ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Θέμα ο Να γράψετε και να αποδείξετε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου ενός τμήματος Απόδειξη Ας πάρουμε ένα διάνυσμα AB και ένα σημείο αναφοράς Ο Για τη διανυσματική ακτίνα τμήματος ΑΒ έχουμε: Επομένως, OAOB OM OM του μέσου Μ του OM OA AM και OM OBBM OA AMOBBM OAOB OM Άρα Ο Α Μ Β Θέμα ο Να βρεθούν οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ δύο σημείων (, ) και (, ) του καρτεσιανού επιπέδου Απόδειξη Ας θεωρήσουμε δύο σημεία (, ) και (, ) του καρτεσιανού επιπέδου και ας υποθέσουμε ότι (, ) είναι οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ Επειδή OM ( OAOB ), και OM (, ), OA, ), OB, ), έχουμε Επομένως ισχύει ( ( (, ) [(, ) (, )], Ο B(, ) Μ(,) A(, ) και

Θέμα ο Να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες (, ) του διανύσματος με άκρα τα σημεία A (, ) και (, ) δίνονται από τις σχέσεις και Απόδειξη Ας θεωρήσουμε δύο σημεία (, ) και (, ) του καρτεσιανού επιπέδου και ας υποθέσουμε ότι (, ) είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος AB Επειδή, ABOBOA, AB(, ), OB, ), και OA (, ), έχουμε: (, ) (, ) (, ) (, ) Επομένως: ( Οι συντεταγμένες (, ) του διανύσματος με άκρα τα σημεία A (, ) και (, ) δίνονται από τις σχέσεις και Ο A(, ) B(, ) Θέμα ο Αν α (, ), τότε να αποδείξετε ότι το μέτρο του διανύσματος δίνεται από τον τύπο Απόδειξη Έστω (, ) ένα διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου και Α το σημείο με διανυσματική ακτίνα OAα Αν και είναι Ο A οι προβολές του Α στους άξονες και αντιστοίχως, επειδή το σημείο Α έχει τετμημένη και τεταγμένη, θα ισχύει ( ) και ( ) Έτσι θα έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Επομένως: Αν α (, ), τότε Για παράδειγμα, αν (5,), τότε 5 Α A(,) a

Θέμα 5 ο Να αποδείξετε ότι η απόσταση των σημείων (, ) και, ) είναι ίση με Απόδειξη Ας θεωρήσουμε τώρα δύο σημεία (, ) και (, ) του καρτεσιανού επιπέδου Επειδή η απόσταση () των σημείων Α και Β είναι ίση με το Θέμα 6 ο Να αποδείξετε ότι η απόσταση των σημείων (, ) και, ) είναι ίση με Απόδειξη Ας θεωρήσουμε τώρα δύο σημεία (, ) και (, ) του καρτεσιανού επιπέδου Επειδή η απόσταση () των σημείων Α και Β είναι ίση με το μέτρο του διανύσματος AB(, ), σύμφωνα με τον τύπο () θα ισχύει: Για παράδειγμα, η απόσταση των σημείων (, 7) και ( 5, ) είναι ίση με 5 Θέμα 7 ο Να βρεθούν οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ δύο σημείων (, ) και (, ) του καρτεσιανού επιπέδου Απόδειξη Ας θεωρήσουμε δύο σημεία (, ) και (, ) του καρτεσιανού επιπέδου και ας υποθέσουμε ότι (, ) είναι οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ Επειδή OM ( OAOB ), και OM (, ), OA, ), OB, ), έχουμε Επομένως ισχύει ) ( ) ( ) ( μέτρο του διανύσματος AB(, ), σύμφωνα με τον τύπο () θα ισχύει: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( (5 ) ( 7) ( ( (, ) [(, ) (, )], Ο και Ο A(, ) B(,) ( B(, ) ( Ο Μ(,) A(,) A(,) B(,)

Θέμα 8 ο Να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες (, ) του διανύσματος με άκρα τα σημεία A (, ) και (, ) δίνονται από τις σχέσεις και Απόδειξη Ας θεωρήσουμε δύο σημεία (, ) και (, ) του καρτεσιανού επιπέδου και ας υποθέσουμε ότι (, ) είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος AB Επειδή, ABOBOA, AB(, ), OB, ), και OA (, ), έχουμε: (, ) (, ) (, ) (, ) Επομένως: ( Οι συντεταγμένες (, ) του διανύσματος με άκρα τα σημεία A (, ) και (, ) δίνονται από τις σχέσεις και Ο A(, ) B(, ) Θέμα 9 ο Αν α (, ), τότε να αποδείξετε ότι το μέτρο του διανύσματος δίνεται από τον τύπο Απόδειξη Έστω (, ) ένα διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου και Α το σημείο με διανυσματική ακτίνα OAα Αν και είναι Ο A οι προβολές του Α στους άξονες και αντιστοίχως, επειδή το σημείο Α έχει τετμημένη και τεταγμένη, θα ισχύει ( ) και ( ) Έτσι θα έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Επομένως: Αν α (, ), τότε Για παράδειγμα, αν (5,), τότε 5 Α A(,) a 5

Θέμα ο Να αποδείξετε ότι η απόσταση των σημείων (, ) και, ) είναι ίση με ) ( ) ( ) ( Απόδειξη Ας θεωρήσουμε τώρα δύο σημεία (, ) και (, ) του καρτεσιανού επιπέδου Επειδή η απόσταση () των σημείων Α και Β είναι ίση με το μέτρο του διανύσματος AB(, ), σύμφωνα με τον τύπο () θα ισχύει: ( B(, ) A(, ) ) ( ) ( ) ( Ο Θέμα ο Να αποδείξετε ότι η απόσταση των σημείων (, ) και, ) είναι ίση με ) ( ) ( ) ( Απόδειξη Ας θεωρήσουμε τώρα δύο σημεία (, ) και (, ) του καρτεσιανού επιπέδου Επειδή η απόσταση () των σημείων Α και Β είναι ίση με το μέτρο του διανύσματος AB(, ), σύμφωνα με τον τύπο () θα ισχύει: ( ) ( ) ( ) Για παράδειγμα, η απόσταση των σημείων ( 5, ) είναι ίση με ( ) (5 ) ( 7) 5 ( B(, ) A(, ) Ο (, 7) και Θέμα ο Πως ορίζεται το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων ; ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ α β συνφ, όπου φ η γωνία των διανυσμάτων και Αν ή, τότε ορίζουμε 6

Θέμα ο Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες του ορισμού γινομένου; Άμεσες συνέπειες του ορισμού είναι οι εξής: α β βα (Αντιμεταθετική ιδιότητα) Αν α β, τότε α β και αντιστρόφως Αν α β, τότε α β α β και αντιστρόφως Αν α β, τότε α β α β και αντιστρόφως Το εσωτερικό γινόμενο α α συμβολίζεται με α και λέγεται τετράγωνο του α Έχουμε: α α α συν α Επομένως α α Ειδικότερα, για τα μοναδιαία διανύσματα i και j του καρτεσιανού επίπεδου ισχύουν: i j ji και i j Θέμα ο Πως ορίζεται η προβολή διανύσματος σε διάνυσμα και ποιος τύπος ισχύει για αυτήν ; Απόδειξη Έστω α v, δύο διανύσματα του επιπέδου με Με M αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα OAα και OM ν Από το Μ φέρνουμε κάθετο στη διεύθυνση του OA και έστω M το ίχνος της καθέτου Το διάνυσμα OM λέγεται προβολή του ν στο α και συμβολίζεται με προβ α ν Δηλαδή, OM προβ α ν Αποδεικνύεται ότι η προβολή του ν πάνω στο α είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σημείου Ο Για το εσωτερικό γινόμενο των α και ν έχουμε: Επομένως: αv α( OM MM ) αomαmm αom α προβ α ν αν απροβ ν α α Ο v θ M a A 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ SOS ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θέμα ο Για τέσσερα σημεία,,, να αποδειχτεί ότι Απόδειξη Αν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς, τότε έχουμε: Α AB OBOAO O OBOO OAB A Β Γ Δ Θέμα ο Δίνονται τέσσερα σημεία Α, Β, Γ, Δ και έστω Ο το μέσο του τμήματος ΑΓ Να αποδείξετε ότι + Απόδειξη + + που ισχύει, αφού Ο μέσο του ΑΓ Θέμα ο Αν στο διπλανό σχήμα είναι (ΒΜ) (ΜΓ), να αποδείξετε ότι ( + ) Απόδειξη Μ Σημείο αναφοράς το Α B A Γ Τα διανύσματα, έχουν ίδια φορά, άρα η ισότητα (ΒΜ) (ΜΓ) γίνεται ( ) + + ( + ) Θέμα ο Αν + +, να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά 8

Απόδειξη Σημείο αναφοράς το Κ + + ( ) + ( ) + + + // Κ, Λ και Μ συνευθειακά Θέμα 5 ο Αν ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ είναι διάμεσοι του τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι + + Απόδειξη Ζ Α Ε + + ( + ) + ( + ) + ( + ) Β Δ Γ ( + + + + + ) Θέμα 6 ο Να αποδείξετε ότι, αν ισχύουν δύο από τις σχέσεις + + z, + + z, + + z, τότε θα ισχύει και η τρίτη (Δίνεται Κ Λ) Απόδειξη Υποθέσεις : + + z και + + z Αφαιρούμε κατά μέλη ( )+ ( )+ z( ) ( + )+ ( + )+ z( + ) + +z ( + + z) + + z Υποθέσεις : + + z και + + z + + z ( K + ) + ( K + ) + z( K + ) K + + K + + z K ( + + z) K + ( + + z ) K + + H τρίτη περίπτωση είναι όμοια με τη δεύτερη + z 9

Θέμα 7 ο Δίνονται τα σημεία Α, Β και Γ Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ το διάνυσμα 5 + είναι σταθερό Απόδειξη Α Με σημείο αναφοράς το Α, ορίζουμε τα σημεία Β και Γ θεωρώντας τα διανύσματα Β β Μ γ Γ και 5 + ( ) 5( ) + ( ) 5 + 5 + 5 που είναι σταθερό Θέμα 8 ο Αν (,) και (,) είναι οι δύο κορυφές του παραλληλόγραμμου και (, ) το κέντρο του, να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Γ και Δ Απόδειξη Αν (, ) και (, ) είναι οι δύο άλλες κορυφές του παραλληλόγραμμου, επειδή το Κ είναι το μέσον των ΑΓ και ΒΔ, έχουμε: A(-,) B(,) ( ) K(, -) και Επομένως, 6 Δ και 7 Άρα, οι συντεταγμένες των κορυφών Γ και Δ είναι ( 6, 7) και (, ) αντιστοίχως Γ Θέμα 9 ο Να βρεθούν οι τιμές του μ R για τις οποίες τα σημεία (,), ( μ,) και ( 5μ,9) είναι συνευθειακά Απόδειξη Τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά, αν και μόνο αν τα διανύσματα A ( 5μ, 9) είναι παράλληλα, δηλαδή, αν και μόνο αν det( AB, A ) AB( μ, ) και Έχουμε λοιπόν μ det( AB, A ) 5μ 9 9μ 95μ μ 5μ μ ή μ

Θέμα ο Δίνεται το διάνυσμα (, (i) ; Απόδειξη (i) ), λ Για ποια τιμή του λ είναι : (ii) και // και (ii) και // (λ ή λ ) και (λ ή λ ) λ και (λ και λ ) και (λ ή λ ) λ Θέμα ο Δίνονται τα διανύσματα (, ) και ( 5 6, 7 ) Να βρείτε το λ ώστε να είναι Θέμα ο 5 6 και 7 λ και 5 λ λ και λ λ και (λ ή λ ) λ Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό, ώστε τα διανύσματα (, ) και (, ) να είναι ομόρροπα, ομόρροπα λ με λ (, ) λ (, ) με λ λ και λ με λ λ και λ λ με λ λ και με λ λ και λ Θέμα ο Αν u (, ), ποιο διάνυσμα είναι συγγραμμικό με το u και έχει διπλάσιο μέτρο από το u ; Έστω w το ζητούμενο διάνυσμα w // u w λ u () w u w u () Αλλά w u () u u λ ή λ

() w (, ) (6, 8) ή w (, ) ( 6, 8) Θέμα ο Στο διπλανό σύστημα συντεταγμένων είναι i και συνάρτηση των i και j : α) Τα διανύσματα θέσεως των σημείων Γ, Δ, Ε, Ζ, Κ και Η Ζ B j Να εκφράσετε ως β) Τα διανύσματα,,,,, και α) i, i + j, i + j, j, i + j, i + j Β j Ε Δ Θ Η K β) i + j i i + j O Γ i Α i ( i + j ) i i j i j i + j ( i + j ) i + j i j i i + j ( i + j ) i + j i j i + j i + j ( i + j ) i + j i j i i j j ( i + j ) j i j i + j Θέμα 5ο Δίνονται τα σημεία Α(, 6) και Β( 9, ) Να βρείτε a Το σημείο του άξονα που ισαπέχει από τα Α και Β b Το σημείο του άξονα που ισαπέχει από τα Α και Β (i) Έστω Μ(, ) το ζητούμενο σημείο (ΜΑ) (ΜΒ) MA MB 6 9 + + + 6 + 8 + 8+ 6 8 Άρα Μ(, ) (ii) Έστω Μ(, ) το ζητούμενο σημείο (ΜΑ) (ΜΒ) MA MB 6 9 + + 6 8 + 6 8 + +

Άρα Μ(, ) Θέμα 6ο Σ ε ένα σύστημα συντεταγμένων οι τετμημένες δύο σημείων Α και Β είναι οι ρίζες της εξίσωσης ( λ + ) 7 Nα βρείτε την τιμή του λ τμήματος ΑΒ να έχει τετμημένη Επειδή γ 7 <, η εξίσωση έχει ρίζες, έστω, Έστω Μ το μέσο του ΑΒ Τότε + M 8 λ + 8 λ 5 λ 5 ή, ώστε το μέσο του Θέμα 7ο Να βρεθεί η προβολή του διανύσματος v πάνω στο διάνυσμα α, αν α, v και η γωνία των διανυσμάτων και είναι ίση με φ Έστω v προβ ν Τότε θα ισχύει v λ Επειδή αv aπροβ, έχουμε: λ λ Άρα, v α Θέμα 8ο Δίνονται τα διανύματα α (,) και ν (,) Να αναλυθεί το ν σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο α Έστω ε η ευθεία η κάθετη στη διεύθυνση του Από το πέρας Μ του ν φέρνουμε τις κάθετες και στη διεύθυνση του α και στην ε αντιστοίχως και έστω ν και ν Έχουμε ν ν ν () Το διάνυσμα είναι η προβολή του στο και επειδή ν // α, υπάρχει λ, τέτοιο ώστε προ ν λα (λ, λ) Όμως αν απροβ ν και επομένως έχουμε διαδοχικά: α v π 6 α α αv αv αv αv αλα αv λα α v συνφ λ α ν ν α R Συνεπώς, ν α (,), και v v v (,),, α β α (,) (,) (,) (λ, λ) λλ 5λ λ ε M v v v Ο M M a α

Θέμα 9ο Αν (, ) και (, 5), τότε (i) Να βρείτε τα εσωτερικά γινόμενα, ( )(- ) και ( ) ( + ) (ii) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τους κ, λ, ώστε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων u (κ, λ) και να είναι ίσο με μηδέν Ποια η σχέση όλων των διανυσμάτων u στην περίπτωση αυτή; (i) ( ) + 5 + 5 ( )( ) 6 ( ) 6-78 (, ) (, 5) (, 5) (, ) + (, ) + (, 5) (, 9) + (, 5) (, ) Άρα ( ) ( + ) (, ) (, ) 8 5 (ii) u κ + 5λ Είναι u, άρα τα διανύσματα u είναι μεταξύ τους συγγραμμικά Θέμα ο Αν u (, ), v (, ) και w (6, ), να υπολογίστε τις παραστάσεις : u (7 v + w ), u ( v w ), uv w και ( u v ) w u v + 8 u 5 u w 6 + 6 w v w + 6 6 u (7 v + w ) 7( u v ) + u w 7 8 + 6 56 + 6 6 u ( v w ) 5 5 uv w 8 w 8 w 8 6 8 ( u v ) w ( 5 v ) w 5 ( v w ) 5 5 Θέμα ο Αν (, ) και (, ), να βρείτε τον λ (i) Τα διανύσματα και + λ να είναι κάθετα (ii) Τα διανύσματα και + λ να είναι κάθετα (i) + λ ( + λ ) + λ( ) + λ( + ) ώστε:

+ λ λ (ii) + λ ( + λ ) + λ ( + ) + λ ( + ) + λ λ λ Θέμα ο Να βρείτε τα διανύσματα που είναι κάθετα στο u (, -) και έχουν μέτρο ίσο με Έστω v (, ) το ζητούμενο διάνυσμα u v u v v () ( ) 9 ή Για, η (), και για θα είναι Άρα v (, ) ή v (, ) Θέμα ο Αν, και ( ),, να υπολογίσετε τον κ, ώστε τα διανύσματα u - και v κ + να είναι κάθετα u v u v ( )( κ + ) κ + 6 κ - () Αλλά, 9 και συν () κ + 6 κ 9 κ + 8 κ 8 9κ κ 5

Θέμα ο Αν (κ, ) και (, ), να βρείτε τον κ ώστε να ισχύει : (i) (ii) (, ) (iii) // (i) κ + κ κ (ii) συν κ + 8k + 6 5 () Περιορισμός : 8κ + 6 8κ 6 κ () 8 6 5( ) 6 + 96κ + 6 5 + 5 + 96κ 7 + 8κ 7 Δ 8 + 9 + 96 5, κ 8 5 ή 98 ή 7 7 Λόγω του περιορισμού θα έχουμε κ 7 (iii) // κ κ Θέμα 5ο Aν και (, ), να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσμάτων u + και v Έστω θ η γωνία των διανυσμάτων u, v Τότε συνθ uv u v u v ( + )( ) u + + + u συν () 6

v ( + + ) ( + ) Άρα u v + + + Άρα v () συνθ θ Θέμα 6ο Δίνονται τα σημεία Α(, ), Β(6, ), Γ(, 5 ) και Δ(, ) Να υπολογίσετε (i) Το εσωτερικό γινόμενο (ii) Τι συμπεραίνετε για τα διανύσματα και ; (i) (6, + ) (, ) (, 5) (, ) ( ) + ( )( ) 6 + 6 (ii) Θέμα 7ο Δίνονται τα διανύσματα (, ) και ( -8, 5) Να αναλύσετε το σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη προς το Έστω u, v οι συνιστώσες, με u //, v και u + v u // u λ v v u + v ( u + v ) ( 8) + ( ) 5 ( λ + v ) Άρα u 9 9 5 5 u + v v u ( 8, 5) 6 λ + v 6 λ ( + 6) + 6 λ λ 9 5 (, ) 8, 6 5 5 8, 6 8 8, 5 6, 5 5 5 5 5 5 7

Θέμα 8ο Αν,, και + +, να υπολογίσετε τα : (i),, (ii) συν( ),, συν( ),, συν( ),, και να αποδείξετε ότι και (i) + + + ( + ) ( ) + + + + 9 8 Ομοίως βρίσκουμε και 6 (ii) συν(, ) και ομοίως συν(, ), συν(, ) συν(, ) (, ) 8 ο άρα, Ομοίως αποδεικνύουμε ότι οπότε η σχέση γίνεται Θέμα 9ο Αν τα διανύσματα (κ, λ) και (μ, ν) είναι κάθετα και έχουν μέτρα ίσα με τη μονάδα, να δείξετε ότι (κν λμ ) κμ + λν (κμ + λν ) + κμλν + () + + () ( ) + κμλν + ( + ) ( + κμλν + ( κμλν + ) ) (κν λμ ) (κν λμ ) 8

Θέμα ο Να αποδείξετε ότι Θεωρούμε τα διανύσματα u (α, β ) και v (γ, δ) Τότε συν u, v Αλλά συνu, v 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΕΥΘΕΙΕΣ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ ο Πότε μια ευθεία και ένα διάνυσμα είναι παράλληλα ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Όταν μια ευθεία και ένα διάνυσμα είναι παράλληλα, έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης Ο φ ε ε φ ω ω ω Ο ω φω φπ+ω ΘΕΜΑ ο Ποιος είναι ο τύπος του συντελεστή διεύθυνσης που διέρχεται από τα σημεία A, ) και B, ) ; ( ( ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ο συντελεστής διεύθυνσης λ μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A (, ) και B (, ), με είναι λ ΘΕΜΑ ο Πότε δύο ευθείες ε,ε με αντίστοιχους συντελεστές διεύθυνσης λ,λ και τα διανύσματα δ και δ είναι παράλληλα προς τις ε και ε αντιστοίχως; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πράγματι, αν ε,ε είναι δύο ευθείες με αντίστοιχους συντελεστές διεύθυνσης λ,λ και τα διανύσματα δ και δ είναι παράλληλα προς τις ε και ε αντιστοίχως, έχουμε τις ισοδυναμίες : ε // ε δ // δ λ λ Και ε ε δ δ λ λ ΘΕΜΑ ο Πότε δύο ευθείες ε και ε με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντιστοίχως, είναι παράλληλες και πότε κάθετες ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Επομένως, αν οι ευθείες ε και ε έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντιστοίχως, τότε: ε // ε λ λ και ε ε λ λ ΘΕΜΑ 5ο Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το A, ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ δίνεται από τον τύπο : λ ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ ( Έστω O ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και A (, ) ένα σημείο του επιπέδου Ζητάμε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ Ένα σημείο M (, ) διαφορετικό του A, ) ανήκει στην ε, αν και μόνο αν το διάνυσμα ( AM είναι παράλληλο στην ε, δηλαδή αν και ( μόνο αν το AM και η ε έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης Επειδή AM (, ), έχουμε λ Επομένως, το σημείο M (, ) ανήκει στην ε αν AM και μόνο αν λ ή λ ) Η τελευταία εξίσωση επαληθεύεται και από το σημείο ( A (, ) Άρα η εξίσωση της ευθείας ε είναι: λ( ) φ ε Α(, ) M(,) Ο ΘΕΜΑ 6ο Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία A (, ) και B (, ) δίνεται από τον τύπο : ( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία A (, ) και B (, ) Αν, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας είναι λ και επομένως η εξίσωση λ( ) γίνεται: ( ) () ε B(, ) Α(, ) Ο ΘΕΜΑ 7ο Ποια η εξίσωση μιας κατακόρυφης ευθείας που διέρχεται από το σημείο A, ) ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η εξίσωση μιας κατακόρυφης ευθείας που διέρχεται από το σημείο A, ) μπορεί να βρεθεί αμέσως, αφού κάθε σημείο της Μ έχει ( τετμημένη και άρα η εξίσωσή της είναι : ( Ο ε Α(, )

ΘΕΜΑ 8ο Ποια η εξίσωση ευθείας που τέμνει τον άξονα στο σημείο A (, β) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η εξίσωση ευθείας που τέμνει τον άξονα στο σημείο A (, β) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι β λ( ), η οποία τελικά γράφεται λ β ΘΕΜΑ 9ο Ποιος ο τύπος μιας ευθείας διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ; Ποιες οι εξισώσεις των διχοτόμων του ορθοκανονικού συστήματος; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αν μια ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, τότε η εξίσωσή της είναι ( ) ή λ Έτσι, οι διχοτόμοι των γωνιών και αντιστοίχως ΘΕΜΑ ο O και O έχουν εξισώσεις Ποιος ο τύπος μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο A (, ) και είναι παράλληλη στον άξονα ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αν μια ευθεία διέρχεται από το σημείο A (, ) και είναι παράλληλη στον άξονα, δηλαδή είναι όπως λέμε μια οριζόντια ευθεία, έχει εξίσωση ( ), δηλαδή ε Ο ε Α(,β) Ο δ Ο δ - Α(, ) Ο 5 o 5 o ε ΘΕΜΑ ο Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής A B με A ή B () και αντιστρόφως, κάθε εξίσωση της μορφής () παριστάνει ευθεία γραμμή ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα στο σημείο (, ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, τότε θα έχει εξίσωση, η οποία γράφεται ( ) Αν η ευθεία ε είναι κατακόρυφη και διέρχεται από το σημείο P(, ), τότε θα έχει εξίσωση, η οποία γράφεται ισοδύναμα

( ) Βλέπουμε, δηλαδή, ότι και στις δύο περιπτώσεις η εξίσωση της ευθείας ε παίρνει τη μορφή A B με A ή B Αντιστρόφως, έστω η εξίσωση A B με A ή B A Αν B, τότε η εξίσωση γράφεται B, που B είναι εξίσωση ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης A B, B και η οποία τέμνει τον άξονα στο σημείο Αν B, τότε, λόγω της υπόθεσης, είναι A και η εξίσωση γράφεται, που είναι A εξίσωση ευθείας κάθετης στον άξονα στο σημείο του P, Σε όλες λοιπόν τις περιπτώσεις η A εξίσωση A B με A ή B παριστάνει ευθεία Ο ε P(, ) ΘΕΜΑ ο Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση A B είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ ( B, A) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω O ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία του επιπέδου με εξίσωση A B A Αν B, τότε η ε έχει συντελεστή διεύθυνσης λ και επομένως είναι παράλληλη προς το B διάνυσμα δ ( B, A) Αν B, τότε η ε είναι παράλληλη προς τον άξονα και επομένως παράλληλη και πάλι προς το διάνυσμα δ ( B, A) ΘΕΜΑ ο Η ευθεία με εξίσωση A B είναι κάθετη στο διάνυσμα n ( A, B) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Όμως, το διάνυσμα δ ( B, A) είναι κάθετο στο διάνυσμα n ( A, B), αφού η ευθεία με εξίσωση A B είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ ( B, A) δ n ( B, A) ( A, B) AB AB ε Ο δ (,) n (, )

ΘΕΜΑ ο Ποιος ο τύπος της απόστασης του σημείου M (, ) από την ευθεία με εξίσωση A B ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση A B και M, ) ένα σημείο εκτός αυτής τότε θα ισχύει ( ( d M, ε) M M () d( M A B, ε) A B Για παράδειγμα, η απόσταση του σημείου M (,) από την ευθεία ε : 8 είναι ίση με ΘΕΜΑ ο ( ) 8 d ( M, ε) 5 ε n ( A, B) Μ (, ) Μ (, ) Ο Ποιος ο τύπος του εμβαδού ενός τριγώνου ΑΒΓ με A (, ), B (, ) και (, ) ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω A (, ), B (, ) και (, ) Γ(, ) τρία σημεία του καρτεσιανού επιπέδου, το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο : ( AB ) det( AB, A ) Για παράδειγμα, αν A (,), B(, ) και (, 8) είναι οι κορυφές ενός τριγώνου ΑΒΓ, τότε AB (, ) και A (, 9), οπότε το εμβαδόν του ΑΒΓ είναι ( AB ) det( AB, A ) 6 9 A(, ) Δ B(, )

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΕΥΘΕΙΕΣ SOS ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Δίνεται τρίγωνο με κορυφές τα σημεία A (,), B (,5) και (,) Να βρεθούν οι εξισώσεις: i) Του ύψους που άγεται από την κορυφή Α ii) Της διαμέσου που άγεται από την κορυφή Β iii) Της μεσοκαθέτου της πλευράς ΑΓ ΛΥΣΗ 5 (i) Επειδή λ B, ο συντελεστής διεύθυνσης του ύψους του τριγώνου από το Α είναι λ Επομένως, η εξίσωση του ύψους είναι ( ) ή (ii) Το μέσον Μ του τμήματος ΑΓ έχει συντεταγμένες,, Επομένως, ο 5 συντελεστής διεύθυνσης της διαμέσου ΒΜ είναι λ 7 και άρα η εξίσωση της ΒΜ είναι 5 7( ), η οποία γράφεται ισοδύναμα 7 (iii) Επειδή η ευθεία ΑΓ έχει συντελεστή διεύθυνσης, η οποιαδήποτε κάθετος σε αυτήν 5 έχει συντελεστή διεύθυνσης 5, επομένως η εξίσωση της μεσοκαθέτου είναι 5 ή ισοδύναμα 5 6 ΘΕΜΑ ο Δίνονται η ευθεία ε με εξίσωση και το σημείο A (,) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του συμμετρικού του σημείου Α ως προς την ευθεία ε ΛΥΣΗ Αν A ( μ, ν) είναι το συμμετρικό του Α ως προς την ε, τότε το μέσον Μ του AA ανήκει στην ε και το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης των ε και AA είναι -, αφού ε AA Οι συντεταγμένες του μέσου Μ είναι μ ν, και ο συντελεστής διεύθυνσης του AA ν είναι Έτσι έχουμε το σύστημα μ Α (μ,ν) ε Μ Α(,) Ο 5

ν μ, το οποίο μετά την εκτέλεση των πράξεων γράφεται ν μ μ ν μ ν 5 Από τη λύση του συστήματος αυτού βρίσκουμε 6 Α ως προς την ε είναι το A, 5 5 6 μ και 5 ν Επομένως, το συμμετρικό σημείο του 5 ΘΕΜΑ ο Δίνεται η εξίσωση: (i) Να αποδειχτεί ότι ( 5) λ( 7) (), όπου λ R Για κάθε τιμή της παραμέτρου λ η εξίσωση () παριστάνει ευθεία γραμμή Όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση () (Οικογένεια ευθειών) διέρχονται από το ίδιο σημείο (ii) Ποια από τις παραπάνω ευθείες είναι κάθετη στην ευθεία ζ : ; ΑΠΟΔΕΙΞΗ (i) Η εξίσωση () γράφεται ισοδύναμα ( λ ) ( λ) (5 7λ) () Επειδή δεν υπάρχει τιμή του λ για την οποία να μηδενίζονται και ο συντελεστής του και ο συντελεστής του, η εξίσωση () παριστάνει ευθεία για κάθε τιμή του λ R Για να δείξουμε ότι όλες οι ευθείες της οικογένειας () διέρχονται από το ίδιο σημείο, αρκεί να βρούμε ένα σημείο K (, ) του οποίου οι συντεταγμένες να επαληθεύουν την () για όλες τις τιμές του λ Το ζητούμενο σημείο θα είναι εκείνο του οποίου οι συντεταγμένες μηδενίζουν τις παραστάσεις 5 και 7, δηλαδή η λύση του συστήματος 5 και 7 Από την επίλυση του συστήματος βρίσκουμε ότι και Επομένως, όλες οι ευθείες της οικογένειας () διέρχονται από το σημείο K (, ) (ii) Έστω ε ευθεία της οικογένειας () που είναι κάθετη στην ευθεία ζ Τότε θα ισχύει λ ε λζ λε λε () όμως, λόγω της (), ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε είναι ίσος με λ λ ε λ λ Επομένως, από την () έχουμε 6λ λ λ, λ οπότε η ευθεία ε θα έχει εξίσωση που γράφεται 6

ΘΕΜΑ ο Να βρεθεί η οξεία γωνία των ευθειών ε : και ε : ΛΥΣΗ Οι ευθείες ε και ε έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ και λ Άρα, είναι παράλληλες προς τα διανύσματα δ (, ) και δ (, ) Επομένως, η οξεία γωνία θ των ευθειών ε και ε είναι ίση ή παραπληρωματική της γωνίας φ των διανυσμάτων δ και δ Όμως, είναι: Επομένως, συνθ δ δ συνφ δ δ, οπότε θ 7 ( ) 5 ΘΕΜΑ 5ο Να αποδειχτεί ότι η απόσταση των ευθειών ε : λ β και ε : λ β δίνεται από τον β β τύπο d( ε, ε ) λ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Η απόσταση των ε και ε είναι ίση με την απόσταση οποιουδήποτε σημείου της ευθείας ε από την ευθεία ε Για, από την πρώτη εξίσωση βρίσκουμε ότι β Άρα, το σημείο, β ) ανήκει στην ε, οπότε έχουμε d( ε,ε ) d( A,ε ) λ β β λ (, αφού ε λ β : β β λ ΘΕΜΑ 6ο Θεωρούμε τα σημεία Α(-,), Β(-,) και Γ(-,) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(,) για τα οποία ισχύει: (ΜΒΓ)(ΑΒΓ) ΛΥΣΗ Το εμβαδόν του τριγώνου είναι ίσο με ( AB ) det( AB, A ), ενώ του (ΜΒΓ) είναι ίσο με ( MB ) det( B, BM ) Γ Α Β Μ Ο Επομένως, το M (, ) είναι σημείο του γεωμετρικού τόπου, αν και μόνο αν ισχύει ή ή Άρα, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος αποτελείται από τις ευθείες και, οι οποίες είναι παράλληλες προς τη ΒΓ 7

ΘΕΜΑ 7ο Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης : i) Tης ευθείας, η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(, ) και Β(, 6) ii) Tης ευθείας, η οποία τέμνει τους άξονες στα σημεία Γ(, ) και Δ(, ) iii) Tης ευθείας, η οποία διέρχεται από το Ο και είναι κάθετη στη ΓΔ i) 6 ( ) ii) iii) ε ΓΔ ΘΕΜΑ 8ο Να βρείτε τη γωνία, που σχηματίζουν με τον άξονα οι ευθείες που διέρχονται από τα σημεία : i) A(, ) και Β(, 6) ii) A(, ) και Β(, ) iii) A(, ) και Β(, ) iv) A(, ) και Β(, ) Έστω ω η ζητούμενη γωνία i) εφω 6 ( ) ω 5ο ii) εφω ( ) ω 5ο iii) A B ΑΒ iv) εφω ( ) ω 9 ο ω ο ΘΕΜΑ 9ο Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο i) είναι παράλληλη προς το διάνυσμα (, ) ii) είναι παράλληλη προς το διάνυσμα (, ) iii) σχηματίζει με τον άξονα γωνία ω Έστω ε η ζητούμενη ευθεία i) ε// ε : λ ( ) ( ) ( ) Α(, ) και + + 8

+ ii) Επειδή, είναι // (το δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης), άρα και ε// και αφού διέρχεται από το σημείο Α(, ), θα έχει εξίσωση iii) ω εφ ε : λ ( ) ( ) ( ) + ΘΕΜΑ ο Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε, που διέρχεται από τα σημεία Α(συνθ, ημθ) και Β(ημθ, συνθ), αν < θ < και θ Για ποια τιμή του θ η ευθεία αυτή διέρχεται από την αρχή των αξόνων; ΑΒ : ( ) ημθ ( συνθ) A A ημθ ( συνθ) + συνθ + ημθ Η ευθεία αυτή διέρχεται από την αρχή των αξόνων συνθ + ημθ ημθ συνθ εφθ θ ΘΕΜΑ ο Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών, που διέρχονται από το σημείο Α(-, ) και σχηματίζουν με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο Έστω ΑΛΚ ζητούμενη ευθεία Α Λ Ο τους άξονες και μάλιστα Kσε πρέπει λ και λ Αφού διέρχεται από το Α, θα έχει εξίσωση λ( + ) λ + λ + () Περιορισμός : Για να ορίζεται τρίγωνο ΟΚΛ, θα πρέπει η ευθεία να τέμνει διαφορετικά σημεία Κ, Λ, άρα θα Συντεταγμένες του Κ : Για, η () λ K + λ λ K K λ K Συντεταγμένες του Λ : Για, η () λ( + ) λ + 9

Τρίγωνο ΟΚΛ ισοσκελές (ΟΚ) (ΟΛ) λ ή λ Άρα ζητούμενη ευθεία () είναι + + ή + + ή + ΘΕΜΑ ο Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών και τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ του τριγώνου ΑΒΓ, του οποίου τα δύο ύψη έχουν εξισώσεις + και η κορυφή Α έχει συντεταγμένες (, ) Διαπιστώνουμε ότι η κορυφή Α δεν Α επαληθεύει Δ καμία από τις εξισώσεις των υψών Ε Έστω, λοιπόν ΒΔ : + Β ΑΓ ΒΔ ΓΕ : + Γ ΑΓ : ( ) + + + 6 ΑΒ ΓΕ ΑΒ : ( ) + + Για τις συντεταγμένες του Β, λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των ΑΒ, ΒΔ 6 και και + αντιστοίχως Για τις συντεταγμένες του Γ, λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των ΑΓ, ΓΕ 6 6 ΘΕΜΑ ο Να αποδείξτε ότι, για κάθε πραγματική τιμή του μ η εξίσωση: (μ ) + μ + παριστάνει ευθεία γραμμή Πότε η ευθεία αυτή είναι παράλληλη προς τον άξονα, πότε προς τον και πότε διέρχεται από την αρχή των αξόνων; Η δοσμένη εξίσωση είναι της μορφής Α + B + Γ Ένας τουλάχιστον από τους μ, μ είναι, διότι: αν ήσαν μ και μ, θα ήταν μ και μ, που είναι άτοπο

Άρα η δοσμένη εξίσωση παριστάνει ευθεία γραμμή ε ε// μ μ ε// μ ε διέρχεται από την αρχή των αξόνων μ ΘΕΜΑ ο Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο Α(-, ) και είναι κάθετη στην ευθεία + 6 Ποιο είναι το σημείο τομής των δύο ευθειών; Έστω ε : + 6 η δοσμένη ευθεία και η η ζητούμενη η ε η : ( + ) 6 6 + Σημείο τομής των ε, η : 6 6 9 6 6 8 ΘΕΜΑ 5ο Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών 5 + και 7 και είναι κάθετη στην ευθεία + 5 5 Σημείο τομής : 7 D -5-6 + 5 D 7 - -5 7-9 + 5 D - 7 D D Η τρίτη ευθεία έχει λ Η εξίσωσή της θα είναι D + 7 D 7 7 K(, 7), άρα η ζητούμενη κάθετή της θα έχει συντελεστή διεύθυνσης +7 ( + ) + 68 + + +

ΘΕΜΑ 6ο Τα σημεία Α(-, 6) και Γ(-, ) είναι οι απέναντι κορυφές ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ Οι πλευρές ΒΓ και ΓΔ του παραλληλογράμμου ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις + και + αντιστοίχως Να υπολογίσετε : i) Τις συντεταγμένες της κορυφής Δ ii) Το συνημίτονο της οξείας γωνίας των διαγωνίων του παραλληλογράμμου (i) Δ Α K + Γ Β - + Οι συντεταγμένες του Δ θα είναι η λύση του συστήματος των εξισώσεων των ευθειών ΑΔ και ΔΓ D, AΔ//ΒΓ A ΑΔ : - 6 ( +) 8 + D + 6 8, D 6 D D, D Άρα Δ(, ) D 6 (ii) 5 (, 5) Το σημείο τομής Κ των διαγωνίων είναι μέσο της ΑΓ Άρα Κ(, 6 ), Κ( 5, 7 ) 7 78 5 5 9 ) 9-5 5 9 συν(, (9, ) 9 5 8 8 ΘΕΜΑ 7ο Να βρείτε την τιμή του λϵr, ώστε οι ευθείες (λ ) + λ + 8 και λ + + λ να είναι κάθετες Η πρώτη ευθεία είναι παράλληλη στο διάνυσμα (Β, Α) (λ, λ) και η δεύτερη είναι παράλληλη στο διάνυσμα (Β, Α) (, λ) Οι δύο ευθείες είναι κάθετες τότε και μόνο τότε όταν

λ λ( λ) λ λ + + λ λ(λ + ) λ ή λ + λ ή λ ΘΕΜΑ 8ο Να σχεδιάσετε τις γραμμές τις οποίες παριστάνουν οι εξισώσεις i) - + i) H εξίσωση γράφεται ii) + + + + ( ) (β βάθμια ως προς ) Δ 6 ( ) 6 6 + + ή + ευθείες O - - + 5 ii) H εξίσωση γράφεται + ( + ) (β-βάθμια ως προς ) Δ ( + ) ( + + ) ( + ) ( ) + ή + O - 5 - + ή + ευθείες ΘΕΜΑ 9ο Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες της μορφής ( + + ) + ( + ) + ( + ), ϵr, διέρχονται από το ίδιο σημείο Για, έχουμε τη συγκεκριμένη ευθεία : + + Για, έχουμε τη συγκεκριμένη ευθεία : ( + + ) + ( + ) + + 6 + + Βρίσκουμε το σημείο τομής K των, λύνοντας το σύστημά τους 6 + ( ) Άρα Κ(, ) Θα αποδείξουμε ότι, για κάθε ϵr, η δοσμένη εξίσωση επαληθεύεται από το Κ(, ), οπότε όλες οι ευθείες, που παριστάνει, θα διέρχονται από το Κ ( + + )( ) + ( + ) + ( + ) + + + +

ΘΕΜΑ ο Να αποδείξετε ότι οι ευθείες + 5, και 7 8 + διέρχονται από το ίδιο σημείο Βρίσκουμε το σημείο τομής K των δύο πρώτων λύνοντας το σύστημά τους D D 5 - D 5 5 D D, D Άρα Κ(, ) D Για να διέρχεται η τρίτη ευθεία από το Κ(, ), αρκεί να επαληθεύεται από αυτό 7 8 + 7 8 + ΘΕΜΑ ο Να βρείτε την οξεία γωνία την οποία σχηματίζουν οι ευθείες μ Έστω : μ και : ( + μ) ( μ) οι δοσμένες ευθείες Θεωρούμε το διάνυσμα (, μ) και το ( μ, + μ) ( ) συν, ( ) ( ) Άρα η ζητούμενη γωνία είναι 5 ο και ( + μ) ( μ) ΘΕΜΑ ο Δίνεται η ευθεία + και το σημείο Α(, ) Να βρείτε τις συντεταγμένες της προβολής του Α στην ευθεία αυτή ΑΚ ε, οπότε Κ είναι η προβολή του Α στη K δοσμένη ευθεία ε ε Σύστημα των ε και ΑΚ Α άρα ΑΚ: ( ) 6 5

D 9 D 5 9 + 5, D 5 5 8 D 5, D D 9 5 D ΘΕΜΑ ο Να βρείτε την απόσταση του σημείου Α(, ) από την ευθεία + + d ( ) ΘΕΜΑ ο Να βρείτε την απόσταση του σημείου Α(-, ) από την ευθεία 5 + + d 5( ) 5 9 ΘΕΜΑ 5ο Δίνονται οι ευθείες : 5 8 5 και : 5 8 + 68 i) Να δείξετε ότι // ii) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις της αρχής των αξόνων από τις, iii) Να υπολογίσετε την απόσταση των και (i) 5 5 8 8 // (ii) d(o, ) 5 8 5 5 8 5 5 6 5 89 5 89 89 d(o, ) 5 8 68 5 8 (iii) H, για, δίνει 5 d(, ) d(κ, ) 68 5 6 68 89 68 89 89 5 Άρα το σημείο Κ 5, 5 5 5 8 68 5 5 8 5 68 5 6 9 89 9 89 89 5

ΘΕΜΑ 6ο Ποιο σημείο της ευθείας ισαπέχει από τα σημεία Α(, ) και Β(7, 9) Το ζητούμενο σημείο Κ θα ανήκει στη μεσοκάθετο μ του τμήματος ΑΒ AB 9 7 μ AB - Έστω Μ το μέσο του ΑΒ Τότε 7 και 9 6 Εξίσωση της μεσοκαθέτου μ: 6 ( ) 6 + + Α M Κ μ Β ε Σύστημα των ε, μ : D + 5 D + 6, D K D D D D 6 5 και K D D 5 ΘΕΜΑ 7ο Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία έχει συντελεστή διεύθυνσης λ και απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με 5 μονάδες Έστω ε: + β + β η ζητούμενη ευθεία d(o, ) 5 5 5 5 β 5 Άρα ε: + 5 ή 5 ΘΕΜΑ 8ο Η ευθεία ε : + είναι μεσοπαράλληλη δύο παράλληλων ευθειών και, που απέχουν 8 μονάδες Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών αυτών 6

Οι ζητούμενες ευθείες θα έχουν εξίσωση της μορφής + β Έστω Μ(, ) το τυχαίο σημείο τους Θα είναι d(μ, ε) + ή + + ή + + ΘΕΜΑ 9ο Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές Α(, ), Β(6, ), Γ(, ) AB (6, ) (6, ), A (, ) (, ) (ΑΒΓ) det, 6 8 9 ΘΕΜΑ ο Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές Α(, ), Β(, ), Γ( 5, ) AB (, ) (, ), A ( 5, ) ( 6, 6) (ΑΒΓ) det, 6 6 ΘΕΜΑ ο Δίνονται τα σημεία Α(5, ) και Β(, ) Να βρείτε το σημείο Μ του άξονα, για το οποίο το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ να είναι ίσο με 7 Έστω Μ(, ) το ζητούμενο σημείο AB ( 5, ) (, ) AM ( 5, ) ( 5, ) (ΜΑΒ) 7 det, 7 5 ή ή 8 ή Το ζητούμενο σημείο είναι Μ(, ) ή Μ(, ) 7

ΘΕΜΑ ο Να βρείτε το σημείο του άξονα, το οποίο ισαπέχει από την αρχή των αξόνων Ο και από την ευθεία 5 + 6 Έστω Α(α, ) το ζητούμενο σημείο 5 6 5 6 Θα έχουμε 5 5 6 5α 6 α ή 5α 6 α 8α -6 ή 8α 6 α 5 ή α Άρα Α( 5, ) ή Α(, ) ΘΕΜΑ ο Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες + και 5 + + Ας είναι, οι δύο ευθείες Έστω Μ(, ) το τυχαίο σημείο των διχοτόμων d(μ, ) d(μ, ) 5 5 5 5 5 5 ( + ) 5(5 + + ) ή ( + ) 5(5 + + ) 9 5 + 5 + 6 + ή 9 5 + 5 6 7 ή 6 + 8 + 6 ή 6 + 8 + ΘΕΜΑ ο Δίνονται τα σημεία Α(, ) και Β(, ) Να βρείτε το σύνολο των σημείων Μ, για τα οποία ισχύει (ΜΑΒ) 8 Έστω Μ(, ) τυχαίο σημείο για το οποίο ισχύει (ΜΑΒ) 8 ( +, + ), ( +, + ) (, ) (ΜΑΒ) 8 det, 8 + + 6 8 6 5 6 5 6 ή 5 6 ή + 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ ο Να βρεθεί η εξίσωση κύκλου με κέντρο Ο(,) και ακτίνα ρ Ποιος κύκλος ονομάζεται μοναδιαίος ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω O ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με κέντρο το σημείο O(, ) και ακτίνα ρ Γνωρίζουμε από τη Γεωμετρία ότι ένα σημείο M(, ) ανήκει στον κύκλο C, αν και ρ M(,) μόνο αν απέχει από το κέντρο του Ο απόσταση ίση με ρ, δηλαδή, αν και μόνο αν ισχύει: Ο (,) ( OM) () Όμως, ( OM) Επομένως, η () γράφεται ή, ισοδύναμα, () Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι οι συντεταγμένες των σημείων του κύκλου και μόνο αυτές επαληθεύουν την εξίσωση () Άρα, ο κύκλος με κέντρο το σημείο O(, ) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση () Για παράδειγμα, ο κύκλος με κέντρο το σημείο Ο(,) και ακτίνα έχει εξίσωση Ο κύκλος αυτός λέγεται μοναδιαίος κύκλος C ΘΕΜΑ ο Να βρεθεί η εξίσωση εφαπτομένης του κύκλου ρ στο σημείο του A (, ) ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ε η εφαπτομένη του κύκλου C : ρ σε ένα σημείο του A(, ) Γνωρίζουμε από τη Γεωμετρία ότι ένα σημείο M(, ) ανήκει στην ε, αν και μόνο αν, δηλαδή, αν και μόνο αν ισχύει OA AM () Όμως OA (, ) και AM (, ) Έτσι η () γράφεται διαδοχικά ( ) ( ), αφού Επομένως, η εφαπτομένη του κύκλου ρ στο Α(, ) M(,) ε Ο 9

σημείο του, A ) έχει εξίσωση : ( Για παράδειγμα, η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο A,, η οποία γράφεται έχει εξίσωση ΘΕΜΑ ο Να βρεθεί η εξίσωση κύκλου με κέντρο K(, ) και ακτίνα ρ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω O ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με κέντρο K(, ) και ακτίνα ρ Ένα σημείο M(, ) ανήκει στον κύκλο C, αν και μόνο αν απέχει από το κέντρο του Κ απόσταση ίση με ρ, δηλαδή, αν και μόνο αν ισχύει ( KM ) ρ () Ο Κ(, ) ρ M(,) Όμως, ( KM) ( ) ( ) Επομένως, η σχέση () γράφεται: ( ) ( ) ή, ισοδύναμα, ( ) ( ) Άρα, ο κύκλος με κέντρο K(, ) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: ( ) ( ) () Έτσι, για παράδειγμα, ο κύκλος με κέντρο K(, ) και ακτίνα έχει εξίσωση ( ) ( ) ΘΕΜΑ ο Κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής A B, με A B (Ι) και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της μορφής (Ι) παριστάνει κύκλο ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ο κύκλος με κέντρο K(, ) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση ( ) ( ) Αν εκτελέσουμε τις πράξεις, η εξίσωση γράφεται δηλαδή παίρνει τη μορφή ( ρ ), όπου A, B και A B, ()

Αντιστρόφως, κάθε εξίσωση της μορφής () γράφεται διαδοχικά: ( A) ( B) A A B B A B Επομένως: A B A B A B Αν A B, η εξίσωση () παριστάνει κύκλο με κέντρο K, και ακτίνα A B A B Αν A B, η εξίσωση () παριστάνει ένα μόνο σημείο, το K, Αν A B, η εξίσωση () είναι αδύνατη, δηλαδή δεν υπάρχουν σημεία M (, ) των οποίων οι συντεταγμένες να την επαληθεύουν Αποδείξαμε λοιπόν ότι: Κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής A B, με A B (Ι) και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της μορφής (Ι) παριστάνει κύκλο Πχ Η εξίσωση 6, για παράδειγμα, γράφεται διαδοχικά ( ) ( 6) ( ) ( ) ( ) ( ) Άρα, παριστάνει κύκλο με κέντρο K(, ) και ακτίνα

ΚΥΚΛΟΣ SOS ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου C : 5 που διέρχονται από το σημείο A(, ), και να αποδειχτεί ότι οι εφαπτόμενες αυτές είναι κάθετες ΛΥΣΗ Έστω μια εφαπτομένη του κύκλου C που διέρχεται από το σημείο Α Αν M(, ) είναι το σημείο επαφής, τότε η θα έχει εξίσωση 5 () και επειδή διέρχεται από το σημείο A(, ), θα ισχύει 5 () Όμως, το σημείο M(, ) ανήκει στον κύκλο C Άρα, θα ισχύει 5 () Επομένως, οι συντεταγμένες (, ) του M είναι η λύση του συστήματος των εξισώσεων () και () Λύνουμε το σύστημα αυτό και βρίσκουμε δύο λύσεις: (, ) (, ) ή (, ) (, ) () Άρα, υπάρχουν δύο εφαπτόμενες του C που διέρχονται από το σημείο A(, ), οι οποίες, λόγω των () και (), έχουν εξισώσεις: : 5, : 5 Επειδή οι συντελεστές διεύθυνσης των και είναι και, οι ευθείες και είναι κάθετες ΘΕΜΑ ο C Δίνονται οι κύκλοι :( ) ( ) 5 C και : ( ) i) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης ε του κύκλου C στο σημείο A ( 5, ) ii) Να αποδειχτεί ότι η ε εφάπτεται και του κύκλου C ΛΥΣΗ Ο κύκλος C έχει κέντρο K (,) και ακτίνα 5, ενώ ο κύκλος C έχει κέντρο (, ) και ακτίνα (i) Γνωρίζουμε από τη Γεωμετρία ότι ένα σημείο M (, ) ανήκει στην ε, αν και μόνο αν AM KA, δηλαδή, αν και μόνο αν KA AM () C ε K(,) M ε ω M Α(,) Ο C M(,) O Λ(,-) A(5,-) B

Όμως, KA (, ) και AM ( 5, ) Έτσι, η () γράφεται διαδοχικά ( 5) ( ) 9 Άρα, η εξίσωση της ε είναι: 9 () (ii) Για να δείξουμε ότι η ε εφάπτεται του κύκλου C, αρκεί να δείξουμε ότι η απόσταση του κέντρου (, ) του C από την ε είναι ίση με την ακτίνα του C, δηλαδή ίση με Έχουμε λοιπόν: ( ) 9 5 d(, ε) 5 ΘΕΜΑ ο Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : (i) Όταν διέρχεται από το σημείο Α(, ) (ii) Όταν διέρχεται από το σημείο Α(α β, α + β) (iii) Όταν εφάπτεται της ευθείας (iv) Όταν εφάπτεται της ευθείας α + β (i) ρ (ΟΑ) Εξίσωση του κύκλου : (ii) ρ (ΟΑ) + ( ) ( ) Εξίσωση του κύκλου : + + + (iii) ρ απόσταση της αρχής των αξόνων από την ευθεία Εξίσωση του κύκλου : + (iv) ρ απόσταση της αρχής των αξόνων από την ευθεία α + β ( + ) ( ) Εξίσωση του κύκλου : + +

ΘΕΜΑ ο Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου παρακάτω περιπτώσεις : (i) Όταν είναι παράλληλη στην ευθεία + (ii) Όταν είναι κάθετη στην ευθεία (iii) Όταν διέρχεται από το σημείο Α(5, ) + 5 σε καθεμιά από τις (i) Έστω ε : + 5 η ζητούμενη εφαπτομένη, όπου Ε(, ) το σημείο επαφής ε // στην ευθεία + () Ε στον κύκλο + 5 ή () + Για, η (), οπότε ε : + 5 Για, η (), οπότε ε : 5 5 5 5 (ii) Έστω ε : + 5 η ζητούμενη εφαπτομένη, όπου Ε(, ) το σημείο επαφής ε στην ευθεία Συνεχίζουμε όπως στην περίπτωση (i) και βρίσκουμε ε : + 5 ή ε : 5 (iii) Έστω ε : + 5 η ζητούμενη εφαπτομένη, όπου Ε(, ) το σημείο επαφής A ε 5 + 5 () Ε στον κύκλο + 5 ή () + 5 Άρα ε : + 5 ή ε : 5 ΘΕΜΑ 5ο Να βρείτε την εξίσωση της χορδής του κύκλου + που έχει μέσο το σημείο Μ(, ) Η ζητούμενη χορδή ε θα είναι κάθετη στην ΟΜ Είναι Άρα Επομένως ε : ( ) ( ) + ΘΕΜΑ 6ο Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Όταν έχει κέντρο Κ(, ) και διέρχεται από το σημείο Α(, ) (ii) Όταν έχει διάμετρο το τμήμα με άκρα Α(, ) και Β(7, 8) (iii) Όταν έχει ακτίνα ρ 5 και τέμνει τον άξονα στα σημεία Α(, )

και Β(7, ) (iv) Όταν διέρχεται από τα σημεία Α(, ) και Β(8, ) και έχει το κέντρο του στην ευθεία (v) Όταν τέμνει τον άξονα στα σημεία Α(, ) και Β(8, ) και τον άξονα στα σημεία Γ(, ) και Δ(, μ) (vi) Όταν εφάπτεται του άξονα στο σημείο Α(, ) και διέρχεται από το σημείο Β(, ) (vii) Όταν διέρχεται από την αρχή των αξόνων και εφάπτεται της ευθείας + στο σημείο Α(, ) (i) (ΚΑ ) ( ) + ( ) + Η εξίσωση του κύκλου είναι ( ) + ( ) (ii) Το κέντρο Κ του κύκλου θα είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ Κ( 7, 8 ) Κ(, 5) (ΚΑ ) ( ) + ( 5 ) 6 + 9 5 Η εξίσωση του κύκλου είναι ( ) + ( 5 ) 5 (iii) Έστω Κ(, ) το κέντρο του κύκλου Ο Α Κ Β (ΚΑ ) (ΚΒ ) ( ) +( ) ( 7 ) +( ) + + 8 (ΚΑ) 5 (ΚΑ ) 5 ( ) +( ) 5 + 9 + () () 9 + 5 6 ή Η εξίσωση του κύκλου είναι ( ) + ( ) 5 ή ( ) + ( + ) 5 (iv) Έστω Κ(, ) το κέντρο του κύκλου (ΚΑ ) (ΚΒ ) ( ) +( ) ( 8 ) +( ) 8 + 6 + 8 8 6 Επειδή Κστην ευθεία, θα είναι 6 (ΚΑ ) ( 6 ) + ( 6 ) + 6 Η εξίσωση του κύκλου είναι ( 6 ) + ( 6 ) (v) Έστω Κ(, ) το κέντρο του κύκλου 6 + 6 + 5

(ΚΑ ) (ΚΒ ) ( ) +( ) ( 8 ) +( ) 8 + 6 + 6 + 6 + 8 8 6 () (ΚΑ ) (ΚΓ ) ( ) + ( ) ( ) +( + ) 8 + 6 + 8 + + + + + () + -9 (ΚΑ ) ( ) + ( ) (6 ) +( 9 ) +8 85 Η εξίσωση του κύκλου είναι ( 6 ) + ( + 9 ) 85 (vi) Έστω Κ(, ) το κέντρο του κύκλου KA Β K (ΚΑ ) (ΚΒ ) ( ) +( ) ( ) +( ) O Α 6 + 9 + + + + + ρ (ΚΑ) Η εξίσωση του κύκλου είναι ( ) + ( ) (vii) Έστω Κ(, ) το κέντρο του κύκλου και ε η ευθεία + A K O ΑΚ ε (ΚΑ ) (ΚΟ ) ( ) +( ) + 6 + 9 ( ) + + 6 9 () 9 9 8 8 (ΚΟ ) + 8 6 + 9 Η εξίσωση του κύκλου είναι ( + 9 8 8 6 ) + ( 5 6 ) 5 6 9 8 9 () 6

ΘΕΜΑ 7ο Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου που έχει εξίσωση + + 6 A B 6 K(, ) ρ 6 6 6 8 ΘΕΜΑ 8ο Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου που έχει εξίσωση + α + β + + 6 A α B 5β Κ(α, 5β) 6 ( 6 ) 6 6 6 6 9 ρ β ΘΕΜΑ 9ο Να βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου + + + στο σημείο του Α(, ) A, B Κέντρο το Κ(, ) Έστω Μ(, ) το τυχαίο σημείο της εφαπτομένης στο Α ( )( ) + ( + )( + ) ( + )( ) ΘΕΜΑ ο Να βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου + α β + στο σημείο του Α(α, β) A α B β Κέντρο το Κ(α, β) Έστω Μ(, ) το τυχαίο σημείο της εφαπτομένης στο Α ( α)(α α) + ( + β)( β + β) ( + β)β () Όταν β, η () γίνεται ( + ) δηλαδή, που δεν παριστάνει ευθεία Η εξήγηση είναι : Η δοσμένη εξίσωση + + α β + γίνεται α + Οπότε ο κύκλος εκφυλίζεται σε σημείο, άρα δε γίνεται λόγος για εφαπτομένη Όταν β, η () γίνεται + β δηλαδή β 7

ΘΕΜΑ ο Να βρείτε τη σχετική θέση των κύκλων C : + και C : ( ) + (, ), (, ), Είναι ( ) και ( Άρα οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά ) ΘΕΜΑ ο Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( α)( β) + ( γ)( δ) παριστάνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τετραπλεύρου με κορυφές τα σημεία Α(α, γ), Β(β, γ), Γ(β, δ), Δ(α, δ) και ότι οι ΑΓ και ΒΔ είναι διάμετροι αυτού του κύκλου ( α)( β) + ( γ)( δ) (α + β) + αβ + (γ + δ) + γδ + (α + β) (γ + δ) + αβ + γδ είναι δε (α + β ) + (γ + δ ) (αβ + γδ) +αβ + + αβ + + (α β ) + (γ δ ) > Άρα η δοσμένη εξίσωση παριστάνει κύκλο Ελέγχουμε αν η εξίσωση επαληθεύεται από το σημείο Α(α, γ) (α α)( β) + (γ γ)( δ) που ισχύει Άρα ο κύκλος διέρχεται από το Α Ομοίως, διέρχεται από τα Β, Γ, Δ + γδ + αβ γδ γδ + (α β)(β β) + (γ γ)(δ γ) (α β) + )(δ γ) + 9 ο ΑΓ διάμετρος Ομοίως ΒΔ διάμετρος ΘΕΜΑ ο Να αποδείξετε ότι η ευθεία συνφ + ημφ ημφ συνφ + εφάπτεται του κύκλου + 8 + H δοσμένη ευθεία γράφεται ε : συνφ + ημφ ημφ + συνφ + A, B Κέντρο του κύκλου Κ(, ) 6 6 6 6 ρ d(k, ε) ρ Άρα η ευθεία εφάπτεται του κύκλου 8

ΘΕΜΑ ο Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, από τα οποία οι εφαπτόμενες προς τον κύκλο + είναι κάθετες Ο ρ Α Β Μ(μ,ν) Έστω Μ(μ,ν) τυχαίο σημείο του γεωμετρικού τόπου ˆ ˆ ˆ 9 ο και ΟΑ ΟΒ ΟΑΒΜ τετράγωνο πλευράς ρ ΟΜ ρ το Μ διαγράφει κύκλο (Ο, ρ + (ρ ) ) + ΘΕΜΑ 5ο Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από τα σημεία Α(-, ) και Β(, ) είναι σταθερός και όσος με Έστω Μ(, ) τυχαίο σημείο του γεωμετρικού τόπου (MA ) (MB ) ( + ) + ( ) [( - ) + ( ) ] + 6 + 9 + + 6 + 9 + ( - 6 + 9 + ) - + 6 + + - + 7 + - + 9 Κύκλος με κέντρο Κ(5, ) και ακτίνα ρ 6 ΘΕΜΑ 6ο Να αποδείξετε ότι το σημείο τομής των ευθειών συνθ + ημθ α και ημθ συνθ β ανήκει στον κύκλο + + Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των δύο ευθειών D D α + συνθ ημθ ημθ -συνθ θ β D ημθ συνθ 6 8 για όλες τις τιμές του θ, ασυνθ βημθ D D ασυνθ + βημθ D D (ασυνθ + βημθ ) + (αημθ βσυνθ ) θ + αβσυνθ ημθ + ( θ + ) + ( + θ + ) συνθ ημθ αημθ βσυνθ α β αβσυνθ ημθ + + βσυνθ αημθ + θ 9

Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ ο Να δοθεί ο ορισμός της παραβολής καθώς και ορισμός της κορυφής της ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από την Ε και τη δ Αν Α είναι η προβολή της εστίας Ε στη διευθετούσα δ, τότε το μέσο Κ του ΕΑ είναι προφανώς σημείο της παραβολής και λέγεται κορυφή της δ (διευθετούσα) C (παραβολή) P Μ Α Κ (ΜΕ)(ΜΡ) Ε (εστία) ΘΕΜΑ ο Να δώσετε το βασικό τυπολόγιο της παραβολής ΑΠΑΝΤΗΣΗ P M(,) p> p< M(,) P Α O p E, p O Α E, p δ: p δ: Η εξίσωση της παραβολής C με εστία E p, p και διευθετούσα : είναι p Ο αριθμός p λέγεται παράμετρος της παραβολής και η p παριστάνει την απόσταση της εστίας από τη διευθετούσα Για παράδειγμα, η παραβολή με εστία το σημείο E(, ) και διευθετούσα την ευθεία έχει p και επομένως έχει εξίσωση 5

ΘΕΜΑ ο Ποια άλλη εξίσωση γνωρίζετε για την παραβολή ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αν τώρα πάρουμε σύστημα συντεταγμένων O με αρχή Ο την κορυφή της παραβολής και άξονα την κάθετη από το Ε στη δ και εργαστούμε όπως p πριν, θα βρούμε ότι η παραβολή C έχει εξίσωση p> p Η εξίσωση αυτή γράφεται ισοδύναμα p και παριστάνει τη γραφική παράσταση της γνωστής μας από την Α Λυκείου συνάρτησης α, όπου α p Για παράδειγμα, η εξίσωση παριστάνει την παραβολή που έχει p και άρα έχει εστία το σημείο E(, ) και διευθετούσα την ευθεία ΘΕΜΑ ο Ποιες οι ιδιότητες της παραβολής ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια παραβολή p () p p< E, p Από την εξίσωση () προκύπτει ότι τα p και (με ) είναι ομόσημα Άρα, κάθε φορά η παραβολή βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζει ο άξονας και η εστία Ε Επομένως, η παραβολή βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζει η διευθετούσα δ και η εστία Ε Αν το σημείο M(, ) είναι σημείο της παραβολής, δηλαδή, αν p, τότε και το σημείο M (, ) θα είναι σημείο της ίδιας παραβολής, αφού ( ) p Αυτό σημαίνει ότι ο άξονας είναι άξονας συμμετρίας της παραβολής Επομένως, η κάθετη από την εστία στη διευθετούσα είναι άξονας συμμετρίας της παραβολής και λέγεται άξονας της παραβολής O p δ: p δ: O E, p ΘΕΜΑ 5ο Να δώσετε τον τύπο της εφαπτομένης της παραβολής σε ένα σημείο της ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω η παραβολή C με εξίσωση p () και ένα σταθερό της σημείο M(, ) Η εφαπτομένη της παραβολής M(, ) έχει εξίσωση p( ) p στο σημείο της Για παράδειγμα, η εφαπτομένη της παραβολής ε ζ M (, ) O M (, ) C 5

στο σημείο της M (, ) έχει εξίσωση ( ), η οποία γράφεται Αν μια παραβολή έχει εξίσωση p, τότε η εφαπτομένη της στο σημείο M(, ) έχει εξίσωση p( ) ΘΕΜΑ 6ο Να διατυπώσετε και να αποδείξετε την ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η κάθετη στην εφαπτομένη μιας παραβολής στο σημείο M επαφής M διχοτομεί τη γωνία που σχηματίζουν η (, ) ημιευθεία M E και η ημιευθεία M t, που είναι ω ομόρροπη της ΟΕ, όπου Ε είναι η εστία της παραβολής N (-,) ω φ φ O p E, ε ω η t C 5

Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ SOS ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Έστω η παραβολή p και η εφαπτομένη της ε σε ένα σημείο της M (, ), η οποία τέμνει τη διευθετούσα της παραβολής στο σημείο M Να αποδειχτεί ότι M E M ΑΠΟΔΕΙΞΗ Η εξίσωση της ε είναι 9 p( ) () Επειδή το σημείο M(, ) είναι σημείο της παραβολής, ισχύει p, οπότε Άρα, οι συντεταγμένες του M είναι p ε M O M (, ) p E, p, Έτσι, η εξίσωση () γράφεται p δ: p p ή p () Επομένως, οι συντεταγμένες του M θα είναι η λύση του συστήματος p p Από την επίλυση του συστήματος αυτού βρίσκουμε ότι οι συντεταγμένες του M είναι Έτσι, έχουμε EM p p p p p p, και EM p p p p Άρα, EM, που σημαίνει ότι EM EM EM, δηλαδή ότι M E M 9 ΘΕΜΑ ο Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συμμετρίας τον άξονα σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : 5

(i) Όταν έχει εστία το σημείο Ε(, ) (ii) Όταν έχει διευθετούσα την ευθεία (iii) Όταν διέρχεται από το σημείο Α(, ) (i) Η εξίσωση της παραβολής θα είναι της μορφής ρ ρ Άρα (ii) Η εξίσωση της παραβολής θα είναι της μορφής ρ Άρα ρ (iii) Η εξίσωση της παραβολής θα είναι της μορφής Επαληθεύεται από το σημείο Α(, ) Άρα ρ ρ ρ ΘΕΜΑ ο Να βρεθεί η εστία και η διευθετούσα της παραβολής με εξίσωση : (i) 8 (iii) (v) (ii) 8 (iv) α (vi) (i) ρ 8 ρ (ii) ρ 8 ρ (iii) ρ ρ Άρα Ε(, ) και δ : Άρα Ε(, ) και δ : Άρα Ε(, ) και δ : (iv) ρ ρ (v) ρ α ρ α (vi) ρ α ρ α Άρα Ε(, ) και δ : α Άρα Ε(α, ) και δ : α α α Άρα Ε(, α) και δ : α 5

ΘΕΜΑ ο Δίνεται η παραβολή ρ Να αποδειχθεί ότι η κορυφή της παραβολής είναι το πλησιέστερο στην εστία σημείο της Έστω Μ(, ) το τυχαίο σημείο της παραβολής και Ε η εστία της Θα αποδείξουμε ότι (ΕΜ) (ΕΟ) O Β M E O Α (ΕΜ ) (ΕΟ ) ( ) + ( ) ρ + ρ + + + + που ισχύει ΘΕΜΑ 5ο Να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων Α και Β της παραβολής () που έχουν την ίδια τεταγμένη και ισχύει Α Ô Β 9ο Επειδή η παραβολή μας είναι συμμετρική ως προς τον άξονα, τα σημεία Α, Β που έχουν την ίδια τεταγμένη, θα έχουν αντίθετες τετμημένες,, αντίστοιχα Α στην παραβολή () Α Ô Β 9ο OA OB ( ) + ( ) ή Για, η () απορρίπτεται αφού Α Ο Για Η () 6 ή Άρα τα ζητούμενα σημεία είναι Α(, ) και Β(, ) 55

ΘΕΜΑ 6ο Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής παρακάτω περιπτώσεις : (i) Όταν είναι παράλληλη στην ευθεία + (ii) Όταν είναι κάθετη στην ευθεία (iii) Όταν διέρχεται από το σημείο Α(, ) Η παραβολή γράφεται ρ Η εφαπτομένη της στο σημείο της Λ(, ) είναι ε : ( + ) + (i) ε // + Λ(, ) στην παραβολή () ε : σε καθεμιά από τις () (ii) ε Λ(, ) στην παραβολή () ε : - (iii) Α(, ) ε Λ(, ) στην παραβολή () ή ή ή ΘΕΜΑ 7ο Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της παραβολής στα σημεία Α(, ) και Β(, ) τέμνονται κάθετα και πάνω στη διευθετούσα της Η παραβολή γράφεται ρ και δ : Εφαπτομένη στο Α ε : ( + ) + () 56

Εφαπτομένη στο B η : ( ) ( + ) + () ( ) ε η Λύνουμε το σύστημα των (), () για να βρούμε το σημείο τομής K των ε, η Εξισώνουμε τα δεύτερα μέλη 8 6 5 () (Άρα το Κ δεν ανήκει στη διευθετούσα) ΘΕΜΑ 8ο Να αποδειχθεί ότι ο κύκλος ( ) + 8 εφάπτεται της παραβολής (Δηλαδή έχουν τις ίδιες εφαπτόμενες στα κοινά σημεία τους) () 8 698 () ή Τα σημεία τομής είναι Α(, ), Β(, -) Η εφαπτομένη της παραβολής στο Α είναι ε : ( + ) + Το κέντρο του κύκλου είναι Κ(, ) και η ακτίνα r 8 d(k, ε) Ομοίως στο σημείο Β 6 8 r άρα η ε εφάπτεται και του κύκλου 57

ΘΕΜΑ 9ο Έστω η παραβολή Α Αν η εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο Α(, ) τέμνει τον άξονα στο σημείο Β, να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΕΑΒ είναι ισόπλευρο άρα ρ 6 και Ε(, ) 6 Εφαπτομένη στο Α ε : 6( + ) Για δίνει Άρα Β(, ) Β δ Β ΘΕΜΑ ο O Έστω η παραβολή Κ Δ O Ε E Α (ΕΑ ) ( ) +( ) + 6 (ΕΒ ) 6 (ΑΒ ) ( ) + { ) + 6 Άρα (ΕΑ) (ΕΒ) (ΑΒ) Αν η εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο Α(, ) τέμνει τη διευθετούσα στο σημείο Β, να αποδειχθεί ότι ο κύκλος με διάμετρο ΑΒ εφάπτεται στον άξονα στην εστία της παραβολής άρα Ε(, ) και δ : Εφαπτομένη στο Α ε : ( + ) Για δίνει ( + ) Άρα Β(, ) Το κέντρο Κ του κύκλου διαμέτρου ΑΒ είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ K K Είναι ΚΕ K E Αρκεί να είναι και (ΚΕ) (ΚΑ) (ΚΕ ) (ΚΑ ) ( ) + ( 6 + ( ) ) ( - ) +( 6 + ) που ισχύει 58

ΘΕΜΑ ο Έστω Μ ένα σημείο της παραβολής ρ Να αποδειχθεί ότι ο κύκλος με διάμετρο ΕΜ, όπου Ε η εστία της παραβολής, εφάπτεται στον άξονα M Έστω Μ(, ) σημείο της παραβολής, Λ O E K οπότε Φέρουμε ΚΛ Λ, (ΚΕ ) (ΚΛ ) + ρ Το κέντρο Κ του κύκλου διαμέτρου ΕΜ είναι το μέσο του τμήματος ΕΜ K και K Αρκεί να είναι (ΚΕ) (ΚΛ) + + ( ) 6 ρ + + + ρ + 8 ρ ΘΕΜΑ ο + 6 ( ) 6 ρ που ισχύει Έστω η παραβολή ρ και η εφαπτομένη της ε σε ένα σημείο Α(, ) αυτής Αν η ευθεία ΟΑ τέμνει τη διευθετούσα της παραβολής στο σημείο Β, να αποδειχθεί ότι ΒΕ // ε ε : ρ( + Α ) + δ ε OA : ( ) O Δ E Σύστημα των δ : και OA, Β για να βρούμε τις συντεταγμένες του Β Είναι B B ( ) Αρκεί να είναι ρ το οποίο ισχύει, αφού το Α ανήκει στην παραβολή 59

Η ΕΛΛΕΙΨΗ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ ο Να δοθεί ο ορισμός της έλλειψης και οι άμεσες συνέπειες του ορισμού αυτού ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω Ε και Ε δύο σημεία ενός επιπέδου Ονομάζεται έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε και Ε ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από τα Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο του ΕΕ Το σταθερό αυτό άθροισμα το συμβολίζουμε, συνήθως,με α και την απόσταση των εστιών E και Ε με γ H απόσταση EE ονομάζεται εστιακή απόσταση της έλλειψης Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό: M α) Ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν ( ME) ( ME) β) Ισχύει ( EE ) ( ME ) ( ME), δηλαδή οπότε γα (Ε Ε)γ (ΜΕ )+(ΜΕ)α Αν, τότε τα σημεία E, E συμπίπτουν, οπότε η έλλειψη γίνεται κύκλος με κέντρο το Ε και ακτίνα α E Ε Μ ρ ρ Α ρ E Α E ρ Μ Κ Σ Λ a ΘΕΜΑ ο Ποιος είναι ο τύπος της εξίσωσηςτης έλλειψης; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια έλλειψη C με εστίες E και Ε Θα βρούμε την εξίσωση της έλλειψης ως προς σύστημα συντεταγμένων O με άξονα των την ευθεία EE και άξονα των τη μεσοκάθετο του EE Αν M(, ) είναι ένα σημείο της έλλειψης C, η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τα σημεία E( γ,), E(, ) και σταθερό άθροισμα είναι A E( γ,) B O B M (, ) E(γ,) Α α β, όπου β α γ Για παράδειγμα, η εξίσωση της έλλειψης με εστίες τα σημεία E(,), E(, ) και σταθερό άθροισμα είναι, αφού β α γ 5 5 6

Αν τώρα πάρουμε σύστημα συντεταγμένων O με άξονα των τη μεσοκάθετο του EE και άξονα των την ευθεία EE και εργαστούμε όπως πριν, θα βρούμε ότι η εξίσωση της έλλειψης C είναι β α, όπου β α γ Για παράδειγμα, η έλλειψη με εστίες E (, ), E(, ) και σταθερό άθροισμα είναι, αφού 5 β α γ 5 B Α E(, γ) Β O E(, γ) A ΘΕΜΑ ο Ποιες είναι οι ιδιότητες της έλλειψης ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια έλλειψη A B M M A O C :, όπου β α M B M Αν M(, ) είναι ένα σημείο της έλλειψης C, τότε τα σημεία M (, ), M(, ) και M (, ) ανήκουν στην C, αφού οι συντεταγμένες τους επαληθεύουν την εξίσωσή της Αυτό σημαίνει ότι η παραπάνω έλλειψη έχει τους άξονες και άξονες συμμετρίας και την αρχή των αξόνων κέντρο συμμετρίας Επομένως, η ευθεία που ενώνει τις εστίες E, E της έλλειψης και η μεσοκάθετος του EE είναι άξονες συμμετρίας της έλλειψης, ενώ το μέσο Ο του EE είναι κέντρο συμμετρίας της Το σημείο Ο λέγεται κέντρο της έλλειψης Από την εξίσωση της έλλειψης για βρίσκουμε α, ενώ για βρίσκουμε β Επομένως, η έλλειψη C τέμνει τον άξονα στα σημεία A ( α,) και A(α,), ενώ τον άξονα στα σημεία B (, β) και B(, β) Τα σημεία A, A, B, B λέγονται κορυφές της έλλειψης, ενώ τα ευθύγραμμα τμήματα AA και BB, τα οποία έχουν μήκη ( AA) α και ( BB) β, λέγονται μεγάλος άξονας και μικρός άξονας αντιστοίχως Το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζουν δύο οποιαδήποτε συμμετρικά ως προς Ο σημεία M και M της έλλειψης λέγεται διάμετρος της έλλειψης Αποδεικνύεται ότι β ( M M ) α, δηλαδή ότι κάθε διάμετρος της έλλειψης είναι μεγαλύτερη ή ίση από το μικρό άξονα και μικρότερη ή ίση από το μεγάλο άξονα της έλλειψης Τέλος, από την εξίσωση της έλλειψης, έχουμε Οπότε και άρα α α Ομοίως β β Άρα, η έλλειψη περιέχεται στο ορθογώνιο που ορίζουν οι ευθείες, και, 6