i) για ποια τιµή της γωνίας φ που σχηµατίζει η ράβδος µε τον τοίχο, η τάση του νήµατος ελαχιστοποιείται και

Ο κυκλικός δίσκος του σχήµατος (1) µάζας m και ακτίνας R, εφάπτεται λείου κατακόρυφου τοίχου και αβαρούς κεκλιµένης ράβδου ΑΓ µήκους L, της οποίας το άκρο Α είναι αρθρω µένο επί του τοίχου. Η ράβδος συγκρατείται µε οριζόντιο νήµα ΒΓ, του οποίου το άκρο Γ είναι στερεωµένο στον τοίχο. Να βρείτε: i) για ποια τιµή της γωνίας φ που σχηµατίζει η ράβδος µε τον τοίχο, η τάση του νήµατος ελαχιστοποιείται και ii) την ελάχιστη αυτή τιµή της τάσεως του νήµατος και την αντίστοιχη δύναµή που δέχεται ο δίσκος από τον τοίχο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας, ενώ θα θεωρηθεί ασήµαντη η τριβή µεταξύ δίσκου και ράβδου. ΛYΣΗ: i) Ο µεταλλικός δίσκος ισορροπεί υπό την επίδραση του βάρους του w =m g, της οριζόντιας δύναµης Q από τον λείο κατακόρυφο τοίχο και τέλος της δύναµης F από την ράβδο ΑΓ, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην ράβδο και ως εκ τούτου διέρχεται από το κέντρο Ο της σφαίρας (σχ.1 ). Λόγω Σχήµα 1 Σχήµα της ισορροπίας της σφαίρας ισχύουν οι σχέσεις: και F (x) = Q - F x = Q = F" (1) F (y) = F y - mg = Fµ" = mg F = mg / µ" ()

Εξάλλου η ράβδος ΑΓ ισορροπεί υπό την επίδραση της τάσεως T του οριζόντι ου νήµατος ΒΓ, της δύναµης F από την σφαίρα που είναι αντίθετη της F (αξί ωµα ισότητας δράσης-αντίδρασης) και της δύναµης F A από την άρθρωση Α (σχ. ). Λόγω της ισορροπίας της ράβδου η συνολική ροπή των δυνάµεων αυτών περί το Α είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει η σχέση: " (A ) = -TL" + F d = T = Fd L" = FR"( / ) L" () T = mgr"( / ) Lµ T = mgr"( / ) L"( / )µ" = mgr"( / ) L"µ( / )µ( / )"( / ) T = mgr L"µ ( / ) = mgr L"(1 - ") Από την (3) προκύπτει ότι το µέτρο της T γίνεται ελάχιστο, όταν το γινόµενο συνφ(1-συνφ) λάβει µέγιστη τιµή. Όµως παρατηρούµε ότι το άθροισµα των όρων συνφ και 1-συνφ είναι σταθερό και ίσο µε την µονάδα, οπότε το γινόµενο συνφ(1-συνφ) µεγιστοποιείται όταν οι δύο αυτοί όροι γίνουν ίσοι, δήλαδή όταν: " =1 - " " = 1/ = " /3 (4) ii) Για φ=π/3 η (4) δίνει την ελάχιστη τιµή Τ min της τάσεως του νήµατος ΒΓ, δηλαδή θα έχουµε την σχέση: (3) T min = mgr L"( / 3)[1 - "( / 3)] = 4mgR L (5) Eξάλου για φ=π/3 η (1) γράφεται: () Q = F"( / 3) Q = mg"( / 3) µ( / 3) = mg 3 3 P.M. fysikos Ο άξονας της λεπτής τροχαλίας του σχήµατος (3) εδράζεται επί κοίλης επιφάνειας µε την οποία παρουσιάζει συντελε στή οριακής τριβής µ. Από το αυλάκι της τροχαλίας διέρχεται λεπτό σχοινί στο ένα άκρο του οποίου έχει στερεωθεί το σώµα Σ µάζας m, ενώ στο ελεύθερο άκρο του Α εφαρµόζεται κατακόρυφη δύναµη F. Να βρεθεί για ποια τιµή του µέτρου της F επίκειται η ανύψωση του σώµατος Σ. Δίνονται οι ακτίνες r και R του άξονα και της περιφέρει ας αντιστοίχως της τροχαλίας, η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι η µάζα της τροχαλίας είναι πολύ µικρότερη από την µάζα του σώµα τος Σ.

ΛΥΣΗ: Ας δεχθούµε ότι το µέτρο της κατακόρυφης δύναµης F έχει εκλεγεί, ώστε να επίκειται ανύψωση του σώµατος Σ. Τότε το σύστηµα τροχαλία-σώµα Σ ισορροπεί οριακά υπό την επίδραση των βαρών W και m g της τροχαλίας και του σώµατος αντιστοίχως, της δύναµης F και τέλος της δύναµης επαφής που εξάσκεί το έδρανο που συγκρατεί τον άξονα της τροχαλίας, η οποία αναλύεται στην οριακή τριβή T, της οποίας ο φορέας βρίσκεται στην επιφάνεια συνεπαφής εδράνου και άξονα και στην κάθετη αντίδραση N, της οποίας ο φορέας δίερχε Σχήµα 3 ται από το κέντρο της τροχαλίας (σχ. 3). Λόγω της ισορροπίας του συστήµατος η συνισταµένη των οριζόντιων αλλά και των κατακόρυφων δυνάµεων που δέχεται είναι µηδέν, η δε συνολική ροπή περί το κέντρο της τροχαλίας, όλων των παραπάνω δυνάµεων είναι επίσης µηδέν, δηλαδή έχουµε τις σχέσεις: και F (x) = T x - N x = T" - Nµ = µn" = Nµ " = µ (1) F (y) = T y + N y - Mg - mg - F = Tµ" + T" / µ mg + F T ( µ µ" + " ) = µ ( mg + F) T = µ ( mg + F ) µ µ" + " (")= FR - Tr - mgr = T = FR - mgr r όπου τέθηκε Τ=µN, αφού η T είναι οριακή τριβή, ενώ φ είναι η γωνία που σχηµατίζει ο φορέας της N µε την κατακόρυφη διεύθυνση. Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (3) παίρνουµε: () (3)

µ ( mg + F) µ µ" + " = FR - mgr r µmgr + µfr = FR ( µ µ" + ") - mgr ( µ µ" + ") [ ] = mg[ R ( µ µ" + " ) + µr] F R ( µ µ" + " ) - µr ( ) + µr ( ) - µr R µ µ" + " F= mg( '( R µ µ" + " ) + * + (4) Όµως έχουµε: µ µ" + " = µ µ" + " = µ'" 1 + ' " + 1 1 + ' " µ + 1 1 + µ 1 + µ µ µ" + " = µ + 1 = 1 + µ 1 + µ οπότε η σχέση (4) γράφεται: F= mg R 1 + µ + µr " R 1 + µ - µr P.M. fysikos Ένα υλικό σηµείο δέχεται δύναµη F, η οποία πε ριγράφεται από την διανυσµατική σχέση: F = x i + x + y y j x + y όπου α θετική και σταθερή ποσότητα x, y οι συντεταγµένες του υλι κού σηµείου ως προς ορθογώνιο σύστηµα Οxy και i, j τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx και Oy αντιστοίχως. i) Να δείξετε ότι η δύναµη F είναι κεντρική και συντηρητική. ii) Να βρείτε την συνάρτηση δυναµικής ενέργειας από την οποία απορρέει η θεωρούµενη δύναµη.

ΛΥΣΗ: Η διανυσµατική σχέση που περιγράφει την δύναµη F γράφεται: F = ( ) = r x + y x i +y j r (1) όπου r το διάνυσµα θέσεως του υλικού σηµείου που δέχεται την F, ως προς την αρχή Ο. Παρατηρούµε από την (1) ότι η F είναι συγγραµµική και οµόρροπη του διανύσµατος r, που σηµαίνει ότι ο φορέας της F διέρχεται συνεχώς από το Ο, δηλαδή η F είναι κεντρική δύναµη και µάλιστα απωστική. Το έργο της F για µια µετακίνηση του υλικού σηµείου από την θέση Α(r A ) στην θέση Β(r B ) δίνεται από την σχέση: W A,B = ( F d r (1) " ) AB W A,B = r " d r " d r ( r ) = r () r AB AB ( ) Όµως ισχύει: ( r r ) = r d r r ( ) = d( r ) ( r d r ) = rdr oπότε η () παίρνει την µορφή: r B ( ) r" dr W A,B = = dr = d( lnr) r r A r r B r A r B r A W A,B = ( lnr B - lnr A ) = ln( r B /r A ) (3) δηλαδή το έργο W A, Β είναι ανεξάρτητο της µορφής της τροχιάς του υλικού σηµείου και εξαρτάται µόνο από τις ακραίες θέσεις Α και Β αυτής. Αυτό σηµαί νει ότι η δύναµη F είναι συντηρητική. Εάν U(r) είναι η συνάρτηση δυναµικής ενέργειας που συνοδεύει την συντηρητική δύναµη F θα ισχύει: (3) U(r) - U(r A ) = -W A,M U(r) - U(r A ) = -ln(r/r A ) U(r) = U(r A ) -lnr + lnr A U(r) = -lnr + C U(r) = - ln(x + y ) + C όπου C σταθερή ποσότητα. P.M. fysikos Eάν ένα διανυσµατικό φυσικό µέγεθος A µεταβάλ λεται µε τον χρόνο t µόνο κατά διεύθυνση, να δείξετε την σχέση:

" A d A ' = Xρησιµοποιώντας την παραπάνω σχέση να δείξετε ότι, εάν ένα υλικό σηµείο µάζας m κινείται υπό την επίδραση µιας δύναµης F της µορ φής: F = q v B ( ) όπου q σταθερός συντελεστής αναλογίας χαρακτηριστικός του υλικού σηµείου, v η ταχύτητά του και B ένα σταθερό διάνυσµα, τότε η επιτάχυνσή του διατηρεί σταθερό µέτρο. Μεταβάλλεται η ακτίνα καµ πυλότητας της τροχιάς του υλικού σηµείου; ΛΥΣΗ: Eάν Α είναι το σταθερό µέτρο του φυσικού µεγέθους A, θα έχουµε την σχέση: A A ( ) = A d A A " A d A " ' + A d A ' = ( ) = d ( ) A " A d A ' = (1) Eφαρµόζοντας για το υλικό σηµείο τον δευτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: F = m a q v B ( ) = m a a = q v B ( ) /m () όπου a η επιτάχυνση του υλικού σηµείου κατά την στιγµή που το εξετάζουµε. Παραγωγίζοντας την () ως προς τον χρόνο t παίρνουµε: d a = q m d a = q m ( ) d v B " d v B ' + q m d a = q m v " ( ) d a d v B ' + q m = q m " v d B ' ( ) (3) a B διότι το B είναι σταθερό διάνυσµα. Πολλαπλασιάζοντας εσωτερικώς και τα δύο µέλη της (3) µε το διάνυσµα a έχουµε: " a d a ' = q m a [ ( a ( B )] = (4) διότι τα διανύσµατα a και ( a B ) είναι µεταξύ τους κάθετα. H σχέση (4) εγγυά ται ότι το διάνυσµα a έχει σταθερό µέτρο. Εξάλλου κατά την κίνηση του υλικού σηµείου η δύναµη F ως κάθετη επί την ταχύτητά του δεν παραγει έργο, που σηµαίνει ότι η κινητική του ενέργεια δεν µεταβάλλεται, οπότε δεν θα

µεταβάλλεται και το µέτρο της ταχύτητάς του, δηλαδή η επιτρόχια επιτάχυνση του υλικού σηµείου είναι µηδενική. Έτσι η επιτάχυνση a συµπίπτει µε την κεντροµόλο επιτάχυνσή του a, της οποίας το µέτρο είναι: a = v R a = v R R = v a (5) Η (5) δηλώνει ότι η ακτίνα καµπυλότητας R της τροχιάς του υλικού σηµείου είναι σταθερή. P.M. fysikos Ένα σώµα µικρών διαστάσεων µάζας m, βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και είναι στερεωµένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητο. Εκτρέπουµε το σώµα από την θέση ισορροπίας του Ο, ώστε το ελα ήριο να τεντωθεί κατά x και το αφήνουµε ελεύθερο, ενώ ταυτόχρονα θέτουµε σε λειτουργία κατάλληλο µηχανισµό που εξασκεί στο σώµα δύναµή F, η οποία µεταβάλλεται µε τον χρόνο t συµφωνα µε την σχέση: F = -t i όπου α θετική σταθερή ποσότητα και i το µοναδιαίο διάνυσµα του οριζόντιου άξονα Οx, που θεωρείται κατευθυνόµενο από το Ο προς την αρχική θέση του σώµατος. Εάν ισχύει x =αm/k, να βρεθεί η εξί σωση κίνησης του σώµατος. ΛΥΣΗ: Εξετάζουµε το σώµα κατά την τυχαία χρονική στιγµή t, που η αποµάκ ρυνσή του είναι x. Στην θέση αυτή το σώµα δέχεται το βάρος του w που εξου δετερώνεται από την κατακόρυφη αντίδραση A του λείου οριζόντιου επιπέδου, την δύναµη F " από το ελατήριο, η οποία είναι αντίρροπη προς την αποµάκ ρυνση x και τέλος την δύναµη F. Εφαρµόζοντας την στιγµή αυτή το δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, παίρνουµε την σχέση: m d x = -kx - t d x + k m x = - t m (1) Σχήµα 4 Η (1) είναι µια µη οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως, της

οποίας η γενική λύση θα προκύψει ως άθροισµα µιας µερικής λύσεως και της λύσεως της αντιστοίχου οµογενούς εξισώσεως. Δοκιµάζουµε ως µερική λύση την: x 1 = C 1 t + C t + C 3 () όπου C 1, C, C 3 προσδιοριστέοι σταθεροί συντελεστές. Παραγωγίζοντας δύο φορές την () παίρνουµε: d x 1 / = C 1 οπότε η (1) δίνει: C 1 + k ( m C 1t + C t + C 3 ) = - t m k m C 1 t + k m C t + C + k 3 1 m C " = - 't m (3) Για να ισχύει η (3) για κάθε τιµή του χρόνου t πρέπει: kc 1 /m = -/m " C 1 + kc /m = kc 3 /m = C 1 = -/k C =- mc 1 /k C 3 = " C 1 = -/k " C =m /k C 3 = Άρα η µερική λύση της (1) έχει την µορφή: x 1 =- t k + m k (4) Εξάλλου η αντίστοιχη οµογενής της (1) δέχεται λύση της µορφής: x = Aµ("t + ) µε = k/m (5) όπου Α, φ σταθερές προσδιοριστέες ποσότητες. Η γενική λύση της (1) είναι: x =Aµ("t + ) - t k + m k (6) Παραγωγίζοντας την (5) παίρνουµε την σχέση: dx t =A"(t + ) - k (7) Για t= η (6) δίνει: x = Aµ" + m/k Aµ" = x - m/k (8) Για t= η (7) δίνει:

=A" " = ="/ (9) Συνδιάζοντας τις σχέσεις (8) και (9) έχουµε: Aµ ("/) = x - m /k A= x - m /k Έτσι η τελική µορφή της (6) είναι: " x = x - m ' ()*+t - t k k + m (1) k Όµως τα δεδοµένα του προβλήµατος εγγυώνται ότι x -mα/k =, οπότε η (9) γράφεται: x =- t k + m k P.M. fysikos Σφαιρίδιο µάζας m, κινείται χωρίς τριβή επί κατα κόρυφης κυκλικής τροχιάς ακτίνας R, όπως φαίνεται στο σχήµα (5). Tο σφαιρίδιο έλ κεται από το κατώτατο σηµείο B της τροχιάς µε δύναµη F, της οποί ας το µέτρο ακολουθεί την σχέση F=λr, όπου r η απόσταση του σφαιριδίου από το σηµείο B και λ θετικός συντελεστής αναλογίας. Eάν την χρονική στιγµή t= το σφαιρίδιο βρίσκεται στο σηµείο A µε µηδενική ταχύτητα, να βρεθεί η ταχύτητά του όταν φθάνει στο σηµείο B, καθώς και ο αντίστοιχος χρόνος κίνησής του. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Το σφαιρίδιο κατά την κίνησή του από την θέση Α στην κατώ τατη θέση Β της κυκλικής τροχιάς του δέχεται το βάρος του w, την ελκ τική δύναµη F που εκπορεύεται από το σηµείο Β και τέλος την δύναµη επαφής N από την τροχιά (αντίδραση της τροχιάς) που έχει ακτινική διεύθυνση λόγω απουσίας τριβής. Η συνισταµένη των δυνάµεων που ενεργούν κατά την διεύθυνση της εφαπτοµένης της τροχιάς αποτελεί για το σφαιρίδιο επιτρόχια δύναµη, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέ ση: F 1 + w 1 = mdv/ (1) όπου F 1, w 1 οι εφαπτοµενικές συνιστώσες των δυνάµεων F και w αντι στοίχως και dv η µεταβολή του µέτρου της ταχύτητας του σφαιριδίου µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+. Όµως για τα µέτρo της F 1, ισχύει: F 1 = F" ( / - ) = r'µ () όπου θ η γωνία µεταξύ των ΟΜ και ΜΒ. Aκόµη για την απόσταση r ισχύ

ει: r/ = R" r = R" οπότε η () γράφεται: F 1 = R"µ = R"µ (3) Σχήµα 5 Εξάλλου, εάν φ είναι η γωνία µεταξύ της επιβατικής ακτίνας ΟΑ του σφαιριδίου και του οριζόντιου άξονα Οx, εκ του σχήµατος (5) θα έχουµε: + "/ - = " = " / + και η (3) γράφεται: F 1 = R"µ ( / + ) = R' (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (), (4) και λαµβάνοντας υπ όψη ότι w 1 = mgσυνφ παίρνουµε την σχέση: R" + mg" = m dv dv (R + mg)" = m dv d " d ' = ((R + mg))*+ m dv d " v ' R = ((R + mg))*+ m vdv = R (R/m + g)"d = k"d (5) µε k = R R/m + g ( ). Ολοκληρώνοντας την (5) για την κίνηση του σφαιρι δίου από την θέση Α στην θέση Β, παίρνουµε:

v B ( vdv) = k ("d ) v B = kµ " ( ' / v B = k = R (R/m + g) (6) Για το µέτρο της ταχύτητας του σφαιριδίου στην τυχαία θέση Μ έχουµε: v = kµ" v = kµ" R d = R ("R/m + g)µ = Rd R ("R/m + g)µ = t B Rm ( ) "R + mg / d µ t B = Rm ( ) R + mg / d" (7) µ" To ολοκλήρωµα που παρουσιάζεται στην σχέση (7) είναι ένα ελλειπτικό ολοκλήρωµα και δεν υπολογίζεται µε αναλυτικό τρόπο. P.M. fysikos Ένας κρίκος µάζας m, κινείται χωρίς τριβή κατά µήκος µιας κατακόρυφης µεταλλικής τροχιάς, η οποία περιγράφεται από τις παραµετρικές εξισώσεις: x = " 3 y = µ 3 ' ( ) µε φ <π/ όπου α θετική και σταθερή ποσότητα. Eάν την χρονική στιγµή t= o κρίκος βρίσκεται στο σηµείο A (,α) µε µηδενική ταχύτητα, να βρείτε σε συνάρτηση µε τον χρόνο το µήκος του τόξου που διαγράφει ο κρί κος. ΛΥΣΗ: Eάν x, y είναι οι συντεταγµένες του κρίκου κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t θα έχουµε, σύµφωνα µε τα δεδοµένα του προβλήµατος, τις σχέσεις: x = " 3 ' ( y = µ 3 ) dx = -3" µ d ' ( dy = 3µ " d ) (:) dy dx = 3"µ d -3 "µ d = - "µ = -'( < (1) Η (1) δηλώνει ότι η συνάρτηση y=f(x) που εκφράζει την τροχιά του κρίκου σε καρτεσιανές συντεταγµένες είναι φθίνουσα, όταν η παράµετρος φ µεταβάλλεται

στο διάστηµα [, π/). Για την δεύτερη παράγωγο της y=f(x) έχουµε: d y dx = d dy = d dx " dx dx - 'µ( = d " )*+( d( - 'µ( " )*+( d( dx d y dx = - " + µ ) 1 ) ( ' " + ( - * ' 3," + = µ * 1 3," 4 µ > () Σχήµα 6 Η () δηλώνει ότι η συνάρτηση y=f(x) στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω, όταν η παράµετρος φ µεταβάλλεται στο διάστηµα [, π/). Εξάλλου ο κρίκος κατά την κίνησή του δέχεται το βάρος του w και την αντίδραση N της τροχιάς, της οποί ας ο φορέας είναι κάθετος στην εφαπτοµένη της στο σηµείο Μ. Όµως η συνι στώσα w 1 του βάρους κατά την διεύθυνση της εφαπτοµένης αποτελεί για τον κρίκο επιτρόχια δύναµη, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε τις σχέσεις: w 1 w 1 = w" = mdv / ' m dv = mg" dv = g" d s = g" (3) όπου dv η µεταβολή του µέτρου της ταχύτητας του κρίκου µεταξύ των χρονι κών στιγµών t και t+ και ds το µήκος του τόξου που διαγράφει ο κρίκος στον χρόνο. Ακόµη για την γωνία θ που σχηµατίζει η εφαπτοµένη της τρο χιάς στο σηµείο Μ(x, y) µε τον άξονα x έχουµε: dy dx = " (1) " = -" = "/ + (4) Όµως από το σχήµα (6) προκύπτει θ=π/+ω, οπότε η (4) δίνει ω=φ και η (3) γρά φεται: d s = g" (5) Εξάλλου ισχύει η σχέση:

ds = dx + dy = 9 " 4 µ d + 9 µ 4 " d ds = 9 "µ d ds = 3"µ d = (3 / )"µ d Ολοκληρώνοντας την παραπάνω σχέση παίρνουµε: s = 3 "µd = 3 4 "µ d() = 3 4 -' [ ] s = 3 ( 4 1 - " ) = 3 " " = Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) έχουµε: d s = g s 3 s 3 (6) (7) H διαφορική εξίσωση (7) δέχεται λύση της µορφής s = kt n, όπου k, n σταθερές ποσότητες, οπότε µε διπλή παραγώγιση ως προς τον χρόνο t θα έχουµε: ds = kntn-1 d s = kn(n - 1)tn- (7) kn(n - 1)t n- = g s 3 k n (n - 1) t (n-) = sg 3 k n (n - 1) t (n-) = ktn g 3 3k g n (n - 1) = t t n 3k (n-) g n (n - 1) = t n-n+4 (8) Eπειδή το πρώτο µέλος της (8) αποτελεί ποσότητα ανεξάρτητη του χρόνου, η σχέση αυτή µπορεί να αληθεύει εφ όσον ισχύει n - n + 4 = ή n = 4, οπότε: 3k g 4 " 3 = 1 k = 3 " g ' 1 Άρα το µήκος s του τόξου που διαγράφει ο κρίκος σε συνάρτηση µε τον χρόνο t περιγράφεται από την σχέση: s = 3 " g ' 1 t 4 = g 3 " t 1 ' P.M. fysikos Mια ευλύγιστη oµογενής αλυσίδα ποδηλάτου, της οποίας η γραµµική πυκνότητα είναι ρ, αφήνεται από µια αρχική θέση

ηρεµία, στο λείο κυκλικό κανάλι του σχήµατος (7), ακτίνας R. i) Προσδιορίστε την επιτάχυνση των κρίκων της αλυσίδας, την στιγµή που αφήνεται ελεύθερη, δηλαδή κατά την εκκίνηση της αλυσίδας. ii) Bρείτε το µέτρο της τάσεως T στην αλυσίδα, σε συνάρτηση µε την γωνία φ, την στιγµή που αφήνεται ελεύθερη. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. Yπόδειξη: Για το ερώτηµα (ii) αποµονώστε ένα κρίκο τnς αλυσίδας, σχεδιάστε τις δυνάµεις που ασκούνται σ' αυτόν και γράψτε µια κα τάλληλη εξίσωση για την κίνησή του. ΛΥΣΗ: i) Εφαρµόζοντας για την αλυσίδα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανι κής ενέργειας κατα τον χρόνο που το πάνω της άκρο µετατοπίζεται από την θέση Α στην θέση Μ, παίρνουµε την σχέση: mv / + U = R"v / 4 + U = (1) όπου v το µέτρο της ταχύτητας που αποκτούν όλοι οι κρίκοι της αλυσίδας όταν ολοκληρωθεί η θεωρούµενη µετατόπισή της και ΔU η αντίστοιχη µεταβολή της βαρυτικής της δυναµικής ενέργειας. Όµως καθώς εξελίσσεται η µετατόπιση αυτή η βαρυτική ενέργεια του τµήµατος της αλυσίδας που βρίσκεται µεταξύ των σηµείων Μ και Β δεν µεταβάλλεται, που σηµαίνει ότι η ΔU είναι ίση µε την µεταβολή ΔU AM της βαρυτικής δυναµικής ενέργειας του τµήµατος ΑΜ της αλυσίδας όταν αυτό βρεθεί στην θέση ΒΜ, οπότε η (1) γράφεται: R"v / 4 + U AM = v = -4U AM /"R () Σχήµα 7 Για τον υπολογισµό της ΔU AM θεωρούµε ότι ένας κρίκος της αλυσίδας µετατο πίζεται από την θέση, που η επιβατική του ακτίνα σχηµατίζει µε την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ στην θέση Β (θ=π/). Η µεταβολή du της βαρυτικής του δυ ναµικής ενέργειας θα είναι: du = -dmgr( 1 - µ") = -Rd"gR( 1 - µ") = -R g( 1 - µ")d" (3) όπου dm η µάζα του κρίκου και dθ η γωνία υπό την οποία φαίνεται ο κρίκος από το κέντρο Κ του κυκλικού καναλιού. Η µεταβολή ΔU AM θα βρεθεί αν ολοκ ληρώσουµε την σχέση (3) µε όρια ολοκλήρωσης για την γωνία θ το µηδέν και φ, δηλαδή θα έχουµε την σχέση:

U AM = -"R g ( 1 - µ)d = -"R g + '() + 1 Συνδυάζοντας την (1) µε την (4) παίρνουµε: ( ) (4) v = 4R g "R ( + + 1)= 4Rg " ( + + 1) (5) Διαφορίζοντας την (5) έχουµε: vdv = 4Rg va E = Rg ( d" - µ"d" ) v dv = Rg v R - "µ v ' ) a R E = g ( 1 - "µ d" d" ' - µ" ) ( ( ) (6) όπου a E το κοινό µέτρο της επιτρόχιας επιτάχυνσης όλων των κρίκων της αλυ σίδας την στιγµή που το πάνω άκρο της βρίσκεται στην θέση Μ. Θέτοντας στην (6) όπου φ= βρίσκουµε την επιτρόχια επιτάχυνση των κρίκων την στιγµή t= που εκκινεί η αλυσίδα και επειδή την στιγµή αυτή είναι v=, η κεντροµόλος επιτάχυνση κάθε κρίκου θα είναι µηδέν, που σηµαίνει ότι το κοινό µέτρο a της επιτάχυνσης όλων των κρίκων κατά την εκκίνησή τους είναι: a = g/ (7) ii) Θεωρούµε την στιγµή t= που εκκινεί η αλυσίδα τον κρίκο της που βρίσκε ται στην θέση φ. Την στιγµή αυτή ο κρίκος δέχεται το βάρος του d w =dm g, τις εφαπτοµενικές δυνάµεις T και T +d T από τα εκατέρωθέν του τµήµατα της αλυ Σχήµα 8 σίδας και την ακτινική δύναµη επαφής από το λείο κυκλικό κανάλι. Εφαρµό ζοντας για τον κρίκο τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα κατά την διεύθυνση της εφαπτοµένης παίρνουµε την σχέση: T + dt - T + dmg" = dma dt + Rd"g" = Rd"a dt = (7) R( a - g" )d dt = R( g / " - g )d (8)

Oλοκληρώνοντας την (8) βρίσκουµε το µέτρο της τάσεως της αλυσίδας στην θέ ση φ, την στιγµή t= που αφήνεται ελεύθερη να κινηθεί. Έτσι θα έχουµε: T = ' Rg ) ( " - * ' -, d = Rg) + ( " -.µ *, + P.M. fysikos To ένα άκρο Α οµογενούς ράβδου ΑΒ µήκους L και µάζας m, εφάπτε ται κατακόρυφου λείου τοίχου και το άλλο της άκρο Β εφάπτεται λείου οριζόντιου εδάφους. Αρχικά η ράβδος συγκ ρατείται ώστε να σχήµατίζει γωνία φ µε τον τοίχο, και κάποια στιγµή αφήνεται ελεύθερη, οπότε εκτελεί επίπεδη κίνηση σε κατακόρυφο επί πεδο κάθετο στον τοίχο. i) Nα δείξετε ότι σε κάποια θέση η ράβδος χάνει την επαφή της µε τον κατακόρυφο τοίχο. ii) Nα βρείτε την διαφορική εξίσωση κίνησης της ράβδου κατά τον χρόνο t * που το άκρο της Α διατηρεί την επαφή του µε τον τοίχο και να υπολογίσετε τον χρόνο αυτόν. Δίνονται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι C =ml /1 της ράβδου περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της C και είναι κάθετος στην ράβδο. ΛΥΣΗ: i) H ράβδος εκτελεί επίπεδη κίνηση στην διάρκεια της οποίας δέχεται το βάρος της w, την αντίδραση F A του κατακόρυφου τοίχου της οποίας ο φορέ ας είναι οριζόντιος και την αντίδραση F B του λείου οριζόντιου εδάφους, της οποίας ο φορέας είναι κατακόρυφος (σχ. 9). Ας δεχθούµε ότι υπάρχει θέση της ράβδου, στην οποία αυτή χάνει την επαφή της µε τον κατακόρυφο τοίχο. Σχήµα 9 Αυτό σηµαίνει ότι στην θέση αυτή µηδενίζεται η αντίδραση F A, δηλαδή µηδε νίζεται η οριζόντια συνιστώσα a Cx της επιτάχυνσης a C του κέντρου µάζας C

της ράβδου και αυτό µε την σειρά του σηµαίνει ότι η αντίστοιχη οριζόντια συνιστώσα v Cx της ταχύτητας v C του κέντρου µάζας παρουσιάζει τοπικό ακρό τατο και µάλιστα στην περίπτωσή µας µέγιστη τιµή, διότι µέχρι την θέση αυτή το κέντρο µάζας της ράβδου κατά την οριζόντια διεύθυνση συνεχώς επιταχύνε ται. Για να υπολογίσουµε την ταχύτητα της ράβδου όταν αυτή σχηµατίζει µε τον κατακόρυφο τοίχο γωνία φ, εκµεταλευόµαστε το γεγονός ότι η επίπεδη κί νηση της ράβδου µπορεί να θεωρηθεί ως καθαρή στροφική κίνηση περί το στιγ µιαίο κέντρο της Κ, το οποίο κάθε στιγµή βρίσκεται στο σηµείο τοµής των καθέτων στα διανύσµατα των ταχυτήτων των άκρων Α και Β της ράβδου. Εάν είναι η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου θα ισχύει, σύµφωνα µε το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας, η σχέση: U " + K " = U + K mg L " + = mg L " + 1 I K mgl" = mgl" + I K (1) όπου Ι Κ η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδο κίνη σης και διερχόµενο από το σηµείο Κ. Όµως κατά το θεώρηµα Steiner ισχύει: I K = I C + m(ck) = ml /1 + ml /4 = ml /3 () Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε: mgl" = mgl" + ml / 3 g" = g" + L / 3 = 3g(" - ")/ L = 3g(" - ")/ L (3) Άρα το µέτρο της ταχύτητας v C του κέντρου µάζας στην θεωρούµενη θέση είναι: v C = (CK) = L (3) v C = L 3g(" - ") L v C = 1 3gL(" - ") (4) Η αντίστοιχη ορίζόντια συνιστώσα της v C έχει µέτρο: (4) v Cx = v C " v C = " 3gL(" - ") (5) Η v Cx γίνεται µέγιστη όταν η ποσότητα f(φ)=συνφ(συνφ -συνφ) 1/ λάβει µέγιστη τιµή. Όµως παρατηρούµε ότι το άθροισµα των όρων συνφ και συνφ -συνφ είναι σταθερό και ίσο µε συνφ, οπότε η ποσότητα f(φ) γίνεται µεγιστη, όταν οι όροι αυτοί γίνουν ανάλογοι προς τους εκθέτες τους, δηλαδή όταν η γωνία φ λάβει µια τιµή φ * που ικανοποιεί την σχέση: " * 1 = " - " * 1/ " * = " - " *

" * = " / 3 (6) ii) Διαφορίζοντας την σχέση (1) παίρνουµε: = -mglµ"d" + I K d = -mglµ" d" + I d K () = -mglµ" d" ( + ml d" ( d " ' 3 ' = -gµ" + L 3 d " d - 3g "µ = (7) L H (7) αποτελεί την διαφορική εξίσωση κίνησης της ράβδου για το χρονικό διάστηµα [, t * ] είναι δε µια µη γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως που δεν λύνεται αναλυτικά. Εξάλλου η σχέση (3) γράφεται: d = 3g ( L " - " ) = L 3g d " - " (8) Oλοκληρώνοντας την (8) µε όρια ολοκλήρωσης για την γωνία φ τα φ και φ * παίρνουµε τον χρόνο t * µέχρις ότου η ράβδος χάσει την επαφή της µε τον τοί χο, δηλαδή θα έχουµε: t * = L 3g * d " - " P.M. fysikos Οµογενής ράβδος ΑΒ µάζας m και µήκους L, κρα τείται υπό κλίση φ ως προς την κατακόρυφη διέυθυνση µε το άκρο της Α να ακουµπάει σε λείο οριζόντιο έδαφος. Κάποια στιγµή που θεωρείται ως αρχή µέτρησης του χρόνου η ράβδος αφήνεται ελεύθερη, µε αποτέλεσµα να τίθεται σε κίνηση στην διάρκεια της οποίας το άκρο Α ολισθαίνει στο έδαφος. i) Να βρείτε την διαφορική εξίσωση που καθορίζει την κίνηση της ράβδου, µέχρις ότου αυτή βρεθεί στο έδαφος. ii) Να βρείτε την δύναµη που δέχεται η ράβδος από το έδαφος, κατά την έναρξή της κινήσεώς της. ii) Να δείξετε ότι ο χρόνος κινήσεως t * της ράβδου µέχρις ότου φθά σει στο έδαφος, δίνεται από την σχέση:

t * = ± L 1g, / - " 3µ " + 1 ) ( ' " - " + d" * όπου φ η εκάστοτε γωνία της ράβδου µε την κατακόρυφη διεύθυνση και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι C =ml /1 της ράβδου ως προς άξονα κάθε το στην ράβδο και διερχόµενο από το κέντρο µάζας της C. ΛΥΣΗ: i) Εξετάζοντας τη ράβδο κατά την τυχαία χρονική στιγµή t που σχη µατίζει γωνία φ µε την κατακόρυφη διεύθυνση, παρατηρούµε ότι δέχεται το βάρος της w και την αντίδραση N του λείου εδάφους, η οποία διευθύνεται κατακόρυφα προς τα πάνω. Επειδή οι δυνάµεις αυτές είναι κατακόρυφες το κέντρο µάζας C της ράβδου δεν επιταχύνεται κατά την οριζόντια διεύθυνση, δηλαδή η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητάς του είναι σταθερή και µάλιστα ίση µε µηδέν, αφού την χρονική στιγµή t= η ράβδος είναι ακίνητη. Αυτό σηµαί Σχήµα 1 νει ότι το κέντρο µάζας C κινείται επί του κατακόρυφου άξονα y. Εφαρµόζο ντας για την ράβδο το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας µεταξύ της αρχικής της θέσεως και της θέσεως της κατά την χρονική στιγµή t, παίρ νουµε την σχέση: K " + U " = K (t) + U (t) + mg L " = 1 mv C + 1 I C + mg L " mv C + I C = mgl" - mgl" (1) όπου v C η ταχύτητα του κέντρου µάζας την στιγµή t και η αντίστοιχη γω νιακή ταχύτητα της ράβδου περί άξονα διερχόµενο από το κέντρο µάζας και κάθετο στην ράβδο. Διαφορίζοντας την (1) παίρνουµε: mv C dv C + I C d = mgl"µd

dv mv C C + ml 1 d = mgl"µ d dv 1v C C + L d = 6gL"µ d dv 1v C C + " d L ' d d = 6gL(µ () Εξάλλου η y-συντεταγµένη του κέντρου µάζας κατά την χρονική στιγµή t εί ναι: y C = L " dy = - L C µ" d" dy C = - L d" µ" v C = - L µ" d" (3) Παραγωγίζοντας την (3) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε: dv C = -Lµ" d " - L" d" ) ( + ' * (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (), (3) και (4) έχουµε: 6L µ" d",. -. µ" d " + L" d" ) ( + ' * / d" ) 1 1 +L ( + d " d" =6gLµ" ' *, 3µ" µ" d " d" ). + " ( + ' * -. / 1 1 +d " = 6g L µ" ( 3µ " + 1) d " d" ) + 3µ"" ( + ' * = 6g L µ" d + 3"µ 3"µ + 1 d ) ( + ' * - 6g L "µ 3"µ + 1 = (5) H (5) αποτελεί την διαφορική εξίσωση κίνησης της ράβδου, είναι δε µια µη γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως που δεν λύνεται αναλυτικά. ii) Εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας της ράβδου τον δέυτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά την χρονική στιγµή t= που η ράβδος αφήνεται ελεύθερη παίρνουµε την σχέση:

-mg + N = m dv C " t= N = mg + m dv C " t= (6) όπου ( dv C /) t= η επιτάχυνση του κέντρου µάζας της ράβδου την στιγµή t=. Eξάλλου η (4) για t= δίνει: " dv C t= = - L'µ( d ( " t= - L)*+(, = - L'µ( d ( " t= και η (6) γράφεται: N = mg - mlµ" d " ( ' t= (7) H (5) εφαρµοζόµενη την χρονική στιγµή t= δίνει: " d ' t= - - 6g L (µ 3(µ + 1 = " d ' t= = 6g L (µ 3(µ + 1 και η (7) παίρνει την µορφή: N = mg - mlµ" 6g L µ" 3µ " 3µ ( = mg - mg " + 1' 3µ ( " + 1' 3µ " N = mg 1-3µ ( = " + 1' mg 3µ " + 1 (8) iii) H σχέση (1) λόγω της (3) γράφεται: ml µ " 4 d" ( ' + ml 1 d" ( ' = mgl)*+" - mgl)*+" ( 3µ " + 1) d" ( ' = 1g ( L )*+" - )*+" ) " d ' = 1g L " ()* - ()* 3+µ ' d + 1 = ± 1g L " - ") ( 3µ + ' + 1 * = ± L 1g 3µ " + 1 ) ( ' " - " + d" (9) * Oλοκληρώνοντας την (9) µε όρια ολοκλήρωσης για την γωνία φ τα φ και π/ παίρνουµε το χρόνο t * πτώσεως της ράβδου στο έδαφος, δηλαδή θα έχουµε:

t * = ± L 1g, / - " 3µ " + 1 ) ( ' " - " + d" * P.M. fysikos