ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Γ τάξης Ημερησίου Λυκείου για το σχ.

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ομάδς Προσντολισμού Θετικών Σπουδών κι Σπουδών Οικονομίς & Πληροφορικής Γ τάξης Ημερησίου Λυκείου γι το σχ έτος 7-8 Αγπητέ Μθητή, Αγπητή Μθήτρι Στις φετινές οδηγίες διδσκλίς κι διχείρισης της εξετστές ύλη των Μθημτικών που εκδόθηκν πό το ΥΠΠΕΘ κρίθηκε σκόπιμο ν συμπεριληφθούν χρήσιμες προτάσεις που, χωρίς ν νήκουν στην εξετστέ ύλη, διευκολύνουν τη διδκτική διδικσί, διευρύνοντς το μεθοδολογικό «οπλοστάσιο» σου κι μπορούν ν ποτελούν εργλεί γι τη λύση των σκήσεων Συγκεκριμέν: Α] Από του Σχολικού Βιλίου Επισημίνουμε ότι: Μπορεί το γινόμενο δύο συνρτήσεων ν είνι η στθερή συνάρτηση μηδέν, χωρίς κμί πό τις δύο ν είνι ίση με την συνάρτηση μηδέν Πράδειγμ: Οι συνρτήσεις f, g με ΠΟ το IR κι f () +, g() Γι κάθε ϵir είνι: (f g)() f ()g() ( + )( ) Ο μως, υπάρχει ϵir ώστε: f (), πχ f () 4 κι υπάρχει ϵir ώστε: g(), πχ g() 4 Ο που: Οι γρφικές πρστάσεις των f, g Β] Από του Σχολικού Βιλίου Τονίζετι ότι μπορείς ν χρησιμοποιείς γι την επίλυση σκήσεων, χωρίς πόδειξη, τις προτάσεις: ) Αν η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ σε έν διάστημ Δ, τότε γι οποιδήποτε, Δ ισχύει η συνεπγωγή: f () < f () < ) Αν η συνάρτηση f είνι γνησίως φθίνουσ σε έν διάστημ Δ, τότε γι οποιδήποτε, Δ ισχύει η συνεπγωγή: f () < f () > Γι λόγους διδκτικούς προυσιάζουμε την πόδειξη της πρότσης (Αντίστοιχη είνι κι της ) Απόδειξη: (Δεν ποτελεί εξετστέ ύλη) Έστω ότι υπάρχουν, Δ, γι τ οποί ισχύει η υπόθεση κι δεν ισχύει το συμπέρσμ της συνεπγωγής Τότε θ ισχύει: f () < f () κι Αν ήτν >, επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ, θ ίσχυε f () > f (), που ντίκειτι στην υπόθεση Αν ήτν,πό τον ορισμό της συνάρτησης, θ ίσχυε f () f (), που ντίκειτι κι υτό στην υπόθεση Επομένως, ισχύει το ζητούμενο Τελικά πό τις πρπάνω προτάσεις κι τον ορισμό της γνησίως ύξουσς κι γνησίως φθίνουσς σε διάστημ Δ συνάρτησης προκύπτουν οι πολύ χρήσιμες γι την επίλυση νισώσεων (κι όχι μόνο) ισοδυνμίες:

2 ) Αν η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ σε έν διάστημ Δ, τότε ισχύει η ισοδυνμί: f () < f () < γι κάθε, ϵδ 4) Αν η συνάρτηση f είνι γνησίως φθίνουσ σε έν διάστημ Δ, τότε ισχύει η ισοδυνμί: f () < f () > γι κάθε, ϵδ Γ] Από 7 του Σχολικού Βιλίου Έχεις την δυντότητ ν χρησιμοποιείς, χωρίς πόδειξη, τις πρκάτω προτάσεις οι οποίες δεν υπάρχουν στο σχολικό ιλίο κι νφέροντι σε: Μη πεπερσμένο όριο & διάτξη γι δυο συνρτήσεις Έστω f, g δύο συνρτήσεις που είνι ορισμένες κοντά στο ϵir{ -, +} ) Αν ισχύουν: ) f () g() κοντά στο κι ) f () τότε θ ισχύει κι g() + ) Αν ισχύουν: ) f () g() κοντά στο κι ) g() τότε θ ισχύει κι f () Διισθητική προυσίση των πρπάνω προτάσεων, γι κάποιες περιπτώσεις ) f () f () ) g() g()

3 Εφρμογή της Αν γι την συνάρτηση g: IR IR ισχύει ( )g() 4 +, ν ρεθεί το Λύση Από την σχέση ( ) g() 4 +, γι IR {-}, ισοδύνμ έχουμε g() Βρίσκουμε το Επειδή f () με f () (4 + ) κι 4 ( ) ( ) Επομένως, γι IR {-}: f () ( + 4) έχουμε μορφή ( ) Υπολογίζουμε το όριο κάθε πράγοντ χωριστά: (4 + ) > Υπολογίζουμε το όριο του : Επειδή κοντά στο - είνι ( + ) > ( ) Άρ Κι f () + οπότε λόγω της πρότσης, είνι: ( + ) g() + g() 4 ( ) είνι ( ) Γ] Διευκρίνιση στην 8 του Σχολικού Βιλίου Στο θεώρημ της σελίδς 78, που φορά το σύνολο τιμών συνεχούς συνάρτησης σε νοικτό διάστημ (, ), τ, μπορεί ν είνι κι μη πεπερσμέν Δ] Από 4 του Σχολικού Βιλίου Έχεις την δυντότητ ν χρησιμοποιείς, χωρίς πόδειξη, τις πρκάτω προτάσεις των οποίων οι ποδείξεις είνι προφνείς: (Εννοείτι ότι οι ποδείξεις δεν θ σου ζητηθούν) «Έστω f κι g δυο συνεχείς συνρτήσεις σε έν διάστημ [, ] Αν f () g() γι κάθε [, ], τότε θ ισχύει: f( ) g( ) Αν, επιπλέον, οι συνρτήσεις f κι g δεν είνι ίσες στο [, ], (δηλδή, ν υπάρχει ξ[, ], με f (ξ) g(ξ)), τότε θ ισχύει: f( ) g( ) Ε] Γι την 5 σελ 5-6 του Σχολικού Βιλίου Ορισμός: Έστω f μι συνεχής συνάρτηση στο διάστημ Δ κι έν στθερό σημείο του Δ, ορίζουμε μι νέ συνάρτηση F με πεδίο ορισμού το Δ τέτοι ώστε γι κάθε Δ ν ισχύει F() f () t dt Σχόλιο Οι συνρτήσεις F κι f δεν έχουν ίδι μετλητή, έτσι γι ν ποφύγουμε τη σύγχυση, συμολίσμε την νεξάρτητη μετλητή της F με κι τη μετλητή της f με t Τονίζουμε όμως ότι οι δύο μετλητές t, πίρνουν τιμές πό το ίδιο διάστημ Δ Γι Πράδειγμ, έστω η συνάρτηση f () με πεδίο ορισμού το Δ [, 6] κι 4Δ H f είνι συνεχής στο Δ, επομένως γι κάθε Δ ορίζετι η συνάρτηση: 5 F() dt Έτσι F(5) 4 t dt 4 t F() 4 t dt

4 Θεώρημ: Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ Δ κι Δ, τότε η συνάρτηση F() f () t dt με Δ είνι μι πράγουσ της f στο Δ Τονίζετι ότι η εισγωγή της συνάρτησης f () t dt γίνετι γι ν ποδειχθεί το Θεμελιώδες Θεώρημ του ολοκληρωτικού λογισμού κι ν νδειχθεί η σύνδεση του Διφορικού με τον Ολοκληρωτικό Λογισμό Γι το λόγο υτό δεν θ διδχθούν εφρμογές κι σκήσεις που νφέροντι στη συνάρτηση κι γενικότερ στη συνάρτηση g( ) f () t dt f () t dt ΣΤ] Γενική Επισήμνση: Από τη διδκτέ-εξετστέ ύλη εξιρούντι οι Ασκήσεις του σχολικού ιλίου που νφέροντι σε τύπους τριγωνομετρικών ριθμών θροίσμτος γωνιών, διφοράς γωνιών κι διπλάσις γωνίς Τυπογρφικά λάθη- διορθώσεις του Σχολικού Βιλίου: ] Στη σική τριγωνομετρική νισότητ της σελ5 ν συμπληρωθεί το "ίσο" κι ν γίνει ημ ] Στη διτύπωση του Θεωρήμτος της σελ 86 (δεύτερη ) "κάθε άλλη πράγουσ cir" ν γρφεί "κάθε άλλη πράγουσ G" ] Στην ισότητ του πρώτου πλισίου σελ τ άκρ ολοκλήρωσης ν ντιστρφούν Ο Σχολικός Σύμουλος Μθημτικών ΑΜΘ Ευστράτιος Κρστμάτης 4

5 ΣΤΗ ΚΡΙΣΗ ΤΟΥ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΑ ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ ΓΙΝΟΥΝ ΩΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ OI (Γι λόγους διδκτικούς προυσιάζουμε τις ποδείξεις των προηγούμενων προτάσεων τις οποίες θεωρείστε ως σκήσεις) Αποδείξεις προτάσεων του Γ: ) Επειδή f (), προκύπτει ότι f () >, κοντά στο Ο μως, f () g() άρ είνι κι g() >, κοντά στο Συνεπώς, κοντά στο, είνι: g( ) f ( ) g( ) f ( ) Επειδή, τότε πό το κριτήριο πρεμολής θ έχουμε ότι κι f ( ) g ( ) άρ g ( ) g ( ) κοντά στο g ( ) g ( ) ) Επειδή g ( ), προκύπτει ότι g() <, κοντά στο Ο μως, f () g() άρ είνι κι f () <, κοντά στο Συνεπώς, κοντά στο, είνι: f ( ) g( ) f ( ) g( ) Επειδή, τότε πό το κριτήριο πρεμολής θ έχουμε ότι κι g ( ) f ( ) άρ f ( ) f ( ) κοντά στο f ( ) ( ) f Αποδείξεις προτάσεων του Δ: ) γι κάθε [, ], είνι f () g() f () g() Επομένως έχουμε: ( ) f( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) ) Αν, επιπλέον, οι συνρτήσεις f κι g δεν είνι ίσες στο [, ], τότε η συνάρτηση f () g() δεν είνι πντού μηδέν στο [, ], κι έχουμε: ( ) f( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) 5