Το πρόβημα των μηδενικών ιδιοτιμών. Από την προηγούμενη συζήτηση έχει γίνει φανερό ότι αν η ομογενής διαφορική εξίσωση L ϕ ( = 0έχει μη μηδενική ύση (ή ύσεις που να ικανοποιεί τις (ομογενείς συνοριακές συνθήκες του προβήματος L ( ( Ψ = f τότε η συνάρτηση Gree δεν κατασκευάζεται. Διατυπωμένη αιώς η ίδια πρόταση μας έει πως όταν ο διαφορικός μας τεεστής έχει μηδενικές ιδιοτιμές η συνάρτηση Gree όπως μπορεί αμέσως να δει κανείς από την εξ. (22- δεν κατασκευάζεται. Έτσι ή αιώς διατυπωμένη η πρόταση αυτή μας έει ότι η ύση στο πρόβημά μας ( αν υπάρχει δεν είναι μοναδική : Αν κάνουμε την ααγή Ψ( Ψ ( =Ψ ( +ϕ( (42 η συνάρτηση Ψ ( είναι κι αυτή ύση του προβήματός μας. Η τεευταία σχέση δηώνει την ύπαρξη μιας συμμετρίας : Η αντικατάσταση (42 δεν αάζει ούτε τη διαφορική εξίσωση ούτε τις συνοριακές συνθήκες. Αφήνει, δηαδή, το πρόβημα μας αναοίωτο. Επειδή αυτή η περίπτωση εμφανίζεται συχνά και έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον τόσο μαθηματικά όσο και φυσικά θα σταθούμε για ίγο σ αυτήν. Θα ορίσουμε καταρχήν τη εγόμενη γενικευμένη συνάρτηση Gree ϕ( ϕ( G (, (43 η οποία δεν είναι τίποτα άο παρά το άθροισμα (22 (για z = 0 από το οποίο έχουν αφαιρεθεί όοι οι όροι που αντιστοιχούν στις (μη μηδενικές ιδιοσυναρτήσεις που έχουν μηδενικές ιδιοτιμές και τις οποίες έχουμε αριθμήσει με τους δείκτες. (Εδώ έχουμε υποθέσει ότι ο διαφορικός τεεστής έχει ένα πήρες σύστημα ιδιοσυναρτήσεων και ότι το φάσμα του είναι διακριτό. Από τη σχ. (42 προκύπτει αμέσως ότι η γενικευμένη συνάρτηση Gree ικανοποιεί τη εγόμενη γενικευμένη εξίσωση Gree 1 LG (, = Lϕ( ϕ( = ϕ( ϕ( = (44 = ϕ ( ϕ ( + ϕ ( ϕ ( = δ( + ϕ ( ϕ ( και ότι υπόκειται στον περιορισμό : 9
1 1 dg (, ϕ ( = ϕ ( dϕ ( ϕ ( = ϕ ( δ = 0 (45, Όπως φαίνεται από την παραπάνω ανάυση η γενικευμένη συνάρτηση Gree μπορεί να ορισθεί είτε μέσω του αθροίσματος (43 είτε ως η ύση της εξίσωσης (44 που υπόκειται στον περιορισμό (45 και, βέβαια, σε ομογενείς συνοριακές συνθήκες. H χρησιμότητα της γενικευμένης συνάρτησης Gree φαίνεται από το παρακάτω θεώρημα: Έστω η διαφορική εξίσωση LΨ ( = f( η οποία συνοδεύεται από ομογενείς συνοριακές συνθήκες. Αν υπάρχουν συναρτήσεις ϕ ( 0 οι οποίες ικανοποιούν την ομογενή εξίσωση Lϕ ( = 0 και τις ομογενείς συνοριακές συνθήκες τότε η διαφορική εξίσωση έχει ύση εάν και μόνο εάν ο όρος της μη ομογένειας είναι τέτοιος ώστε dϕ ( f ( = 0 (46 Στην περίπτωση αυτή η ύση είναι με c αυθαίρετες σταθερές. Ψ ( = c ϕ ( + d G (, f ( (47 Πράγματι. Έστω ότι η Ψ είναι ύση της LΨ ( = f(. Μπορώ να την αναύσω στη βάση που συγκροτούν οι ιδιοσυναρτήσεις του διαφορικού τεεστή: Ψ ( = d δ( Ψ ( = d ϕ ( Ψ( ϕ( αϕ ( Επομένως και άρα L Ψ ( = α ϕ ( f( = α ϕ ( dϕ ( f ( = α dϕ ( ϕ( = αδ = 0, Από την τεευταία προκύπτει αμέσως το πρώτο μέρος του θεωρήματος. Το δεύτερο θα προκύψει αν ξεκινήσουμε από την έκφραση (47 : LΨ ( = dl G (, f( = d δ( + ϕ( ϕ ( f( = f( 10
Ορισμένες παρατηρήσεις είναι εδώ χρήσιμες. Οι συντεεστές c που εμφανίζονται στην (47 δεν μπορούν να προσδιορισθούν. Εύκοα διαπιστώνει κανείς ότι αν στη θέση τους χρησιμοποιήσει κάποιους άους το αποτέεσμα θα είναι και πάι ύση του προβήματός του. Αυτό είναι αναμενόμενο αφού από την αρχή είπαμε ότι η ύση δεν είναι μοναδική. Η γενική μορφή που έχουν οι συντεεστές αυτοί βρίσκεται εύκοα : c = dϕ ( Ψ ( (48 Όπως και στην περίπτωση της συνήθους συνάρτησης Gree έτσι και εδώ μπορούμε να δείξουμε ότι LG (, δ( ϕ( ϕ = + ( (49 Πράγματι. Αν ξεκινήσουμε από την (47 μπορούμε να γράψουμε Ψ ( = c ϕ ( d G (, L Ψ ( = c ϕ ( d L G (, Ψ ( Η μόνη ύση της τεευταίας είναι, βέβαια, η (49. Σε μονοδιάστατα προβήματα η γενικευμένη συνάρτηση μπορεί να κατασκευαστεί όπως και η συνήθης αφού οι βασικές της ιδιότητες ( συνέχεια της συνάρτησης, ασυνέχεια της πρώτης παραγώγου δεν αάζουν. Αν γνωρίζουμε τη γενικευμένη συνάρτηση Gree μπορούμε να βρούμε τη ύση της ομογενούς εξίσωσης (5 (αν υπάρχει που συνοδεύεται από μη ομογενείς συνοριακές συνθήκες. Όπως και στη συνήθη περίπτωση θα γράψουμε : Ψ ( = d δ( Ψ ( = d L G (, + ϕ ( ϕ ( Ψ ( = 0 0 0 = bϕ ( d LG (, Ψ0( (50 Στην τεευταία σχέση οι (αυθαίρετοι συντεεστές b έχουν τη γενική μορφή b = dϕ ( Ψ0(. Αν τώρα στο τεευταίο οοκήρωμα της εξ. (50 κάνουμε κατά παράγοντες οοκήρωση θα πάρουμε Ψ ( = 0 bϕ( + QS( dg (, L Ψ 0( = bϕ( + QS( (51 Όπως και στη συνήθη περίπτωση έτσι και εδώ οι επιφανειακοί όροι είναι γνωστοί όγω των συνοριακών συνθηκών. 11
Από την προηγούμενη συζήτηση είναι φανερό ότι αν επεκτείνουμε τον ορισμό της συνάρτησης Gree ώστε να συμπεριάβουμε και τη γενικευμένη, καταήγουμε στο συμπέρασμα ότι, σε τεευταία ανάυση, όταν η ύση στο πρόβημά μας υπάρχει μπορεί να εκφραστεί μέσω της συνάρτησης Gree. Όπως φαίνεται και από τη σχέση (43 ο ορισμός της γενικευμένης συνάρτησης Gree δεν είναι τίποτα άο παρά μια προσπάθεια διαχείρισης του προβήματος των μηδενικών ιδιοτιμών : Ένας τρόπος να ομαοποιήσουμε μια έκφραση η οποία χωρίς αυτή μας την παρέμβαση δεν θα είχε νόημα. Μπορεί κανείς να αναρωτηθεί αν αυτός είναι ο μόνος ( ή και ο καύτερος τρόπος. Το ζήτημα αυτό εμφανίζεται κυρίως όταν το φάσμα του διαφορικού τεεστή είναι συνεχές και θα το συζητήσουμε στα επόμενα εδάφια όπου θα αντιμετωπίσουμε συγκεκριμένα προβήματα αά μπορούμε να το θίξουμε και εδώ. Έστω οιπόν ότι το φάσμα του διαφορικού τεεστή είναι συνεχές L ϕ ( = ϕ ( και ότι υπάρχουν μηδενικές ιδιοτιμές που αντιστοιχούν σε μη μηδενικές ιδιοσυναρτήσεις, Η συνεχής γενίκευση της (43 είναι : ( ( G (, = P d ϕ ϕ (52 Στην προηγούμενη σχέση το σύμβοο P δηώνει την κύρια τιμή του οοκηρώματος που ακοουθεί. Η σχ. (52 είναι η συνεχής έκδοση της (43 στο βαθμό που αντιμετωπίζει το πρόβημα των μηδενικών ιδιοτιμών με τον ίδιο τρόπο : Αποφεύγει τους μηδενισμούς του παρονομαστή. Η ιδιαιτερότητα της συνεχούς έκδοσης της γενικευμένης συνάρτησης είναι ότι ικανοποιεί τη συνήθη εξίσωση Gree : L G (, = P dϕ ( ϕ ( = δ( (53 Αν χρησιμοποιήσουμε την ταυτότητα 1 1 P = lim ± iπδ ( ξ ξ ξ ± iε (54 η συνάρτηση (52 θα γραφεί ( ( G ϕ ϕ (, = lim d iπ dϕ( ϕ( δ( ± iε (55 12
Ο πρώτος όρος στο αριστερό σκέος της τεευταίας σχέσης ± G(, ϕ( ϕ( lim d (56 ± iε ορίζει δύο συναρτήσεις, εν γένει διαφορετικές μεταξύ τους, οι οποίες είναι ύσεις της εξίσωσης Gree L G (, = lim d ϕ ( ϕ ( = δ( (57 ± ± iε αά εν γένει είναι διαφορετικές από τη γενικευμένη συνάρτηση Gree G.Όπως θα δούμε στα επόμενα εδάφια οι συναρτήσεις αυτές έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον όγω των συνοριακών συνθηκών που ικανοποιούν. Από μαθηματική πευρά όμως δεν είναι παρά ένας διαφορετικός και εξίσου αποδεκτός- τρόπος ομαοποίησης μιας αποκίνουσας έκφρασης : Οι ιδιοτιμές απέκτησαν ένα μικρό φανταστικό μέρος και έτσι δεν υπάρχει τιμή της (πραγματικής παραμέτρου που να μηδενίζει τον παρονομαστή. Μια τεευταία παρατήρηση. Ο δεύτερος όρος στο αριστερό σκέος της (52 Λ (, = iπ dϕ ( ϕ ( δ( (58 είναι ύση της ομογενούς εξίσωσης L Λ (, = iπ dϕ ( ϕ ( δ( = 0 και έτσι είναι προφανές ότι οι συναρτήσεις G και G ± γενικό τύπο (39 : συνδέονται μεταξύ τους με το G ± = G ±Λ (59 13