Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6 1. (3.9 μονάδες) (α). Η συνάρτηση f(x) έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. Να βρεθεί γραφικά το σημείο ισοελαστικότητας: Ef(x) =± 1. Να γίνει το γράφημα της συνάρτησης Af(x) = f(x) / x. Να βρεθεί μια συνάρτηση που να έχει το γράφημα της f(x). (β). Θεωρούμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης: max{f(x) = p ln(1+ x) x 0 x 1}. Να βρεθούν οι τιμές της θετικής παραμέτρου p> 0, για τις οποίες η λύση είναι συνοριακή: x = 0 ή x = 1 (γ). Θεωρούμε την διαφορική εξίσωση: y = xy x. Να διαπιστωθεί ότι έχει μία σταθερή λύση. Επίσης να βρεθεί η γενική λύση της και να διαπιστωθεί ότι είναι ασταθής. A(x) A(x) Σημείωση. y = α(x)y+ β(x) y= e e β(x)dx όπου A(x) α(x)dx =.. (3.9 μονάδες) 3 (α). Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x, y,p) = p(x+ y) x x y. Το σύστημα {fx = 0, fy = 0} ορίζει πλεγμένα τα {x,y} ως συναρτήσεις της παραμέτρου p. Να βρεθεί το σύστημα, καθώς και η πλεγμένη παράγωγος x (p). (β). Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση f(x,y) = x ln x x ln y είναι ομογενής βαθμού 1 και να επαληθευτεί η αντίστοιχη εξίσωση Euler. (γ). Η συνάρτηση g(x,y) είναι x φθίνουσα, y αύξουσα και οιονεί κυρτή. Να γίνει το γράφημα της κάτω σταθμικής: g(x, y). Επίσης να γίνει το γράφημα της διανυσματικής κλίσης της γραμμικής συνάρτησης f(x, y) = x+ y, και να βρεθεί γραφικά η λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης: max{f(x, y) g(x, y) } Μέρος Β 3.(1.1 μονάδες). Να απαντηθούν τα παρακάτω. (α). Αν το εθνικό εισόδημα Y αυξηθεί %, και ο πληθυσμός L μειωθεί 3%, να εκτιμηθεί η μεταβολή του κατά κεφαλή εισοδήματος y= Y / L. (β). Αν το εισόδημα A του συζύγου αυξηθεί 3% και το εισόδημα B της συζύγου ελαττωθεί 3%, να εκτιμηθεί η μεταβολή του οικογενειακού εισοδήματος C= A+ B. (γ). Έχει βρεθεί ότι αύξηση του επιτοκίου r% κατά μισή μονάδα 0.5 προκαλεί μείωση της κατανάλωσης C κατά %. Επίσης ότι μείωση της κατανάλωσης κατά 1% προκαλεί μείωση των τιμών P κατά 0.5%. Πόσες μονάδες πρέπει να μεταβληθεί το επιτόκιο ώστε οι τιμές να υποχωρήσουν %? 4.(1.1 μονάδες) Δύο προϊόντα παράγονται σε ποσότητες {X, Y} με κόστος C= C(X, Y) και δίνουν έσοδο R= R(X,Y). Θεωρούμε τα παρακάτω δύο προβλήματα βελτιστοποίησης (α), (β), και τις αντίστοιχες λύσεις: (α). r() = max{r(x, y) C(x, y) = } & π = max{π() = r() } x,y,r,,π x,y (β). Π = max{π= R(X,Y) C(X,Y)} X,Y,R,C,Π X,Y Να ερμηνευτούν τα δύο προβλήματα, να διατυπωθούν οι εξισώσεις των αναγκαίων συνθηκών 1ης τάξης και να διαπιστωθεί ότι έχουν τις ίδιες λύσεις: {X = x,y = y,π = π }
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6. Λύσεις Μέρος Α 1. (4 μονάδες) (α). Η συνάρτηση f(x) έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. Να βρεθεί γραφικά το σημείο ισοελαστικότητας: xɶ. Να γίνει το γράφημα της συνάρτησης Af(x) = f(x) / x. Να βρεθεί μια συνάρτηση που να έχει το γράφημα της f(x). (β). Θεωρούμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης: max{f(x) = p ln(1+ x) x 0 x 1}. Να βρεθούν οι τιμές της θετικής παραμέτρου p> 0, για τις οποίες η λύση είναι συνοριακή: x = 0 ή x = 1 (γ). Θεωρούμε την διαφορική εξίσωση: y = xy x. Να διαπιστωθεί ότι έχει μία σταθερή λύση. Επίσης να βρεθεί η γενική λύση της και να διαπιστωθεί ότι είναι ασταθής. A(x) A(x) Σημείωση. y = α(x)y+ β(x) y= e e β(x)dx όπου A(x) α(x)dx Λύση. (α). f(x) = α+ βx με α> 0,β > 0 =. Af(x) xɶ xɶ p p (β). Η συνάρτηση είναι κοίλη με f (x) = f (0) = p w, f (1) = 1+ x Η λύση θα είναι συνοριακή αν {f (0) 0η f (1) 0} {p ηp 4} (γ). Αντικαθιστώντας σταθερή λύση y= A, βρίσκουμε: 0= xa x A= 1. Επομένως έχει τη σταθερή τιμή y = 1. Εφόσον η εξίσωση είναι γραμμική και έχουμε μία λύση, για να βρούμε τη γενική αρκεί να προσθέσουμε τη συμπληρωματική συνάρτηση, δηλαδή τη γενική λύση της αντίστοιχης ομογενούς: (x / )dx σ x / 4 y = xy y = e = e σ x / 4 Επομένως η γενική λύση είναι: y= y + y = 1+ e Παρατήρηση. Εναλλακτικά μπορούμε να εφαρμόσουμε το γενικό τύπο με α(x) = x /,β = x / A = (x / )dx= x / 4,. (4 μονάδες) (α). Θεωρούμε τη συνάρτηση x / 4 x / 4 x / 4 x / 4 x / 4 y= e ( x / )e dx= e [e + ] = 1+ e 3 f(x, y,p) p(x y) x x y = +. Το σύστημα {fx = 0, fy = 0} ορίζει πλεγμένα τα {x,y} ως συναρτήσεις της παραμέτρου p. Να βρεθεί το σύστημα, καθώς και η πλεγμένη παράγωγος x (p). (β). Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση f(x, y) = xlnx xln y είναι ομογενής βαθμού 1 και να επαληθευτεί η αντίστοιχη εξίσωση Euler. (γ). Η συνάρτηση g(x,y) είναι x φθίνουσα, y αύξουσα και οιονεί κυρτή. Να γίνει το γράφημα της κάτω σταθμικής: g(x, y). Επίσης να γίνει το γράφημα της διανυσματικής κλίσης της γραμμικής συνάρτησης f(x, y) = x+ y, και να βρεθεί γραφικά η λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης: max{f(x, y) g(x, y) }
Λύση. fx = p 3x xy= 0 1/ (α). x p x (p) 1/ p = = fy = p x = 0 η λύση: Ο γενικός τύπος μας δίνει: dx (f x,f y ) (f x,f y ) 1 x 6x y x x 1 = / = / = = σε πλεγμένη μορφή dp (p, y) (x, y) 1 0 x 0 4x x Τα δύο είναι ίσα διότι x= p. (β). Εξίσωση Euler βαθμού 1: xfx + yfy = f, με f x = ln x+ 1 ln y, f y = x / y. Αντικαθιστώντας στο αριστερό μέρος βρίσκουμε: xf + yf = x(ln x+ 1 ln y) + y( x / y) = xln x+ yln y= f, τα δύο μέρη είναι ίσα. x y Συμπεραίνουμε ειδικά ότι είναι ομογενής βαθμού 1. η Λύση. Από τον ορισμό της ομογένειας, έχουμε: f(x,y) = x ln(x / y) f(tx,ty) = (tx)ln tx / ty= txln x / y= tf(x,y), επομένως είναι ομογενής 1 (γ). g f g f = (f,f ) = ( 1,1) x y g κάτω σταθμική της g διανυσματική κλίση της f βέλτιστη λύση είναι κυρτή περιοχή Μέρος Β 3.(1 μονάδες) (α). Αν το εθνικό εισόδημα Y αυξηθεί %, και ο πληθυσμός L μειωθεί 3%, να εκτιμηθεί η μεταβολή του κατά κεφαλή εισοδήματος y= Y / L. (β). Αν το εισόδημα A του συζύγου αυξηθεί 3% και το εισόδημα B της συζύγου ελαττωθεί 3%, να εκτιμηθεί η μεταβολή του οικογενειακού εισοδήματος C= A+ B. (γ). Έχει βρεθεί ότι αύξηση του επιτοκίου r% κατά μισή μονάδα 0.5 προκαλεί μείωση της κατανάλωσης C κατά %. Επίσης ότι μείωση της κατανάλωσης κατά 1% προκαλεί μείωση των τιμών P κατά 0.5%. Πόσες μονάδες πρέπει να μεταβληθεί το επιτόκιο ώστε οι τιμές να υποχωρήσουν %? Λύση (α). Στη διαίρεση οι ποσοστιαίες μεταβολές, όπως και οι ελαστικότητες, αφαιρούνται. Επομένως το κατά κεφαλή εισόδημα θα μεταβληθεί κατά: %dy = %dy %dl= 3= 1%, δηλαδή θα ελαττωθεί κατά 1% (β). Δεν υπολογίζεται χωρίς να ξέρουμε τα εισοδήματα, διότι η ποσοστιαία μεταβολή αθροίσματος γράφεται dc A da B db A B dc= da+ db = + %dc = (%da) + (%db) C C A C B C C (γ). Έχουμε σύνθεση και οι ρυθμοί πολλαπλασιάζονται:
%dp %dp %dc P= P(C) & C= C(r) P= P(r) με =. dr %dc dr %dp 0.5 %dc %dp = = 0.5, = = 4 = (0.5)( 4) = %dc 1 dr 0.5 dr Επομένως για %dp= % θα πρέπει να μεταβάλλουμε το επιτόκιο κατά dr = / = 1, δηλαδή να το αυξήσουμε μια μονάδα. Δηλαδή, για μείωση του Pκατά % πρέπει η κατανάλωση να μειωθεί 4% και επομένως το επιτόκιο να αυξηθεί κατά 1 4.(1 μονάδες) Δύο προϊόντα παράγονται σε ποσότητες {X, Y} με κόστος C= C(X, Y) και δίνουν έσοδο R= R(X, Y). Θεωρούμε τα παρακάτω δύο προβλήματα βελτιστοποίησης (α), (β), και τις αντίστοιχες λύσεις: (α). r() = max{r(x, y) C(x, y) = } & π = max{π() = r() } x,y,r,,π x,y (β). Π = max{π= R(X,Y) C(X,Y)} X,Y,R,C,Π X,Y Να ερμηνευτούν τα δύο προβλήματα, να διατυπωθούν οι εξισώσεις των αναγκαίων συνθηκών 1ης τάξης και να διαπιστωθεί ότι έχουν τις ίδιες λύσεις: {X = x,y = y,π = π }. Λύση. Στο (α) βρίσκουμε πρώτα τη βέλτιστη λύση για δοσμένη δαπάνη και στη συνέχεια τη βέλτιστη δαπάνη για μέγιστο κέρδος. Στο (β) βρίσκουμε κατευθείαν τη βέλτιστη λύση για μέγιστο κέρδος. Οι συνθήκες 1ης τάξης γράφονται: {R = λc = R = λc, C= } & {r () = 1} (α) x x y y (β) {R X = C X, RY = C Y } Παρατηρούμε τώρα ότι στο (α) ο πολλαπλασιαστής Lagrange θα είναι λ= r () = 1, λόγω της ερμηνείας του. Αντικαθιστώντας βρίσκουμε για τα ζεύγη (X,Y) και (x,y) το ίδιο σύστημα εξισώσεων, και επομένως τις ίδιες τιμές. Έπεται ότι θα βρούμε επίσης την ίδια τιμή για δαπάνη και για έσοδο επομένως και για κέρδος.