Σελίδ 1 πό 10 Περίληψη Μερικά συµϖεράσµτ ϖάνω στ θεωρήµτ µέσης τιµής του διφορικού κι ολοκληρωτικού λογισµού Μϖάµϖης Στεργίου Σεϖτέµβριος 009 Το ϖρκάτω άρθρο γράφηκε µε φορµή τ όσ νφέροντι στις δύο σηµντικές ϖηγές ϖου δίνοντι στη βιβλιογρφί. Έχουν σκοϖό ν εµϖλουτίσουν το οϖλοστάσιο του κθηγητή του µθηµτικών µε το ν κτδείξουν ορισµέν ξιόλογ συµϖεράσµτ των θεωρηµάτων µέσης τιµής, τόσο του διφορικού όσο κι του ολοκληρωτικού λογισµού. Η χρήση των λτινικών γρµµάτων στις µετβλητές έγινε γι ϖρκτικούς λόγους κτά την ϖληκτρολόγηση του κειµένου κι ελϖίζω υτό ν µην ϖοτελέσει ρνητικό στοιχείο στην κτνόηση όσων κολουθούν. Θεωρήµτ κι ϖροτάσεις Θεώρηµ 1 ο Α. Αν µι συνάρτηση f είνι συνεχής στο κλειστό διάστηµ [,b], τότε υπάρχει c (,b) τέτοιο, ώστε b f()d = f(c)(b ) 1 Ο θεώρηµ µέσης τιµής του ολοκληρωτικού λογισµού Β. Αν µι συνάρτηση f είνι συνεχής στο κλειστό διάστηµ [,b], τότε γι κάθε (,b] υπάρχει c= c() (, ) τέτοιο, ώστε f(t) = f(c)( ). Αν επιπλέον η f είνι πργωγίσιµη στο µε f '() 0, τότε Απόδειξη c() 1 = Α. Είνι βσικό θεώρηµ κι προκύπτει µε εφρµογή του ΘΜΤ γι τη συνάρτηση h() = f()d στο διάστηµ [,b]. Β. Θεωρούµε το όριο :
Σελίδ πό 10 K= f(t) f() + f() ( ) Σύµφων µε το 1 ο θεώρηµ µέσης τιµής του ολοκληρωτικού λογισµού, υπάρχει c (,) τέτοιο ώστε f(t) = f(c)( ). Εποµένως : f(t) f() + f() f(c)( ) f() + f() K= = = ( ) ( ) f(c)( ) f()( ) f(c) f() = = = ( ) f(c) f() c f(c) f() c = ( ) = ( ) = c c c = f '() (1) Εφρµόζοντς όµως το θεώρηµ του de L Hospitl γι το όριο Κ πίρνουµε : f(t) f() + f() f() f() 1 K= = = f '() () ( ) ( ) Επειδή f '() 0, πό τις σχέσεις (1) κι () πίρνουµε : c() 1 = Γενικεύσεις Στο σκεπτικό του πρπάνω θεωρήµτος κινούντι κι οι επόµενες προτάσεις : Πρότση 1. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,b] κι δύο φορές πργωγίσιµη στο σηµείο µε f '() = 0 κι f ''() 0, τότε
Σελίδ 3 πό 10 ) γι κάθε (,b] υπάρχει c= c() (, ) τέτοιο, ώστε β) ισχύει ότι : c() 1 3 f(t) = f(c)( ). Πρότση. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,b] κι n φορές πργωγίσιµη στο σηµείο µε ( k ) f () = 0γι k= 1,,3,...,n 1κι ( n ) f () 0, τότε ) γι κάθε (,b] υπάρχει c= c() (, ) τέτοιο, ώστε β) ισχύει ότι : c() 1 n n+ 1 f(t) = f(c)( ). Θεώρηµ ο Α. Αν µι συνάρτηση f είνι συνεχής στο κλειστό διάστηµ [,b] κι πργωγίσιµη στο (,b), τότε γι κάθε (,b] υπάρχει c= c() (, ) τέτοιο, ώστε f() f() = f '(c)( ). Β. Αν επιπλέον η f είνι δύο φορές πργωγίσιµη στο µε f ''() 0, τότε Απόδειξη A. Πρόκειτι γι θεώρηµ στ σχολικά βιβλί c() 1 B. Θεωρούµε τις συνρτήσεις F() = f() f() ( )f '() κι Θεώρηµ µέσης τιµής του Lgrnge G() = ( ), µε [, b]. Οι συνρτήσεις υτές είνι πργωγίσιµες στο [,b) µε G'() 0γι κάθε (, b).έχουµε :
Σελίδ 4 πό 10 Σύµφων µε τον κνόν de L Hospitl είνι : F() F'() f '() f '() 1 K= = = = f ''(), G() G'() ( ) Σύµφων κι µε το Α είνι επίσης : F() f() f() ( )f '() f '(c)( ) ( )f '() K= = = = G() ( ) ( ) f '(c) f '() f '(c) f '() c c = ( ) = f ''() c Από τις πρπάνω σχέσεις κι φού πρόκειτι γι το ίδιο όριο πίρνουµε ότι c() 1 Θεώρηµ 3 ο Α. Αν f,g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο κλειστό διάστηµ [,b] κι η g δεν µηδενίζετι σε κνέν σηµείο του [,b], τότε γι κάθε (,b] υπάρχει c= c() [,] τέτοιο, ώστε f(t)g(t) = f(c) g(t). ο θεώρηµ του ολοκληρωτικού λογισµού Β. Αν επιπλέον η f είνι πργωγίσιµη στο µε f '() 0 κι g() 0 τότε Απόδειξη c() 1 Α. Η πόδειξη υπάρχει σε βιβλί ολοκληρωτικού λογισµού. Β. Θεωρούµε τις συνρτήσεις F,G στο [,b] µε τύπους : κι F() = f(t)g(t) f() g(t) G() = ( )
Σελίδ 5 πό 10 Αυτές είνι πργωγίσιµες στο [, b] µε G'() 0γι κάθε χ στο (,b]. Από τον κνόν de L Hospitl πίρνουµε : F() F'() f()g() f()g() K= = = = G() G'() ( ) 1 f() f() 1 = ( g()) = f '()g() (1) Από την άλλη µεριά, σύµφων µε το Α. είνι : K = = = F() f(c) g(t) f() g(t) G() ( ) f(c) f() c g(t) c = = c ( ) f '()g() () όπου στο τελευτίο όριο έχουµε χρησιµοποιήσει ξνά τον κνόν de L Hospitl. Από τις σχέσεις (1) κι () πίρνουµε, λόγω των περιορισµών f '() 0, g() 0ότι Θεώρηµ 4 ο c() 1 Α.Έστω f,gσυνεχείς συνρτήσεις στο [,b] κι πργωγίσιµες στο (,b) µε g'(t) 0 γι κάθε t (,b). Τότε, γι κάθε (,b] ισχύσει ότι : ) g() g() β) υπάρχει c= c() (, ), τέτοιο, ώστε f() f() = f '(c) g() g() g'(c) Θεώρηµ µέσης τιµής του Cuchy Β. Αν επιπλέον οι συνρτήσεις f,gείνι δύο φορές πργωγίσιµες στο, g'() 0κι f ''()g'() f '()g''(), τότε :
Σελίδ 6 πό 10 Απόδειξη c() 1 Α. Είνι βσικό θεώρηµ του διφορικού λογισµού. Β. θεωρούµε τις συνρτήσεις f '() F() = f() f() [g() g()] κι g'() G() = ( ) Οι συνρτήσεις υτές είνι πργωγίσιµες στο [, b) κι G'() 0στο (,b). Επειδή πό το Α είνι f'(c) f() f() = [g() g()], έχουµε: g'(c) f '(c) f '() [g() g()] [g() g()] F() g'(c) g'() K= = = G() ( ) f '(c) f '() g'(c) g'() c g() g() f '() c = ( ) = g'()( )' = (1) c g'() Σύµφων µε τον κνόν de L Hospitl έχουµε : f '() f '() f '() f '() g'() F() F'() g'() 1 g'() g'() K= = = = ( g'()) G() G'() ( ) 1 f '() = g'() ( )' () = g'() Από τις σχέσεις (1) κι (), λόγω των περιορισµών, πίρνουµε τη ζητούµενη σχέση. Βιβλιογρφί *** ) B.Jcobson on the men vlue theorem for integrls, AMM, vol 89 199 β) Emil Pop Περί του ενδιάµεσου σηµείου στ θεωρήµτ των µέσων, GM 1994
Σελίδ 7 πό 10 *** Ευχριστώ το φίλο κι συνάδελφο Νίκο Μυρογιάννη που µου εξσφάλισε το πρώτο άρθρο της βιβλιογρφίς. Πράρτηµ*** Αποδείξεις των βσικών θεωρηµάτων του άρθρου Α. 1o ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Αϖόδειξη Θεωρούµε τη συνάρτηση h( ) f ( t) = στο [, b ]. Η h είνι συνεχής στο [, b ] κι πργωγίσιµη στο (, b ).Άρ πό το θεώρηµ µέσης τιµής θ υπάρχει (, b) c τέτοιο, ώστε b Εποµένως ( ) b f ( t) 0 f ( t) h( b) h( ) h ( c) = = = b b b f ( t) = b h ( c) b Β. ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ LAGRANGE Αϖόδειξη f ( ) f ( ) = Θεωρούµε τη συνάρτηση h( t) f ( t) f ( ) ( t ) [, ] κι πργωγίσιµη στο (, ) µε h ( t) = f ( t) f ( ) f ( ), η οποί είνι συνεχής στο
Σελίδ 8 πό 10 f ( ) f ( ) h( ) = f ( ) f ( ) ( ) = 0 Έτσι ισχύει το θεώρηµ Rolle, δηλ. υπάρχει c (, ) f ( ) f ( ) ( ) = ( ) ( ) = 0 κι h f f ( ) τέτοιο, ώστε h ( c) = 0 δηλ. f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( c) 0 f ( c) = f ( ) f ( ) = ( ) f ( c) Γ. ΘΕΩΡΗΜΑ 3 ( ο θεώρηµ ολοκληρωτικού λογισµού ) Έστω f, g συνεχείς συνρτήσεις [, b] κι η g δε µηδενίζετι σε κνέν σηµείο του [, b ]. Ν ποδείξετε ότι γι κάθε (, b], υπάρχει c (, ) τέτοιο, ώστε f ( t) g( t) = f ( c) g( t) Αϖόδειξη Η g είνι συνεχής κι µη µηδενιζόµενη στο [, b ], οπότε διτηρεί στθερό πρόσηµο. Έστω ότι g() > 0. Η f είνι συνεχής σε κλειστό διάστηµ, οπότε θ πίρνει ελάχιστη κι µέγιστη τιµή δηλ. m f ( ) M. Άρ mg( t) f ( t) g( t) Mg( t) Ολοκληρώνοντς στο [, ] προκύπτει: mg( t) f ( t) g( t) M g( t) m g( t) f ( t) g( t) M g( t) Όµως g( t) > 0, οπότε προκύπτει m f ( t) g( t) g( t) M
Σελίδ 9 πό 10 Από εδώ συµπερίνουµε ότι υπάρχει c [,] τέτοιο,ώστε f ( t) g( t) g( t) = f ( c) δηλ. f ( t) g( t) = f ( c) g( t). ΘΕΩΡΗΜΑ 4 ( ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΤΟΥ CAUCHY ) Έστω f, g συνεχείς συνρτήσεις στο [, ] κι πργωγίσιµες στο (, ) µε g ( t) 0 γι κάθε (, b). Τότε, γι κάθε (, b] ) g( ) g( ) β) υπάρχει c (, ) Αϖόδειξη τέτοιο, ώστε ισχύει ότι : f ( c) f ( ) f ( ) = g ( c) g ( ) g ( ) ) Υποθέτουµε ότι g( ) = g( ). Όµως η g είνι συνεχής στο [, ], πργωγίσιµη στο (, ) κι g( ) g( ) τέτοιο, ώστε g ( c) = 0 =, Άρ ισχύει το θεώρηµ Rolle, δηλ. υπάρχει c (, ), το οποίο είνι άτοπο, διότι g ( t ) 0 γι κάθε (, b) β) Θεωρούµε τη συνάρτηση h( t) = f ( t) [ g( ) g( )] g( t) [ f ( ) f ( )] Η h είνι συνεχής στο [, ], πργωγίσιµη στο (, ) µε κι ισχύει: [ ] [ ] h ( t) = f ( t) g( ) g( ) g ( t) f ( ) f ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]. h( ) = f ( ) g( ) g( ) g( ) f ( ) f ( ) = f ( ) g( ) g( ) f ( ) h( ) = f ( ) g( ) g( ) g( ) f ( ) f ( ) = f ( ) g( ) g( ) f ( ) δηλδή h( ) = h( ) Από το θεώρηµ Rolle προκύπτει ότι υπάρχει c (, ) κι τελικά [ ] [ ] f ( c) g ( ) g ( ) g ( c) f ( ) f ( ) = 0 τέτοιο, ώστε h ( c) = 0,δηλδή
Σελίδ 10 πό 10 f ( c) f ( ) f ( ) = g ( c) g ( ) g ( ) *** Την επιµέλει των ποδείξεων έκνε ο συνάδελφος Χρήστος Κρδάσης, τον οποίο κι ευχριστώ.