Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Αν έχουμε m εξισώσεις (ισότητες) που περιγράφουν μαθηματικά τις σχέσεις μεταξύ n μεταβλητών, έχουμε ένα σύστημα m εξισώσεων με n μεταβλητές, το σύστημα εξισώσεων έχει διαστάσεις m*n Παράδειγμα: Αν για κάποιο προϊόν γνωρίζουμε την συνάρτηση ζήτησης P d =100-5Q και την συνάρτηση προσφοράς P s =10+4Q, έχουμε ένα σύστημα 2 εξισώσεων με 2 αγνώστους (P, Q). Η λύση του συστήματος εξισώσεων είναι οι τιμές των αγνώστων P, Q που «επαληθεύουν» και τις 2 εξισώσεις, οικονομικά το σημείο ισορροπίας της αγοράς (προσφορά=ζήτηση). 2 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΓΡΑΦΙΚΗ ΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Σύστημα Εξισώσεων: P d =100-5Q P s =10+4Q 3 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr Q P d=100-5q P s =10+4Q 0 100 10 2 90 18 4 80 26 6 70 34 8 60 42 10 50 50 12 40 58 14 30 66 16 20 74 18 10 82 20 0 90 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Γραφική Παράσταση ΠΡΟΣΦΟΡΑ & ΖΗΤΗΣΗ Pd=100-5Q Ps=10+4Q 0 5 10 15 20 Σημείο Ισορροπίας Q=10, P=50

ΛΥΣΗ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟ ΑΠΑΛΟΙΦΗΣ ΑΠΑΛΟΙΦΗ: Προσθέτουμε ή αφαιρούμε εξισώσεις του συστήματος για να απαλείψουμε μια μεταβλητή (μπορεί να χρειαστεί και να πολλαπλασιάσουμε). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Σύστημα Εξισώσεων Προσφοράς-Ζήτησης P d =100-5Q (εξ. 1) P s =10+4Q (εξ. 2) Αν αφαιρέσουμε τις 2 εξισώσεις (δηλ. από το αριστερό μέλος της 1 ης το αριστερό μέλος της 2 ης και από το δεξί μέλος της 1 ης το δεξί μέλος της 2 ης ) P d -P s =100-5Q-(10+4Q) Επειδή P d =P s στην ισορροπία θα έχουμε: 0=90-9Q=> 9Q=90 δηλ. μια εξίσωση με 1 άγνωστο και επομένως Q=90/9=10 Αφού βρήκαμε τον ένα άγνωστο Q=10 από μια από τις 2 εξισώσεις θα βρούμε τον άλλο άγνωστο: (εξ. 2) => P=10+4Q => P=10+4*10 => P=50 4 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΛΥΣΗ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ: Λύνουμε μία από τις εξισώσεις ως προς τον ένα άγνωστο και αντικαθιστούμε το αποτέλεσμα στην άλλη (-ες) εξίσωση (-εις) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Σύστημα Εξισώσεων Προσφοράς-Ζήτησης P d =100-5Q (εξ. 1) P s =10+4Q (εξ. 2) Επειδή P d =P s στην ισορροπία θα έχουμε αν αντικαταστήσουμε την τιμή του P d από την 1 η εξ. Στην τιμή P s στη 2 η εξ. 100-5Q=10+4Q => 4Q+5Q=100-10 => 9Q=90 => Q=10 Αφού βρήκαμε τον ένα άγνωστο Q=10 από μια από τις 2 εξισώσεις θα βρούμε τον άλλο άγνωστο: (εξ. 2) => P=10+4Q => P=10+4*10 => P=50 5 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΑΠΑΛΟΙΦΗ Έστω το σύστημα εξισώσεων 2Χ2-3x+2y=5 (1) 4x+3y=-18 (2) Μέθοδος απαλοιφής: Επειδή οι συντελεστές των αγνώστων x,y στις 2 εξισώσεις είναι διαφορετικοί αν θέλουμε να απαλείψουμε το x πρέπει να πολλαπλασιάσουμε την (1) με 4 και την (2) με (-3): (1) 4(-3x+2y)=4*5-12x+8y=20 (3) (2) -3(4x+3y)=(-3)*(-18) -12x-9y=54 (4) Αφαιρώντας (4)-(3): (-12x-9y)-(-12x+8y)=54-20 -12x+12x-9y-8y=34-17y=34 y=34/(-17)=-2 Αφού y=-2 από την (1) θα έχουμε -3x+2(-2)=5-3x=5+4=9 x=9/(-3)=-3 ΕΠΕΙΔΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΑΜΕ ΤΟ x από την (1) ΘΑ ΚΑΝΟΥΜΕ ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΣΤΗΝ (2): 4(-3)+3(-2)=-12-6=-18 άρα είναι x=-3 και y=-2 6 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Έστω το σύστημα εξισώσεων 2Χ2-3x+2y=5 (1) 4x+3y=-18 (2) Μέθοδος αντικατάστασης: Λύνουμε την (1) ως προς y (1) 2y=5+3x y=(5+3x)/2 (3) Στην (2) αντικαθιστούμε την (3) (2) και (3) : 4x+3(5+3x)/2=-18 4x+(15+9x)/2=-18 8x+(15+9x)=-36 17x=-36-15=-51 x=-51/17=-3 (4) Αφού x=-3 από την (1) θα έχουμε -3(-3)+2y=5 2y=5-9=-4 y=-4/2=-2 ΕΠΕΙΔΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΑΜΕ ΤΟ y από την (1) ΘΑ ΚΑΝΟΥΜΕ ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΣΤΗΝ (2): Ισχύει 4(-3)+3(-2)=-12-6=-18 άρα είναι x=-3 και y=-2 7 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΛΥΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 2Χ2 Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων 2Χ2 της μορφής: a 1 x+b 1 y=c 1 a 2 x+b 2 y=c 2 Επειδή καθεμιά από τις 2 εξισώσεις αντιστοιχεί γραφικά σε μία ευθεία γραμμή μπορούμε να παρατηρήσουμε όλες τις δυνατές περιπτώσεις ως προς τις λύσεις Y Μοναδική λύση αν τέμνονται οι ευθείες Y Καμία λύση αν οι ευθείες παράλληλες Y Άπειρες λύσεις αν ταυτίζονται οι ευθείες a 2 x+b 2 y=c 2 a 2 x+b 2 y=c 2 a 2 x+b 2 y=c 2 X X X 8 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr a 1 x+b 1 y=c 1 a 1 x+b 1 y=c 1 a 1 x+b 1 y=c 1

ΛΥΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 2Χ2 Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων 2Χ2 της μορφής: a 1 x+b 1 y=c 1 a 2 x+b 2 y=c 2 Μοναδική Λύση: Με βάση το γράφημα οι 2 ευθείες πρέπει να τέμνονται, άρα οι κλίσεις των ευθειών θα πρέπει να είναι διαφορετικές! Καμία Λύση (αδύνατο) Με βάση το γράφημα οι 2 ευθείες πρέπει να είναι παράλληλες, άρα οι κλίσεις να είναι ίδιες. 4x+5y=12 8x+10y=20 (8x+10y)/2=20/2 4x+5y=10 επομένως προκύπτει αδύνατο Άπειρες Λύσεις (αόριστο) 4x+5y=12 8x+10y=24 (8x+10y)/2=24/2 4x+5y=12 είναι ίδια εξίσωση με την 1 η, επομένως υπάρχουν άπειρα ζεύγη x,y (σημεία της ευθείας) που επαληθεύουν την 1 εξίσωση: 4x+5y=12 4x=12-5y x=(12-5y)/4 =3-5y/4, επομένως οι λύσεις είναι της μορφής (x,y)=(3-5d/4, d) όπου το d μπορεί να είναι αριθμός. 9 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΛΥΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΩΝ ΑΠΟ 2Χ2 2Χ2: Στο σύστημα 2Χ2 με την απαλοιφή ή αντικατάσταση τελικά από το σύστημα 2Χ2 πήραμε σύστημα 1Χ1 (μια εξίσωση με 1 άγνωστο) και βρήκαμε τη λύση (ax=b x=b/a «σύστημα» 1Χ1). ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΑΝΑΦΕΡΟΥΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΣΑΝ ΜΕΘΟΔΟ ΥΠΟΒΙΒΑΣΜΟΥ (ΑΠΌ 2Χ2 => 1Χ1) 3Χ3: Αν έχουμε να λύσουμε ένα σύστημα 3Χ3 χρησιμοποιούμε τη μέθοδο υποβιβασμού αντίστοιχα ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ: Από την μια εξίσωση λύνουμε ως προς 1 άγνωστο και αντικαθιστούμε στις άλλες 2 εξισώσεις. Προκύπτει σύστημα 2Χ2 που ξέρουμε να λύνουμε! ΑΠΑΛΟΙΦΗ: Παίρνουμε 2 ζεύγη 2 εξισώσεων από τις 3 (οι επιλογές είναι 1-2 και 2-3, 1-3 και 2-3) απαλείφουμε από τα 2 ζεύγη τον ίδιο άγνωστο και προκύπτει σύστημα 2Χ2 που ξέρουμε να λύνουμε. 4Χ4: Με αντίστοιχο τρόπο ένα σύστημα 4Χ4 μπορούμε να το υποβιβάσουμε σε 3Χ3 στη συνέχεια 2Χ2 και να το λύσουμε. Επομένως η μέθοδος του υποβιβασμού μπορεί να χρησιμοποιηθεί για οποιοδήποτε σύστημα εξισώσεων ΑΛΛΑ για μεγαλύτερα του 3Χ3 έχει πολλές πράξεις. 10 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 3Χ3 Η συνάρτηση προσφοράς προϊόντος είναι της μορφής q=ap 2 +bp+c (τετραγωνική συνάρτηση) και για τις τιμές 25-30-40 η παραγωγή είναι 112.5-250-600 αντίστοιχα. Βρείτε τη συνάρτηση προσφοράς. Η καμπύλη (παραβολή) της τετραγωνικής θα περνάει από τα 3 σημεία: (25, 112.5) επομένως 112.5=a25 2 +b25+c 625a+25b+c=112.5 (1) (30, 250) επομένως 250=a30 2 +b30+c 900a+30b+c=250 (2) (40, 600) επομένως 600=a40 2 +b40+c 1600a+40b+c=600 (3) Είναι σύστημα 3 εξισώσεων με 3 αγνώστους (a,b,c) γραμμικό, μπορούμε να απαλείψουμε εύκολα το c από τις (1)(2) και (2)(3): (2)-(1): 275a+5b=137.5 (4) (3)-(2): 700a+10b=350 (5) σύστημα 2 εξισώσεων με 2 αγνώστους 11 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 3Χ3 (συνέχεια) (2)-(1): 275a+5b=137.5 (4) (3)-(2): 700a+10b=350 (5) σύστημα 2 εξισώσεων με 2 αγνώστους (απαλοιφή b) (5)-2(4): 150a=75 a=75/150 a=1/2 (6) (5) και (6): 700(1/2)+10b=350 350+10b=350 b=0 (7) (3) (6) (7) : 1600a+40b+c=600 1600(1/2)+40*0+c=600 800+c=600 c=-200 ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΣΤΗ (2): 900a+30b+c=450-200=250 σωστό! Επομένως a=1/2, b=0, c=-200 και η συνάρτηση προσφοράς: q=ap 2 +bp+c => q=0.5p 2-200 ΕΠΟΜΕΝΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΜΙΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ (ΠΑΡΑΒΟΛΗ) ΓΝΩΡΙΖΟΝΤΑΣ 3 ΣΗΜΕΙΑ ΤΗΣ 12 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ mχn (m εξισώσεις Χ n αγνώστους) Αν m<n δηλ. εξισώσεις λιγότερες από αγνώστους τότε το σύστημα δεν έχει λύση (αδύνατο) ή άπειρες λύσεις (αόριστο). Αν m n δηλ. εξισώσεις περισσότερες από αγνώστους αναγκαίο για μοναδική λύση αλλά όχι απαραίτητα μοναδική λύση (μπορεί το σύστημα να είναι αδύνατο ή αόριστο) ΔΕΝ ΕΊΝΑΙ ΔΥΝΑΤΟ ΝΑ ΕΞΕΤΑΣΟΥΜΕ ΕΥΚΟΛΑ ΑΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΛΥΣΗ ΑΝ ΔΕΝ ΛΥΣΟΥΜΕ ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΩΝΤΑΣ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΕΊΝΑΙ ΔΥΝΑΤΟ ΝΑ ΕΞΕΤΑΣΟΥΜΕ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΛΥΣΗΣ (-ΕΩΝ) ΧΩΡΙΣ ΝΑ ΤΟ ΛΥΣΟΥΜΕ [ΕΠΟΜΕΝΗ ΕΝΟΤΗΤΑ] Με τη μέθοδο απαλοιφής και αντικατάστασης είναι δύσκολο να λύσουμε συστήματα μεγαλύτερα από 3Χ3. 13 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Σημείο ισορροπίας με μη γραμμικές συναρτήσεις προσφοράς-ζήτησης Προσφορά: q s =0.5p 2-200 Ζήτηση: q d =p 2-100p+2500 p 20 0 p 50 Ισορροπία αγοράς: q s =q d Έχουμε 3 εξισώσεις με 2 αγνώστους (p, q) του σημείου ισορροπίας, σύστημα 3Χ2 άρα μπορεί να έχει μοναδική λύση. q s =q d 0.5p 2-200=p 2-100p+2500 0.5p 2-100p+2700=0 (πολυώνυμο 2 ου βαθμού) Δ=b 2-4ac=(-100) 2-4*(0.5)*2700=10000-5400=4600> 0 άρα 2 λύσεις p 1,p 2 14 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ b± Δ p 1,p 2 = 2a = ( 100)± 4600 2 0.5 Άρα p 1 =32.18 και p 2 =167.82 = 100 ± 4600 = 100 ± 67. 82 Προσφορά: q s =0.5p 2-200 p 20, Ζήτηση: q d =p 2-100p+2500 0 p 50 Εξαιτίας του περιορισμού 0 p 50 απορρίπτουμε την p 2 =167.82 Αυτό το κάνουμε γιατί και οι 2 συναρτήσεις είναι παραβολές κυρτές και επομένως στη συνάρτηση προσφοράς ισχύει μόνο το 2 ο κομμάτι της παραβολής (p 20) ενώ στη ζήτηση μόνο το 1 ο κομμάτι (βλέπε σχήμα) 15 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΛΥΣΗΣ 18000 Προσφορά q s =0.5p 2-200 Zήτηση q p =p 2-100p+2500 1200 Προσφορά q s =0.5p 2-200 Zήτηση q p =p 2-100p+2500 16000 1000 14000 12000 10000 8000 Σημεία Τομής συναρτήσεων 800 600 6000 400 4000 2000 200 0-2000 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 Μαθηματικά στις καμπύλες των συναρτήσεων έχουμε 2 λύσεις (σημεία τομής) 16 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr 0 20 25 30 35 40 45 50 τα τμήματα των συναρτήσεων που ικανοποιούν τους οικονομικούς περιορισμούς δίνουν μοναδικό αποδεκτό σημείο τομής

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ ΓΙΑ 2 ΠΡΟΪΟΝΤΑ Έστω η ζήτηση για τριαντάφυλλα q 1d και γαρύφαλλα q 2d είναι συνάρτηση των τιμών τους p 1 και p 2 αντίστοιχα: τριαντάφυλλα q 1d =10-5p 1 +3p 2 (όταν αυξηθεί η τιμή του ανταγωνιστικού προϊόντος p 2 αυξάνεται η ζήτηση του q 1d ) γαρύφαλλα q 2d =10+2p 1-6p 2 Οι παραγωγοί παράγουν μόνο τριαντάφυλλα ή μόνο γαρύφαλλα και επομένως η ποσότητα εξαρτάται μόνο από την τιμή του αντίστοιχου προϊόντος: q 1s =3+6p 1 q 2s =4+5p 2 Συνθήκη ισορροπίας στην αγορά: q 1d = q 1s και q 2d = q 2 s Επομένως έχουμε 2+2+2=6 εξισώσεις και 4 αγνώστους q 1, q 2, p 1, p 2 17 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ ΓΙΑ 2 ΠΡΟΪΟΝΤΑ (συνέχεια) Το σύστημα εξισώσεων 6Χ4 είναι: q 1d =10-5p 1 +3p 2 (1) q 2d =10+2p 1-6p 2 (2) q 1s =3+6p 1 (3) q 2s =4+5p 2 (4) q 1d = q 1s (5) q 2d = q 2s (6) (1) (3) (5) => 10-5p 1 +3p 2 =3+6p 1 => 7-11p 1 +3p 2 =0 (7) (2) (4) (6) => 10+2p 1-6p 2 = 4+5p 2 => 6+2p 1-11p 2 =0 (8) (7)Χ2+(8)Χ11: 58-115p 2 =0 => p 2 =58/115=0.504 Από την (7) για p 2 =0.504 βρίσκουμε p 1 =0.774 Από την (3) για p 1 =0.774 έχουμε q 1 =3+6p 1 =7.64 Από την (4) για p 2 =0.504 έχουμε q 2 =4+5p 2 =6.52 Οι Εξ. (7) (8) Σύστημα 2Χ2 18 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΝΑΛΥΣΗ ΝΕΚΡΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ-ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΝΕΚΡΟ ΣΗΜΕΙΟ ΌΤΑΝ ΚΕΡΔΟΣ=0 (ΚΟΣΤΟΣ=ΕΣΟΔΑ) Έστω κόστος αγοράς αεροπλάνου 800000 (σταθερό κόστος), λειτουργικό κόστος 100/μίλι, έσοδα 120/μίλι Συμβολίζουμε με x τα μίλια, είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή. Κόστος C(x)=800000+100x (1) Έσοδα R(X)=120x (2) Νεκρό σημείο C(x)=R(X) (3) Έχουμε σύστημα 3Χ3: 3 εξισώσεις με 3 αγνώστους C, R, x Εξισώνοντας τις (1) (2): 800000+100x=120x 800000=20x x=40000 μίλια C(x=40000)= R(X=40000)=4800000 19 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΝΑΛΥΣΗ ΝΕΚΡΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ (συνέχεια) ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ Π(x) profit=κέρδος Π(x)=R(x)-C(x)= 120x-800000-100x=-800000+20x σταθερό κόστος Π(x)=0-800000+20x=0 =>x=800000/20=40000= οριακό κερδος Οριακό κέρδος ο συντελεστής κλίσης της Π(x) 12000000 10000000 8000000 6000000 4000000 2000000 0 ΝΕΚΡΟ ΣΗΜΕΙΟ 0 20000 40000 60000 80000 100000 R(x) 20 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr C(x) 1200000 1000000 800000 600000 400000 200000 0-200000 -400000-600000 -800000 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ Π(x) 0 20000 40000 60000 80000 100000

ΑΝΑΛΥΣΗ ΝΕΚΡΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ-ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΝΕΚΡΟ ΣΗΜΕΙΟ ΌΤΑΝ ΚΕΡΔΟΣ=0 (ΚΟΣΤΟΣ=ΕΣΟΔΑ) Έστω Κόστος C(x)=1.5x 2 +500 (1) Έσοδα R(x)=80x (2) Νεκρό σημείο C(x)=R(X) (3) Έχουμε σύστημα 3Χ3: 3 εξισώσεις με 3 αγνώστους C, R, x Π(x)=R(x)-C(x)= 80x-1.5x 2-500=-1.5x 2 +80x-500 Π(x) τετραγωνική, διακρίνουσα Δ=80 2-4*(-1.5)*(-500)=6400-3000=3400>0 Ρίζες (λύσεις) x 1 =7.23 και x 2 =46.10 (αποδεκτές και οι 2 οικονομικά!) Για x 1 =7.23 έχουμε C(x 1 )= R(x 1 )=578.4, x 2 =46.10, C(x 2 )= R(x 2 )=3688.2 21 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΝΑΛΥΣΗ ΝΕΚΡΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ-ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ Κόστος C(x)=1.5x 2 +500 Έσοδα R(x)=80x Κέρδη Π(x)=-1.5x 2 +80x-500 Για x 1 =7.23 έχουμε C(x 1 )= R(x 1 )=578.4, x 2 =46.10, C(x 2 )= R(x 2 )=3688.2 x C(x) R(x) 0 500 0 5 537,5 400 10 650 800 15 837,5 1200 20 1100 1600 25 1437,5 2000 30 1850 2400 35 2337,5 2800 40 2900 3200 45 3537,5 3600 50 4250 4000 55 5037,5 4400 60 5900 4800 22 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 ΝΕΚΡΟ ΣΗΜΕΙΟ Περιοχή κερδών R(x)>C(x) 0 10 20 30 40 50 60 C(x) R(x)

ΑΝΑΛΥΣΗ ΝΕΚΡΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ-ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ Κόστος C(x)=1.5x 2 +500 Έσοδα R(x)=80x Κέρδη Π(x)=-1.5x 2 +80x-500 Για x 1 =7.23 έχουμε C(x 1 )= R(x 1 )=578.4, x 2 =46.10, C(x 2 )= R(x 2 )=3688.2 x C(x) R(x) 0 500 0 5 537,5 400 10 650 800 15 837,5 1200 20 1100 1600 25 1437,5 2000 30 1850 2400 35 2337,5 2800 40 2900 3200 45 3537,5 3600 50 4250 4000 55 5037,5 4400 60 5900 4800 23 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 ΝΕΚΡΟ ΣΗΜΕΙΟ Περιοχή κερδών R(x)>C(x) 0 10 20 30 40 50 60 C(x) R(x)

ΑΝΑΛΥΣΗ ΝΕΚΡΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ-ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ Κέρδη Π(x)=-1.5x 2 +80x-500 Για x 1 =7.23 έχουμε Π(x 1 )=0, x 2 =46.10, Π(x 2 )=0 x Π(x) 0-500 5-137,5 10 150 15 362,5 20 500 25 562,5 30 550 35 462,5 40 300 45 62,5 50-250 55-637,5 60-1100 24 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr 500 300 100-100 -300-500 ΚΕΡΔΗ Π(x) 0 10 20 30 40 50 60 Π(x)

ΝΕΚΡΟ ΣΗΜΕΙΟ ΓΙΑ 2 ΠΡΟΪΟΝΤΑ Σε ένα δρομολόγιο με τραίνο ορίζουμε x f και x s τους επιβάτες 1 ης θέσης και κανονικής θέσης αντίστοιχα. Έστω Κόστος C(x)=3000+25x f +20x s Έσοδα R(x)=60x f +30x s Κέρδη Π(x)= R(x)-C(x)=35x f +10x s -3000 (προφανώς 60 τιμή εισιτήριου 1 ης θέσης, 30 κανονικής) Νεκρό σημείο Κέρδη Π(x)=0 => 35x f +10x s -3000=0 Είναι 1 εξίσωση με 2 αγνώστους ΑΟΡΙΣΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ γιατί: αν θέσουμε x f =20 => x s =230 αν θέσουμε x s =160 => x f =1400/35=40... άπειροι συνδυασμοί τιμών x f, x s αποτελούν αποδεκτές λύσεις

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 3.1 (Β 4.1) Μια συνάρτηση τετραγωνική διέρχεται από τα σημεία (2, 182), (4, 168), (10, 150). Να βρεθεί η μαθηματική έκφραση της συνάρτησης: a) Με απαλοιφή b) Με αντικατάσταση. ΕΠΙΛΥΣΗ: Τετραγωνική συνάρτηση y=f(x)=ax 2 +bx+c 3 σημεία της συνάρτησης => 3 σχέσεις (εξισώσεις) 26 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 3.2 (Β4.3) Δίνονται οι παρακάτω συναρτήσεις προσφοράς-ζήτησης, να βρεθούν οι οικονομικά αποδεκτές τιμές και ποσότητες ισορροπίας: a) Q s =-2+P 2 και Q d =14-3P 2 b) Q s =-6+3P 2 και Q d =15-2P 2 ΕΠΙΛΥΣΗ: Στην ισορροπία έχουμε Q s =Q d Επίσης επειδή οι συναρτήσεις είναι τετραγωνικές θα έχουμε περιορισμούς στο διάστημα τιμών που είναι συναρτήσεις κατάλληλες για προσφορά-ζήτηση. 27 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 3.3 (Β4.2) Σε μια κλειστή οικονομία έστω ισχύουν τα παρακάτω: Κατανάλωση C=100+0.8Y Επενδύσεις I=1200-30r (Y εισόδημα, r επιτόκιο) Ζήτηση χρήματος για συναλλαγές M d1 =0.25Y Ζήτηση χρήματος για κερδοσκοπία M d2 =1375-25r Προσφορά χρήματος Ms=2500 Αν εισόδημα=κατανάλωση+επενδύσεις και προσφορά χρήματος=ζήτηση χρ. συναλ.+ζήτηση χρ. Κερδοσκ. ΝΑ βρεθούν οι τιμές ισορροπίας για το εισόδημα Υ και επιτόκιο r. ΕΠΙΛΥΣΗ: Από τα δεδομένα προκύπτουν 2 σχέσεις ισορροπίας με 2 αγνώστους 28 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 4 3.4 (Β4.6) Δίνονται οι συναρτήσεις Προσφοράς-Ζήτησης για 3 αλληλοεξαρτώμενα προϊόντα: Q d1 =45-2P 1 +2P 2-2P 3 Q d2 =16+2P 1 -P 2 +2P 3 Q d3 =30-P 1 +2P 2 -P 3 Q s1 =-5+2P 1 Q s2 =-4+2P 2 Q s3 =-5+P 3 Να υπολογιστούν οι τιμές και ποσότητες ισορροπίας. ΕΠΙΛΥΣΗ: Ισορροπία αγοράς: Q d1 = Q s1, Q d2 = Q s2. 29 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 5 3.5 Έστω συνάρτηση κόστους C(x)=100x 2 +1300x+1000 και τιμή πώλησης του προϊόντος p=2000, x είναι η ποσότητα του προϊόντος. a) Βρείτε το νεκρό σημείο (-α) b) Υπολογίστε το μέγιστο κέρδος και το x για μέγιστο κέρδος. ΕΠΙΛΥΣΗ: Από τιμή πώλησης βρίσκουμε την R(x) και κατόπιν την Π(x) (b) Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης κέρδους 30 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr