ναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές Γενικά Προτασιακή λογική Λογική πρώτης τάξης Λογικός προγραµµατισµός Επεκτάσεις της Λογικής Πρώτης Τάξης Συστήµατα Κανόνων Επίλογος ναπαράσταση γνώσης ναπαράσταση γνώσης είναι ένα σύνολο συντακτικών και σηµασιολογικών παραδοχών, που καθιστούν δυνατή την περιγραφή ενός κόσµου. Μία µέθοδος αναπαράστασης γνώσης έχει: Συντακτικό (syntax): Τα σύµβολα που χρησιµοποιούνται και οι κανόνες µε τους οποίους συνδυάζονται. Σηµασιολογία (semantics): Η σηµασία που αποδίδουµε στα σύµβολα και στους διάφορους έγκυρους συνδυασµούς τους. Η φυσική γλώσσα είναι ακατάλληλη για αναπαράσταση γνώσης λόγω της πολυσηµαντότητας της (ambiguity) και της ερµηνείας µε βάση τα συµφραζόµενα (context). Γιάννης Ρεφανίδης 2 1
Εξαγωγή συµπερασµάτων Μηχανισµός εξαγωγής συµπερασµάτων είναι ένας αλγόριθµος (αναζήτησης) εξαγωγής συµπερασµάτων από υπάρχουσα γνώση. Κάθε µέθοδος αναπαράστασης γνώσης έχει έναν ή περισσότερους µηχανισµούς εξαγωγής συµπερασµάτων. Κριτήρια αξιολόγησης µεθόδων αναπαράστασης γνώσης: Επάρκεια αναπαράστασης (representational adequacy). Επάρκεια συνεπαγωγής (inferential adequacy). ποδοτικότητα συνεπαγωγής (inferential efficiency). ποδοτικότητα απόκτησης (acquisitional efficiency). Γιάννης Ρεφανίδης 3 Μέθοδοι ναπαράστασης Γνώσης Προτασιακή λογική (Propositional logic) Λογική πρώτης τάξης (Firts-order logic) Λογικές ανώτερης τάξης Σηµασιολογικά ίκτυα Πλαίσια Σενάρια Κανόνες κλπ Γιάννης Ρεφανίδης 4 2
ναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές Γενικά Προτασιακή λογική Λογική πρώτης τάξης Λογικός προγραµµατισµός Επεκτάσεις της Λογικής Πρώτης Τάξης Συστήµατα Κανόνων Επίλογος Προτασιακή λογική (propositional logic) Βασίζεται σε συγκεκριµένες προτάσεις που είναι αληθείς ή ψευδείς. Κάθε πρόταση έχει ένα όνοµα, συνήθως ένα κεφαλαίο γράµµα, π.χ. P, Q: P: Ο Νίκος είναι προγραµµατιστής. Q: Ο Νίκος έχει υπολογιστή. R1: Το τρίγωνο ΒΓ είναι οξυγώνιο. R2: Το τρίγωνο ΒΓ είναι ορθογώνιο. R3: Το τρίγωνο ΒΓ είναι αµβλυγώνιο. R4: Το τρίγωνο ΒΓ είναι ισόπλευρο. R5: Το τρίγωνο ΒΓ είναι ισογώνιο. Κάθε πρόταση µπορεί να είναι αληθής (true) ή ψευδής (false). Είναι πιθανό να µην γνωρίζουµε την τιµή αληθείας µιας πρότασης, µολονότι αυτή είναι προκαθορισµένη. εν επιτρέπεται η χρήση µεταβλητών. Γιάννης Ρεφανίδης 6 3
Σύνθετες προτάσεις Μπορούµε να συνδυάζουµε απλές προτάσεις για να φτιάχνουµε σύνθετες (complex sentences) χρησιµοποιώντας τους παρακάτω λογικούς συνδέσµους (logical connectives): Σύµβολο ή ή Ονοµασία / Επεξήγηση Σύζευξη (Λογικό ΚΙ) ιάζευξη (Λογικό 'Η) Άρνηση Συνεπαγωγή ιπλή συνεπαγωγή Γιάννης Ρεφανίδης 7 Πίνακας αληθείας σύνθετων προτάσεων Παρακάτω δίνεται ο πίνακας αληθείας των σύνθετων προτάσεων, µε βάση την τιµή αληθείας των απλών προτάσεων (=ληθές, =ευδές). P Q P P Q P Q P Q P Q Σε περίπτωση απουσίας παρενθέσεων, η σειρά προτεραιότητας των λογικών πράξεων (από την υψηλότερη προς την χαµηλότερη) είναι η εξής:,,,, Γιάννης Ρεφανίδης 8 4
Παραδείγµατα P: Ο Νίκος είναι προγραµµατιστής. Q: Ο Νίκος έχει υπολογιστή. P Q R1: Το τρίγωνο ΒΓ είναι οξυγώνιο. R2: Το τρίγωνο ΒΓ είναι ορθογώνιο. R3: Το τρίγωνο ΒΓ είναι αµβλυγώνιο. R1 R2 R1 R2 R3 R1 R2 R4: Το τρίγωνο ΒΓ είναι ισόπλευρο. R5: Το τρίγωνο ΒΓ είναι ισογώνιο. R4 R5 Γιάννης Ρεφανίδης 9 Βάσεις γνώσης και µοντέλα Βάση γνώσης (Knowledge Base) είναι το σύνολο εκείνο των προτάσεων (απλές ή/και σύνθετες) που θεωρούµε ότι είναι αληθείς. Ένα µοντέλο (model) είναι µια ανάθεση τιµής (αληθής ή ψευδής) σε κάθε απλή πρόταση, έτσι ώστε όλες οι προτάσεις της βάσης γνώσης (ΒΓ) να είναι αληθείς. Παράδειγµα: Έστω οι προτάσεις: P: Ο Νίκος είναι προγραµµατιστής. Q: Ο Νίκος έχει υπολογιστή. και έστω ότι η βάση γνώσης περιέχει µόνο την πρόταση: P Q Τα µοντέλα αυτής της βάσης γνώσης είναι τα: P=, Q=A P=, Q=A P=, Q= Γιάννης Ρεφανίδης 10 5
Προτάσεις και µοντέλα ύο (σύνθετες) προτάσεις και Β είναι ισοδύναµες, εάν αληθεύουν στα ίδια µοντέλα. Β Μια πρόταση είναι έγκυρη (valid), εάν αληθεύει σε όλα τα µοντέλα. π.χ. P P Μια πρόταση είναι ικανοποιήσιµη (satisfiable), εάν υπάρχει κάποιο µοντέλο m που την ικανοποιεί. π.χ. η πρόταση P P δεν είναι ικανοποιήσιµη. Γιάννης Ρεφανίδης 11 Πίνακας Ισοδύναµων Προτάσεων Β Β (αντιµεταθετικότητα της σύζευξης) Β Β (αντιµεταθετικότητα της διάζευξης) (( Β) Γ) ( (Β Γ)) (προσεταιριστική σύζευξης) (( Β) Γ) ( (Β Γ)) (προσεταιριστική διάζευξης) ( ) (απαλοιφή διπλής άρνησης) Β Β (αντιθετοαντιστροφή) Β Β (απαλοιφή συνεπαγωγής) Β Β Β (απαλοιφή ισοδυναµίας) ( Β) ( Β) (de Morgan) ( Β) ( Β) (de Morgan) (A (B Γ)) (( Β) ( Γ)) (επιµερισµός σύζευξης) (A (B Γ)) (( Β) ( Γ)) (επιµερισµός διάζευξης) Γιάννης Ρεφανίδης 12 6
Παράδειγµα: Ναρκαλιευτής (1/4) (Minesweeper) Έστω µια περιορισµένη έκδοση 3x3 του γνωστού παιχνιδιού των Windows. 3 2 1 1 2 3 ρχικά δεν γνωρίζουµε πού βρίσκονται οι νάρκες. Συµβολίζουµε µε Mij τη γνώση ότι η θέση ij (i γραµµή και j στήλη) έχει µια νάρκη. Για κάθε θέση που δοκιµάζουµε, µαθαίνουµε εάν οι γειτονικές θέσεις δεν έχουν νάρκες. Συµβολίζουµε µε Aij τη γνώση ότι µία γειτονική θέση της θέσης ij έχει νάρκη. Γιάννης Ρεφανίδης 13 Παράδειγµα: Ναρκαλιευτής (2/4) Η βάση γνώσης µας µπορεί να περιέχει απλές ή/και σύνθετες προτάσεις που κατασκευάζονται από τις Mij και Aij και για τις οποίες έχει βεβαιότητα ότι είναι αληθείς. Έστω ότι αρχικά η βάση γνώσης µας περιέχει τις παρακάτω εννέα (9) σύνθετες προτάσεις : R1: A11 M12 M21 R2: A12 M11 M22 M13... R9: A33 M23 M32 Ισοδύναµα θα µπορούσαµε να χρησιµοποιήσουµε προτάσεις της µορφής: A11 M12 M21 Γιάννης Ρεφανίδης 14 7
Παράδειγµα: Ναρκαλιευτής (3/4) Έστω ότι εισάγουµε στη βάση γνώσης την πρόταση: R10: A11 δηλαδή µάθαµε ότι η θέση (1,1) δεν γειτονεύει µε καµία νάρκη. Τι συµπεράσµατα µπορούµε να βγάλουµε και ΠΏΣ; ιάφοροι µέθοδοι εξαγωγής συµπερασµάτων: Έλεγχος µοντέλων (model checking) Τεχνικές ικανοποίησης περιορισµών ποδείξεις (proofs) Τεχνική της ανάλυσης (resolution) Πρόβληµα: Θέλουµε να ελέξουµε την τιµή αληθείας του Μ12, δηλαδή εάν υπάρχει νάρκη στο Μ12. Γιάννης Ρεφανίδης 15 Έλεγχος µοντέλων (Model checking) Το πρόβληµα έχει 2x9=18 προτάσεις (Aij, Mij), κάθε µία από τις οποίες µπορεί να έχει τιµή ή. Το πρόβληµα έχει 2 18 πιθανά µοντέλα! πλοϊκή προσέγγιση: Βρίσκουµε όλα τα µοντέλα του προβλήµατος που είναι συµβατά µε τη βάση γνώση. Για όσες προτάσεις έχουν την ίδια τιµή σε όλα τα µοντέλα µπορούµε να συµπεράνουµε ότι αυτή είναι η πραγµατική τιµή τους (τεχνική παραγωγής και δοκιµής, 2ο κεφάλαιο). Εάν εφαρµόσουµε την παραπάνω τεχνική, τότε θα βλέπαµε ότι σε όλα τα συµβατά µοντέλα η πρόταση M12 είναι ψευδής (όπως επίσης και η Μ21). Σε µεγάλα προβλήµατα είναι πρακτικά αδύνατο να ελέξουµε όλα τα µοντέλα. Η τεχνική ελέγχου µοντέλων λειτουργεί όταν ο κόσµος του προβλήµατος Γιάννης Ρεφανίδης είναι πεπερασµένος. 16 8
Τεχνικές ικανοποίησης περιορισµών (1/2) Για να αποδείξουµε ότι ισχύει M12, αρκεί να αποδείξουµε ότι δεν υπάρχει κανένα µοντέλο (ανάθεση τιµών / στις προτάσεις Aij και Mij) που να ικανοποιεί τη βάση γνώσης και την πρόταση M12. υτό µπορεί να γίνει µε τεχνικές ικανοποίησης περιορισµών (αλγόριθµοι ελέγχου συνέπειας). Πράγµατι, το πρόβληµα εύρεσης ενός µοντέλου είναι ένα πρόβληµα ικανοποίησης περιορισµών, όπου: µεταβλητές είναι όλες οι απλές προτάσεις που εµφανίζονται στη βάση γνώσης είτε αυτόνοµα ή ως µέρος µεγαλύτερων προτάσεων, πεδία τιµών τους είναι οι τιµές και περιορισµοί είναι οι αυτόνοµες (είτε απλές ή σύνθετες) προτάσεις της βάσης γνώσης, οι οποίες πρέπει να αληθεύουν. Εάν ένας συστηµατικός αλγόριθµος αναζήτησης αποδείξει ότι δεν υπάρχει κανένα µοντέλο για την σύζευξη της βάσης γνώσης και της πρότασης M12, τότε η πρόταση Μ12 δεν είναι συµβατή σε καµία περίπτωση µε τη βάση γνώσης. λγόριθµος DPLL: Συστηµατικός αλγόριθµος επίλυσης προβληµάτων ικανοποίησης προτάσεων µε χρήση τεχνικών ικανοποίησης περιορισµών. Γιάννης Ρεφανίδης 17 Τεχνικές ικανοποίησης περιορισµών (2/2) Εναλλακτικά µπορούν να χρησιµοποιηθούν ευριστικές τεχνικές εύρεσης µοντέλων (τύπου αναρρίχησης λόφου): Προστίθεται και πάλι η πρόταση M12 στη βάση γνώσης. ρχικά πραγµατοποιείται µια τυχαία ανάθεση τιµών / σε όλες τις απλές προτάσεις του προβλήµατος. Ελέγχεται πόσες από τις προτάσεις της βάσης γνώσης δεν ισχύουν. Εάν ισχύουν όλες, το µοντέλο βρέθηκε. Επιλέγεται µια εκ των απλών προτάσεων και αντιστρέφεται η τιµή αληθείας της, µε κριτήριο την ελάττωση του αριθµού των προτάσεων της βάσης γνώσης που δεν ικανοποιούνται. Η διαδικασία συνεχίζεται µέχρι είτε να βρεθεί ένα µοντέλο, είτε να ξεπεραστεί ένα προκαθορισµένο χρονικό όριο αναζήτησης. Η εξάντληση του χρονικού ορίου µπορεί να θεωρηθεί ότι ισοδυναµεί µε τη µη-ύπαρξη µοντέλου (ή την πολύ µικρή πιθανότητα εµφάνισής του). Γιάννης Ρεφανίδης 18 9
ποδείξεις (1/2) Χρησιµοποιούµε τις συνεπαγωγές της βάσης γνώσης για να βγάλουµε νέα συµπεράσµατα. Για παράδειγµα: πό τις προτάσεις: και Β µπορούµε να βγάλουµε το συµπέρασµα (τεχνική modus ponens / τρόπος του θέτειν): Β Γενικά συµβολίζουµε: ( Β) B όπου το σύµβολο έχει την έννοια της παραγωγής, δηλαδή το αριστερό µέρος ισχύει ενώ το δεξιό µέρος συµπεραίνεται και προστίθεται στη βάση γνώσης. Στο παράδειγµά µας γνωρίζουµε ότι: A11 και A11 M12 M21, άρα καταλήγουµε ότι ισχύουν οι προτάσεις M12 και M21. Γιάννης Ρεφανίδης 19 ποδείξεις (2/2) Μπορούν να χρησιµοποιηθούν όλες οι λογικές ισοδυναµίες της διαφάνειας 10 καθώς και αρκετές άλλες. Η παραγωγή συµπερασµάτων µε χρήση των λογικών ισοδυναµιών ονοµάζεται απόδειξη (proof). Γιάννης Ρεφανίδης 20 10
Τεχνική της νάλυσης (1/2) Η τεχνική της ανάλυσης (resolution) είναι µια απλοποιηµένη περίπτωση διαδικασίας απόδειξης, η οποία χρησιµοποιεί έναν µόνο κανόνα. παιτεί όλες οι σύνθετες προτάσεις της βάσης γνώσης να είναι διαζεύξεις απλών προτάσεων ή αρνήσεών τους. Β Γ Ε πό δύο προτάσεις της µορφής: 1 2... i-1 Ai Ai+1... Am και B1 B2... Bj-1 Bj Bj+1... Bn όπου Ai= Bj προκύπτει η πρόταση 1 2... i-1 Ai+1... Am B1 B2... Bj-1 Bj+1... Bn Γιάννης Ρεφανίδης 21 Τεχνική της νάλυσης (2/2) Η εφαρµογή της τεχνικής της ανάλυσης προϋποθέτει ότι γνωρίζουµε τι προσπαθούµε να αποδείξουµε. Έστω Κ η πρόταση που θέλουµε να αποδείξουµε. Εκτελούµε τα εξής βήµατα: Προσθέτουµε στη βάση γνώσης την πρόταση Κ. Εφαρµόζουµε επανειληµµένα τον κανόνα της ανάλυσης. Εάν καταλήξουµε σε άτοπο, δηλαδή αν παραχθούν δύο προτάσεις της µορφής Χ και Χ, συµπεραίνουµε ότι η πρόταση Κ δεν ίσχυε, άρα αποδείχθηκε ή πρόταση Κ. Γιάννης Ρεφανίδης 22 11
Κανονική συζευκτική µορφή Οποιαδήποτε πρόταση µπορεί να µετατραπεί σε µία ή (συνήθως) περισσότερες προτάσεις που αποτελούνται µόνο από διαζεύξεις, χρησιµοποιώντας τις λογικές ισοδυναµίες της διαφάνειας 10. Βασικό ρόλο παίζει ο κανόνας: Β Β Οι διάφορες διαζευκτικές προτάσεις της βάσης γνώσης R1, R2, R3 κλπ θεωρείται ότι ισχύουν όλες µαζί, άρα η βάση γνώσης περιέχει την σύζευξή τους R1 R2 R3... Rk. Μια βάση γνώσης που αποτελείται µόνο από διαζευκτικές προτάσεις λέγεται ότι βρίσκεται σε κανονική συζευκτική µορφή (conjuctive normal form). Γιάννης Ρεφανίδης 23 Παράδειγµα µετατροπής σε κανονική συζευκτική µορφή (1/2) Για παράδειγµα, έστω η σύνθετη πρόταση: R1: A11 M12 M21 υτή καταρχήν αναλύεται σε δύο απλές συνεπαγωγές ( Β Β Β ): R11: A11 M12 M21 R12: M12 M21 A11 Κάθε µία από τις συνεπαγωγές αυτές µπορεί να γραφεί ως εξής ( Β Β): R13: A11 M12 M21) R14: ( M12 M21) A11 Γιάννης Ρεφανίδης 24 12
Παράδειγµα µετατροπής σε κανονική συζευκτική µορφή (2/2) Η R13 µε επιµερισµό ως προς την διάζευξη γίνεται: R15: (A11 M12) (A11 M21) Εφαρµόζοντας την ταυτότητα ( Β) ( Β) στην R14 παίρνουµε: R16: M12 M21 A11 Τέλος "σπάµε" την R15 σε δύο απλούστερες προτάσεις, τις: R17: A11 M12 R18: A11 M21 Τελικά η βάση γνώσης περιλαµβάνει τις διαζευκτικές προτάσεις R16, R17 και R18, αντί της αρχικής R1: Βάση γνώσης = R16 R17 R18 Γιάννης Ρεφανίδης 25 Παράδειγµα: Ναρκαλιευτής (4/4) Έστω ότι θέλουµε να ελέξουµε εάν η θέση (1,2) δεν έχει νάρκη, αν δηλαδή ισχύει η πρόταση Μ12. Εισάγουµε στη βάση γνώσης την πρόταση: R19: ( Μ12)= Μ12. Εφαρµόζουµε την αρχή της ανάλυσης µεταξύ των R17 και R19 και παίρνουµε: R20: A11 Ήδη όµως ξέρουµε ότι ισχύει η πρόταση: R10: A11. Συνδυάζοντας την R10 µε την R20 καταλήγουµε σε κενή πρόταση, η οποία ισοδυναµεί µε άτοπο. Άρα η M12 είναι ψευδής, οπότε ισχύει η M12 και εισέρχεται στη βάση. R21: M12 Γιάννης Ρεφανίδης 26 13
Παρατηρήσεις στην Τεχνική της νάλυσης Σε κάθε βήµα εφαρµογής της τεχνικής της ανάλυσης συνήθως υπάρχουν περισσότερα από ένα ζεύγη προτάσεων που µπορούν να συνδυαστούν. Η επιλογή του ζεύγους κάθε φορά καθορίζεται από τον αλγόριθµο αναζήτησης (κατά βάθος, κατά πλάτος, ευριστικός κλπ). π.χ. προτίµηση στις µοναδιαίες προτάσεις (unit clauses) Η τεχνική της ανάλυσης εγγυάται ότι θα καταλήξει σε άτοπο όταν η πρόταση που θέλουµε να αποδείξουµε ισχύει. Γιάννης Ρεφανίδης 27 Προτάσεις Horn Μια απλοποιηµένη µορφή προτασιακής λογικής περιλαµβάνει σύνθετες προτάσεις µόνο της µορφής: Q1 Q2... Qn R οι οποίες ισοδύναµα γράφονται ως: Q1 Q2... Qn R Η εξαγωγή θετικών συµπερασµάτων (δηλαδή όχι αρνήσεων προτάσεων) µε τέτοιες προτάσεις και µε την αρχή της ανάλυσης είναι εύκολη και γίνεται σε γραµµικό χρόνο ως προς το πλήθος των κανόνων της βάσης γνώσης. εν µπορούν όλες οι βάσεις γνώσης να µετατραπούν σε βάσεις προτάσεων Horn. Γιάννης Ρεφανίδης 28 14