Η ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΕΝΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 8 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (00) σελ.373-38 Η ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΕΝΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Γιάννης Σ. Τριανταφύλλου, Μάρκος Β. Κούτρας Πανεπιστήμιο Πειραιώς,, Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή παρουσιάζουμε ένα σημαντικό χαρακτηριστικό ενός συστήματος αξιοπιστίας που ονομάζεται υπογραφή (igaure). Αρχικά δίνονται οι ορισμοί της μονοτονίας και της υπογραφής ενός συστήματος, οι οποίοι είναι απαραίτητοι για την περιγραφή και ερμηνεία της τελευταίας. Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι υπογραφές γνωστών συστημάτων και ο τρόπος υπολογισμού τους. Στα κύρια αποτελέσματα της εργασίας πειριλαμβάνεται η εύρεση ενός γενικού τύπου για το διάνυσμα της υπογραφής ενός συνεχόμενου -από-τα- συστήματος. Τέλος παρουσιάζεται μία εφαρμογή της έννοιας της υπογραφής στη σύγκριση των χρόνων ζωής διαφόρων συστημάτων.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στα πλαίσια της εργασίας αυτής η μελέτη επικεντρώνεται σε μονότονα συστήματα, δηλαδή σε συστήματα, στα οποία η βελτίωση μιας μονάδας συνεπάγεται και την παράλληλη βελτίωση (ή τουλάχιστον τη μη χειροτέρευση) του συστήματος. Αναλυτικότερα δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό. Ορισμός. Ένα σύστημα ονομάζεται μονότονο ή μονότονης δομής (cohere rucure) αν ισχύουν τα εξής α. Η συνάρτηση δομής του φ (x) είναι αύξουσα, δηλαδή x i y i, i,,, φ( x) φ x, x,..., x ) φ( y, y,..., y ) ( ( φ β. Κάθε μονάδα του επηρεάζει το σύστημα, δηλαδή η φ δεν είναι σταθερή ως προς κάποια συντεταγμένη. Για τον ορισμό και την ερμηνεία θεμελιωδών εννοιών για τη μελέτη συστημάτων Αξιοπιστίας, οι οποίες χρησιμοποιούνται στην παρούσα εργασία, ο αναγνώστης παραπέμπεται στο σύγγραμα των Barlow & Procha (97). Θεωρούμε ένα μονότονο σύστημα με ανεξάρτητες και όμοιες μονάδες (i.i.d. yem), οι χρόνοι ζωής X, X,, X των οποίων προέρχονται από μια συνεχή κατανομή F. Αν Τ είναι ο χρόνος ζωής του συστήματος, τότε η αποτυχία του συστήματος θα συμπίπτει πάντα με το χρόνο ζωής της i-οστής y). - 373 -

. Συγκεκριμένα αν X (i) δηλώνει τον i-οστό μικρότερο χρόνο ζωής μονάδας για i,,...,, τότε έχουμε ότι, με πιθανότητα, ο χρόνος ζωής του συστήματος T { X ( ), X (),..., X ( ) }. Ορισμός. Υπογραφή (igaure) ενός μονότονου i.i.d συστήματος με μονάδες ονομάζεται το διάνυσμα πιθανότητας, όπου (,,, ) με μονάδας για κάποιο i {,,..., } i P ( T X (i ) ), i,,,. Για μονότονα i.i.d. συστήματα, η πιθανότητα ότι το σύστημα αποτυγχάνει στην i-οστή αποτυχία μονάδας δεν εξαρτάται από την κατανομή F των χρόνων ζωής των μονάδων. Αντίθετα η πιθανότητα αυτή είναι συνάρτηση μόνο του σχεδιασμού του συστήματος. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα ότι η αποτυχία της i-οστής μονάδας είναι μοιραία για το σύστημα εξαρτάται αποκλειστικά από την πιθανότητα ότι η τελευταία μονάδα που λειτουργεί σε ένα ελάχιστο σύνολο διακοπής (ε.σ.δ.) είναι ταυτόχρονα η i-οστή μονάδα που αποτυγχάνει γενικά στο σύστημα. Συνεπώς για να υπολογισθεί η υπογραφή ενός συστήματος αρκεί να εξετασθούν τα ε.σ.δ. και να μετρηθούν πόσοι συνδυασμοί ανάμεσα στις ισοπίθανες μεταθέσεις των Χ, Χ,..., Χ συμπίπτουν ακριβώς με την αποτυχία κάποιου ε.σ.δ. κατά το χρόνο αποτυχίας X (i). Επομένως εναλλακτικά η υπογραφή ενός μονότονου συστήματος με μονάδες μπορεί να ορισθεί ως εξής. Ορισμός. Υπογραφή (igaure) ενός μονότονου i.i.d συστήματος με μονάδες ονομάζεται το διάνυσμα πιθανότητας, όπου (,,, ) με A i! όπου Α είναι το πλήθος των μεταθέσεων για τις οποίες η i οστή αποτυχία προκαλεί αποτυχία του συστήματος. Στη συνέχεια θα δώσουμε μια πρόταση, η οποία τεκμηριώνει τη σχέση που έχει η υπογραφή ενός συστήματος με τα σύνολα λειτουργίας του. Για ένα μονότονο σύστημα με χρόνο ζωής Τ ορίζουμε το διάνυσμα Α Τ (α,α,...,α ) όπου # συνόλων λειτουργίας μεγέθους i a i. i Με άλλα λόγια το α i εκφράζει την αναλογία (ποσοστό) των υποσυνόλων μεγέθους i, τα οποία είναι σύνολα λειτουργίας για το σύστημα. Πρόταση. (Bolad (00)) Έστω ένα μονότονο i.i.d. σύστημα με μονάδες και υπογραφή (, ). Τότε οι συντεταγμένες του διανύσματος συνδέονται με τις αντίστοιχες του διανύσματος Α Τ (α,...,α ) με την ακόλουθη σχέση - 374 -

ai, i,,...,. i+ Αντίστροφα, οι ποσότητες εκφράζονται μέσω των α από τη σχέση a a, 0,,..., +.. Η υπογραφή γνωστών συστημάτων α. Σειριακό σύστημα (SS, Serial Syem) Το σειριακό σύστημα αποτυγχάνει όταν τουλάχιστον μία μονάδα του αποτύχει ή ισοδύναμα λειτουργεί όταν όλες οι μονάδες του λειτουργούν. Η υπογραφή ενός i.i.d. σειριακού συστήματος με μονάδες δίνεται από τον τύπο (,0,0,...,0). SS Πράγματι η πιθανότητα ότι ο χρόνος ζωής του i.i.d σειριακού συστήματος ταυτίζεται με την πρώτη αποτυχία μονάδας του συστήματος είναι ίση με ( P ( T X ( ) ) ), ενώ η πιθανότητα για το σύστημα να λειτουργεί και μετά από την αποτυχία μιας μονάδας του είναι ίση με 0, συνεπώς και η πιθανότητα ο χρόνος ζωής του συστήματος να ταυτιστεί με τον i-οστό διατεταγμένο χρόνο ζωής μονάδας είναι ίση με μηδέν για όλα τα i. β. Παράλληλο σύστημα (PS, Parallel Syem) Το παράλληλο σύστημα αποτυγχάνει όταν όλες οι μονάδες του αποτύχουν ή ισοδύναμα λειτουργεί όταν τουλάχιστον μία μονάδα του λειτουργεί. Η υπογραφή ενός i.i.d. παράλληλου συστήματος με μονάδες δίνεται από τον τύπο PS (0,0,...,0,). Πράγματι η πιθανότητα ότι ο χρόνος ζωής του i.i.d παράλληλου συστήματος ταυτίζεται με κάποιον χρόνο ζωής Χ (i) μιας μονάδας για όλα τα i: i είναι ίση με μηδέν, δηλαδή P ( T X ( i) ) 0, όταν i, ενώ είναι ίση με για τον τελευταίο διατεταγμένο χρόνο ζωής μονάδας, δηλαδή P T X ). γ. Γέφυρα (ΒS, Bridge rucure) ( ( ) Αποτελείται από μονάδες και λειτουργεί όταν είναι δυνατή η μετάβαση από τη θέση Α στη θέση Β μέσω μονάδων που λειτουργούν. A 3 4 Β - 37 -

Για τον υπολογισμό της υπογραφής της γέφυρας θα κάνουμε χρήση της Πρότασης. Σύνολα λειτουργίας μεγέθους i 0, δεν υπάρχουν, ενώ με μέγεθος i υπάρχουν, με μέγεθος i 3 υπάρχουν 8 και τέλος όλα τα σύνολα με 4 ή μονάδες είναι σύνολα λειτουργίας για τη γέφυρα. Συνεπώς έχουμε 0 0 8 4 4 a 0 0, a 0, a, a3, a4, a. 0 3 4 Επομένως για τις συντεταγμένες της υπογραφής της γέφυρας ισχύουν τα ακόλουθα 3 a a0, 4 a a, 3 a3 a, a4 a3, 0 και τελικά η υπογραφή της γέφυρας με μονάδες είναι το ακόλουθο διάνυσμα 3 (0,,,,0). BS δ. Σύστημα συνεχόμενο k-από-τα-: F (C(,k):F, coecuive k-ou-of-: Fail ) Το συνεχόμενο k-από-τα- : F σύστημα αποτυγχάνει όταν αποτύχουν τουλάχιστον k συνεχόμενες μονάδες από τις. Για τον υπολογισμό της υπογραφής ενός συνεχόμενου k-από-τα- συστήματος πρέπει να προσδιορίζουμε κάθε φορά το πλήθος εκείνων των μεταθέσεων των μονάδων ως προς τη σειρά αποτυχίας τους, οι οποίες προκαλούν την αποτυχία του συστήματος κατά τον i-διατεταγμένο χρόνο ζωής, καταλήγοντας έτσι στη ζητούμενη κάθε φορά πιθανότητα που αντιστοιχεί και σε μία συντεταγμένη του διανύσματος της υπογραφής. Στο σημείο αυτό θα μελετήσουμε αναλυτικά το συνεχόμενο -από-τα- σύστημα, για,3,...,8. Πιο συγκεκριμένα το συνεχόμενο -από-τα- σύστημα με όμοιες μονάδες είναι στην πραγματικότητα ισοδύναμο με ένα παράλληλο σύστημα δύο μονάδων, μιας και για να αποτύχει το σύστημα αυτό θα πρέπει να αποτύχουν και οι μονάδες του. Συνεπώς η υπογραφή του θα είναι C: / (0,). Για το συνεχόμενο -από-τα-3 σύστημα υπάρχουν! 4 δυνατές μεταθέσεις (σειρά αποτυχίας,,3 ή,,3 ή,3, ή 3,,) από τις συνολικά 3! 6 των 3 μονάδων ως προς τη χρονική σειρά με την οποία αποτυγχάνουν, οι οποίες προκαλούν την αποτυχία του συστήματος με τη δεύτερη αποτυχία μονάδας. Συνεπώς η δεύτερη συντεταγμένη της υπογραφής θα είναι ίση με! 4 P( T X () ). 3! 6 3 Επιπλέον οι δυνατές μεταθέσεις οι οποίες προκαλούν την αποτυχία του συστήματος με την τρίτη αποτυχία μονάδας είναι! ( σειρά αποτυχίας,3, ή 3,, ), άρα 0-376 -

! 3 P( T X (3) ). 3! 6 3 Άρα η υπογραφή του συνεχόμενου -από-τα-3 συστήματος είναι ίση με C: / 3 (0,, ). 3 3 Η υπογραφή του συνεχόμενου -από-τα- συστήματος για όλα τα,3,..., 8 δίνεται συνοπτικά στον ακόλουθο πίνακα. Σύστημα C: Υπογραφή Σύστημα C: Υπογραφή C : / (0,) C : / C : /3 C : /4 C : /8 (0,, ) C : /6 3 3 C : /7 ( 0,,,0) 7 8 ( 0,,,,,0,0,0) 8 8 8 8 ( 0, 4 ( 0, 0, 0 7, 0 3,0) ( 0,,,,0,0) 0 9,,,,0,0) 3 3 3 3 Εναλλακτικά, μπορούμε να υπολογίσουμε την υπογραφή του συνεχόμενου - από-τα- συστήματος με τη χρήση της Πρότασης, καταλήγοντας σε έναν γενικό τύπο που θα δίνει την υπογραφή του συνεχόμενου -από-τα- συστήματος για κάθε. Αν το πλήθος των μονάδων που έχουν αποτύχει είναι μεγαλύτερο από [( +) / ], ή ισοδύναμα το πλήθος ( ) των μονάδων που λειτουργούν είναι μικρότερο από [( +) / ], τότε θα υπάρχουν οπωσδήποτε δύο συνεχόμενες μονάδες που έχουν αποτύχει και συνεπώς το σύστημα δεν θα λειτουργεί. Αυτό σημαίνει ότι το συνεχόμενο -από-τα- σύστημα δεν έχει σύνολα λειτουργίας με πλήθος μονάδων μικρότερο από [( +) / ]. Αν το πλήθος των μονάδων που έχουν αποτύχει είναι μικρότερο από [( +) / ], ή ισοδύναμα το πλήθος ( ) των μονάδων που λειτουργούν είναι μεγαλύτερο από [( +) / ], τότε το σύστημα λειτουργεί αν υπάρχει τουλάχιστον μία μονάδα που λειτουργεί μεταξύ κάθε δύο μονάδων που έχουν αποτύχει. Το πλήθος τέτοιων συνδυασμών ανάμεσα σε μονάδες που λειτουργούν και σε μονάδες που έχουν αποτύχει, δίνεται από τον ακόλουθο τύπο ( + ) + ( + ) +. + - 377 -

Ο παραπάνω τύπος δίνει το πλήθος των συνόλων λειτουργίας με μέγεθος ( ) του συνεχόμενου -από-τα- συστήματος, για 0,,,...,. Οι συντεταγμένες a του διανύσματος Α Τ (α 0,α,α,...,α ) εκφράζουν την αναλογία των υποσυνόλων μεγέθους ( ), τα οποία είναι σύνολα λειτουργίας για το σύστημα. Με άλλα λόγια δηλώνουν το ποσοστό των συνόλων λειτουργίας, τα οποία περιέχουν ( ) μονάδες που λειτουργούν για 0,,,...,, δηλαδή + ( + )!!( + )! ( + )!( )! [( )!] ( + ) a!!( + )!!( + )!!( )! ( + )! ( )! ( + ) [( + ) ]!! ( ). Συνεπώς οι συντεταγμένες της υπογραφής ενός συνεχόμενου -από-τα- συστήματος θα δίνονται από τον γενικό τύπο ( + + )! ( + )! ( )!( + 3)!!( + )! a + a!! ( )!( + )!!( )! ( + )!( + )! ( + )!( )! ( + 3)!! ( + )!! ( + )!( )! ( + )( + ) ( + ) ( + )!! ( + )( + 3) ( ) Επομένως έχουμε τα ακόλουθα a 3 3 a a 0, a a a ( + )( + ). ( + )( + 3), ( 3)( 4) ( )( ) ( 3)( 4) 4 0, ( ) ( ) ( ) ( )!!!(3 )! a a, a a 0!(3 0 )!!(3 )! Συνοψίζοντας η υπογραφή ενός συνεχόμενου -από-τα- συστήματος (για κάθε ) είναι το ακόλουθο διάνυσμα - 378 -

(0,, 4 0,...,, ). ( ) ( )!!!(3 )!!(3 )! 3. Εφαρμογές της υπογραφής στη Θεωρία Αξιοπιστίας α. Υπολογισμός της συνάρτησης αξιοπιστίας ενός συστήματος μέσω της υπογραφής Η υπογραφή ενός μονότονου συστήματος μπορεί να βοηθήσει στον υπολογισμό της συνάρτησης αξιοπιστίας του (Bolad, Samaiego & Verup (00)). Αρχικά θεωρούμε τις συντεταγμένες i της υπογραφής του συστήματος. Τότε, για ένα σύστημα που αποτελείται από όμοιες και ανεξάρτητες μονάδες με αξιοπιστία p, ορίζουμε το διάνυσμα d, οι συντεταγμένες του οποίου δίνονται συναρτήσει των i από τον ακόλουθο τύπο r r d r i ( ), για r,,...,. i + r Οι συντεταγμένες d r ονομάζονται domiaio και ικανοποιούν τις σχέσεις d 0 0, d r. r Προσδιορίζοντας τις συντεταγμένες d r από τον παραπάνω τύπο, στη συνέχεια μπορούμε να υπολογίσουμε την αξιοπιστία R ( p) του συστήματος ως εξής R p ) r ( d r p. β. Σύγκριση συστημάτων με χρήση της υπογραφής Όπως θα γίνει αντιληπτό στη συνέχεια, μία βασική χρήση της υπογραφής είναι στη σύγκριση δύο ή περισσοτέρων συστημάτων. Είναι συχνά πιθανό να μπορούμε να κρίνουμε ένα σύστημα ως καλύτερο από ένα άλλο με μια απλή παρατήρηση των υπογραφών τους. Για παράδειγμα ένα σύστημα -από-τα-4 έχει υπογραφή (όπως έχουμε δει και παραπάνω) / 4 (0,0,,0 ), ενώ ένα σύστημα 3-από-τα-4 έχει υπογραφή 3 / 4 (0,,0,0 ).Συνεπώς οι δύο υπογραφές είναι ικανές να ποσοτικοποιήσουν το γεγονός ότι ένα σύστημα -από-τα-4 είναι καλύτερο από ένα σύστημα 3-από-τα-4, το οποίο έχει τις ίδιες μονάδες με το πρώτο. Πράγματι αυτό είναι εμφανές, καθώς, σύμφωνα με τα δύο διανύσματα / 4 και 3 / 4, ο χρόνος ζωής του συστήματος -από-τα-4 ταυτίζεται, με πιθανότητα, με το δεύτερο διατεταγμένο χρόνο ζωής μονάδας του συστήματος, ενώ ο χρόνος ζωής του συστήματος -από-τα-4 ταυτίζεται, με πιθανότητα, με τον τρίτο διατεταγμένο r - 379 -

χρόνο ζωής μονάδας του, άρα το σύστημα 3-από-τα- 4 τείνει να διαρκέσει περισσότερο από το σύστημα -από-τα-4. Στη συνέχεια θα δούμε πως διάφορες στοχαστικές συγκρίσεις μεταξύ συστημάτων είναι δυνατόν να θεμελιωθούν με τη βοήθεια της σύγκρισης των υπογραφών τους. Θεώρημα. (Shaked & Shahikumar (994)) Έστω, οι υπογραφές δύο συστημάτων με μονάδες και Τ, Τ οι αντίστοιχοι χρόνοι ζωής τους. Τότε T T. Πιο απλά, η παραπάνω στοχαστική διάταξη σημαίνει ότι, αν ισχύει η σχέση i i για όλα τα i,,, τότε έπεται F T ) F T ( ) για όλα τα, ( που σημαίνει ότι ο χρόνος Τ είναι πιθανότερο να υπερβεί την τιμή από τον Τ. Θεώρημα. (Kochar, Mukeree & Samaiego (999)) Έστω, οι υπογραφές δύο συστημάτων με μονάδες και Τ, Τ οι αντίστοιχοι χρόνοι ζωής τους. Τότε hr T hr T. Η διάταξη κατά βαθμίδα αποτυχίας σημαίνει ότι η συνάρτηση F T ) / F T ( ) είναι αύξουσα ως προς, αν η συνάρτηση i i ( / είναι αύξουσα ως προς i. Συνεπώς διαισθητικά η διάταξη βαθμίδας αποτυχίας σημαίνει ότι ο υπολειπόμενος χρόνος ζωής του Τ είναι στοχαστικά μεγαλύτερος από τον αντίστοιχο υπολειπόμενο χρόνο ζωής του Τ, δεδομένου ότι έχουν και οι δύο επιβιώσει μέχρι τη χρονική στιγμή (Bolad & El-Neweihi (99). ΣΗΜΕΙΩΣΗ Η εργασία χρηματοδοτήθηκε από το ΕΠΕΑΕΚ ΙΙ μέσω του προγράμματος «Πυθαγόρας». ABSTRACT We pree a impora feaure of a reliabiliy yem, which i called igaure. The defiiio of coherece ad igaure of a yem are give. I addiio, we calculae he igaure of everal yem, uch a erial, parallel, e..c. The mai reul of hi paper i he developme of a geeral form of he igaure vecor for he coecuive -ou-of- yem. Fially, we udy ome applicaio of he igaure i he field of reliabiliy, e.g. i he compario bewee he lifeime of wo yem. - 380 -

ΑΝΑΦΟΡΕΣ Barlow, R. E. & Procha, F. (97). Saiical heory of Reliabiliy ad Life Teig, Hol, Riehar ad Wio, Ic. Bolad, P.J. (00). Sigaure of idirec maoriy yem, Joural of Applied Probabiliy, 38, 97-603. Bolad, P.J. & El-Neweihi, E. (99). Compoe redudacy v yem redudacy i he hazard rae orderig, IEEE Traacio o Reliabiliy, R-44, No.4, 64-69. Bolad, P.J., Samaiego, F.J. ad Verup, E.M. (00). Likig domiaio ad igaure i ework reliabiliy heory, Techical Repor # 37, Deparme of Saiic, Uiveriy of Califoria, Davi. Kochar, S., Mukeree, H. ad Samaiego, F.J. (999). The igaure of a cohere yem ad i applicaio o compario amog yem, Naval Reearch Logiic, 46, 07-3. Shaked, M. ad Shahikumar, J.G. (994). Sochaic order ad heir applicaio, Academic, Sa Diego, CA. - 38 -