ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Transcript

1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΩΝΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΣ Μθηµτικός Συγγρφές µέλος του Σ της ΕΜΕ Πρόεδρος της Συντκτικής Επιτροπής του περιοδικού «Ευκλείδης Β»

2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Υπενθυµίζουµε ότι: ) Στο Λύκειο το σύµβολο β f()d ορίζετι µόνο ότν η συνάρτηση f είνι ορισµένη κι συνεχής στο κλειστό διάστηµ µε άκρ τους ριθµούς κι β Η µετβλητή νήκει στο διάστηµ υτό κι ονοµάζετι µετβλητή της ολοκλήρωσης β) Το σύµβολο β f()d, ότν ορίζετι, πριστάνει έν πργµτικό ριθµό, ο οποίος εξρτάτι πό τη συνάρτηση f κι τους ριθµούς κι β κι όχι πό τη µετβλητή της ολοκλήρωσης, η οποί, λόγω υτού, ονοµάζετι κι βουβή µετβλητή Έχουµε λοιπόν: β β β f()d = f()d = f(ω)dω = Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F() = f()d Έστω µί συνάρτηση f ορισµένη κι συνεχής σ έν διάστηµ κι Τότε, ορίζετι στο η συνάρτηση: F() = f()d Στο συµβολισµό υτό βλέπουµε δύο µετβλητές, το κι το To διτρέχει το διάστηµ κι είνι η µετβλητή της συνάρτησης F Το είνι η µετβλητή της ολοκλήρωσης (βουβή µετβλητή) κι γι το ολοκλήρωµ, κάθε άλλο γράµµ, µηδέ εξιρουµένου του, θεωρείτι στθερά Αποδεικνύετι το εξής θεώρηµ: Θεώρηµ Η πρπάνω συνάρτηση F είνι µί πράγουσ της f στο ηλδή, η F είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει: F () = f(), Έτσι, κάθε συνάρτηση f που είνι ορισµένη κι συνεχής σ έν διάστηµ έχει πράγουσ στο (µί πράγουσ υτής είνι η πρπάνω συνάρτηση F)

3 Με βάση το θεώρηµ υτό ποδεικνύετι εύκολ το θεµελιώδες θεώρη- µ του ολοκληρωτικού Λογισµού, που είνι το εξής: Θεώρηµ Αν f είνι µί συνάρτηση ορισµένη κι συνεχής σ έν διάστηµ κι G είνι µί πράγουσ της f στο, τότε γι κάθε, β ισχύει: β f()d = G(β) G() Σηµειώνουµε ότι, όλες οι συνρτήσεις που ορίζοντι πό ολοκληρώµτ δεν µπορούν ν εκφρστούν µε τη βοήθει των στοιχειωδών συνρτήσεων (πολυωνυµικές, ρητές, εκθετικές, λογριθµικές, τριγωνοµετρικές) Γι πράδειγµ, µι τέτοι συνάρτηση είνι η ονοµζόµενη «συνάρτηση σφάλµτος»: F() = e d π, η οποί είνι πολύ χρήσιµη στις πιθνότητες, στη θεωρί διάδοσης της θερµότητς, στη θεωρί διάδοσης σηµάτων κτλ Στη συνέχει, θ δούµε πώς βρίσκουµε το σύνολο ορισµού κι την πράγωγο µις συνάρτησης που ορίζετι πό ολοκλήρωµ Θ θεωρήσουµε γνωστή µόνο τη θεωρί του σχολικού βιβλίου 3 ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Πρόβληµ Ν βρεθεί το σύνολο ορισµού κι η πράγωγος της συνάρτησης: g() F() = f ()d, h() όπου f, g κι h δοσµένες συνρτήσεις Ειδικές περιπτώσεις είνι οι συνρτήσεις: g() F() = f ()d κι F() = f ()d Σύνολο ορισµού της συνάρτησης F Bρίσκουµε το σύνολο Α στο οποίο η συνάρτηση f είνι ορισµένη κι συνεχής Μετά, βρίσκουµε το σύνολο ορισµού Β της g κι το σύνολο ορισµού Γ της h Ένς ριθµός R νήκει στο σύνολο ορισµού της F ν, κι µόνο ν, (B Γ) κι η συνάρτηση f είνι ορισµένη κι συνεχής στο κλειστό διάστηµ µε άκρ τους ριθµούς h() κι g() 3

4 Πράγωγος της συνάρτησης F Έστω ότι η συνάρτηση f είνι ορισµένη κι συνεχής σ έν διάστηµ κι οι συνρτήσεις g κι h είνι ορισµένες κι πργωγίσιµες σ έν σύνολο Ι κι ισχύουν: g() κι h(), γι κάθε I Σχηµτικά: Τότε, η συνάρτηση F είνι πργωγίσιµη στο Ι Γι ν βρούµε την πράγωγο της F εργζόµστε µε έν πό τους πρκάτω τρόπους: Πρώτος τρόπος Θεωρούµε έν ριθµό ξ Έχουµε, γι κάθε I: ξ g() h() g() F() = f()d+ f()d= f()d+ f()d h() ξ ξ ξ Θεωρούµε τώρ τη συνάρτηση: φ() = f()d,, οπότε: φ () = f(), Έτσι, έχουµε στο Ι: ξ F() = φ( h() ) + φ( g() ) Συνεπώς, έχουµε στο Ι: F() φ h() h () φ g() g () = f h() h () + f g() g () = ( ) + ( ) ( ) ( ) εύτερος τρόπος Έστω ότι G είνι µί πράγουσ της f στο, οπότε: G () = f(), Έτσι, έχουµε στο Ι: g() h() ( ) ( ) F() = f ()d = G g() G h() Συνεπώς, έχουµε στο Ι: F() = G ( g() ) g () G ( h() ) h () = f ( g() ) g () f ( h() ) h () 4 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Πράδειγµ Ν βρείτε το σύνολο ορισµού κι την πράγωγο της συνάρτησης: ηµ F() = d 4

5 8 8 Αντώνης Κυρικόπουλος Λύση ηµ Σύνολο ορισµού Η συνάρτηση: f() = είνι ορισµένη κι συνεχής στο σύνολο: + A = (, ) (,) (, + ) ( )( )( ) Ένς ριθµός R νήκει στο σύνολο ορισµού της συνάρτησης F ν, κι µόνο ν, η συνάρτηση f είνι ορισµένη κι συνεχής στο κλειστό διάστηµ µε άκρ τους ριθµούς κι Προς τούτο πρέπει κι ρκεί: < < Άρ το σύνολο ορισµού της F είνι: A F = (,) Πράγωγος Η πράγωγος της F στο A F είνι: ηµ F () = f() = Σηµείωση Το σύνολο ορισµού της συνάρτησης: ηµ F() = d είνι A F = (, ) κι της συνάρτησης: ηµ F() = d είνι A F = (, + ) 3 Η πράγωγος των συνρτήσεων υτών στ σύνολ ορισµού τους, είνι: ηµ F() = Πράδειγµ Ν βρείτε το σύνολο ορισµού κι την πράγωγο της συνάρτησης: Λύση Σύνολο ορισµού Η συνάρτηση: F() = 9 ηµd f() = 9 ηµ είνι ορισµένη κι συνεχής στο διάστηµ: = [ 3, 3] Η συνάρτηση: g() = είνι ορισµένη στο σύνολο B = [, + ) Ένς ριθµός R νήκει στο σύνολο ορισµού της συνάρτησης F ν, κι µόνο ν, Β κι η συνάρτηση f είνι ορισµένη κι συνεχής στο κλει- 5

6 8 8 Αντώνης Κυρικόπουλος στό διάστηµ µε άκρ τους ριθµούς κι g() = Προς τούτο πρέπει κι ρκεί: Άρ, το σύνολο ορισµού της F είνι A F = [,9] Πράγωγος Η συνάρτηση g() = είνι πργωγίσιµη στο (, + ) Έτσι, η F είνι πργωγίσιµη στο I = (, + ) [,9] = (,9] Έστω G µί πράγουσ της f στο, οπότε: Έτσι, έχουµε στο Ι: Συνεπώς, έχουµε στο Ι: G() = f() = 9 ηµ, F() = f()d = G( ) G() I F() = G( )( ) = 9 ηµ = 9 ηµ Εξετάζουµε τώρ τη (δεξιά) πράγωγο στο Έχουµε: F() F() F() + = lim (µορφή + ) = ( F() F() ) lim = + () 9 ηµ 3 = lim + = Συµπερίνουµε ότι: 9 ηµ, ν < 9 F() = 3, ν = Πράδειγµ 3 Ν βρείτε το σύνολο ορισµού κι την πράγωγο της συνάρτησης: Λύση Σύνολο ορισµού Η συνάρτηση e ln d F() = f() = e l n είνι ορισµένη κι συνεχής στο σύνολο: + A = (,) (, + ) ( )( ) 6

7 Η συνάρτηση g() = είνι ορισµένη στο B = R κι η συνάρτηση h() = είνι ορισµένη στο Γ = (,) (, + ) Έχουµε: Β Γ = (,) (, + ) Ένς ριθµός R νήκει στο σύνολο ορισµού της συνάρτησης F ν, κι µόνο ν, (Β Γ) κι η συνάρτηση f είνι ορισµένη κι συνεχής στο κλειστό διάστηµ µε άκρ τους ριθµούς h() κι g() Προς τούτο, πρέπει κι ρκεί: < ή > ή ( ή ) < > < > < > < > Άρ, το σύνολο ορισµού της F είνι: A F = (,) (, + ) Πράγωγος i) Πράγωγος στο I = (,) Οι συνρτήσεις g() = κι h() = είνι ορισµένες κι πργωγίσιµες στο I κι οι τιµές τους νήκουν στο = (,), γι κάθε I Έτσι, η F είνι πργωγίσιµη στο I Θεωρούµε έν ριθµό ξ (,) = Έχουµε γι κάθε I : ξ F() = f()d= f()d+ f()d= f()d+ f()d ξ ξ ξ Θεωρούµε τη συνάρτηση: φ() = f()d, (,), οπότε: φ () = f(), (,) ξ Έτσι, έχουµε στο I : F() = φ + φ( ) Συνεπώς, έχουµε στο I : F() φ = + φ( )( ) = f f( ) + ( ) = e ln + e ln ( ) ii) Πράγωγος στο I = (, + ) Εργζόµστε όµοι κι βρίσκουµε τον ίδιο τύπο 7

8 5 ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Θέµ Θεωρούµε τη συνάρτηση: F() = ω dω d ) Ν βρείτε το σύνολο ορισµού της F β) Ν δείξετε ότι η F είνι γνησίως µονότονη κι κυρτή Λύση ) Θεωρούµε τη συνάρτηση: φ(ω) = ω είνι ορισµένη κι συνεχής στο σύνολο: Επειδή η συνάρτηση: (, ] [, + ), f() = ω dω βρίσκουµε εύκολ ότι το σύνολο ορισµού της f είνι: Α = [, + ) Στο σύνολο υτό η f είνι πργωγίσιµη µε f() = Έτσι, η f είνι συνεχής στο Α κι, όπως βρίσκουµε εύκολ, το σύνολο ορισµού της συνάρτησης: β) Γι κάθε A F() = f ()d είνι το Α = [, + ), έχουµε: F() = f() = ω dω = φ(ω)dω κι = = F() f() Η F στο [, + ) είνι συνεχής (φού εκεί είνι πργωγίσιµη) Έστω ένς ριθµός (, + ) Γι κάθε ω [, ], ισχύει το = µόνο ν ω = Άρ, ισχύει: φ(ω)dω > κι τούτο γι κάθε (, + ) φ(ω) = ω, µε Συνεπώς: F() >, γι κάθε (, + ) κι άρ η F είνι γνησίως ύξουσ στο Α = [, + ) Η F στο [, + ) είνι συνεχής κι γι κάθε (, + ) ισχύει: F() = > Άρ, η F είνι κυρτή στο Α = [, + ) 8

9 Θέµ Έστω η συνάρτηση: F() = ηµ συν ) Ν βρείτε το σύνολο ορισµού της F β) Ν δείξετε ότι η F είνι στθερή σε κάθε διάστηµ Ι του R, στο οποίο είνι ορισµένη κι ισχύει: ηµ > Λύση ) Η συνάρτηση: f() = είνι ορισµένη κι συνεχής στο διάστηµ (, ) Ένς ριθµός R νήκει στο σύνολο ορισµού της F ν, κι µόνο ν: d < ηµ< < ηµ< κπ, κ συν συν Z < < < < κπ Άρ, το σύνολο ορισµού της F είνι: AF = R κ Z β) Έστω G µί πράγουσ της f στο (,), οπότε: G() = f() =, (,) Έτσι, γι κάθε I, έχουµε: F() = G(ηµ) G( συν), οπότε έχουµε στο Ι: F() = G(ηµ) (ηµ) G ( συν)( συν) = = συν ηµ =, συν ηµ γιτί ηµ συν>, φού ηµ > Άρ, η F στο Ι είνι στθερή Θέµ 3 ίνετι µί συνάρτηση f, η οποί είνι ορισµένη κι συνεχής στο R Ν βρείτε την πράγωγο της συνάρτησης: F() = f()d Λύση Έχουµε, γι κάθε R : F() = ()f () d 9

10 Θέτουµε: ω =, οπότε dω = d Γι = έχουµε ω = κι γι =, έχουµε ω = Έτσι, έχουµε: Θέµ 4 F() = ωf(ω)dω κι άρ: F () = f () ίνετι µί συνάρτηση f, η οποί είνι ορισµένη κι συνεχής στο R Επίσης, δίνοντι δύο ριθµοί, β R Ν βρείτε την πράγωγο της συνάρτησης: β F() = f( )d Λύση Θέτουµε: ω =, οπότε dω = d Με = έχουµε: ω = κι µε = β, έχουµε: ω = β Έτσι, έχουµε: β F() = f(ω)dω = f(ω)dω β Έστω G µί πράγουσ της f στο R, οπότε: G(ω) = f(ω), ω R Έτσι, έχουµε: [ ] F() = G(ω) = G( ) G( β) β Συνεπώς: F() = G( )( ) G( β)( β) = f( ) f( β) Θέµ 5 Ν βρείτε τις πργώγους των συνρτήσεων: ηµ() ) F() = d, (, + ) β) ηµ() F() = d, (, + ) Λύσηι ) Έστω ένς ριθµός > Θέτουµε ω =, oπότε dω = d Γι = έχουµε ω = κι γι = έχουµε ω = Έτσι, στο (, + ) έχουµε: ηµω dω ηµω ηµω ηµω F() = = dω dω dω ω = ω + ω = ω ηµω = dω ω ηµω dω ω

11 Άρ, στο (, + ), έχουµε: ηµ ηµ ηµ ηµ F() = () = β) Όµοι µε > θέτουµε ω = κι βρίσκουµε ότι: Θέµ 6 3 ηµω F() = dω, κι µετά ότι ω 3 3ηµ ηµ F() = Ν βρείτε τις συνεχείς συνρτήσεις f: R R, γι τις οποίες γι κάθε R ισχύει: 3 f()d f()d = + + () Λύση Έστω ότι µί συνάρτηση f πληροί τις δοσµένες συνθήκες Από την () πργωγίζοντς, έχουµε γι κάθε R : 3f() f( )( ) = 4 + 3f() + f( ) = 4 + () Θέτοντς στη () όπου το βρίσκουµε ότι γι κάθε R ισχύει: 3f ( ) f () 4 + = + (3) Από τις () κι (3) (πλείφοντς το f( )), βρίσκουµε ότι: f() = +, R (4) Αντιστρόφως Όπως βρίσκουµε εύκολ η συνάρτηση (4) δεν πληροί την ισότητ () κι άρ τέτοι συνάρτηση f δεν υπάρχει Σηµείωση Αν το δεύτερο µέλος της () ήτν: + +, τότε θ υ- πήρχε µί µονδική ζητούµενη συνάρτηση, η (4) Πρτηρείστε ότι πό την () (κόµ κι ν το δεύτερο µέλος ήτν υτό που είπµε) δεν µπορούµε ν βρούµε µί ρχική συνθήκη γι την f Θέµ 7 3 Ν βρείτε τις συνεχείς συνρτήσεις f:[, + ) R, γι τις οποίες ισχύουν: f() = κι f( ) d = f( ), (, + ) () 4 Λύση Έστω ότι µι συνάρτηση f:[, + ) R πληροί τις δοσµένες συνθήκες Θεωρούµε έν ριθµό > κι θέτουµε: ω =, οπότε dω = d Γι

12 = έχουµε ω = κι γι = έχουµε: ω = Από την () έχουµε γι κάθε > : f d f f ω dω f 4 4 ( ) = ( ) ( ) = ( ) Από την τελευτί ισότητ βρίσκουµε ότι η f είνι πργωγίσιµη στο, + κι (πργωγίζοντς) ότι: 3 f ( ) 3f( ) 4f ( ) = f ( ) + f ( ) f ( ) 3f ( ) = = 6 f( ) f( ) 3 = 3 = c ( c R 3 ) f( ) = c 3 Επειδή f() =, βρίσκουµε ότι c = κι άρ: f() =, > 3 3 Επειδή f() = limf() = lim =, έχουµε: f() =, [, + ) () ( ) + + Αντιστρόφως Όπως βρίσκουµε εύκολ, η συνάρτηση () πληροί τις δοσµένες συνθήκες κι άρ είνι η µονδική ζητούµενη Θέµ 8 Ν βρείτε τις συνεχείς συνρτήσεις f:(, + ) R, γι τις οποίες γι κάθε > ισχύει: f( ) = + f d () Λύση Έστω ότι µί συνάρτηση f:(, + ) R πληροί τις δοσµένες συνθήκες Θεωρούµε έν ριθµό > κι θέτουµε: ω = οπότε dω = d Με = έχουµε ω = κι µε = έχουµε ω = Έτσι, πό την () έπετι: f(ω) f( ) = + f(ω) dω f( ) = + dω ω ω Από την τελευτί ισότητ προκύπτει ότι η f είνι πργωγίσιµη στο, + κι ότι: ( ) f() f() = + f() = + f() f() f() = 3 f () f() f f() () f() = = (ln ) 4 = f() = ln + c ( c R ) f () = ln + c

13 Από την () έχουµε: f() =, οπότε βρίσκουµε ότι: c = κι άρ: f() = ln, (, + ) () Αντιστρόφως Όπως βρίσκουµε εύκολ, η συνάρτηση () επληθεύει τις δοσµένες συνθήκες κι άρ είνι η µονδική ζητούµενη Θέµ 9 Ν βρείτε τις συνεχείς συνρτήσεις f:(, + ) R, γι τις οποίες γι κάθε > ισχύει: f( ) = ln f d () Λύση Έστω ότι µί συνάρτηση f:(, + ) R πληροί τις δοσµένες συνθήκες Θεωρούµε έν ριθµό > κι θέτουµε: ω =, οπότε dω = d Με = έχουµε ω = κι µε = έχουµε ω = Έτσι, πό την () έπετι: f( ) = ln+ f(ω)dω f() = ln+ f(ω)dω () f () = ln + f (ω)dω (3) Από τη () έπετι ότι η f είνι πργωγίσµη στο (, + ) κι έτσι, πό την (3) (πργωγίζοντς) έπετι ότι: ln f ( ) + f () = ln + + f() f () = + ln f() = + d= d+ (ln) lnd= = ln+ ln + c (c R ) Από την () έχουµε: f() =, οπότε βρίσκουµε ότι c = κι άρ: f( ) = ln+ ln, (, + ) (4) Αντιστρόφως Όπως βρίσκουµε εύκολ, η συνάρτηση (4) επληθεύει τις δοσµένες συνθήκες κι άρ είνι η µονδική ζητούµενη Θέµ ίνετι ένς ριθµός > Ν βρείτε τις συνεχείς συνρτήσεις f : R R, γι τις οποίες γι κάθε R ισχύει: 3

14 ( ) f = 3 + e f( )d () Λύση Έστω ότι µί συνάρτηση f: R R πληροί τις δοσµένες συνθήκες Θεωρούµε έν ριθµό R Θέτουµε: ω =, οπότε dω= d Με = έχουµε ω = κι µε = έχουµε ω = Έτσι, πό την () έπετι: ( ) ω ω () f = 3 e f(ω)dω f() = 3 + e e f(ω)dω ω ef() = 3 e + ef(ω)dω (3) Από την () έπετι ότι η f είνι πργωγίσιµη στο R Έτσι, πό την (3) (πργωγίζοντς), έχουµε: ef() + ef() = 6e + 3 e + ef() f() = 6+ 3 f() (6 3 )d = + 3 f() = c Από την () µε = έχουµε f() =, οπότε βρίσκουµε c = κι άρ: 3 f( ) = 3 + (4) Αντιστρόφως Όπως βρίσκουµε εύκολ, η συνάρτηση (4) επληθεύει τις δοσµένες συνθήκες κι άρ είνι η µονδική ζητούµενη Θέµ Θεωρούµε ένν ριθµό > κι µί συνάρτηση f ορισµένη κι πργωγίσιµη στο διάστηµ [, ] µε f() = κι f() >, γι κάθε [,] Ν δείξετε ότι γι κάθε [,] ισχύει: f() f()d + f ()d = f() () Θεωρούµε γνωστή την πρότση: «Αν µί συνάρτηση f είνι γνησίως µονότονη κι συνεχής σ έν διάστηµ, τότε η ντίστροφή της f είνι συνεχής στο f( )» Λύση Η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ στο διάστηµ [, ], άρ είνι - κι συνεπώς ντιστρέφετι στο διάστηµ υτό κι µάλιστ η ντί- f [,] = f(),f() =,f() στροφή της f είνι συνεχής στο ( ) [ ] [ ] Θεωρούµε τη συνάρτηση: 4

15 f() F() = f ()d + f ()d f () Η F είνι ορισµένη κι πργωγίσιµη στο [, ] µε: F() = f() + f (f()) f () f() f () = f() + f () f() f () = Άρ F() = c, γι κάθε [,] (c R ) κι επειδή F() =, έπετι ότι c = Άρ F() =, γι κάθε [,] Έτσι, η () ισχύει γι κάθε [,] Θέµ Μί συνάρτηση f είνι ορισµένη κι συνεχής στο R κι η συνάρτηση: F() = f() f()d είνι φθίνουσ Ν δείξετε ότι: f() =, R Προς τούτο θεωρήστε τη συνάρτηση: g() = f()d Λύση Η συνάρτηση F είνι προφνώς ορισµένη στο R Η g είνι ορισµένη κι πργωγίσιµη στο R µε: g () = f ()d f ()d = f () f ()d = F() Άρ g R Λόγω υτού κι επειδή g () = F() =, µε R, έχουµε: g () g () = g () κι g () g () = g () Συµπερίνουµε ότι η g στο έχει µέγιστο, ίσο µε g() = Έτσι, γι κάθε R έχουµε: g() κι επειδή g(), έχουµε: g() = f()d = f()d = f()d = f() = 5

16 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Κάππου: «ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ» Στρτηγόπουλου: «ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ» 3 Louis Brand: «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ» 4 G Thomas R Finney: «ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ» 5 M Spivak: «ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ» 6 Θ Κζντζή: «ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ» 7 Περιοδικό της ΕΜΕ: «ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ Β» Αθήν 3/3/6 ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΑΝΤΩΝΗ ΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΥ Γεννήθηκε στο χωριό «Ίκλιν - Μεσσηνίς» Τελείωσε τη Μέση εκπίδευση στο τότε «Πρκτικό Λύκειο Κλµών» Πέτυχε στο µθηµτικό τµήµ του Πνεπιστηµίου Αθηνών, το οποίο τελείωσε µε «Άριστ» ιετέλεσε βοηθός του κθηγητή της Ανάλυσης του Πνεπιστηµίου Αθηνών, εί- µνηστου ηµητρίου Κάππου Στη συνέχει σχολήθηκε µε τ φροντιστήρι γι τους υποψήφιους των Ανωτάτων Σχολών Συνέγρψε είκοσι µθηµτικά βιβλί γι τους υποψήφιους κι τους φοιτητές των Ανωτάτων Σχολών Σήµερ είνι µέλος του Σ της Ελληνικής Μθηµτικής Ετιρείς κι πρόεδρος της συντκτικής επιτροπής του περιοδικού της Ελληνικής Μθη- µτικής Ετιρείς «Ευκλείδη Β» 6