ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 5.. Εισαγωγή Η παρουσία εξωτερικών διεγέρσεων σε ένα σύστηµα πολλών Β.Ε. δηµιουργεί σ' αυτό εξαναγκασµένη ταλάντωση που διαρκεί όσο και η δράση αυτών των διεγέρσεων. Από την άποψη των.ε. που περιγράφουν την κίνηση, αυτές παύουν πλέον να είναι οµογενείς και η επίλυση τους µε συµβατικούς τρόπους είναι δύσκολη εργασία µε δυσκολία που αυξάνει όσο αυξάνεται ο αριθµός των Β.Ε. του συστήµατος. Οι µη οµογενείς γραµµικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης έχουν λύσεις που είναι αθροίσµατα των λύσεων των οµογενών.ε. 57 και των ειδικών λύσεων η µορφή των οποίων εξαρτάται από τις διεγέρσεις. 58 Ο προσδιορισµός των λύσεων αυτών σε ένα πολυβάθµιο σύστηµα παρουσιάζει διαφορετικούς βαθµούς πολυπλοκότητας που εξαρτάται από την φύση του συστήµατος. Έτσι π.χ. η µέθοδος των απροσδιορίστων συντελεστών µπορεί να χρησιµοποιηθεί για µικρό πλήθος Β.Ε. ενώ η µέθοδος των µετασχηµατισµών Laplace παρουσιάζει µικρή χρησιµότητα διότι απαιτεί την λύση ενός συστήµατος εξισώσεων στο οποίο οι συντελεστές είναι συναρτήσεις της µεταβλητής µετασχηµατισµού. Μια άλλη µέθοδος που έχει αποδειχθεί αρκετά εύχρηστη και σχετικά απλή είναι η µέθοδος της µορφικής ανάλυσης η οποία βασίζεται στην χρήση του θεωρήµατος της επέκτασης (βλ. σχετικά τις ενότητες 4.6. 4.8) και των κυρίων συντεταγµένων. Βάσει των τελευταίων οι αρχικά συζευγµένες.ε. καταλήγουν σε ένα σύστηµα αποσυζευγµένων.ε. που µπορούν εύκολα να λυθούν. Τέλος υπάρχουν πάντα αριθµητικές µέθοδοι όπως π.χ. η µέθοδος Ruge-Kutta που µπορούν να χρησιµοποιηθούν για επιλύσουν το αρχικό σύστηµα των διαφορικών εξισώσεων. 57 Οι λύσεις των οµογενών εξαρτώνται αποκλειστικά από τις ιδιότητες του συστήµατος και όχι από τα χαρακτηριστικά των διεγέρσεων. 58 Για µία µελέτη του θέµατος µέσω της ανάλυσης του συστήµατος ενός βαθµού ελευθερίας βλ. σχετικά στην ενότητα.5.

94 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 5.. Η µέθοδος των απροσδιόριστων συντελεστών Η µέθοδος αυτή µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον προσδιορισµό των ειδικών λύσεων σε περιπτώσεις συστηµάτων εξαναγκασµένες αρµονικές ταλαντώσεις 59 βαθµών ελευθερίας που εκτελούν απουσία ή παρουσία απόσβεσης. Στην πορεία της λύσης απαιτείται η λύση ενός συνόλου εξισώσεων που καθίσταται δυσκολότερη όσο αυξάνεται το πλήθος των βαθµών ελευθερίας. Έστω καταρχήν ότι δεν λαµβάνεται υπόψη η απόσβεση του συστήµατος. Τότε οι.ε. που περιγράφουν τις εξαναγκασµένες ταλαντώσεις υπό αρµονική διέγερση θα προκύψουν από την σχέση (3.6) και θα είναι: (N) (5.) [ M ]{} x + [ K]{} x = { F}() h t όπου{ F }(N) είναι ένα ( ) διάνυσµα που έχει ως στοιχεία τα εύρη των διεγέρσεων και ht () (sec) είναι µια χρονική αρµονική συνάρτηση, π.χ. s( ω t). Θέτοντας λοιπόν ht () s( ωt) =, η λύση της (5.) θα έχει την µορφή: Με αντικατάσταση της (5.) στην (5.) θα προκύψει: {} x = { X}() h t (5.) [ M ] ω + [ K] { Χ} = { F} (N) (5.3) Η παραπάνω σχέση αναπαριστά ένα µη οµογενές σύστηµα εξισώσεων ως προς { X }. Το σύστηµα αυτό έχει µία και µοναδική λύση όταν και η λύση αυτή θα είναι: det [ M] [ K] [ I] { Χ} = [ M ] ω + [ K] { F} (5.4) Εάν ληφθεί υπόψη και η απόσβεση 6 µέσω του αντίστοιχου πίνακα αποσβέσεων [ C ], τότε η σχέση (5.) γράφεται ως εξής: [ M ]{} x + [ C]{} x + [ K]{} x = { F}() h t (N) (5.5) η οποία όµως παρουσιάζει αρκετές δυσκολίες στην επίλυσή της. 59 λόγω αρµονικών διεγέρσεων 6 Εδώ λαµβάνεται υπόψη η περίπτωση της ιξώδους απόσβεσης. Η περίπτωση της αναλογικής απόσβεσης εξετάζεται σε συνδυασµό µε την µέθοδο της µορφικής ανάλυσης (βλ. παρακάτω).

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 95 5.3. Η µέθοδος της µορφικής ανάλυσης Οι διαφορικές εξισώσεις (5.) εκφράζουν την ταλάντωση ενός συστήµατος Β.Ε. υπό την επίδραση εξωτερικών διεγέρσεων και απουσία οποιασδήποτε µορφής απόσβεσης. Εάν υποτεθεί ότι έχει ήδη επιλυθεί το πρόβληµα του προσδιορισµού των ιδιοτιµών και ιδιοµορφών, τότε σύµφωνα µε το θεώρηµα της επέκτασης (βλ. σχέση (4.8)) θα είναι: { } σ { } {} x xt () () t X = = (m) (5.6) όπου πλέον οι συντελεστές της παραπάνω σχέσης είναι συναρτήσεις του χρόνου επειδή η µετατόπιση του συστήµατος που εκφράζεται µε το διάνυσµα { x } είναι συνάρτηση του χρόνου. Εάν χρησιµοποιήσουµε τον µορφικό πίνακα [ X ], τότε, σύµφωνα µε την σχέση (4.39) θα είναι: = { x() t } [ X]{ () t } = σ (5.7) Με βάση την σχέση (5.6) οι διαφορικές εξισώσεις (5.) θα γίνουν: Έστω ότι { } = = { } { } σ ()[ t M] X + σ ()[ t K] X = { F} h() t (N) (5.8) X µία ιδιοµορφή. Πολλαπλασιάζοντας µε { } T προκύπτουν εσωτερικά γινόµενα στα αθροίσµατα: T T σ ( t) { X} [ M]{ X} { } [ ]{ } σ t X K X = = ({ } ) { } T { } = { } ( ) ( ) [ M] [ K] = = X τα µέλη της (5.8) σ () t X,{ X} + σ () t X,{ X} = (N) (5.9) X { F} ht X,{ F} ht + = Η ανωτέρω σχέση σε συνδυασµό µε τις σχέσεις (4.6), (4.3) και (4.33) θα δώσει: όπου { } ( ) σ t ωσ t e t (5.) + =, =,,..., e () t = X,{ F } h () t. Η παραπάνω διαφορική εξίσωση είναι αποσυζευγµένη και µπορεί πλέον να λυθεί µόνο ως προς την κύρια συντεταγµένη σ () t.

96 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Η παραπάνω ανάλυση βασίζεται στην παραδοχή ότι ο πίνακας µορφών [ X ] απαρτίζεται από στήλες-ιδιοµορφές και η προκύπτουσα λύση είναι ακριβής. Είναι δυνατόν να χρησιµοποιήσουµε λιγότερες από ιδιοµορφές π.χ. m, όπου m<, οπότε η σχέση (5.6) τροποποιείται ως εξής: { } σ { } {} x xt () () t X m = = (m) (5.) Στην σχέση (5.7) η διάσταση του πίνακα [ X ] είναι τώρα ( m) και του διανύσµατος { σ } είναι ( m ), ενώ το πλήθος των.ε. που εκφράζονται µε την (5.) θα είναι ίσο προς m. Είναι προφανές ότι εάν ευρεθεί η λύση χρησιµοποιώντας µόνο τις m ιδιοµορφές, τότε θα πρόκειται για προσεγγιστική και όχι ακριβή λύση του προβλήµατος. Επιστρέφοντας στις.ε. της σχέσης (5.), οι λύσεις τους προσδιορίζονται εύκολα µέσω των διαθέσιµων µεθόδων. Εάν οι αρχικές συνθήκες είναι µηδενικές 6 τότε µπορεί να χρησιµοποιηθεί το ολοκλήρωµα συνέλιξης που θα δώσει: ω = t σ ( t) = e ( τ)s ω ( t τ) dτ, =,,... (5.) Μετά τον προσδιορισµό του διανύσµατος { σ } µπορεί να χρησιµοποιηθεί η σχέση (5.7) για να προσδιορισθεί το αρχικά ζητούµενο διάνυσµα των µετατοπίσεων. Εάν οι αρχικές συνθήκες είναι µη µηδενικές τότε αυτές θα εκφράζονται µε τα διανύσµατα { x } και t= { x } t=. Μέσω των σχέσεων (4.39) µπορούν να προσδιορισθούν οι αρχικές συνθήκες σ ( t = ) και σ ( t = ) για κάθε =,,..., και εποµένως µπορεί να προκύψει η πλήρης λύση για το σ () t για κάθε =,,...,. Μετά τον προσδιορισµό του διανύσµατος { σ } µπορεί να χρησιµοποιηθεί και πάλι η σχέση (5.7) για να προσδιορισθεί το αρχικά ζητούµενο διάνυσµα των µετατοπίσεων. ΑΣΚΗΣΗ 3 Για το σύστηµα του σχήµατος ζητούνται οι αποκρίσεις των δύο δίσκων όταν επάνω τους δρουν αρµονικές στρεπτικές ροπές γνωστού µεγέθους T = T, T = T (Nm). Οι σταθερές ελατηρίου των τµηµάτων της κυλινδρικής ράβδου καθώς και οι 6 Τόσο η µετατόπιση όσο και η ταχύτητα.

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 97 αδράνειες θεωρούνται επίσης ως δεδοµένες. Θεωρήστε την απόσβεση του συστήµατος ως µηδενική. T k T k θ J J Σχήμα Α.3.. Εξαναγκασμένη στρεπτική ταλάντωση συστήματος δυο βαθμών ελευθερίας. ΛΥΣΗ: Οι ιαφορικές Εξισώσεις που περιγράφουν την εξαναγκασµένη στρεπτική ταλάντωση του συστήµατος προκύπτουν εύκολα και είναι: όπου: [ J ]{ θ} + [ K]{ θ} = { T}() h t (Nm) (Α.3.) [ J] είναι ο πίνακας των αδρανειών J J J = = (Kgm ) (Α.3.) [ K] k + k k k k k = = (Nm/rad) (Α.3.3) ο πίνακας στιβαρότητας, { T } (Nm) το διάνυσµα των ευρών των ροπών, ht ()(sec) είναι µια αρµονική χρονική συνάρτηση (εδώ λαµβάνεται ότι ht () = s( ωt) όπου ω (rad/sec) είναι η κυκλική συχνότητα της διέγερσης), ενώ { θ } (m/sec ) και {} θ (m) είναι τα διανύσµατα των γωνιακών επιταχύνσεων και µετατοπίσεων αντίστοιχα. Σύµφωνα µε το θεώρηµα της επέκτασης (βλ. σχέση (4.8)) θα είναι: { t } t { } {} θ = θ() = σ () Θ (m) (Α.3.4) =

98 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ όπου οι συντελεστές σ της παραπάνω σχέσης είναι συναρτήσεις του χρόνου επειδή η µετατόπιση του συστήµατος που εκφράζεται µε το διάνυσµα { θ } είναι συνάρτηση του χρόνου. Ο µορφικός πίνακας [ Θ ] (βλ. άσκηση 3) είναι: [ Θ] Θ Θ.7889.997 Θ Θ J.436.64 = = (Kg -.5 m - ) (Α.3.5) και εποµένως τα διανύσµατα { θ } και { σ } συνδέονται µεταξύ τους µε την σχέση: {} θ [ Θ]{},{} σ σ [ Θ] {} θ = = (Α.3.6) ενώ για τις διεγέρσεις θα είναι: ({ } ) ( ) e () t = Θ,{ T} h() t = { Θ},{ T}s( ωt), =, (Α.3.7) Εποµένως η.ε. (5.) θα γραφεί:. = ή και σ () t + ωσ() t = e () t = { Θ},{ T}s( ωt) (Α.3.8) σ () t + ωσ() t = Θ T + Θ T s( ωt) (Α.3.9) σ ( t) + ωσ( t) =.7889 +.436 Ts( ωt) = 3.59539Ts( ωt) (Α.3.) Η λύση της (Α.3.) δίνεται από την σχέση (.59) ως εξής: F ωf xt = x + sφcos( ω ) t + x + cosφs( ω ) t + m( ω ω ) ω m( ω ) F s( ωt + φ) m ω ( ω ) Στην παραπάνω σχέση και για την τρέχουσα περίπτωση θα είναι: (Α.3.) σ ( t = ) =, σ ( t = ) =, φ =, xt σ ( t), F 3.59539T (Α.3.) και η (Α.3.) θα γραφεί ως: 3.59539ωT 3.59539T σ() t = s( ω t) + s( ωt) ω ( ω ) ( ω ) (Α.3.3)

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 99. = ή και σ () t + ωσ () t = e () t = { Θ},{ T}s( ωt) (Α.3.4) σ () t + ωσ () t = Θ T + Θ T s( ωt) (Α.3.5) σ ( t) + ωσ ( t) =.997.64 Ts( ωt) =.4889Ts( ωt) (Α.3.6) Όµοια µε προηγούµενα η λύση της (Α.3.6) και για: σ ( t = ) =, σ ( t = ) =, φ =, xt σ ( t), F.4889T (Α.3.7) η (Α.3.6) θα γραφεί ως:.4889ωt.4889t σ() t = s( ω t) + s( ωt) ω ( ω ) ( ω ) (Α.3.8) (rad).5.4.3.. ίσκος ίσκος....4.6.8 -. (sec) -. -.3 -.4 -.5 Σχήμα Α.3.. Οι αποκρίσεις του συστήματος των δυο δίσκων υπό εξωτερική διέγερση. Εποµένως σύµφωνα µε την (Α.3.6) θα είναι: 3.59539ωT 3.59539T s( ωt ) + s( ωt) θ ( ) ( ) () t.7889.997 ω ω ω {} θ = = θ() t J.436.64.4889ωT.4889T s( ωt) + s( ωt) ω ( ) ( ω ω ) (Α.3.9) και αντικαθιστώντας τις φυσικές κυκλικές συχνότητες (βλ. άσκηση Α.9), θα είναι:

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3.59539ωT k 3.59539T s( ( 5 7 ) t) + s( ωt) k k 4J k ( 5 7) ( 5 7) ( 5 7) θ() t.7889.997 4J 4J 4J {} θ = = θ () t J.436.64.4889ωT k.4889t s( ( 5 + 7 ) t) + s( ωt) k k 4J ( 5 7) ( 5+ 7) k + 4J 4J ( 5+ 7) 6J (Α.3.) Στο σχήµα Α.3. φαίνονται οι αποκρίσεις των δύο δίσκων για ένα σύστηµα όπου 6 k = 4 (N/m), J =.5 (Kgm ), k T = (Nm), ω.8ω.8 ( 5 7 ) = =. 4J Εάν υποτεθεί ότι το ταλαντούµενο σύστηµα διαθέτει αναλογική απόσβεση, τότε θα είναι: [ C] = r[ k ] + µ [ M ] (Nsec/m) (5.3) όπου τα r και µ είναι σταθερές και η διαφορική εξίσωση (5.) µπορεί πλέον να γραφεί: [ M]{ x} + r[ K ] + µ [ M] { x } + [ K]{ x} = { F} h( t) (N) (5.4) Η ανωτέρω σχέση σε συνδυασµό µε την σχέση (4.8) θα δώσει: [ M ] σ (){ t X} + r[ K] σ (){ t X } + µ [ M] σ (){ t X} + [ K] σ (){ t X} = { F}() h t (N) = = = = Έστω ότι { } X µία ιδιοµορφή. Πολλαπλασιάζοντας µε { } T προκύπτουν εσωτερικά γινόµενα στα αθροίσµατα: T T T { } { } { } T { } { } ({ } ) { } (5.5) X τα µέλη της (5.5) σ () t X [ M]{ X} + rσ () t X [ K]{ X } + µσ () t X [ M]{ X} + = = = ({ } ) σ () t X [ K]{ X} = σ () t X,{ X} + rσ () t X,{ X} + [ M] [ K] = = = T { } ({ } ) µσ ( t) X,{ X} + σ ( t) X,{ X} = X { F} h( t) = X,{ F} h( t) [ M] [ K] = = (5.6) Η ανωτέρω σχέση σε συνδυασµό µε τις σχέσεις (4.6), (4.3) και (4.33) θα δώσει: σ t rω µ σ t ωσ t e t (5.7) + + + =, =,,...,

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ όπου { } ( ) e () t = X,{ F } h () t. Εάν χρησιµοποιήσουµε τον λόγο της µορφικής απόσβεσης της - µορφής, τότε η (5.7) γράφεται: σ t ζωσ t ωσ t e t (5.8) () + () + () = () και αυτό θα ισχύει για κάθε =,,...,. Οι λύσεις των παραπάνω.ε. προσδιορίζονται εύκολα µέσω των διαθέσιµων µεθόδων. Εάν οι αρχικές συνθήκες είναι µηδενικές τότε µπορεί να χρησιµοποιηθεί το ολοκλήρωµα συνέλιξης που θα δώσει: σ ( t) = e ( τ) e s ω ζ ( t τ) dτ, =,,... t ζω ( t τ) ω ζ (5.9) Μετά τον προσδιορισµό του διανύσµατος { σ } µπορεί να χρησιµοποιηθεί η σχέση (5.7) για να προσδιορισθεί το αρχικά ζητούµενο διάνυσµα των µετατοπίσεων. Εάν οι αρχικές συνθήκες είναι µη µηδενικές τότε αυτές θα εκφράζονται µε τα διανύσµατα { x } και t= { x } t=. Μέσω των σχέσεων (4.39) µπορούν να προσδιορισθούν οι αρχικές συνθήκες σ ( t = ) και σ ( t = ) για κάθε =,,..., και εποµένως µπορεί να προκύψει η πλήρης λύση για το σ () t για κάθε =,,...,. Μετά τον προσδιορισµό του διανύσµατος { σ } µπορεί να χρησιµοποιηθεί και πάλι η σχέση (5.7) για να προσδιορισθεί το αρχικά ζητούµενο διάνυσµα των µετατοπίσεων. Εάν ο πίνακας της απόσβεσης δεν µπορεί να εκφρασθεί ως γραµµικός συνδυασµός των πινάκων µαζών και στιβαρότητας, τότε η σχέση (5.3) καθώς και η παραπάνω ανάλυση δεν ισχύουν. Στην περίπτωση αυτή σχηµατίζονται νέοι πίνακες διαστάσεων ( ) και ένα σύστηµα νέων διαφορικών εξισώσεων ως εξής: [] [ M ] [ M] [] {} { x } = [ M ] [ C] = [] [ K] = = { F} { x} * * * [ M],[ K],{ F},{ z} (5.) * * * [ M ]{} z + [ K]{} z = { F} (5.) Το παραπάνω σύστηµα έχει ιδιοτιµές ξ και ιδιοµορφές { Ψ } (βλ. σχετικά την ενότητα 4.9). Εάν οι ιδιοµορφές κανονικοποιηθούν ως προς τον πίνακα µαζών θα ισχύει ότι: * * { Ψ} T [ M ]{ Ψ} { Ψ},{ Ψ} [ M ] = = (5.)

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ενώ σύµφωνα µε την σχέση (4.39) θα είναι για την παρούσα περίπτωση: {} z [ Z]{},{} σ σ [ Z] {} z = = (5.3) όπου [ Z ] θα είναι ο µορφικός πίνακας και {} σ το διάνυσµα των κύριων συντεταγµένων. Εάν αντικαταστήσουµε το { z } στην (5.) βάσει της (5.3) θα είναι: * * * [ M] [ Z]{ σ } + [ K] [ Z]{ σ} = { F} (5.4) Πολλαπλασιάζοντας µε τον πίνακα [ Z ] T και τα δύο µέρη της (5.4) αυτή θα γίνει: * * * * [ Z] T [ M] [ Z]{ σ } + [ Z] T [ K] [ Z]{ σ} = [ Z] T { F} = { E} (5.5) Ο πρώτος όρος στο αριστερό µέρος της (5.5) θα είναι ίσος προς τον µοναδιαίο πίνακα [ I] 6. Όσο αφορά τον δεύτερο αυτός θα είναι ίσος προς ένα νέο πίνακα [ Ω ] ο οποίος είναι διαγώνιος και τα στοιχεία της διαγωνίου του είναι οι ιδιοτιµές ξ του πίνακα * * [ M ] [ K]. Άρα οι.ε. (5.5) θα γίνουν: * (5.6) {} σ + [ Ω]{} σ = { E} και η παραπάνω σχέση εκφράζει ένα σετ.ε. που όµως είναι αποσυζευγµένες και κατά συνέπεια µπορούν να λυθούν χωριστά µε τις µεθόδους που ήδη έχουν αναλυθεί σε προηγούµενες ενότητες. Η τυπική µορφή µιας τέτοιας.ε. θα είναι: σ ξσ = e * ( t), =,,..., (5.7) 6 Πρόταση για παραπέρα εργασία: Να αποδείξετε την αλήθεια αυτού του ισχυρισµού.