ΑΣΚΗΣΗ ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - DOPPLER Σώµα µάζας m= kg είναι δεµένο στην άκρη κατακόρυφου ιδανικού ελατήριου σταθεράς k=00 N/m, όως φαίνεται στο σχήµα, και ισορροεί. Η µία λευρά του σώµατος m βρίσκεται σε εαφή µε λεία ειφάνεια τοίχου. Είσης, στο σώµα µάζας m είναι εγκατεστηµένη συσκευή αραγωγής ηχητικών κυµάτων συχνότητας fs=80 Hz, η οοία έχει αµελητέα µάζα. Σώµα µάζας m= kg συγκρούεται λαστικά µε το σώµα µάζας m. Η ταχύτητα του σώµατος m είναι u = 4 m/s και το διάνυσµα αυτής σχηµατίζει γωνία 0 ο µε την οριζόντια διεύθυνση. Ως χρονική στιγµή t=0 θεωρείται αυτή της κρούσης. Είσης δύο αρατηρητές (Α) και (Β) αντιλαµβάνονται τον ήχο αό την ηγή αραγωγής ηχητικών κυµάτων. Ο αρατηρητής (Α) κινείται σε οριζόντιο είεδο η ροέκταση του οοίου «ερνάει» αό την αρχική θέση του σώµατος µάζας m. Η ταχύτητα του αρατηρητή (Α) είναι m/s. Ο αρατηρητής (Β) είναι ακίνητος και βρίσκεται στον κατακόρυφο άξονα ου διέρχεται αό το σώµα µάζας m. ίνεται, είσης, η ειτάχυνση της βαρύτητας g=0 m/s και η ταχύτητα του ήχου uηχ=40 m/s. Θεωρήστε θετική φορά την άνω. Είσης, µην λάβετε υόψη τις ανακλάσεις του ήχου. Να ααντηθούν τα ακόλουθα ζητήµατα:
. Να αοδείξετε ότι το συσσωµάτωµα ου θα δηµιουργηθεί εκτελεί ΑΑΤ.. Να γράψετε την εξίσωση της αοµάκρυνσης της ΑΑΤ.. Να βρείτε τη µέγιστη τιµή της δύναµης του ελατηρίου και τη µέγιστη τιµή της δύναµης εαναφοράς. 4. Να υολογιστεί ο χρόνος ου ααιτείται ώστε το συσσωµάτωµα να ακινητοοιηθεί ακαριαία για η φορά. 5. Να βρεθεί το έργο του βάρους και το έργο της δύναµης ελατηρίου κατά την ροαναφερθείσα κίνηση.. Σε οιες χρονικές στιγµές αντιλαµβάνεται ο αρατηρητής (Β) τον ήχο µε την ίδια συχνότητα µε αυτή ου εκέµεται αό την ηγή. 7. Ποια η συχνότητα ου αντιλαµβάνεται ο αρατηρητής (Α) τη στιγµή ου το συσσωµάτωµα έχει ταχύτητα u = m/s µε φορά ρος τα κάτω. 8. Να γραφεί η εξίσωση της συχνότητας ου αντιλαµβάνεται ο αρατηρητής (Β) σε σχέση µε το χρόνο.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ εδοµένα m = kg m = kg k=00 N/m fs=80 Hz u = 4 m/s g=0 m/s u ηχ=40 m/s Κρούση λαστική ο Ζήτηµα: Για να αοδείξουµε ως ένα σώµα εκτελεί Αλή Αρµονική Ταλάντωση (ΑΑΤ) αρκεί να δείξουµε ως σε µία τυχαία θέση της κίνησής του ισχύει ΣF = Dx. Παρατήρηση: Αρκεί, δηλαδή, να δείξουµε ως το µέτρο της συνισταµένης δύναµης ου δέχεται το σώµα είναι ανάλογο της µετατόισής του αό τη θέση ισορροίας και ως η συνισταµένη δύναµη έχει αντίθετη κατεύθυνση αό την µετατόιση. Ο ρυθµός µε τον οοίο µεταβάλλεται η συνισταµένη δύναµη αναλόγως της µετατόισης θα αοτελεί τη σταθερά εαναφοράς της ταλάντωσης. Σε αυτές τις εριτώσεις εργαζόµαστε ως εξής: Σχεδιάζουµε όλες τις «ααραίτητες» θέσεις ου αφορούν µία ταλάντωση, τις δυνάµεις ου ασκούνται στο σώµα, καθώς, και τις αοστάσεις µεταξύ των θέσεων ου έχουν σχεδιασθεί. Οι «ααραίτητες» θέσεις µίας ταλάντωσης είναι η Θέση Φυσικού Μήκους (ΘΦΜ), οι Θέσεις Ισορροίας (ΘΙ) και η Τυχαία Θέση (ΤΘ) για την οοία θέλουµε να αοδείξουµε ως ΣF = Dx. Στη συνέχεια εφαρµόζουµε τις συνθήκες ισορροίας και υολογίζουµε τη συνισταµένη δύναµη στην Τυχαία Θέση.
Σχήµα Στην ερίτωση µας: ur ur ΣF = 0 w F = 0 F = w ΘΙ: ελ ελ kl ή = m g (α) και l = 0, m ur ur ΣF = 0 w F = 0 F = w ΘΙ: ελ ελ ή kl = (m + m )g (β) και l = 0,4 m ΤΘ: ΣF = w F ελ = (m + m )g k(l + x) ΣF = (m + m )g kl kx και λόγω της (β) ΣF = kx Συνεώς, η σχέση ου διέει τη συνισταµένη δύναµη σε µία τυχαία θέση της κίνησης είναι της µορφής ΣF συσσωµάτωµα εκτελεί ΑΑΤ. = Dx, µε D=k. Άρα το Παρατήρηση: Η κάθετη ειφάνεια µε την οοία έρχεται σε εαφή το συσσωµάτωµα είναι λεία και ως εκ τούτου δεν λαµβάνεται υόψιν η δύναµη της τριβής. Σε αντίθετη ερίτωση θα έρεε να εριλάβουµε και την Τ. Σε αυτή την ερίτωση το συσσωµάτωµα δε θα εκτελούσε ΑΑΤ. Χρειάζεται ροσοχή στα ρόσηµα ου χρησιµοοιούµε για τις δυνάµεις κατά τον υολογισµό της συνισταµένης δύναµης. Ο ιο αλός τρόος για να µην κάνουµε λάθος είναι ο εξής: Ειλέγουµε ως θετική φορά αυτή της 4
κατεύθυνσης της µετατόισης του σώµατος αό τη Θέση Ισορροίας έως την Τυχαία Θέση. Βάσει αυτής της φοράς ειλέγουµε τα ρόσηµα των δυνάµεων. Για αράδειγµα, στην ερίτωσή µας, η µετατόιση του συσσωµατώµατος αό τη ΘΙ έως την ΤΘ έχει κατεύθυνση ρος τα κάτω. Συνεώς, το βάρος (w) θα θεωρηθεί ως θετικό (+) και η δύναµη του ελατηρίου (Fελ) ως αρνητική (-). Αν δεν ροσεχθεί αυτός ο αλός κανόνας θα καταλήγουµε συχνά σε λάθη. ο Ζήτηµα: Αρχικώς ρέει να υολογίσουµε την ταχύτητα του συσσωµατώµατος αµέσως µετά την κρούση. Για το σκοό αυτό θα εφαρµόσουµε την Αρχή ιατήρησης της Ορµής για τον άξονα y y. Άρα Α Ο uuur p ολ. αρχ uuur = p ολ. τελ Σχήµα muy + 0 = (m + m )V ( ) µε ο uy = uηµ0 uy = 4 m/s uy = m/s Άρα ( ) = (+ )V ή V = m/s 5
Συνεώς το συσσωµάτωµα θα εκτελέσει ΑΑΤ γύρω αό τη ΘΙ και την χρονική στιγµή t=0 θα έχει ταχύτητα V = m/s ρος τα θετικά (ρος τα άνω) ενώ βρίσκεται στη θέση y=+0, m. Για να γίνουν κατανοητά αυτά θα ρέει να συµβουλευτούµε το ακόλουθο σχήµα (Σχήµα ). Σχήµα Καθώς, λοιόν, την t=0 έχουµε y 0 συµεραίνουµε ως η ΑΑΤ έχει αρχική φάση φο και η εξίσωση της αοµάκρυνσης θα δίνεται αό την εξής σχέση: y = A ηµ(ωt+ φ ο) Υολογισµός Α: Για να υολογίσουµε το λάτος (Α) της ταλάντωσης όταν γνωρίζουµε για µία συγκεκριµένη χρονική στιγµή την αοµάκρυνση (y) αό τη Θ.Ι. και την ταχύτητα (u) είναι ροτιµότερο να χρησιµοοιήσουµε την Αρχή ιατήρησης της Ενέργειας της Ταλάντωσης (Α ΕΤ). Συνεώς, για την ερίτωση ου µελετάµε: Α ΕΤ για την t=0 E= K+ U
ka = (m + m )u + ky 4 + 4 4 00 00 00A = (+ )( ) + 00 0, A = A = m ή A = 0, m. Συνεώς τη στιγµή t=0 το συσσωµάτωµα βρίσκεται στη A θέση y =+ m Υολογισµός ω: Η ερίοδος της ταλάντωσης υολογίζεται αό τη σχέση: T m + m k = και, ως εκ τούτου, + T = s ή T = 0,4 s 00 Η γωνιακή συχνότητα (ω) της ταλάντωσης σχετίζεται µε την ερίοδο (Τ) της ταλάντωσης βάσει της εξίσωσης: ω= και, έτσι, ω= 5 rad/s Τ Παρατήρηση: Εναλλακτικά θα µορούσαµε να χρησιµοοιήσουµε κατευθείαν τη σχέση ω= m k + m, η οοία ροκύτει αό τον τύο της σταθεράς εαναφοράς D= mω (στην ερίτωσή µας D=k). Είσης η ροαναφερθείσα σχέση για τη γωνιακή συχνότητα µορεί να εξαχθεί αό τη σχέσεις ω= και Τ T m + m k =. Υολογισµός φο: Για να βρούµε την αρχική φάση της ταλάντωσης εργαζόµαστε µε την εξίσωση αοµάκρυνσης της ΑΑΤ, θέτοντας στη σχέση ου τη διέει το χρόνο (στην ερίτωση µας t=0) και την αοµάκρυνση (y) για τη δεδοµένη χρονική στιγµή. Η κατεύθυνση της ταχύτητας χρησιµεύει για τον καθορισµό της ειλογής της «σωστής» αρχικής φάσης. Στην ερίτωση ου µελετάµε, το συσσωµάτωµα την t=0 βρίσκεται στη θέση y=+a/ µε u>0. Συνεώς, θέτοντας τις τιµές αυτές, στην εξίσωση της αοµάκρυνσης έχουµε: 7
A = A ηµ(ω 0+ φ ο) ηµφο = ηµφο = ηµ Συνεώς: φο = κ+ 5 φ = κ+ φ = κ+ ή ο ο Όµως φ ο [0,) και άρα φο = ή φο = 5 Για φο Για φο = έχουµε u>0 αφού u= u max συν(ω 0 + ) u= umax 5 = έχουµε u<0 αφούu= u 5 max συν(ω 0 + ) u= umax Συνεώς δεκτή τιµή είναι η φο = Κατόιν όλων των ανωτέρων έχουµε καθορίσει όλες τις αναγκαίες αραµέτρους της εξίσωσης της αοµάκρυνσης της ΑΑΤ. Συνεώς, η εξίσωση αυτής θα δίνεται αό τη σχέση: y = 0, ηµ(5t + ) (SI) Παρατήρηση: Η γραφική αράσταση της ροαναφερθείσας εξίσωσης φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα. Σχήµα 4 8
ο Ζήτηµα: Η µέγιστη τιµή της δύναµης εαναφοράς είναι Fmax = DA. Συνεώς στην ερίτωσή µας: Fmax = ka Fmax = 00 0, N ή Fmax = 0 N Η µέγιστη τιµή της δύναµης ελατηρίου: Fελ,max = k(l + A) Fελ,max = 00(0, 4+ 0,) N ή Fελ,max = 0 N Παρατήρηση: Προσοχή: Η δύναµη εαναφοράς (F) υολογίζεται αό τη Θέση Ισορροίας (ΘΙ). Αό την άλλη, η δύναµη ελατηρίου υολογίζεται αό τη Θέση Φυσικού Μήκους (ΘΦΜ). Αυτές οι δύο θέσεις συµίτουν στην ερίτωση ου η ταλάντωση µέσω του ελατηρίου ραγµατοοιείται στο οριζόντιο είεδο και δεν ασκείται άλλη δύναµη εκτός της Fελ κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης. Σε αυτή την ερίτωση η Fελ και η Fεαν λαµβάνουν ίδιες τιµές κάθε στιγµή (είναι, δηλαδή, ίσες). Σε κάθε άλλη ερίτωση δεν είναι ίσες και θα ρέει να δίνεται ροσοχή κατά τον υολογισµό της Fελ (για την Fεαν είναι ολύ αλός ο υολογισµός της: βρίσκω αοµάκρυνση αό τη ΘΙ και τη θέτω στη σχέση F = Dx ). Στην άσκηση ου µελετάµε η ταλάντωση ραγµατοοιείται γύρω αό τη ΘΙ και, ως εκ τούτου, η µέγιστη αοµάκρυνση (στην ερίτωσή µας ειµήκυνση) αό τη ΘΦΜ είναι l+a. To ακόλουθο σχήµα είναι ολύ κατατοιστικό για τα ροαναφερθέντα. Σχήµα 5 9
4 ο Ζήτηµα: Ζητείται η χρονική στιγµή στην οοία το συσσωµάτωµα ακινητοοιείται στιγµιαία για η φορά. Αό το Σχήµα 5 γίνεται αντιλητό ως αυτό θα λάβει χώρα όταν το συσσωµάτωµα φτάσει στην Κάτω Ακραία Θέση (ΚΑΘ) (y=-a) για η φορά. Αναλυτικότερα: Το συσσωµάτωµα την t=0 βρίσκεται στη θέση y=+0, m και κινείται ρος τα θετικά (άνω). Συνεώς, σε χρονικό διάστηµα t<t/4 θα φτάσει στην Άνω Ακραία Θέση (ΑΑΘ) και θα σταµατήσει στιγµιαία για η φορά. Στη συνέχεια θα κινείται ρος τα κάτω. Αρχικά θα κινείται ειταχυνόµενα και στη συνέχεια, αφού εράσει τη ΘΙ (ΘΙ ταλάντωσης) θα ειβραδύνεται έως ότου φτάσει στην ΚΑΘ και σταµατήσει στιγµιαία για η φορά. Συνεώς, ζητείται να βρούµε τη χρονική στιγµή στην οοία το συσσωµάτωµα βρίσκεται στη θέση y=-a για η φορά Παρατήρηση: Υενθυµίζεται ως η ταχύτητα ενός σώµατος ου ταλαντώνεται είναι 0 στις ακραίες θέσεις και µέγιστη στη ΘΙ. Για να βρούµε το χρόνο ου ααιτείται για να µεταβεί ένα σώµα ου εκτελεί ΑΑΤ σε µία συγκεκριµένη θέση µορούµε να εργαστούµε µε τρόους: ος τρόος: Θέτουµε στην εξίσωση της αοµάκρυνσης τη θέση την οοία αφορά η χρονική στιγµή και τη λύνουµε ροσέχοντας στην ειλογή της «σωστής» χρονικής στιγµής. Συνεώς για y=-a η εξίσωση της αοµάκρυνσης γίνεται: A = A ηµ(5t + ) Άρα ηµ(5t + ) = ηµ(5t + ) = ηµ Οι λύσεις αυτής της τριγωνοµετρικής εξίσωσης βρίσκονται ως εξής: 5t+ = k+ µε k=0,,,... 0
8 8 Για k=0 έχουµε 5t + = 5t = 5t = t = s ή 0 4 t = s 5 0 Για κ= έχουµε 5t + = + 5t = + 5t = ή t = s 4 Γίνεται αντιλητό ως δεκτή είναι η τιµή t = s καθώς αντιστοιχεί 5 στην η φορά ου το συσσωµάτωµα θα βρεθεί στην ΚΑΘ. Η t = s είναι µεταγενέστερη στιγµή (t> t) και αντιστοιχεί στη χρονική στιγµή ου το συσσωµάτωµα θα βρεθεί στην ΚΑΘ για η φορά. Είναι ευνόητο ως αν συνεχίζαµε και θέταµε κ=, κ= κοκ θα βρίσκαµε τις χρονικές στιγµές ου το συσσωµάτωµα θα βρισκόταν στην ΚΑΘ την η φορά, 4 η φορά κοκ. ος τρόος: Χρησιµοοιούµε το «εργαλείο» του στρεφόµενου διανύσµατος. Θεωρούµε δηλαδή στρεφόµενο διάνυσµα µέτρου Α ου εριστρέφεται σε κύκλο ακτίνας A (όως φαίνεται στο Σχήµα ) µε γωνιακή ταχύτητα ίση µε τη γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης (ω). Κατά αυτόν τον τρόο η ροβολή του διανύσµατος στον y y αντιστοιχεί στην αοµάκρυνση του σώµατος αό τη ΘΙ. Βάσει αυτού του στρεφόµενου διανύσµατος µορούµε να ροσεγγίσουµε ολύ εύκολα την ΑΑΤ.
Σχήµα Η ερίτωση µας (µετακίνηση αό τη θέση y=+α/ στη θέση y=-α) αντιστοιχεί στη µετάβαση του διανύσµατος αό τη θέση (Ι) στη θέση (ΙΙ) (βλ. Σχήµα ). Η γωνία ου ρέει να διαγράψει το διάνυσµα είναι θ= ή 4 θ=. Εξ ορισµού η γωνιακή ταχύτητα είναι θ ω=. Συνεώς, το χρονικό t διάστηµα ου χρειάζεται για τη µετάβαση αό τη θέση (Ι) στη θέση (ΙΙ) είναι θ t =. Άρα: ω 4/ t = s ή 5 4 t = s 5 Εν τέλει, λοιόν, η χρονική στιγµή ου το συσσωµάτωµα θα βρεθεί στην 4 ΚΑΘ θα είναι η t = s 5 5 ο Ζήτηµα:
Παρατήρηση εί του Έργου: Ο ορισµός του έργου είναι dw ur ur = F dx Αυτό «σηµαίνει» (για λόγους ου δεν θα αναλυθούν εί του αρόντος ως το έργο ισούται µε το εµβαδόν σε ένα διάγραµµα F-x, όως φαίνεται στο Σχήµα. F 5 0 5 0 5 x 0 0 4 8 Σχήµα 7 Συνεώς, καθίσταται ευνόητο ως για αλές γραφικές αραστάσεις όως είναι αυτές στο Σχήµα 7 µορούµε εύκολα να υολογίσουµε το κατάλληλο εµβαδόν και, κατ εέκταση, το έργο της δύναµης. F 5 0 5 0 5 x 0 0 4 8 F 5 0 5 0 5 0 5 x 0 0 4 8 F 5 0 5 0 5 0 5 0 0 4 8 x Σχήµα 8
Για ιο ολύλοκες γραφικές αραστάσεις (όως του Σχήµατος ) και µε τις γνώσεις ου έχουµε µέχρι τώρα ΕΝ µορούµε να υολογίσουµε το έργο µε αυτό τον τρόο (χρησιµοοιώντας εµβαδόν). Ειδικότερα, για την ερίτωση του Σχήµατος 7 (Ι), όου η F είναι σταθερή, το έργο θα είναι W=Fx. (!) H ισότητα αυτή αοτελεί τον «τύο» του έργου για µία σταθερή δύναµη (F=σταθ). Ειροσθέτως: (!!) Αν η δύναµη F ου αράγει έργο είναι συντηρητική τότε το έργο της υολογίζεται (εκτός του υολογισµού του εµβαδού σε F-x) αό τη σχέση: W = U U αρχ τελ Όου Uarx και Uτελ, η αρχική δυναµική ενέργεια και η τελική δυναµική ενέργεια για δύο θέσεις της µελετηθείσας κίνησης. Ξεκαθαρίζοντας: Οι συντηρητικές δυνάµεις ου γνωρίζουµε είναι οι εξής:. ύναµη ελατηρίου ( F ur ελ ). Βάρος ( w uur ). ύναµη Coulomb ( F ur C ) και οι δυναµικές ενέργειες ου τις αφορούν οι ακόλουθες:. U ελ kx =, µε χ η ειµήκυνση ή η συσείρωση του ελατηρίου. Uελ (U=0) = mgh, µε h η υψοµετρική αόσταση αό µία στάθµη αναφοράς. q q =, µε r η αόσταση µεταξύ δύο φορτίων. UF k C r Εισηµαίνεται ως τις ερισσότερες φορές είναι ολύ εύκολο και χρηστικό να αξιοοιείται ο τύος W = Uαρχ Uτελ στις εριτώσεις των συντηρητικών δυνάµεων. 4
Το έργο του βάρους (w) κατά την ροαναφερθείσα κίνηση (y=+α/ έως y=-a) µορεί να υολογιστεί ολύ εύκολα αό τη σχέση: Ww = w h, όου h η µετατόιση του συσσωµατώµατος κατά την ροαναφερθείσα σχέση (βλ. Σχήµα 5: h=0, m στην κατεύθυνση του βάρους). Άρα: W w = (m + m )gh W w = (+ )0 0, J ή Ww = J Παρατήρηση: Το έργο του βάρους για την κίνηση ου µελετάµε είναι θετικό, αφού το διάνυσµα του βάρους και το διάνυσµα της µετατόισης είναι οµόρροα. ηλαδή, το έργο του βάρους είναι αραγόµενο. Το έργο της δύναµης ελατηρίου (Fελ) κατά την ροαναφερθείσα κίνηση (y=+α/ έως y=-a) µορεί να υολογιστεί βασιζόµενοι στο ότι η δύναµη αυτή είναι συντηρητική. Συνεώς: W = U U, µε Uαρχ και Uτελ η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου Fελ αρχ τελ στην αρχική και τελική θέση της κίνησης, αντίστοιχα. Η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου δίνεται αό τη σχέση: U ελ kx =, µε χ η ειµήκυνση ή η συσείρωση του ελατηρίου. Συνεώς: WF = k l ελ k (l + A) WF = 00 0, 00 (0, 4+ 0,) J ελ ή WF ελ =,5 J Παρατήρηση: ( ) Προσοχή!: Η δύναµη ελατηρίου και κατ εέκταση το έργο της υολογίζεται ως ρος τη Θέση Φυσικού Μήκους (ΘΦΜ) του ελατηρίου. Αντίθετα, η δύναµη εαναφοράς (Fεαν) και κατ εέκταση το έργο της υολογίζεται ως ρος τη Θέση Ισορροίας (ΘΙ) της ΑΑΤ. 5
Έτσι, στο εν λόγω ζήτηµα το έργο της δύναµης εαναφοράς υολογίζεται ως εξής: Η δύναµη εαναφοράς είναι συντηρητική δύναµη ως συνισταµένη δύναµη δύο συντηρητικών δυνάµεων (της δύναµης ελατηρίου και του βάρους. Ως εκ τούτου: W = U U, µε Uαρχ και Uτελ η δυναµική ενέργεια της Fεαν αρχ τελ δύναµης εαναφοράς στην αρχική και τελική θέση της κίνησης, αντίστοιχα. Η δυναµική ενέργεια της δύναµης εαναφοράς δίνεται αό τη σχέση: U Fεαν ky =, µε y η αοµάκρυνση του συσσωµατώµατος αό τη ΘΙ. Συνεώς: W = k y k ( A) W = 00 0, 00 ( 0,) Fεαν Fεαν ή WF εαν =,5 J Τι διαιστώνουµε; α. Το έργο της Fεαν είναι αρνητικό. Αυτό είναι αναµενόµενο αν αναλογιστούµε ως κατά τη διαδροµή y=+α/ έως y=0 η δύναµη εαναφοράς είναι οµόρροη της µετατόισης και, ως εκ τούτου, το έργο είναι θετικό (αραγόµενο). Αντίθετα κατά τη µετάβαση αό y=0 έως y=-α η δύναµη εαναφοράς είναι αντίρροη της µετατόισης και, ως εκ τούτου, το έργο είναι αρνητικό (καταναλισκόµενο). Εειδή η µετάβαση 0 -Α είναι µεγαλύτερη αό την +Α/ 0 θα έχουµε «ερισσότερο» αρνητικό έργο α ότι θετικό και, συνεώς, το συνολικό έργο της Fεαν είναι αρνητικό β. W = W + W = J -,5 J=-,5 J Fεαν w Fελ ( ) Είσης, θα µορούσαµε να υολογίσουµε το έργο των δυνάµεων, έµµεσα, αξιοοιώντας το Θεώρηµα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας (ΘΜΚΕ) για την µετάβαση της κίνησης ου µελετάµε: K K = ΣW 0 (m + m )V = W ή 0 (m + m )V = W + W τελ αρχ Fεαν w Fελ
ο Ζήτηµα: Για να ακούσει ο αρατηρητής (Β) ήχο συχνότητας ίδιας µε αυτή ου εκέµει η ηγή, θα ρέει η ηγή (άρα και το συσσωµάτωµα) να έχει ταχύτητα ίδια µε αυτή του αρατηρητή, δηλαδή να είναι ακίνητη. Παρατήρηση: Το φαινόµενο Doppler λαµβάνει χώρα αν και µόνο αν η ηγή ηχητικών κυµάτων και ο αρατηρητής βρίσκονται σε σχετική κίνηση. ηλαδή, αν και µόνο αν, η µεταξύ τους αόσταση τείνει να µεταβάλλεται. Αν, αντίθετα, η µεταξύ τους αόσταση είναι σταθερή τότε ισχύει fa=fs. Το συσσωµάτωµα ακινητοοιείται στιγµιαία όταν βρίσκεται στις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης. Ο ιο εύκολος τρόος για να υολογίσουµε όλες εκείνες χρονικές στιγµές στις οοίες το συσσωµάτωµα βρίσκεται στις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης είναι να αξιοοιήσουµε την αάντηση του 4 ου Ζητήµατος. Στο εν λόγω ζήτηµα υολογίσαµε ως το συσσωµάτωµα βρίσκεται στην 4 Κάτω Ακραία Θέση (ΚΑΘ) για η φορά την t = s. Α αυτό 5 συµεραίνουµε ως το συσσωµάτωµα βρίσκεται για η φορά στην Άνω T Ακραία Θέση (ΑΑΘ) τη χρονική στιγµή t = 0 t - ή t = 4 s 0 5 5 Άρα: t 0 = s 5 Παρατήρηση: Υενθυµίζεται ως η χρονική διάρκεια της κίνησης µεταξύ δύο ακραίων θέσεων της ταλάντωσης είναι T/. Συνεώς, οι χρονικές στιγµές στις οοίες το συσσωµάτωµα βρίσκεται στις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης είναι οι εξής: T = µε k=0,,,,... t t 0+k 7
ηλαδή: t = +k µε k=0,,,,... 5 5 Είσης, ρέει να εισηµανθεί ως για k ζυγό αριθµό θα έχουµε εκείνες τις χρονικές στιγµές ου αντιστοιχούν στην ΑΑΘ, ενώ για k µονό αριθµό θα έχουµε εκείνες τις χρονικές στιγµές ου αντιστοιχούν στην ΚΑΘ. Εναλλακτικά: Μορούµε, είσης, να εργαστούµε όως στο 4 ο Ζήτηµα (χωρίς όµως να αξιοοιήσουµε τη λύση του) ος τρόος: Θέτουµε στην εξίσωση της αοµάκρυνσης y=±a. Άρα έχουµε: ± A = A ηµ(5t + ) ή ηµ(5t + ) = ± Οι λύσεις αυτής της τριγωνοµετρικής εξίσωσης είναι οι εξής: 5t+ = k+ µε k=0,,,... Άρα t = k + µε k=0,,,... 5 5 ος τρόος: Χρησιµοοιούµε το «εργαλείο» του στρεφόµενου διανύσµατος. Θεωρούµε δηλαδή στρεφόµενο διάνυσµα µέτρου Α ου εριστρέφεται σε κύκλο ακτίνας A (όως φαίνεται στο Σχήµα 9) µε γωνιακή ταχύτητα ίση µε τη γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης (ω). Κατά αυτόν τον τρόο η ροβολή του διανύσµατος στον y y αντιστοιχεί στην αοµάκρυνση του σώµατος αό τη ΘΙ. Βάσει αυτού του στρεφόµενου διανύσµατος µορούµε να ροσεγγίσουµε ολύ εύκολα την ΑΑΤ. 8
Σχήµα 9 H µετακίνηση αό τη θέση y=+α/ στη θέση y=+α ( η φορά ου θα αντιλαµβάνεται ο αρατηρητής (Β) συχνότητα ίδια µε την ηγή) αντιστοιχεί στη µετάβαση του διανύσµατος αό τη θέση (Ι) στη θέση (ΙΙΙ) (βλ. Σχήµα 9). Η γωνία ου ρέει να διαγράψει το διάνυσµα είναι φ=.. Εξ ορισµού η γωνιακή ταχύτητα είναι φ ω=. Συνεώς, το χρονικό t διάστηµα ου χρειάζεται για τη µετάβαση αό τη θέση (Ι) στη θέση (ΙΙΙ) είναι t 0 φ =. Άρα: ω / t = s ή t 0 = s 5 5 Συνεώς, οι χρονικές στιγµές στις οοίες το συσσωµάτωµα βρίσκεται στις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης είναι οι εξής: T = µε k=0,,,,... t t 0+k 0 ηλαδή: t = +k µε k=0,,,,... 5 5 9
7 ο Ζήτηµα: Την t=0 το συσσωµάτωµα βρίσκεται στη θέση y=+a/ µε V = m/s ρος τα άνω. Συµεραίνουµε, λοιόν, ως το συσσωµάτωµα θα έχει για η φορά ταχύτητα u = m/s µε φορά ρος τα κάτω όταν βρεθεί για η φορά στη θέση y=+a/ µε φορά ρος τα κάτω (βλ. Σχήµα 0). Παρατήρηση: Υενθυµίζεται ως σε κάθε θέση της ταλάντωσης αντιστοιχεί µία τιµή (µέτρο) ταχύτητας και δύο κατευθύνσεις (θετική αρνητική): u= ± ω Α y Σχήµα 0 Στη συγκεκριµένη χρονική στιγµή, λοιόν, το συσσωµάτωµα (άρα και η ηγή ηχητικών κυµάτων) βρίσκεται στην ευθεία ου αοτελεί ροέκταση της ταχύτητας του αρατηρητή (Α) (βλ. Σχήµα 0). Συνεώς, η ταχύτητα του συσσωµατώµατος είναι κάθετη στο ευθύγραµµο τµήµα ου ενώνει το συσσωµάτωµα και τον αρατηρητή. Ως εκ τούτου δεν υάρχει συνιστώσα της ταχύτητας του συσσωµατώµατος ου να διέρχεται αό την 0
ροαναφερθείσα ευθεία και συνεώς δεν λαµβάνεται η ταχύτητα αυτή υόψη στη σχέση ου διέει το φαινόµενο Doppler. Για να καταστούν ιο κατανοητά τα ανωτέρω µορούµε να ροσεγγίσουµε το ζήτηµα και ως εξής: Τη χρονική στιγµή (εκείνη ακριβώς τη χρονική στιγµή) ου το συσσωµάτωµα (άρα και η ηγή ηχητικών κυµάτων) έχει ταχύτητα κάθετη στην ευθεία ου διέρχεται αό το συσσωµάτωµα και αό τον αρατηρητή (Α) η αόσταση µεταξύ των δύο κινητών δεν τείνει να µεταβληθεί λόγω της ταχύτητας του συσσωµατώµατος. Συνεώς, λοιόν, η σχέση ου αφορά στο φαινόµενο Doppler θα είναι: f A = u+ u u A f S 40+ Άρα: f A = 80 Hz ή A 40 f = 8 Hz 8 ο Ζήτηµα: Η ταχύτητα του συσσωµατώµατος (άρα και της ηγής ηχητικών κυµάτων) δίνεται αό τη σχέση: us = umaxσυν(ωt + φ ο) ηλαδή: us = συν(5t + /) (SI) Είσης, την t=0 η ηγή ηχητικών κυµάτων λησιάζει ρος ακίνητο αρατηρητή (Β). Συνεώς η συχνότητα ου αντιλαµβάνεται ο αρατηρητής (Β) σε σχέση µε το χρόνο. f B = u u u S f S 40 Άρα: f B = 80 Hz 40 συν(5t + /)