ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 07/12/2013 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα.κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι) 3. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. ΘΕΜΑΤΑ 1. Δίνεται ότι τιμή του Β. 4 A 75600 B. Αν Α και Β είναι θετικοί ακέραιοι, να βρείτε τη μικρότερη 2. Οι αριθμοί 203 και 298 διαιρούμενοι με το θετικό ακέραιο χ δίνουν και οι δυο υπόλοιπο 13. Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του χ; 3. Ένα γιγαντιαίο καρπούζι ζυγίζει 50 kg. Το 98% του βάρους του είναι νερό. Αφήνεται στον ήλιο με αποτέλεσμα να εξατμιστεί μια ποσότητα νερού και το καρπούζι να αποτελείται πλέον από 96% νερό. Πόσο είναι το βάρος του καρπουζιού σε kg μετά την εξάτμιση; 4. Το ορθογώνιο ΑΒΓΔ αποτελείται από δύο τετράγωνα ΑΕΖΔ, ΕΒΗΘ και το ορθογώνιο ΘΗΓΖ. Αν η περίμετρος του ΘΗΓΖ είναι ίση με τα 3 8 της περιμέτρου του ΑΒΓΔ, να υπολογίσετε το λόγο ΑΒ ΑΔ.

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 07/12/2013 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα.κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι) 3. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. ΘΕΜΑΤΑ 1.. Ένα γιγαντιαίο καρπούζι ζυγίζει 50 kg. Το 98% του βάρους του είναι νερό. Αφήνεται στον ήλιο με αποτέλεσμα να εξατμιστεί μια ποσότητα νερού και το καρπούζι να αποτελείται πλέον από 96% νερό. Πόσο είναι το βάρος του καρπουζιού σε kg μετά την εξάτμιση; 2. Το ορθογώνιο ΑΒΓΔ αποτελείται από δύο τετράγωνα ΑΕΖΔ, ΕBΗΘ και το ορθογώνιο ΘΗΓΖ. Αν η περίμετρος του ΘΗΓΖ είναι ίση με τα 3 της περιμέτρου του ΑΒΓΔ, να 8 υπολογίσετε το λόγο ΑΒ. ΑΔ 3. O Ανδρέας αρχίζει να διαβάζει ένα βιβλίο την 1 η Δεκεμβρίου. Κάθε μέρα διαβάζει τον ίδιο αριθμό σελίδων και το τελειώνει την 31 η Δεκεμβρίου του ίδιου χρόνου. Αν αποφάσιζε να διάβαζε την πρώτη μέρα το ¼ των σελίδων που διάβαζε και κάθε μέρα που ακολουθούσε διάβαζε μια σελίδα περισσότερη από την προηγούμενη μέρα θα χρειαζόταν ακριβώς τον ίδιο αριθμών ημερών για να τελειώσει το βιβλίο. Πόσες σελίδες έχει το βιβλίο; 4. Να διατάξετε σε αύξουσα σειρά τους αριθμούς: A 3 3 10, B 5 12, 78, 3 27, E 48 3

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 07/12/2013 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα.κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι) 3. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. ΘΕΜΑΤΑ 1. O Ανδρέας αρχίζει να διαβάζει ένα βιβλίο την 1 η Δεκεμβρίου. Κάθε μέρα διαβάζει τον ίδιο αριθμό σελίδων και το τελειώνει την 31 η Δεκεμβρίου του ίδιου χρόνου. Αν όμως αποφάσιζε να διάβαζε την πρώτη μέρα το ¼ των σελίδων που διάβαζε και κάθε μέρα που ακολουθούσε διάβαζε μια σελίδα περισσότερη από την προηγούμενη μέρα θα χρειαζόταν ακριβώς τον ίδιο αριθμών ημερών για να τελειώσει το βιβλίο. Πόσες σελίδες έχει το βιβλίο; 2. Να διατάξετε σε αύξουσα σειρά τους αριθμούς: A 3 3 10, B 5 12, 78, 3 27, E 48 3 3. Δίνεται το οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ. ΓΔ είναι ύψος του τριγώνου και ΒΕ είναι διάμεσος. Αν ισχύει ότι ΓΔ=ΒΕ και ΔΓΒ = ΕΒΓ να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. 4. Οι α, β και γ είναι πραγματικοί αριθμοί έτσι ώστε α + β + γ = 11 και 1 1 1 13 a a 17 a ; a a. Ποια είναι η τιμή της παράστασης

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: 7/12/13 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι) 3. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. ΘΕΜΑΤΑ Πρόβλημα 1: (α) Αν κ θετικός ακέραιος, να δείξετε ότι : 2( κ + 1 κ) < 1 (β) Να αποδείξετε ότι : 18 < 1 1 + 1 2 + 1 3 + + 1 99 < 19 Πρόβλημα 2: κ < 2( κ κ 1) (α) Αν ένας αριθμός x αυξηθεί κατά y% γίνεται 30, ενώ αν αυξηθεί ο y κατά x% γίνεται 25. Να βρείτε τους αριθμούς x και y. (β) Δίνεται η αλγεβρική παράσταση φ(x) = (x + 5)(x + 7)(x + 9)(x + 11) + ν, με x R, ν N. Να υπολογίσετε το φυσικό αριθμό ν, ώστε η αλγεβρική παράσταση να είναι τέλειο τετράγωνο. Πρόβλημα 3: Για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς x, y ισχύει : x + y = 6 (α) Να δείξετε ότι : xy 9 (β) Να αποδείξετε ότι : (x + 1 x )2 + (y + 1 y )2 200 Πρόβλημα 4: Στο ορθογώνιο ΑΒΓΔ, το Μ είναι μέσο του ΑΒ, το Ν είναι μέσο του ΜΒ και το Λ είναι σημείο πάνω στην ΒΓ, έτσι ώστε (ΛB) = (BN) = 1 (ΓΛ). Αν Κ είναι το σημείο τομής της ΜΛ και ΔΝ 5 και το εμβαδόν του τριγώνου ΜΝΚ είναι 1, να υπολογίσετε το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ. 9

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: 7/12/13 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι) 3. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. ΘΕΜΑΤΑ Πρόβλημα 1: Αν x, y R, να λύσετε την εξίσωση : (25x 2 5x + 5)(16y 2 + 24y + 17) = 38 Πρόβλημα 2: Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3 9 x +3, x R. Να υπολογίσετε το άθροισμα: Σ = f ( 1 2014 ) + f ( 2 2014 ) + f ( 3 ) + + f (2011) + f (2012) + f (2013 2014 2014 2014 2014 ) Πρόβλημα 3: Αν α, β θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να λύσετε το σύστημα : { 3 α + β 3 α β 6 + α 3 β 2 6 + α 3 β 4 = 35 = 264 Πρόβλημα 4: Στο ορθογώνιο ΑΒΓΔ, το Μ είναι μέσο του ΑΒ, το Ν είναι μέσο του ΜΒ και το Λ είναι σημείο πάνω στην ΒΓ, έτσι ώστε (ΛB) = (BN) = 1 (ΓΛ). Αν Κ είναι το σημείο τομής της ΜΛ και ΔΝ 5 και το εμβαδόν του τριγώνου ΜΝΚ είναι 1, να υπολογίσετε το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ.

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: 7/12/13 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι) 3. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. ΘΕΜΑΤΑ Πρόβλημα 1: Να αποδείξετε ότι η εξίσωση δεν έχει λύση στους ρητούς αριθμούς. x 2 + y 2 + z 2 = x + y + z + 1 Πρόβλημα 2: Να δείξετε ότι το άθροισμα Σ = 2 1 2 3 2 + 3 2 2 4 2 + 4 3 2 5 2 + + 2012 2011 2 2013 2 + 2013 2012 2 2014 2 είναι μικρότερο από το 5 16. Πρόβλημα 3: Από σημείο Ρ εκτός κύκλου φέρουμε τις εφαπτόμενες ΡΑ, ΡΒ και τυχαία τέμνουσα ΡΓΔ προς τον κύκλο. Αν ισχύει 2Ε ΡΑΓ = 3Ε ΡΒΓ, να υπολογίσετε το λόγο Ε ΒΔΓ Ε ΑΔΓ. Πρόβλημα 4: Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R R, με f(12) = 21 και f(21) = 12. Να αποδείξετε ότι υπάρχει x 0 R, τέτοιο ώστε : x 0 f (x 0 ) f(x 0 ).

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 07/12/2013 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 1. Δίνεται ότι τιμή του Β. 4 A 75600 B. Αν Α και Β είναι θετικοί ακέραιοι, να βρείτε τη μικρότερη Λύση: 4 3 2 75600 2 3 5 7 A 2 3 5 7 B 4 4 3 2 B 2 3 3 5 7 25725 2. Οι αριθμοί 203 και 298 διαιρούμενοι με το θετικό ακέραιο χ δίνουν και οι δυο υπόλοιπο 13. Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του χ; Λύση: Σύμφωνα με τις υποθέσεις έχουμε: 203 = χ. κ +13 και 298 = χ. λ +13, όπου κ, λ θετικοί ακέραιοι. 190 = χ. κ και 285 = χ. λ Επομένως ο χ είναι κοινός διαιρέτης των 190 και 285. Επειδή (190, 285) = 5. 19, οι δυνατές τιμές του χ είναι οι διαιρέτες του (190, 285), δηλαδή οι 1, 5, 19 και 95. Όμως πρέπει χ>13, οπότε τελικά θα είναι χ = 19 ή χ = 95. 3. Ένα γιγαντιαίο καρπούζι ζυγίζει 50 kg. Το 98% του βάρους του είναι νερό. Αφήνεται στον ήλιο με αποτέλεσμα να εξατμιστεί μια ποσότητα νερού και το καρπούζι να αποτελείται πλέον από 96% νερό. Πόσο είναι το βάρος του καρπουζιού σε kg μετά την εξάτμιση; Λύση: νερό + υπόλοιπο καρπούζι = 50kg. νερό = 98% του 50 = 49 kg. υπόλοιπο καρπούζι = 1 kg. 4% το υπόλοιπο καρπούζι αντιστοιχεί με 1 kg. Επομένως το νέο βάρος θα είναι 100 4 = 25kg

4. Το ορθογώνιο ΑΒΓΔ αποτελείται από δύο τετράγωνα ΑΕΖΔ, ΕΒΗΘ και το ορθογώνιο ΘΗΓΖ. Αν η περίμετρος του ΘΗΓΖ είναι ίση με τα 3 8 της περιμέτρου του ΑΒΓΔ, να υπολογίσετε το λόγο ΑΒ ΑΔ. Λύση: Θέτω ΗΓ=χ και ΖΓ=ψ Ισχύει ότι 2(χ + ψ) = 3 2(χ + ψ + χ + 2ψ) 8 16(χ + ψ) = 6(2χ + 3ψ) 16χ + 16ψ = 12χ + 18ψ 4χ = 2ψ 2χ = ψ επομένως ΑΒ ΑΔ = χ+2ψ χ+ψ = χ+4χ 2χ+χ = 5χ 3χ = 5 3

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 07/12/2013 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 1.. Ένα γιγαντιαίο καρπούζι ζυγίζει 50 kg. Το 98% του βάρους του είναι νερό. Αφήνεται στον ήλιο με αποτέλεσμα να εξατμιστεί μια ποσότητα νερού και το καρπούζι να αποτελείται πλέον από 96% νερό. Πόσο είναι το βάρος του καρπουζιού σε kg μετά την εξάτμιση; Λύση: νερό + υπόλοιπο καρπούζι = 50kg. νερό = 98% του 50 = 49 kg. υπόλοιπο καρπούζι = 1 kg. 4% το υπόλοιπο καρπούζι αντιστοιχεί με 1 kg. Επομένως το νέο βάρος θα είναι 100 4 = 25kg 2. Το ορθογώνιο ΑΒΓΔ αποτελείται από δύο τετράγωνα ΑΕΖΔ, ΕBΗΘ και το ορθογώνιο ΘΗΓΖ. Αν η περίμετρος του ΘΗΓΖ είναι ίση με τα 3 8 της περιμέτρου του ΑΒΓΔ, να υπολογίσετε το λόγο ΑΒ ΑΔ.

Λύση: Θέτω ΗΓ=χ και ΖΓ=ψ Ισχύει ότι 2(χ + ψ) = 3 2(χ + ψ + χ + 2ψ) 8 16(χ + ψ) = 6(2χ + 3ψ) 16χ + 16ψ = 12χ + 18ψ 4χ = 2ψ 2χ = ψ επομένως ΑΒ ΑΔ = χ+2ψ χ+ψ = χ+4χ 2χ+χ = 5χ 3χ = 5 3 3. O Ανδρέας αρχίζει να διαβάζει ένα βιβλίο την 1 η Δεκεμβρίου. Κάθε μέρα διαβάζει τον ίδιο αριθμό σελίδων και το τελειώνει την 31 η Δεκεμβρίου του ίδιου χρόνου. Αν αποφάσιζε να διάβαζε την πρώτη μέρα το ¼ των σελίδων που διάβαζε και κάθε μέρα που ακολουθούσε διάβαζε μια σελίδα περισσότερη από την προηγούμενη μέρα θα χρειαζόταν ακριβώς τον ίδιο αριθμών ημερών για να τελειώσει το βιβλίο. Πόσες σελίδες έχει το βιβλίο; Λύση: Έστω ότι ο Ανδρέας διαβάζει χ σελίδες την ημέρα τότε το βιβλίο έχει 31χ σελίδες. 1 1 1 1 1 31x x x 1 x 2 x 3 x 30 4 4 4 4 4 31 31 30 31 Τότε 31x x 1 2 3 30 x 4 4 2 x 20 Το βιβλίο έχει 620 σελίδες. 4. Να διατάξετε σε αύξουσα σειρά τους αριθμούς: A 3 3 10, B 5 12, 78, 3 27, E 48 3 Λύση 3 + 3 + 10 < 3 + 3 + 12 = 3 + 3 + 2 3 = 3 + 3 3 = 3 + 27 (1) 3 + 27 = 3 + 3 3 = 3 + 3 + 3 + 3 < 3 + 3 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3 + 2 = 5 + 2 3 = 5 + 12 (2)

5 + 12 = 25 + 12 < 27 + 12 =3 3 + 2 3 = 4 3 + 3 = 48 + 3 (3) 48 + 3 = 4 3 + 3 = 5 3 = 75 < 78 (4) (1), (2), (3), (4) 3 + 3 + 10 < 3 + 27 < 5 + 12 < 48 + 3 < 78 Δηλ. Α < Δ < Β < Ε < Γ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 07/12/2013 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 1. O Ανδρέας αρχίζει να διαβάζει ένα βιβλίο την 1 η Δεκεμβρίου. Κάθε μέρα διαβάζει τον ίδιο αριθμό σελίδων και το τελειώνει την 31 η Δεκεμβρίου του ίδιου χρόνου. Αν όμως αποφάσιζε να διάβαζε την πρώτη μέρα το ¼ των σελίδων που διάβαζε και κάθε μέρα που ακολουθούσε διάβαζε μια σελίδα περισσότερη από την προηγούμενη μέρα θα χρειαζόταν ακριβώς τον ίδιο αριθμών ημερών για να τελειώσει το βιβλίο. Πόσες σελίδες έχει το βιβλίο; Λύση: Έστω ότι ο Ανδρέας διαβάζει χ σελίδες την ημέρα τότε το βιβλίο έχει 31χ σελίδες. 1 1 1 1 1 31x x x 1 x 2 x 3 x 30 4 4 4 4 4 31 31 30 31 Τότε 31x x 1 2 3 30 x 4 4 2 x 20 Το βιβλίο έχει 620 σελίδες. 2. Να διατάξετε σε αύξουσα σειρά τους αριθμούς: A 3 3 10, B 5 12, 78, 3 27, E 48 3 Λύση 3 + 3 + 10 < 3 + 3 + 12 = 3 + 3 + 2 3 = 3 + 3 3 = 3 + 27 (1) 3 + 27 = 3 + 3 3 = 3 + 3 + 3 + 3 < 3 + 3 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3 + 2 = 5 + 2 3 = 5 + 12 (2) 5 + 12 = 25 + 12 < 27 + 12 =3 3 + 2 3 = 4 3 + 3 = 48 + 3 (3) 48 + 3 = 4 3 + 3 = 5 3 = 75 < 78 (4) (1), (2), (3), (4) 3 + 3 + 10 < 3 + 27 < 5 + 12 < 48 + 3 < 78

Δηλ. Α < Δ < Β < Ε < Γ 3. Δίνεται το οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ. ΓΔ είναι ύψος του τριγώνου και ΒΕ είναι διάμεσος. Αν ισχύει ότι ΓΔ=ΒΕ και ΔΓΒ = ΕΒΓ να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. Λύση Αφού ΔΓΒ = ΕΒΓ τότε ΖΒ = ΖΓ (ΖΒΓ ισοσκελές) Οπότε και ΖΕ = ΖΔ = ΒΕ ΖΒ = ΔΓ ΖΓ άρα τα τρίγωνα ΔΖΒ = ΕΖΓ ΕΒΓ = 90 0 και ΔΒΖ = ΖΓΕ Και αφού η ΒΕ είναι διάμεσος και ύψος του τριγώνου τότε ΑΒ = ΒΓ Επίσης επειδή ΔΒΖ = ΖΓΕ ΑΒΓ = ΑΓΒ ΑΒ = ΑΓ άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. 4. Οι α, β και γ είναι πραγματικοί αριθμοί έτσι ώστε α + β + γ = 11 και 1 1 1 13 a a 17 a ; a a. Ποια είναι η τιμή της παράστασης Λύση: Έχουμε

a 11 ( ) 11 ( a) 11 ( a ) a a a a 1 1 1 11 3 a a 92 17

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: 7/12/13 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι) 3. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. ΘΕΜΑΤΑ Πρόβλημα 1: (α) Αν θετικός ακέραιος, να δείξετε ότι : ( ) ( ) (β) Να αποδείξετε ότι : Προτεινόμενη λύση: (α) Έχουμε διαδοχικά: ( ) ( ) (β) Από το (α) έχουμε : ( )( ) ( )( ) ( ), ( ), ( ),, ( ), ( ), ( ) Αθροίζοντας κατά μέλη τα πιο πάνω έχουμε: Ακολούθως παίρνουμε από το (α):, ( ), ( ),, ( ),

( ), ( ) Αθροίζοντας κατά μέλη τα πιο πάνω έχουμε: Πρόβλημα 2: (α) Αν ένας αριθμός αυξηθεί κατά γίνεται, ενώ αν αυξηθεί ο κατά γίνεται. Να βρείτε τους αριθμούς και. (β) Δίνεται η αλγεβρική παράσταση, με,. Να υπολογίσετε το φυσικό αριθμό, ώστε η αλγεβρική παράσταση να είναι τέλειο τετράγωνο. Προτεινόμενη λύση: (α) Από τα δεδομένα έχουμε : { Αφαιρώντας κατά μέλη παίρνουμε : Αντικαθιστώντας την στην :, Για έχουμε, λύση που προφανώς δεν μπορεί να γίνει δεκτή. Για έχουμε. (β) Έχουμε : Αν θέσουμε, τότε : Η αλγεβρική παράσταση είναι τέλειο τετράγωνο αν.

Πρόβλημα 3: Για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς, ισχύει : (α) Να δείξετε ότι : (β) Να αποδείξετε ότι : Προτεινόμενη λύση: (α) Ισχύει :. Συνεπώς :, αφού για όλους τους πραγματικούς. (β) Έχουμε : για όλους τους θετικούς πραγματικούς και. και Άρα : Πρόβλημα 4: Στο ορθογώνιο, το είναι μέσο του, το είναι μέσο του και το είναι σημείο πάνω στην, έτσι ώστε. Αν είναι το σημείο τομής της και και το εμβαδόν του τριγώνου είναι, να υπολογίσετε το εμβαδόν του ορθογωνίου. Προτεινόμενη λύση: Αν προσαρμόσουμε το ορθογώνιο ΑΒΓΔ κατάλληλα (επιλέγοντας το ) σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων έχουμε : Συνεπώς : και

Από τις και έχουμε για το σημείο ότι : Άρα, μονάδες και μονάδα, γεγονός που μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΜΝΚ είναι, τετραγωνικές μονάδες, φορές μικρότερο από ότι το «πραγματικό». Συμπεραίνουμε ότι το «πραγματικό» εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ θα είναι 5 φορές μεγαλύτερο από ότι το τετραγωνικές μονάδες, δηλαδή τετραγωνικές μονάδες. και

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: 7/12/13 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι) 3. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. ΘΕΜΑΤΑ Πρόβλημα 1: Αν, να λύσετε την εξίσωση : Προτεινόμενη λύση : Η πιο πάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα : Παρατηρούμε ότι : [ ] [ ] [ ], [ ] και [ ] [ ] για όλους τους πραγματικούς αριθμούς. Συνεπώς, από την (1) έχουμε : Πρόβλημα 2: και, άρα και Δίνεται η συνάρτηση. Να υπολογίσετε το άθροισμα: Προτεινόμενη λύση : Έχουμε : και

Αν προσθέσουμε τις δύο σχέσεις κατά μέλη παίρνουμε :, για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x. Άρα : To διότι για έχουμε Πρόβλημα 3: Αν α, β θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να λύσετε το σύστημα : { Προτεινόμενη λύση : Θέτοντας και, το πιο πάνω σύστημα γράφεται ισοδύναμα : { { Αν τώρα θέσουμε και, το γράφεται ισοδύναμα : { {, συνεπώς αντίστοιχα. Έχουμε : { και { Οι λύσεις του είναι : ( ) και ( ) Οι λύσεις του είναι : και Τελικά : ή ( ) ( ) ή ( ) ( ) ή Πρόβλημα 4: Στο ορθογώνιο, το είναι μέσο του, το είναι μέσο του και το είναι σημείο πάνω στην, έτσι ώστε. Αν είναι το σημείο τομής της και και το εμβαδόν του τριγώνου είναι, να υπολογίσετε το εμβαδόν του ορθογωνίου.

Προτεινόμενη λύση : Αν προσαρμόσουμε το ορθογώνιο ΑΒΓΔ κατάλληλα (επιλέγοντας ) σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων έχουμε : Συνεπώς : και Από τις και έχουμε για το σημείο ότι : Άρα μονάδες και μονάδα, γεγονός που μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΜΝΚ είναι 0,2 τετραγωνικές μονάδες, 5 φορές μικρότερο από ότι το «πραγματικό». Συμπεραίνουμε ότι το «πραγματικό» εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ θα είναι 5 φορές μεγαλύτερο από ότι το τετραγωνικές μονάδες, δηλαδή τετραγωνικές μονάδες. και

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Ημερομηνία: 7/12/13 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι) 3. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. ΘΕΜΑΤΑ Πρόβλημα 1: Να αποδείξετε ότι η εξίσωση δεν έχει λύση στους ρητούς αριθμούς. Προτεινόμενη λύση : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ x 2 + y 2 + z 2 = x + y + z + 1 Η δεδομένη εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση x 2 x + y 2 y + z 2 z = 1 (x 1 2 ) 2 + (y 1 2 ) 2 + (z 1 2 ) 2 = 7 4 (2x 1) 2 + (2y 1) 2 + (2z 1) 2 = 7 (1) Αν θέσουμε a = 2x 1, b = 2y 1, c = 2z 1, τότε οι αριθμοί x, y, z είναι ρητοί αν και μόνον αν οι αριθμοί a, b, c είναι ρητοί. Επομένως, αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση a 2 + b 2 + c 2 = 7 (2) δεν έχει λύση στους ρητούς αριθμούς. Υποθέτουμε ότι η (2) έχει λύση στους ρητούς, έστω a = p d, b = q d, c = r d όπου p, q, r, d Z, d 0 και (p, q, r) = 1. Με αντικατάσταση στην (2) προκύπτει ότι η εξίσωση p 2 + q 2 + r 2 = 7d 2 (3) έχει λύση ακεραίους. Θεωρούμε τα δύο μέλη της (3) mod8. Τα πιθανά υπόλοιπα ενός τετραγώνου ακεραίου mod8 είναι 0, 1, 4. Επομένως, τα πιθανά υπόλοιπα mod8 του πρώτου μέλους της (3) είναι 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ενώ τα πιθανά υπόλοιπα mod8 του δευτέρου μέλους της (3) είναι 0, 4, 7. Επειδή η εξίσωση (3) έχει λύση στους ακεραίους, πρέπει τα υπόλοιπα mod8 των δύο μελών της να είναι 0 ή 4. Αυτό μπορεί να συμβαίνει μόνον όταν οι αριθμοί p, q και r είναι άρτιοι, οπόταν (p, q, r) 2, που είναι άτοπο.

Πρόβλημα 2: Να δείξετε ότι το άθροισμα Σ = 2 1 2 3 2 + 3 2 2 4 2 + 4 3 2 5 2 + + 2012 2011 2 2013 2 + 2013 2012 2 2014 2 είναι μικρότερο από το 5 16. Προτεινόμενη λύση : Έχουμε : ν + 1 ν 2 (ν + 2) 2 = 1 4 (ν + 2)2 ν 2 ν 2 (ν + 2) 2 = 1 4 [ 1 ν 2 1 (ν + 2) 2] Θέτοντας στη σχέση αυτή ν = 1, 2, 3,, 2012, με πρόσθεση κατά μέλη των σχέσεων που προκύπτουν παίρνουμε : Σ = 1 4 ( 1 1 2 + 1 2 2 1 2014 2 1 2015 2) = 5 16 1 4 ( 1 2014 2 + 1 2015 2) < 5 16 Πρόβλημα 3: Από σημείο Ρ εκτός κύκλου φέρουμε τις εφαπτόμενες ΡΑ, ΡΒ και τυχαία τέμνουσα ΡΓΔ προς τον κύκλο. Αν ισχύει 2Ε ΡΑΓ = 3Ε ΡΒΓ, να υπολογίσετε το λόγο Ε ΒΔΓ Ε ΑΔΓ. Προτεινόμενη λύση : Από την ομοιότητα των τριγώνων ΡΑΔ, ΡΑΓ έχουμε : Ε ΡΑΔ = ( ΡΑ 2 Ε ΡΑΓ ΡΓ ) (1) Από την ομοιότητα των τριγώνων ΡΒΔ, ΡΒΓ έχουμε : Ε ΡΒΔ = ( ΡΒ 2 Ε ΡΒΓ ΡΓ ) (2) Επειδή ΡΑ = ΡΒ, ως εφαπτόμενες του κύκλου από το σημείο Ρ, από τις (1) και (2) έχουμε : Ε ΡΑΔ = Ε ΡΒΔ Ε ΡΑΔ Ε ΡΑΓ = Ε ΡΒΔ Ε ΡΒΓ Ε ΑΔΓ = Ε ΒΔΓ Ε ΒΔΓ = Ε ΡΒΓ = 2 Ε ΡΑΓ Ε ΡΒΓ Ε ΡΑΓ Ε ΡΒΓ Ε ΡΑΓ Ε ΡΒΓ Ε ΑΔΓ Ε ΡΑΓ 3

Πρόβλημα 4: Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R R, με f(12) = 21 και f(21) = 12. Να αποδείξετε ότι υπάρχει x 0 R, τέτοιο ώστε : x 0 f (x 0 ) f(x 0 ). Προτεινόμενη λύση : Υποθέτουμε ότι : x f (x) < f(x) (1) για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x. Η (1) γράφεται ισοδύναμα : x f (x) + f(x) < 0 [x f(x)] < 0 (2) Ορίζουμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση g: R R με g(x) = x f(x). Σύμφωνα με την (2), η g είναι γνησίως φθίνουσα στο R. Ισοδύναμα έχουμε : που είναι άτοπο. g(12) > g(21) 12 f(12) > 21 f(21) 12 21 > 21 12 0 > 0,

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημεπομηνία: 6/12/14 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να ιύζεηε όια ηα ζέκαηα. Κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε 10 κνλάδεο. 2. Να γξάθεηε κε κπιε ή καύξν κειάλη (ηα ζρήκαηα επηηξέπεηαη κε κνιύβη) 3. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε δηνξζσηηθνύ πγξνύ. 4. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε ππνινγηζηηθήο κεραλήο. Πρόβλημα 1: Να πξνζδηνξίζεηε ηα ζύλνια θαη, πνπ ηθαλνπνηνύλ ηηο παξαθάησ ηδηόηεηεο: (α) { } (β) (γ) Τν ζύλνιν Α πεξηέρεη δπν άξηηνπο (δ) θαη (ε) Πρόβλημα 2: Να βξείηε ηνλ εμαςήθην αξηζκό δηαηξείηαη κε ηνλ., αλ γλσξίδεηε όηη ν Πρόβλημα 3: Σηελ πιεπξά παξαιιεινγξάκκνπ παίξλνπκε ζεκείν, ηέηνην ώζηε. Αλ ε επζεία ηέκλεη ηελ πξνέθηαζε ηεο πιεπξάο ζην ζεκείν, λα απνδείμεηε όηη ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ηζνύηαη κε ην ηνπ εκβαδνύ ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ. Πρόβλημα 4: Να απνδείμεηε όηη ζε θάζε έηνο ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ κηα Τξίηε θαη.

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημεπομηνία: 6/12/14 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να ιύζεηε όια ηα ζέκαηα. Κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε 10 κνλάδεο. 2. Να γξάθεηε κε κπιε ή καύξν κειάλη (ηα ζρήκαηα επηηξέπεηαη κε κνιύβη) 3. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε δηνξζσηηθνύ πγξνύ. 4. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε ππνινγηζηηθήο κεραλήο. Πρόβλημα 1: Να βξείηε ηνλ εμαςήθην αξηζκό δηαηξείηαη κε ηνλ., αλ γλσξίδεηε όηη ν Πρόβλημα 2: Να επηιύζεηε ηελ εμίζσζε Πρόβλημα 3: Να απνδείμεηε όηη ζε θάζε έηνο ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ κηα Τξίηε θαη. Πρόβλημα 4: Έζησ Ι ην ζεκείν ηνκήο ησλ δηρνηόκσλ ησλ γσληώλ ηξηγώλνπ θαη. Σηελ πξνέθηαζε ηεο πξνο ην κέξνο ηνπ παίξλνπκε ζεκείν, ηέηνην ώζηε. Να απνδείμεηε όηη (α) θαη (β)

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημεπομηνία: 6/12/14 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να ιύζεηε όια ηα ζέκαηα. Κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε 10 κνλάδεο. 2. Να γξάθεηε κε κπιε ή καύξν κειάλη (ηα ζρήκαηα επηηξέπεηαη κε κνιύβη) 3. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε δηνξζωηηθνύ πγξνύ. 4. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε ππνινγηζηηθήο κεραλήο. Πρόβλημα 1: Αλ κε, λα απνδείμεηε όηη Πρόβλημα 2: Να απνδείμεηε όηη ζε θάζε έηνο ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ κηα Τξίηε θαη. Πρόβλημα 3: Έζηω Ι ην ζεκείν ηνκήο ηωλ δηρνηόκωλ ηωλ γωληώλ ηξηγώλνπ θαη. Σηελ πξνέθηαζε ηεο πξνο ην κέξνο ηνπ παίξλνπκε ζεκείν, ηέηνην ώζηε. Να απνδείμεηε όηη (α) θαη (β) Πρόβλημα 4: Να βξείηε όια ηα δεύγε αθεξαίωλ ( εμίζωζε. ) πνπ επαιεζεύνπλ ηελ

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ημεπομηνία: 6/12/14 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να ιύζεηε όια ηα ζέκαηα. Κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε 10 κνλάδεο. 2. Να γξάθεηε κε κπιε ή καύξν κειάλη (ηα ζρήκαηα επηηξέπεηαη κε κνιύβη) 3. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε δηνξζωηηθνύ πγξνύ. 4. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε ππνινγηζηηθήο κεραλήο. Πρόβλημα 1: Να βξείηε ηηο ηηκέο έηζη ώζηε ην πνιπώλπκν λα δηαηξείηαη κε ην, όπνπ είλαη ε κέγηζηε ηηκή πνπ κπνξεί λα πάξεη ε κεηαβιεηή γηα ηελ ζπλάξηεζε. Πρόβλημα 2: Δίλεηαη ηξίγωλν εγγεγξακκέλν ζε θύθιν. Σηελ πξνέθηαζε ηεο πιεπξάο παίξλνπκε ζεκεία θαη ηέηνηα ώζηε θαη. Έζηω ό θύθινο κε θέληξν πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία θαη. Αλ ην δεύηεξν ζεκείν ηνκήο ηεο κε ηνλ θύθιν, λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν είλαη ην κέζνλ ηνπ ηόμνπ. Πρόβλημα 3: Δίλνληαη ηα θιάζκαηα κε λα είλαη ζεηηθνί αθέξαηνη θαη. Να βξείηε όιεο ηηο ηξηάδεο γηα ηηο νπνίεο ηα θιάζκαηα είλαη όια αθέξαηνη αξηζκνί. Πρόβλημα 4: Μηα ζηδεξνδξνκηθή γξακκή ρωξίδεηαη ζε 10 ηκήκαηα, από ηνπο ζηαζκνύο. Τν ζπλνιηθό κήθνο ηεο γξακκήο είλαη. Κάζε ηαμίδη δπν δηαδνρηθώλ ηκεκάηωλ ηεο γξακκήο δελ μεπεξλά ηα, ελώ θάζε ηαμίδη ηξηώλ δηαδνρηθώλ ηκεκάηωλ ηεο γξακκήο είλαη ηνπιάρηζηνλ. Να βξείηε ηελ απόζηαζε κεηαμύ ηωλ ζηαζκώλ.

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Ημεπομηνία: 6/12/14 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύζεηε όλα ηα θέμαηα.κάθε θέμα βαθμολογείηαι με 10 μονάδερ. 2. Να γπάθεηε με μπλε ή μαύπο μελάνι (ηα ζσήμαηα επιηπέπεηαι με μολύβι) 3. Δεν επιηπέπεηαι η σπήζη διοπθυηικού ςγπού. 4. Δεν επιηπέπεηαι η σπήζη ςπολογιζηικήρ μησανήρ. Πρόβλημα 1: Δίνονηαι ηα κλάζμαηα Β ΛΥΚΕΙΟΥ με να είναι θεηικοί ακέπαιοι και. Να βπείηε όλερ ηιρ ηπιάδερ για ηιρ οποίερ ηα κλάζμαηα είναι όλα ακέπαιοι απιθμοί. Πρόβλημα 2: Οι θεηικοί ππαγμαηικοί απιθμοί είναι ηέηοιοι ώζηε να ιζσύοςν οι ανιζόηηηερ Να αποδείξεηε όηι Πρόβλημα 3: Δίνεηαι ηο ζύνολο διαδοσικών θςζικών απιθμών * +. Αν, διαγπάθονηαρ δύο διαδοσικούρ απιθμούρ ηος ζςνόλος, ο μέζορ όπορ ηυν ςπόλοιπυν απιθμών ηος ζςνόλος είναι, (α) να ςπολογίζεηε ηην ηιμή ηος (β) να βπείηε ηοςρ απιθμούρ πος διαγπάταμε. Πρόβλημα 4: Δίνεηαι ηπίγυνο με και ο πεπιγεγπαμμένορ κύκλορ ηος. Οι δισοηόμοι και ηυν γυνιών και ηος ηπιγώνος ηέμνοςν ηον κύκλο ζηα ζημεία και ανηίζηοισα. Έζηυ ηο ζημείο ηομήρ ηυν και. Από ηο ζημείο θέποςμε παπάλληλη εςθεία ππορ ηην η οποία ηέμνει ηην εςθεία ζηο ζημείο. Να αποδείξεηε όηι: (α) Τα ηπίγυνα και είναι ίζα (β) η είναι δισοηόμορ ηηρ γυνίαρ.

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ημεπομηνία: 6/12/14 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να ιύζεηε όια ηα ζέκαηα.κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε 10 κνλάδεο. 2. Να γξάθεηε κε κπιε ή καύξν κειάλη (ηα ζρήκαηα επηηξέπεηαη κε κνιύβη) 3. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε δηνξζσηηθνύ πγξνύ. 4. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε ππνινγηζηηθήο κεραλήο. Πρόβλημα 1: Δίλεηαη ην ζύλνιν δηαδνρηθώλ θπζηθώλ αξηζκώλ * +. Αλ, δηαγξάθνληαο δύν δηαδνρηθνύο αξηζκνύο ηνπ ζπλόινπ, ν κέζνο όξνο ησλ ππόινηπσλ αξηζκώλ ηνπ ζπλόινπ είλαη, ηόηε (α) Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηνπ (β) Να βξείηε ηνπο αξηζκνύο πνπ δηαγξάςακε. Πρόβλημα 2: Να βξείηε όινπο ηνπο αθέξαηνπο ηέηνηνπο ώζηε ε εμίζσζε λα έρεη ξεηέο ξίδεο. Πρόβλημα 3: (α) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε, ). Να κειεηήζεηε ηελ σο πξνο ηελ κνλνηνλία ηεο. (β) Αλ είλαη γσλίεο ηξηγώλνπ λα απνδείμεηε όηη Πρόβλημα 4: Δίλεηαη ηξίγσλν κε θαη ν πεξηγεγξακκέλνο θύθινο ηνπ. Οη δηρνηόκνη θαη ησλ γσληώλ θαη ηνπ ηξηγώλνπ ηέκλνπλ ηνλ θύθιν ζηα ζεκεία θαη αληίζηνηρα. Έζησ ην ζεκείν ηνκήο ησλ θαη. Από ην ζεκείν θέξνπκε παξάιιειε επζεία πξνο ηελ ε νπνία ηέκλεη ηελ επζεία ζην ζεκείν. Να απνδείμεηε όηη : (α) Τα ηξίγσλα θαη είλαη ίζα (β) ε είλαη δηρνηόκνο ηεο γσλίαο.

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 06/12/2014 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ Πρόβλημα 1: Να προςδιορίςετε τα ςφνολα και, που ικανοποιοφν τισ παρακάτω ιδιότθτεσ: (α) { } (β) (γ) Το ςφνολο Α περιζχει δυο άρτιουσ (δ) και (ε) Λύση Λόγω των (α), (β), (δ) είναι και. Επιπλζον, λόγω των (γ), (ε) ζχουμε ότι { } και { }. Πρόβλημα 2: Να βρείτε τον εξαψιφιο αρικμό διαιρείται με τον., αν γνωρίηετε ότι ο Λύση Ζχουμε: Ο είναι πολλαπλάςιο του, άρα. Ο είναι πολλαπλάςιο του, άρα Επειδι τα είναι ψθφία, οι μόνεσ περιπτϊςεισ είναι: ι. Ο είναι πολλαπλάςιο του, ςυνεπϊσ. Επειδι τα είναι ψθφία, θ μόνθ περίπτωςθ είναι: Συνδυάηοντασ τϊρα τθν με τισ και, παίρνουμε ωσ μοναδικι δεκτι λφςθ τθν. Άρα ο αρικμόσ είναι.

Πρόβλημα 3: Στθν πλευρά παραλλθλογράμμου παίρνουμε ςθμείο, τζτοιο ϊςτε. Αν θ ευκεία τζμνει τθν προζκταςθ τθσ πλευράσ ςτο ςθμείο, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγϊνου Λύση ιςοφται με το του εμβαδοφ του παραλλθλογράμμου. Φζρνουμε τα, και ςυμβολίηουμε το εμβαδόν του παραλλθλογράμμου και το εμβαδόν του τριγϊνου. Τότε Άρα. Επίςθσ,. Τελικά,.. Πρόβλημα 4: Να αποδείξετε ότι ςε κάκε ζτοσ υπάρχει τουλάχιςτον μια Τρίτθ και. Λύση Αν θ χρονιά δεν είναι δίςεκτθ Ζςτω ότι 13 Ιανουαρίου είναι θμζρα. Τότε: 13 Φεβρουαρίου κα είναι θμζρα (μετά από 4 εβδομάδεσ και 3 θμζρεσ). 13 Μαρτίου κα είναι και πάλι θμζρα (μετά από 4 εβδομάδεσ και 0 θμζρεσ) 13 Απριλίου κα είναι θμζρα (μετά από 4 εβδομάδεσ και 3 θμζρεσ) 13 Μαΐου κα είναι θμζρα 13 Ιουνίου κα είναι θμζρα 13 Ιουλίου κα είναι θμζρα 13 Αυγοφςτου κα είναι θμζρα 13 Σεπτεμβρίου κα είναι θμζρα 13 Οκτωβρίου κα είναι θμζρα 13 Νοεμβρίου κα είναι θμζρα 13 Δεκεμβρίου κα είναι θμζρα

Αν θ χρονιά είναι δίςεκτθ Ζςτω ότι 13 Ιανουαρίου είναι θμζρα. Τότε: 13 Φεβρουαρίου κα είναι θμζρα (μετά από 4 εβδομάδεσ και 3 θμζρεσ). 13 Μαρτίου κα είναι και πάλι θμζρα (μετά από 4 εβδομάδεσ και 1 θμζρα) 13 Απριλίου κα είναι θμζρα (μετά από 4 εβδομάδεσ και 3 θμζρεσ) 13 Μαΐου κα είναι θμζρα 13 Ιουνίου κα είναι θμζρα 13 Ιουλίου κα είναι θμζρα 13 Αυγοφςτου κα είναι θμζρα 13 Σεπτεμβρίου κα είναι θμζρα 13 Οκτωβρίου κα είναι θμζρα 13 Νοεμβρίου κα είναι θμζρα 13 Δεκεμβρίου κα είναι θμζρα Και ςτισ δυο περιπτϊςεισ υπάρχουν όλεσ οι θμζρεσ: και ςυνεπϊσ μια τουλάχιςτον θμζρα του ζτουσ είναι Τρίτθ και 13.

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Β ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 06/12/2014 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ Πρόβλημα 1: Να βρείτε τον εξαψιφιο αρικμό διαιρείται με τον., αν γνωρίηετε ότι ο Λύση Ζχουμε: Ο είναι πολλαπλάςιο του, άρα. Ο είναι πολλαπλάςιο του, άρα Επειδι τα είναι ψθφία, οι μόνεσ περιπτϊςεισ είναι: ι. Ο είναι πολλαπλάςιο του, ςυνεπϊσ. Επειδι τα είναι ψθφία, θ μόνθ περίπτωςθ είναι: Συνδυάηοντασ τϊρα τθν με τισ και, παίρνουμε ωσ μοναδικι δεκτι λφςθ τθν. Άρα ο αρικμόσ είναι. Πρόβλημα 2: Να επιλφςετε τθν εξίςωςθ Λύση Με το μεταςχθματιςμό, θ εξίςωςθ γράφεται Άρα.

Πρόβλημα 3: Να αποδείξετε ότι ςε κάκε ζτοσ υπάρχει τουλάχιςτον μια Τρίτθ και. Λύση Αν θ χρονιά δεν είναι δίςεκτθ Ζςτω ότι 13 Ιανουαρίου είναι θμζρα. Τότε: 13 Φεβρουαρίου κα είναι θμζρα (μετά από 4 εβδομάδεσ και 3 θμζρεσ). 13 Μαρτίου κα είναι και πάλι θμζρα (μετά από 4 εβδομάδεσ και 0 θμζρεσ) 13 Απριλίου κα είναι θμζρα (μετά από 4 εβδομάδεσ και 3 θμζρεσ) 13 Μαΐου κα είναι θμζρα 13 Ιουνίου κα είναι θμζρα 13 Ιουλίου κα είναι θμζρα 13 Αυγοφςτου κα είναι θμζρα 13 Σεπτεμβρίου κα είναι θμζρα 13 Οκτωβρίου κα είναι θμζρα 13 Νοεμβρίου κα είναι θμζρα 13 Δεκεμβρίου κα είναι θμζρα Αν θ χρονιά είναι δίςεκτθ Ζςτω ότι 13 Ιανουαρίου είναι θμζρα. Τότε: 13 Φεβρουαρίου κα είναι θμζρα (μετά από 4 εβδομάδεσ και 3 θμζρεσ). 13 Μαρτίου κα είναι και πάλι θμζρα (μετά από 4 εβδομάδεσ και 1 θμζρα) 13 Απριλίου κα είναι θμζρα (μετά από 4 εβδομάδεσ και 3 θμζρεσ) 13 Μαΐου κα είναι θμζρα 13 Ιουνίου κα είναι θμζρα 13 Ιουλίου κα είναι θμζρα 13 Αυγοφςτου κα είναι θμζρα 13 Σεπτεμβρίου κα είναι θμζρα 13 Οκτωβρίου κα είναι θμζρα 13 Νοεμβρίου κα είναι θμζρα 13 Δεκεμβρίου κα είναι θμζρα Και ςτισ δυο περιπτϊςεισ υπάρχουν όλεσ οι θμζρεσ: και ςυνεπϊσ μια τουλάχιςτον θμζρα του ζτουσ είναι Τρίτθ και 13. Πρόβλημα 4: Ζςτω Ι το ςθμείο τομισ των διχοτόμων των γωνιϊν τριγϊνου και. Στθν προζκταςθ τθσ προσ το μζροσ του παίρνουμε ςθμείο, τζτοιο ϊςτε. Να αποδείξετε ότι (α) και (β)

Λύση Το τρίγωνο είναι ιςοςκελζσ, αφοφ. Η διχοτόμοσ τθσ γωνίασ, άρα θ μεςοκάκετοσ τθσ πλευράσ. Άρα και το τρίγωνο είναι ιςοςκελζσ. (α) (β) Από το (α) είναι ιςοςκελζσ και θ εξωτερικι του γωνία., αφοφ το τρίγωνο

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Γ ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 06/12/2014 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ Πρόβλημα 1: Αν με, να αποδείξετε ότι. /. / Λύση. /. /, -. Πρόβλημα 2: Να αποδείξετε ότι ςε κάκε ζτοσ υπάρχει τουλάχιςτον μια Τρίτθ και. Λύση Αν θ χρονιά δεν είναι δίςεκτθ Έςτω ότι 13 Ιανουαρίου είναι θμζρα. Τότε: 13 Φεβρουαρίου κα είναι θμζρα (μετά από 4 εβδομάδεσ και 3 θμζρεσ). 13 Μαρτίου κα είναι και πάλι θμζρα (μετά από 4 εβδομάδεσ και 0 θμζρεσ) 13 Απριλίου κα είναι θμζρα (μετά από 4 εβδομάδεσ και 3 θμζρεσ) 13 Μαΐου κα είναι θμζρα 13 Ιουνίου κα είναι θμζρα 13 Ιουλίου κα είναι θμζρα 13 Αυγοφςτου κα είναι θμζρα 13 Σεπτεμβρίου κα είναι θμζρα 13 Οκτωβρίου κα είναι θμζρα 13 Νοεμβρίου κα είναι θμζρα

13 Δεκεμβρίου κα είναι θμζρα Αν θ χρονιά είναι δίςεκτθ Έςτω ότι 13 Ιανουαρίου είναι θμζρα. Τότε: 13 Φεβρουαρίου κα είναι θμζρα (μετά από 4 εβδομάδεσ και 3 θμζρεσ). 13 Μαρτίου κα είναι και πάλι θμζρα (μετά από 4 εβδομάδεσ και 1 θμζρα) 13 Απριλίου κα είναι θμζρα (μετά από 4 εβδομάδεσ και 3 θμζρεσ) 13 Μαΐου κα είναι θμζρα 13 Ιουνίου κα είναι θμζρα 13 Ιουλίου κα είναι θμζρα 13 Αυγοφςτου κα είναι θμζρα 13 Σεπτεμβρίου κα είναι θμζρα 13 Οκτωβρίου κα είναι θμζρα 13 Νοεμβρίου κα είναι θμζρα 13 Δεκεμβρίου κα είναι θμζρα Και ςτισ δυο περιπτώςεισ υπάρχουν όλεσ οι θμζρεσ: και ςυνεπώσ μια τουλάχιςτον θμζρα του ζτουσ είναι Τρίτθ και 13. Πρόβλημα 3: Έςτω Ι το ςθμείο τομισ των διχοτόμων των γωνιών τριγώνου και. Στθν προζκταςθ τθσ προσ το μζροσ του παίρνουμε ςθμείο, τζτοιο ώςτε. Να αποδείξετε ότι (α) και (β) Λύση Το τρίγωνο είναι ιςοςκελζσ, αφοφ. Η διχοτόμοσ τθσ γωνίασ, άρα θ μεςοκάκετοσ τθσ πλευράσ.

Άρα και το τρίγωνο είναι ιςοςκελζσ. (α) (β) Από το (α) είναι ιςοςκελζσ και θ εξωτερικι του γωνία., αφοφ το τρίγωνο Πρόβλημα 4: Να βρείτε όλα τα ηεφγθ ακεραίων ( εξίςωςθ. ) που επαλθκεφουν τθν Λύση Έχουμε: Θζτουμε, όπου ακζραιοι. Η γράφεται: Προφανώσ, * + Όμωσ, ακζραιοσ. Άρα, οι λφςεισ τθσ είναι:. Τελικά, για τθν ζχουμε τισ λφςεισ:

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ημεπομηνία: 6/12/14 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να ιύζεηε όια ηα ζέκαηα. Κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε 10 κνλάδεο. 2. Να γξάθεηε κε κπιε ή καύξν κειάλη (ηα ζρήκαηα επηηξέπεηαη κε κνιύβη) 3. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε δηνξζωηηθνύ πγξνύ. 4. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε ππνινγηζηηθήο κεραλήο. Πρόβλημα 1: Να βξείηε ηηο ηηκέο έηζη ώζηε ην πνιπώλπκν λα δηαηξείηαη κε ην, όπνπ είλαη ε κέγηζηε ηηκή πνπ κπνξεί λα πάξεη ε κεηαβιεηή γηα ηελ ζπλάξηεζε. Προτεινόμενη λύση: Η ζπλάξηεζε νξίδεηαη γηα { { Επνκέλωο ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο είλαη ( ] θαη άξα Τν πνιπώλπκν γξάθεηαη ( ) ( ) ( ) Επνκέλωο γηα λα δηαηξείηαη ην κε ην ζα πξέπεη { Λύλνληαο ην ζύζηεκα παίξλνπκε θαη Πρόβλημα 2: Δίλεηαη ηξίγωλν εγγεγξακκέλν ζε θύθιν. Σηελ πξνέθηαζε ηεο πιεπξάο παίξλνπκε ζεκεία θαη ηέηνηα ώζηε θαη. Έζηω ό θύθινο κε θέληξν πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία θαη. Αλ ην δεύηεξν ζεκείν ηνκήο ηεο κε ηνλ θύθιν, λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν είλαη ην κέζνλ ηνπ ηόμνπ. Προτεινόμενη λύση: Γηα λα απνδείμνπκε όηη ην ζεκείν είλαη κέζνλ ηνπ ηόμνπ, αξθεί λα δείμνπκε όηη. Γηα ηελ πξώηε γωλία έρνπκε: Όκωο από ην ηζνζθειέο ηξίγωλν παίξλνπκε

Επίζεο, από ην ηζνζθειέο ηξίγωλν έρνπκε όηη Όκωο ε ηειεπηαία γωλία είλαη εγγεγξακκέλε ζην ηόμν θαη άξα ηζνύηαη κε ην κηζό ηεο αληίζηνηρεο επίθεληξεο γωλίαο πνπ βαίλεη ζην ίδην ηόμν, δειαδή Επνκέλωο ε γξάθεηαη Όκνηα γηα ηελ γωλία έρνπκε.από ην ηζνζθειέο ηξίγωλν παίξλνπκε Επίζεο, από ην ηζνζθειέο ηξίγωλν έρνπκε όηη Επνκέλωο Άξα γξάθεηαη Από ηηο θαη ζα έρνπκε θαη άξα ην ζεκείν είλαη ην κέζνλ ηνπ ηόμνπ. Πρόβλημα 3: Δίλνληαη ηα θιάζκαηα κε λα είλαη ζεηηθνί αθέξαηνη θαη. Να βξείηε όιεο ηηο ηξηάδεο γηα ηηο νπνίεο ηα θιάζκαηα είλαη όια αθέξαηνη αξηζκνί. Προτεινόμενη λύση: Γηα λα είλαη ηα θιάζκαηα είλαη όια αθέξαηνη αξηζκνί ζα πξέπεη λα ηζρύεη θαη, γηα θάπνηνπο. Από ηελ δεδνκέλε αληζόηεηα ζα πάξνπκε θαη * + Αλ έρνπκε: θαη αθνύ είλαη ζεηηθνί αθέξαηνη κε θαη ζα πξέπεη λα ηζρύεη γηα λα επαιεζεύεηαη ε ηζόηεηα. Επνκέλωο αλ ε ηξηάδα, είλαη κηα ιύζε. Αλ παίξλνπκε:. Άθνπ όκωο, θαη επεηδή έρνπκε * + Δηαθξίλνπκε ηηο πεξηπηώζεηο: Αλ έρνπκε,άηνπν αθνύ είλαη ζεηηθνί αθέξαηνη κε

Αλ παίξλνπκε θαη αθνύ, πξνζζέηνληαο θαηά κέιε ηηο ηειεπηαίεο ηζόηεηεο έρνπκε θαη Τόηε γηα ε ηξηάδα, είλαη κηα ιύζε. Αλ παίξλνπκε θαη αθνύ, πξνζζέηνληαο θαηά κέιε ηηο ηειεπηαίεο ηζόηεηεο έρνπκε θαη Τόηε γηα ε ηξηάδα, είλαη κηα ιύζε. Επνκέλωο όιεο νη ιύζεηο είλαη νη ηξηάδεο: Πρόβλημα 4: Μηα ζηδεξνδξνκηθή γξακκή ρωξίδεηαη ζε 10 ηκήκαηα, από ηνπο ζηαζκνύο. Τν ζπλνιηθό κήθνο ηεο γξακκήο είλαη. Κάζε ηαμίδη δπν δηαδνρηθώλ ηκεκάηωλ ηεο γξακκήο δελ μεπεξλά ηα, ελώ θάζε ηαμίδη ηξηώλ δηαδνρηθώλ ηκεκάηωλ ηεο γξακκήο είλαη ηνπιάρηζηνλ. Να βξείηε ηελ απόζηαζε κεηαμύ ηωλ ζηαζκώλ. Προτεινόμενη λύση: Όκωο, από ηελ ππόζεζε έρνπκε όηη. Άξα ε από ηελ πξνεγνύκελε ηζόηεηα παίξλνπκε Επίζεο. Όκωο αθνύ από ηελ ππόζεζε έρνπκε ή ηειεπηαία αληζόηεηα καο δίλεη Από ηα πξνεγνύκελα ζπκπεξαίλνπκε όηη θαη από απηό. Από ηηο θαη έπεηαη όηη Με όκνην ηξόπν ζπκκεηξηθά βξίζθνπκε όηη θαη Χξεζηκνπνηώληαο ηα πάξαπάλω έρνπκε Από ηελ ππόζεζε έρνπκε Αθνύ θαη. Από ηηο ζρέζεηο απηέο έρνπκε όηη θαη Άξα ηειηθά

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Ημεπομηνία: 6/12/14 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύζεηε όλα ηα θέμαηα.κάθε θέμα βαθμολογείηαι με 10 μονάδερ. 2. Να γπάθεηε με μπλε ή μαύπο μελάνι (ηα ζσήμαηα επιηπέπεηαι με μολύβι) 3. Δεν επιηπέπεηαι η σπήζη διοπθυηικού ςγπού. 4. Δεν επιηπέπεηαι η σπήζη ςπολογιζηικήρ μησανήρ. Πρόβλημα 1: Δίνονηαι ηα κλάζμαηα Β ΛΥΚΕΙΟΥ με να είναι θεηικοί ακέπαιοι και. Να βπείηε όλερ ηιρ ηπιάδερ για ηιρ οποίερ ηα κλάζμαηα είναι όλα ακέπαιοι απιθμοί. Προτεινόμενη λύση: Για να είναι ηα κλάζμαηα είναι όλα ακέπαιοι απιθμοί θα ππέπει να ιζσύει και, για κάποιοςρ. Από ηην δεδομένη ανιζόηηηα θα πάποςμε και * + Αν έσοςμε: και αθού είναι θεηικοί ακέπαιοι με και θα ππέπει να ιζσύει για να επαληθεύεηαι η ιζόηηηα. Επομένυρ αν η ηπιάδα, είναι μια λύζη. Αν παίπνοςμε:. Άθος όμυρ, και επειδή έσοςμε * + Διακπίνοςμε ηιρ πεπιπηώζειρ: Αν έσοςμε,άηοπο αθού είναι θεηικοί ακέπαιοι με Αν παίπνοςμε και αθού, πποζθέηονηαρ καηά μέλη ηιρ ηελεςηαίερ ιζόηηηερ έσοςμε και Τόηε για η ηπιάδα, είναι μια λύζη. Αν παίπνοςμε και αθού, πποζθέηονηαρ καηά μέλη ηιρ ηελεςηαίερ ιζόηηηερ έσοςμε και Τόηε για η ηπιάδα, είναι μια λύζη. Επομένυρ όλερ οι λύζειρ είναι οι ηπιάδερ:

Πρόβλημα 2: Οι θεηικοί ππαγμαηικοί απιθμοί είναι ηέηοιοι ώζηε να ιζσύοςν οι ανιζόηηηερ Να αποδείξεηε όηι Προτεινόμενη λύση: Από ηην δεδομένη ζσέζη, παίπνοςμε Όμοια από ηιρ ζσέζειρ θα έσοςμε ανηίζηοισα και Πποζθέηονηαρ ηιρ και θα έσοςμε Και ηελικά θα έσοςμε Πρόβλημα 3: Δίνεηαι ηο ζύνολο διαδοσικών θςζικών απιθμών * +. Αν, διαγπάθονηαρ δύο διαδοσικούρ απιθμούρ ηος ζςνόλος, ο μέζορ όπορ ηυν ςπόλοιπυν απιθμών ηος ζςνόλος είναι, (α) να ςπολογίζεηε ηην ηιμή ηος (β) να βπείηε ηοςρ απιθμούρ πος διαγπάταμε. Προτεινόμενη λύση: (α) Έζηυ όηι οι δύο διαδοσικοί θςζικοί απιθμοί πος διαγπάθοςμε είναι οι και. Τόηε θα έσοςμε:

Αθού οι είναι θςζικοί απιθμοί, από ηην πιο πάνυ εξίζυζη πποκύπηει όηι ηο ππέπει να είναι άπηιορ απιθμόρ. Έζηυ λοιπόν όηι... Από ηην ηελεςηαία εξίζυζη πποκύπηει όηι ηο ( και αθού, έσοςμε: ) ππέπει να είναι πολλαπλάζιο ηος. Έηζι, Τα * +. Τόηε ιζσύει : Λύνονηαρ ηιρ ανιζώζειρ. ( Μοναδική λύζη) και. (β) Ανηικαθιζηώνηαρ ζηην εξίζυζη θα έσοςμε. Επομένυρ οι απιθμοί πος διαγπάθοςμε είναι και Πρόβλημα 4: Δίνεηαι ηπίγυνο με και ο πεπιγεγπαμμένορ κύκλορ ηος. Οι δισοηόμοι και ηυν γυνιών και ηος ηπιγώνος ηέμνοςν ηον κύκλο ζηα ζημεία και ανηίζηοισα. Έζηυ ηο ζημείο ηομήρ ηυν και. Από ηο ζημείο θέποςμε παπάλληλη εςθεία ππορ ηην η οποία ηέμνει ηην εςθεία ζηο ζημείο. Να αποδείξεηε όηι: (α) Τα ηπίγυνα και είναι ίζα (β) η είναι δισοηόμορ ηηρ γυνίαρ. Προτεινόμενη λύση: (α) η γυνία υρ εξυηεπική γυνία ηος ηπιγώνος είναι Επίζηρ

Όμυρ, η γυνία είναι εγγεγπαμμένη γυνία ζηον κύκλο, άπα Επομένυρ Δηλαδή,. Άπα ηο ηπίγυνο είναι ιζοζκελέρ. Όμοια αποδεικνύοςμε όηι και άπα ηο ηπίγυνο είναι ιζοζκελέρ. Από ηα πποηγούμενα ιζοζκελή ηπίγυνα ζςμπεπαίνοςμε όηι:, και. Άπα ηα ηπίγυνα και είναι ίζα. (β) Από ηα παπαπάνυ έσοςμε όηι ζημεία και είναι ζςμμεηπικά υρ ππορ ηην εςθεία, και επομένυρ η είναι μεζοκάθεηη ηος Λόγυ ζςμμεηπίαρ έσοςμε όηι: Αν η παπάλληλη ππορ ηην, ηέμνει ηον κύκλο ζηο ζημείο θα έσοςμε και λόγυ ηηρ παπαλληλίαρ Επομένυρ και αθού παίπνοςμε όηι, δηλαδή η είναι δισοηόμορ ηηρ γυνίαρ.

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ημεπομηνία: 6/12/14 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να ιύζεηε όια ηα ζέκαηα.κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε 10 κνλάδεο. 2. Να γξάθεηε κε κπιε ή καύξν κειάλη (ηα ζρήκαηα επηηξέπεηαη κε κνιύβη) 3. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε δηνξζσηηθνύ πγξνύ. 4. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε ππνινγηζηηθήο κεραλήο. Πρόβλημα 1: Δίλεηαη ην ζύλνιν δηαδνρηθώλ θπζηθώλ αξηζκώλ * +. Αλ, δηαγξάθνληαο δύν δηαδνρηθνύο αξηζκνύο ηνπ ζπλόινπ, ν κέζνο όξνο ησλ ππόινηπσλ αξηζκώλ ηνπ ζπλόινπ είλαη, ηόηε (α) Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηνπ (β) Να βξείηε ηνπο αξηζκνύο πνπ δηαγξάςακε. Προτεινόμενη λύση: (α) Έζησ όηη νη δύν δηαδνρηθνί θπζηθνί αξηζκνί πνπ δηαγξάθνπκε είλαη νη θαη. Τόηε ζα έρνπκε: Αθνύ νη είλαη θπζηθνί αξηζκνί, από ηελ πην πάλσ εμίζσζε πξνθύπηεη όηη ην πξέπεη λα είλαη άξηηνο αξηζκόο. Έζησ ινηπόλ όηη... Από ηελ ηειεπηαία εμίζσζε πξνθύπηεη όηη ην ( θαη αθνύ, έρνπκε: ) πξέπεη λα είλαη πνιιαπιάζην ηνπ. Έηζη,. Τα * +. Τόηε ηζρύεη :. Λύλνληαο ηηο αληζώζεηο

( Μνλαδηθή ιύζε) θαη. (β) Αληηθαζηζηώληαο ζηελ εμίζσζε ζα έρνπκε Επνκέλσο νη αξηζκνί πνπ δηαγξάθνπκε είλαη Πρόβλημα 2: Να βξείηε όινπο ηνπο αθέξαηνπο θαη ηέηνηνπο ώζηε ε εμίζσζε λα έρεη ξεηέο ξίδεο. Προτεινόμενη λύση: Γηα λα έρεη ε δεδνκέλε εμίζσζε ξεηέο ξίδεο ζα πξέπεη ε δηαθξίλνπζα ηεο λα είλαη ηέιεην ηεηξάγσλν. Αλ ε παξάζηαζε είλαη ηέιεην ηεηξάγσλν ζα είλαη ηέιεην ηεηξάγσλν θαη ε παξάζηαζε Δειαδή γηα ζα έρνπκε Αθνύ νη είλαη αθέξαηνη αξηζκνί θαη ν αξηζκόο είλαη πξώηνο αξηζκόο έρνπκε ηηο εμήο πεξηπηώζεηο: { { { { Γηα θαη έρνπκε. Άξα ε εμίζσζε έρεη ξεηέο ξίδεο γηα ηηο ηηκέο θαη.

Πρόβλημα 3: (α) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε, ). Να κειεηήζεηε ηελ σο πξνο ηελ κνλνηνλία ηεο. (β) Αλ είλαη γσλίεο ηξηγώλνπ λα απνδείμεηε όηη Προτεινόμενη λύση: (α) Παξαγσγίδνληαο ηελ ζπλάξηεζε έρνπκε Η εμίζσζε, έρεη κνλαδηθή ιύζε ζην, ) ην Άξα και θαη αθνύ ε είλαη ζπλερήο ζην, ) έρνπκε όηη ε ζπλάξηεζε είλαη Γλεζίσο θζίλνπζα ζην, - θαη Γλεζίσο αύμνπζα ζην, ) (β) Επεηδή είλαη γσλίεο ηξηγώλνπ έρνπκε Επνκέλσο παίξλνπκε θαη από ηελ κνλνηνλία ηεο ζπλάξηεζεο ζην δηάζηεκα. / ζα έρνπκε Όκνηα παίξλνπκε θαη Πξνζζέηνληαο ηηο θαη ζα έρνπκε

Πρόβλημα 4: Δίλεηαη ηξίγσλν κε θαη ν πεξηγεγξακκέλνο θύθινο ηνπ. Οη δηρνηόκνη θαη ησλ γσληώλ θαη ηνπ ηξηγώλνπ ηέκλνπλ ηνλ θύθιν ζηα ζεκεία θαη αληίζηνηρα. Έζησ ην ζεκείν ηνκήο ησλ θαη. Από ην ζεκείν θέξνπκε παξάιιειε επζεία πξνο ηελ ε νπνία ηέκλεη ηελ επζεία ζην ζεκείν. Να απνδείμεηε όηη : (α) Τα ηξίγσλα θαη είλαη ίζα (β) ε είλαη δηρνηόκνο ηεο γσλίαο. Προτεινόμενη λύση: (α) ε γσλία σο εμσηεξηθή γσλία ηνπ ηξηγώλνπ είλαη Επίζεο Όκσο, ε γσλία είλαη εγγεγξακκέλε γσλία ζηνλ θύθιν, άξα Επνκέλσο Δειαδή,. Άξα ην ηξίγσλν είλαη ηζνζθειέο. Όκνηα απνδεηθλύνπκε όηη θαη άξα ην ηξίγσλν είλαη ηζνζθειέο. Από ηα πξνεγνύκελα ηζνζθειή ηξίγσλα ζπκπεξαίλνπκε όηη:, θαη. Άξα ηα ηξίγσλα θαη είλαη ίζα. (β) Από ηα παξαπάλσ έρνπκε όηη ζεκεία θαη είλαη ζπκκεηξηθά σο πξνο ηελ επζεία, θαη επνκέλσο ε είλαη κεζνθάζεηε ηνπ Λόγσ ζπκκεηξίαο έρνπκε όηη: Αλ ε παξάιιειε πξνο ηελ, ηέκλεη ηνλ θύθιν ζην ζεκείν ζα έρνπκε θαη ιόγσ ηεο παξαιιειίαο Επνκέλσο θαη αθνύ παίξλνπκε όηη, δειαδή ε είλαη δηρνηόκνο ηεο γσλίαο.