ΜΑΘΗΜΑ 3ο Υποδείγματα μιας εξίσωσης
Οι βασικές υποθέσεις 1. Ο διαταρακτικός όρος u t είναι μια τυχαία μεταβλητή με μέσο το μηδέν. Eu t = 0 για t = 1,2,3..n 2. Η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής u t είναι σταθερή. Var(u t ) = σ 2 για t = 1,2,3..n Η υπόθεση αυτή λέγεται υπόθεση της ομοσκεδαστικότητας (homoskedasticity). Όταν η διακύμανση δεν είναι σταθερή έχουμε την υπόθεση της ετεροσκεδαστικότητας (heteroskedasticity) 3. Δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση (autocorrelation) στους διαταρακτικούς όρους. Cov(u t, u j ) = 0 για i j δηλαδή η συνδυακύμανση του διαταρακτικού όρου u t της παρατήρησης i με το διαταρακτικό όρο u j μιας άλλης παρατήρησης j είναι μηδέν.
Οι βασικές υποθέσεις (συνέχεια) 4. Δεν υπάρχει συσχέτιση (correlation) μεταξύ της ανεξάρτητης μεταβλητής (η οποία δεν είναι στοχαστική) και του διαταρακτικού όρου u t. Η υπόθεση αυτή ονομάζεται υπόθεση της ανεξαρτησίας. Cov(X t, u t ) = 0 για t = 1,2,3..n 5. Το υπόδειγμα παλινδρόμησης είναι σωστά εξειδικευμένο (η μορφή της συνάρτησης είναι σωστή). 6. Οι ερμηνευτικές μεταβλητές μετρούνται χωρίς σφάλμα. 7. Ο διαταρακτικός όρος u t ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέσο μηδέν και σταθερή διακύμανση. u t ~ N(0, σ 2 ) 8. Η ερμηνευτική μεταβλητή X t είναιμηστοχαστικήμεσταθερές τιμές και διακύμανση διάφορη του μηδενός. Var(X t ) 0
Μέθοδοι εκτίμησης 1. Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων Με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (least squares method) επιλέγουμε εκείνη τη γραμμή για την οποία το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων των παρατηρήσεων της μεταβλητής Υ από τη γραμμή παλινδρόμησης του δείγματος είναι ελάχιστο. Με άλλα λόγια, αυτόσημαίνειότιοιεκτιμητέςb o και b 1 που προκύπτουν από τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων είναι οι τιμές για τις οποίες ελαχιστοποιείται η συνάρτηση min t n = 1 e 2 t = t n = 1 ( Y t Y ) t 2
Ο συντελεστής προσδιορισμού Με τη γραμμή παλινδρόμησης του δείγματος προσπαθούμε να ερμηνεύσουμε τη μεταβλητικότητα της εξαρτημένης μεταβλητής που εξηγείται από τις μεταβολές στις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής. Την αναλογία (ποσοστό) της μεταβλητικότητας της εξαρτημένης μεταβλητής που ερμηνεύεται από την παλινδρόμηση ονομάζουμε συντελεστή προσδιορισμού (coefficient of determination) και παριστάνεται με R 2. (ο συντελεστής προσδιορισμού δεν μπορεί να πάρει αρνητικές τιμές ή μεγαλύτερες από τη μονάδα) R 2 = n t = 1 n t = 1 ) ( Y Y) t ( Y Y) t 2 2
Παραβίαση των βασικών υποθέσεων 1. Ελεγχος της κανονικότητας των καταλοίπων Ο έλεγχος αυτός μπορεί να πραγματοποιηθεί με τη στατιστική των Jarque and Bera (JB-statistic) από τον παρακάτω τύπο 2 2 SK ( KU 3) JB= n + όπου 6 24 SK είναι ο συντελεστής ασυμμετρίας. KU είναι ο συντελεστής κύρτωσης η το μέγεθος του δείγματος Στην κανονική κατανομή έχω SK = 0 και KU = 3 Η στατιστική των Jarque and Bera ακολουθεί την κατανομή Χ 2 με 2 βαθμούς ελευθερίας. Αν JB > Χ 2 (2) τότε απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση (τα κατάλοιπα κατανέμονται κανονικά)
Ελεγχος της κανονικότητας των καταλοίπων 7 6 5 4 3 2 1 0 *** -7.5-5.0-2.5 0.0 2.5 5.0 7.5 Series: Residuals Sample 1961 1980 Observations 20 Mean 8.57E-14 Median 0.676363 Maximum 5.667552 Minimum -9.633874 Std. Dev. 4.357863 Skewness -0.867280 Kurtosis 3.058182 Jarque-Bera 2.510071 Probability 0.285066
2. Ελεγχος της αυτοσυσχέτισης Ο έλεγχος αυτός μπορεί να πραγματοποιηθεί και με τον έλεγχο των Breusch-Godfrey από τον παρακάτω τύπο BG=(n-p)R 2 ~ X 2 (p) όπου η είναι το μέγεθος του δείγματος p τάξη της αυτοσυσχέτισης ΟέλεγχοςτωνBreusch-Godfrey ανήκει στην κατηγορία των ελέγχων που ονομάζονται έλεγχοι πολλαπλασιαστών του Lagrange Αν BG > Χ 2 (p) τότε απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση (υπάρχει αυτοσυσχέτιση)
Ελεγχος της αυτοσυσχέτισης των καταλοίπων Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic 4.111019 Probability 0.036247 Obs*R-squared 6.788890 Probability 0.033559
2. Ελεγχος της ετεροσκεδαστικότητα Ο έλεγχος αυτός μπορεί να πραγματοποιηθεί και με τον έλεγχο του White από τον παρακάτω τύπο W=nR 2 ~ X 2 (v) όπου ν είναι οι βαθμοί ελευθερίας η το μέγεθος του δείγματος Αν W > Χ 2 (v) τότε απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση (τα κατάλοιπα δεν είναι ομοιοσκεδαστικά)
Ελεγχος της ετεροσκεδαστικότητας των καταλοίπων White Heteroskedasticity Test: F-statistic 2.319201 Probability 0.128648 Obs*R-squared 4.287195 Probability 0.117232
Το υπόδειγμα ARCH Αν η διακύμανση του διαταρακτικού όρου σε ένα υπόδειγμα παλινδρόμησης σε μια χρονική περίοδο t εξαρτάται από το τετράγωνο του διαταρακτικού όρου της χρονικής περιόδου t-1 τότε λέμε ότι υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα. Η υπόθεση αυτή μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: σ 2 t = α 0 + α 1 u 2 t-1 Δηλαδή η διακύμανση του διαταρακτικού όρου αποτελείται από δύο μέρη από τη σταθερά (α 0 ) και από τη μεταβλητικότητα της προηγούμενης περιόδου που εκφράζεται από το τετράγωνο της τιμής του (u 2 t-1). Αυτό σημαίνει ότι ο διαταρακτικός όρος είναι ετεροσκεδαστικός δεδομένης της τιμής του στην προηγούμενη περίοδο (υπό συνθήκη διακύμανση). Μια υπό συνθήκη διακύμανση προκύπτει από ένα διαταρακτικό όρο ο οποίος προσδιορίζεται ως εξής: u t = ε t (α 0 +α 1 u 2 t-1) 1/2 Υποθέτουμε ότι ε t κατανέμεται κανονικά και ανεξάρτητα με μέσο μηδέν και διακύμανση 1.
Το υπόδειγμα ARCH (συνέχεια) Η παραπάνω σχέση είναι γνωστή ως διαδικασία αυτοπαλίνδρομης υπό συνθήκη ετεροσκεδαστικότητας πρώτης τάξης (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity First Order) ή ARCH(1) Ο έλεγχος για τη διαπίστωση του αποτελέσματος ARCH σημαίνει έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης ότι οι συντελεστές α 1, α 2 α p είναιίσοιμε μηδέν (υπάρχει ομοιοσκεδαστικότητα ή δεν υπάρχει διαδικασία ARCH). Ο έλεγχος της μηδενικής υπόθεσης γίνεται είτε με το κριτήριο F ήμετη LM στατιστική TR 2 η οποία ακολουθεί την Χ 2 κατανομή με p βαθμούς ελευθερίας. Αν F < F πιν γίνεται δεκτή η μηδενική υπόθεση δηλαδή δεν υπάρχει διαδιακασία ARCH.
Διαδικασία ARCH πρώτης τάξης ARCH Test: F-statistic 6.351800 Probability 0.022014 Obs*R-squared 5.168090 Probability 0.023005
Διαδικασία ARCH δευτέρας τάξης ARCH Test: F-statistic 3.497600 Probability 0.056653 Obs*R-squared 5.724594 Probability 0.057137
Διαδικασία ARCH τρίτης τάξης ARCH Test: F-statistic 2.253590 Probability 0.130535 Obs*R-squared 5.816226 Probability 0.120902
Εκτίμηση του υποδείγματος ARCH Για την εκτίμηση των υποδειγμάτων ARCH χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας. Η εκτίμηση είναι μη γραμμική, αλλά οι εκτιμήσεις που προκύπτουν είναι ασυμπτωτικά αποτελεσματικοί. Τα αποτελέσματα του παρακάτω πίνακα είναι τα εξής: NPC t = 6.893 + 0.699NNI t R 2 =0.995 (2.32) (76.89) σ 2 t = 8.359 + 0.529u 2 t-1 (1.636) (1.030)
Εκτίμηση του υποδείγματος ARCH(1) Dependent Variable: NPC Method: ML - ARCH (Marquardt) Sample: 1961 1980 Included observations: 20 Convergence achieved after 33 iterations Variance backcast: ON Coefficient Std. Error z-statistic Prob. C 6.893673 2.970698 2.320556 0.0203 NNI 0.699995 0.009103 76.89893 0.0000 Variance Equation C 8.359483 5.107721 1.636636 0.1017 ARCH(1) 0.529755 0.514203 1.030245 0.3029 R-squared 0.995995 Mean dependent var 214.4630 Adjusted R-squared 0.995244 S.D. dependent var 69.56959 S.E. of regression 4.797542 Akaike info criterion 5.897918 Sum squared resid 368.2626 Schwarz criterion 6.097064 Log likelihood -54.97918 F-statistic 1326.450 Durbin-Watson stat 0.909924 Prob(F-statistic) 0.000000