ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΜΑΖΑΣ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΜΑΖΑΣ Σγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.piras.weebly.c

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Θέμα Βαγνέτ μάζας αρχίζει, σε χρόν =, να κινείται πρς τα δεξιά πό την επίδραση σταθερής ριζόντιας δύναμης F. Τατόχρνα αρχίζει να πρστίθεται στ βαγνέτ άμμς από ένα ακίνητ σε ατό μηχάνημα με σταθερή παρχή λ (kgr/sec). Βρείτε τη χρνική εξέλιξη της ταχύτητας και της επιτάχνσης τ βαγνέτ, θεωρώντας ότι η τριβή είναι αμελητέα. (Τμήμα Ηλεκτρλόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π.) F Επειδή τ βαγνέτ ατό απτελεί σύστημα μεταβλητής μάζας, η γενικεμένη διατύπωση τ νόμ τ Newn δίνει την εξίσωση κίνησής τ : dp d F ex () F d d () όπ d/ =λ είναι η σταθερή αύξηση της μάζας τ βαγνέτ () και d λ d λ () Αντικαθιστώντας τα παραπάνω στην εξίσωση () πρκύπτει : d F ( λ) λ F - λ ( λ d λ) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.piras.weebly.c

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 λ F - λ F λ - n n d F - λ n F F - λ λ λ n λ F F - λ λ F - λ F λ F F λ - () λ λ λ λ F () λ Η επιτάχνση τ βαγνέτ είναι: d F( λ) Fλ F α() α() ( λ) ( λ) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.piras.weebly.c

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Θέμα Μια σφαιρική σταγόνα από χαλάζι πέφτει κατακρύφως λόγω της βαρύτητας, χωρίς αντίσταση από τν αέρα. Λόγω στερεπίησης δρατμών στην επιφάνεια της σφαίρας, η ακτίνα της r αξάνει με ρθμό dr/ = λr, όπ λ είναι μια θετική σταθερά. Η αρχική ακτίνα της σταγόνας είναι α και η αρχική της μάζα. α) Βρείτε τη μάζα της σταγόνας σναρτήσει τ χρόν. β) Βρείτε την ταχύτητα της σταγόνας σναρτήσει τ χρόν. γ) Δείξτε ότι η ταχύτητα της σταγόνας τείνει πρς μια ριακή τιμή ίση με g/λ. (Τμήμα Ηλεκτρλόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π.) α) Η σνάρτηση r() πλγίζεται ως εξής: dr λr r λ n λ r() α dr r r λ αe () α Η μάζα της σφαιρικής σταγόνας μπρεί να εκφραστεί μέσω της σταθερής πκνότητας ρ. 4 4 Οπότε: ρv ρ πα και ρv ρ πr. Διαιρώντας τις παραπάνω κατά μέλη πρκύπτει: () r r λ () e () α α β) Θεωρώντας ως άξνα της κίνησης τν κατακόρφ με φρά πρς τα κά- τω η εξίσωση κίνησης της σταγόνας από τη γενικεμένη διατύπωση τ νόμ τ Newn είναι : dp d F ex () g d d () όπ σύμφωνα με τη () πρκύπτει: d λ λe Επμένως η () γίνεται: g d λe λ g - λe () λ () d ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.piras.weebly.c

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 d d g - λ g - λ λ g - λ g - n g - λ -λ -λ g -λ e g λ ge () ( e ) (4) g λ γ) Από την εξίσωση (4) πρκύπτει ότι όταν τότε e -λ κι επμένως g/ λ. Άρα η ταχύτητα της σταγόνας τείνει στην ριακή τιμή g/λ. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.piras.weebly.c

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Θέμα Δρφόρς κινείται έξω από τ πεδί βαρύτητας και πρσβάλλεται από διαπλανητικά κατάλιπα με ρθμό λ kgr/. Να βρεθεί η ταχύτητά τ σναρτήσει τ χρόν αν για = η μάζα τ είναι και η ταχύτητά τ. (Τμήμα Φσικής Ε.Κ.Π.Α.) Αφύ δρφόρς κινείται έξω από τ πεδί βαρύτητας, η εξίσωση κίνησής τ είναι: dp d() ΣF () Από την () πρκύπτει ότι: = σταθ. δηλαδή p = σταθ. Άρα εξισώνντας την αρχική ρμή και την ρμή σε μια τχαία θέση τ δρφόρ πρκύπτει: () Επίσης η () δίνει: d d d d () Επειδή όμως ρθμός δίνεται σε kgr/ θα ισχύει: Σνεπώς η () λόγω των (),(4) γράφεται: d d d dx λ κι επμένως: λ (4) dx dx d λ λ λ d λ λ λ λ () λ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.piras.weebly.c

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Θέμα 4 Πύραλς εκτξεύεται κατακόρφα πρς τα πάνω σε ένα σταθερό πεδί βαρύτητας έντασης g, απβάλλντας αέρια με σταθερό ρθμό k (kgr/sec). Τα αέρια απβάλλνται με σταθερή ταχύτητα u ως πρς τν πύραλ. Αν τη χρνική στιγμή = η μάζα τ πραύλ είναι και η ταχύτητά τ = να πλγιστύν: α) Η ταχύτητα τ πραύλ σναρτήσει τ χρόν. β) Αν πύραλς βρίσκεται έξω από τ πεδί βαρύτητας και η μόνη εξωτερική δύναμη π ασκείται πάνω τ είναι μια δύναμη τριβής ίση με Τ k (όπ η ταχύτητα τ πραύλ), πια είναι σε ατή τη περίπτωση η ταχύτητα τ πραύλ σναρτήσει τ χρόν; (Τμήμα Χημείας Ε.Κ.Π.Α.) α) Η εξίσωση κίνησης τ πραύλ είναι: όπ ΣF ex g, rel ΣF ex d d rel () u και λόγω ελάττωσης της μάζας d/ = -k. Επίσης η εξάρτηση της μάζας από τ χρόν είναι: Σνεπώς η () δίνει: d k d -k () - k. d d uk uk g ( u)(-k) g g () k uk d g k k k k uk n g () u n g ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.piras.weebly.c

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 β) Στην περίπτωση ατή είναι F k ex και η () γίνεται: k d uk d k( - u) k k d ( - u) n - u - u k n - u - u k u u u( k) u - ( k) ( ) uk ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.piras.weebly.c

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Θέμα 5 Ένα φρτηγό π αρχικά έχει μάζα και ταχύτητα κινείται με σβησμένη τη μηχανή τ εθύγραμμα χωρίς τριβές. Στ σημεί x = αρχίζει να βρέχει. Η βρχή πέφτει κατακόρφα στ φρτηγό με σταθερό ρθμό λ (kgr/sec). Υπλγίστε την ταχύτητα και τη θέση τ φρτηγύ σναρτήσει τ χρόν. (Τμήμα Φσικής Αθήνας) Θεωρώντας ότι αρχίζει να βρέχει τη χρνική στιγμή = τ φρτηγό απτελεί σύστημα μεταβλητής μάζας και ισχύει: F ex dp d () d d d d d d d d n n n () Αλλά: d λ d λ () λ πότε η () δίνει: Από τν ρισμό της ταχύτητας: () λ x dx () dx x() n λ λ λ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.piras.weebly.c

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Θέμα 6 Μια βάρκα μάζας Μ αναρρφά νερό από τη θάλασσα και τ πετάει όλ πρς τα πίσω με ταχύτητα u ως πρς τη βάρκα και με ρθμό μ kgr/sec. Αν η αντίσταση τ νερύ στην κίνηση της βάρκας έχει μέτρ k, όπ η ταχύτητα της βάρκας και k θετική γνωστή σταθερά, πλγίστε την ταχύτητα της βάρκας () αν η βάρκα αρχικά ηρεμεί. (Τμήμα Πληρφρικής Αθήνας) Επειδή η βάρκα αναρρφά τ νερό και τατόχρνα τ εκτξεύει πρς τα πίσω, η μάζα της δεν μεταβάλλεται αλλά είναι σταθερή και ίση με Μ. Αφύ μας δίνεται η σχετική ταχύτητα re u τ νερύ ως πρς τη βάρκα και d/=μ (αφύ η μάζα ελαττώνεται καθώς εκτξεύεται τ νερό πρς τα πίσω) η εξίσωση κίνησης ατής θα δίνεται από τη σχέση: d d d d Fex re k ( u)( ) u k d u k k k n n u k k u u k k u e ( ) e u k k ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.piras.weebly.c

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Θέμα 7 Ένας κόκκς σκόνης αρχίζει να πέφτει ( = ) πό την επίδραση της βαρύτητας σε περιχή κρεσμένη από δρατμύς. Οι δρατμί σμπκνώννται πάνω στν κόκκ με σταθερό ρθμό λ (kgr/) και δημιργύν έτσι μια σταγόνα νερύ με αξανόμενη μάζα. α) Να βρεθεί η επιτάχνση της σταγόνας ως σνάρτηση της ταχύτητας και της απόστασης π διένσε. β) Με βάση την έκφραση π βρέθηκε για την επιτάχνση, να διατπωθεί η εξίσωση κίνησης της σταγόνας. (Τμήμα Μηχανλόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π.) Αφύ κόκκς απτελεί σύστημα μεταβλητής μάζας θα ισχύει για την κίνησή τ η γενικεμένη διατύπωση τ νόμ τ Newn. Δηλαδή, θεωρώντας ως άξνα της κίνησης τν κατακόρφ άξνα με φρά πρς τα κάτω πρκύπτει: dp d d d F ex () g () Επειδή ρθμός μεταβλής της μάζας δίνεται σε kgr/ είναι λ = d/dy κι επμένως: d d dy λ () dy Η μάζα σναρτήσεις τ ύψς y βρίσκεται από τη σχέση: y d λ d λ dy λy dy () Άρα η () λόγω των () και () δίνει: g d λ d λ g α d λ g λy α g y β) Λαμβάνντας πόψη ότι η επιτάχνση είναι α d y / και η ταχύτητα είναι dy / η παραπάνω έκφραση της επιτάχνσης δίνει την εξίσωση κίνησης της σταγόνας : d y g dy y d y dy y gy ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.piras.weebly.c

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Θέμα 8 Μια ρκέτα αρχικής μάζας Μ εκτξεύεται κατακόρφα πρς τα πάνω από την ηρεμία χάρις στην εκτόνωση αερίων (πρς τα κάτω) με ταχύτητα u ως πρς τη ρκέτα και ρθμό εκτόνωσης α (kgr/sec). Να πλγιστεί η ταχύτητα ανόδ της ρκέτας ως πρς τ έδαφς σναρτήσει τ χρόν πθέτντας ότι για μικρά ύψη (πάνω από την επιφάνεια της γης) η επιτάχνση της βαρύτητας g είναι σταθερή. (Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ε.Μ.Π.) Η ρκέτα ατή απτελεί σύστημα μεταβλητής μάζας και η μόνη δύναμη π επιδρά σε ατή είναι η δύναμη της βαρύτητας. Θεωρώντας ως άξνα της κίνησης τν κατακόρφ με θετική φρά πρς τα πάνω, από την εξίσωση κίνησης πρκύπτει: F d ex re d g d u( α) uα g d d uα g d uα g () Επειδή η μάζα της ρκέτας μειώνεται είναι: d α d α () α Άρα η () δίνει: d uα g α d uα g α uα α n g () u n g α α ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.piras.weebly.c

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Θέμα 9 Διαστημόπλι μάζας Μ έχει διατμή S και κινείται εκτός πεδί βαρύτητας. Στ διαστημόπλι πρσκλλάται διαστημική σκόνη με ρθμό d/ = c, όπ η ταχύτητα τ διαστημπλί και c θετική σταθερά. Εάν ρ είναι η πκνότητα της ατμόσφαιρας και τ διαστημόπλι έχει αρχική ταχύτητα, να πλγίσετε: α) την τιμή της σταθεράς c, β) να βρείτε τη διαφρική εξίσωση κίνησης, γ) να την επιλύσετε ως πρς, δ) να πλγίσετε τ χρόν π απαιτείται ώστε να επιβραδνθεί τ διαστημόπλι στ 8% της αρχικής τ ταχύτητας. (Τμήμα Αγρνόμων Τπγράφων Μηχανικών Ε.Μ.Π.) α) Από τν ρισμό της πκνότητας της ατμόσφαιρας πρκύπτει: d d d d c ρ c c ρs () dv Sdx dx S S S S β,γ) Αφύ τ διαστημόπλι κινείται εκτός πεδί βαρύτητας, ς νόμς τ Newn δίνει: dp d F ex () () Δηλαδή: Μ = σταθ. () Επίσης η () δίνει: d d d c (),() d ρs d ρs ρs ρs ρs ρs ρs ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.piras.weebly.c

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 () ρs δ) Για να είναι =,8 σύμφωνα με την τελεταία πρέπει:,8 ρs,64 ρs,64( ρs ),6 9,8ρS,6,8ρS ρs ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.piras.weebly.c

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Θέμα Κύλινδρς λισθαίνει σε χινισμένη πλαγιά π σχηματίζει γωνία φ με τ ριζόντι επίπεδ. Κατά την πρεία τ στν κύλινδρ κλλάει χιόνι και η μάζα τ αξάνει σύμφωνα με τη σχέση kr, όπ k θετική σταθερά. Αν η αρχική ακτίνα τ κλίνδρ είναι R και η αρχική τ ταχύτητα να πλγιστεί η χρνική εξάρτηση της ακτίνας τ με τ χρόν R = R() έτσι ώστε ατός να κινείται με σταθερή ταχύτητα. (Κατατακτήριες εξετάσεις Τπγράφων Μηχανικών Ε.Μ.Π.) gsinφ g φ Αφύ κύλινδρς κινείται σε χινισμένη πλαγιά δεν θα ασκείται τριβή κι επμένως θα λισθαίνει. Επίσης, για να κινείται με σταθερή ταχύτητα θα πρέπει η επιτάχνσή τ να d είναι α. Έτσι στν κύλινδρ ασκείται τ βάρς τ και σγκεκριμένα η σνιστώσα gsinφ πρκαλεί την κίνησή τ. Επμένως, επειδή είναι σύστημα μεταβλητής μάζας η γενικεμένη διατύπωση τ νόμ τ Newn δίνει: F ex dp d d g sin φ d Αλλά: d g sin φ () d dr kr και παραγωγίζντάς την ως πρς τ χρόν: kr Οπότε η () δίνει: kr gsin φ kr dr R R dr R gsin φ n R R gsin φ R() R e gsin φ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.piras.weebly.c