Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην ευθεία x + 2y + 1 = 0 κάθετη στην ευθεία 3x y + 5 = 0 i iv) διέρχεται από την αρχή των αξόνων. παράλληλη στον άξονα x x. v) παράλληλη στον άξονα y y. vi) v vi παράλληλη στη διχοτόµο της πρώτης γωνίας των αξόνων. παράλληλη στη διχοτόµο της δεύτερης γωνίας των αξόνων. σχηµατίζει µε τους άξονες τρίγωνο εµβαδού 32 τ.µ. 2. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο Α(3, 2) και: i) είναι παράλληλη στο διάνυσµα = (2, 5) είναι παράλληλη στο διάνυσµα δ = (0, 3) i είναι παράλληλη στο διάνυσµα δ = ( 2, 0) iv) είναι κάθετη στο διάνυσµα δ = (2, 1) v) είναι κάθετη στο διάνυσµα δ = (0, 2) vi) σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία ω = 135 ο 3. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ΑΒ και η γωνία που σχηµατίζει η ΑΒ µε τον άξονα x x αν: i) A(2, 3), B(6, 1) (Aπ. y = x 5, 45 o ) A(2, 3), B(3, 3) (Απ. y = 3, 0 o ) i A(2, 1), B(2, 5) (Aπ. x = 2, 90 o ) 4. ίνονται τα σηµεία του επιπέδου Α(2, 5) και Β(4, 3). Να βρείτε: i) την εξίσωση της ΑΒ i τα σηµεία τοµής της ΑΒ µε τους άξονες τη γωνία που σχηµατίζει η ΑΒ µε τον άξονα x x 3 π (Απ.: i) x + y 7 = 0 (7, 0), (0, 7) i ) 4
Ασκήσεις Ευθεία 1. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε Α(3, 1), Β(2, 1) και Γ(4, 2). Να βρείτε την εξίσωση: i) της διαµέσου Α (Απ. x = 3) του ύψους ΒΕ (Απ. x 3y 5 = 0) i της µεσοκάθετης της πλευράς ΑΒ (Απ. 2x + 4y 5 = 0) 2. ίνονται τα σηµεία Α(3, 1), Β(0, 2) και Γ(1, 0) i) Ν.δ.ο. το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Να βρείτε τις εξισώσεις του ύψους ΓΕ, της διαµέσου Α και το σηµείο τοµής τους. (Απ.: ΓΕ: y = 3x 3, A : y = 1, K(0,1)) 3. ίνονται τα σηµεία Α(4, 2) και Β(3, 5) και ευθεία ε: 7x + y 23 = 0. Να βρεθεί σηµείο Μ της ε ώστε A Mˆ B = 90 ο. (Απ. (3, 2), (4, 5)) 4. Αν οι δύο πλευρές ενός παραλληλογράµµου βρίσκονται στις ευθείες 2x + y + 2 = 0 και x 2y + 6 = 0 και το σηµείο Κ( 1, 2) είναι το κέντρο του να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο άλλων πλευρών του. (Απ. 2x + y + 6 = 0, x 2y 12 = 0) 5. ίνεται ορθογώνιο ΑΒΓ του οποίου οι δύο πλευρές έχουν εξισώσεις ε 1 : y = x + 1 και ε 2 : y = x + 2. Αν η κορυφή Α έχει συντεταγµένες (1, 3) να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του και της διαγωνίου ΑΓ. 6. Αν 3x + y 5 = 0 και x 3y + 5 = 0 είναι οι εξισώσεις δύο πλευρών ενός παραλληλογράµµου ΑΒΓ και Κ(2, 4) είναι το κέντρο του, ν.δ.ο. το ΑΒΓ είναι τετράγωνο. (Απ.: A(1, 2), Γ(3, 6), ΑΒ: 3x + y 5 = 0, Α : x 3y + 5 = 0, B(0, 5)) 7. Ενός τετραγώνου ΑΒΓ η µία κορυφή του είναι Α( 3, 2) και η µία διαγώνιος του βρίσκεται στην ευθεία x 1 = 0. Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του. (Απ.: ΑΒ: x + y + 1 = 0, A : x y + 5 = 0, Γ : x + y 7 = 0, ΒΓ: x y 3 = 0) 8. Ν.δ.ο. για κάθε τιµή του κ R η εξίσωση (κ + 1)x + (κ 4)y + κ 2 3κ + 2 = 0 παριστάνει ευθεία γραµµή. Για ποια τιµή του κ R η ευθεία αυτή: i) είναι παράλληλη στον x x (Απ.: κ = 1) είναι παράλληλη στον y y (Απ.: κ = 4) i διέρχεται από την αρχή των αξόνων (Απ.: κ = 1 ή κ = 2) iv) είναι κάθετη στην ευθεία ε: x 2y + 6 = 0 (Απ.: κ = 9) 9. ίνεται η ευθεία ε: x + 2y 1 = 0 και τα σηµεία Α(2, 1) και Β(α, 3α). Να βρείτε το α ώστε η ευθεία ΑΒ να είναι κάθετη στην ε. (Απ.: α = 3)
Ασκήσεις Ευθεία (Γεωµετρικοί Τόποι) 1. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ(2λ + 3, 3λ + 1) όταν το λ µεταβάλλεται στο R. 2. Οι κορυφές ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι Α(λ, 2λ + 1), Β(2λ 1, 2 λ) και Γ(λ + 3, 3λ), λ R. Να βρεθεί η εξίσωση της γραµµής στην οποία κινείται το κέντρο βάρους του τριγώνου. 3. Ν.δ.ο. το σηµείο Μ(x, y) µε x = 3 + συν2θ και y = 1 +συν 2 θ, θ R βρίσκεται πάνω σε ευθεία. 4. Να βρείτε την εξίσωση της γραµµής στην οποία κινούνται τα σηµεία του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από τα σηµεία Α(1, 2) και Β(3, 2). 5. Αν το σηµείο Α(κ, λ) κινείται σε ευθεία ε: 4x + 5y 9 = 0 να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος του σηµείου Μ(2κ + 1, 5λ 3). 6. ίνονται οι ευθείες ε 1 : (λ + 1)x + 2λy = 2λ και ε 2 : x + 2y = 3. Ν.δ.ο. i) οι ευθείες ε 1 και ε 2 έχουν µοναδικό σηµείο Ρ για κάθε λ R. το σηµείο Ρ κινείται σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση. (Απ. x + 2y 3 = 0) 7. ίνονται τα σηµεία Α(3 λ, λ), Β(2λ, 4 + 3λ) και Γ(λ + 2, 1 λ). i) Ν.δ.ο. τα Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος του Α. (Απ. x + y 3 = 0) 8. ίνονται τα σηµεία Α(2, 0), Β( 1, 1) και Γ(3, 1). Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ(x, y) για τα οποία ισχύει 3(ΜΑ) 2 + (ΜΒ) 2 4(ΜΓ) 2 = 2. (Απ.: 7x 5y 14 = 0) 9. Αν το σηµείο Α(κ, λ) κινείται πάνω στην ευθεία 3x + 5y 3 = 0, να βρείτε το γεωµετρικό τόπο του σηµείου Β(2κ + 1, 5λ 4). (Απ. 3x + 2y 1 = 0) 10. ίνονται οι ευθείες ε 1 : x + 2y + 2κ = 0, ε 2 : 2x + 3y + κ 4 = 0, κ R. i) Ν.δ.ο. οι ε 1 και ε 2 τέµνονται για κάθε κ R. Έστω Μ το κοινό σηµείο των ε 1 και ε 2. Ν.δ.ο. το σηµείο Μ κινείται σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση. (Απ. 3x + 4y 8 = 0) 11. ίνονται τα σηµεία Α(3, 0) και Β(0, 6) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ για τα οποία ισχύει (ΜΑ) 2 (ΜΒ) 2 = 8. (Απ. 6x 12y + 35 = 0)
Ασκήσεις Ευθεία 1. ίνεται η ευθεία ε: x + y 1 = 0 και τα σηµεία Α( 2, 1) και Β(2, 3). Να βρείτε τις συντεταγµένες: i) του συµµετρικού του Α ως προς κέντρο συµµετρίας το Β. (Απ.: Γ(6, 7)) της προβολής του Α πάνω στην ευθεία ε. (Απ.: Κ(0, 1)) i το συµµετρικό του Α ως προς την ευθεία ε. (Απ.: (2, 3)) 2. ίνεται η ευθεία ε: x + 2y 4 = 0. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας της συµµετρικής της ε: i) ως προς τον άξονα x x. (Απ.: x 2y 4 = 0) ως προς τον άξονα y y. (Απ.: x 2y + 4 = 0) i ως προς την αρχή Ο των αξόνων. (Απ.: x + 2y + 4 = 0) 3. Οι εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ είναι ΑΒ: (2 + 3 )x + y 5 = 0, ΒΓ: ( 3 2)x y 1 = 0 και ΑΓ: x + y + 1 = 0. Να βρείτε τις εσωτερικές γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. (Απ.: Α ˆ = Γ ˆ = 30 o και Βˆ = 120 ο ) 4. ίνεται η εξίσωση 3x y 1 + λ(x + y 3) = 0, λ R (1). Ν.δ.ο. i) H εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία. Οι ευθείες που ορίζονται από την (1) διέρχονται από το ίδιο σηµείο. 5. ίνεται η εξίσωση ε: 2x + y 2 + λ(x y + 5) = 0, λ R (1). Ν.δ.ο. i) H εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία. (Aπ. Κ(1, 2)) Οι ευθείες που ορίζονται από την (1) διέρχονται από σταθερό σηµείο. i Να βρείτε την ευθεία ε που είναι κάθετη στην ευθεία ε 1 : x + 2y 4 = 0. (Απ.: K( 1, 4), ε: 2x y + 6 = 0) Ν.δ.ο. για κάθε λ R η εξίσωση (λ + 1)x λy + 3λ 4 = 0 (1) παριστάνει ευθεία γραµµή. Στη συνέχεια ν.δ.ο. όλες οι ευθείες που προκύπτουν από την (1), για τις διάφορες τιµές του λ R, διέρχονται από σταθερό σηµείο. (Απ.: K(4, 7)) 6. Να βρεθεί ο µ R ώστε οι ευθείες µε εξισώσεις (µ + 3)x µy + µ 3 = 0 (1) και (µ + 2)x + (3µ + 4)y 7µ 10 = 0 (2), µ R i) να είναι κάθετες. ν.δ.ο. οι ευθείες (1) και (2) διέρχονται από το ίδιο σταθερό σηµείο. (Απ.: µ = 2 ή µ = 2 3, K(1, 2))
Ασκήσεις Ευθεία 1. ίνεται ορθή γωνία xoy και το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ του οποίου τα άκρα Α(α, 0), Β(0, β) ολισθαίνουν πάνω στις πλευρές Οx και Οy αντίστοιχα, έτσι ώστε α + β = 2. Ν.δ.ο. η µεσοκάθετη της ΑΒ διέρχεται από σταθερό σηµείο. (Απ.:(1,1)) 2. ίνεται η εξίσωση (2κ 2 + 3κ + 1)x (κ 2 + κ + 1)y (κ 2 5κ + 4) = 0 (1), κ R. i) Ν.δ.ο. η (1) παριστάνει ευθεία για κάθε κ R. Να βρείτε τις τιµές του κ R ώστε η ευθεία που παριστάνει η (1) α) διέρχεται από την αρχή των αξόνων. (Απ.: κ = 1 ή κ = 4) β) να είναι παράλληλη στον x x. (Απ.: κ = 1 ή κ = 1/2) 3. Ν.δ.ο. η εξίσωση x 2 y 2 2x 4y 3 = 0 παριστάνει δύο ευθείες που είναι κάθετες µεταξύ τους. (Απ.: ε 1 : x y 3 = 0, ε 2 : x + y + 1 = 0) 4. Ν.δ.ο. η εξίσωση x 2 + y 2 + 2xy 3x 3y + 2 = 0 παριστάνει δύο ευθείες παράλληλες. (Απ.: x + y 1 = 0, x + y 2 = 0) 5. Να βρεθεί το εµβαδόν της επιφάνειας που περιέχεται µεταξύ του άξονα x x και της γραµµής x 2 y 2 + x y = 0. 6. Για ποια τιµή του α η εξίσωση 4x 2 + 8xy + αy 2 = 9 παριστάνει δύο ευθείες παράλληλες. (Απ.: α = 4) 7. Ν.δ.ο. η εξίσωση 2x 3 + 3x 2 y 3x 2 + xy 2 + x 2xy = 0 παριστάνει τρεις ευθείες που διέρχονται από το ίδιο σηµείο. (Απ.: x = 0, x + y 1 = 0, 2x + y 1 = 0) 8. Να βρεθεί η γωνία των ευθειών ε 1 : 5x + 3 = 0, ε 2 : 2 3 x 2y + 7 = 0. (Απ.: π/6) 9. ίνονται οι ευθείες ε 1 : λx 2y 1 = 0 και ε 2 : 6x 4y µ = 0. Να βρείτε τα λ, µ R ώστε οι ε 1, ε 2 : i) να τέµνονται να είναι παράλληλες i να συµπίπτουν (Απ.: i) λ 3, λ = 3, µ 2, i λ = 3, µ = 2) 10. ίνονται οι ευθείες ε 1 : λx + (2λ + 3)y + λ + 6 = 0 και ε 2 : (2λ + 1)x + (λ 1)y + λ 2 = 0. Να βρείτε το λ ώστε οι δύο ευθείες να τέµνονται σε σηµείο του άξονα y y. (Απ.: λ = 0 ή λ = 6) 11. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Μ(1, 2) και σχηµατίζει µε τους θετικούς ηµιάξονες τρίγωνο εµβαδού 4 τ.µ. (Απ.: y = 4 2x) 12. ίνονται τα σηµεία Α(α, 0) και Β(0, 3α) µε α 0. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα α και β και σχηµατίζει µε τους άξονες τρίγωνο µε εµβαδόν 24 τ.µ. (Απ.: 3x + y 12 = 0 ή 3x + y + 12 = 0
Ασκήσεις Ευθεία (Κατασκευή Τριγώνου) 1. Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται οι κορυφές του Α(2, 1) και Β(4, 1). Αν το ορθόκεντρό του είναι το σηµείο Η(3, 5) να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του. (Απ.: ΑΒ: x + y 3 = 0, BΓ: x 6y + 4 = 0, AΓ: x + 4y = 0) 2. Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται οι κορυφές του Α(1, 3) και Β(5, 1). Αν το βαρύκεντρο του είναι G(2, 2) να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του. (Απ.: ΑΒ: x + 2y 7 = 0, BΓ: x + 5y 10 = 0, AΓ: x y + 2 = 0) 3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ: x + 2y 7 = 0 και ΑΓ: x y + 2 = 0. Αν το βαρύκεντρο του είναι G(2, 2) να βρεθούν οι συντεταγµένες των κορυφών του. (Απ.: Α(1, 3), Β(5, 1), Γ(0, 2)) 4. Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε Γ(3, 1) τα δύο ύψη του έχουν εξισώσεις Α : 2x + y = 1 και ΒΕ: x 3y = 0. Να βρεθούν οι κορυφές Α και Β. (Απ.: Α(7, 13), Β(15, 5)) 5. Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται η κορυφή Α(1, 3) η διάµεσος Β : x 2y + 1 = 0 και η διάµεσος ΓΕ: y 1 = 0. Να βρεθούν οι κορυφές Β και Γ. (Απ.: Β(5, 1), Γ( 3, 1)) 6. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε Α(1, 4), διάµεσο Β : y = 6 και ύψος ΓΕ: x + y = 1. Να βρεθούν οι κορυφές Β και Γ. (Απ.: Β(3, 6), Γ( 7, 8)) 7. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε Α(4, 1), διχοτόµο Β : x = 1 και διχοτόµο ΓΕ: x y = 1. Να βρεθούν οι κορυφές Β και Γ. (Απ.: Β(1, 5), Γ( 4, 5)) 8. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Β( 1, 3), ύψος Α : x + 2y = 4 και διχοτόµο ΑΕ: x + y = 3. Να βρεθούν οι κορυφές Α και Γ. (Απ.: Α(2, 1), Γ( 2/7, 31/7)) 9. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Β( 2, 1), διχοτόµος Α : 2x + y = 0, διάµεσος ΑΜ: 3x y + 5 = 0. Να βρεθούν οι κορυφές Α και Γ. 10. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(3, 1), ορθόκεντρο Η(6, 2) και µεσοκάθετη της ΑΒ την ε: x + 3y 26 = 0. Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του. (Απ.: ΑΒ: y = 3x 8, AΓ: x + 11y 14 = 0 και ΒΓ: 3x + y 34 = 0) 11. ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ. Πάνω στις πλευρές ΒΓ, Γ παίρνουµε δύο σηµεία Μ και Ν ώστε ΒΜ = ΓΝ. Ν.δ.ο. ΑΜ ΒΝ. 12. Σε παραλληλόγραµµο ΑΒΓ φέρνουµε ευθεία κάθετη στη ΒΓ στο σηµείο Γ και ευθεία κάθετη στην ΑΒ στο σηµείο Α οι οποίες τέµνονται σ ένα σηµείο Ε. Ν.δ.ο. Ε ΑΓ. 13. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α, Γ σηµεία του x x και Β σηµείο του y y. Η κάθετη από το Γ στην ΑΒ τέµνει τον y y στο. Ν.δ.ο. Α ΒΓ.
Ασκήσεις Απόσταση Σηµείου από Ευθεία και Εµβαδόν Τριγώνου 1. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α( 2, 1) και απέχει από την αρχή των αξόνων 2 µονάδες. (Απ.: x = 2, 3x 4y + 10 = 0) 2. Έστω ευθεία ε: x + y 4 = 0. Να βρείτε το σηµείο της ε που απέχει από την αρχή των αξόνων ελάχιστη απόσταση. Ποια είναι η απόσταση αυτή; (Απ.: (2,2), 2 2 ) 3. Να βρεθεί η τιµή του µ ώστε η απόσταση του σηµείου Α(1, 2) από την ευθεία ε: 4x + 3y + µ = 0 να είναι 2 µονάδες. (Απ.: µ = 12 ή µ = 8) 4. Να βρεθεί η τιµή του κ R ώστε το σηµείο Α(3, κ) να ισαπέχει από το σηµείο Β(2, 2) και την ευθεία ε: x + y 2 = 0. (Απ.: κ = 1 ή κ = 9) 5. Να βρεθεί ευθεία παράλληλη στην ε: 3x 4y + 1 = 0 και η οποία να απέχει 3cm από το σηµείο Α( 1, 2). (Απ.: 3x 4y + 26 = 0 ή 3x 4y 4 = 0) 6. Να βρείτε τα σηµεία της ευθείας ε: x + y 1 = 0 των οποίων η απόσταση από την ευθεία η: 3x + 4y 2 = 0 να είναι ίση µε 2 µονάδες. (Απ.: Α( 8, 9), Β(12, 11)) 7. ίνονται τα σηµεία Α(0, 1), Β( 4, 3) και Γ(2, 3). Να βρεθούν: i) οι ευθείες που περνούν από το Α και ισαπέχουν από τα σηµεία Β και Γ το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Απ.: i) x y 1 = 0, x + y + 1 = 0 6 τ.µ.) 8. ίνονται οι ευθείες ε 1 : 3x + 4y + 6 = 0, ε 2 : 3x + 4y 14 = 0. i) ν.δ.ο. ε 1, ε 2 παράλληλες να βρείτε την απόσταση των ε 1 και ε 2 (Απ.: d = 4) i να βρείτε το εµβαδόν του τετραγώνου του οποίου οι δύο πλευρές βρίσκονται πάνω στις ευθείες ε 1 και ε 2 (Απ.: Ε = 16 τ.µ.) iv) να βρείτε την εξίσωση της µεσοπαράλληλης ευθείας (Απ.: 3x + 4y 4 = 0) 9. Να βρεθούν οι εξισώσεις των διχοτόµων των γωνιών που σχηµατίζουν οι ευθείες ε 1 : x + 3y + 2 = 0 και ε 2 : 3x y + 4 = 0. (Απ. x 2y + 1 = 0, 2x + y + 3 = 0) 10. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α( 1, 0), Β(3, 2) και Γ( 3, 4). i) Να υπολογίσετε τις γωνίες του (Απ. Αˆ = π/2, Β = Γ = π/4) Να βρείτε την εξίσωση της διχοτόµου Α (Απ.: 3x y + 3 = 0) i Να βρείτε το µήκος της διχοτόµου Α. 11. ίνονται τα σηµεία Α(1, 1) και Β(2, 5). Στην εξίσωση ε: y = 2x + α να βρείτε την τιµή του α ώστε τα σηµεία Α και Β να ισαπέχουν από την ευθεία ε. (Απ. α = 0)
Ασκήσεις Απόσταση Σηµείου από Ευθεία και Εµβαδόν Τριγώνου 1. Να υπολογίσετε το εµβαδόν παραλληλογράµµου ΑΒΓ του οποίου οι τρεις κορυφές είναι τα σηµεία Α( 2, 3), Β(4, 5), Γ( 3, 1). (Απ.: 20 τ.µ.) 2. Να βρείτε το εµβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΓ αν Α(2, 1), Β(4, 1), Γ( 4, 1) και ( 1, 3). (Απ.: 24 τ.µ.) 3. ίνονται τα σηµεία Α(1, 2) και Β( 2, 3). Να βρείτε σηµείο Μ του άξονα y y για το οποίο το εµβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ είναι ίσο µε 5 τ.µ. (Απ.: (0, 1), (0,17/3)) 4. ίνονται τα σηµεία Α(1, 1), Β(5, 5) και η ευθεία ε: x 2y 1 = 0. Να βρείτε σηµείο Ρ της ε ώστε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΡ να είναι 4 τ.µ. (Απ. Ρ(3, 1) ή Ρ( 5, 3)) 5. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το σηµείο Α( 1, 4) και σχηµατίζει µε τους άξονες τρίγωνο εµβαδού 1 τ.µ. (Απ. y = 2x + 2 ή y = 8x 4) 6. Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει κορυφή το σηµείο Α(1, 2). Η βάση του βρίσκεται στην ευθεία x + 2y 10 = 0 και το εµβαδόν του είναι 5 τ.µ. Να βρείτε τις κορυφές Β και Γ. (Απ.: Β(4, 3), Γ(0, 5)) 7. Οι συντεταγµένες δύο κινητών Ρ 1 και Ρ 2 για κάθε χρονική στιγµή t (σε s) είναι Ρ 1 (t, t + 3) και Ρ 2 (2t 5, t + 1). Να βρείτε : i) ποιες είναι οι συντεταγµένες του Ρ 2, όταν το Ρ 1 έχει συντεταγµένες (1, 4). την απόσταση των κινητών τη χρονική στιγµή t = 2s και τις συντεταγµένες του µέσου του τµήµατος Ρ 1 Ρ 2 αυτήν τη χρονική στιγµή. i τις εξισώσεις των γραµµών πάνω στις οποίες κινούνται τα δύο κινητά. iv) το σηµείο συνάντησης των δύο κινητών. v) Το εµβαδόν του τριγώνου ΟΡ 1 Ρ 2 που σχηµατίζεται όταν t = 3s. (Απ.: i) Ρ 2 ( 3,2) d= 13, M(1/2,4) i y =x + 3, y = 2 1 x + 2 7 iv)ρ(1,4) v) 3τ.µ.) 8. i) Αν ε 1 : Ax + By + Γ 1 = 0 και ε 2 : Αx + By + Γ 2 = 0 ευθείες παράλληλες, ν.δ.ο.η απόστασή τους d = Γ 1 Γ2 Α 2 + Β 2 και η µεσοπαράλληλη ευθεία των ε 1 και ε 2 θα έχει εξίσωση Αx + By + Γ 1+ Γ 2 2 = 0. ίνονται οι ευθείες ζ 1 : 5x 12y 65 = 0 και ζ 2 : 5x 12y + 26 = 0. Να βρείτε το εµβαδόν του τετραγώνου του οποίου οι δύο πλευρές βρίσκονται πάνω στις ζ 1, ζ 2. (Απ.: 49 τ.µ.)