1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος; 5. Τι λέμε συγγραμμικά διανύσματα; 6. Πότε δύο διανύσματα λέγονται ομόρροπα; 7. Πότε δύο διανύσματα λέγονται αντίρροπα; 8. Πότε δύο διανύσματα λέγονται ίσα; 9. Πότε δύο διανύσματα λέγονται αντίθετα; 10. Τι ονομάζουμε γωνία δύο διανυσμάτων και τι τιμές παίρνει; 11. Τι συμπεραίνουμε για τα διανύσματα a, όταν: a, 0 ; a, ; a, ; 1. Πως ορίζουμε το άθροισμα a των διανυσμάτων a και ; 1. Πως προσθέτουμε δύο διανύσματα με τη μέθοδο του παραλληλογράμμου; 14. Ποιες ιδιότητες ισχύουν για το άθροισμα διανυσμάτων; 15. Πως ορίζουμε τη διαφορά a δύο διανυσμάτων a και ; 16.Να λυθεί η εξίσωση a. Σχόλιο Με διανυσματικές ακτίνες λύνονται σύντομα πολλά θέματα του κεφαλαίου αυτού. Ως σημείο αναφοράς επιλέγουμε κατάλληλο σημείο του σχήματος ή του χώρου. Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος 1

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1.1 Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να αποδειχθεί ότι A B A B. Μέθοδος Για τη λύση των ασκήσεων είναι χρήσιμες και οι επόμενες παρατηρήσεις : Για να αποδείξουμε ότι δύο σημεία Μ και Ν ταυτίζονται, αρκεί να αποδείξουμε ότι MN 0, δηλαδή ότι το διάνυσμα MN είναι μηδενικό. Για να αποδείξουμε ότι δύο ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ είναι ίσα και παράλληλα, αρκεί ν.α.ο. AB ή AB. 1. Δίνονται τα σημεία Α,Β,Γ,Δ ΚΑΙ Ε του χώρου, για τα οποία ισχύει A BE. Ν.α.ο. τα σημεία Α και Β συμπίπτουν. Μέθοδος Σε ορισμένα θέματα ζητείται ο προσδιορισμός ενός σημείου Μ, ώστε να ισχύει κάποια διανυσματική σχέση. Στις περιπτώσεις αυτές προσπαθούμε να εντοπίσουμε ένα σταθερό σημείο Ο τέτοιο, ώστε το διάνυσμα OM να εκφράζεται με τη βοήθεια κάποιων διανυσμάτων, τα οποία όμως δεν έχουν ως άκρο το ζητούμενο σημείο. Η χρήση διανυσματικών ακτίνων οδηγεί συχνά σε σύντομες λύσεις. Ας επισημάνουμε ακόμη ότι: Αν βρούμε AM 0, τότε το Μ ταυτίζεται με το Α. Αν βρούμε MA MB 0, τότε το Μ είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τυχαίο σημείο Ρ του χώρου. i) Ν.a.o. PA P PB P. ii) Να προσδιοριστεί η θέση του σημείου Ρ, ώστε να ισχύει PA P P P. 0. 1.4 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τυχαίο σημείο Ρ της πλευράς ΒΓ. Ορίζουμε το σημείο Μ από τη σχέση PM AP PB P. Ν.α.ο. το τετράπλευρο ΑΒΜΓ είναι παραλληλόγραμμο. 1.5 Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Ν.α.ο. AB A B.. 1.6 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Ρ τυχαίο σημείο του επιπέδου. Ν.α.ο. το Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος

διάνυσμα f ( ) A 5B είναι ανεξάρτητο από τη θέση του σημείου Ρ, δηλαδή σταθερό. Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής 1.7 Στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι: ΑΒ = α, = β. α) Το διάνυσμα ΑΓ ισούται με: Α. α - β Β. β - α Γ. Δ. α + β α - β Ε. β) Το διάνυσμα ΒΔ ισούται με: Α. α + β α + β Β. β - α Δ. Ε. β - α Γ. α + β α - β 1.8 Στο διπλανό σχήμα το διάνυσμα x ισούται με: Α. α - β - γ - δ Β. α + β + γ - δ Γ. α - β + γ - δ Δ. α + β - γ - δ Ε. α - β - γ + δ 1.9 Για κάθε τετράδα σημείων Α, Β, Γ, Δ ισχύει: Α. ΑΔ + ΑΓ = ΒΓ + ΒΔ Β. ΑΔ + ΒΓ = ΑΓ + ΒΔ Γ. ΑΔ + ΒΔ = ΑΓ + ΒΓ Δ. ΑΔ + ΒΓ = ΑΓ + ΒΔ Ε. ΑΔ - ΑΓ = ΒΓ + ΒΔ 1.10 Στο κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ είναι: Α. ΑΓ = ΑΕ Β. ΑΓ = - ΕΑ Γ. ΑΓ = - α Δ. ΑΓ = - 4 α Ε. ΑΓ = ΖΔ Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1.11 Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι κυρτό τετράπλευρο και τα Ε, Ζ, Η, Θ μέσα αντιστοίχως των πλευρών ΑΒ, ΓΔ, ΑΓ και ΒΔ. Λανθασμένη είναι η σχέση: Α. ΗΘ = ΑΔ + ΔΘ + ΗΑ Β. ΗΘ = ΒΘ + ΓΒ + ΗΓ Γ. ΗΘ = ΗΑ + ΑΒ + ΒΘ Δ. ΗΘ = ΓΔ + ΔΘ + ΓΗ Ε. ΗΘ = ΑΒ + ΓΔ 4 Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος

Ενότητα. Γινόμενο αριθμού με διάνυσμα Διανυσματική ακτίνα του μέσου ευθύγραμμου τμήματος Ερωτήσεις 1. Πως ορίζεται το γινόμενο του αριθμού λ με το διάνυσμα ;. Τι ιδιότητες έχει ο πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα;. Τι ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων; 4. Πως αποδεικνύουμε με τη βοήθεια διανυσμάτων ότι δύο ευθείες (ε) και (η) είναι παράλληλες; 5. Πως αποδεικνύουμε ότι τρία σημεία Α,Β,Γ (ή περισσότερα) είναι συνευθειακά; 6. Ποια είναι η διανυσματική ακτίνα του μέσου Μ ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ;.1 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και οι πραγματικοί αριθμοί α,β,γ με α+β+γ=0. Ν.α.ο. για τυχαίο σημείο Μ του χώρου το διάνυσμα ama MB M είναι σταθερό, δηλαδή ανεξάρτητο από τη θέση του σημείου Μ... Δίνονται τα σημεία Α,Β,Γ,Ρ,Σ για τα οποία ισχύει ότι PA A P B. Ν.α.ο. τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά με AB B. 4. Δίνονται τα διανύσματα a, με a // και τα σημεία Α,Β,Γ,Ο. Αν OA a, OB 5 a και O 11a ν.α.ο. τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά και ΒΓ=ΑΒ..4 Δίνονται οι αριθμοί κ,λ,μ με 0 και κ+λ+μ=0.αν OA OB O 0, ν.α.ο. τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά..5 Αν για τα σημεία Α,Β,Γ,Δ,Ε ισχύει η σχέση 5AB 7EA 10 0 ν.α.ο. τα σημεία Β,Γ,Δ είναι συνευθειακά. Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος 5

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Σχόλιο Α. Έστω Α,Β,Γ τυχαία σταθερά σημεία και Μ ένα μεταβλητό σημείο. Αν ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων με άκρα τα Α,Β,Γ,Μ ισούται με ένα διάνυσμα στο οποίο δεν εμφανίζεται ως άκρο το μεταβλητό σημείο Μ, τότε το διάνυσμα είναι ένα σταθερό διάνυσμα, ανεξάρτητο δηλαδή από τη θέση του σημείου Μ. Β. Για την απόδειξη τέτοιων θεμάτων επιλέγουμε κάποιο από τα σταθερά σημεία ως αρχή και εκφράζουμε όλα τα διανύσματα με τη βοήθεια των διανυσματικών ακτίνων των άκρων τους. Επιδίωξή μας είναι να μην εμφανιστεί στον τελικό γραμμικό συνδυασμό διανυσμάτων ως άκρο το μεταβλητό σημείο..6 Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και ένα μεταβλητό σημείο Μ. Ν.α.ο. το διάνυσμα a MA 4 MB M M είναι σταθερό..7 Θεωρούμε τα μη μηδενικά και μη παράλληλα ανά δύο διανύσματα a,,. Αν ισχύουν οι σχέσεις a //( ) και //( a), ν.α.ο. //( a ). Σχόλιο Για την εύρεση του γεωμετρικού τόπου ενός μεταβλητού σημείου Μ τέτοιου, ώστε να ικανοποιείται μια σχέση με διανύσματα, αξίζει να έχουμε κατά νου τις εξής πολύ βασικές πληροφορίες: Αν προκύψει ότι AM a, όπου Α είναι σταθερό σημείο, και το διάνυσμα a είναι σταθερό (έχει σταθερό μέτρο), τότε γράφουμε AM a R και έτσι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο Α και ακτίνα R, Αν προκύψει ότι MA MB, όπου Α,Β είναι σταθερά σημεία, τότε ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ..8 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει MA MB MA M. 6 Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος

.9 Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τοπό των σημείων Μ του επιπέδου του ΑΒΓΔ για τα οποία ισχύει MA MB M M..10 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Ν.α.ο. για οποιοδήποτε σημείο Μ το διάνυσμα u MA MB M είναι σταθερό..11 Ν.α.ο. το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών ενός τραπεζίου είναι παράλληλο προς τις βάσεις του..1 Στην πλευρά ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε σημείο Ρ τέτοιο, ώστε BP P. Ν.α.ο. AB A 5AP..1 Δίνονται τα σημεία Α, Β και Γ. Ν.α.ο. για οποιοδήποτε σημείο Μ το διάνυσμα MA 5MB M.14 Αν για τα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε ισχύει η σχέση A BE B A AE B ν.α.ο. τα σημεία Γ, Δ, Ε είναι συνευθειακά..15 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΒΓ=5 και τυχαίο σημείο Δ του χώρου. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ του επιπέδου του ΑΒΓ, ώστε να ισχύει MB M M M. Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής.16 Στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ το Μ είναι μέσο της ΑΒ. Αν = α και ΔΓ = β, τότε: α) Το διάνυσμα ΔΜ ισούται με: α + β β - α Α. Β. Δ. α + 1 β Ε. 1 α + β Γ. - α + 1 β β) Το διάνυσμα ΜΓ ισούται με: Α. α - 1 β Β. 1 Δ. α + 1 β Ε. α + β Γ. 1 α + β α - β Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος 7

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου γ) Με α + β ισούται το διάνυσμα: Α. ΑΒ Β. ΒΔ Γ. ΔΒ Δ. ΓΑ Ε. ΑΓ δ) Με α - β ισούται το διάνυσμα: Α. ΑΓ Β. ΓΑ Γ. ΒΑ Δ. ΔΒ Ε. ΒΔ.17 Αν α, β ομόρροπα διανύσματα, κ, λ R* διάφοροι του 1 και κ α + λβ = 0, τότε: Α. κ, λ θετικοί Β. κ, λ αρνητικοί Γ. κ, λ αντίστροφοι Δ. κ, λ ετερόσημοι Ε. κανένα από τα προηγούμενα.18 Αν ισχύει: κ α + λβ = 0, κ, λ πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός, τότε ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σε κάθε περίπτωση σωστή; Α. Τα α, β έχουν την ίδια φορά Β. Τα α, β είναι κάθετα Γ. Τα α, β είναι αντίρροπα Δ. Τα α, β έχουν το ίδιο μέτρο Ε. Τα α, β έχουν την ίδια διεύθυνση.19 Στο τρίγωνο ΑΒΓ η ΒΕ είναι διάμεσος. Το άθροισμα ΒΑ + ΒΓ ισούται με: Α. ΒΕ Β. ΓΑ Γ. ΕΒ Δ. ΒΕ Ε. ΑΓ 8 Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος

Ενότητα. Ο άξονας Το καρτεσιανό επίπεδο Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων Συντελεστής διεύθυνσης διανύσματος Ερωτήσεις 1. Τι μορφή έχουν τα σημεία του άξονα x x και τι μορφή τα σημεία του άξονα yý;. Τι ονομάζουμε συντεταγμένες διανύσματος;. Αν Α(x 1,y 1 ) και B(x,y ), ποιες είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος AB ; 4. Με τι ισούται το μέτρο του διανύσματος a ( x, y) ; 5. Αν Α(x 1,y 1 ) και B(x,y ), πως υπολογίζεται το (ΑΒ); 6. Με τη βοήθεια της ορίζουσας να γράψετε μια αναγκαία και ικανή συνθήκη, ώστε δύο διανύσματα να είναι συγγραμμικά (παράλληλα). 7. Τι ονομάζουμε γωνία που σχηματίζει ένα μη μηδενικό διάνυσμα a με τον άξονα x x και τι τιμές παίρνει; 8. Τι ονομάζουμε συντελεστή διεύθυνσης ενός διανύσματος a ( x, y) και πότε ορίζεται; 9. Ποια σχέση συνδέει τους συντελεστές διεύθυνσης δύο παράλληλων διανυσμάτων; Ορισμός της ορίζουσας δύο διανυσμάτων: Ονομάζουμε ορίζουσα δύο διανυσμάτων α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) και τη συμβολίζουμε με x 1 y 1 x y τον πραγματικό αριθμό x 1 y 1 x y = x 1 y - x y 1, όπου η 1 η γραμμή είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος α = (x 1, y 1 ) και η η γραμμή είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος β = (x, y ). Την ορίζουσα των διανυσμάτων α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) με την σειρά που δίνονται, τη συμβολίζουμε και με det(α,β ). Δηλαδή det(α,β ) = x 1 y 1 x y = x 1 y - x y 1. Γενικότερα, η παράσταση D = x 1 y 1 x y = x 1 y - x y 1 ονομάζεται ορίζουσα και είναι ένας πραγματικός αριθμός..1 Να βρεθούν οι τιμές του λ R ώστε τα διανύσματα a =(λ -λ+,λ -1) και =(λ +λ+1,λ+1) να είναι ίσα. Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος 9

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου. Να βρεθούν οι τιμές των x, y ώστε τα διανύσματα a =(x +y,x+y) και =(-7,-1) να είναι αντίθετα.. Να γραφεί το διάνυσμα v (4,1) ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων a (,) και (1,)..4 Δίνονται τα σημεία Α(1,), Β(6,8) και Δ(-,). Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου Γ, έτσι ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να είναι παραλληλόγραμμο..5 Δίνεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με Α(,-1) και Β(9,5). Να βρεθούν τα σημεία Μ, Ν του ΑΒ ώστε ΑΜ=ΜΝ=ΝΒ..6 Δίνεται το διάνυσμα a =(-6,8). Να βρεθεί: i) το μέτρο του a, ii) ένα διάνυσμα αντίρροπο του a με μέτρο πλάσιο απ το a..7 Να βρεθεί ένα σημείο Μ του άξονα x x το οποίο ισαπέχει από τα σημεία Α(1,) και Β(,-4)..8 Να βρεθούν οι τιμές του x R ώστε τα διανύσματα a =(x,1) και =(9,x) να είναι αντίρροπα..9 Σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι Α(-,-1), Β(-5,-), Γ (-4,7) και Δ(-,). i) Ν.α.ο. οι ευθείες ΑΒ και ΓΔ τέμνονται. ii)να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου τομής Ρ των ΑΒ, ΓΔ..10 Να βρεθούν η γωνία φ την οποία σχηματίζει το διάνυσμα AB, όπου Α(,4) και Β(4,) με τον άξονα x x. Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης του AB ;.11 Αν φ, ω είναι οι γωνίες που σχηματίζουν τα διανύσματα a =(,1) και =(,1) με τον άξονα x x, ν.α.ο. φ+ω=π/4. Σχόλιο Πολλές φορές για την απόδειξη μιας πρότασης ιδιαίτερα αν πρόκειται για γεωμετρικό πρόβλημα τοποθετούμε το σχήμα και 10 Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος

όλα τα δεδομένα της άσκησης σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων. Η τοποθέτηση του σχήματος γίνεται με τέτοιο τρόπο, ώστε να έχουμε όσο το δυνατόν λιγότερους αγνώστους. Αυτό επιτυγχάνεται αν : εκμεταλλευτούμε τις συμμετρίες του σχήματος εκμεταλλευτούμε τις ορθές γωνίες του σχήματος τοποθετήσουμε το μέγιστο δυνατό αριθμό σημείων του σχήματος στους άξονες.1 Να βρεθούν οι x, y R ώστε τα διανύσματα a =(x -xy+y,x+y) και =(-7,-5) να είναι αντίθετα..1 *Να βρεθούν οι x, y R ώστε τα διανύσματα a =(xy+x+y,x y+xy ) και =(11,0) να είναι ίσα.(εργασία).14 Έστω τα διανύσματα a =(1,4), =(,) και =(-,). Να αναλύσετε το διάνυσμα a σε δύο συνιστώσες από τις η μία να είναι παράλληλη στο και η άλλη στο Συμπληρωματική ομάδα..15 Δίνονται τα διανύσματα a =(,) και =(-,-). Na βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος γωνία που σχηματίζει το v με τον άξονα x x. v a καθώς και η.16 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(4,-1), Β(6,7), Δ(-,-4). Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες της κορυφής Γ..17 Δίνονται τα σημεία Β(1,) και Γ(-1,6). Να βρείτε σημείο Α του άξονα x x ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με (ΑΒ)=(ΑΓ)..18 Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με Α(,), Β(0,-1), Γ(-5,-), Δ(1,7). Ν.α.ο. το ΑΒΓΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο..19 Αν Κ, Λ, Μ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ αντίστοιχα του τριγώνου ΑΒΓ και είναι Κ(1,), Λ(,-), Μ(4,0), να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες των κορυφών του..0 Δίνονται τα σημεία Α(-,5) και Β(-10,-).Να βρείτε σημείο της ευθείας (ε) : y=-1 που να ισαπέχει από τα Α, Β. Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος 11

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής.1 Τα διανύσματα a =(1,λ) και =(4,-λ) είναι παράλληλα όταν: Α. λ=-1 Β. λ=1 Γ. λ=0 Δ. λ=4 Ε. λ=-4. Με a =(1,-), =(-1,), =(,-6) ισχύει: Α. a + = Β. a - = Γ. a - = Δ. - = a Ε. a + =-. Δίνεται το διάνυσμα a =(,- ). Παράλληλο προς το διάνυσμα a είναι το διάνυσμα: 1 Α. (, ) Β. (, ) Γ. (,) Δ. ( 1, ) Ε. (,).4 Το διάνυσμα α (λ - λ - 4, λ - ) είναι μηδενικό με: Α. λ = Β. λ = 1 Γ. λ = - 4 Δ. λ = 0 Ε. για κανένα πραγματικό αριθμό λ.5 Το διάνυσμα α (ημθ, συνθ) είναι το μηδενικό με: Α. θ = κπ Β. θ = κπ + π 4 Γ. θ = κπ + π Δ. θ = κπ + π Ε. καμία τιμή του θ.6 Είναι α (ημθ, συνθ), θ R και κ Ζ. Το α είναι παράλληλο στον άξονα x x με: Α. θ = κπ Β. θ = κπ + π 4 Γ. θ = κπ + π Δ. θ = κπ + π Ε. θ = κπ π.7 Το διάνυσμα α = (ημθ, συνθ), είναι παράλληλο στο β = (συνθ, ημθ) με: Α. θ = 0 Β. θ = π 4 Γ. θ = π Δ. θ = π Ε. θ = π 1 Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος

.8 α διανύσματα α = (λ, λ) και β = (1, - ) είναι παράλληλα. Ο λ ισούται με: Α. - Β. - 1 Γ. Δ. 1 Ε..9 Δίνονται τα διανύσματα α = (-, 4) και β = (, - ). Η σχέση α + κ β = 0 ισχύει με: Α. κ = Β. κ = - Γ. κ = - Δ. κ = Ε. κανένα κ R Ενότητα 4. Εσωτερικό γινόμενο Ερωτήσεις 1. Τι ονομάζεται εσωτερικό γινόμενο a των διανυσμάτων a, ;. Να γράψετε τις ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου.. Πως υπολογίζεται η γωνία θ που σχηματίζουν τα διανύσματα a x 1, y ) και x, y ); ( 1 ( 4.1 Έστω ΑΔ το ύψος ενός ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ με πλευρά α=4. Να υπολογιστούν οι αριθμοί: i) AB ii) A 4. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα a και. Αν ν.α.ο. a // και αντιστρόφως. a, 4. Έστω a, δύο διανύσματα με a και 1. Αν τα a, σχηματίζουν γωνία θ=π/4, να βρεθεί το μέτρο του διανύσματος x a. Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος 1

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 4.4 Δίνονται τα διανύσματα a, με a, Να βρεθεί το μέτρο του διανύσματος a. a. και, 4.5 Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα a, με a. Αν a ( a ), ν.α.ο. η γωνία των διανυσμάτων a, είναι ίση με π/. 4.6 Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με Α(0,0), Β(α,β), Γ (α+,β) και Δ(,0).Ν.α.ο.: i) το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, ii) αν ΒΓ=ΑΒ και Μ είναι το μέσο της ΑΔ, τότε ΜΒ ΜΓ. 4.7 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου ενός τριγώνου ΑΒΓ για τα οποία ισχύει AB AM MA A 4.8 Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(1,),Β(-,1) και Γ (,6).Να υπολογιστεί η γωνία Α του τριγώνου. 4.9 Έστω ΑΔ το ύψος ενός τριγώνου ΑΒΓ. Αν AB B B, ν.α.ο. το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. 4.10 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και οι προβολές Ε, Ζ του Δ πάνω στις πλευρές ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Ν.α.ο. ισχύει η σχέση A AZ AB AE A. 4.11 Να αναλυθεί το διάνυσμα u (9,19) σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες, από τις οποίες η μία να έχει τη διεύθυνση του διανύσματος a ( 5, ). 4.1 Έστω τρία διανύσματα a,, με 1,, 4, a,, a και, a. Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις: i) a, ii) a iii) a iv) a a v) a a 4.1 Να βρεθούν τα διανύσματα τα οποία είναι κάθετα στο διάνυσμα a,4 και έχουν μέτρο ίσο με 5. 14 Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος

4.14 Θεωρούμε τα διανύσματα a, με a, 6. Να βρείτε τις τιμές του λ R, ώστε τα διανύσματα κάθετα. u a και v a να είναι 4.15 Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(4,), Β(1,), Γ(6,7).Να υπολογιστεί η γωνία Α του τριγώνου. 4.16 Έστω τα διανύσματα a και με,,να υπολογιστεί η γωνία,.. a,.αν a και 4.17 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να προσδιορίσετε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει AB M A Συμπληρωματική ομάδα. 4.18 Έστω τα διανύσματα a και με 1,, a και a,,να υπολογίσετε τη γωνία.αν 4.19 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το τυχαίο σημείο Μ του επιπέδου του. Να αποδείξετε ότι η παράσταση f M MA B είναι ανεξάρτητη από τη θέση του. 4.0 Οι μαθητές σε ένα διαγώνισμα έδωσαν δύο διαφορετικές λύσεις στην παρακάτω άσκηση: Δίνεται το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ=1 και AB ˆ 10.Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο. 1 η λύση: ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ ΑΒΑΓσυν10 Ο = 1 + 1-συν10 Ο = +συν60 Ο =+½=, ΒΓ =, 0 Άρα η λύση: Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος 15

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1 10 ( ) 1 1 1. 1, Ποια από τις δύο λύσεις είναι η σωστή; Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής 4.1 Δίνονται τα διανύσματα a (, ), (1, 1) και 1 1 (, ). Σωστή είναι η σχέση: Α. a // //, Β., Γ. Δ. Ε. a. 4. Αν,, a και 0,, τότε η γωνία, ισούται με : Α. 0 ο, Β. 0 ο, Γ. 10 ο, Δ.60 ο, Ε. 150 ο 4. Τα διανύσματα α = (λ, 1 λ ) και β = (- 1, 8 λ ) είναι κάθετα με: Α. λ = - 1 Β. λ = 0 Γ. λ = 1 Δ. λ = Ε. λ = 8 4.4 Δίνονται τα διανύσματα α = (, - ), β = (1, - 1) και γ = ( 1, - 1 ). Σωστή είναι η σχέση: Α. α = β Β. α. γ = β Γ. α // β // γ Δ. α γ Ε. α = β - γ 4.5 Τα διανύσματα α = (λ, 4) και β = (λ - 4, 1) είναι κάθετα. Ο πραγματικός αριθμός λ ισούται με: Α. 0 Β. - Γ. Δ. 4 Ε. 1 4 4.6 Αν κ =, ν =, κ. ν = - και 0 θ = ( κ, ν ) < π, τότε η γωνία θ ισούται με: Α. 0 Β. 0 Γ. 60 Δ. 10 Ε. 150 4.7 Είναι α. β = 0. Από τις παρακάτω σχέσεις δεν μπορεί να 16 Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος

ισχύει: Α. α = 0 Β. β α Γ. α = β και ( α, β ) = π Δ. ( α, β ) = π 4 Ε. α = β = 1 και ( α, β ) = π 6 4.8 Σύμφωνα με το σχήμα, το α. β ισούται με: Α. α. β Β. - α. β Γ. 0 Δ. 1 α. β Ε. - 1 α. β 4.9 Σύμφωνα με το σχήμα, το α. β ισούται με: Α. 0 Β. α. β Γ. - α. β Δ. α. β Ε. - α. β 4.0 Σύμφωνα με το σχήμα, το α. β ισούται με: Α. α. β Β. 1 α. β Γ. Ε. - α. β Δ. - 1 α. β α. β 4.1 Στο σχήμα το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο με πλευρά 4 cm. Ποια από τις παρακάτω ισότητες είναι λανθασμένη; Α. ΑΒ. ΓΒ = 0 Β. ΑΟ. ΑΒ = 8 Γ. ΑΒ. ΑΓ = 16 Δ. ΑΒ. ΓΔ = - 16 Ε. ΟΒ. ΒΑ = 8 4. Αν α είναι μη μηδενικό διάνυσμα και β ένα οποιοδήποτε άλλο διάνυσμα, τότε το γινόμενο α. β ισούται με: Α. α. προβ β α Β. α. προβ α Γ. β. προβ α β Δ. α. προβ α β β Ε. β. προβ β α 4. Τα διανύσματα α και β είναι μη μηδενικά. Το συν ( α, β ) Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος 17

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου ισούται με: α β Α. α.β Β. α β α.β Γ. α.β α β Δ. α.β α + β Ε. α.β α + β Γενικές ασκήσεις στα διανύσματα. 1. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να προσδιοριστεί σημείο Ρ για το οποίο είναι 0.. Αν Κ,Λ,Μ είναι τα μέσα των πλευρών ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ αντίστοιχα τριγώνου ΑΒΓ, ν.α.ο. για οποιοδήποτε σημείο Ο ισχύει OA OB O. Δίνονται τα διανύσματα a και.ν.α.ο.: i) a, ii). Να ερμηνευτούν γεωμετρικά οι παραπάνω προτάσεις: 4. Δίνονται τα διανύσματα (, ) υπολογιστεί η γωνία θ των a και. a και, με κλ. Να 5. Να αναλυθεί το διάνυσμα u σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η μία να έχει τη διεύθυνση γνωστού διανύσματος a. 6. Έστω ΑΔ το ύψος ενός τριγώνου ΑΒΓ. Αν A, Ν.α.ο. O Aˆ 90. 7. Δίνονται τα διανύσματα a, με 1 και,. Να υπολογιστεί η γωνία των διανυσμάτων u 4a και v. 18 Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος

8. Δίνονται τα διανύσματα,, για τα οποία ισχύουν 1,, και 0. Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης. 9. Ένας κύκλος (Ο,ρ) διέρχεται από την κορυφή Α ενός παραλληλογράμμου και τέμνει τις ΑΒ, ΑΓ και ΑΔ στα σημεία Β,Γ και Δ αντίστοιχα. Ν.α.ο. AB AB 10. Δίνονται τρία διαδοχικά τετράγωνα ΑΒΓΔ, ΒΓΕΖ και ΖΕΘΗ. Ν.α.ο. ˆ ˆ. Επιμέλεια Σημειώσεων Μανάρας Νικόλαος 19