Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε

Transcript

1 Μθημτικός Η συνάρτηση F()= //200 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είνι συνάρτηση συνεχής σε διάστημ Δ κι είνι έν σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F()=, Δ είνι μι πράγουσ της f στο Δ. Δηλδή ισχύει: = f() γι κάθε Δ. (H πργώγιση γίνετι ως προς τη μετβλητή ). Γενικότερ ισχύει: g() = f ( g() ) g () με την προϋπόθεση ότι τ χρησιμοποιούμεν σύμβολ έχουν νόημ. Γεωμετρική ερμηνεί της ισότητς = f(), Δ.. Φντστείτε ότι το t κινείτι προς τ δεξιά κτά μήκος του άξον των t κι σρώνει επιφάνει με κτκόρυφο ύψος f(t). y Τότε το εμβδό της σκισμένης επιφάνεις ισούτι με F()=. Κθώς, όμως, το t περνά πό το, ο ρυθμός με τον οποίο επιφάνει προστίθετι στη σκισμένη επιφάνει ισούτι με f(). 2. Φντστείτε ότι σκεπάζουμε την επιφάνει κάτω πό την κμπύλη y=f(t) πό ριστερά προς τ δεξιά, ξετυλίγοντς έν χλί μετβλητού πλάτους f(t). To εμβδό της σκεπσμένης y =f(t) f() F() O t y y =f(t) F() O t

2 Μθημτικός 2 επιφάνεις ισούτι με F()=. Κθώς το χλί ξετυλίγετι, τη στιγμή που περνά πό το, ο ρυθμός με τον οποίο κλύπτετι το πάτωμ ισούτι με f(). Οι μθητές θ πρέπει ν κτνοήσουν ότι:. Αν F()= διάστημ Δ κι έν σημείο του Δ, τότε: i. Η F έχει πεδίο ορισμού το Δ. ii. F()=0., όπου f συνάρτηση συνεχής με πεδίο ορισμού έν 2. iii. iv. β = F( β ) = lim, διότι η συνάρτηση F ως πργωγί- β σιμη είνι κι συνεχής. =f(), Δ. Το ολοκλήρωμ με μετβλητό άκρο είνι συνάρτηση πργωγίσιμη. β =0, όπου,β στθερά κι η πργώγιση γίνετι ως προς μι μετβλητή. Το ολοκλήρωμ με στθερά όρι ολοκλήρωσης είνι στθερός ριθμός.. Από iv) κι ii) προκύπτει ότι συνάρτηση F()= είνι η πρά- γουσ της f στο διάστημ Δ που διέρχετι πό το σημείο Μ(,0). 4. Το ολοκλήρωμ της f σε έν διάστημ Δ. = +c, Δ κι c R 5. πριστάνει το σύνολο όλων των πργουσών

3 Μθημτικός 6. i. Αν h κι g είνι συνρτήσεις πργωγίσιμες σε διάστημ Δ, τότε δεν ισχύει η ισοδυνμί: h()=g() γι κάθε Δ h()=g() γι κάθε Δ. ii. Αν f είνι συνάρτηση συνεχής σε διάστημ Δ κι g συνάρτηση πργωγίσιμη σε διάστημ Δ με g()=0, τότε γι κάθε Δ ισχύει: ( =g() = -f(), Δ. β ) = g() 0 εν γένει. Η πργώγιση γίνετι ως προς τη μετβλητή. Πεδίο ορισμού της συνάρτησης F()= Γι ν ορίζετι η F, πρέπει τ όρι ολοκλήρωσης ν περιέχοντι στο ίδιο διάστημ του πεδίου ορισμού της f. Έτσι: Αν το πεδίο ορισμού της f είνι το διάστημ Δ, τότε το πεδίο ορισμού της F είνι το Δ. Αν το D f είνι ένωση διστημάτων, τότε το πεδίο ορισμού της F είνι εκείνο το διάστημ στο οποίο νήκει το.

4 Μθημτικός 4 Πεδίο ορισμού της συνάρτησης F()= g() Γι ν ορίζετι η F πρέπει τ όρι ολοκλήρωσης ν περιέχοντι στο ίδιο διάστημ του πεδίου ορισμού της f. Αν το πεδίο ορισμού της f είνι διάστημ Δ (εννοείτι ότι Δ), τότε πιτούμε: D g κι g() Δ Αν το πεδίο ορισμού D f της f είνι ένωση διστημάτων D f =Δ Δ 2, τότε ε- ντοπίζουμε το διάστημ Δ i στο οποίο περιέχετι το στθερό άκρο κι - πιτούμε: D g κι g() Δ i Πεδίο ορισμού της συνάρτησης F()= g() h() Γι ν ορίζετι η F, πρέπει τ όρι ολοκλήρωσης ν περιέχοντι στο ίδιο διάστημ του πεδίου ορισμού της f. Αν το πεδίο ορισμού της f είνι διάστημ Δ, τότε πιτούμε: D g D h κι g(), h() Δ Αν το πεδίο ορισμού D f της f είνι ένωση διστημάτων D f =Δ Δ 2, τότε πιτούμε: D g D h κι τ g() κι h() ν περιέχοντι στο ίδιο διάστημ Δ i του πεδίου ορισμού της f.

5 Μθημτικός 5 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Λύση ημt F() = dt. - t ημt To πεδίο ορισμού της f(t) = είνι το σύνολο D f = (, 0) (0, + ). t Γι ν ορίζετι η F, πρέπει τ όρι ολοκλήρωσης - κι ν περιέχοντι στο ίδιο διάστημ του πεδίου ορισμού της f. Επειδή - (, 0), θ πρέπει (, 0). Άρ, το πεδίο ορισμού της F είνι το διάστημ (, 0) Θεωρούμε τη συνάρτηση F() = dt. Ν βρείτε: t ) το πεδίο ορισμού της F. β) την πράγωγο της F. Λύση. To πεδίο ορισμού της f(t) = t είνι το σύνολο (-,0) (0,+ ). Γι ν ορίζετι η F, πρέπει τ όρι ολοκλήρωσης κι + ν περιέχοντι στο ίδιο διάστημ του πεδίου ορισμού της f. Πρέπει, λοιπόν: (< 0 κι +<0 ) ή ( >0 κι +>0) ( < - ή > 0). Άρ: D F = (-,-) (0,+ ) β. ος τρόπος: Τ κι + περιέχοντι στο ίδιο διάστημ του πεδίου ορισμού της f σε κάθε μί πό τις πρκάτω περιπτώσεις: η ότν (-,-) κι 2 η ότν (0,+ ). Σε κάθε περίπτωση πίρνουμε ένν που ν νήκει στο ίδιο διάστημ με τ κι +, δηλδή πίρνουμε: <0, ότν <- κι

6 Μθημτικός 6 >0, ότν >0 Οπότε θ έχουμε: + +. F() = + = Έτσι σε κάθε περίπτωση θ ισχύει: F ()=f(+)(+)-f()=f(+)-f()= -. + Επομένως: F()= -, (-,-) (0,+ ). + β. 2ος τρόπος: Αν G μι πράγουσ της f στο διάστημ (-,0), τότε: F()=G(+)-G() γι κάθε (-,-), οπότε: F ()=G(+)(+)-G()=f(+)-f()= -, (-,-). + Αν H μι πράγουσ της f στο διάστημ (0,+ ), τότε: F()=H(+)-H() γι κάθε (0,+ ), οπότε: F ()=H(+)(+)-H()=f(+)-f()= -, (0,+ ). + Επομένως: F()= -, (-,-) (0,+ ). +

7 Μθημτικός 7 Σχόλιο: Υπενθυμίζετι ότι: «Κάθε συνεχής συνάρτηση σε διάστημ Δ έχει πράγουσ στο διάστημ υτό». Η συνάρτηση f (t) = t είνι συνεχής κι έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α=(-,0) (0,+ ). Επειδή το σύνολο Α είνι ένωση διστημάτων, θ βρούμε πράγουσες σε κάθε διάστημ χωριστά. Στο διάστημ (0, + ) οι πράγουσες της f δίνοντι πό τον τύπο G()= ln+c με c R (Σχήμ ), ενώ στο διάστημ (-, 0) δίνοντι πό τον τύπο: H()= ln(-)+c με c R (Σχήμ 2). y= ( ln) + y= ln y= ( ln) Σχήμ y= ( ln( ) ) + y= ln( ) y= ( ln( ) ) Σχήμ 2

8 Μθημτικός 8. Θεωρούμε τη συνάρτηση F()= + dt 2 9 t. Ν βρείτε: ) το πεδίο ορισμού της F. β) την πράγωγο της F. Λύση ) Έστω f(t) =. Είνι D 2 f =(- -) (-,) (,+ ). 9 t Γι ν ορίζετι η F, πρέπει τ όρι ολοκλήρωσης, δηλδή τ κι +, ν περιέχοντι στο ίδιο διάστημ του πεδίου ορισμού της f. Πρέπει λοιπόν: +<- κι < () ή ή -<+< κι -< < (2) +> κι > () Έχουμε: () <-4 κι 0> >- δύντο. (2) -4<<2 κι -< < Είνι -< < < > <- ή > Άρ: (2) (-4,-) (,2) () > 2 κι > ( > 2 κι 0<<) δύντο. Άρ, ισχύει μόνο η περίπτωση 2, οπότε D F =(-4,-) (,2). β) ος τρόπος: Τ κι + πρέπει ν περιέχοντι στο ίδιο διάστημ του πεδίου ορισμού της f (κι μάλιστ στο (-,)) μόνο ότν (-4,-) (,2).

9 Μθημτικός 9 Πίρνουμε ένν που ν νήκει στο ίδιο διάστημ με τ κι +, δηλδή ένν (-,) που συμβίνει, ότν D F. Τότε: Επομένως: + + F() = + = F ()=f(+)(+) -f =f(+)+ f 2 = ( + ) 9 9 ( + ), (-4,-) (,2). = β) 2ος τρόπος: Αν G μι πράγουσ της f στο διάστημ (-,) τότε: F()=G(+)-G, (-4,-) (,2) οπότε: F ()=G(+)(+)-G =f(+)+ f 2, (-4,-) (,2) 9 ( + ) = Σχόλιο: Αν Η μι πράγουσ της f στο διάστημ (- -) ή στο (,+ ), τότε, φού τ συστήμτ () κι () είνι δύντ, δε θ ορίζετι η συνάρτηση y= H(+)-H. 2 ΠΕ0 Δ/νσης Β/θμις Εκπ/σης Ν. Λέσβου Πρόδρομος Π. Ελευθερίου