και αναζητούμε τις λύσεις του:

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 3. ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ Η γραμμική δυναμική που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο εκφράζεται με ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς πραγματικούς συντελεστές διατυπωμένο στις καρτεσιανές συντεταγμένες ως εξής: και αναζητούμε τις λύσεις του: x : = ax + bx = ax + bx, x () ( x(), x() ) =. Το ερώτημα που τίθεται αφορά στην ύπαρξη και προσδιορισμό γραμμικών συντε-ταγμένων στις οποίες το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων αποκτά απλούστερη έκφραση με δυνατότητα άμεσης επίλυσής του. Για το σκοπό αυτό θεωρούμε στις καρτεσιανές συντεταγμένες του ευκλείδειου επιπέδου το γραμμικό μετασχηματισμό: a b x x = a b x. Οι καρτεσιανές συντεταγμένες ορίζονται στο ευκλείδειο επίπεδο από μια ορθοκανονική βάση και τις κανονικές προβολές: Κάθε γραμμικός ισομορφισμός: x, i =,. i : φ: μετατρέπει την ορθοκανονική βάση σε βάση όχι απαραίτητα ορθοκανονική, οπότε οι καρτεσιανές συντεταγμένες μετασχηματίζονται στις γραμμικές συντεταγμένες: y, i : yi = x i φ, =, i. Γραμμικός μετασχηματισμός των καρτεσιανών συντεταγμένων στο ευκλείδειο επίπεδο. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 4 Η σχέση αυτών των συντεταγμένων με τις αρχικές δηλώνεται με το μεταθετικό διάγραμμα: φ xi y i Το σύστημα των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων διατυπώνεται συμβολικά στις καρτεσιανές συντεταγμένες ως εξής: X( ) = A X( ) και στις νέες γραμμικές συντεταγμένες αποκτά την έκφραση: Y( ) = BY( ). Οι ιδιοτιμές κάθε γραμμικού μετασχηματισμού διατηρούνται αναλλοίωτες κατά την αλλαγή βάσης και ταυτίζονται με τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης: ( ) de Α λ I =. 0 Θεωρώντας την ορίζουσα και το ίχνος του γραμμικού μετασχηματισμού που επίσης διατηρούνται αναλλοίωτα κατά τις αλλαγές βάσης: de Α= ab ba και r Α= a + b προκύπτει η ακόλουθη έκφραση της χαρακτηριστικής εξίσωσης: ( ) λ Α λ+ Α=0 r de. Η φύση των ιδιοτιμών καθορίζεται από το πρόσημο της διακρίνουσας: και προκύπτει: = λ = ( ( A) + (A) ) (A) ( ra) 4de A r και λ = ( ( A) (A) ) r. Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις: (A) > 0 απλές πραγματικές ιδιοτιμές λ, λ, λ λ, (A) = 0 διπλή πραγματική ιδιοτιμή λ, (A) < 0 μιγαδικές ιδιοτιμές λ, λ, λ=α+ iω, λ =α iω. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 5 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ (A) > 0 απλές πραγματικές ιδιοτιμές λ, λ, λ λ. Εμφανίζονται δυο ανεξάρτητες ιδιοδιευθύνσεις: E = ξ /Aξ=λξ λ i { i }, i =,. Έτσι, υπάρχει δυνατότητα επιλογής μιας βάσης ιδιοδιανυσμάτων ξ και ξ, οπότε στη βάση αυτή ο πίνακας του γραμμικού μετασχηματισμού διαγωνιοποιείται και προκύπτει: y λ 0 y = y 0 λ y. Στις αντίστοιχες γραμμικές συντεταγμένες το σύστημα των εξισώσεων εκφράζεται ως εξής: y y = λ y = λ y y() = ce y() = ce λ λ λ λ x () = cξ e + cξe. Τροχιές της γραμμικής δυναμικής στο ευκλείδειο επίπεδο στην περίπτωση διακριτών πραγματικών ιδιοτιμών. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 6 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ (A) = 0 διπλή πραγματική ιδιοτιμή λ. Στην περίπτωση αυτή ο ιδιόχωρος είναι δισδιάστατος ή μονοδιάστατος: E λ = ξ / Aξ=λξ. { } - Αν dim E λ =, ο γραμμικός μετασχηματισμός ορίζει ομοθεσία με λόγο την τιμή της διπλής ιδιοτιμής: λ 0 x x = 0 λ x και προκύπτουν οι λύσεις: λ = λ x x() = x e x () = xe λ λ = λ x. x() = xe - Αν dim E λ =, επιλέγουμε μια βάση αποτελούμενη από ένα ιδιοδιάνυσμα ξ και ένα διάνυσμα ξ τέτοιο ώστε: A ξ=ξ +λ ξ και στη βάση αυτή ο γραμμικός μετασχηματισμός έχει τριγωνικό πίνακα: y λ y = y 0 λ y. Έτσι, προκύπτουν οι γραμμικές συντεταγμένες στις οποίες το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων αποκτά απλούστερη μορφή και υπολογίζονται απευθείας οι λύσεις: y =λ y + y y = λ y y() = ( c + c) e λ y() = ce λ x ( ) =... x ( ) =... Τροχιές της γραμμικής δυναμικής στο ευκλείδειο επίπεδο στην περίπτωση διπλής πραγματικής ιδιοτιμής. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 7 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ (A) < 0 μιγαδικές ιδιοτιμές λ, λ, λ=α+ i ω, λ =α iω. Εμφανίζονται δυο συζυγείς μιγαδικές ιδιοτιμές και στο μιγαδικό επίπεδο προκύπτουν δυο συζυγή μιγαδικά ιδιοδιανύσματα * : ζ=ζ + i ζ, ζ =ζ i ζ. Στο πραγματικό επίπεδο, τα πραγματικά διανύσματα: ξ =ζ+ζ = ζ, ξ = i ( ζ ζ ) = ζ, συγκροτούν βάση στην οποία ο γραμμικός μετασχηματισμός εκφράζεται ως εξής: y y α ω = y ω α y. Στις αντίστοιχες γραμμικές συντεταγμένες το σύστημα των εξισώσεων αποκτά τη μορφή: y =αy ωy y =ω y+αy αλλά για τον υπολογισμό των λύσεων χρειάζεται να εισαχθούν οι συντεταγμένες: και προκύπτει: y = rcsθ, y = rsinθ, r > 0, θ ( md π), r = αr θ = ω α r () = re θ () =ω + θ α y ( ) = re cs( ω + θ) α y ( ) = re sin( ω + θ) x ( ) =... x ( ) =... Τροχιές της γραμμικής δυναμικής στο ευκλείδειο επίπεδο στην περίπτωση διπλής μιγαδικών ιδιοτιμών. * Έκφραση του μιγαδικού γραμμικού μετασχηματισμού στη βάση των μιγαδικών ιδιοδιανυσμάτων: z λ 0 z ( ) (0) z = z e = z 0 z λ z ( ) z (0) e = ( α+ iω) ( α iω) ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 8 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΡΟΧΙΩΝ ΤΗΣ ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 9 Σχόλιο. Κατασκευή των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής. Η δισδιάστατη γραμμική δυναμική ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο από ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς πραγματικούς συντελεστές: = ax + bx = ax + bx. Το σύστημα αυτό έχει διατυπωθεί στις καρτεσιανές συντεταγμένες του ευκλείδειου επιπέδου, αλλά όπως διαπιστώσαμε, υπάρχουν κατάλληλες γραμμικές συντεταγμένες όπου αποκτά απλούστερη έκφραση με δυνατότητα άμεσης επίλυσής του. Αυτές οι συντεταγμένες καθορίζονται από ιδιοδιευθύνσεις ή κατάλληλες διευθύνσεις που εμφανίζονται στο ευκλείδειο επίπεδο ανάλογα με τη φύση των ιδιοτιμών της δυναμικής και οδηγούν στις κανονικές μορφές του συστήματος των εξισώσεων: y y = λ y = λ y y y = λ y = λ y y =λ y + y y = λ y y =αy ωy y =ω y +αy. Όταν η γραμμική δυναμική έχει δυο πραγματικές διακριτές ιδιοτιμές τότε στο ευκλείδειο επίπεδο εμφανίζονται δυο ανεξάρτητες ιδιοδιευθύνσεις και έτσι συγκροτείται ένα σύστημα ιδιοαξόνων όπου προκύπτει η κανονική μορφή των εξισώσεων: y y = λ y = λ y y() = ce y ce λ λ () =. Για το σχεδιασμό των τροχιών είναι προτιμότερο να εργαστούμε στις συντεταγμένες του συστήματος των ιδιοαξόνων παρά στις καρτεσιανές συντεταγμένες και εκεί η κανονική αυτή μορφή των εξισώσεων διατηρείται αναλλοίωτη κατά την αλλαγή: y y και y y. Συνεπώς, οι τροχιές εμφανίζουν αξονική συμμετρία ως προς κάθε ιδιοάξονα παράλληλα προς τον άλλον. Αν κάποια από τις ιδιοτιμές είναι μηδενική τότε κάθε σημείο του αντίστοιχου ιδιοάξονα αποτελεί κατάσταση ισορροπίας και οι άλλες τροχιές είναι ευθύγραμμες και εξελίσσονται κατά ζεύγη, ελκτικά ή απωστικά, εκατέρωθεν της κατάστασης ισορροπίας. Αν δεν υπάρχει μηδενική ιδιοτιμή τότε η αρχή των αξόνων αποτελεί τη μοναδική κατάσταση ισορροπίας και τέσσερις ευθύγραμμες τροχιές, με φορέα τους ημιάξονες των ιδιοδιευθύνσεων, κατευθύνονται προς αυτήν ή απομακρύνονται προς το άπειρο ανάλογα με το πρόσημο της αντίστοιχης ιδιοτιμής. Για τις άλλες τροχιές, η αξονική τους συμμετρία ως προς τους ιδιοάξονες, υποδεικνύει ότι αρκεί να κατασκευαστούν στο τεταρτημόριο: y > 0, y > 0 και εκεί διαπιστώνουμε ότι φορέας τους είναι τα γραφήματα των εκθετικών συναρτήσεων: y = cy λ λ, c > 0. / ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 0 Τροχιές της γραμμικής δυναμικής με απλές μη μηδενικές πραγματικές ιδιοτιμές σε ορθοκανονικό σύστημα ιδιοαξόνων του ευκλείδειου επιπέδου. Τροχιές της γραμμικής δυναμικής με μια μηδενική και μια μη μηδενική ιδιοτιμή σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων του ευκλείδειου επιπέδου. Όταν η γραμμική δυναμική έχει διπλή πραγματική ιδιοτιμή τότε, εκτός από τη μηδενική περίπτωση ή την περίπτωση ομοθεσίας, υπάρχει μόνο μια ιδιοδιεύθυνση. Έτσι, συγκροτείται ένα σύστημα αξόνων αποτελούμενο από ένα ιδιοάξονα και έναν κατάλληλα επιλεγμένο άξονα, όπως ήδη αναφέρθηκε, και σε αυτό το σύστημα γραμμικών συντεταγμένων προκύπτει η κανονική μορφή Jrdan των εξισώσεων: y =λ y + y y = λ y y() = ( c + c) e λ y() = ce λ Η αρχή των αξόνων αποτελεί τη μοναδική κατάσταση ισορροπίας και δυο ευθύγραμμες τροχιές, που έχουν ως φορέα τους ημιάξονες της ιδιοδιεύθυνσης, κατευθύνονται προς αυτήν ή απομακρύνονται προς το άπειρο ανάλογα με το πρόσημο της ιδιοτιμής. Όλες οι άλλες τροχιές έχουν φορέα τα γραφήματα των συναρτήσεων: y = ln y + c y ( ) λ όπου c = ln c + c/ c, c 0. λ Τροχιές της γραμμικής δυναμικής στην περίπτωση διπλής ιδιοτιμής. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Όταν η γραμμική δυναμική έχει μιγαδικές ιδιοτιμές: λ=α+ i ω, λ =α iω τότε στο ευκλείδειο επίπεδο δεν υπάρχουν ιδιοδιευθύνσεις αλλά, όπως αναφέρθηκε, υπάρχει σύστημα γραμμικών συντεταγμένων όπου προκύπτει η κανονική μορφή των εξισώσεων: α y =αy ωy y ( ) = re cs( ω + θ) y α =ω y+αy. y ( ) = re sin( ω + θ) Η αρχή των αξόνων αποτελεί τη μοναδική κατάσταση ισορροπίας και ολόγυρά της εξελίσσονται ελλειπτικές ή σπειροειδείς τροχιές ανάλογα με το αν οι ιδιοτιμές είναι καθαρά φανταστικές ή όχι. Οι σπειροειδείς τροχιές πλησιάζουν απεριόριστα την κατάσταση ισορροπίας ή απομακρύνονται στο άπειρο ανάλογα με αν το πραγματικό μέρος των συζυγών ιδιοτιμών είναι αρνητικό ή θετικό. α< 0, ω> 0 α= 0, ω> 0 α> 0, ω> 0 α< 0, ω< 0 α= 0, ω< 0 α> 0, ω< 0 Τροχιές της γραμμικής δυναμικής στην περίπτωση μιγαδικών ιδιοτιμών στο ευκλείδειο επίπεδο. Άσκηση.. Στο επόμενο σχήμα δίνονται στο ευκλείδειο επίπεδο οι τροχιές τριών δυναμικών συστημάτων από τα οποία μόνο ένα είναι γραμμικό. Μπορείτε να το αναγνωρίσετε; ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Άσκηση.. Σχεδιάστε τις τροχιές της δυναμικής που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο από τα ακόλουθα συστήματα διαφορικών εξισώσεων: [] = x+ x = 4x x [] = 3x + x = 3x + x [3] = x 3x = 3x + 4x [4] = 3x 3x = 3x x Υπόδειξη. [] Ιδιοτιμές: λ = 3, λ =, Ιδιοδιανύσματα: ξ = (, 4), ξ = (, ). Προκύπτουν γραμμικές συντεταγμένες στις οποίες το σύστημα εκφράζεται ως εξής: y = 3y y = y y() = ce y() = ce 3 3 x() = ce + ce x() = 4ce + ce 3 [] Ιδιοτιμές: λ = /, λ = 3, Ιδιοδιανύσματα: ξ = (, ), ξ = (, 3). Προκύπτουν γραμμικές συντεταγμένες στις οποίες το σύστημα εκφράζεται ως εξής: / / 3 y = y / y() = ce x() = ce + ce 3 / 3 y = 3 y y() = ce x() = ce + 3ce [3] Ιδιοτιμή: λ=, Ιδιοδιάνυσμα: ξ= (, ), Συμπληρωματικό διάνυσμα: ξ= ( / 3, 0). Προκύπτουν γραμμικές συντεταγμένες στις οποίες το σύστημα εκφράζεται ως εξής: y = y + y y = y y() = ( c+ c ) e y() = c e x( ) = ( c + c c / 3) e x( ) = ( c + c) e [4] Ιδιοτιμές: λ= + i 5, λ = i 5, Ιδιοδιανύσματα: ζ= ( + i 5, 3), ζ = ( i 5, 3). Τα διανύσματα ξ = (, 3), ξ = ( 5, 0) ορίζουν γραμμικές συντεταγμένες στις οποίες το σύστημα εκφράζεται ως εξής: y = y 5y y = 5y+ y Από το μετασχηματισμό y = r sin θ, y = r csθ προκύπτει: άρα r () = r () θ () = 5 y( ) = re cs( 5 + θ) y( ) = re sin( 5 + θ) r () = r e θ() = 5 + θ r = ce θ / 5 x ( ) = re ( cs( 5 + θ) 5 cs( 5 + θ) ) x( ) = re sin( 5 + θ) ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 3 [] [] [3] [4] Άσκηση.3. Σχεδιάστε τις τροχιές των γραμμικών δυναμικών συστημάτων που ορίζονται στο ευκλείδειο επίπεδο από τα ακόλουθα συστήματα διαφορικών εξισώσεων: = x + x = x + 3x = x = 3x+ x = x+ x = x x = x+ x = x x Άσκηση.4. Ανακαλύψτε τη φύση των ιδιοτιμών των γραμμικών δυναμικών συστημάτων των οποίων οι τροχιές στο ευκλείδειο επίπεδο δίνονται στα ακόλουθα σχήματα: ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 4 Άσκηση.5. Θέστε στη σωστή αντιστοιχία τις τροχιές της γραμμικής δυναμικής που δίνονται στα ακόλουθα σχήματα με τα εξής συστήματα διαφορικών εξισώσεων: = x = x = x = x = 3x + 4x = 3x 3x = x = x + x = x = x = x = x = x = x + x = x = x Άσκηση.6. Σχεδιάστε τις τροχιές της γραμμικής δυναμικής που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο από τα ακόλουθα συστήματα εξισώσεων και εντοπίστε τις διαφορές τους: = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x+ x = x+ x = x+ x = x 9 = 8x+ 8x 0 = 0x+ 9x 0 = 9x+ 0x = x 9 = 0x+ 8x 0 = 0x+ x 0 = x+ 0x Άσκηση.7. Σχεδιάστε και εντοπίστε τις διαφορές των τροχιών της γραμμικής δυναμικής με διπλή ιδιοτιμή: () λ= /0, () λ= /0, η οποία ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο με το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων και συγκρίνατε την με την περίπτωση λ= 0 : =λ x + x = λ x. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 5 Προβληματισμός: Ισομορφική ταξινόμηση των ροών της γραμμικής δυναμικής. Θεωρούμε δυο γραμμικά δυναμικά συστήματα στο ευκλείδειο επίπεδο: X( ) = A X( ), i =,, i που η εξελικτική τους ροή ορίζεται αντίστοιχα από τις μονοπαραμετρικές ομάδες: { : / i } g, i =,. Οι δυναμικές που ορίζονται στο ευκλείδειο επίπεδο καλούνται γραμμικά ισοδύναμες εφόσον υπάρχει γραμμικός ισομορφισμός: τέτοιος ώστε: φ : φ g ( x ) = g φ( x ),,. x Θεώρημα. Δυο γραμμικές δυναμικές με απλές πραγματικές ιδιοτιμές είναι γραμμικά ισοδύναμες αν και μόνο αν έχουν ίδιες ιδιοτιμές. Απόδειξη. Κάθε γραμμική δυναμική με απλές πραγματικές ιδιοτιμές αποσυντίθενται σε μονοδιάστατες γραμμικές δυναμικές. Άρα, οι γραμμικές δυναμικές που έχουν ίδιες διακριτές πραγματικές ιδιοτιμές δε μπορούν παρά να αποσυντεθούν στις ίδιες μονοδιάστατες γραμμικές δυναμικές. Αντίστροφα, αν οι δυο γραμμικές δυναμικές είναι γραμμικά ισοδύναμες τότε οι γραμμικοί τελεστές τους ταυτίζονται με αλλαγή βάσης άρα έχουν ίδιες ιδιοτιμές απλές ή όχι. Γραμμικά ισοδύναμες εξελικτικές ροές της γραμμικής δυναμικής στο ευκλείδειο επίπεδο. Θεώρημα. Δυο γραμμικές δυναμικές είναι γραμμικά ισοδύναμες αν και μόνο αν είναι διαφορικά ισοδύναμες. * * Η διαφορική ισοδυναμία των εξελικτικών ροών σημαίνει την ύπαρξη αμφιδιαφορομορφισμού: φ : : φ g ( x ) = g φ( x ),,. Το θεώρημα δεν υπονοεί ότι κάθε αμφιδιαφορομορφισμός που αποκαθιστά τη διαφορική ισοδυναμία των ροών της γραμμικής δυναμικής είναι οπωσδήποτε γραμμικός ισομορφισμός. Όμως, θεωρώντας το διαφορικό ενός τέτοιου αμφιδιαφορομορφισμού θα μπορούσατε να αντιληφθείτε το σκεπτικό της απόδειξης. Πρόκειται για αποτέλεσμα που ισχύει και για την πολυδιάστατη γραμμική δυναμική. x ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 6 Άσκηση.8. Ποια παραμόρφωση θα προκαλέσουν οι γραμμικοί μετασχηματισμοί: () φ ( x, x ) = ( x, x + x ), () ( x, x ) ( x x, x x ) φ = + +, στις τροχιές της γραμμικής δυναμικής που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο ως εξής: = x = x. Άσκηση.9. Ποια παραμόρφωση θα προκαλέσουν οι γραμμικοί μετασχηματισμοί: φ ( x, x ) = ( x, x ), φ ( x, x ) = ( x + x, x x ), ( x, x ) ( x x, x 3x ) φ = + +, 3 φ ( x, x ) = ( x + x,3x + x ), ( x, x ) ( x x,4x 4x ) 4 φ = +. 5 στις τροχιές της γραμμικής δυναμικής που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο ως εξής: = x = x. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 7 Άσκηση.0. Εξετάστε αν οι δυναμικές που ορίζονται από τα ακόλουθα γραμμικά συστήματα εξισώσεων είναι γραμμικά ισοδύναμες και στην καταφατική περίπτωση προσδιορίστε τη σχέση των εξελικτικών τους ροών στο ευκλείδειο επίπεδο: = x = x = x = x + x = 3x x = x = x = x. = x = x. = x = x. 5 = 7x 4x 5 = 6x 7x. 4 = x = 4x. 5 = 7x + 4x 5 = 6x + 7x. Άσκηση.. Διαπιστώστε ότι οι δυναμικές που ορίζονται στο ευκλείδειο επίπεδο από τα ακόλουθα γραμμικά συστήματα εξισώσεων, παρότι έχουν ίδιες ιδιοτιμές - όμως όχι ίδιας φύσης, δεν έχουν γραμμικά ισοδύναμες εξελικτικές ροές: = x = x = x + x = x Άσκηση.. Στο επόμενο σχήμα δίνονται οι τροχιές στο ευκλείδειο επίπεδο δυο άγνωστων γραμμικών δυναμικών συστημάτων και θέλουμε να μάθουμε τη φύση των ιδιοτιμών τους για να συμπεράνουμε την τοπολογική τους ισοδυναμία: Άσκηση.3. Επιλέξτε μη γραμμικούς αμφιδιαφορομορφισμούς του ευκλείδειου επιπέδου και αφήστε τους να μετασχηματίσουν την εξελικτική ροή της γραμμικής δυναμικής: ως εξής: g ( x ) = x ( e,e ),,, φ x g φ( x ),,. x Ποιο είναι το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων που ορίζει τη δυναμική της εξελικτικής ροής η οποία προκύπτει από αυτούς τους μετασχηματισμούς; ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 8 Προβληματισμός: Τοπολογική ταξινόμηση των ροών της γραμμικής δυναμικής. Θεωρούμε δυο γραμμικά δυναμικά συστήματα στο ευκλείδειο επίπεδο: X( ) = A X( ), i =,, i που η εξελικτική τους ροή ορίζεται αντίστοιχα από τις μονοπαραμετρικές ομάδες: { : / i } g, i =,. Οι δυναμικές που ορίζονται στο ευκλείδειο επίπεδο καλούνται τοπολογικά ισοδύναμες εφόσον υπάρχει ομοιομορφισμός: τέτοιος ώστε: h : hg ( x) = g hx ( ),,. x Θεώρημα: Κριτήρια τοπολογικής ταξινόμησης των ροών της γραμμικής δυναμικής. * Οι γραμμικές δυναμικές των οποίων οι ιδιοτιμές είναι θετικές (αντ. αρνητικές) ή έχουν θετικό (αντ. αρνητικό) πραγματικό μέρος είναι τοπολογικά ισοδύναμες με τη δυναμική που ορίζεται από την εξίσωση: = x, (αντ. = x), x. Τοπολογικά ισοδύναμες γραμμικές δυναμικές στο ευκλείδειο επίπεδο. Τοπολογικά ισοδύναμες γραμμικές δυναμικές στο ευκλείδειο επίπεδο. * Το κριτήριο αυτό ισχύει στους πολυδιάστατους ευκλείδειους χώρους και έχει γενικότερη διατύπωση. Η κατασκευή του ομοιομορφισμού που αποκαθιστά την τοπολογική ισοδυναμία βασίζεται στη χρήση της συνάρτησης Liapunv που θα διδαχθεί λίγο αργότερα. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 9 Άσκηση.4. Επιλέξτε μη γραμμικούς ομοιομορφισμούς του ευκλείδειου επιπέδου και αφήστε τους να μετασχηματίσουν την εξελικτική ροή της γραμμικής δυναμικής: ως εξής: g ( x ) = x ( e,e ),,, h x g hx ( ),,. x Ποιο είναι το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων που ορίζει τη δυναμική της εξελικτικής ροής η οποία προκύπτει από αυτούς τους μετασχηματισμούς; Άσκηση.5. Θέστε στη σωστή αντιστοιχία τις τροχιές της γραμμικής δυναμικής που δίνονται στα ακόλουθα σχήματα με τις ιδιοτιμές που σημειώνονται σχηματικά και αποφανθείτε για την τοπολογική ισοδυναμία των αντίστοιχων εξελικτικών ροών στο ευκλείδειο επίπεδο: ασταθής εστία κέντρο ευσταθής εστία ασταθής κόμβος σάγμα ευσταθής κόμβος ασταθής ασταθής ευσταθής ευσταθής ακτινωτός κόμβος εκφυλισμένος κόμβος εκφυλισμένος κόμβος ακτινωτός κόμβος ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 30 Άσκηση.6. Αποφανθείτε για τη γραμμική και τοπολογική ισοδυναμία των εξελικτικών ροών της δυναμικής που ορίζεται από τα ακόλουθα συστήματα εξισώσεων και σχεδιάστε τις τροχιές τους στο ευκλείδειο επίπεδο: [] = x+ x = x x = x x = x+ x = x+ x = x+ x = x + x = x + x [] [3] = x = x + x = x+ x = x+ x = x = x + x = x+ x 4 = x + 4x [4] = x = x x = x x = x x Άσκηση.7. Σχεδιάστε τις τροχιές της δυναμικής που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο από το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων για διάφορες τιμές της πραγματικής παραμέτρου ρ και διαπιστώστε τη συνεχή τοπολογική παραμόρφωσή τους που οδηγεί από κόμβο σε εστία: = x+ρx = x + ( +ρ/) x ρ. ρ= 0.5 ρ= 0. ρ= 0 ρ= 0.5 ρ= Άσκηση.8. Προσδιορίστε τις τιμές της παραμέτρου α στις οποίες η εξελικτική ροή του καθενός από τα ακόλουθα συστήματα εξισώσεων αλλάζει τοπολογικό τύπο: [Ι] = x = α x [ΙΙ] = x = αx. Άσκηση.9. Για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων a και b αποφανθείτε για τη γραμμική και τοπολογική ισοδυναμία των αντίστοιχων εξελικτικών ροών της δυναμικής που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο από το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων: = x = ax + bx. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 3 Άσκηση.0. Για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων a και b αποφανθείτε για τη γραμμική και τοπολογική ισοδυναμία, ή μη, της δυναμικής που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο από την εξίσωση x= a x+b x με εκείνη που ορίζεται από την εξίσωση x= x ή την εξίσωση x= x. * Άσκηση.. Ζητάμε να τεκμηριώσετε τον προτεινόμενο διαμερισμό των εικονιζόμενων τροχιών της γραμμικής δυναμικής σε κλάσεις τοπολογικής ισοδυναμίας, αφού προηγουμένως προσδιορίσετε την έκφραση των αντίστοιχων μονοπαραμετρικών ομάδων και των εξελικτικών ροών τους και διευκρινίσετε την αλγεβρική και γεωμετρική ερμηνεία τους. Άσκηση.. Στο επόμενο σχήμα δίνονται στο ευκλείδειο επίπεδο οι τροχιές δυναμικών συστημάτων από τα οποία μόνο ένα δεν είναι γραμμικό. Μπορείτε να το αναγνωρίσετε; Για τα υπόλοιπα γραμμικά δυναμικά συστήματα μπορείτε να ανακαλύψετε τη φύση των ιδιοτιμών τους και να τα ταξινομήσετε σε κλάσεις τοπολογικής ισοδυναμίας; * Σε αυτό το σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων ης τάξης ανάγεται κάθε γραμμική διαφορική εξίσωση ης τάξης με σταθερούς συντελεστές: x= ax+ b. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 3 Προβληματισμός: Οι μικρές ταλαντώσεις του απλού επίπεδου εκκρεμούς. Το απλό επίπεδο εκκρεμές που εκτελεί την κίνησή του υπό την επίδραση της βαρύτητας με την παρουσία τριβών και μικρή γωνία απόκλισης από την κατακόρυφο αποτελεί αντιπροσωπευτικό παράδειγμα μελέτης της γραμμικής δυναμικής στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων που αναπαρίσταται στο ευκλείδειο επίπεδο. Στην περίπτωση αυτή η κίνησή του διέπεται από τη διαφορική εξίσωση: * x x x () +ρ () +ω () = 0 που στο χώρο των θέσεων και των ταχυτήτων εκφράζεται ως σύστημα εξισώσεων: = y y = ω x ρ y Για κάθε αρχική θέση και ταχύτητα ορίζεται η αντίστοιχη λύση και κάθε χρονική στιγμή η προβολή του σημείου ( x ( ), y ( )) της τροχιάς στον άξονα των θέσεων ή των ταχυτήτων δίνει τη θέση και ταχύτητα του εκκρεμούς τη δεδομένη αυτή στιγμή. Άσκηση.3. Για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων l και ω του απλού επίπεδου εκκρεμούς αποφανθείτε για τη φύση των ιδιοτιμών της γραμμικής διαφορικής εξίσωσης που διέπει την κίνησή του και προσδιορίστε την αντίστοιχη εξελικτική ροή, καθώς και τις τιμές των παραμέτρων για τις οποίες αλλάζει η τοπολογική της φύση. Δώστε τη φυσική ερμηνεία των φαινομένων που έχουν να κάνουν με τη δυναμική του απλού επίπεδου εκκρεμούς.. Τροχιές του απλού επίπεδου εκκρεμούς στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων. * Θεωρούμε τη μάζα του εκκρεμούς μοναδιαία και σημειώνουμε l το μήκος του άκαμπτου νήματός του που το άκρο του είναι προσδεμένο σε σταθερό σημείο και g την αριθμητική τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας και θέτουμε ω = g / l. Επίσης, με ρ σημειώνουμε το συντελεστή τριβής του μέσου όπου εκτελείται η κίνησης και θεωρούμε τη δύναμη τριβής ανάλογη προς την ταχύτητα του εκκρεμούς. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 33 Προβληματισμός: Ο τελεστής εξέλιξης της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής. Τ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00