Νίκος Μαρμαρίδης. Εισαγωγή στη Θεωρία Ομάδων

Νίκος Μαρμαρίδης Εισαγωγή στη Θεωρία Ομάδων Λ 2013

Περιεχόμενα 1 Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου 5 11 Δράσεις και μετατακτικές Αναπαραστάσεις 5 12 Τροχιές και Σταθερωτές 10 121 Το Θεώρημα Burnside 12 13 Δράση Ομάδας επί Υποσυνόλων και Πλευρικών Κλάσεων 15 131 Αριστερή Δράση 15 132 Δράση στις αριστερές πλευρικές Κλάσεις 16 133 Το Θεώρημα Cauchy 20 14 Συζυγία 21 141 Επεκτείνοντας τη Δράση Συζυγίας 23 142 Η Εξίσωση των Κλάσεων 23 15 Ποια είναι η Τιμή τής Πιθανότητας δύο Στοιχεία μιας Ομάδας να μετατίθενται; 27 2 Θεωρία Sylow 31 21 Τα Θεωρήματα Sylow 31 22 Εφαρμογές τής Θεωρίας Sylow 39 221 Αυτομορφισμοί Ομάδας και χαρακτηριστικές Υποομάδες 45 222 Η εναλλάσσουσα ομάδα A 5 είναι απλή 47 223 Η απλότητα τής A n, για n 5 49 224 Κριτήρια για το πότε μια Ομάδα δεν είναι απλή 52 225 Πεπερασμένες Υποομάδες τής Ομάδας των αντιστρέψιμων Στοιχείων ενός Σώματος 53 3 Ευθέα Γινόμενα Ομάδων 57 31 Εξωτερικό και Εσωτερικό ευθύ Γινόμενο 57 311 Εξωτερικό ευθύ Γινόμενο 57 312 Εσωτερικό ευθύ Γινόμενο 59 313 Σχέση εξωτερικού και εσωτερικού ευθέος Γινομένου 61 32 Η Ταξινόμηση των πεπερασμένων αβελιανών Ομάδων 64 3

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 4 Το Θεώρημα Jordan Hölder 73 41 Προκαταρκτικές Έννοιες 73 411 Υποορθόθετες και ορθόθετες Σειρές για μια Ομάδα 73 42 Το Θεώρημα Εκλέπτυνσης Schreier 75 421 Το Λήμμα τής Πεταλούδας 75 43 Συνθετικοί και κυρίαρχοι Παράγοντες 81 431 Περιγραφή συνθετικών ή κυρίαρχων Παραγόντων 81 432 Οι χαρακτηριστικώς απλές πεπερασμένες Ομάδες 83 5 Επιλύσιμες Ομάδες 87 51 Προκαταρκτικές Έννοιες 87 52 Μεταθέτες και παράγωγες Ομάδες 90 521 Η παράγωγη Σειρά μιας Ομάδας 92 53 Μηδενοδύναμες Ομάδες 95 531 Τα ανώτερα κέντρα μιας ομάδας 95 54 Οι Ομάδες τάξης <60 είναι επιλύσιμες 103 6 Επεκτάσεις Ομάδων 107 61 Προκαταρκτικές Έννοιες 107 62 Το Πρόβλημα τής Επέκτασης και το ημιευθύ Γινόμενο 108 621 Ημιευθύ Γινόμενο 108 63 Για ποιές Τιμές τού n N είναι κάθε Ομάδα Τάξης n κυκλική; 120 Ν Μαρμαρίδης 4

Κεφάλαιο 1 Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου 11 Δράσεις και μετατακτικές Αναπαραστάσεις Έστω (G, ) μια ομάδα και A ένα μη κενό σύνολο Ορισμός 111 Μια απεικόνιση ϕ : G A A, (g, a) ϕ((g, a)) που ικανοποιεί τα: και g 1, g 2 G, a A, ϕ((g 1 g 2, a)) = ϕ ((g 1, ϕ ((g 2, a)))) (*) a A, ϕ((e G, a)) = a, όπου e G το ουδέτερο στοιχείο τής G ονομάζεται δράση τής ομάδας G επί τού συνόλου A Συμβολισμός Συνήθως, γράφουμε gϕa αντί τού ϕ((g, a)), όπου g G, a A Έτσι, η προηγούμενη σχέση (*) γράφεται (g 1 g 2 )ϕa = g 1 ϕ(g 2 ϕa) Παραδείγματα 111 Θεωρούμε ένα τετράγωνο, βλ Σχήμα 11, και τη διεδρική ομάδα D 4 των στερεών κινήσεών¹ του Υπενθυμίζουμε ότι η πράξη τής D 4 είναι η σύνθεση των στερεών κινήσεων και ότι το σύνολο των στοιχείων τής D 4 περιγράφεται ως D 4 = {Id, ρ, ρ 2, ρ 3, s, sρ, sρ 2, sρ 3 }, ( ) 1 2 3 4 όπου ρ = είναι η στροφή κατά γωνία π/4 γύρω από τον άξονα, ο 2 3 4 1 οποίος είναι κάθετος στο επίπεδο τού τετραγώνου, με φορά αυτήν που ακολουθούν ¹των ισομετριών τού χώρου που απεικονίζουν το τετράγωνο στον εαυτό του 5

1 Δ Ο Σ 4 3 Ȯ 1 2 Σχήμα 11: κατά την( κίνησή τους ) οι δείκτες τού ρολογιού 1 2 3 4 και s = είναι η ανάκλαση ως προς τον άξονα συμμετρίας που διέρχεται από τις κορυφες 1 και 3 1 4 3 2 Το στοιχείο ρ είναι τάξης 4 και το στοιχείο s είναι τάξης 2 Επιπλέον, ρs = sρ 1 Είναι γνωστό ότι η D 4 παριστάνεται πιο σύντομα μέσω γεννητόρων και σχέσεων ως D 4 = s, ρ ρ 4 = Id, s 2 = Id, ρs = sρ 1 Θεωρούμε το σύνολο K = {1, 2, 3, 4} των κορυφών τού τετραγώνου, βλ Σχήμα 11, και την απεικόνιση ϕ, που επάγεται από τις στερεές κινήσεις τού τετραγώνου επί τού συνόλου K, δηλαδή την ϕ : D 4 K K, (τ, i) τϕi := τ(i) Είναι άμεσο ότι η ϕ είναι μια δράση τής διεδρικής ομάδας D 4 επί τού συνόλου K = {1, 2, 3, 4} των κορυφών τού τετραγώνου, αφού και τ, τ D 4, i K : (τ τ )ϕi = (τ τ )(i) = τ(τ (i)) = τϕ(τ ϕi) i K : (Id, i) Id ϕi = Id(i) = i Θεωρούμε το σύνολο = {δ 1 = {1, 3}, δ 2 = {2, 4}} των διαγωνίων τού τετραγώνου Κάθε ένα από τα οκτώ στοιχεία τ τής D 4 απεικονίζει τις διαγωνίους τού τετραγώνου σε διαγωνίους και ως εκ τούτου ορίζεται η απεικόνιση ψ : D 4, Ν Μαρμαρίδης 6

11 Δ Α όπου (τ, {i, j}) τψ{i, j} := {τ(i), τ(j)} Η ψ είναι μια δράση τής D 4 επί τού συνόλου Πράγματι, τ, τ D 4, {i, j} είναι (τ τ )ψ({i, j}) = {τ τ (i), τ τ (i)} = {τ(τ (i)), τ(τ (i))} = τψ{τ (i), τ (i)} και {i, j} : Id ψ{i, j} = {Id(i), Id(j)} = {i, j} Αντίθετα, θεωρώντας το σύνολο L = {l 1 = {1, 2}, l 2 = {3, 4}} δύο παράλληλων πλευρών τού τετραγώνου, παρατηρούμε ότι η απεικόνιση που επάγεται από τη δράση τής D 4 επί τού τετραγώνου δεν ορίζει μια δράση επί τού L, αφού η πλευρά ρ(l 1 ) = {ρ(1), ρ(2)} = {4, 1} δεν ανήκει στο σύνολο L Έστω A ένα μη κενό σύνολο και (S A, ) η συμμετρική ομάδα τού A, δηλαδή η ομάδα που απαρτίζεται από τις «1 1» και «επί» απεικονίσεις από το A στο A και έχει ως πράξη τη σύνθεση των απεικονίσεων Θεώρημα 111 Αν ϕ : G A G είναι μια δράση τής ομάδας G επί τού A, τότε η αντιστοιχία X(ϕ) : G S A, g X(ϕ)(g) : A A a X(ϕ)(g)(a) := gϕa είναι ένας ομομορφισμός ομάδων Αν χ : G S A είναι ένας ομομορφισμός ομάδων, τότε η απεικόνιση Φ(χ) : G A A, (g, a) gφ(χ)a := χ(g)(a) είναι μια δράση τής G επί τού A Έστω ότι D(G, A) είναι το σύνολο δράσεων ϕ : G A A και Hom(G, S A ) είναι το σύνολο των ομομορφισμών χ από την G στη συμμετρική ομάδα S A τού A Οι απεικονίσεις X : D(G, A) Hom(G, S A ), ϕ X(ϕ) και Φ : Hom(G, S A ) D(G, A), χ Φ(χ) είναι η μία αντίστροφη τής άλλης 7 Ν Μαρμαρίδης

1 Δ Ο Σ Απόδειξη Πρώτα, πρέπει να αποδείξουμε ότι η X(ϕ) είναι μια καλά ορισμένη απεικόνιση, δηλαδή ότι g G, η X(ϕ)(g) είναι μια «1 1» και «επί» απεικόνιση και ως εκ τούτου ανήκει στην S A Αν a A, τότε X(ϕ)(g)(g 1 ϕa) = gϕ(g 1 ϕa) = (g g 1 )ϕa = e G ϕa = a Ώστε, g G, η X(ϕ)(g) είναι «επί» Έστω ότι a, a A, g G με X(ϕ)(g)(a) = X(ϕ)(g)(a ) Τότε, X(ϕ)(g)(a) = X(ϕ)(g)(a ) gϕa = gϕa g 1 ϕ(gϕa) = g 1 ϕ(gϕa ) (g 1 g)ϕa = (g 1 g)ϕa e G ϕa = e G ϕa a = a Ώστε, g G, η X(ϕ)(g) είναι «1 1» και τελικώς η X(ϕ) : G S A είναι μια καλά ορισμένη απεικόνιση Θα δείξουμε τώρα ότι X(ϕ) είναι ένας ομομορφισμός ομάδων, δηλαδή ότι g 1, g 2 G οι απεικονίσεις X(ϕ)(g 1 g 2 ) και X(ϕ)(g 1 ) X(ϕ)(g 2 ) είναι ίσες Πράγματι, a G έχουμε X(ϕ)(g 1 g 2 )(a) = (g 1 g 2 )ϕa = g 1 ϕ(g 2 ϕa) = X(ϕ)(g 1 )[(X(ϕ)(g 2 )(a))] = (X(ϕ)(g 1 ) (X(ϕ)(g 2 ))(a) Επομένως, ϕ D(G, A) το X(ϕ) ανήκει στο σύνολο Hom(G, S A ) Τώρα θα αποδείξουμε ότι αν, χ : G S A είναι ένας ομομορφισμός ομάδων, τότε η απεικόνιση Φ(χ) : G A A, (g, a) gφ(χ)a := χ(g)(a) είναι μια δράση τής G επί τού A Για κάθε g 1, g 2 G, a A, έχουμε: (g 1 g 2 )Φ(χ)a = χ(g 1 g 2 )(a) = (χ(g 1 ) χ(g 2 ))(a) = χ(g 1 )(χ(g 2 )(a)) = g 1 Φ(χ)(g 2 Φ(χ)a) Για κάθε a A, έχουμε: e G Φ(χ)a = χ(e G )(a) = Id A (a) = a Επομένως, χ Hom(G, S A ) η Φ(χ) ανήκει στο σύνολο D(G, A) Υπολείπεται να δείξουμε ότι οι απεικονίσεις X : D(G, A) Hom(G, S A ), ϕ X(ϕ) και Φ : Hom(G, S A ) D(G, A), χ Φ(χ) Ν Μαρμαρίδης 8

11 Δ Α είναι η μία αντίστροφη τής άλλης, δηλαδή ότι ϕ D(G, A) είναι Φ X(ϕ) = ϕ και ότι χ Hom(G, S A ) είναι X Φ(χ) = χ Για κάθε ϕ D(G, A), το X(ϕ) ανήκει στο Hom(G, S A ) και το Φ(X(ϕ)) ανήκει στο D(G, A) Έχουμε: (g, a) G A : gφ(x(ϕ))(a) = X(ϕ)(g)(a) = gϕa Συνεπώς, η δράση Φ X(ϕ) : G A A συμπίπτει με τη δράση ϕ : G A A Επομένως, η Φ X : D(G, A) D(G, A) είναι η ταυτοτική απεικόνιση Για κάθε χ Hom(G, S A ), το Φ(χ) ανήκει στο D(G, A) και το X(Φ(χ)) ανήκει στο Hom(G, S A ) Έχουμε: g G, a A : X(Φ(χ))(g)(a) = gφ(χ)a = χ(g)(a) Συνεπώς, για κάθε g G, το στοιχείο X(Φ(χ))(g) τής συμμετρικής ομάδας S A συμπίπτει με το στοιχείο της χ(g) Επομένως, η X Φ : Hom(G, S A ) Hom(G, S A ) είναι η ταυτοτική απείκονιση Ορισμός 112 Κάθε ομομορφισμός από μια ομάδα G σε μια ομάδα συμμετρίας S A ενός συνόλου A ονομάζεται μια μετατακτική αναπαράσταση τής G Παρατηρήσεις 111 Το γεγονός ότι μια δράση χορηγεί έναν ομομορφισμό και αντιστρόφως βοηθά στον προσδιορισμό όλων των δράσεων μιας ομάδας επί ενός συνόλου Για παράδειγμα, αν η ομάδα G είναι η κυκλική ομάδα (Z 13, +) και A είναι ένα σύνολο με οκτώ στοιχεία, τότε η μόνη δράση τής Z 13 που ορίζεται επί τού A είναι η τετριμμένη, δηλαδή η ϕ : Z 13 A A, [z]ϕa a, [z] Z 13, a A, αφού οποιαδήποτε δράση χορηγεί έναν ομομορφισμό Z 13 S A και υπάρχει μόνον ο τετριμμένος ομομορφισμός από την Z 13 στην S A, αφού το 13 8! Ορισμός 113 Πυρήνας μιας δράσης ϕ : G A G είναι το υποσύνολο K ϕ := {g G gϕa = a, a A} Λήμμα 112 Ο πυρήνας K ϕ μιας δράσης ϕ : G A G συμπίπτει με τον πυρήνα KerX(ϕ) τού επαγόμενου ομομορφισμού X(ϕ) : G S A και συνεπώς είναι μια ορθόθετη υποομάδα τής G Απόδειξη Πράγματι, g K ϕ a A, gϕa = a X(ϕ)(g) = Id A g KerX(ϕ) 9 Ν Μαρμαρίδης

1 Δ Ο Σ Ορισμός 114 Μια δράση ϕ : G A G ονομάζεται πιστή, αν ο πυρήνας της είναι η τετριμμένη υποομάδα K ϕ = {e G } Στην περίπτωση αυτή, η ομάδα G, που δρα επί του A, μπορεί να θεωρηθεί ως υποομάδα τής συμμετρικής ομάδας S A, αφού K ϕ = KerX(ϕ) Προσέξτε, ότι οποιαδήποτε δράση ϕ : G A G χορηγεί μια πιστή δράση τής πηλικοομάδας G/K ϕ επί τού A, ως ακολούθως ϕ : G/K ϕ A G, (gk ϕ, a) (gk ϕ )ϕa := gϕa Προτείνουμε να ελέγξει μόνος του ο αναγνώστης, πρώτα ότι η ϕ είναι μια καλά ορισμένη απεικόνιση και κατόπιν ότι ορίζει μια δράση τής G/K ϕ επί τού A 12 Τροχιές και Σταθερωτές Έστω ότι ϕ : G A G μια δράση τής G επί τού A και η σχέση R ϕ A A επί τού A, η οποία ορίζεται ως εξής: Αν a, A, (a, b) R ϕ g G : gϕa = b Λήμμα 121 Το R ϕ A A είναι μια σχέση ισοδυναμίας επί τού A Απόδειξη Πράγματι, (αʹ) a A, το (a, a) R ϕ, αφού e G ϕa = a (βʹ) Αν (a, b) R ϕ, τότε g G με b = gϕa Συνεπώς, g 1 ϕb = a και (b, a) R ϕ (γʹ) Αν (a, b) R ϕ και (b, c) R ϕ, τότε g 1, g 2 G με b = g 1 ϕa και c = g 2 ϕb Επομένως, c = g 2 ϕ(g 1 ϕa) = (g 2 g 1 )ϕa και γι αυτό (a, c) R ϕ Έστω ότι ϕ : G A G είναι μια δράση τής G επί τού A, ότι R ϕ είναι η αντίστοιχη σχέση ισοδυναμίας και ότι a είναι ένα στοιχείο τού A Ορισμός 121 Ονομάζουμε τροχιά τού στοιχείου a A την κλάση ισοδυναμίας [a] Rϕ τού a ως προς τη σχέση R ϕ Προφανώς, [a] Rϕ = {gϕa g G} Θα συμβολίζουμε την κλάση [a] Rϕ ως Gϕa Επιπλέον αν, a A Ν Μαρμαρίδης 10

12 Τ Σ Ορισμός 122 Ονομάζουμε σταθερωτή τού στοιχείου a A το υποσύνολο G a = {g G gϕa = a} Προσέξτε ότι επειδή η R ϕ είναι σχέση ισοδυναμίας, το σύνολο A διαμερίζεται στις τροχιές του Gϕa, δηλαδή A = a A Gϕa και αν, a, b A με Gϕa Gϕb, τότε Gϕa = Gϕb Ορισμός 123 Η G δρα μεταβατικώς επί τού συνόλου A αν, υπάρχει μόνο μια τροχιά Συνεπώς αν, η G δρα μεταβατικώς επί τού A και α, β είναι οποιαδήποτε στοιχεία τού A, τότε g G με gϕα = β Λήμμα 122 (α ) Ο σταθερωτής G a είναι μια υποομάδα τής G (β ) Αν a και b είναι δυο στοιχεία τού A, τα οποία ανήκουν στην ίδια τροχιά, τότε οι αντίστοιχοι σταθερωτές τους G a και G b είναι συζυγείς υποομάδες τής G (Υπενθυμίζουμε ότι αν, K και L είναι δύο υποομάδες μιας ομάδας G, τότε η L ονομάζεται συζυγής τής K, αν υπάρχει h G με L = hkh 1 Επειδή τότε και K = h 1 Lh, έπεται ότι η K είναι επίσης συζυγής τής L Συζυγείς υποομάδες μιας ομάδας έχουν πάντοτε το ίδιο πλήθος στοιχείων, αφού για κάθε h G, η απεικόνιση s h : G G, g hgh 1 είναι ένας (εσωτερικός) αυτομορφισμός τής G Γι αυτό, ο s h χορηγεί μια αμφινομονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ οποιουδήποτε υποσυνόλου T τής G και τής εικόνας του hth 1 ) Απόδειξη (α ) Το σύνολο G a δεν είναι κενό, αφού e G G a Επιπλέον αν, g 1, g 2 G a, τότε g 1 ϕa = a, g 2 ϕa = a και συνεπώς g 1 2 ϕa = a (g 1 g 1 2 )ϕa = g 1ϕ(g 1 2 ϕa) = g 1ϕa = a Ώστε, το G a είναι μια υποομάδα τής G (β ) Αφού τα a, b ανήκουν στη ίδια τροχιά, υπάρχει κάποιο h G με hϕa = b Αφήνουμε τον αναγνώστη να αποδείξει ως άσκηση ότι G b = hg a h 1 Θεώρημα 123 Έστω ότι ϕ : G A G είναι μια δράση τής G επί τού A και ότι G a είναι ο σταθερωτής ενός στοιχείου a A Υπάρχει μια «1 1» και «επί» απεικόνιση μεταξύ τού συνόλου G/G a = {gg a g G} των αριστερών πλευρικών κλάσεων τής G ως προς G a και της τροχιάς Gϕa 11 Ν Μαρμαρίδης

1 Δ Ο Σ Απόδειξη Θεωρούμε την αντιστοιχία G/G a Gϕa, gg a gϕa Η συγκεκριμένη αντιστοιχία είναι μια καλά ορισμένη απεικόνιση, δηλαδή ανεξάρτητη από την επιλογή τού αντιπροσώπου g τής πλευρικής κλάσης gg a Πράγματι αν, g 1 G a = g 2 G a, τότε g 1 2 g 1 G a Συνεπώς, (g 1 2 g 1)ϕa = a g 2 ϕ[(g 1 2 g 1)ϕa] = g 2 ϕa ((g 2 g 1 2 )g 1)ϕa = g 2 ϕa g 1 ϕa = g 2 ϕa Η απεικόνιση είναι «1 1» αφού από g 1 ϕa = g 2 ϕa, έπεται (g 1 2 g 1)ϕa = a Επομένως, g 1 2 g 1 G a και γι αυτό g 1 G a = g 2 G a Τέλος, η απεικόνιση είναι «επί», αφού το στοιχείο gϕa τής τροχιάς Gϕa είναι εικόνα τής αριστερής πλευρικής κλάσης gg a 121 Το Θεώρημα Burnside Αν g G, τότε συμβολίζουμε με A g το υποσύνολο τού A που αποτελείται από τα στοιχεία τού a A που παραμένουν σταθερά κάτω απο τη ϕ-δράση τού g G, δηλαδή A g = {a A gϕa = a} Θεώρημα 124 (Burnside) Έστω ότι ϕ : G A G είναι δράση μιας πεπερασμένης ομάδας G επί ενός πεπερασμένου συνόλου A Το πλήθος k των τροχιών στις οποίες διαμερίζεται το σύνολο A ισούται με k := 1 A g [G : 1] g G Απόδειξη Θα υπολογίσουμε με δύο διαφορετικούς τρόπους το πλήθος των στοιχείων τού συνόλου L = {(g, a) G A gϕa = a} Για κάθε g G, θεωρούμε το σύνολο των στοιχείων a A που παραμένουν αναλλοίωτα από τη ϕ-δράση τού g, δηλαδή θεωρούμε το σύνολο A g Συνεπώς, L = g G A g (*) Για κάθε a A, θεωρούμε τον σταθερωτή τού a, δηλαδή την υποομάδα G a = {g G gϕa = a} Επομένως, L = a A[G a : 1] Ν Μαρμαρίδης 12

12 Τ Σ Αν το πλήθος των τροχιών ισούται με k, τότε το A διαμερίζεται στις k διαφορετικές τροχιές Gϕa 1, Gϕa 2,, Gϕa k και γι αυτό L = a A[G a : 1] = k i=1 a Gϕa i [G a : 1] (**) Από το Λήμμα 122 γνωρίζουμε ότι όλοι οι σταθερωτές που αντιστοιχούν στα στοιχεία a τής τροχιάς Gϕa i έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων, δηλαδή a Gϕa i, [G a : 1] = [G ai : 1] Από το Θεώρημα 123 γνωρίζουμε ότι το πλήθος των στοιχείων τής τροχιάς Gϕa i ισούται με τον δείκτη [G:1] [G ai :1] Συνεπώς, η σχέση (**) γίνεται L = a A[G a : 1] = k i=1 a Gϕa i [G a : 1] = Από τις σχέσεις (***) και (*) προκύπτει ότι k[g : 1] = g G k i=1 [G : 1] [G ai : 1] [G a i : 1] = k[g : 1] (***) A g = k = 1 A g [G : 1] g G Εφαρμογή 121 Θεωρούμε ένα τετράγωνο τού οποίου κάθε πλευρά τη χρωματίζουμε κόκκινη ή μπλέ Δύο τέτοια χρωματισμένα τετράγωνα λέμε ότι δεν διαφέρουν ουσιαστικώς, αν είτε περιστρέφοντας είτε αναποδογυρίζοντας το ένα από αυτά προκύπτει το άλλο χρωματισμένο τετράγωνο, βλ Σχήμα 12 4 3 4 3 1 2 4 1 3 2 1 2 Αρχικό τετράγωνο Από το αρχικό κατόπιν Από το αρχικό κατόπιν στροφής κατά π/4 από κατοπτρισμού ως προς αριστερά προς τα δεξιά τον άξονα 4 2 Σχήμα 12: Τα ανωτέρω τρία χρωματισμένα τετράγωνα δεν διαφέρουν ουσιαστικώς 13 Ν Μαρμαρίδης

1 Δ Ο Σ Θα υπολογίσουμε το πλήθος των ουσιαστικώς διαφορετικών τετραγώνων εφαρμόζοντας το Θεώρημα Burnside Έστω το σύνολο των χρωματισμένων τετραγώνων Το A αποτελείται από 2 4 στοιχεία, αφού κάθε πλευρά τού τετραγώνου μπορεί να χρωματιστεί κόκκινη ή μπλέ Στο A δρα η διεδρική ομάδα D 4, αφού αυτή ακριβώς η ομάδα περιστρέφει η αναποδογυρίζει το τετράγωνο και το πλήθος των χρωματισμένων τετραγώνων που διαφέρουν ουσιαστικά συμπίπτει με το πλήθος k των τροχιών τού A κάτω από την δράση τής D 4 Η D 4 αποτελείται από τα στοιχεία: ( ) ( ) 1 2 3 4 1 2 3 4 Id =, ρ = στροφή κατά π/4 από αριστερά προς τα δεξιά, 1 2 3 4 2 3 4 1 ( ) ρ 2 1 2 3 4 = στροφή κατά π/2, ρ 3 = 3 4 1 2 ( ) 1 2 3 4 στροφή κατά 3π/4, 4 1 2 3 ( ) 1 2 3 4 σ = ανάκλαση ως προς τον άξονα 4 2, 3 2 1 4 ( ) 1 2 3 4 τ = ανάκλαση ως προς τον άξονα 3 1, 1 4 3 2 µ = ν = ( 1 2 3 ) 4 2 1 4 3 ( 1 2 3 ) 4 4 3 2 1 ανάκλαση ως προς τον άξονα διερχόμενο από τα μέσα των 3 4 και 2 1, ανάκλαση ως προς τον άξονα διερχόμενο από τα μέσα των 1 4 και 2 3 Για κάθε g D 4, θα υπολογίσουμε το πληθος A g των στοιχείων τού A g (αʹ) Προφανώς, A Id = 2 4, αφού κάθε στοιχείο τού A παραμένει αναλλοίωτο από το ταυτοτικό στοιχείο τής D 4 (βʹ) Το A ρ ισούται με 2, αφού για να ανήκει ένα στοιχείο τού A στο A ρ θα πρέπει όλες οι πλευρές του να έχουν το ίδιο χρώμα, αφού διαφορετικά τουλάχιστον μια πλευρά θα απεικονιζόταν σε μια πλευρά διαφορετικού χρώματος Επειδή διαθέτουμε δύο χρώματα, έχουμε A ρ = 2 (γʹ) Το A ρ2 ισούται με 4 Εδώ ένα στοιχείο τού A ανήκει στο A ρ2 ακριβώς τότε, όταν οι απέναντι πλευρές του τετραγώνου έχουν το ίδιο χρώμα, αφού κατά την περιστροφή κατά π/2 απεικονίζεται κάθε πλευρά στην απέναντί της Συνεπώς υπάρχουν δύο επιλογές χρώματος για τη μία πλευρά (ας πούμε την 1 4) και δύο για μια γειτονική της (ας πούμε την 1 2) Ν Μαρμαρίδης 14

13 Δ Ο Υ Π Κ (δʹ) Το A ρ3 ισούται με 2 Η επιχειρηματολογία είναι αντίστοιχη τής περίπτωσης A ρ (εʹ) Το A σ ισούται με 2 2 Εδώ, για να ανήκει ένα χρωματισμένο τετράγωνο στο A σ, οφείλουν οι πλευρές 1 4 και 3 4 να έχουν το ίδιο χρώμα καθώς επίσης και οι πλευρές 2 3 και 1 2 (στʹ) Το A τ ισούται με 2 2 Η επιχειρηματολογία είναι αντίστοιχη τής περίπτωσης A σ (ζʹ) Το A µ ισούται με 2 3 Εδώ παρατηρούμε ότι οι πλευρές 3 4 και 1 2 απεικονίζονται μέσω τού µ στον εαυτό τους, ενώ οι πλευρές 1 4 και 2 3 εναλλάσσονται Συνεπώς, οι τελευταίες οφείλουν να έχουν το ίδιο χρώμα Γι αυτό έχουμε δύο επιλογές χρώματος για την πλευρά 3 4, δύο επιλογές χρώματος για την πλευρά 1 2 και δύο επιλογές χρώματος (ας πούμε) για την πλευρά 1 4 Το χρώμα τής πλευράς 2 3 οφείλει να είναι το ίδιο με το χρώμα τής πλευράς 1 4 (ηʹ) Το A ν ισούται με 2 3 Η επιχειρηματολογία είναι αντίστοιχη τής περίπτωσης A µ Τώρα εφαρμόζοντας το Θεώρημα Burnside παίρνουμε k = 1 { } A Id + A ρ + A ρ2 + A ρ3 + A σ + A τ + A µ + A ν = [D 4 : 1] 1 { 2 4 + 2 + 4 + 2 + 2 2 + 2 2 + 2 3 + 2 3} = 6 8 Ώστε υπάρχουν έξι ουσιαστικώς διαφορετικά χρωματισμένα τετράγωνα 13 Δράση Ομάδας επί Υποσυνόλων και Πλευρικών Κλάσεων 131 Αριστερή Δράση Θεωρούμε μια ομάδα (G, ) και την απεικόνιση l : G G G, (g, α) glα := g α Μπορεί πολύ εύκολα να επαληθευθεί ότι η l συνιστά μια δράση τής G επί τού εαυτού της, αφού κατ ουσίαν η επαλήθευση βασίζεται στα αξιώματα που διέπουν την πράξη τής ομάδας Από εδώ και στο εξής θα σημειώνουμε με gα το αποτέλεσμα g α τής πράξης στα g, α G 15 Ν Μαρμαρίδης

1 Δ Ο Σ 132 Δράση στις αριστερές πλευρικές Κλάσεις Έστω ότι H G είναι μια υποομάδα τής G και G/H = {αh α G} το σύνολο των αριστερών πλευρικών κλάσεων τής H στην G Παρατηρούμε ότι η αντιστοιχία π H : G G/H G/H, (g, αh) gπ H αh := gαh είναι ανεξάρτητη από την επιλογή τού αντιπροσώπου α τής πλευρικής κλάσης αh και συνεπώς είναι μια καλά ορισμένη απεικόνιση Πράγματι, Επιπλέον, g, α 1, α 2 G, α 1 H = α 2 H gα 1 H = gα 2 H (γιατί;) g 1, g 2 G, αh G/H, (g 1 g 2 )π H αh = (g 1 g 2 )αh = g 1 (g 2 αh) = g 1 π H (g 2 π H αh), αh G/H, e G π H αh = (e G α)h = αh, (e G το ουδέτερο τής G) Παρατήρηση 131 Επιλέγοντας ως H την τετριμμένη υποομάδα {e G }, διαπιστώνουμε ότι η δράση π H συμπίπτει κατ ουσίαν με τη δράση l, αφού α G, οι πλευρικές κλάσεις αh συμπίπτουν με τα μονοσύνολα {α} Θεώρημα 131 (α ) Η δράση π H : G G/H G/H είναι μεταβατική (β ) Ο σταθερωτής G eh τής αριστερής πλευρικής κλάσης eh ισούται με H (γ ) Ο πυρήνας τής δράσης π H ισούται με την υποομάδα α G αhα 1, η οποία είναι η μεγαλύτερη (ως προς τη σχέση υποσυνόλου ) ορθόθετη (κανονική) υποομάδα τής G που περιέχεται στην H Απόδειξη (α ) Αν αh, βh G/H, τότε επιλέγοντας g = βα 1 G έχουμε gαh = βh, δηλαδή gπ H αh = βh και συνεπώς η π H είναι μια μεταβατική δράση (β ) g G eh gπ H eh = eh geh = eh g eh = H (γ ) Υπενθυμίζουμε ότι ο πυρήνας τής δράσης π H ισούται με τον πυρήνα τού επαγόμενου ομομορφισμού X(π H ) : G S G/H, βλ Θεώρημα 111 Έχουμε: KerX(π H ) = {g G gαh = αh, αh G/H} = {g G α 1 gαh = H, α G} = {g G α 1 gα H, α G} Ν Μαρμαρίδης 16

13 Δ Ο Υ Π Κ Επειδή α 1 gα H g αhα 1, έπεται ότι KerX(π H ) = {g G α 1 gα H, α G} = α G αhα 1 Προφανώς, η τομή α G αhα 1 H και αφού ισούται με τον KerX(π H ) είναι μια ορθόθετη υποομάδα τής G Αν N H είναι μια ορθόθετη υποομάδα τής G που περιέχεται στην H, τότε α G, α 1 Nα = N H Συνεπώς, α G, N αhα 1 και επομένως N α G αhα 1 Το προηγούμενο αναδιατυπώνεται με τη βοήθεια τού Θεωρήματος 111 στο Θεώρημα 132 Έστω ότι (G, ) είναι μια ομάδα, ότι H είναι μια υποομάδα της και ότι (S G/H, ) είναι η συμμετρική ομάδα τού συνόλου G/H των αριστερών πλευρικών κλάσεων τής H στην G Τότε υπάρχει ένας ομομορφισμός χ : G S G/H, τού οποίου ο πυρήνας Kerχ περιέχει οποιαδήποτε ορθόθετη υποομάδα N G τής G με N H Πόρισμα 133 (Θεώρημα Cayley) Κάθε ομάδα (G, ) είναι ισόμορφη με μια υποομάδα τής συμμετρικής ομάδας (S G, ) Απόδειξη Θεωρούμε την τετριμμένη υποομάδα H = {e G } τής G και τον επαγόμενο ομομορφισμό ομάδων X(π {eg }) : G S G/{eG } Σύμφωνα με το προηγούμενο Θεώρημα 131, ο πυρήνας KerX(π {eg }) ισούται με α G αhα 1 = α G α{e G }α 1 = {e G } Επομένως, ο X(π {eg }) είναι ένας μονομορφισμός ομάδων και γι αυτό η G είναι ισόμορφη με μια υποομάδα τής S G/{eG } Αλλά η S G/{eG } μπορεί να ταυτιστεί με την S G, αφού όπως έχουμε ήδη πει, το σύνολο των αριστερών πλευρικών κλάσεων τής {e G } στην G, δηλαδή το G/{e G } = {α{e G } α G} μπορεί να ταυτιστεί με το σύνολο G = {α G} των στοιχείων τής G Πόρισμα 134 Αν (G, ) είναι μια ομάδα με πεπερασμένη τάξη και αν υπάρχει μια γνήσια υποομάδα H < G με την ιδιότητα: ο αριθμός [G : H]! να μην διαιρείται από την τάξη [G : 1] τής ομάδας, τότε η H περιέχει μια μη τετριμμένη ορθόθετη υποομάδα τής G Απόδειξη Θεωρούμε τη δράση π H : G G/H G/H και τον επαγόμενο ομορφισμό ομάδων X(π H ) : G S G/H Από το Θεώρημα 131 γνωρίζουμε ότι Ker(X(π H ) H Η πηλικοομάδα G/KerX(π H ) είναι ισόμορφη με μια υποομάδα τής S G/H και αφού το πλήθος των στοιχείων τού συνόλου G/H ισούται με [G : H], η τάξη τής S G/H 17 Ν Μαρμαρίδης

1 Δ Ο Σ ισούται με [G : H]! Σύμφωνα με το Θεώρημα Lagrange, η τάξη [G : KerX(π H )] τής G/KerX(π H ) είναι ένας διαιρέτης τής τάξης [G : H]! τής S G/H Αν ήταν ο KerX(π H ) = {e G }, τότε η τάξη [G : KerX(π H )] = [G : 1] θα διαιρούσε τον αριθμό [G : H]! Αυτό όμως έχει αποκλειστεί από την υπόθεση Επομένως, η ορθόθετη υποομάδα KerX(π H ) τής G, που όπως γνωρίζουμε περιέχεται στην H, είναι μη τετριμμένη, αφού περιέχει γνήσια την {e G } Παράδειγμα 131 Κάθε ομάδα (G, ) τάξης 80 = 2 4 5, διαθέτει μια μη τετριμμένη ορθόθετη υποομάδα Πράγματι, λόγω των θεωρημάτων Sylow, βλ Ενότητα 21, η G διαθέτει μια υποομάδα H τάξης 2 4 Η τάξη [G : 1] = 80 τής G δεν διαιρεί τον αριθμό [G : H]! = 5! = 120 Επομένως, η H περιέχει μια μη τετριμμένη ορθόθετη υποομάδα τής G Πόρισμα 135 Αν (G, ) είναι μια ομάδα με πεπερασμένη τάξη και αν υπάρχει μια γνήσια υποομάδα H G με δείκτη [G : H] = p τον μικρότερο πρώτο αριθμό που διαιρεί την τάξη τής G, τότε η H είναι μια ορθόθετη υποομάδα τής G Απόδειξη Θεωρούμε, όπως προηγουμένως τη δράση π H : G G/H G/H και τον επαγόμενο ομορφισμό ομάδων X(π H ) : G S G/H Από το Θεώρημα 131 γνωρίζουμε ότι Ker(X(π H ) H Ισχυριζόμαστε ότι η τάξη [G : 1] δεν διαιρεί τον αριθμό [G : H]! Πράγματι, επειδή [G : 1] = [G : H][H : 1] = p[h : 1] και [G : H] = p, αν η τάξη [G : 1] διαιρεί τον [G : H]! = p!, τότε η τάξη [H : 1] διαιρεί τον (p 1)! Αλλά τότε υπάρχει ένας πρώτος διαιρέτης q τής τάξης [H : 1], ο οποίος διαιρεί τον (p 1)! Προφανώς, q < p και προφανώς ο q είναι επίσης ένας πρώτος διαιρέτης τής [G : 1] Αυτό είναι άτοπο, αφού ο p είναι ο μικρότερος πρώτος που διαιρεί την [G : 1] Έτσι, από την απόδειξη τού αμέσως προηγούμενου πορίσματος συμπεραίνουμε ότι ο Ker(X(π H ) είναι μια ορθόθετη υποομάδα τής G διαφορετική από την {e G } που περιέχεται στην H Θα δείξουμε τώρα ότι Ker(X(π H ) = H Αφού G/Ker(X(π H ) = Im(X(π H )), συμπεραίνουμε ότι ο δείκτης [G : Ker(X(π H )] είναι ένας διαιρέτης τής τάξης [G : H]! = p! τής συμμετρικής ομάδας S G/H Αλλά [G : Ker(X(π H )] = [G : H][H : Ker(X(π H )] Συνεπώς, ο [G : H][H : Ker(X(π H )] = p[h : Ker(X(π H )] είναι διαιρέτης τού p! και ως εκ τούτου ο [H : Ker(X(π H )] είναι διαιρέτης τού (p 1)! Αν ήταν [H : Ker(X(π H )] > 1, τότε και κάθε πρώτος διαιρέτης q τού [H : Ker(X(π H )], ο οποίος είναι πάντοτε και διαιρέτης τής τάξης [G : 1], θα ήταν και διαιρέτης τού (p 1)! Όμως όπως προηγουμένως, τέτοιος πρώτος q δεν μπορεί να υπάρχει, αφού τότε θα είχαμε q < p Ώστε, [H : Ker(X(π H )] = 1 και H = Ker(X(π H ) Το προηγούμενο πόρισμα είναι η άμεση γενίκευση, στην περίπτωση των πεπερασμένων ομάδων, τής πολύ γνωστής πρότασης ότι κάθε υποομάδα H μια ομάδας G με [G : H] = 2 είναι ορθόθετη Ως εφαρμογή τής θεωρίας, που έχουμε αναπτύξει μέχρι τώρα, παρουσιάζουμε την ακόλουθη πολύ γνωστή και ιδιαιτέρως χρήσιμη πρόταση: Ν Μαρμαρίδης 18

13 Δ Ο Υ Π Κ Πρόταση 136 Έστω ότι (G, ) είναι μια πεπερασμένη ομάδα και H, K G δύο υποομάδες τής G Το πλήθος HK των στοιχείων τού συνόλου HK = {hk h H, k K} ισούται με [H : 1][K : 1] HK = [H K : 1] Απόδειξη Θεωρούμε το σύνολο G/K = {gk g G} των αριστερών πλευρικών κλάσεων τής K στην G Η απεικόνιση ϕ : H G/K G/K, (h, gk) hϕgk := hgk είναι μια δράση τής H επί τού συνόλου G/K Το σύνολο HK ισούται με την ένωση h H hk Παρατηρούμε ότι τα σύνολα hk, h H είναι ακριβώς τα στοιχεία τής τροχιάς O H (K) τού στοιχείου ek = K G/K κάτω από τη ϕ δράση τής H Επειδή η τροχιά O H (K) περιέχεται στο σύνολο G/K το οποίο είναι πεπερασμένο, έπεται ότι και η τροχιά O H (K) αποτελείται από πεπερασμένο το πλήθος στοιχεία, ας πούμε ότι O H (K) = {h 1 K, h 2 K,, h l K} Συνεπώς, HK = l hk = h i K, h H i=1 όπου l το πλήθος των στοιχείων τής τροχιάς O H (K) Παρατηρούμε ότι αν, i j, τότε h i K h j K =, αφού πρόκειται για αριστερές πλευρικές κλάσεις τής K στην G Επιπλέον, επειδή το πλήθος των στοιχείων οποιασδήποτε αριστερής πλευρικής κλάσης hk ισούται με [K : 1], έπεται ότι l HK = h i K = i=1 l h i K = l[k : 1] (*) Αλλά το πλήθος l των στοιχείων τής τροχιάς O H (K) ισούται με τον δείκτη [H : H ek ], όπου H ek = {h H hek = ek} είναι ο σταθερωτής τής κλάσης ek κάτω από τη ϕ δράση τής H Τώρα, H ek = {h H hek = ek} = {h H h K} = H K και έτσι από τη σχέση (*) έπεται i=1 HK = [H : H ek ][K : 1] = [H : H K][K : 1] = [H : 1][K : 1] [H K : 1] 19 Ν Μαρμαρίδης

1 Δ Ο Σ 133 Το Θεώρημα Cauchy Έστω ότι ϕ : G A A είναι δράση μιας ομάδας G επί ενός συνόλου A Το σύνολο των στοιχείων τού A που παραμένουν σταθερά από τη δράση ϕ τής G, δηλαδή το {α A gϕa = a, g G}, το ονομάζουμε σύνολο των ϕ-σταθερών στοιχείων τού A και το συμβολίζουμε με Fix ϕ (A) Έστω A (αντιστοίχως Fix ϕ (A) ) το πλήθος των στοιχείων τού A (αντιστοίχως τού Fix ϕ (A)) Λήμμα 137 Έστω ότι ϕ : G A A είναι δράση μιας ομάδας (G, ) επί ενός πεπερασμένου συνόλου A Αν η τάξη τής G είναι p n, όπου ο p είναι ένας πρώτος αριθμός και ο n είναι ένας φυσικός, τότε ο p διαιρεί τη διαφορά A Fix ϕ (A) Απόδειξη Το A διαμερίζεται μέσω τής δράσης ϕ σε ένα πεπερασμένο πλήθος r τροχιών O i, 1 i r, αφού A < Έτσι έχουμε: A = O 1 O 2 O l O l+1 O r, όπου το πλήθος O i των στοιχείων τής O i, 1 i l ισούται με 1 και το πλήθος O i των στοιχείων τής O i, l + 1 i r είναι ίσο ή μεγαλύτερο τού 2 Το σύνολο Fix ϕ (A) των ϕ-σταθερών στοιχείων τού A ισούται με O 1 O 2 O l και γι αυτό Fix ϕ (A) = l Διαπιστώνουμε ότι ο πρώτος p διαιρεί τον αριθμό O i, όταν αυτός είναι 2, αφού O i = [G : G ai ], όπου a i είναι οποιοδήποτε στοιχείο τής τροχιάς O i Ώστε ο p διαιρεί τον O i, i, l + 1 i r Συνεπώς, r l r A = O i = O i + O i = Fix ϕ (A) + κp i=1 i=1 i=l+1 Επομένως, ο p διαιρεί την διαφορά A Fix ϕ (A) Θεώρημα 138 (Cauchy) Έστω (G, ) μια ομάδα τάξης [G : 1] = n N και p ένας πρώτος διαιρέτης τού n Τότε υπάρχει ένα στοιχείο g G με τάξη p Απόδειξη Είναι αρκετό να αποδείξουμε ότι υπάρχει κάποιο g e G με g p = e G, αφού τότε η τάξη τού g είναι ένας διαιρέτης τού p και επειδή ο p είναι πρώτος και g e G έχουμε ότι η τάξη τού g είναι p Σχηματίζουμε το σύνολο A = {(g 1, g 2,, g p ) g i G, i, 1 i p με g 1 g 2 g p = e G } Το πλήθος A των στοιχείων τού A ισούται με [G : 1] (p 1), αφού τα g 1, g 2,, g p 1 μπορεί να είναι οποιαδήποτε στοιχεία τής G, ενώ το g p είναι μοναδικώς καθορισμένο Ν Μαρμαρίδης 20

14 Σ από τα g 1, g 2,, g p 1, αφού g p = (g 1 g 2 g p 1 ) 1 Επειδή ο p διαιρεί τον n έχουμε n = κp και συνεπώς Παρατηρούμε ότι αν, A = [G : 1] (p 1) = κ (p 1) p (p 1) (*) g 1 g 2 g i g i+1 g p = e G, τότε g i+1 g i+2 g p = (g 1, g 2 g i ) 1, και γι αυτό (g i+1 g i+2 g p )(g 1 g 2 g i ) = e G Συνεπώς αν, η p άδα (g 1, g 2,, g p ) ανήκει στο A, τότε και οποιαδήποτε άλλη p άδα (g i+1, g i+2,, g p, g 1, g 2,, g i ), η οποία προκύπτει από την πρώτη κατόπιν κυκλικής εναλλαγής των συνιστωσών της, ανήκει επίσης στο A Θεωρούμε την αβελιανή ομάδα (Z p, +) και ορίζουμε την απεικόνιση ϕ : Z p A A, ([i], (g 1, g 2,, g p )) (g (i+1)modp, g (i+2)modp,, g (i+p)modp ), όπου οι δείκτες (i + 1)modp, (i + 2)modp,, (i + p)modp διατρέχουν τους αντιπροσώπους j των κλάσεων modp με j μεταξύ των αριθμών 1 και p Η απεικόνιση ϕ είναι μια δράση τής ομάδας Z p επί τού συνόλου A Παρατηρούμε ότι ένα στοιχείο (g 1, g 2,, g p ) A ανήκει στο σύνολο Fix ϕ (A) των ϕ σταθερών στοιχείων τού A, αν και μόνο αν, [1]ϕ(g 1, g 2,, g p 1, g p ) = (g 1, g 2,, g p 1, g p ) (g (1+1)modp, g (1+2)modp,, g (1+(p 1))modp, g (1+p)modp ) = (g 1, g 2,, g p ) (g 2, g 3,, g p, g 1 ) = (g 1, g 2,, g p ) g 1 = g 2 = g 3 = = g p Συνεπώς, τα στοιχεία τού συνόλου Fix ϕ (A) συμπίπτουν με τις p άδες (g, g,, g), όπου g G με g p = e G Το πλήθος Fix ϕ (A) τού Fix ϕ (A) είναι 1, αφού η p άδα (e G, e G,, e G ) ανήκει στο Fix ϕ (A) Σύμφωνα με το προηγούμενο λήμμα, η τάξη p τής Z p διαιρεί τη διαφορά A Fix ϕ (A) και επειδή, λόγω τής ( ), η τάξη τού A είναι πολλαπλάσιο τού p, έπεται ότι ο p διαιρεί τον αριθμό Fix ϕ (A) 1 Επομένως, Fix ϕ (A) p 2 και γι αυτό υπάρχει ένα στοιχείο (g, g,, g) Fix ϕ (A) A με g e G Ώστε, g p = e G με g e G Προφανώς, το g έχει τάξη p 14 Συζυγία Θεωρούμε τώρα μία ακόμα δράση μιας ομάδας επί τού εαυτού της, η οποία όπως θα δούμε σύντομα θα χορηγήσει πολλά και ουσιαστικά αποτελέσματα στη Θεωρία Ομάδων Η απεικόνιση σ : G G G, (g, α) gσα := gαg 1 21 Ν Μαρμαρίδης

1 Δ Ο Σ ορίζει μια δράση τής G επί του εαυτού της, αφού g 1, g 2, α G : (g 1 g 2 )σα = (g 1 g 2 )α(g 1 g 2 ) 1 = g 1 (g 2 αg 1 2 )g 1 1 = g 1 σ(g 2 σα) και α G : e G σα = e G α(e G ) 1 = α Ορισμός 141 Η δράση σ : G G G, (g, α) gσα := gαg 1 ονομάζεται δράση συζυγίας επί των στοιχείων τής G Στη συγκεκριμένη περίπτωση οι τροχιές στις οποίες διαμερίζεται η G μέσω τής δράσης συζυγίας σ ονομάζονται κλάσεις συζυγίας Δύο στοιχεία α, β G ανήκουν στην ίδια κλάση, αν και μόνο αν, g G με gαg 1 = β Στοιχεία που ανήκουν στην ίδια κλάση συζυγίας ονομάζονται συζυγή στοιχεία Η κλάση συζυγίας τού στοιχείου α G είναι το σύνολο K α = {gαg 1 g G} Αν η G είναι μια πεπερασμένη ομάδα, τότε το πλήθος των κλάσεων συζυγίας είναι επίσης πεπερασμένο, αφού η κλάσεις συζυγίας αποτελούν μια διαμέριση τής G Παρατηρήσεις 141 (αʹ) Αν η G είναι μια αβελιανή ομάδα, τότε η δράση τής συζυγίας είναι τετριμμένη, αφού g, α G είναι gσα = gαg 1 = gg 1 α = e G α = α (βʹ) Αν [G : 1] > 1, τότε η δράση τής συζυγίας δεν είναι μεταβατική, αφού η κλάση συζυγίας K eg τού ουδέτερου στοιχείου e G τής G είναι το μονοσύνολο K eg = {e G } (γʹ) Γενικώς, η κλάση συζυγίας K α ενός στοιχείου α G είναι μονοσύνολο (και τότε βέβαια αποτελείται μόνο από το στοιχείο α) αν, και μόνο αν, το α ανήκει στο κέντρο τής ομάδας Z(G) = {α G αg = gα, g G} (δʹ) Κάθε στοιχείο β G που ανήκει στην κλάση συζυγίας K α τού α G έχει την ίδια τάξη με το α, αφού g G, η απεικόνιση ϕ g : G G, α gαg 1 είναι ένας αυτομορφισμός τής G Παραδείγματα 141 Οι κλάσεις συζυγίας τής συμμετρικής ομάδας (S 3, ) είναι οι: K Id3 = {Id 3 }, K (12) = {(12), (13), (23)} και K (123) = {(123), (132)} Υπενθυμίζουμε ότι δύο κύκλοι τής (S n, ) με το ίδιο μήκος είναι πάντοτε συζυγείς Πράγματι, αν c 1 = (i 1 i 2 i l ) και c 2 = (j 1 j 2 j l ), τότε για κάθε τ S n με τ(i r ) = j r, r, 1 r l είναι τ c 1 τ 1 = τ (i 1 i 2 i l ) τ 1 = (τ(i 1 )τ(i 2 ) τ(i l )) = (j 1 j 2 j l ) = c 2 Ν Μαρμαρίδης 22

14 Σ 141 Επεκτείνοντας τη Δράση Συζυγίας Η δράση τής συζυγίας πάνω στο σύνολο των στοιχείων τής ομάδας G επεκτείνεται σε μια δράση σ επί τού συνόλου P (G) όλων των μη κενών υποσυνόλων τής G: σ : G P (G) P (G), (g, A) g σa := gag 1 Αν η G είναι μια πεπερασμένη ομάδα, τότε το πλήθος των στοιχείων τής τροχιάς O A τού A G ισούται με τον δείκτη [G : G A ], όπου G A = {g G gag 1 } είναι ο σταθερωτής τού συνόλου A Όταν το A είναι ένα μονοσύνολο, ας πούμε A = {α}, τότε ο σταθερωτής G {α} ονομάζεται ο κεντροποιητής τού στοιχείου α και συμβολίζεται με C G (α) Ώστε, C G (α) = {g G gαg 1 = α} = {g G gα = αg} Όταν η G είναι μια πεπερασμένη ομάδα, τότε το πλήθος των συζυγών στοιχείων τού α, δηλαδή το πλήθος των στοιχείων τής κλάσης συζυγίας K α ισούται με [G : C G (α)] Προφανώς, για το κέντρο Z(G) μιας ομάδας G έχουμε: Z(G) = C G (α) α G Όταν το H G είναι μια υποομάδα τής G, τότε ο σταθερωτής G H τού H ονομάζεται ο ορθοθέτης ή κανονικοποιητής ή ορθοθέτρια υποομάδα τής H και συμβολίζεται με N G (H) Συνεπώς, N G (H) = {g G ghg 1 = H} Παρατηρήσεις 142 (αʹ) Αν H G είναι μια υποομάδα τής G, τότε ο ορθοθέτης N G (H) τής G είναι η μεγαλύτερη (ως προς τη σχέση υποσυνόλου ) υποομάδα τής G εντός τής οποίας η H είναι ορθόθετη, δηλαδή H N G (H) (βʹ) Μια υποομάδα H τής G είναι ορθόθετη αν, και μόνο αν, N G (H) = G (γʹ) Αν η ομάδα G είναι πεπερασμένη και H είναι μια υποομάδα της, τότε, λόγω τού Θεωρήματος 123, ο δείκτης [G : N G (H)] μετρά το πλήθος των στοιχείων τής τροχιάς O H = {ghg 1 g G}, δηλαδή το πλήθος των υποομάδων τής G, οι οποίες είναι συζυγείς προς την H 142 Η Εξίσωση των Κλάσεων Θεώρημα 141 Αν, G είναι μια ομάδα με πεπερασμένη τάξη [G : 1] < και αν, α 1, α 2,, α l είναι οι αντιπρόσωποι από τις διαφορετικές κλάσεις συζυγίας που έχουν περισσότερα τού ενός στοιχεία, τότε l [G : 1] = [Z(G) : 1] + [G : C G (α j )] j=1 23 Ν Μαρμαρίδης

1 Δ Ο Σ Απόδειξη Θεωρούμε τη διαμέριση τής G στις κλάσεις συζυγίας: G = Z 1 Z 2 Z t K 1 K 2 K l, (*) όπου Z i, 1 i t είναι οι κλάσεις συζυγίας που καθεμιά τους αποτελείται από ακριβώς ένα στοιχείο και K j, 1 j l είναι οι κλάσεις που καθεμιά τους αποτελείται από περισσότερα τού ενός στοιχεία Όπως ήδη έχουμε πει, η κλάση συζυγίας ενός στοιχείου α G αποτελείται μόνο από το α αν, και μόνο αν, το α ανήκει στο κέντρο Z(G) τής G Γι αυτό το πλήθος t των κλάσεων συζυγίας με ένα στοιχείο ισούται με την τάξη [Z(G) : 1] τού κέντρου Επιπλέον, το πλήθος των στοιχείων τής K j, 1 j l ισούται με τον δείκτη [G : C G (α j )], όπου α j είναι οποιοδήποτε στοιχείο τής κλάσης K j Γι αυτό από την (*) προκύπτει η [G : 1] = [Z(G) : 1] + l [G : C G (α j )] (**) j=1 Η ισότητα (**) ονομάζεται η Εξίσωση των Κλάσεων Παραδείγματα 142 (αʹ) Αν η G είναι μια πεπερασμένη αβελιανή ομάδα, τότε η ισότητα των κλάσεων χορηγεί την ισότητα [G : 1] = [Z(G) : 1], που προφανώς είναι αλήθές, αφού G = Z(G) (βʹ) Θα αποδείξουμε κάθε ομάδα με 15 στοιχεία είναι αβελιανή Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μια ομάδα G με 15 στοιχεία που δεν είναι αβελιανή Χρησιμοποιώντας την Εξίσωση των Κλάσεών της που θα την προσδιορίσουμε θα καταλήξουμε σε άτοπο Πρώτα παρατηρούμε ότι η τάξη [Z(G) : 1] τού κέντρου της οφείλει να είναι ή 1 ή 3 ή 5 ή 15 ως διαιρέτης τού 15 Αφού η G δεν είναι αβελιανή, το [Z(G) : 1] 15 Επίσης, [Z(G) : 1] 5 (αντιστοίχως 3), αφού τότε η πηλικοομάδα G/Z(G) είναι κυκλική, ως έχουσα τάξη 3 (αντιστοίχως 5) και τότε η G θα ήταν μια αβελιανή ομάδα Επομένως, [Z(G) : 1] = 1 Από το Θεώρημα Cauchy γνωρίζουμε ότι η G διαθέτει τουλάχιστον ένα στοιχείο α με τάξη (α) = 3 και ένα β G με τάξη (β) = 3 Η κυκλική υποομάδα α περιέχεται στον κεντροποιητή C G (α) Συνεπώς, ο αριθμός 3 [C G (α) : 1] και επειδή C G (α) < G, αφού αν ίσχυε η ισότητα, τότε το α θα ανήκε στο Z(G), συμπεραίνουμε ότι [C G (α) : 1] = 3 και η κλάση συζυγίας K α τού α αποτελείται από [G : C G (α)] = 5 στοιχεία Αποδεικνύεται με ανάλογο τρόπο ότι β = C G (β) και η κλάση συζυγίας K α τού β αποτελείται από [G : C G (β)] = 3 στοιχεία Ν Μαρμαρίδης 24

14 Σ Αφού η G δεν είναι αβελιανή, κάθε στοιχείο e G τής G έχει τάξη 3 ή 5 και έτσι 15 = [Z(G) : 1]+ K α + K β + το πλήθος των στοιχείων κάποιων επιπλέον κλάσεων συζυγίας K = 1 + 5 + 3 + το πλήθος των στοιχείων κάποιων επιπλέον κλάσεων συζυγίας K Προφανώς, το πλήθος των στοιχείων οποιασδήποτε επιπλέον κλάσης συζυγίας K πρέπει να ισούται με 3, αφού αν κάποια K διέθετε 5 στοιχεία, τότε η ισότητα l 15 = 1 + 5 + 3 + 5 + δεν μπορεί να συμπληρωθεί με κατάλληλα x i = 3 ή 5 ώστε να δώσει το 15 Γι αυτό η μοναδική περίπτωση είναι Επομένως, η G έχει διαμεριστεί στην i=1 15 = 1 + 5 + 3 + 3 + 3 (αʹ) κλάση συζυγίας με ένα στοιχείο, την Z(G), (βʹ) στην κλάση K α η οποία αποτελείται από 5 στοιχεία τάξης ίσης με την τάξη τού α, δηλαδή τάξης 3, (γʹ) στην κλάση K β η οποία αποτελείται από 3 στοιχεία τάξης ίσης με την τάξη τού β, δηλαδή τάξης 5 (δʹ) και σε άλλες δύο κλάσεις K γ, K δ που καθεμιά τους αποτελείται από 3 στοιχεία τάξης 5, επειδή ο κεντροποιητής C G (γ) (αντιστοίχως C G (δ)) έχει τάξη 5 και {e G } < γ C G (γ) (αντιστοίχως {e G } < δ C G (δ)) Συνεπώς, η G διαθέτει 5 στοιχεία τάξης 3 και 9 στοιχεία τάξης 5 Τα στοιχεία τάξης 5 είναι διαμοιρασμένα σε υποομάδες τής G τάξης 5, που ανά δύο έχουν ως τομή μόνο το ουδέτερο στοιχείο, αφού πρόκειται για κυκλικές υποομάδες με τάξη πρώτο αριθμό Αλλά, αν H 1, H 2 είναι δύο από αυτές, τότε οι H 1 και H 2 περιέχουν ακριβώς 8 διαφορετικά στοιχεία τάξης 5 Έτσι όμως μένει ένα επιπλέον στοιχείο τ τάξης 5 το οποίο δεν ανήκει ούτε στην H 1 ούτε στην H 2 με τ H 1 = e G και τ H 2 = e G Αλλά τώρα η τ δίνει ακόμα τέσσερα στοιχεία (μαζί με το τ) τάξης 5 Έτσι συνολικά έχουμε τουλάχιστον 12 στοιχεία τάξης 5, πράγμα άτοπο Επομένως, η G είναι αβελιανή ομάδα (γʹ) Θα υπολογίσουμε τις κλάσεις συζυγίας τής ομάδας τετρανίων Q 8 = {±1, ±i, ±j, ±k}, με ( 1) 2 = 1, i 2 = j 2 = k 2 = ijk = 1 x i 25 Ν Μαρμαρίδης

1 Δ Ο Σ και όπου το 1 είναι το ταυτοτικό στοιχείο τής Q 8 και το 1 μετατίθεται με οποιοδήποτε άλλο στοιχείο Το κέντρο Z(Q 8 ) τής Q 8 ισούται με {1, 1} Συνεπώς έχουμε ακριβώς δύο κλάσεις συζυγίας τις K 1, K 1 που καθεμιά τους έχει μόνο ένα στοιχείο Παρατηρούμε ότι [Q 8 : C i ] = 2, επειδή η i περιέχεται στον κεντροποιητή C Q8 (i) τού i και C Q8 (i) Q 8, αφού i / Z(Q 8 ), η σχέση 2 = [Q 8 : i ] = [Q 8 : C Q8 (i)][c Q8 (i) : i ] δίνει C Q8 (i) = i Επομένως, το πλήθος των στοιχείων τής K i ισούται με τον δείκτη [Q 8 : i ] = 2 και K i = {i, i}, αφού jij 1 = ji( j) = ( 1)jij = ( 1)jk = i Παρομοίως προκύπτει K j = {j, j} και K k = {k, k} (δʹ) Τέλος, θα υπολογίσουμε τις κλάσεις συζυγίας τής διεδρικής ομάδας D 4 = {σ, α σ 2 = Id, α 4 = Id, ασ = σα 3 } Το κέντρο Z(D 4 ) τής D 4 ισούται με {Id, α 2 } Συνεπώς έχουμε ακριβώς δύο κλάσεις συζυγίας τις K Id, K α 2 που καθεμιά τους έχει μόνο ένα στοιχείο Θεωρούμε τις υποομάδες H 1 = {Id, α, α 2, α 3 }, H 2 = {Id, σ, α 2, σα} και H 3 = {Id, σ, α 3, σα 3 } Παρατηρούμε ότι g H i \ Z(D 4 ), i = 1, 2, 3 η υποομάδα H i περιέχεται στον κεντροποιητή C D4 (g), ο οποίος είναι γνήσια υποομάδα τής D 4, αφού g / Z(D 4 ) Επειδή ο δείκτης [D 4 : H i ] = 2, i = 1, 2, 3, έχουμε H i = C D4 (g), g H i \Z(G), i = 1, 2, 3 και γι αυτό η κλάση συζυγίας κάθε g H 1 H 2 H 3 \Z(G) αποτελείται από ακριβώς δύο στοιχεία Έχουμε K α = {α, α 3 }, K σ = {σ, σα 2 }, K σα = {σα, σα 3 } Θεώρημα 142 Κάθε ομάδα (G, ) τάξης p α, α 1, όπου p είναι ένας πρώτος αριθμός, έχει μη τετριμμένο κέντρο Απόδειξη Από την εξίσωση κλάσεων γνωρίζουμε ότι [G : 1] = [Z(G) : 1] + l [G : C G (α j )], όπου τα α j, j = 1,, l είναι οι αντιπρόσωποι των κλάσεων με περισσότερα τού ενός στοιχεία Ο πρώτος αριθμός p διαιρεί την τάξη [G : 1] τής G καθώς και κάθε δείκτη [G : C G (α j )], αφού [G : C G (α j )] 2 Επομένως, ο p διαιρεί την τάξη [Z(G) : 1] τού κέντρου τής G και γι αυτό [Z(G) : 1] p 2 j=1 Ν Μαρμαρίδης 26

15 Π Τ Π Σ Ο ; Θεώρημα 143 Κάθε ομάδα (G, ) τάξης p 2, όπου ο p είναι πρώτος αριθμός, είναι αβελιανή και μάλιστα ισόμορφη ή με την Z p 2 ή με την Z p Z p Απόδειξη Το κέντρο Z(G) τής G είναι μη τετριμμένο και γι αυτό [Z(G) : 1] = p 2 ή [Z(G) : 1] = p Στην πρώτη περίπτωση η G είναι αβελιανή, αφού G = Z(G) και στη δεύτερη περίπτωση η G είναι και πάλι αβελιανή, αφού η πηλικοομάδα G/Z(G) είναι κυκλική ως έχουσα τάξη τον πρώτο αριθμό p Ώστε η G είναι σε κάθε περίπτωση αβελιανή Αν η G διαθέτει ένα στοιχείο τάξης p 2, τότε G = Z p 2 Διαφορετικά κάθε στοιχείο τής G, που δεν είναι το ουδέτερο, έχει τάξη p Θεωρούμε ένα τέτοιο στοιχείο x G, x e G και ένα ακόμα στοιχείο y G \ x Αμφότερα τα x, y έχουν τάξη p και x y = {e G }, αφού η τάξη [ x y : 1] είναι, ως διαιρέτης τής τάξης [ x : 1], ή 1 ή p Αλλά αν, [ x y : 1] = p, τότε y x, πράγμα άτοπο Θεωρούμε την απεικόνιση ψ : x y G, (x i, y j ) ψ((x i, y j )) := x i y j Η ψ είναι ένας ομομορφισμός ομάδων, αφού ψ((x i 1, y j 1 )(x i 2, y j 2 )) = ψ((x i 1 x i 2, y j 1 y j 2 )) = x i 1 x i 2 y j 1 y j 2 = x i 1 y j 1 x i 2 y j 2 = ψ((x i 1, y j 1 ))ψ((x i 2, y j 2 )) Επιπλέον, Kerψ = {(e G, e G )}, αφού ψ((x i, y j )) = e G x i y j = e G x i = y j x i = y j x y = {e G } x i = y j = e G (x i, y j ) = (e G, e G ) Συνεπώς, ο ψ είναι μονομορφισμός και επομένως ισομορφισμός, αφού [ x y : 1] = p 2 = [G : 1] Αλλά x = Z p και y = Z p Επομένως, G = Z p Z p 15 Ποια είναι η Τιμή τής Πιθανότητας δύο Στοιχεία μιας Ομάδας να μετατίθενται; Έστω ότι (G, ) είναι μια ομάδα τάξης [G : 1] < και g, α δύο οποιαδήποτε στοιχεία της, όχι απαραιτήτως διαφορετικά Θα εξετάσουμε ποιες τιμές μπορεί να λάβει η πιθανότητα Pr(G) ώστε gα = αg Παρατηρούμε ότι αν, η G είναι μια αβελιανή ομάδα, τότε Pr(G) = 1, αφού (g, α) G G είναι gα = αg Γενικώς, θεωρούμε το σύνολο L = {(g, α) G G gα = αg}, 27 Ν Μαρμαρίδης

1 Δ Ο Σ τότε, Pr(G) = L G G = L [G : 1] 2, όπου με S συμβολίζουμε, ως συνήθως, το πλήθος των στοιχείων ενός συνόλου S Θεώρημα 151 Αν (G, ) είναι μια ομάδα τάξης [G : 1] <, τότε Pr(G) = r, όπου r είναι το πλήθος των κλάσεων συζυγίας τής G [G : 1] Επιπλέον αν, η G δεν είναι αβελιανή, τότε Pr(G) 5 8 Απόδειξη Παρατηρούμε ότι L = L g, όπου L g = {(g, α) α G, gα = αg} g G Τα σύνολα L g, g G χορηγούν μια διαμέριση τού L, αφού αν L g L h, τότε (x, y) L g L h και τότε g = x = h Επομένως, L g = L h Έτσι έχουμε L = g G L g Αλλά, g G το πλήθος L g ισούται με το πλήθος των στοιχείων τού συνόλου G g = {α G gαg 1 = α}, αφού η απεικόνιση είναι «1 1» και «επί», επειδή L g G g, (g, α) α (g, α) L g gα = αg gαg 1 = α α G g Επομένως, L = g G L g = g G G g (*) Όμως για κάθε g G, το G g = {α G gαg 1 = α} είναι το σύνολο των στοιχείων τής G που μένουν σταθερά από το g ως προς τη δράση τής συζυγίας G G G, (g, α) gαg 1 και από τον τύπο τού Burnside, βλ Θεώρημα 124, έχουμε ότι το πλήθος r των κλάσεων συζυγίας ισούται με Ν Μαρμαρίδης 28 r = 1 G g (**) [G : 1] g G

15 Π Τ Π Σ Ο ; Από τις (*) και (**) έπεται [G : 1]r = L και συνεπώς Pr(G) = L [G : 1]r = [G : 1] 2 [G : 1] 2 = r [G : 1] Θα αποδείξουμε τώρα ότι αν, η G δεν είναι αβελιανή, τότε για την πιθανότητα Pr(G), το κλάσμα 5/8 είναι το ελάχιστο άνω φράγμα Θεωρούμε τη διαμέριση τής G στις κλάσεις συζυγίας της: G = Z 1 Z 2 Z t K 1 K 2 K l, όπου οι Z i, 1 i t είναι οι κλάσεις συζυγίας με ένα στοιχείο και K j, 1 j l οι κλάσεις συζυγίας με τουλάχιστον δύο στοιχεία Η ένωση Z 1 Z 2 Z t ισούται με το κέντρο Z(G) τής G και γι αυτό [Z(G) : 1] = t Από την Εξίσωση των Κλάσεων παίρνουμε [G : 1] = [Z(G) : 1)] + l K j [Z(G) : 1)] + 2l, επειδή K j 2 Συνεπώς, [G : 1] [Z(G) : 1] l 2 Επομένως, για το πλήθος r των κλάσεων συζυγίας έχουμε ότι r = [Z(G) : 1] + l [Z(G) : 1] + j=1 [G : 1] [Z(G) : 1] 2 = [G : 1] + [Z(G) : 1] 2 Όμως, αφού η G δεν είναι αβελιανή, πρέπει να ισχύει [Z(G) : 1] [G : 1]/4 Επειδή διαφορετικά, δηλαδή αν, [Z(G) : 1] > [G : 1]/4, τότε 4 > ([G : 1]/[Z(G) : 1]) = [G/Z(G) : 1] και τότε η G/Z(G) είναι κυκλική, που συνεπάγει ότι η G είναι αβελιανή Έτσι διαπιστώνουμε ότι για το πλήθος r των κλάσεων συζυγίας έχουμε Επομένως, r = [Z(G) : 1] + l [G : 1] + [Z(G) : 1] 2 [G : 1] 2 + [G : 1]/4 2 = 5 [G : 1] 8 Pr(G) = r 5 [G : 1] 8 [G : 1] = 5 [G : 1] 8 Παρατηρήσεις 151 Ο αριθμός 5/8 είναι όντως το ελάχιστο άνω φράγμα στην περίπτωση των μη αβελιανών ομάδων Για παράδειγμα, αν η ομάδα G είναι η διεδρική ομάδα D 4 ή η ομάδα των τετρανίων Q 8, τότε Pr(G) = 5/8, αφού και στις δύο συγκεκριμένες περιπτώσεις, το πλήθος των κλάσεων συζυγίας ισούται με 5 και το πλήθος των στοιχείων των ομάδων ισούται με 8 29 Ν Μαρμαρίδης

Κεφάλαιο 2 Θεωρία Sylow 21 Τα Θεωρήματα Sylow Ορισμός 211 Μια ομάδα (G, ) τάξης p α, όπου p είναι ένας πρώτος αριθμός και α N {0} ονομάζεται μια p ομάδα Παρατηρήσεις 211 (αʹ) Σύμφωνα με τον προηγούμενο ορισμό, η τετριμμένη ομάδα που αποτελείται από ένα και μόνο στοιχείο είναι p ομάδα για κάθε πρώτο p (βʹ) Αν κάθε στοιχείο μιας πεπερασμένης ομάδας G {e G } είναι δύναμη ενός πάγιου πρώτου αριθμού, τότε η G είναι μια p ομάδα Πράγματι, ο πρώτος αριθμός p διαιρεί την τάξη [G : 1], αφού υπάρχουν στοιχεία με τάξη δύναμη τού συγκεκριμένου p Αν q είναι ένας πρώτος διαιρέτης τής [G : 1], τότε από το Θεώρημα Cauchy, βλ Θ 138, υπάρχει ένα στοιχείο τής G τάξης q Συνεπώς, q = p και η τάξη [G : 1] είναι δύναμη τού p Για τις p ομάδες ισχύουν τα ακόλουθα: Πρόταση 211 Έστω ότι (G, ) είναι μια p ομάδα τάξης p α, α N {0} (αʹ) Για κάθε β N {0} με β α, υπάρχει μια υποομάδα H G με τάξη p β (βʹ) Αν α N, τότε κάθε υποομάδα H τής G τάξης p α 1 είναι μια ορθόθετη υποομάδα τής G και επιπλέον, υπάρχει μια αλυσσίδα υποομάδων: G 0 = {e G } G 1 G 2 G α 1 G α = G με [G i : 1] = p i, i = 0,, α και όπου i, 0 i α 1 η G i είναι μια ορθόθετη υποομάδα τής G i+1 31

2 Θ SYLOW Απόδειξη (α ) Θα εκτελέσουμε την απόδειξη με επαγωγή ως προς τη δύναμη α N {0} τού p Για α = 0, 1 ή 2, ο ισχυρισμός είναι προφανής Έστω ότι η πρόταση είναι αληθής m, 2 m < n Θα την αποδείξουμε για μια ομάδα G τάξης p n Από το Θεώρημα 142 γνωρίζουμε ότι το κέντρο Z(G) τής G είναι μη τετριμμένο Ας είναι x Z(G), x e G ένα στοιχείο τού κέντρου Τότε η κυκλική υποομάδα x είναι μια ορθόθετη υποομάδα τής G Θεωρούμε τον φυσικό επιμορφισμό π : G G/ x, g g x Η τάξη τής πηλικοομάδας G/ x είναι p n 1 και λόγω τής επαγωγικής υπόθεσης διαθέτει β N {0}, 0 β n 1, μια υποομάδα H τάξης p β Τότε η προεικόνα της H = π 1 (H) είναι μια υποομάδα τής G τάξης p β+1 Συνεπώς, η G διαθέτει β N {0}, 0 β n, μια υποομάδα τάξης p β (β ) Σύμφωνα με το (α ) υπάρχει μια αλυσσίδα υποομάδων G 0 = {e G } G 1 G 2 G α 1 G α = G, όπου i, 0 i α, η τάξη τής G i είναι p i Παρατηρούμε ότι i, 1 i α ο δείκτης [G i : G i 1 ] ισούται με τον πρώτο αριθμό p και επειδή πρόκειται για τον μικρότερο πρώτο που διαιρεί την τάξη τής ομάδας (αφού δεν υπάρχει άλλος), έπεται από το Πόρισμα 135 ότι η G i 1 είναι ορθόθετη υποομάδα τής G i Η προηγούμενη πρόταση γενικεύεται στη λεγόμενη Θεωρία Sylow που θα διαπραγματευθούμε τώρα αμέσως Ορισμός 212 Έστω ότι (G, ) είναι μια ομάδα τάξης p α m, όπου p είναι ένας πρώτος αριθμός, α N {0} και p m Κάθε υποομάδα τής G τάξης p α ονομάζεται μια p Sylow υποομάδα τής G Συμβολίζουμε με Syl p (G) το σύνολο των p Sylow υποομάδων τής G και με n p (G), ή απλώς με n p όταν είναι σαφές για ποια ομάδα πρόκειται, το πλήθος των στοιχείων τού συνόλου Syl p (G) Θα αποδείξουμε ένα από τα σημαντικότερα θεωρήματα τής κλασικής Θεωρίας Ομάδων Ν Μαρμαρίδης 32

21 Τ Θ SYLOW Θεώρημα 212 (Sylow) Έστω ότι (G, ) είναι μια ομάδα τάξης p α m, όπου p είναι ένας πρώτος αριθμός, α N {0} και p m Τότε ισχύουν τα επόμενα: (α ) Το σύνολο Syl p (G) δεν είναι κενό (β ) Αν P είναι οποιαδήποτε p Sylow υποομάδα τής G και Q είναι οποιαδήποτε p υποομάδα τής G, τότε υπάρχει g G με Q gpg 1 Ιδιαιτέρως, όλες οι p Sylow υποομάδες τής G είναι συζυγείς (γ ) Για το πλήθος n p (G) των p Sylow υποομάδων τής G έχουμε: n p (G) 1modp και n p (G) = [G : N G (P)], όπου P Syl p (G) και N G (P) = {g G gpg 1 = P} είναι ο ορθοθέτης τής P Ιδιαιτέρως, n G (P) m Πριν από την απόδειξη τού θεωρήματος αποδεικνύουμε το Λήμμα 213 Αν P είναι μια p Sylow υποομάδα τής G και Q είναι οποιαδήποτε p υποομάδα τής G, τότε N G (P) Q = P Q Απόδειξη Θέτουμε H = N G (P) Q Από P N G (P) έπεται ότι P Q N G (P) Q = H Συνεπώς, για να δειχθεί η ισότητα τού λήμματος είναι αρκετό να δειχθεί ότι το H = N G (P) Q περιέχεται στο P Q Αλλά H Q και γι αυτό υπολείπεται η απόδειξη ότι H P Θα αποδείξουμε ότι: (Π) Το σύνολο PH είναι μια υποομάδα τής G και μάλιστα μια p υποομάδα Κατόπιν, από P PH θα συμπεράνουμε ότι P = PH, αφού η τάξη τής P είναι η μεγαλύτερη δύναμη τού p που διαιρεί την τάξη [G : 1] = p α m Τέλος, από P = PH, θα συμπεράνουμε ότι H P που ολοκληρώνει την απόδειξη Η απόδειξη τής (Π) Επειδή H N G (P), έχουμε h H, hp = Ph και γι αυτό η PH είναι μια υποομάδα τής G Για το πλήθος των στοιχείων τής PH γνωρίζουμε, βλ Πρόταση 136, ότι [PH : 1] = [P : 1][H : 1] [P H : 1] (*) Ο αριθμητής τής σχέσης (*) είναι δύναμη τού p, επειδή και η [P : 1] είναι δύναμη τού p, αφού η P είναι p Sylow υποομάδα τής G, και η [H : 1] είναι δύναμη τού p, αφού η H είναι μια p υποομάδα, ως υποομάδα τής p υποομάδας Q Για τους ίδιους λόγους και ο παρονομαστής τής σχέσης (*) είναι μια δύναμη τού p Συνεπώς, η PH είναι μια p υποομάδα Είμαστε τώρα σε θέση να αποδείξουμε τον πρώτο ισχυρισμό τού Θεωρήματος Sylow, βλ Θ 212: 33 Ν Μαρμαρίδης

2 Θ SYLOW (α ) Το σύνολο Syl p (G) δεν είναι κενό Απόδειξη Η απόδειξη θα εκτελεστεί με επαγωγή ως προς [G : 1] Αν [G : 1] = 1 δεν χρειάζεται να αποδειχθεί κάτι Ας δούμε τι συμβαίνει στην περίπτωση [G : 1] = 2 Η G είναι μια 2 ομάδα και Syl 2 (G) = {G} Έστω ότι ο ισχυρισμός είναι αληθής για κάθε ομάδα G με τάξη [G : 1] < [G : 1], δηλαδή ότι Syl p (G ), όταν p [G : 1] Για την ομάδα G, θεωρούμε την Εξίσωση των Κλάσεων, βλ Θεώρημα 142: [G : 1] = [Z(G) : 1] + l [G : C G (g j )], όπου τα στοιχεία g j διατρέχουν τους αντιπροσώπους από τις κλάσεις συζυγίας με περισσότερα τού ενός στοιχεία Συνεπώς, j, 1 j l, [G : C G (g j )] 2 Αν ο πρώτος p διαιρεί την τάξη τού κέντρου Z(G), τότε υπάρχει g Z(G), g e G Η κυκλική υποομάδα g περιέχεται στο Z(G) και συνεπώς είναι ορθόθετη Θεωρούμε τον κανονικό επιμορφισμό π : G G/ x Η τάξη τής G/ x ισούται με [G : 1]/p = p α 1 m Λόγω της επαγωγικής υπόθεσης η G/ x διαθέτει μια υποομάδα P τάξης p α 1 Τώρα η υποομάδα P = π 1 (P ) τής G έχει τάξη p α και P Syl p (G) Αν ο πρώτος p δεν διαιρεί την τάξη τού κέντρου Z(G), τότε δεν διαιρεί τουλάχιστον για ένα k, 1 k l κάποιον προσθετέο [G : C G (g k )] 2 Επειδή j=1 p α m = [G : 1] = [G : C G (g k )][C G (g k ) : 1], έπεται ότι ο p α διαιρεί την τάξη [C G (g k ) : 1], η οποία είναι γνησίως μικρότερη από την τάξη [G : 1] τής G Λόγω τής επαγωγικής υπόθεσης, η υποομάδα C G (g k ) διαθέτει μια p Sylow υποομάδα P τάξης p α Η P ως έχουσα τάξη p α είναι μια p Sylow υποομάδα τής G Πριν προχωρήσουμε στην απόδειξη των (β ) και (γ ) τού Θεωρήματος 212 θα κάνουμε ορισμένες παρατηρήσεις Ήδη έχουμε αποδείξει ότι Syl p (G) Έστω ότι P είναι μια υποομάδα με P Syl p (G) και ότι S = {gpg 1 g G} = {P 1, P 2,, P r } είναι το σύνολο των υποομάδων τής G που είναι συζυγείς τής P Οποιαδήποτε υποομάδα H τής G δρά μέσω συζυγίας επί τού S, δηλαδή H S S, (h, P i ) hp i h 1 και διαμερίζει το S σε s το πλήθος τροχιές O i, 1 i s και συνεπώς r = s i=1 O i Προσέξτε, ότι ενώ το πλήθος r των στοιχείων τού S είναι σταθερό, το πλήθος s των Ν Μαρμαρίδης 34

21 Τ Θ SYLOW τροχιών μπορεί να μεταβάλλεται, ανάλογα με την υποομάδα H Για παράδειγμα, αν H = G, τότε s = 1, ενώ αν H = {e G }, τότε s = r Σε κάθε περίπτωση βέβαια, s r Επιλέγουμε ως H μια p υποομάδα Q τής G και αριθμούμε εκ νέου, αν είναι απαραίτητο, τα στοιχεία τού S έτσι, ώστε τα πρώτα s να είναι οι αντιπρόσωποι των διαφορετικών τροχιών O i, 1 i s τής δράσης συζυγίας Q S S Από το Θεώρημα 123 γνωρίζουμε ότι το πλήθος των στοιχείων τής τροχιάς O i ισούται με τον δείκτη [Q : N Q (P i )], αφού ο σταθερωτής τού P i ως προς τη δράση τής συζυγίας είναι ο ορθοθέτης N Q (P i ) = {q Q qp i q 1 = P i } Παρατηρούμε ότι N Q (P i ) = N G (P i ) Q και επειδή από το Λήμμμα 213 γνωρίζουμε ότι N G (P i ) Q = P i Q, συμπεραίνουμε ότι N Q (P i ) = P i Q Συνεπώς, O i = [Q : P i Q], i, 1 i s Θα δείξουμε ότι για το πλήθος S των στοιχείων τού συνόλου S ισχύει S 1modp Απόδειξη Επιλέγουμε να δράσει μέσω συζυγίας επί τού S η p Sylow υποομάδα P 1, η οποία είναι βεβαίως και στοιχείο τού S Για το πλήθος των στοιχείων τής τροχιάς O 1, έχουμε O 1 = [P 1 : P 1 P 1 ] = 1 (Θυμηθείτε με ποιον τρόπο αριθμούμε κάθε φορά τα στοιχεία τού S) Ενώ για το πλήθος των στοιχείων οποιασδήποτε άλλης τροχιάς O i, i 2, έχουμε O i = [P 1 : P i P 1 ] 2 Αυτό είναι αληθές, επειδή η τομή P i P 1 περιέχεται γνήσια εντός τής P i, αφού αν, P i P 1 = P i, τότε θα ήταν P i = P 1, διότι τα P i και P 1 έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων Συνεπώς για κάθε i, 2 i s, το πλήθος O i = [P 1 : P i P 1 ] είναι μια θετική δύναμη n i τού πρώτου αριθμού p, αφού είναι ένας διαιρέτης 2 τής τάξης [P 1 : 1] = p α Τώρα είναι S = s O i = 1 + p n 2 + + p n s, όπου n i N, i = 2,, s i=1 Ώστε, S 1modp Θα αποδείξουμε τώρα τα (β ) και (γ ) τού Θεωρήματος 212 (β ) Αν P είναι οποιαδήποτε p Sylow υποομάδα τής G και Q είναι οποιαδήποτε p υποομάδα τής G, τότε υπάρχει g G με Q gpg 1 Ιδιαιτέρως, όλες οι p Sylow υποομάδες τής G είναι συζυγείς Απόδειξη Έστω μια p υποομάδα Q και P μια σταθερώς επιλεγμένη p Sylow υποομάδα τής G Αν δεν υπάρχει g G με Q gpg 1, τότε η Q δεν περιέχεται σε 35 Ν Μαρμαρίδης