ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός λέγεται έα σύολο που θέλουμε α εξετάσουμε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους Μεταβλητές λέγοται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έα πληθυσμό και τις συμβολίζουμε συήθως με τα κεφαλαία γράμματα X, Y, Z, B, Τιμές της μεταβλητής λέγοται οι δυατές τιμές που μπορεί α πάρει μια μεταβλητή Τις μεταβλητές τις διακρίουμε: Σε ποιοτικές ή κατηγορικές μεταβλητές, τω οποίω οι τιμές τους δε είαι αριθμοί Τέτοιες είαι, για παράδειγμα, η ομάδα αίματος (με τιμές Α, Β, ΑΒ, Ο), το φύλο (με τιμές αγόρι, κορίτσι) Σε ποσοτικές μεταβλητές, τω οποίω οι τιμές είαι αριθμοί και διακρίοται: ) Σε διακριτές μεταβλητές, που παίρου μόο μεμοωμέες τιμές Τέτοιες μεταβλητές είαι, για παράδειγμα, ο αριθμός τω υπαλλήλω μιας επιχείρησης (με τιμές,, ), το αποτέλεσμα της ρίψης εός ζαριού (με τιμές,,,6) κτλ ) Σε συεχείς μεταβλητές, που μπορού α πάρου αποιαδήποτε τιμή εός διαστήματος πραγματικώ αριθμώ ( α, β) Τέτοιες μεταβλητές είαι το ύψος και το βάρος τω μαθητώ της Γ Λυκείου, ο χρόος που χρειάζοται οι μαθητές α απατήσου στα θέματα μιας εξέτασης, η διάρκεια μιας τηλεφωικής συδιάλεξης κτλ ΣΥΛΛΟΓΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Απογραφή καλείται η μέθοδος συλλογής τω δεδομέω όπου εξετάζουμε όλα τα άτομα (στοιχεία) του πληθυσμού ως προς το χαρακτηριστικό που μας εδιαφέρει Δείγμα καλείται έα υποσύολο του πληθυσμού ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Πίακες Καταομής Συχοτήτω Ας υποθέσουμε ότι x, x,, xκ είαι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα εός δείγματος μεγέθους, Συχότητα (απόλυτη) της τιμής x είαι ο φυσικός αριθμός που δείχει πόσες φορές εμφαίζεται η τιμή x της εξεταζόμεης μεταβλητής Χ στο σύολο τω παρατηρήσεω Είαι φαερό ότι το άθροισμα όλω τω συχοτήτω είαι ίσο με το μέγεθος του δείγματος, δηλαδή: κ Η σχετική συχότητα f της τιμής x, προκύπτει α διαιρέσουμε τη συχότητα με το μέγεθος του δείγματος, δηλαδή f,,,, κ Για τη σχετική συχότητα ισχύου οι ιδιότητες: () f για,,, κ αφού () f f f κ, αφού κ κ f f f κ Οι ποσότητες x,, f για έα δείγμα συγκετρώοται σε έα συοπτικό πίακα, που οομάζεται πίακας καταομής συχοτήτω ή απλά πίακας συχοτήτω Για μια μεταβλητή, το σύολο τω ζευγώ x, ) λέμε ότι αποτελεί τη καταομή συχοτήτω και το σύολο ( τω ζευγώ ( x, f ), ή τω ζευγώ ( x, f %), τη καταομή τω σχετικώ συχοτήτω Αθροιστικές Συχότητες Στη περίπτωση τω ποσοτικώ μεταβλητώ εκτός από τις συχότητες και f χρησιμοποιούται συήθως και οι λεγόμεες αθροιστικές συχότητες N και οι αθροιστικές σχετικές συχότητες F, οι οποίες εκφράζου το πλήθος και το ποσοστό ατίστοιχα τω παρατηρήσεω που είαι μικρότερες ή ίσες της τιμής x Συχά οι F πολλαπλασιάζοται επί εκφραζόμεες έτσι επί τοις εκατό, δηλαδή F % F
Α οι τιμές x,,, x xκ μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ είαι σε αύξουσα διάταξη, τότε η αθροιστική συχότητα της N F f f f, για,,, κ τιμής x είαι Όμοια, η αθροιστική σχετική συχότητα είαι Είαι φαερό ότι ισχύου οι σχέσεις: N, N N,, κ N κ N κ και f F, f F F,, f κ Fκ Fκ Γραφική Παράσταση Καταομής Συχοτήτω Ποιοτικές μεταβλητές α) Ραβδόγραμμα Σε κάθε τιμή της μεταβλητής Χ ατιστοιχεί μια ορθογώια στήλη της οποίας το ύψος είαι ίσο με τη ατίστοιχη συχότητα ή σχετική συχότητα Ποσοτικές μεταβλητές β) Διάγραμμα Συχοτήτω Αυτό μοιάζει με το ραβδόγραμμα με μόη διαφορά ότι ατί α χρησιμοποιούμε συμπαγή ορθογώια υψώουμε σε κάθε x (υποθέτοτας ότι x x xκ ) μία κάθετη γραμμή με μήκος ίσο προς τη ατίστοιχη συχότητα Μπορούμε επίσης ατί τω συχοτήτω στο κάθετο άξοα α βάλουμε τις σχετικές συχότητες f, οπότε έχουμε το διάγραμμα σχετικώ συχοτήτω Εώοτας τα σημεία ( x, ) ή ( x, f ) έχουμε το λεγόμεο πολύγωο συχοτήτω ή πολύγωο σχετικώ συχοτήτω γ) Κυκλικό Διάγραμμα Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τόσο τω ποιοτικώ όσο και τω ποσοτικώ δεδομέω, ότα οι διαφορετικές τιμές της μεταβλητής είαι σχετικά λίγες Το κυκλικό διάγραμμα είαι έας κυκλικός δίσκος χωρισμέος σε κυκλικούς τομείς, τα εμβαδά ή,ισοδύαμα, τα τόξα τω οποίω είαι αάλογα προς τις ατίστοιχες συχότητες ή τις σχετικές συχότητες f τω τιμώ x της μεταβλητής Α συμβολίσουμε με α το ατίστοιχο τόξο εός κυκλικού τμήματος στο κυκλικό διάγραμμα συχοτήτω, τότε o 36 α 36 o f για,,, κ Ομαδοποίηση τω Παρατηρήσεω Σ αυτές τις περιπτώσεις είαι απαραίτητο α ταξιομηθού (ομαδοποιηθού) τα δεδομέα σε μικρό πλήθος ομάδω, που οομάζοται και κλάσεις έτσι ώστε κάθε τιμή α αήκει μόο σε μία κλάση Τα άκρα τω κλάσεω καλούται όρια τω κλάσεω Συήθως υιοθετούμε τη περίπτωση που μια κλάση περιέχει το κάτω άκρο της (κλειστή αριστερά) αλλά όχι το άω άκρο της (αοικτή δεξιά), δηλαδή που οι κλάσεις είαι της μορφής [, ) Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούται όμοιες, οπότε μπορού α ατιπροσωπευθού από τις κετρικές τιμές, τα κέτρα δηλαδή κάθε κλάσης Το πρώτο βήμα στη ομαδοποίηση τω δεδομέω είαι η εκλογή του αριθμού κ τω ομάδω ή κλάσεω Ο αριθμός αυτός συήθως ορίζεται αυθαίρετα Γεικά όμως μπορεί α χρησιμοποιηθεί ως οδηγός ο παρακάτω πίακας: Μέγεθος Αριθμός Μέγεθος Αριθμός δείγματος κλάσεω δείγματος κλάσεω κ κ 5 6 7 5 5 8 Πλάτος c μιας κλάσης οομάζεται η διαφορά του κατωτέρου από το αώτερο όριο της κλάσης Στη 4 4 7 7 πλειοότητα τω πρακτικώ εφαρμογώ οι κλάσεις έχου το ίδιο πλάτος Για α κατασκευάσουμε ισοπλατείς 9
κλάσεις, χρησιμοποιούμε το εύρος R του δείγματος, δηλαδή τη διαφορά της μικρότερης παρατήρησης από τη μεγαλύτερη παρατήρηση του συολικού δείγματος Υπολογίζουμε το πλάτος c R / στρογγυλεύοτας, α χρειαστεί για λόγους διευκόλυσης, πάτα προς τα πάω Πρέπει α προσεχτεί ότι: Καμία παρατήρηση δε μπορεί α μείει έξω από κάποια κλάση Οι κετρικές τιμές διαφέρου μεταξύ τους όσο και το πλάτος τω κλάσεω, που εδώ είαι ίσο με 6 Μία παρατήρηση που συμπίπτει με το άω άκρο μιας κλάσης θα τοποθετηθεί κατά τη διαλογή στη αμέσως επόμεη κλάση Για παράδειγμα, ο μαθητής με ύψος 8 θα τοποθετηθεί στη πέμπτη κλάση [8, 86) Ιστόγραμμα Συχοτήτω Η ατίστοιχη γραφική παράσταση εός πίακα συχοτήτω με ομαδοποιημέα δεδομέα γίεται με το λεγόμεο ιστόγραμμα συχοτήτω Στο οριζότιο άξοα εός συστήματος ορθογωίω αξόω σημειώουμε, με κατάλληλη κλίμακα, τα όρια τω κλάσεω Στη συέχεια, κατασκευάζουμε διαδοχικά ορθογώια (ιστούς), από καθέα από τα οποία έχει βάση ίση με το πλάτος της κλάσης και ύψος τέτοιο, ώστε το εμβαδό του ορθογωίου α ισούται με τη συχότητα της κλάσης αυτής α) Κλάσεις Ίσου Πλάτους Θεωρώτας το πλάτος c ως μοάδα μέτρησης του χαρακτηριστικού στο οριζότιο άξοα, το ύψος κάθε ορθογωίου είαι ίσο προς τη συχότητα της ατίστοιχης κλάσης, έτσι ώστε α ισχύει πάλι ότι το εμβαδό τω ορθογωίω είαι ίσο με τις ατίστοιχες συχότητες Επομέως, στο κατακόρυφο άξοα σε έα ιστόγραμμα συχοτήτω βάζουμε τις συχότητες Με αάλογο τρόπο κατασκευάζεται και το ιστόγραμμα σχετικώ συχοτήτω, οπότε στο κάθετο άξοα βάζουμε τις σχετικές συχότητες Α στα ιστογράμματα συχοτήτω θεωρήσουμε δύο ακόμη υποθετικές κλάσεις, στη αρχή και στο τέλος, με συχότητα μηδέ και στη συέχεια εώσουμε τα μέσα τω άω βάσεω τω ορθογωίω, σχηματίζεται το λεγόμεο πολύγωο συχοτήτω Το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο συχοτήτω και το οριζότιο άξοα είαι ίσο με το άθροισμα τω συχοτήτω, δηλαδή με το μέγεθος του δείγματος Από το ιστόγραμμα σχετικώ συχοτήτω και το πολύγωο σχετικώ συχοτήτω με εμβαδό ίσο με Με το ίδιο τρόπο κατασκευάζοται και τα ιστογράμματα αθροιστικώ συχοτήτω και αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω Α εώσουμε σε έα ιστόγραμμα αθροιστικώ συχοτήτω τα δεξιά άκρα (όχι μέσα) τω άω βάσεω τω ορθογωίω με ευθύγραμμα τμήματα βρίσκουμε το πολύγωο αθροιστικώ συχοτήτω f 8 6 4, 3, 5,, 5,, 5 5 6 6 6 8 7 4 8 8 6 9 Υ ψ ο ς ( σ ε c m ) F,8,7,6,5,4,3, 5 6 6 6 8 7 4 8 8 6 9 Ύ ψ ο ς ( σ ε c m ),9, 56 6 68 74 8 86 9 Ύψος (σε cm) 3
ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ Τα μέτρα Θέσης χρησιμοποιούται για τη περιγραφή της θέσης εός συόλου δεδομέω πάω στο οριζότιο άξοα ox, εκφράζοτας τη κατά μέσο όρο απόστασή τους από τη αρχή τω αξόω α) Μέση Τιμή (x) Η μέση τιμή x εός συόλου παρατηρήσεω ορίζεται ως το άθροισμα τω παρατηρήσεω διά του πλήθους τω παρατηρήσεω Ότα σε έα δείγμα μεγέθους οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ είαι t,t,,t, τότε η μέση τιμή συμβολίζεται με x και δίεται από τη σχέση: t t t t x t όπου το σύμβολο t = t t t και διαβάζεται άθροισμα τω t από έως Συχά, ότα δε υπάρχει πρόβλημα σύγχυσης, συμβολίζεται και ως t ή ακόμα πιο απλά με t Σε μια καταομή συχοτήτω, α x,x,, x είαι οι τιμές της μεταβλητής Χ με συχότητες,,, ατίστοιχα, η μέση τιμή ορίζεται ισοδύαμα από τη σχέση: x x x x x x Η παραπάω σχέση ισοδύαμα γράφεται: x x xf όπου f οι σχετικές συχότητες Η μέση τιμή επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις β) Σταθμικός Μέσος Στις περιπτώσεις που δίεται διαφορετική βαρύτητα στις τιμές x,x,, x εός συόλου δεδομέω, τότε ατί του αριθμητικού μέσου χρησιμοποιούμε το σταθμισμέο αριθμητικό μέσο ή σταθμικό μέσο Εά σε κάθε τιμή x,x,, x δώσουμε διαφορετική βαρύτητα, που εκφράζεται με τους λεγόμεους συτελεστές στάθμισης (βαρύτητας) w,w,,w, τότε ο σταθμικός μέσος βρίσκεται από το τύπο: x w x w x w x w w w γ) Διάμεσος (δ) x w w Διάμεσος (δ) εός δείγματος παρατηρήσεω οι οποίες έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως : Η μεσαία παρατήρηση, ότα το είαι περιττός αριθμός t Ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) τω δύο μεσαίω παρατηρήσεω ότα το είαι άρτιος αριθμός t t Η διάμεσος δε επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις Η διάμεσος είαι η τιμή που χωρίζει έα σύολο παρατηρήσεω σε δύο ίσα μέρη ότα οι παρατηρήσεις αυτές τοποθετηθού με σειρά τάξης μεγέθους Ακριβέστερα, η διάμεσος είαι η τιμή για τη οποία το πολύ 5% τω παρατηρήσεω είαι μικρότερες από αυτή και το πολύ 5% τω παρατηρήσεω είαι μεγαλύτερες από τη τιμή αυτή 4
Διάμεσος σε Ομαδοποιημέα Δεδομέα Η διάμεσος, όπως ορίστηκε, ατιστοιχεί στη τιμή x της μεταβλητής Χ (στο οριζότιο άξοα), έτσι ώστε το 5% τω παρατηρήσεω α είαι μικρότερες ή ίσες του δ Δηλαδή, η διάμεσος θα έχει αθροιστική σχετική συχότητα F 5% Εφόσο στο κάθετο άξοα έχουμε τις αθροιστικές σχετικές συχότητες, από το σημείο Α (5% τω παρατηρήσεω) φέρουμε τη AB // x και στη συέχεια τη BΓ x Τότε, στο σημείο Γ ατιστοιχεί η διάμεσος δ τω παρατηρήσεω Δηλαδή, δ 73 9 8 7 6 5 4 3 F % A B Γ 56 6 68 74 8 86 9 δ x ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Μέτρα διασποράς λέγοται τα μέτρα που εκφράζου τις αποκλίσεις τω τιμώ μιας μεταβλητής γύρω από τα μέτρα κετρικής τάσης α) Εύρος (R) Το εύρος ή κύμαση (R), που ορίζεται ως η διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από τη μέγιστη παρατήρηση, δηλαδή: Εύρος R Μεγαλύτερη παρατήρηση-μικρότερη παρατήρηση Ότα έχουμε ομαδοποιημέα δεδομέα, το εύρος δίεται από τη διαφορά του κατώτερου ορίου της πρώτης κλάσης από το αώτερο όριο της τελευταίας κλάσης Το εύρος είαι έα αρκετά απλό μέτρο, που υπολογίζεται εύκολα δε θεωρείται όμως αξιόπιστο μέτρο διασποράς, γιατί βασίζεται μόο στις δυο ακραίες παρατηρήσεις γ) Διακύμαση (s ) Έας άλλος τρόπος για α υπολογίσουμε τη διασπορά τω παρατηρήσεω t,t,,t μιας μεταβλητής Χ θα ήτα α αφαιρέσουμε τη μέση τιμή x από κάθε παρατήρηση και α βρούμε το αριθμητικό μέσο τω διαφορώ αυτώ, δηλαδή το αριθμό: (t x) (t x) (t x) (t x) t t t x x x Ο αριθμός όμως αυτός είαι ίσος με μηδέ, γι αυτό, ως έα μέτρο διασποράς παίρουμε το μέσο όρο τω τετραγώω τω αποκλίσεω τω t από τη μέση τιμή τους x Το μέτρο αυτό καλείται διακύμαση ή διασπορά και ορίζεται s (t x) Ότα η μέση τιμή x δε είαι ακέραιος αριθμός ο τύπος γίεται: s t Ότα έχουμε πίακα συχοτήτω ή ομαδοποιημέα δεδομέα, κ s ( x x) t 5
κ κ x ή τη ισοδύαμη μορφή: s x όπου x,x,, x οι τιμές της μεταβλητής (ή τα κέτρα τω κλάσεω) με ατίστοιχες συχότητες,,, δ) Τυπική Απόκλιση (s) Η διακύμαση είαι μια αξιόπιστη παράμετρος διασποράς, αλλά έχει έα μειοέκτημα Δε εκφράζεται με τις μοάδες με τις οποίες εκφράζοται οι παρατηρήσεις Για παράδειγμα, α οι παρατηρήσεις εκφράζοται σε cm, η διακύμαση εκφράζεται σε cm Τυπική απόκλιση λέγεται η θετική τετραγωική ρίζα της διακύμασης, και εκφράζεται με τη ίδια μοάδα μέτρησης του χαρακτηριστικού, όπως ακριβώς είαι και όλα τα άλλα μέτρα θέσης, που εξετάσαμε έως τώρα s s Αξίζει α σημειωθεί ότι α η καμπύλη συχοτήτω για το χαρακτηριστικό που εξετάζουμε είαι καοική ή περίπου καοική, τότε η τυπική απόκλιση s έχει τις παρακάτω ιδιότητες: ) το 68% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσκεται στο διάστημα 5 ( x s, x s) ) το 95% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσκεται στο διάστημα ( x s, x s) ) το 99,7% περίπου τω παρατη-ρήσεω βρίσκεται στο διάστημα ( x 3s, x 3s) ) το εύρος ισούται περίπου με έξι τυπικές αποκλίσεις, δηλαδή R 6s Συτελεστής Mεταβολής (CV) Έα μέτρο με το οποίο μπορούμε α συγκρίουμε ομάδες τιμώ, που είτε εκφράζοται σε διαφορετικές μοάδες μέτρησης είτε εκφράζοται στη ίδια μοάδα μέτρησης, αλλά έχου σηματικά διαφορετικές μέσες τιμές, είαι ο συτελεστής μεταβολής ή συτελεστής μεταβλητότητας ο οποίος ορίζεται από το λόγο: τυπική απόκλιση s CV % % μέση τιμή x Ο συτελεστής μεταβολής εκφράζεται επί τοις εκατό, είαι συεπώς αεξάρτητος από τις μοάδες μέτρησης και παριστάει έα μέτρο σχετικής διασποράς τω τιμώ και όχι της απόλυτης διασποράς, όπως έχουμε δει έως τώρα Εκφράζει, δηλαδή, τη μεταβλητότητα τω δεδομέω απαλλαγμέη από τη επίδραση της μέσης τιμής Γεικά δεχόμαστε ότι έα δείγμα τιμώ μιας μεταβλητής θα είαι ομοιογεές, εά ο συτελεστής μεταβολής δε ξεπερά το % ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Έστω x,,, x x παρατηρήσεις με μέση τιμή x και τυπική απόκλιση x y, y,, y x, x,, x μια σταθερά c, α δειχτεί ότι: α) Α είαι οι παρατηρήσεις που προκύπτου α προσθέσουμε σε καθεμιά από τις ) y x c, ) s y s x β) Α y, y,, y είαι οι παρατηρήσεις που προκύπτου α πολλαπλασιάσουμε τις x, x,, x επί μια σταθερά c, α αποδειχτεί ότι: ) y c x, ) s y c s x s s x 3s x s x s x x s x s x 3s 68% 95% 99,7% s 6