έσ τω x A. Από ορισ μό 1.1.3 έχουμε ότι (U φ) A με x U. f(x) Y επομένως, ομοίως (V ψ) B με f(x) V, σ υνεπώς x f 1 (V ), οπότε και x U f 1 (V ). Ορίζεται τότε η τοπική παράσ τασ η της σ υνάρτησ ης f σ το x ως η σ υνάρτησ η φ X R X f F := ψ f φ 1 Y R Y ψ F := ψ f φ 1 : R X φ(u f 1 (V )) ψ(v ) R Y. Σχόλιο. Στην περίπτωσ η που Y = R Y, τότε αρκεί να (U φ) A με x U και φ X R X F := f φ 1 f R Y F := f φ 1 : R X φ(u) R Y. Στην περίπτωσ η που X = R X, τότε αρκεί να (V ψ) B με f(x) V και f R X F := ψ f Y R Y ψ F := ψ f : R X ψ(v ) R Y. Στην περίπτωσ η που X = R X και Y = R Y, x X, F f. Επιπλέον, σ την γενική περίπτωσ η πάλι των X και Y, ορίζονται οι προβολές της τοπικής παράσ τασ ης της σ υνάρτησ ης f με τον γνωσ τό τρόπο: i N Y, F i := π i F = π i ψ f φ 1 = y i f φ 1 = f i φ 1 : R X φ(u f 1 (V )) R. Ορισ μός 1.2.2 (διαφορισιμότητα απεικόνισης). Εσ τω σ υνάρτησ η f : X Y μεταξύ διαφορικών πολλαπλοτήτων (X A) και (Y B). Η f είναι διαφορίσ ιμη k-τάξης σ ε ένα x X αν και μόνο αν (U φ) A και (V ψ) B τέτοιοι, ώσ τε (U f 1 (V ) φ) A με x U f 1 (V ) 9 και ψ f φ 1 C k φ(x) [RX R Y ]. Η f είναι διαφορίσ ιμη k-τάξης αν και μόνο αν είναι διαφορίσ ιμη k-τάξης x X. Ισ χυρισ μός. n N, (R n {(R n id(r n ) : R n R n )}) είναι αναλυτική πολλαπλότητα διάσ τασ ης n. Πράγματι, id(r n )(R n ) T ϱ (R n ), id(r n ) id 1 (R n ) = id 1 (R n ) id(r n ) C ω [R n R n ] και {R n } = R n. Άρα έχουμε βρει αναλυτικό άτλα για τον R n επομένως υπάρχει μέγισ τος άτλας 10 που να ορίζει την εν λόγω πολλαπλότητα. 9 Autì ed eðnai polô svhmantikì. Ston orisvmì thc diaforisvimìthtac jèloume h F na orðzetai sve anoiqtì uposvônolo tou R X. Prˆgmati, apì to pìrisvma 1.1.2 èqoume ìti (U φ) A (f 1 (V ) φ) A φ(u) T ϱ(r X ) φ(f 1 (V )) T ϱ(r X ) = φ(u f 1 (V )) = φ(u) φ(f 1 (V )) T ϱ(r X ) (U f 1 (V ) φ) A. 10 ApodeiknÔetai ìti oi qˆrtec enìc tètoiou ˆtlanta eðnai ìla ta anoiqtˆ me th svun jh topologða tou R n efodiasvmèna me thn tautotik apeikìnisvh.

1.2. ΔΙΑΦΟΡΙΣΙΜΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 7 Σχόλιο. Με βάσ η τον παραπάνω ισ χυρισ μό, γενικεύεται η έννοια της διαφορισ ιμότητας από τον R n σ τις πολλαπλότητες. Γράφουμε f C k x[x Y ] αν η f είναι διαφορίσ ιμη k-τάξης σ το x X και f C k [X Y ] αν η f είναι διαφορίσ ιμη k-τάξης. 11 Λήμμα 1.2.1. Εσ τω σ υνάρτησ η f C k x[x Y ] μεταξύ διαφορικών πολλαπλοτήτων (X A) και (Y B) και x X. Τότε ψ f φ 1 C k φ(x) [RX R Y ], (U φ) A και (V ψ) B με (U f 1 (V ) φ) A και x U f 1 (V ). Απόδειξη. (A α) A και (B β) B με x A f 1 (B) A και β f α 1 C k α(x) [RX R Y ]. (U φ) A και (V ψ) B με x U f 1 (V ) A, ψ f φ 1 = ψ (β 1 β) f (α 1 α) φ 1 = (ψ β 1 ) (β f α 1 ) (α φ 1 ) C k φ(x) [RX R Y ]. Ισ χυρισ μός. Με βάσ η την απαίτησ η του ορισ μού 1.2.2, (U f 1 (V ) φ) A και το λήμμα 1.2.1 μπορούμε πάντα να διαλέγουμε τοπική παράσ τασ η της f τέτοια, ώσ τε f(u) V. Πράγματι f(u f 1 (V )) f(u) V V, οπότε θέτουμε (U φ) (U f 1 (V ) φ) A. Πρότασ η 1.2.1. Εσ τω διαφορικές πολλαπλότητες (X A), (Y B), (Z C), x X και σ υναρτήσ εις f C k x[x Y ] και g C k f(x) [Y Z]. Τότε h = g f Ck x[x Z]. Απόδειξη. Εσ τω (U φ) A, (V ψ) B, (W χ) C με F = ψ f φ 1 C k φ(x) [RX R Y ] και F = χ g ψ 1 C k ψ(f(x)) [RY R Z ]. Τότε G F = χ h φ 1 C k φ(x) [RX R Z ]: H χ h φ 1 : R X φ(u f 1 (V g 1 (W ))) χ(w ) R Z Ισ χυρισ μός. Η H αποτελεί τοπική παράσ τασ η της h = g f. Πράγματι, έχουμε φ(u f 1 (V g 1 (W ))) = φ(u f 1 (V ) h 1 (W )). Από ορισ μό 1.2.2 για την f, (U f 1 (V ) φ) A με x U f 1 (V ) προφανώς. Για τη g, (W χ) C με g(f(x)) = h(x) W = x h 1 (W ). Άρα x U f 1 (V ) h 1 (W ). 12 Σχόλιο. Φυσ ικά, από κατασ κευή της τοπικής παράσ τασ ης σ ύνθετης σ υνάρτησ ης έχουμε H = G F. Ορισ μός 1.2.3 (τοπικά ορισμένες απεικονίσεις). Εσ τω σ υνάρτησ η f : X domf Y μεταξύ διαφορικών πολλαπλοτήτων (X A), (Y B). Η f είναι τοπικά ορισ μένη σ το x X αν και μόνο αν (A α) A τέτοιος, ώσ τε x A και A domf. Η f τότε, λέμε ότι είναι και τοπικά ορισ μένη σ το A αφού εμφανώς, η f είναι τοπικά ορισ μένη σ το x, x A. Παράδειγμα 1.2.1. (A α) A, α : X A R X είναι τοπικά ορισ μένη σ υνάρτησ η. Σχόλιο. Ολα όσ α ισ χύουν για σ υναρτήσ εις μεταξύ πολλαπλοτήτων (π.χ.: διαφορισ ιμότητα κ.λ.π.) ισ χύουν και για τις τοπικά ορισ μένες σ υναρτήσ εις με την αντικατάσ τασ η A U U, όπου (A α) A κάθε φορά ο τοπικός χάρτης ορισ μού της τοπικά ορισ μένης σ υνάρτησ ης και (U φ) A. Από πόρισ μα 1.1.2 (A U φ) A και (U f 1 (V ) φ) A = (A U f 1 (V ) φ) A. Με αυτόν τον τρόπο δε χρειάζεται να αναφερόμασ τε ειδικά κάθε φορά αν η σ υνάρτησ η είναι τοπικά ορισ μένη ή όχι. Κάθε απεικόνισ η k-τάξης: για k = ονομάζεται διαφορίσ ιμη, για k = ω ονομάζεται αναλυτική και για k = 0 ονομάζεται σ υνεχής. Επεκτείνουμε το σ ύνολο C k x[x Y ] ώσ τε να περιλαμβάνει και τις τοπικά k-τάξης απεικονίσ εις. 11 Sto ex c ja grˆfoume apokleisvtikˆ f Cx[X Y k ], gia na svumperilˆboume svton orisvmì kai tic analutikèc kai tic svuneqeðc svunart sveic. 12 OmoÐwc, me bˆsvh to svqìlio tou l mmatoc 1.2.1, mporoôsvame na poôme ìti afoô f(u) V kai g(v ) W tìte h(u) = (g f)(u) = g(f(u)) g(v ) W kai ˆra h H eðnai topik parˆsvtasvh thc h.

8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ Ορισ μός 1.2.4 (εφαπτόμενες απεικονίσεις). Εσ τω διαφορικές πολλαπλότητες (X A), (Y B), x X και σ υναρτήσ εις f C k x[x Y ] και g C k x[x Y ], k 0. Οι σ υναρτήσ εις f και g εφάπτονται σ το x αν και μόνο αν f(x) = g(x) και, (U φ) A και (V ψ) B τέτοιοι, ώσ τε x U f 1 (V ) και 13 DF φ(x) = DG φ(x). Γράφουμε f x g. Λήμμα 1.2.2. Ο ορισ μός 1.2.4 είναι ανεξάρτητος της τοπικής παράσ τασ ης. Απόδειξη. f x g, σ υνεπώς (A α) A και (B β) B τέτοιοι, ώσ τε x A f 1 (B) και DF α(x) D(β f α 1 ) α(x) = D(β g α 1 ) α(x) DG α(x). Εσ τω (U φ) A και (V ψ) B με x U f 1 (V ). Τότε DF φ(x) D(ψ f φ 1 ) φ(x) = D(ψ β 1 ) β(f(x)) D(β f α 1 ) α(x) D(α φ 1 ) φ(x) = D(ψ β 1 ) β(g(x)) D(β g α 1 ) α(x) D(α φ 1 ) φ(x) = D(ψ g φ 1 ) φ(x) DG φ(x). Πρότασ η 1.2.2. (C k x[x Y ] x ) είναι χώρος με διαμέρισ η k 0. Απόδειξη. Πράγματι: S 1 : f C k x[x Y ], DF φ(x) = DF φ(x) = f x f, S 2 : f, g C k x[x Y ], (DF φ(x) = DG φ(x) = DG φ(x) = DF φ(x) ) = (f x g = g x f), Για το S 3, έσ τω f, g, h C k x[x Y ] με f x g και g x h. Τότε f(x) = g(x) = h(x). Με βάσ η το λήμμα 1.2.2, (A α) A και (B β) B τέτοιοι, ώσ τε x A f 1 (B) και F, G, H C k α(x) [RX R Y ] από κοινού. Τότε προφανώς από υπόθεσ η, DF φ(x) = DG φ(x) = DH φ(x). Πρότασ η 1.2.3. Ο χώρος πηλίκο C k x[x Y ]/ x των κλάσ εων εφαπτόμενων σ υναρτήσ εων από την X σ την Y εφοδιασ μένος με άθροισ μα + : (C k x[x Y ]/ x ) (C k x[x Y ]/ x ) C k x[x Y ]/ x τέτοιο, ώσ τε f, g C k x[x Y ]/ x, [f] x + [g] x = [f + g] x, βαθμωτό πολλαπλασ ιασ μό : R (C k x[x Y ]/ x ) C k x[x Y ]/ x τέτοιον, ώσ τε λ R και f C k x[x Y ]/ x, λ[f] x = [λf] x, και γινόμενο : (C k x[x Y ]/ x ) (C k x[x Y ]/ x ) C k x[x Y ]/ x τέτοιο, ώσ τε f, g C k x[x Y ]/ x, [f] x [g] x = [fg] x, σ υνισ τά άλγεβρα πάνω σ το R. C k x[x Y ]/ x είναι η άλγεβρα-πηλίκο της άλγεβρας C k x[x Y ]. 1.3 EFAPTOMENOS QWROS 1.3.1 Gewmetrikìc orisvmìc. Ορισ μός 1.3.1.1 (εφαπτόμενος χώρος). Εσ τω διαφορική πολλαπλότητα (X A), και C0 [R X] το σ ύνολο όλων των τοπικά λείων σ το 0 R καμπύλων του X. 14 C x X {α C0 [R X] α(0) = x} είναι το σ ύνολο των τοπικά λείων σ το 0 R καμπύλων, που διέρχονται από το x X. Τότε, ο (C x X x ) είναι χώρος με διαμέρισ η και T x X C x X/ x ορίζεται ως ο εφαπτόμενος χώρος της X σ το x, τα σ τοιχεία του T x X ονομάζονται εφαπτόμενα διανύσ ματα 15 και σ υμβολίζονται ως υ [x α] T x X (σ υμβολισ μός κλάσ ης). 13 'Esvtw dianusvmatik svunˆrthsvh F : R n R m. Tìte: F 1 F 1 x 1 x x n x DF x =......., F m F m x 1 x x n x o pðnakac Jacobi dhlad thc F svto x. Sthn pragmatikìthta, eðnai mia grammik apeikìnisvh, DF x : R n R m, x R n. H olik parˆgwgoc thc F wc svunˆrthsvh svto pedðo orisvmoô thc eðnai mia svunˆrthsvh thc morf c D : R n R n R m R m me DF (x z) = (F (x) DF x(z)). EpÐsvhc, an G : R m R k, tìte D(G F ) x = DG F (x) DF x kai D(G F ) = DG DF. 14 α : R I X, 0 I. Ston R mporoôme pˆnta na upojèsvoume to diˆsvthma I arketˆ mikrì svte α(i) U. Prˆgmati, an ìqi, tìte U {α(0)} kai ˆra T ϱ(r n ) φ(u) {φ(α(0))} / T ϱ(r n ), ˆtopo. H topik parˆsvtasvh tètoiwn kampôlwn svton (U φ) A ja eðnai thc morf c (svqìlio orisvmoô 1.2.1) α x φ α : R I R X. 15 je rhma 1.3.1.1

1.3. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ 9 Ορισ μός 1.3.1.2. Εσ τω (U φ) A και η απεικόνισ η φ : T x X R X με φ (υ ) := D(φ α) 0, 16 υ [x α] T x X. Λήμμα 1.3.1.1. Η φ είναι αμφιμονοσ ήμαντη. Απόδειξη. Εσ τω u [x α] T x X και v [x β] T x X με φ (u ) = φ (v ). Τότε D(φ α) 0 = D(φ β) 0 δηλαδή α x β, σ υνεπώς u [x α] = [x β] v. Εσ τω h R X και σ : R R X με σ(t) := φ(x)+th. Εσ τω α := φ 1 σ : R X. Τότε α C x X αφού φ α = σ C ω 0 [R R X ] C 0 [R R X ]. Εσ τω υ [x α] T x X. Τότε φ (υ ) = D(φ α) 0 = Dσ 0 = h. Σχόλιο. Τότε ορίζεται 17 η αντίσ τροφη της φ, φ 1 : R X T x X. Λήμμα 1.3.1.2. (U φ), (V ψ) A, D(ψ φ 1 ) φ(x) = ψ φ 1 : R X R X Απόδειξη. Εσ τω h R X και υ [x α] T x X με φ 1 (h) = υ. Τότε (ψ φ 1 )(h) = ψ (φ 1 (h)) = ψ (υ ) = D(ψ α) 0 = D(ψ φ 1 φ α) 0 = D(ψ φ 1 ) φ(x) D(φ α) 0 = D(ψ φ 1 ) φ(x) φ (υ ) = D(ψ φ 1 ) φ(x) h. Λήμμα 1.3.1.3. λ, µ R, u, v T x X και (U φ), (V ψ) A, φ 1 (λφ (u ) + µφ (v )) = ψ 1 (λψ (u ) + µψ (v )). Απόδειξη. D(ψ φ 1 ) φ(x) : R X R X είναι γραμμική επομένως και από λήμμα 1.3.1.2, (ψ φ 1 )(λφ (u )+ µφ (v )) = D(ψ φ 1 ) φ(x) (λφ (u ) + µφ (v )) = λd(ψ φ 1 ) φ(x) φ (u ) + µd(ψ φ 1 ) φ(x) φ (v ) = λ(ψ φ 1 )(φ (u )) + µ(ψ φ 1 )(φ (v )) = λψ (u ) + µψ (v ). Θεώρημα 1.3.1.1. Ο χώρος T x X εφοδιασ μένος με πρόσ θεσ η + : T x X T x X T x X τέτοια, ώσ τε u, v T x X, u + v := φ 1 (φ (u ) + φ (v )), και βαθμωτό πολλαπλασ ιασ μό : R T x X T x X τέτοιο, ώσ τε είναι διανυσ ματικός χώρος σ το R. 18 λ R και u T x X, λu := φ 1 (λφ (u )), Σχόλιο. Από λήμμα 1.3.1.1 η φ 1 είναι ισ ομορφισ μός διανυσ ματικών χώρων και άρα {φ 1 (e i )} X, όπου {e i } X η κανονική βάσ η 19 του R X, είναι βάσ η του T x X. 20 Συμβολίζουμε i N X, x i = φ 1 (e i ) με υ = x X υ i x i. x όπου (υ i ) X οι σ υνισ τώσ ες του εφαπτόμενου διανύσ ματος υ T x X. 16 0 (φ α)(t) = d(φ α) dt (t). 0 H 0 (φ α) den eðnai akrib c svtoiqeðo tou R X kaj c den eðnai diˆnusvma allˆ grammik apeikìnisvh. H apeikìnisvh aut ìmwc anaparisvtˆ parametropoihmènh eujeða kai aut antiprosvwpeôetai apì èna diˆnusvma. 'Ara o orisvmìc eðnai kalìc, modulo isvomorfisvmì. 17 orisvmìc Aþ.2.1.1 18 Oi orisvmoð twn prˆxewn eðnai kaloð qˆrh svto l mma 1.3.1.3. 19 orisvmìc A.3.1.9. 20 je rhma A.3.2.1.

10 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ 1.3.2 Algebrikìc orisvmìc. Ορισ μός 1.3.2.1 (σημειακή παραγώγιση). Εσ τω διαφορική πολλαπλότητα (X A) και x X. Η l : C x [X R] R καλείται σ ημειακή παραγώγισ η της άλγεβρας C x [X R] αν και μόνο αν: λ, µ R και f, g C x [X R], l(λf + µg) = λl(f) + µl(g) (γραμμικότητα), f, g C x [X R], l(fg) = f(x)l(g) + g(x)l(f) (κανόνας γινομένου Leibniz). Ονομάζουμε D x X το σ ύνολο όλων των σ ημειακών παραγωγίσ εων της C [X R]. Λήμμα 1.3.2.1. Ο χώρος D x X εφοδιασ μένος με τις πράξεις σ υναρτήσ εων είναι διανυσ ματικός χώρος. Απόδειξη. Εχουμε: λ 1, λ 2 R και f 1, f 2 C x [X R], (µ 1 l 1 +µ 2 l 2 )(λ 1 f 1 +λ 2 f 2 ) = µ 1 l 1 (λ 1 f 1 +λ 2 f 2 )+µ 2 l 2 (λ 1 f 1 +λ 2 f 2 ) = µ 1 (λ 1 l 1 (f 1 )+λ 2 l 1 (f 2 ))+µ 2 (λ 1 l 2 (f 1 )+λ 2 l 2 (f 2 )) = λ 1 (µ 1 l 1 (f 1 )+µ 2 l 2 (f 1 ))+λ 2 (µ 1 l 1 (f 2 )+µ 2 l 2 (f 2 )) = λ 1 (µ 1 l 1 + µ 2 l 2 )(f 1 ) + λ 2 (µ 1 l 1 + µ 2 l 2 )(f 2 ), f 1, f 2 C x [X R], (µ 1 l 1 + µ 2 l 2 )(f 1 f 2 ) = µ 1 l 1 (f 1 f 2 ) + µ 2 l 2 (f 1 f 2 ) = µ 1 (f 1 (x)l 1 (f 2 ) + f 2 (x)l 1 (f 1 )) + µ 2 (f 1 (x)l 2 (f 2 )+f 2 (x)l 2 (f 1 )) = f 1 (x)(µ 1 l 1 (f 2 )+µ 2 l 2 (f 2 ))+f 2 (x)(µ 1 l 1 (f 1 )+µ 2 l 2 (f 1 )) = f 1 (x)(µ 1 l 1 + µ 2 l 2 )(f 2 ) + f 2 (x)(µ 1 l 1 + µ 2 l 2 )(f 1 ), δηλαδή η µ 1 l 1 + µ 2 l 2 είναι γραμμική και ικανοποιεί τον κανόνα του Leibniz. Ορισ μός 1.3.2.2. υ [x α] T x X, ορίζουμε l υ D x X τέτοιο, ώσ τε f C x [X R], l υ (f) = D(f α) 0. 21 Ταυτίζουμε το l υ με το υ και γράφουμε f C x [X R], υ (f) := l υ (f), δηλαδή το εφαπτόμενο διάνυσ μα υ είναι και κλάσ η ισ οδυναμίας και απεικόνισ η. Ισ χυρισ μός. υ D x X. λ, µ R και f, g C x [X R], υ (λf + µg) D((λf + µg) α) 0 = D(λ(f α) + µ(g α)) 0 = λd(f α) 0 + µd(g α) 0 λυ (f) + µυ (g), f, g C x [X R], υ (fg) D((fg) α) 0 = D((f α)(g α)) 0 = f(x)d(g α) 0 + g(x)d(f α) 0 = f(x)υ (g) + g(x)υ (f). Σχόλιο. Με βάσ η τον ορισ μό 1.3.2.2 γράφουμε f x i := x x i (f). x Παρατήρησ η 1.3.2.1. Με βάσ η τον ορισ μό 1.3.2.2 έχουμε υ T x X, υ i = (π i φ )(υ ) = π i (φ (υ )) = π i (D(φ α) 0 ) = Dπ i φ(x) D(φ α) 0 = D(π i φ α) 0 = D(x i α) 0 = υ(x i ). 22 Γράφουμε υ = X υ (x i ) x i. x Λήμμα 1.3.2.2. 23 f C x [X R], (U φ) A με x U και φ(x) = 0 έτσ ι, ώσ τε X f = f(x) + x i f i με f i (x) := f x i. x 21 O orisvmìc eðnai kalìc: D(f α) 0 = D(f φ 1 φ α) 0 = D(f φ 1 ) φ(x) D(φ α) 0 = D(f φ 1 ) φ(x) (D(φ α) 0 ) = D(f φ 1 ) φ(x) (φ (υ )), anexˆrthto thc α [x α]. 22 x, y R, Duπ i xy = y e i = y i = π i (y), dhlad Dπ i x = π i. 23 'Opwc parousviˆzetai svto [1].

1.3. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ 11 Απόδειξη. Ο άτλαντας A είναι μέγισ τος οπότε (U φ) A με x U, επιλέγουμε (U φ ) A με φ = φ φ(x), οπότε και φ (x) = 0. Άρα χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να θεωρήσ ουμε ότι φ(x) = 0. Εσ τω h = f φ 1 : R X φ(u) R. f C x [X R] = h C [φ(u) R] 24 και (u i ) X φ(u) R X, Θέτοντας i N X, έπεται ότι ˆ1 h((u i ) X ) h(0) = ισ οδύναμα, θέτοντας f i = h i φ C [U R], 25 Δεδομένου ότι δηλαδή 0 X dh dt ((tui ) X )dt = ˆ1 u i ˆ1 h i ((u i ) X h ) = π i ((tui ) X )dt, 0 X h = h(0) + u i h i, X f φ 1 = f(x) + u i (f i φ 1 ). 0 h π i ((tui ) X )dt. f i (x) = (h i φ)(x) = h i (φ(x)) = h i (0) = h π i = 0 π i (f φ 1 ), φ(x) ( ) f i (x) = π i D(f φ 1 ) φ(x) = D(f φ 1 ) φ(x) e i = D(f φ 1 ) φ(x) φ x i = f x x i, x έχουμε το ζητούμενο. Θεώρημα 1.3.2.1. Οι χώροι T x X και D x X ταυτίζονται modulo ισ ομορφισ μό. Απόδειξη. Αρκεί να δείξουμε ότι η αντισ τοιχία του ορισ μού 1.3.2.2 είναι ισ ομορφισ μός 26 μεταξύ T x X και D x X. Πράγματι: u, v T x X με l u = l v και f C x [X R], u (f) = v (f) οπότε (U φ) A με x U, u (x i ) = v (x i ) = u i = v i = u = v. l D x X, υ T x X τέτοιο, ώσ τε υ i = l(x i ). Τότε l = l υ. Πράγματι, f Cx [X R], ( ) X X l(f) = l f(x) + x i f i = l(f(x)) + (x i (x)l(f i ) + l(x i )f i (x)). φ(x) = 0, σ υνεπώς i N X, x i (x) = 0. Επιπλέον f i (x) = f x i, x και προφανώς l(f(x)) = 0 27, οπότε l(f) = X l(x i )f i (x) = X υ i f x i = υ (f). x 24 Upì thn ènnoia ìti an h C φ(x) [φ(u) R] tìte V Tϱ(Rn ) me x V tètoio, svte h C [V R]. Epeid A mègisvtoc, qwrðc blˆbh thc genikìthtac epilègoume U tètoio, svte φ(u) V. 25 φ(x) = 0 kai h(0) = (f φ 1 )(φ(x)) = f(x) 26 orisvmìc A.3.2.2. 27 'Eqoume l D xx, l(1) = l(1 1) = 1 l(1) + 1 l(1), svunep c l(1) = 0 (upoenìthta A.3) kai ˆra l(f) = 0, f Cx [X R] svtajer.

12 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ Ισ χυρισ μός. Η αντισ τοιχία είναι γραμμική. Πράγματι, λ, µ R, u [x α], v [x β] T x X και f C x [X R], από υποσ ημείωσ η 21 στη σελίδα 10 και επειδή φ είναι γραμμική 28, (λu + µv )(f) = D(f φ 1 ) φ(x) φ (λu + µv ) = D(f φ 1 ) φ(x) (λφ (u ) + µφ (v )) = λd(f φ 1 ) φ(x) φ (u ) + µd(f φ 1 ) φ(x) φ (v ) = λu (f) + µv (f). 1.3.3 Parˆgwgoc svunˆrthsvhc. Ορισ μός 1.3.3.1 (σημειακή παραγώγιση απεικόνισης). Εσ τω διαφορικές πολλαπλότητες (X A), (Y B) και x X. Η απεικόνισ η d x : C x [X Y ] L[T x X T f(x) Y ] : f df x : T x X T f(x) Y : [x α] df x [x α] := [f(x) f α] καλείται σ ημειακή παραγώγισ η της άλγεβρας C x [X Y ]. 29 Ισ χυρισ μός. f C x [X Y ], g C f(x) [Y R] και υ T x X, df x (υ )(g) = υ (g f). Πράγματι, df x (υ )(g) = D(g (f α)) 0 = D((g f) α) 0 = υ (g f). Λήμμα 1.3.3.1. f C x [X Y ] και g C f(x) [Y Z], d(g f) x = dg f(x) df x. Απόδειξη. z [x α] T x X, d(g f) x [x α] = [g(f(x)) g f α] = dg f(x) [f(x) f α] = dg f(x) df x [x α]. Ισ χυρισ μός. df x = ψ 1 DF φ(x) φ. Ειδικότερα, dφ x = φ. Πράγματι, υ [x α] T x X, ψ (df x [x α]) = ψ ([f(x) f α]) = D(ψ f α) 0 = D(ψ f φ 1 ) φ(x) D(φ α) 0 = DF φ(x) DA 0 = DF φ(x) φ (υ ). Εσ τω Y R X και f φ. Τότε f x = f φ 1 = φ φ 1 = id(r X ), σ υνεπώς φ(x) f x = id. Επιπλέον, ψ id(r X ) 30 επομένως έχουμε το ζητούμενο. Με βάσ η τα παραπάνω (dφ x ) 1 dφ 1 φ(x) : R X T x X : h dφ 1 φ(x) h := [x a φ 1 (σ : R R X : t σ(t) := φ(x) + th)], DF φ(x) = dψ f(x) df x dφ 1 φ(x). Επιπλέον υ [x α] T x X και f C x [X R], υ (f) = D(f α) 0 = D(f φ 1 ) φ(x) D(φ α) 0 = df x dφ 1 φ(x) dφ x υ = df x υ, οπότε και όπου df j x = f j i X dx i x f j i (x), j f (x) = x i, x με f j y j f. Από ορισ μό 1.3.2.1, i N X και j N f(x), f j i (x) R, επομένως, μπορεί να ορισ τεί ο πίνακας Jacobi της f σ το x αντίσ τοιχο της df x, J x (f) M f(x) X [R]. Τότε J x (f) = J φ(x) (ψ f φ 1 ). j N X dψ 1 ψ(x) e j = d(ψ 1 φ) x dφ 1 φ(x) e j, ή σ ε αλλαγή σ υντεταγμένων. y j = x X x i y j x x i. x 28 je rhma 1.3.1.1. 29 O orisvmìc eðnai kalìc: (U φ), (V ψ) A me x U f 1 (V ) kai β [x α], D(ψ f α) 0 = D(ψ f φ 1 ) φ(x) D(φ α) 0 = DF φ(x) DA 0 = DF φ(x) DB 0 = D(ψ f φ 1 ) φ(x) D(φ β) 0 = D(ψ f β) 0, dhlad f β [f(x) f α]. 30 Ed upojètoume T φ(x) R X R X, alli c de mporoôme na èqoume dφ x = φ. Prˆgmati, mia klˆsvh [y β] kampul n svton R X ja eðqe ψ ([y β]) = D(ψ β) 0 = Dβ 0, opìte ìpwc kai me touc antðsvtoiqouc qˆrtec, kai ed jewroôme ìti h ψ den upˆrqei. Me aut n th logik, υ [x α] T xx kai f Cx [X R], df xυ R, dhlad df x L[T xx R] (T xx) =: Tx X (upoenìthta A.3.2).

1.4. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΔΕΣΜΗ 13 1.4 EFAPTOMENH DESMH Ορισ μός 1.4.1 (εφαπτόμενη δέσμη). Εσ τω διαφορική πολλαπλότητα (X A), x X. Ορίζουμε την εφαπτόμενη δέσ μη ως 31 T (X) := T x X. Επειδή x, y X, T x X T y X =, γράφουμε και x X T (X) = x X T x X. Η πολλαπλότητα X καλείται και βάσ η της εφαπτόμενης δέσ μης T (X). Ορισ μός 1.4.2 (απεικόνιση προβολής στη βάση). Εφοδιάζουμε την εφαπτόμενη δέσ μη με μια απεικόνισ η προβολής σ τη βάσ η X της T (X), Ισ οδύναμα, π 1 ({x}) := π 1 (x) T x X T (X). π : T (X) X : T x X z π(z) := x. Λήμμα 1.4.1. Εσ τω διαφορική πολλαπλότητα (X A) και (U φ) A. (π 1 (U) α) έτσ ι, ώσ τε 32 α : T (X) T (U) π 1 (U) φ(u) R X : T x X z α(z) := (φ(x) dφ x z), π(z) = x U X είναι τοπικός χάρτης της T (X). Απόδειξη. Εχουμε: z 1, z 2 π 1 (U), α(z 1 ) = α(z 2 ) = φ(π(z 1 )) = φ(π(z 2 )) = π(z 1 ) = π(z 2 ) = x U. Τότε z 1, z 2 T x X με dφ x z 1 = dφ x z 2, σ υνεπώς z 1 = z 2. Η απεικόνισ η α x : T (X) T (U) π 1 (U) π 1 (x) T x X {x} R X φ(u) R X R 2X είναι επί x U, καθώς και η φ : U φ(u). Επιπλέον, φ(u) R X T ϱ (R 2 X ). Λήμμα 1.4.2. Εσ τω διαφορική πολλαπλότητα (X A). T (A) := {(π 1 (U) α) (U φ) A} είναι διαφορικός άτλαντας της T (X). Απόδειξη. Ισ χυρισ μός. Η T (A) είναι άτλαντας της T (X). Πράγματι, T (X) = π 1 (X) = π 1 ( (U φ) A U) = (U φ) A π 1 (U). Ισ χυρισ μός. (U φ), (V ψ) A, (π 1 (U) α) και (π 1 (V ) β) είναι διαφορικώς σ υμβιβασ τοί. α(π 1 (U) π 1 (V )) = α(π 1 (U V )) = φ(u V ) R X T ϱ (R T (X) ), β(π 1 (U) π 1 (V )) = β(π 1 (U V )) = ψ(u V ) R X T ϱ (R T (X) ). Επιπλέον, x U V και z T x X: (β α 1 )(φ(x) dφ x z) = ((ψ φ 1 )(φ(x)) D(ψ φ 1 ) φ(x) dφ x z), (α β 1 )(ψ(x) dψ x z) = ((φ ψ 1 )(ψ(x)) D(φ ψ 1 ) ψ(x) dψ x z), quod erat demonstrandum. 31 T (X), not to be confused with the topology T (X) of a set X. 32 φ(x) := (φ π)(z), z T xx.

14 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ Θεώρημα 1.4.1. Εσ τω διαφορική πολλαπλότητα (X A). T (X) = 2 X. (T (X) T (A)) είναι διαφορική πολλαπλότητα με Ορισ μός 1.4.3 (παράγωγος/εφαπτόμενη απεικόνιση). Εσ τω διαφορικές πολλαπλότητες (X A), (Y B) και f C [X Y ]. Η απεικόνισ η d : C [X Y ] x X L(T x X T f(x) Y ) : f df : T (X) T (Y ) : T x X z df(z) := df x z T f(x) Y, x = π X (z), καλείται ολική παραγώγισ η της C [X Y ]. 33 Η df είναι η παράγωγος/εφαπτόμενη απεικόνισ η. Θεώρημα 1.4.2. Εσ τω διαφορικές πολλαπλότητες (X A), (Y B) και f C [X Y ]. Τότε df C [T (X) T (Y )]. Απόδειξη. Εσ τω (U φ) A ((π 1 (U) α) T (A)), (V ψ) B ((π 1 (U) β) T (B)), x U f 1 (V ) X, z T x X και η τοπική παράσ τασ ή της df, β df α 1 : φ(u f 1 (V )) R X ψ(v ) R Y. Ισ χυρισ μός. β df α 1 C [φ(u f 1 (V )) R X ψ(v ) R Y ]. Πράγματι, x U f 1 (V ) και z T x X, (β df α 1 )(φ(x) dφ x z) = (β df)(α 1 (φ(x) dφ x z)) = (β df)(z) = β(df(z)) = β(df x z) = (ψ(f(x)) dψ f(x) df x z) = (ψ(f(φ 1 (φ(x)))) dψ f(x) df x dφ 1 φ(x) dφ x z) = (F (φ(x)) DF φ(x) dφ x z). Ομως F C [φ(u f 1 (V )) ψ(v )] και DF φ(x) C [φ(u f 1 (V )) ψ(v )], που αποδεικνύει τον ισ χυρισ μό. 1.4.1 Dèsvmh plaisvðwn. Ορισ μός 1.4.1.1 (δέσμη πλαισίων). Εσ τω διαφορική πολλαπλότητα (X A), x X και B x X το σ ύνολο των βάσ εων (πλαισ ίων 34 ) του T x X. Ορίζουμε την δέσ μη πλαισ ίων ως B(X) := B x X. Επειδή x, y X, T x X T y X =, γράφουμε και x X B(X) = x X B x X. Η πολλαπλότητα X καλείται και βάσ η της δέσ μης πλαισ ίων B(X). Ορισ μός 1.4.1.2 (απεικόνιση προβολής). Ορίζεται η απεικόνισ η προβολής της B(X), Ισ οδύναμα, π 1 ({x}) := π 1 (x) B x X B(X). Ισ χυρισ μός. x X, B x X GL X (R) 35. π : B(X) X : B x X e π(e) := x. Πράγματι, έσ τω B x X e = (e i ) X T x X R X. Από αλγεβρικό ορισ μό του T x X, 36 δεδομένου ότι j N X, x j : X R, ορίζεται λ j i := e i (x j ) R και ο αντίσ τοιχος πίνακας λ[φ](e) GL X (R) T ϱ (M n n [R]). Προφανώς, λ[φ] : B x X GL X (R) είναι ισ ομορφισ μός. Λήμμα 1.4.1.1. Εσ τω διαφορική πολλαπλότητα (X A) και (U φ) A. (π 1 (U) α) έτσ ι, ώσ τε α : B(X) B(U) π 1 (U) φ(u) GL X (R) : B x X e α(e) := (φ(x), λ[φ](e)) με x = π(e) U, είναι τοπικός χάρτης της B(X). 33 H C [X Y ] den eðnai ˆlgebra, ìpwc kai h T (X) den eðnai dianusvmatikìc q roc kai h den eðnai grammik. 34 orisvmìc A.3.1.9 35 GL n(r) T ϱ(m n n [R]): general linear group, svônolo pragmatik n antisvtrèyimwn pinˆkwn n n me prˆxh ton pollaplasviasvmì pinˆkwn. EÐnai anoiqtì uposvônolo me th svun jh topologða tou M n n [R]. 36 orisvmìc 1.3.2.1

1.4. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΔΕΣΜΗ 15 Απόδειξη. Εχουμε: e 1, e 2 π 1 (U), α(e 1 ) = α(e 2 ) = φ(π(e 1 )) = φ(π(e 2 )) = π(e 1 ) = π(e 2 ) = x U. Τότε e 1, e 2 B x X με λ[φ](e 1 ) = λ[φ](e 2 ), σ υνεπώς e 1 = e 2. Η απεικόνισ η α x : B(X) B(U) π 1 (U) π 1 (x) B x X {x} GL X (R) φ(u) GL X (R) είναι επί x U, καθώς και η φ : U φ(u), οπότε έχουμε το ζητούμενο. Επιπλέον, φ(u) GL X (R) T ϱ (R X GL X (R) R X+(X)2 το ζητούμενο. R (1+X)X ) οπότε έχουμε Λήμμα 1.4.1.2. Εσ τω διαφορική πολλαπλότητα (X A). άτλαντας της B(X). B(A) := {(π 1 (U) α)} (U φ) A είναι διαφορικός Απόδειξη. Δείχνουμε τα παρακάτω: Ισ χυρισ μός. Η B(A) είναι άτλαντας της B(X). Πράγματι, B(X) π 1 (X) = π 1 ( (U φ) A U) = (U φ) A π 1 (U). Ισ χυρισ μός. (U φ), (V ψ) A, (π 1 (U) α) και (π 1 (V ) β) είναι διαφορικώς σ υμβιβασ τοί. α(π 1 (U) π 1 (V )) = α(π 1 (U V )) = φ(u V ) GL X (R) T ϱ (R B(X) ), β(π 1 (U) π 1 (V )) = β(π 1 (U V )) = ψ(u V ) GL X (R) T ϱ (R B(X) ). Επιπλέον, x U V και z T x X: (β α 1 )(ψ(x), λ[ψ](e)) = ((ψ φ 1 )(φ(x)), (λ[ψ] λ 1 [φ])(λ[φ](e))), X (λ[ψ] λ 1 [φ]) i k (λ[φ](e)) = λi k [ψ](e) = e i (y k ) = λ j i [φ](e) yk x j, δηλαδή, λ[ψ] λ 1 [φ] (D(ψ φ 1 ) φ(x) : GL X (R) GL X (R)) C [GL X (R) GL X (R)]. (α β 1 )(φ(x), λ[φ](e)) = ((φ ψ 1 )(ψ(x)), (λ[φ] λ 1 [ψ])(λ[ψ](e))), X (λ[φ] λ 1 [ψ]) j i (λ[ψ](e)) = λ j i [φ](e) = e i(x j ) = λi k [ψ](e) xj y k, δηλαδή, λ[φ] λ 1 [ψ] (D(φ ψ 1 ) ψ(x) : GL X (R) GL X (R)) C [GL X (R) GL X (R)]. quod erat demonstrandum. Θεώρημα 1.4.1.1. Εσ τω διαφορική πολλαπλότητα (X A). (B(X) B(A)) είναι διαφορική πολλαπλότητα με B(X) = X + (X) 2 = (1 + X) X. Σχόλιο. Εσ τω γραμμική απεικόνισ η f : R n R m. Τότε l N, επεκτείνεται η γραμμική απεικόνισ η f l : M n l [R] M m l [R] : i N m και j N l, a ij b ij = j=1 j=1 n f ik a kj, όπου x i y i = k=1 n f ik x k. Με αυτόν τον τρόπο ερμηνεύονται και οι D(ψ φ 1 ) φ(x) : GL X (R) GL X (R) και D(φ ψ 1 ) ψ(x) : GL X (R) GL X (R) σ την απόδειξη του λήμματος 1.4.1.2. k=1

16 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ 1.5 DIANUSMATIKA PEDIA 1.5.1 Gewmetrikìc orisvmìc. Ορισ μός 1.5.1.1 (διανυσματικό πεδίο). Εσ τω διαφορική πολλαπλότητα (X A). Μια απεικόνισ η ξ : X T (X) είναι διανυσ ματικό πεδίο του X αν και μόνο αν π X ξ = id X : 37 ξ X T (X) id X X (U φ) A και f C [U R], ορίζεται η πραγματική σ υνάρτησ η ξ(f) : U R : x ξ(f)(x) := ξ(x)(f). 38 Ειδικότερα, x X και (U φ) A με x U, x i C [U R], i N X. Ορίζεται ξ i := ξ(x i ) και : U B(U) π 1 xi X (U) : x (x) := xi x i B x X π 1 X (x). x Ισ χυρισ μός. Το σ ύνολο των διανυσ ματικών πεδίων επί του U με πράξεις ορισ μένες κατά σ ημείο ορίζουν ένα C [U R]-πρότυπο. Πράγματι, f C [U R], Αν i N X, ξ i C [U R] τότε π X ξ + η : U T (U) : x (ξ + η)(x) := ξ(x) + η(x), fξ : U T (U) : x (fξ)(x) := f(x)ξ(x). ξ = X ξ i x i. Ορίζεται X (X) το σ ύνολο όλων των διαφορίσ ιμων διανυσ ματικών πεδίων σ το X. Λήμμα 1.5.1.1. f C [X R] και (U φ) A, Απόδειξη. Εχουμε x U: df x dφ 1 φ(x) = X f x i dx i x dφ 1 φ(x) = x f x i C [U R]. X f x i D(x i φ 1 ) φ(x) = x X f x i Dπ i φ(x), x X D(f φ 1 (f φ 1 ) ) φ(x) = π i Dπ i φ(x), φ(x) D(f φ 1 ) φ(x) = df x dφ 1 φ(x) = f f (x) := xi x i = (f φ 1 ) x π i =: (f φ 1 ) φ(x) π i (φ(x)). f C [X R] = f φ 1 C [R X R] οπότε και quod erat demonstrandum. ( f (f φ 1 ) x i = ) π i C [R X R] φ C [X R]. 37 Autì diasvfalðzei ìti x X, ξ(x) π 1 X (x) TxX T (X). 38 ξ(x) T xx T (X).

1.5. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ 17 Θεώρημα 1.5.1.1 (διαφορίσιμα διανυσματικά πεδία). Εσ τω διαφορική πολλαπλότητα (X A) και x X. Τότε τα επόμενα είναι ισ οδύναμα: 1. ξ C x [X T (X)], 2. i N X, ξ i C x [X R], 3. f C x [X R], ξ(f) C x [X R]. Απόδειξη. 1. 2.. Εσ τω (U φ) A με x U. 39 Η τοπική παράσ τασ ή της ξ σ το x είναι της μορφής α ξ φ 1 : φ(u) φ(u) R X : φ(x) α(ξ(x)) = (φ(x) (π i (dφ x ξ(x))) X ), όπου i N X, π i (dφ x ξ(x)) = Dπ i φ(x) dφ x ξ(x) = d(π i φ) x ξ(x) = dx i x (ξ(x)) = ξ(x)(x i ) = ξ i (x) = (ξ i φ 1 )(φ(x)), δηλαδή (α ξ φ 1 )(φ(x)) = (φ(x) ((ξ i φ 1 )(φ(x))) X ). ξ C x [X T (X)] α ξ φ 1 C φ(x) [RX R T (X) ] ξ i φ 1 C φ(x) [RX R] ξ i C x [X R], i N X. 2. = 3.. f C x [X R], x X, (U φ) A τέτοιος, ώσ τε x U και ξ(f)(x) = ξ(x)(f) = X ξ i (x) f x i (x) ή, και από λήμμα 1.5.1.1, quod erat demonstrandum. ξ(f) = X ξ i f x i C x [X R]. Πόρισ μα 1.5.1.1. Τα βασ ικά διανυσ ματικά πεδία είναι διαφορίσ ιμα, δηλαδή (U φ) A, x i C [U T (U)]. Απόδειξη. Άμεσ η απόρροια του θεωρήματος 1.5.1.1 και του λήμματος 1.5.1.1. Σχόλιο. Με βάσ η τον ορισ μό 1.5.1.1 και το θεώρημα 1.5.1.1, το σ ύνολο X (X) είναι C [X R]-πρότυπο. 1.5.2 Algebrikìc orisvmìc. Ορισ μός 1.5.2.1 (ολική παραγώγιση). Εσ τω διαφορική πολλαπλότητα (X A) και x X. Η απεικόνισ η : C [X R] C [X R] καλείται ολική παραγώγισ η της άλγεβρας C [X R], αν και μόνο αν: λ, µ R και f, g C [X R], (λf + µg) = λ f + µ g (γραμμικότητα), f, g C [X R], (fg) = f g + g f (κανόνας γινομένου Leibniz). Το σ ύνολο των παραγωγίσ εων της C [X R] με πράξεις ορισ μένες κατά σ ημείο ορίζουν ένα C [X R]-πρότυπο. Ονομάζουμε το σ ύνολο αυτό D(X). Θεώρημα 1.5.2.1. D(X) X (X). Απόδειξη. Ισ χυρισ μός. Η απεικόνισ η x : C x [X R] R : f x f := f(x) ορίζει σ ημειακή παραγώγισ η της C x [X R]. Πράγματι, από τις κατά σ ημείο ιδιότητες του D(X) ως C [X R]-πρότυπο, προκύπτουν οι ιδιότητες του ορισ μού 1.3.2.1, δηλαδή, x D x X T x X. D(X), ορίζεται το διανυσ ματικό πεδίο ξ[ ] : X T (X) : x ξ[ ](x) := x. 39 ξ(u) π 1 X (U), (π 1 X (U) α) T (A) afoô (U φ) A.

18 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ Ισ χυρισ μός. D(X), ξ[ ] X (X). Πράγματι, f C [X R] και x X, ξ[ ](f)(x) := ξ[ ](x)(f) = x f = f(x) = ξ[ ](f) = f C [X R]. 1, 2 D(X) με ξ[ 1 ] = ξ[ 2 ], f C [X R], 1 f = 2 f = 1 = 2. η X (X), (η : C [X R] C [X R] : f η(f)) D(X) από θεώρημα 1.5.1.1. f C [X R], ξ[η](f) = η(f) = ξ[η] = η. Ισ χυρισ μός. Η αντισ τοιχία διανυσ ματικού πεδίου - παραγώγισ ης είναι (σ ημειακά) γραμμική. Πράγματι, 1, 2 D(X), f 1, f 2 C [X R] και g C [X R], ξ[f 1 1 + f 2 2 ](g) = (f 1 1 + f 2 2 )(g) = f 1 1 g + f 2 2 g = f 1 ξ[ 1 ](g) + f 2 ξ[ 2 ](g), δηλαδή ξ[f 1 1 + f 2 2 ] = f 1 ξ[ 1 ] + f 2 ξ[ 2 ]. Θεώρημα 1.5.2.2 (γινόμενο Lie). Εσ τω διαφορική πολλαπλότητα (X A). ξ, η D(X), ([ξ η] ξ η η ξ : C [X R] C [X R] : f [ξ η](f) := ξ(η(f)) η(ξ(f))) D(X). Αυτό δίνει μια επιπλέον δομή γινομένου δακτυλίου σ το C [X R]-πρότυπο D(X) με τις εξής αντικατασ τάσ εις ιδιοτήτων: Lie 1 : ξ 1, ξ 2 D(X), [ξ 1 ξ 2 ] + [ξ 2 ξ 1 ] = 0 (μεταθετικό αντιμεταθετικό γινόμενο), Lie 2 : ξ 1, ξ 2, ξ 3 D(X), [[ξ 1 ξ 2 ] ξ 3 ] + [[ξ 2 ξ 3 ] ξ 1 ] + [[ξ 3 ξ 1 ] ξ 2 ] = 0 (προσ εταιρισ τική ιδιότητα ταυτότητα Jacobi). που το κάνει άλγεβρα Lie.Επιπλέον, f 1, f 2 C [X R], [f 1 ξ 1 f 2 ξ 2 ] = f 1 f 2 [ξ 1 ξ 2 ] + f 1 ξ 1 (f 2 )ξ 2 f 2 ξ 2 (f 1 )ξ 1. Απόδειξη. ξ 1, ξ 2 D(X), f 1, f 2 C [X R] και g C [X R], [f 1 ξ 1 f 2 ξ 2 ](g) = (f 1 ξ 1 )((f 2 ξ 2 )(g)) (f 2 ξ 2 )((f 1 ξ 1 )(g)) = f 1 ξ 1 (f 2 ξ 2 (g)) f 2 ξ 2 (f 1 ξ 1 (g)) = f 1 (ξ 1 (f 2 )ξ 2 (g) f 2 ξ 1 (ξ 2 (g))) f 2 (ξ 2 (f 1 )ξ 1 (g) f 1 ξ 2 (ξ 1 (g))) = f 1 f 2 [ξ 1 ξ 2 ](g) + f 1 ξ 1 (f 2 )ξ 2 (g) f 2 ξ 2 (f 1 )ξ 1 (g). Lie 1 : ξ 1, ξ 2 D(X), [ξ 1 ξ 2 ](g) + [ξ 2 ξ 1 ](g) = ξ 1 (ξ 2 (g)) ξ 2 (ξ 1 (g)) + ξ 2 (ξ 1 (g)) ξ 1 (ξ 2 (g)) = 0, Lie 2 : ξ 1, ξ 2, ξ 3 D(X), [[ξ 1 ξ 2 ] ξ 3 ](g) + [[ξ 2 ξ 3 ] ξ 1 ](g) + [[ξ 3 ξ 1 ] ξ 2 ](g) = ξ 1 (ξ 2 (ξ 3 (g))) ξ 2 (ξ 1 (ξ 3 (g))) ξ 3 (ξ 1 (ξ 2 (g))) + ξ 3 (ξ 2 (ξ 1 (g))) + ξ 2 (ξ 3 (ξ 1 (g))) ξ 3 (ξ 2 (ξ 1 (g))) ξ 1 (ξ 2 (ξ 3 (g))) + ξ 1 (ξ 3 (ξ 2 (g))) + ξ 3 (ξ 1 (ξ 2 (g))) ξ 1 (ξ 3 (ξ 2 (g))) ξ 2 (ξ 3 (ξ 1 (g))) + ξ 2 (ξ 1 (ξ 3 (g))) = 0, quod erat demonstrandum. 1.5.3 Dianusvmatikˆ pedða katˆ m koc apeikonðsvewn. Ορισ μός 1.5.3.1 (διανυσματικό πεδίο κατά μήκος απεικόνισης). Εσ τω διαφορικές πολλαπλότητες (X A), (Y B) και απεικόνισ η f : X Y. Μια απεικόνισ η ξ : X T (Y ) είναι διανυσ ματικό πεδίο του X κατά μήκος της f αν και μόνο αν π Y ξ = f: 40 X ξ f Y T (Y ) π Y (U φ) A και (V ψ) B με (U f 1 (V ) φ) A και x U f 1 (V ), g C [V R], ορίζεται η πραγματική σ υνάρτησ η ξ(g) : U f 1 (V ) R : x ξ(g)(x) := ξ(x)(g). 41 Ειδικότερα, i N Y, y i C [V R], ορίζεται ξ i := ξ(y i ) και y i : U f 1 (V ) B(V ) π 1 Y (V ) : x (f(x)) := yi y i B f(x) Y π 1 Y (f(x)). f(x) 40 Autì diasvfalðzei ìti x X, ξ(x) π 1 Y (f(x)) T f(x)y T (Y ). 41 ξ(x) T f(x) Y T (Y ).

1.5. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ 19 Ισ χυρισ μός. Το σ ύνολο των διανυσ ματικών πεδίων επί του U f 1 (V ) με πράξεις ορισ μένες κατά σ ημείο ορίζουν ένα C [U f 1 (V ) R]-πρότυπο. Πράγματι, h C [U f 1 (V ) R], Αν i N X, ξ i C [U R] τότε ξ + η : U f 1 (V ) T (V ) : x (ξ + η)(x) := ξ(x) + η(x), hξ : U f 1 (V ) T (V ) : x (hξ)(x) := h(x)ξ(x). ξ = X Ορίζεται X (f) C [X T (Y )] το σ ύνολο όλων των διαφορίσ ιμων διανυσ ματικών πεδίων σ το X κατά μήκος της f. Θεώρημα 1.5.3.1 (C k -διανυσματικά πεδία). Εσ τω διαφορικές πολλαπλότητες (X A), (Y B) και απεικόνισ η f C x [X Y ]. Τότε τα επόμενα είναι ισ οδύναμα 1. ξ C x [X T (Y )], 2. i N Y, ξ i C x [X R], 3. g C f(x) [Y R], ξ(g) C x [X R]. ξ i y i. Απόδειξη. 1. 2.. Εσ τω (U φ) A και (V ψ) B με (U f 1 (V ) φ) A και x U f 1 (V ). 42 τοπική παράσ τασ ή της ξ σ το x είναι της μορφής Η β ξ φ 1 : φ(u f 1 (V )) ψ(v ) R X : φ(x) β(ξ(x)) = (F (φ(x)) (π i (dψ f(x) ξ(x))) X ) όπου i N X, π i (dψ f(x) ξ(x)) = Dπ i ψ(f(x)) dψ f(x) ξ(x) = d(π i ψ) f(x) ξ(x) = dy i f(x) ξ(x) = ξ(x)(y i ) = ξ i (x) = (ξ i φ 1 )(φ(x)), δηλαδή (β ξ φ 1 )(φ(x)) = ((ψ f φ 1 )(φ(x)) ((ξ i φ 1 )(φ(x))) X ). ξ C k x[x T (Y )] ψ f φ 1 C φ(x) [RX R Y ] (β ξ φ 1 C φ(x) [RX R T (Y ) ] ξ i φ 1 C φ(x) [RX R]) f C x [X Y ] ξ i C x [X R], i N Y. 2. = 3.. f C x [X R], x X, (U φ) A τέτοιος, ώσ τε x U και ξ(g)(x) = ξ(x)(g) = X ξ i (x) g y i (f(x)) ή, και από λήμμα 1.5.1.1, quod erat demonstrandum. ξ(f) = X ξ i g y i f C x [X R]. Λήμμα 1.5.3.1. f C [X Y ] και ξ X (X), df ξ X (f). Απόδειξη. Πράγματι, df ξ : X T (Y ) και f C [T (X) T (Y )]. Ομως π Y df : T (X) Y : T x X z π Y (df(z)) = π Y (df x z) = f(x) = f(π X (z)), οπότε π Y df ξ = f π X ξ = f. 42 ξ(u f 1 (V )) π 1 Y (V ), (π 1 Y (V ) β) T (A) afoô (V ψ) B.

20 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ 1.5.3.1 Διανυσ ματικά πεδία κατά μήκος καμπυλών. Ορισ μός 1.5.3.1.1 (πεδίο ταχυτήτων). Εσ τω η τετριμμένη αναλυτική πολλαπλότητα (R A) τέτοια, ώσ τε (U φ) A, U T ϱ (R) και φ = id U. Τότε ορίζεται το βασ ικό πεδίο του (R id R ) A 43, Επομένως f C [R R], Εσ τω καμπύλη α C [R X].Το διανυσ ματικό πεδίο t : R T (R) R R : x t x = d dt T x R R. x t f = df dt C [R R]. dα dt := dα t : R T (X) : x dα( t (x)) = dα x t (x) T α(x) X καλείται πεδίο ταχυτήτων της καμπύλης α. Από πρότασ η 1.5.3 έχουμε ότι α t X (α). Από ορισ μό 1.5.1.1, (U φ) A, (dα i t )(x) := (dα t )(x)(x i ) = dα x t (x)(x i ) = t (x)(x i α) dαi dt, x σ υνεπώς X dα dt = dα i dt 1.5.4 Susvqetisvmèna dianusvmatikˆ pedða. Ορισ μός 1.5.4.1 (f-συσχετισμένα διανυσματικά πεδία). Εσ τω διαφορικές πολλαπλότητες (X A), (Y B) και διαφορίσ ιμη απεικόνισ η f C [X Y ]. Τα διαφορίσ ιμα διανυσ ματικά πεδία ξ X (X) και η X (Y ) καλούνται f-σ υσ χετισ μένα αν και μόνο αν df ξ = η f. 44 Σχηματικά: x i. ξ X T (X) f df Y T (Y ) η Λήμμα 1.5.4.1. Εσ τω διαφορικές πολλαπλότητες (X A), (Y B) και διαφορίσ ιμη απεικόνισ η f C [X Y ]. Τα διαφορίσ ιμα διανυσ ματικά πεδία ξ X (X) και η X (Y ) είναι f-σ υσ χετισ μένα αν και μόνο αν g C [f(x) R], ξ(g f) = η(g) f. Απόδειξη. Εσ τω df ξ = η f. Ισ οδύναμα, x X, (df ξ)(x) = (η f)(x) df x ξ(x) = η(f(x)) T f(x) X. Ισ οδύναμα, από θεώρημα 1.3.2.1 g C f(x) [Y R], df xξ(x)(g) = η(f(x))(g) ξ(x)(g f) = η(g)(f(x)) ξ(g f)(x) = (η(g) f)(x) ξ(g f) = η(g) f. Πρότασ η 1.5.4.1. Εσ τω διαφορικές πολλαπλότητες (X A), (Y B) και διαφορίσ ιμη απεικόνισ η f C [X Y ]. Επιπλέον, έσ τω ότι τα διανυσ ματικά πεδία ξ 1 X (X) και η 1 X (Y ), καθώς και ξ 2 X (X) και η 2 X (Y ), είναι f-σ υσ χετισ μένα, αντίσ τοιχα. Τότε και τα διαφορίσ ιμα διανυσ ματικά πεδία [ξ 1 ξ 2 ] X (X) και [η 1 η 2 ] X (Y ) είναι f-σ υσ χετισ μένα. Απόδειξη. Από λήμμα 1.5.3, αρκεί να δειχθεί ότι g C [f(x) R], [ξ 1 ξ 2 ](g f) = [η 1 η 2 ](g) f. Πράγματι, [ξ 1 ξ 2 ](g f) = ξ 1 (ξ 2 (g f)) ξ 2 (ξ 1 (g f)) = ξ 1 (η 2 (g) f) ξ 2 (η 1 (g) f) = (df ξ 1 )(η 2 (g)) (df ξ 2 )(η 1 (g)) = (η 1 f)(η 2 (g)) (η 2 f)(η 1 (g)) = η 1 (η 2 (g)) f η 2 (η 1 (g)) f = [η 1 η 2 ](g) f. 43 Katˆ svunèpeia, (U φ) A afoô U R kai φ = id U = id R U. 44 df ξ X (f) kai ˆra η f X (f), l mma 1.5.3.

1.5. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ 21 Ορισ μός 1.5.4.2 (ισομορφισμοί & αυτομορφισμοί πολλαπλοτητων). Εσ τω διαφορικές πολλαπλότητες (X A), (Y B) και διαφορίσ ιμη απεικόνισ η f C [X Y ]. Η f ορίζει ισ ομορφισ μό των πολλαπλοτήτων X και Y αν και μόνο αν είναι αμφιδιαφόρισ η, δηλαδή αμφιμονοσ ήμαντη με f 1 C [X Y ]. Στην περίπτωσ η που Y X, η f καλείται αυτομορφισ μός του X, και γράφουμε το σ ύνολο όλων των αυτομορφισ μών του X ως Diff(X). Ορισ μός 1.5.4.3 (συζυγής απεικόνιση). Εσ τω διαφορικές πολλαπλότητες (X A), (Y B) και ισ ομορφισ μός f C [X Y ]. Τότε ορίζεται η σ υζυγής απεικόνισ η της f, f : X (X) X (Y ) : ξ f (ξ) := df ξ f 1. Προφανώς df ξ = f (ξ) f. Ενα διαφορίσ ιμο διανυσ ματικό πεδίο του X, ξ X (X) χαρακτηρίζεται ως αναλλοίωτο ως προς αυτομορφισ μό f Diff(X) του X, αν και μόνο αν f (ξ) = ξ. Θεώρημα 1.5.4.1. Εσ τω διαφορικές πολλαπλότητες (X A), (Y B) και ισ ομορφισ μός f C [X Y ]. Τότε, η απεικόνισ η f : X (X) X (Y ) : ξ f (ξ) := df ξ f 1 είναι ισ ομορφισ μός μεταξύ αλγεβρών Lie. Απόδειξη. Η f είναι αμφιμονοσ ήμαντη αφού η απεικόνισ η f 1 είναι καλά ορισ μένη 45 και f f 1 = id X (Y ) και f 1 ξ 1, ξ 2 X (X) και f 1, f 2 C [X R]: f = id X (X). : X (Y ) X (X) : η f 1 (η) := df 1 ξ f f (f 1 ξ 1 + f 2 ξ 2 ) = df (f 1 ξ 1 + f 2 ξ 2 ) f 1 = df (f 1 ξ 1 ) f 1 + df (f 2 ξ 2 ) f 1 = df ((f 1 f 1 )(ξ 1 f 1 )) + df ((f 2 f 1 )(ξ 2 f 1 )) = (f 1 f 1 )(df ξ 1 f 1 ) + (f 2 f 1 )(df ξ 2 f 1 ) = (f 1 f 1 )f (ξ 1 ) + (f 2 f 1 )f (ξ 2 ), 46 f ([ξ 1 ξ 2 ]) = [f (ξ 1 ) f (ξ 2 )] από πρότασ η 1.5.4.1, quod erat demonstrandum. Πόρισ μα 1.5.4.1. Εσ τω διαφορικές πολλαπλότητες (X A), (Y B). f Diff(X) f aut(x (X)). Λήμμα 1.5.4.2. Εσ τω διαφορικές πολλαπλότητες (X A), (Y B), (Z C) και αμφιδιαφορίσ εις f C [X Y ], g C [Y Z]. Τότε (g f) = g f. Απόδειξη. ξ X (X), (g f )(ξ) = g (f (ξ)) := g (df ξ f 1 ) := dg (df ξ f 1 ) g 1 = d(g f) ξ (g f) 1 = (g f) (ξ), quod erat demonstrandum 1.5.4.1 Ολοκληρωτικές καμπύλες - Διαφορικές εξισ ώσ εις. Ορισ μός 1.5.4.1.1 (ολοκληρωτική καμπύλη - διαφορική εξίσωση). Εσ τω διαφορική πολλαπλότητα (X A) και διαφορίσ ιμο διανυσ ματικό πεδίο ξ X (X). Μια διαφορίσ ιμη καμπύλη α C [I X] 47 καλείται ολοκληρωτική καμπύλη του διανυσ ματικού πεδίου ξ αν και μόνο αν t και ξ είναι α-σ υσ χετισ μένα ή από ορισ μό 1.5.3.1.1 (U φ) A, dα dt = ξ α dαi dt = ξi α = (ξ i φ 1 )((α j ) X j=1 ), που αποτελεί μια διαφορική εξίσ ωσ η με αντίσ τοιχη τοπική έκφρασ η (U φ) A. Θεώρημα 1.5.4.1.1. Το πρόβλημα εύρεσ ης διαφορίσ ιμης καμπύλης α C [I X] τέτοιας, ώσ τε α(0) = x και dα dt = ξ α, είναι πρόβλημα Cauchy. Λήμμα 1.5.4.1.1. Εσ τω διαφορικές πολλαπλότητες (X A), (Y B) και διαφορίσ ιμη απεικόνισ η f C [X Y ]. Τα επόμενα είναι ισ οδύναμα: 45 (f f 1 = id Y ) (f 1 f = id X ) = (df) 1 = df 1 = f 1 = (f 1 ). 46 g C [X R], g f C [Y R] apì prìtasvh 1.2.1 kai f Diff(X) C [X Y ]. 47 I R, diˆsvthma.

22 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ 1. Τα διαφορίσ ιμα διανυσ ματικά πεδία ξ X (X) και η X (Y ) είναι f-σ υσ χετισ μένα. 2. α C [I X] ολοκληρωτική καμπύλη του ξ X (X), η f α C [I Y ] είναι ολοκληρωτική καμπύλη του η X (Y ). 48 Απόδειξη. 1. = 2... Ισ χύει df ξ = η f. Εσ τω α C [I X] ολοκληρωτική καμπύλη του ξ. Τότε d dt (f α) = (d(f α) = df dα) t = df dα = (df ξ = η f) α, dt 2. = 1... Εσ τω ότι f α είναι ολοκληρωτική καμπύλη του η. Τότε x X, (df ξ)(x) = df(ξ(x = α(0))) = (df ξ α)(0) = ((df dα = d(f α) = η f) t )(0) = η(f(α(0) = x)). Ορισ μός 1.5.4.1.2 (χρονική μεταφορά). Η χρονική μετατόπισ η εκφράζεται, s R, από την αμφιδιαφόρισ η l s : R R : t l s (t) := s + t = t + s με αντίσ τοιχο ισ ομορφισ μό εφαπτόμενων χώρων dl s t : R T t R T s+t R R : t x dl s t t x =: s+t x. Πράγματι, έσ τω αμφιδιαφόρισ η f Diff(X). Τότε: α, β C x X με [f(x) f α] = [f(x) f β] ισ οδύναμα, (V ψ) A, D(ψ f α) 0 = D(ψ f β) 0 dψ f(x) df x dα 0 = dψ f(x) df x dβ 0 ισ οδύναμα, (U φ) A, dψ f(x) df x d(φ 1 φ) x dα 0 = dψ f(x) df x d(φ 1 φ) x dβ 0 (dψ f(x) df x dφ 1 φ(x) ) (dφ x dα 0 ) = (dψ f(x) df x dφ 1 φ(x) ) (dφ x dβ 0 ) D(ψ f φ 1 ) φ(x) D(φ α) 0 = D(ψ f φ 1 ) φ(x) D(φ β) 0. Ομως f 1 Diff(X) οπότε και φ f 1 ψ 1 C [ψ(f(u) V ) φ(u)] 49, σ υνεπώς D(φ f 1 ψ 1 ) ψ(x) D(ψ f φ 1 ) φ(x) D(φ α) 0 = D(φ f 1 ψ 1 ) ψ(x) D(ψ f φ 1 ) φ(x) D(φ β) 0 D(φ α) 0 = D(φ β) 0 δηλαδή, [x α] = [x β]. f 1 Diff(X) επομένως x X, f 1 (x) X και α, β C x X, (U φ), (V ψ) A, D(φ α) 0 = D(φ β) 0 D(ψ f 1 φ 1 ) φ(x) D(φ α) 0 = D(ψ f 1 φ 1 ) φ(x) D(φ β) 0 D(ψ f 1 α) 0 = D(ψ f 1 β) 0 δηλαδή, [f 1 (x) f 1 α] = [f 1 (x) f 1 β]. Ισ χυρισ μός. Η χρονική μετατόπισ η l s ως καμπύλη του R είναι ολοκληρωτική καμπύλη του βασ ικού πεδίου t. Πράγματι, t R, (dl s t )(x) = dl s ( t x) := dl s t t x := s+t x = t l s (x) = ( t l s )(x). 50 Λήμμα 1.5.4.1.2. Εσ τω διαφορική πολλαπλότητα (X A), διανυσ ματικό πεδίο ξ X (X) και ολοκληρωτική καμπύλη α C [R X] του ξ. Η καμπύλη α l s C [R X] είναι επίσ ης ολοκληρωτική καμπύλη του ξ. Απόδειξη. α είναι ολοκληρωτική καμπύλη του ξ, σ υνεπώς x και ξ είναι α-σ υσ χετισ μένα. l s είναι ολοκληρωτική καμπύλη του x επομένως από λήμμα 1.5.4.1.1 α l s είναι ολοκληρωτική καμπύλη του ξ. 1.6 DIAFORIKES ROES Ορισ μός 1.6.1 (διαφορική ροή). Εσ τω διαφορική πολλαπλότητα (X A). Καλούμε διαφορική ροή μια διαφορίσ ιμη απεικόνισ η φ : R X X : (t x) φ(t x) =: φ t (x) =: α x (t) τέτοια, ώσ τε t, s R, φ(0 x) = x και φ(t + s x) = φ(t φ(s x)) ισ οδύναμα, φ 0 = id X και φ t+s = φ t φ s. Συνεπώς {φ t } t R Diff(X). 51 Επιπλέον α x C [R X] καλείται τροχιά του x X σ τη φ. Συμβολίζουμε φ R(X) C [R X X]. Ορισ μός 1.6.2 (απειροστικός γεννήτορας). Εσ τω διαφορική πολλαπλότητα (X A). Καλούμε απειροσ τικό γεννήτορα της διαφορικής ροής φ το διανυσ ματικό πεδίο ξ : X T (X) : x ξ(x) := φ t (0 x) = dα x dt (0) T xx 48 Lème ìti h svunˆrthsvh f diathreð tic oloklhrwtikèc kampôlec. 49 x U f 1 (U) kai f(x) f(u f 1 (V )) = f(u) f(f 1 (V )) = f(u) V afoô h f eðnai amfimonosv manth. 50 Autì svhmaðnei pwc to basvikì pedðo t eðnai analloðwto wc proc tic qronikèc metatopðsveic {l s} s R afoô l s t = t l s. 51 φ 1 t = φ t kai α x(0) = x.