Κεφάλαιο 9: Αριθμοί Διαστημάτων

Κεφάλαιο 9: Αριθμοί Διαστημάτων Αυτό το κεφάλαιο βασίζεται στην ειδική θεωρία του κεφαλαίου 7 για να παρουσιάσει μια δημοφιλή ιεραρχία πλεγμάτων, η οποία εδώ αναπτύσσεται προοδευτικά με αφετηρία την αλυσίδα (R,) των πραγματικών αριθμών. Επιπλέον, παρουσιάζονται κάποια καινοτόμα μαθηματικά εργαλεία και δίνονται νέες προοπτικές στην ΥΝ. Είναι ενδιαφέρον να ανακαλέσουμε κάποια γεγονότα σχετικά με το σύνολο R στη συνέχεια. Το σύνολο R των πραγματικών αριθμών προκύπτει ως αποτέλεσμα μετρήσεων (measurements) (Kaburlasos, 26). Συγκεκριμένα, κάποιο ενδιαφέρον μέγεθος μετριέται συγκρίνοντάς το επαναληπτικά με ένα ομοειδές πρότυπο μέγεθος, το οποίο καλείται «μέτρο», καθώς και με υποδιαιρέσεις του τελευταίου. Το πηλίκο και το υπόλοιπο μιας μέτρησης μαζί ορίζουν έναν πραγματικό αριθμό. Το σύνολο R μελετήθηκε κατά τη διάρκεια περίπου 2.5 ετών από την εποχή των πρωτοπόρων Πυθαγορείων φιλοσόφων (6 ος αι. π.χ.), οι οποίοι διακήρυτταν ότι οι (φυσικοί) αριθμοί είναι η ουσία των πάντων. Συγκεκριμένα, οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν ότι η αρμονία στο σύμπαν περιγράφεται με αριθμούς και οποιοσδήποτε αριθμός μπορούσε να αναπαρασταθεί ως κλάσμα δύο φυσικών αριθμών. Δηλαδή οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν μόνον τους αριθμούς που σήμερα ονομάζουμε ρητούς (rational). Λίγους αιώνες μετά την εμφάνισή της, υπό το «βάρος» της ανακάλυψης κάποιων μη-ρητών (βλ. άρρητων (irrational)) αριθμών, η Σχολή των Πυθαγόρειων κατέρρευσε. Γύρω στις αρχές του 2 ου αιώνα αποδείχθηκε ότι το πλήθος των άρρητων αριθμών είναι μη-αριθμήσιμο, δηλ. οι άρρητοι αριθμοί είναι περισσότεροι από τους ρητούς. Το σύνολο όλων των αριθμών ρητών και άρρητων μαζί, ονομάστηκε σύνολο των πραγματικών αριθμών (συμβολικά R). Διάφορες ιδιότητες του συνόλου R μελετήθηκαν. Μια ενδιαφέρουσα ιδιότητα, στο πλαίσιο αυτού του βιβλίου, είναι ότι το σύνολο R των πραγματικών αριθμών είναι ολικώς διατεταγμένο. Σ αυτό το κεφάλαιο θα βασιστούμε στην ολική διάταξη του συνόλου R για να παρουσιάσουμε μια δημοφιλή ιεραρχία πλεγμάτων. 9. Μια Δημοφιλής Ιεραρχία Πλεγμάτων Αυτή η ενότητα παρουσιάζει μία δημοφιλή ιεραρχία πλεγμάτων σε έξι επίπεδα. Ένα επιπλέον επίπεδο σκιαγραφείται ως επέκταση των προαναφερθέντων έξι επιπέδων. 9.. Επίπεδο-: Το Πλέγμα (R,) των Πραγματικών Αριθμών Η αλυσίδα (R,) των πραγματικών αριθμών δεν είναι πλήρες πλέγμα (Davey & Priestley, 99). Ωστόσο, μπορεί να μετατραπεί σε πλήρες πλέγμα με την εισαγωγή ενός ελάχιστου στοιχείου o και ενός μέγιστου στοιχείου i, οπότε προκύπτει το πλήρες πλέγμα R R {, },. Έστω ένα πλήρες πλέγμα (L=[o,i],) πραγματικών αριθμών, με ελάχιστο και μέγιστο στοιχείο το or και ir αντίστοιχα, όπου o<i. Το μέγιστο κάτω φράγμα δύο αριθμών και y είναι ο μικρότερος από τους δύο, συμβολικά y, ενώ το ελάχιστο άνω φράγμα δύο αριθμών είναι ο μεγαλύτερος από τους δύο, συμβολικά y. Ως συνάρτηση θετικής τιμοδότησης v: LR στο πλέγμα (L,) θα θεωρήσουμε μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση τέτοια, ώστε να ικανοποιούνται οι δύο λογικές απαιτήσεις v(o)= και v(i)<+. Επιπλέον, ως συνάρτηση δυϊκού ισομορφισμού : LL στο πλέγμα (L,) θα θεωρήσουμε μια γνησίως φθίνουσα συνάρτηση τέτοια, ώστε (o)=i, καθώς και (i)=o. Για παράδειγμα, πρώτον, στο πλήρες πλέγμα (L=[-,+],) μπορούμε να θεωρήσουμε τη σιγμοειδή συνάρτηση v ( ) και τη γραμμική συνάρτηση () e = -. Δεύτερον, στο πλήρες πλέγμα (L=[,],) μπορούμε να θεωρήσουμε τις συναρτήσεις v() = και () = -. Γενικά, παραμετρικές συναρτήσεις (.) και v(.) εισάγουν ρυθμίσιμες μη-γραμμικότητες, των οποίων οι παράμετροι μπορούν να εκτιμηθούν βέλτιστα με διάφορες τεχνικές, π.χ. με εξελικτικό υπολογισμό κ.λπ. Σε κάθε περίπτωση, δοθείσης μιας συνάρτησης v: LR θετικής τιμοδότησης, έπεται μια μετρική συνάρτηση d: LLR, η οποία δίνεται από τον τύπο d(,y)= v(y) v(y). 9..2 Επίπεδο-: Το Πλέγμα (Ι, ) των Διαστημάτων Τύπου- (Τ) Ο υπολογισμός με διαστήματα έχει μακρά ιστορία σε πρακτικές χειρισμού της αβεβαιότητας κατά τους υπολογισμούς (Alefeld & Herzberger, 983 Moore, 979 Tanaka & Lee 998). Σ αυτό το κεφάλαιο 9-

περιγράφεται μια διαφορετική προσέγγιση, στο πλαίσιο της θεωρίας διάταξης, με έμφαση στη σημασιολογία και στην κοινή λογική, παρά στην άλγεβρα. Θεωρούμε το μερικώς διατεταγμένο πλέγμα (Ι, ) των διαστημάτων Τ σε κάποιο πλήρες πλέγμα (L=[o,i],) πραγματικών αριθμών. Το μέγιστο κάτω φράγμα δύο διαστημάτων Τ [a,b] και [c,e] δίνεται από τη σχέση [a,b] [c,e]= [ac,be], εάν acbe και [a,b] [c,e]= = [i,o], εάν ac>be. Ενώ, το ελάχιστο άνω φράγμα δύο διαστημάτων Τ [a,b] και [c,e] δίνεται από τη σχέση [a,b] [c,e]= [ac,be]. Υπενθυμίζεται ότι το κενό σύνολο στο πλέγμα (L=[o,i],) αναπαρίσταται ως [i,o]. Δοθέντων (α) μιας συνάρτησης v: LR θετικής τιμοδότησης και (β) μιας συνάρτησης : LL δυϊκού ισομορφισμού στο πλέγμα (L,), όπως έχει παρουσιαστεί λεπτομερώς στο Επίπεδο-, έπεται μια συνάρτηση v : LLR θετικής τιμοδότησης στο πλέγμα (LL,) των γενικευμένων διαστημάτων, η οποία δίδεται από τον τύπο v ([a,b])= v((a))+v(b). Συνεπώς, μπορεί να οριστεί τόσο μια μετρική συνάρτηση d (.,.), όσο και δύο συναρτήσεις βαθμού διάταξης (.,.) και (.,.) στο πλέγμα (LL,). Οι προαναφερθείσες συναρτήσεις ισχύουν ως τέτοιες στο υποπλέγμα (Ι, ), το οποίο είναι εμφυτευμένο στο υπερπλέγμα (LL,). Συγκεκριμένα, οι ακόλουθες τρεις συναρτήσεις είναι διαθέσιμες στο (Ι, ). Μια μετρική συνάρτηση d : Ι Ι R στο πλέγμα (I, ) υπολογίζεται ως ακολούθως: d ([a,b],[c,e])= [v((ac))-v((ac))] + [v(be)-v(be)] = d(θ(a),θ(c)) + d(b,e) (9.) Δύο βαθμοί διάταξης : I I [,] και : I I [,] στο πλέγμα (Ι, ) υπολογίζονται ως ακολούθως:, v ( ) v( ( a)) v( b) ( [ a, b], y [ c, e]) v ( y) v( ( a c)) v( b e), (9.2), ( [ a, b], y [ c, e]) v ( y) v( ( c)) v( e), v ( y) v( ( a c)) v( b e) y y (9.3) Ένα διάστημα Τ πλην του κενού συνόλου, εδώ θα ονομάζεται συνηθισμένο διάστημα Τ. Το μδσυν όλων των συνηθισμένων διαστημάτων Τ θα συμβολίζεται με (I p,). Η συνάρτηση δ : I p R, η οποία υπολογίζεται ως δ ([a,b])= v ([a,b])= v((a))+v(b), είναι μια συνάρτηση μεγέθους στο μδσυν (I p,). Συγκεκριμένα, η αναφερθείσα στο Κεφάλαιο 7 συνάρτηση μεγέθους δ ([a,b])= v(b)-v(a) προκύπτει όπως εξηγείται στη συνέχεια. Οι συναρτήσεις (.) και v(.) μπορούν να επιλεγούν με διάφορους τρόπους. Για παράδειγμα, αν επιλέξουμε ()= - και v(.),ώστε v() = -v(-), προκύπτει η συνάρτηση θετικής τιμοδότησης v ([a,b]) = v(b)- v(a) = δ ([a,b]). Συνεπώς, έπεται η μετρική d ([a,b],[c,e])= [v(ac)-v(ac)] + [v(be)-v(be)]. Ειδικότερα, για v()= προκύπτει η L (Hamming) μετρική d ([a,b],[c,e])= a-c + b-e. 9..3 Επίπεδο-2: Το Πλέγμα (Ι 2, ) των Διαστημάτων Τύπου-2 (Τ2) Ένα διάστημα Τύπου-2 (Τ2) (type-2 (T2) interval) ορίζεται ως ένα διάστημα διαστημάτων Τ. Για παράδειγμα, ένα διάστημα Τ2 είναι το [[a,a 2 ],[b,b 2 ]], όπου [a,a 2 ] και [b,b 2 ] είναι διαστήματα Τ, δηλ. [a,a 2 ], [b,b 2 ](Ι, ) με [a,a 2 ] [b,b 2 ]. 9-2

Έστω (Ι 2, ) το μερικώς διατεταγμένο πλέγμα των διαστημάτων Τ2 που προκύπτουν σε ένα συγκεκριμένο πλέγμα (Ι, ) διαστημάτων Τ. Το μέγιστο κάτω φράγμα δύο διαστημάτων Τ2, έστω [[a,a 2 ],[b,b 2 ]] και [[c,c 2 ],[e,e 2 ]], δίνεται από τη σχέση [[a,a 2 ],[b,b 2 ]] [[c,c 2 ],[e,e 2 ]]= [[a c,a 2 c 2 ],[b e,b 2 e 2 ]], εάν [a c,a 2 c 2 ] [b e,b 2 e 2 ] και [[a,a 2 ],[b,b 2 ]] [[c,c 2 ],[e,e 2 ]]= = [[o,i],[i,o]], εάν [a c,a 2 c 2 ] [b e,b 2 e 2 ]. Ενώ το αντίστοιχο ελάχιστο άνω φράγμα δίνεται από τη σχέση [[a,a 2 ],[b,b 2 ]] [[c,c 2 ],[e,e 2 ]]= [[a c,a 2 c 2 ],[b e,b 2 e 2 ]]. Υπενθυμίζεται ότι το κενό σύνολο στο πλέγμα (Ι 2, ) αναπαρίσταται ως [[o,i],[i,o]]. Από το Επίπεδο- ανακαλέστε τη συνάρτηση v : LLR θετικής τιμοδότησης στο πλέγμα (LL,), η οποία δίνεται από τον τύπο v ([a,b])= v((a))+v(b). Επιπλέον, η συνάρτηση : LLLL, η οποία δίνεται από τον τύπο ([a,b])= [b,a], είναι δυϊκού ισομορφισμού στο πλέγμα (LL,) των γενικευμένων διαστημάτων, όπως ζητείται να αποδειχθεί σε ερώτηση κατανόησης στο τέλος αυτού το κεφαλαίου. Σύμφωνα με τα προηγούμενα έπεται μια συνάρτηση v 2 : LLLLR θετικής τιμοδότησης, στο πλήρες πλέγμα (LLLL, ) των γενικευμένων διαστημάτων, η οποία δίδεται από τον τύπο v 2 ([[a,a 2 ],[b,b 2 ]])= v ( ([a,a 2 ]))+v ([b,b 2 ])= v(a )+v((a 2 ))+v((b ))+v(b 2 ). Συνεπώς, μπορεί να οριστεί τόσο μια μετρική συνάρτηση d 2 (.,.), όσο και δύο συναρτήσεις βαθμού διάταξης (.,.) και (.,.) στο πλέγμα (LLLL, ). Οι προαναφερθείσες συναρτήσεις ισχύουν ως τέτοιες στο υποπλέγμα (Ι 2, ), το οποίο είναι εμφυτευμένο στο υπερπλέγμα (LLLL, ). Συγκεκριμένα, οι ακόλουθες τρεις συναρτήσεις είναι διαθέσιμες στο (Ι 2, ). Μια μετρική συνάρτηση d 2 : Ι 2 Ι 2 R στο πλέγμα (I 2, ) υπολογίζεται ως ακολούθως: d 2 ([[a,a 2 ],[b,b 2 ]],[[c,c 2 ],[e,e 2 ]])= d(a,c )+d((a 2 ),(c 2 ))+d((b ),(e ))+d(b 2,e 2 ) (9.4) Δύο βαθμοί διάταξης : I 2 I 2 [,] και : I 2 I 2 [,] στο πλέγμα (Ι 2, ) υπολογίζονται ως ακολούθως: ([[ a, a ],[ b, b ]],[[ c, c ],[ e, e ]]) 2 2 2 2, b b2, b b2, b d b2 d2, b b2, b d b2 d2, [ a c, a2 c2 ] [ b e, b2 e2 ] (9.5) v2 ([[ a, a2 ],[ b, b2 ]] [[ c, c2 ],[ e, e2 ]]), διαφορετικά v2 ([[ a, a2 ],[ b, b2 ]]), b b2 ([[ a, a ],[ b, b ]],[[ c, c ],[ e, e ]]), b b, e e v2 ([[ c, c2 ],[ e, e2 ]]), διαφορετικά v2 ([[ a, a2 ],[ b, b2 ]] [[ c, c2 ],[ e, e2 ]]) 2 2 2 2 2 2 (9.6) Ένα διάστημα Τ2 πλην του κενού συνόλου, εδώ θα ονομάζεται συνηθισμένο διάστημα Τ2. Το μδσυν όλων των συνηθισμένων διαστημάτων Τ2 θα συμβολίζεται με (I 2p,). Το μέγεθος ενός συνηθισμένου διαστήματος Τ2, έστω [[a,a 2 ],[b,b 2 ]], είναι μια συνάρτηση δ 2 : I 2p R, η οποία υπολογίζεται ως δ 2 ([[a,a 2 ],[b,b 2 ]])= v ([b,b 2 ])-v ([a,a 2 ])= v((b ))+v(b 2 )- v((a ))-v(a 2 ). 9-3

9..4 Επίπεδο-3: Το Πλέγμα (F, ) των Αριθμών Διαστημάτων Τύπου- (ΑΔ Τ) Στο κεφάλαιο 2 προαναφέρθηκε το θεώρημα της ταυτοποίησης, σύμφωνα με το οποίο ένα ασαφές σύνολο μπορεί να αναπαρασταθεί ισοδύναμα είτε με τη συνάρτηση συμμετοχής του ή με το σύνολο των -διατομών του. Το θεώρημα της ταυτοποίησης εδώ χρησιμοποιείται ως ακολούθως. Κατ αρχάς, εγκαταλείπεται η ερμηνεία της εφικτότητας μιας (ασαφούς) συνάρτησης συμμετοχής ασαφών αριθμών. Κατόπιν, θεωρείται η αντίστοιχη αναπαράσταση με -διατομές. Τελικά, προκύπτει ένας αριθμός διαστημάτων (ΑΔ), όπως εξηγείται λεπτομερώς παρακάτω. Πρώτα, όμως, ορίζουμε έναν γενικότερο τύπο αριθμού στη συνέχεια. Ένας γενικευμένος αριθμός διαστημάτων (ΓΑΔ) (generalized intervals number (GI)) ορίζεται ως μια συνάρτηση f: [,](R R,), όπου (R R,) είναι πλέγμα γενικευμένων διαστημάτων. Έστω G το σύνολο των ΓΑΔ. Έπεται ότι το (G, ) είναι πλήρες πλέγμα, ως (μη-αριθμήσιμο) Καρτεσιανό γινόμενο πλήρων πλεγμάτων (R R,). Στη συνέχεια, το ενδιαφέρον στρέφεται στο υποπλέγμα των αριθμών διαστημάτων (ΑΔ). Ο αριθμός διαστημάτων (ΑΔ) Τύπου- (Τ) (intervals number (I) type- (T)), ΑΔ για συντομία, ορίζεται ως μια συνάρτηση F: [,]I, που ικανοποιεί τις ακόλουθες δύο σχέσεις ) hh 2 F h F h και 2) X [,] : Fh F X. 2 hx Το σύνολο F των ΑΔ (Τ) είναι μερικώς διατεταγμένο, πλήρες πλέγμα, το οποίο συμβολίζεται ως (F, ). Ένας ΑΔ ερμηνεύεται ως κόκκος πληροφορίας (Kaburlasos & Papadakis, 26). Το σύνολο F των ΑΔ έχει μελετηθεί σε μια σειρά από εργασίες. Συγκεκριμένα, έχει αποδειχθεί ότι το σύνολο F είναι μετρικό πλέγμα (Kaburlasos, 24) με πληθικότητα ίση με την πληθικότητα του συνόλου R των πραγματικών αριθμών (Kaburlasos & Kehagias, 26) με άλλα λόγια, υπάρχουν τόσοι ΑΔ, όσοι και πραγματικοί αριθμοί. Επιπλέον, το σύνολο F είναι κώνος σε έναν γραμμικό χώρο (Papadakis & Kaburlasos, 2). Ένας ΑΔ μπορεί, ισοδύναμα, να αναπαρασταθεί είτε με ένα σύνολο διαστημάτων F h, h[,] (αυτή είναι η αναπαράσταση-διαστημάτων (interval-representation)), είτε με μια συνάρτηση F()= { h: F } h h (αυτή είναι η αναπαράσταση-συνάρτησης-συμμετοχής (membership-function- [,] representation)), όπως φαίνεται στο Σχήμα 9.. Η διατομή ( ) και η συνένωση ( ) στο πλέγμα (F, ) δίνονται ως (F G) h = F h G h και (F G) h = F h G h, αντίστοιχα. Για παράδειγμα, το Σχήμα 9.2 δείχνει τον υπολογισμό της συνένωσης ( ) και της διατομής ( ) δύο ΑΔ F και G, αντίστοιχα, χρησιμοποιώντας αναπαραστάσεις συνάρτησης-συμμετοχής. Ως στήριγμα ή, εναλλακτικά, φορέα ενός ΑΔ ορίζουμε το ελάχιστο άνω φράγμα διάστημα F. Τυπικά τα ΑΔ που χρησιμοποιούνται στην πράξη έχουν συνεχείς συναρτήσεις συμμετοχής, συνεπώς ισχύει η ισότητα Fh F, δηλ. το στήριγμα ενός FF είναι η «βάση» του για h=. h(,] Για ΑΔ F,GF έχει αποδειχθεί η επόμενη ισοδυναμία (Kaburlasos & Kehagias, 24): F G (h[,]: F h G h ) (L: F()G()) Ως ύψος ενός ΑΔ E, συμβολικά hgt(e), ορίζεται το ελάχιστο άνω φράγμα () όλων των αντίστοιχων βαθμών συμμετοχής, δηλ. hgt( E) E( ). Για παράδειγμα, στο Σχήμα 9.(α) είναι hgt(e)=, ενώ στο Σχήμα 9.2(γ) είναι hgt(f G)= h. [ o, i] h(,] Στη συνέχεια ορίζονται δύο βαθμοί διάταξης : F F [,] και : F F [,], στη βάση των βαθμών διάταξης : I I [,] και : I I [,], αντίστοιχα. (E,F)= (E,F)= h h ( E, F ) dh (9.7) h h ( E, F ) dh (9.8) h 9-4

h E() E 2 3 4 5 6 7 8 9 (α) E 2 3 4 5 6 7 8 9 (β) Σχήμα 9. Οι δύο ισοδύναμες αναπαραστάσεις ενός ΑΔ. (α) Η αναπαράσταση-συνάρτησης-συμμετοχής. (β) Η αναπαράσταση-διαστημάτων. h F G h h F G 2 4 5 6 8 9 a (α) h h F G 2 4 5 6 8 (β) 2 4 5 6 8 9 (γ) Σχήμα 9.2 Υπολογισμός της συνένωσης ( ) και της διατομής ( ) στο πλέγμα (F, ) με τη χρήση αναπαραστάσεων συνάρτησης-συμμετοχής. (α) Δύο ΑΔ Τ F και G. (β) Η συνένωση F G. (γ) Η διατομή F G. 9-5

Ένα μαθηματικό αποτέλεσμα με σημαντικές προεκτάσεις παρουσιάζεται στη συνέχεια, με αναφορά στο Σχήμα 9.3 (Kaburlasos & Kehagias, 24): F(=t) = (T,F) = h h ( T, F ) dh, (9.9) όπου FF και T= [t,t], h[,] είναι ένας τετριμμένος ΑΔ, ο οποίος αναπαριστάνει έναν πραγματικό αριθμό. Συγκεκριμένα, η Εξ.(9.9) συσχετίζει τις δύο διαφορετικές αλλά ισοδύναμες αναπαραστάσεις ενός ΑΔ, την αναπαράσταση-συνάρτησης-συμμετοχής και την αναπαράσταση-διαστημάτων, μέσω του βαθμού διάταξης : F F [,], στην περίπτωση που το πρώτο όρισμα της συνάρτησης (.,.) είναι ένας τετριμμένος ΑΔ T= [t,t], h[,], ενώ το δεύτερο όρισμα της συνάρτησης (.,.) είναι ένας οποιοσδήποτε ΑΔ FF με συνάρτηση συμμετοχής F(). Τότε ο βαθμός διάταξης (T,F) ισούται με την τιμή της συνάρτησης F() για =t. Επιπλέον, η χρήση μιας συνάρτησης βαθμού διάταξης συνεπάγεται τα ακόλουθα τρία πλεονεκτήματα: Πρώτον, η χρήση είτε της συνάρτησης (T,F) είτε της συνάρτησης (T,F), συνεπάγεται τη δυνατότητα χρήσης μη-τετριμμένων ΑΔ Τ προς αναπαράσταση της αβεβαιότητας/αμφιβολίας δεύτερον, η χρήση της συνάρτησης βαθμού διάταξης (T,F) έχει το επιπλέον πλεονέκτημα ότι είναι μη-μηδενική πέραν του στηρίγματος F του ΑΔ F τρίτον, και οι δύο συναρτήσεις (.,.) και (.,.) είναι παραμετρικές, συνεπώς μπορούν να βελτιστοποιηθούν με εκτίμηση των παραμέτρων τους. Σε όλες τις (τρεις) προαναφερθείσες περιπτώσεις, με τη χρήση μιας συνάρτησης (σ) βαθμού διάταξης, λαμβάνονται «αποφάσεις αρχών (principled decision-making)» υπό την έννοια ότι ικανοποιούνται οι ιδιότητες C και C2 στον ορισμό του βαθμού διάταξης. Το μαθηματικό αποτέλεσμα της Εξ.(9.9) θεωρείται κρίσιμο, διότι σε συνδυασμό με τους βαθμούς διάταξης (.,.) και (.,.) της ενότητας 9..6, θεμελιώνει τη χρήση οποιασδήποτε συνάρτησης f: R R στο πλαίσιο της διευρυμένης ΥΝ στη βάση της επιστήμης της Λογικής και συγκεκριμένα στη βάση της Συλλογιστικής Ασαφών Πλεγμάτων (ΣΑΠ). Σημειωτέον ότι αν η συνάρτηση f: R R δεν είναι κυρτή, τότε μπορεί να προσεγγιστεί ικανοποιητικά με την υπέρθεση κυρτών συναρτήσεων, π.χ. συναρτήσεων Gauss ή, ακόμα γενικότερα, κυρτών συναρτήσεων οποιουδήποτε σχήματος. h T F h F h U t U 2 Σχήμα 9.3 Ένας οποισδήποτε ΑΔ FF και ένας τετριμμένος ΑΔ T= [t,t], h[,] προς επεξήγηση της Εξ.(9.9) F(=t) = (T,F) = h h ( T, F ) dh. 9-6

Υποθέτοντας ότι το ακόλουθο ολοκλήρωμα υπάρχει, μια μετρική συνάρτηση D : F F μεταξύ ΑΔ Τ υπολογίζεται ως ακολούθως: D (F,G)= h h R d ( F, G ) dh, (9.) όπου η ολοκληρωτέα συνάρτηση d : Ι Ι δίνεται από την Εξ.(9.). To μέγεθος ενός ΑΔ Τ, έστω F, με ύψος hgt(f), είναι μια συνάρτηση Δ : F R, η οποία υπολογίζεται ως ακολούθως: hgt ( F ) ( F) ( F ) p( h) dh, (9.) h όπου δ : I p R είναι μια συνάρτηση μεγέθους ενός συνηθισμένου διαστήματος Τ και p(h) είναι μια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (probability density) ορισμένη στο διάστημα Ω= [,], η οποία εδώ έχει το ρόλο μιας συνάρτησης βάρους (weight) μια ειδική περίπτωση προκύπτει για p(h)=, h[,]. Σημειώστε ότι, συνήθως, το ύψος ενός ΑΔ Τ ισούται με, δηλ. hgt(f)=. 9..5 Επίπεδο-4: Το Πλέγμα (F 2, ) των Αριθμών Διαστημάτων Τύπου-2 (ΑΔ Τ2) Ένας Αριθμός Διαστημάτων (ΑΔ) Τύπου-2 (Τ2) (intervals number (I) type-2 (T2)), ή ΑΔ T2 για συντομία, ορίζεται ως ένα διάστημα ΑΔ Τ. Δηλαδή, ένας ΑΔ T2 εξ ορισμού ισούται με [U,W] {XF : U X W}, όπου το U καλείται κάτω (lower) ΑΔ, ενώ το W καλείται άνω (upper) ΑΔ (του ΑΔ Τ2 [U,W]). Το σύνολο των ΑΔ Τ2 είναι μερικώς διατεταγμένο, πλήρες πλέγμα, το οποίο συμβολίζεται ως (F 2, ). Ένας ΑΔ Τ2 ερμηνεύεται ως κόκκος πληροφορίας (Kaburlasos & Papadakis, 26). Ένας ΑΔ Τ2 μπορεί, ισοδύναμα, να αναπαρασταθεί είτε με ένα σύνολο διαστημάτων [U,W] h, h[,] (αυτή είναι η αναπαράσταση-διαστημάτων), είτε με δύο συναρτήσεις U()= { h : U } και W()= h h [,] h h [,] { h : W } (αυτή είναι η αναπαράσταση-συναρτήσεων-συμμετοχής). Το Σχήμα 9.4 δείχνει τις δύο διαφορετικές, αλλά ισοδύναμες, αναπαραστάσεις ενός ΑΔ Τ2. Η διατομή ( ) και η συνένωση ( ) στο πλέγμα (F 2, ) δίνονται ως (F G) h = F h G h και (F G) h = F h G h αντίστοιχα, για h[,]. Για παράδειγμα, ο υπολογισμός της συνένωσης ( ) και της διατομής ( ) στο πλέγμα (F 2, ) παρουσιάζονται στο Σχήμα 9.5 με αναπαραστάσεις συναρτήσεων-συμμετοχής. Συγκεκριμένα, το Σχήμα 9.5(α) δείχνει δύο ΑΔ Τ2 [f,f] και [g,g], όπου f,f,g,gf, ώστε f F και g G. Η συνένωση [f,f] [g,g] = [f g,f G] φαίνεται στο Σχήμα 9.5(β), όπου (f g) h = για κάθε h(h,]. To Σχήμα 9.5(γ) δείχνει τη διατομή [f,f] [g,g] = [f g,f G], όπου (f g) h = για κάθε h(h 3,], καθώς και (F G) h = για κάθε h(h 4,]. Μπορούμε να ορίσουμε δύο συναρτήσεις βαθμού διάταξης : F 2 F 2 [,] και : F 2 F 2 [,] χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις Εξ.(9.7) και Εξ.(9.8) στη βάση συναρτήσεων βαθμού διάταξης : I 2 I 2 [,] και : I 2 I 2 [,]. Οι τελευταίες δίνονται από τις εξισώσεις Εξ.(9.5) και Εξ.(9.6) αντίστοιχα. Mια μετρική συνάρτηση D 2 : F 2 F 2 R D 2 (F,G)= 2 h h R μεταξύ ΑΔ Τ2 υπολογίζεται ως ακολούθως: d ( F, G ) dh (9.2) όπου η ολοκληρωτέα συνάρτηση d 2 : Ι 2 Ι 2 δίνεται από την Εξ.(9.4). To μέγεθος ενός ΑΔ Τ2, έστω F= [U,W], είναι μια συνάρτηση Δ 2 : F 2 R, η οποία υπολογίζεται ως: Δ 2 (F) = Δ (W) Δ (U), (9.3) όπου η συνάρτηση Δ : F R υπολογίζει το μέγεθος ενός ΑΔ Τ με χρήση της Εξ.(9.). R 9-7

F.647 f 2 4 6 8 (α) F.647 f 2 4 6 8 (β) Σχήμα 9.4 Οι δύο ισοδύναμες αναπαραστάσεις ενός ΑΔ Τ2. (α) Η αναπαράσταση-συναρτήσεων-συμμετοχής και (β) Η αναπαράσταση-διαστημάτων. h F G h 4 h 3 h 2 h f g h F G f g 2 4 5 6 8 9 (α) h 4 h 3 h 2 F G f g 2 4 5 6 8 (β) 2 4 5 6 8 9 (γ) Σχήμα 9.5 Υπολογισμός της συνένωσης ( ) και της διατομής ( ) στο πλέγμα (F 2, ) με τη χρήση αναπαραστάσεων συναρτήσεων-συμμετοχής. (α) Δύο ΑΔ Τ2 [f,f] και [g,g], όπου f,f,g,gf, ώστε f F και g G. (β) Η συνένωση [f,f] [g,g] = [f g,f G]. (γ) Η διατομή [f,f] [g,g] = [f g,f G]. 9-8

9..6 Επίπεδο-5: Πλέγματα Ν-άδων Αριθμών Διαστημάτων Τ/Τ2 Θεωρήστε το Καρτεσιανό γινόμενο G= G G, όπου κάθε ένα από τα πλέγματα (G i, ), i{,,} ισούται με (F, ). Δοθέντων δύο συναρτήσεων i v: L i R και i : L i L i στο αντίστοιχο πλέγμα (L i,) πραγματικών αριθμών, όπως περιγράφεται στο Επίπεδο-, έπεται μια συνάρτηση i v ([a,b])= i v( i (a))+ i v(b) θετικής τιμοδότησης στο πλέγμα (L i L i,) των γενικευμένων διαστημάτων και, τελικά, έπονται μετρικές συναρτήσεις καθώς και συναρτήσεις βαθμού διάταξης στο πλέγμα (G, ), όπως περιγράφεται παρακάτω. Συγκεκριμένα, μπορούμε να ορίσουμε συναρτήσεις βαθμού διάταξης με δύο διαφορετικούς τρόπους στο πλέγμα (G, ), όπως εξηγείται στη συνέχεια. Πρώτον, για κάθε h[,] θεωρούμε -διάστατα ορθογώνια παραλληλεπίπεδα στο πλήρες πλέγμα ( I, ). Έτσι προκύπτουν (Kaburlasos & Papadakis, 29): (F,E) = (F,E) = i v ( Ei) h i i v ( Fi Ei ) h i i v ( Fi Ei ) h i i v ( Fi) h i dh, και (9.4) dh. (9.5) Δεύτερον, θεωρούμε ξεχωριστά την κάθε διάσταση στο πλέγμα ( F, ). Συνεπώς, σε κάθε διάσταση i{,,} μπορεί να οριστεί ένας βαθμός διάταξης i : F F [,] σύμφωνα είτε με την Εξ.(9.7), είτε με την Εξ.(9.8). Τελικά, ένας βαθμός διάταξης c : F Ν F Ν [,] στο πλέγμα (F Ν, ) μπορεί να οριστεί με τον κυρτό συνδυασμό c (F= (F,...,F ), E= (E,...,E ))= (F,E )+ + (F,E ), όπου,,, ώστε + + =. Δύο άλλοι βαθμοί διάταξης δίνονται από τους τύπους (α) (F= (F,...,F ), E= (E,...,E ))= min i i i i{,..., } ( F, E ) και (β) (F= (F,...,F ), E= (E,...,E ))= i Fi E i i (, ), αντίστοιχα (Kaburlasos & Kehagias, 24). Με άλλα λόγια, ο βαθμός διάταξης (F= (F,...,F ), E= (E,...,E )) ισούται με τον ελάχιστο των βαθμών διάταξης ι (F i,e i ), i{,...,}, ενώ ο βαθμός διάταξης (F= (F,...,F ), E= (E,...,E )) ισούται με το γινόμενο των βαθμών διάταξης ι (F i,e i ), i{,...,}. Επιπλέον, μετρικές συναρτήσεις D: F R στο πλέγμα ( F, ) υπολογίζονται ως ακολούθως. p D(F= (F,...,F ), E= (E,...,E )) = (, ) (, ) p D F E D F E, (9.6) όπου pr, ενώ η μετρική D : F F υπολογίζεται με την Εξ.(9.). Το μέγεθος ενός Ν-διάστατου ΑΔ Τ A= (A,,A ) υπολογίζεται από τον κυρτό συνδυασμό R Δ(A) = p Δ (A )+ +p Δ (A ) (9.7) ως μια ειδική εφαρμογή του γενικού ορισμού της συνάρτησης μεγέθους σε μδσυν ( P, ) ( P i, i) (βλ. στο Παράρτημα του Κεφάλαιου 7) με Ω= {,,Ν}. Επιπλέον, σημειώστε ότι η συνάρτηση :F R στην Εξ.(9.7) υπολογίζεται, σύμφωνα με την Εξ.(9.), ως μια άλλη ειδική εφαρμογή του προαναφερθέντος γενικού ορισμού της συνάρτησης μεγέθους με Ω= [,]. Όλες οι συναρτήσεις σ αυτήν την ενότητα επεκτείνονται εύκολα σε Ν-διάστατα ΑΔ Τ2. /p i 9-9

z ais h ais 9..7 Περαιτέρω Επεκτάσεις Στην προαναφερθείσα ιεραρχία μπορούμε να εισάγουμε τουλάχιστον ένα επιπλέον επίπεδο γενικεύοντας κάποιον ΑΔ Τ/Τ2 όπως περιγράφεται στη συνέχεια. Συγκεκριμένα, ένας ΑΔ Τ/Τ2 έχει δισδιάστατη (2-Δ) αναπαράσταση στο επίπεδο, η οποία μπορεί να γενικευτεί στις τρεις διαστάσεις (3-Δ), όπως εξηγείται στη συνέχεια (Kaburlasos & Papakostas, 25). Ένας 3-Δ ΑΔ Τ (αντίστοιχα, Τ2) ορίζεται ως μια συνάρτηση F: [,]F, όπου F= F (αντίστοιχα, F= F 2 ), η οποία ικανοποιεί την σχέση z z F F. Με άλλα λόγια, ένας 3-Δ ΑΔ Τ (αντίστοιχα, Τ2) F 2 z z2 έχει μια τρισδιάστατη αναπαράσταση F z, έτσι ώστε για σταθερό z= z η συνάρτηση F z, η οποία ονομάζεται ζ-φέτα (zslice), είναι ένας 2-Δ ΑΔ Τ (αντίστοιχα, Τ2). Για παράδειγμα, το Σχήμα 9.6(α) δείχνει έναν 3-Δ ΑΔ Τ2 F z, z[,], ο οποίος τέμνεται από το επίπεδο z=.5. Η ζ-φέτα F.5 είναι ένας 2-Δ ΑΤ Τ2, ο οποίος παρουσιάζεται στο Σχήμα 9.6(β). Έστω ότι F g συμβολίζει είτε το σύνολο των 3-Δ ΑΔ Τ, είτε το σύνολο των 3-Δ ΑΔ Τ2. Σε κάθε περίπτωση η δυάδα (F g, ) είναι πλέγμα με διάταξη E F E z F z, για κάθε z[,]. Μια συνάρτηση F g F g [,] βαθμού διάταξης στο πλέγμα (F g, ) δίνεται ως: F g z h z h ( E, F) I ( E ),( F ) dhdz, (9.8) όπου η συνάρτηση I (.,.) δίνεται από μια εκ των εξισώσεων (9.2), (9.3), (9.5), (9.6). : F g.647.5.647 2 4 6 ais 8 h ais 2 4 6 8 ais (α) (β) Σχήμα 9.6 (α) Ένας τρισδιάστατος (3-Δ) ΑΔ Τ2, έστω F. (β) H ζ-φέτα F.5 (του 3-Δ ΑΔ Τ2 F) είναι ο 2-Δ ΑΔ Τ2 του σχήματος. 9.2 Αριθμοί Διαστημάτων Αυτή η ενότητα εστιάζει στους Αριθμούς Διαστημάτων Τύπου-, ή ΑΔ (Τ) για συντομία. 9.2. Ερμηνείες ΑΔ Διάφοροι συσχετισμοί έχουν προταθεί στη βιβλιογραφία μεταξύ (κατανομής) εφικτότητας (possibility (distribution)) και (κατανομής) πιθανότητας (probability (distribution)) (Ralescu & Ralescu, 984 Wonneberger, 994). Σ αυτό το βιβλίο ένας ΑΔ αποτελεί ένα «μαθηματικό αντικείμενο» που μπορεί να ερμηνευτεί με δύο, τουλάχιστον, διαφορετικούς τρόπους. Συγκεκριμένα, πρώτον, ένας ΑΔ μπορεί να ερμηνευτεί ως ασαφής αριθμός, ο οποίος αναπαριστά μια κατανομή εφικτότητας και δεύτερον, ένας ΑΔ μπορεί να ερμηνευτεί ως κατανομή πιθανότητας, όπως εξηγείται στη συνέχεια. 9-

E() distr. function Έστω μια κατανομή πιθανότητας, σύμφωνα με την οποία επιλέγουμε τον πληθυσμό των δειγμάτων (βλ. πραγματικών αριθμών) που φαίνονται στο Σχήμα 9.7(α). Έστω Μ= 5.96 η τιμή του διάμεσου (median) του δείγματος, δηλ. εκείνης της τιμής που χωρίζει το σύνολο των δειγμάτων σε δυο ισάριθμα υποσύνολα. Το Σχήμα 9.7(β) δείχνει την αντίστοιχη, γνησίως αύξουσα συνάρτηση αθροιστικής κατανομής (cumulative distribution function) c(.) με c(5.96)=.5. Το Σχήμα 9.7(γ) δείχνει τον υπολογισμό ενός ΑΔ E με τον εξής τρόπο: Για κάθε Μ= 5.96 υπολογίζεται η συνάρτηση 2c(), ενώ για κάθε > Μ= 5.96 υπολογίζεται η συνάρτηση 2(-c()). Ο προαναφερθείς αλγόριθμος ονομάζεται «CALCI» και υπολογίζει τον ΑΔ E που φαίνεται στο Σχήμα 9.7(γ) με αναπαράσταση-συνάρτησης-συμμετοχής E(), η οποία ερμηνεύεται ως μια κατανομή πιθανότητας. Συγκεκριμένα, αν F είναι ένας ΑΔ, ο οποίος υπολογίστηκε με τον αλγόριθμο CALCI, τότε το διάστημα F(h) περιλαμβάνει το (-h)% της κατανομής, ενώ το υπόλοιπο h% κατανέμεται εξίσου κάτω- και επάνω- από το F(h) (Kaburlasos, 24 Kaburlasos, 26 Kaburlasos & Pachidis, 24 Kaburlasos & Papadakis, 26 Papadakis & Kaburlasos, 2)..5 c 2 4 5.96 8 (α) 2 4 5.96 8 (β) E 2(-c) 2c 2 4 5.96 8 (γ) Σχήμα 9.7 (α) Μια κατανομή δειγμάτων (βλ. πραγματικών αριθμών) στο διάστημα [, ], με τιμή διάμεσου M= 5.96. (β) Η αντίστοιχη συνάρτηση αθροιστικής κατανομής c(.). (γ) Υπολογισμός του ΑΔ E από τη συνάρτηση κατανομής c(.) σύμφωνα με τον αλγόριθμο CALCI. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχει ένας ΑΔ της μορφής [a,b], για κάθε h[,], ο οποίος αναπαριστά το διάστημα [a,b] πραγματικών αριθμών. Έτσι, στις Ν διαστάσεις προκύπτει ο χώρος των ορθογώνιων παραλληλεπίπεδων (Kaburlasos, 26), ο οποίος έχει τραβήξει το ερευνητικό ενδιαφέρον (Dietterich κ.ά., 997 Long & Tan, 998 Salzberg, 99 Samet, 988) χάρη στην απλότητα και την αποτελεσματικότητά του σε υπολογιστικές εφαρμογές. Σημειώστε, επίσης, ότι η συνάρτηση βαθμός διάταξης είχε αρχικά παρουσιαστεί με το όνομα μέτρο εγκλεισμού (inclusion measure), διότι χρησιμοποιούνταν μόνο με ορθογώνια παραλληλεπίπεδα αντί για Ν-διάστατους ΑΔ. Αργότερα επεκτάθηκε σε γενικά πλέγματα, οπότε το αρχικό όνομα (βλ. μέτρο εγκλεισμού) άλλαξε σε βαθμός διάταξης. 9-

9.2.2 Αναπαράσταση ΑΔ Από πρακτική άποψη, ένας ΑΔ F αναπαρίσταται στη μνήμη του υπολογιστή με ένα L2 πίνακα [a b ; a 2 b 2 ; ; a L b L ] πραγματικών αριθμών, όπου L είναι ο προκαθορισμένος από το χρήστη, αριθμός επιπέδων h, h 2,, h L, ώστε <h h 2 h L =. Στην πράξη συνήθως χρησιμοποιούμε L=6 ή L=32 επίπεδα ανά ίσα διαστήματα στο διάστημα [,]. Σημειώστε ότι ένας αριθμός 6 ή 32 επιπέδων έχει επίσης προταθεί σε εφαρμογές ασαφών συστημάτων συμπερασμού που βασίζονται σε -διατομές ασαφών αριθμών (Kaburlasos & Kehagias, 24 Uehara & Fujise, 993 Uehara & Hirota, 998). Σε συνέχεια των παραπάνω παραδοχών, ένας 2-Δ ΑΔ Τ2, έστω [U,W], αναπαρίσταται με έναν L4 πίνακα, διότι για κάθε ένα από τα L επίπεδα κατά μήκος του άξονα h αποθηκεύουμε δύο διαστήματα: Ένα διάστημα για τον κάτω ΑΔ U και ένα διάστημα για τον άνω ΑΔ W. Τέλος, ένας 3-Δ ΑΔ Τ2 αναπαρίσταται με έναν L4L πίνακα, διότι για κάθε ένα από τα L επίπεδα κατά μήκος του άξονα z αποθηκεύουμε έναν 2-Δ ΑΔ Τ2. 9.2.3 Υπολογισμοί με ΑΔ Διάφορες αριθμητικές ασαφών αριθμών έχουν προταθεί στη βιβλιογραφία, κάποιες από τις οποίες βασίζονται σε αριθμητικές διαστημάτων (interval arithmetic) (Kaufmann & Gupta, 985 Moore & Lodwick, 23). Σ αυτήν την ενότητα παρουσιάζεται μια νέα αριθμητική στο χώρο των ΑΔ, η οποία βασίζεται σε μια νέα αριθμητική διαστημάτων με λιγότερους αλγεβρικούς περιορισμούς για μεγαλύτερη υπολογιστική ευελιξία. Έστω το πλήρες πλέγμα (L=[-,+], ). Το πλέγμα (LL, ) των γενικευμένων διαστημάτων είναι ένας γραμμικός χώρος (linear space) (Papadakis & Kaburlasos, 2), διότι μπορεί να οριστεί μια πράξη πρόσθεσης, καθώς και μια πράξη πολλαπλασιασμού, όπως εξηγείται στη συνέχεια. Η πράξη της πρόσθεσης μεταξύ γενικευμένων διαστημάτων ορίζεται ως: [a,b] + [c,e] = [a+c, b+e], ενώ η πράξη του πολλαπλασιασμού ενός γενικευμένου διαστήματος και ενός πραγματικού αριθμού ορίζεται ως: k[a,b] = [ka, kb]. Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός μπορούν να επεκταθούν στο σύνολο G των ΓΑΔ. Συγκεκριμένα, αν F,HG, τότε η πρόσθεση ορίζεται ως F+H = F h +H h, όπου h[,], ενώ ο πολλαπλασιασμός ενός ΓΑΔ επί έναν πραγματικό αριθμό k ορίζεται ως kf = kf h, όπου h[,]. Έπεται ότι το πλέγμα (G, ) των ΓΑΔ είναι ένας γραμμικός χώρος. Είναι ενδιαφέρον ότι [a,b],[c,e]i συνεπάγεται ότι [a+c, b+e]i. Ωστόσο, δοθέντος ενός διαστήματος Τ [a,b]i και ενός πραγματικού αριθμού kr, δεν υπάρχει εγγύηση ότι το γινόμενο k[a,b] θα είναι ένα διάστημα Τ. Συγκεκριμένα, για αρνητικό αριθμό k<, το γινόμενο k[a,b] δεν είναι διάστημα Τ διότι ka > kb. Στο προαναφερθέν πλαίσιο έχει δειχθεί ότι το σύνολο των διαστημάτων Τ είναι ένας κώνος στο γραμμικό χώρο των γενικευμένων διαστημάτων. Υπενθυμίζεται ότι εξ ορισμού κώνος (cone) καλείται ένα υποσύνολο C γραμμικού χώρου, αν και μόνον αν για, 2 C και για μη-αρνητικούς αριθμούς, 2 ο γραμμικός συνδυασμός ( + 2 2 ) ανήκει στο C. Με βάση τα παραπάνω συνεπάγεται ότι το σύνολο των διαστημάτων Τ είναι κώνος στο γραμμικό χώρο των γενικευμένων διαστημάτων Τ. Επεκτάσεις μπορούν να γίνουν και στο χώρο F των ΑΔ. Συγκεκριμένα, η πρόσθεση δύο ΑΔ F και G μπορεί να οριστεί ως (F + G) = F h + G h, όπου h[,], ενώ ο πολλαπλασιασμός ενός ΑΔ F επί έναν πραγματικό αριθμό k μπορεί να οριστεί ως kf = kf h, όπου h[,]. Παρόμοια, όπως προηγουμένως, έπεται ότι ο χώρος F των ΑΔ είναι κώνος στο γραμμικό χώρο των ΓΑΔ (Papadakis & Kaburlasos, 2). Σημειωτέον, ότι η σχέση μερικής διάταξης των ΑΔ έχει ήδη μελετηθεί στη βάση της αναπαράστασηςσυναρτήσεων-συμμετοχής (Zhang & Hirota, 997), όπου ορίζονται ασαφείς αριθμητικές πράξεις μεταξύ ΑΔ. Αυτό το βιβλίο προτείνει την ανάλυση των ΑΔ στη βάση της αναπαράστασης-διαστημάτων, ενώ οι αριθμητικές πράξεις ορίζονται μέσα σε ένα γραμμικό χώρο ακολουθώντας καλώς ορισμένες αλγεβρικές πρακτικές (Luemburg & Zaanen, 97 Vulikh, 967). 9-2

Μπορούμε να εισάγουμε έναν μη-γραμμικό μετασχηματισμό (Kaburlasos κ.ά., 23) στο χώρο των διαστημάτων Τ θεωρώντας μια γνησίως αύξουσα πραγματική συνάρτηση f: RR. Συγκεκριμένα, ένα διάστημα Τ [a,b] μετασχηματίζεται στο διάστημα Τ [f(a), f(b)]. Επεκτάσεις μπορούν να γίνουν και στο χώρο F των ΑΔ, όπου, δοθείσης μιας γνησίως αύξουσας πραγματικής συνάρτησης f: RR, ένας ΑΔ μετασχηματίζεται σε έναν άλλον ΑΔ ως ακολούθως [f(f)] h = f(f h ), h[,]. Για παράδειγμα, το Σχήμα 9.8(α) απεικονίζει μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση, αυτή είναι η σιγμοειδής συνάρτηση f() = (-e - )/(+e - ), η οποία μετασχηματίζει τους ΑΔ X, X2 και X3 του Σχήματος 9.8(α) στους Y= f(x), Y2= f(x2) και Y3= f(x3), αντίστοιχα, του Σχήματος 9.8(β)..5 X X2 X3.5 -.5 - f() -8-7 -6-5 -4-3 -2-2 3 4 5 6 7 8 (α) Y Y2 Y3.8.6.4.2 - -.8 -.6 -.4 -.2.2.4.6.8 (β) Σχήμα 9.8 (α) Η σιγμοειδής συνάρτηση f() = (-e - )/(+e - ) και τρεις ΑΔ X, X2 και X3. (β) Το πεδίο ορισμού [,] των εικόνων Y= f(x), Y2= f(x2) και Y3= f(x3) εξ ορισμού ισούται με το πεδίο τιμών [,] της σιγμοειδούς f() = (-e - )/(+e - ). Όταν επιλέξουμε σε μια συγκεκριμένη εφαρμογή να ερμηνεύσουμε κάθε ΑΔ ως μια κατανομή πιθανότητας, τότε όλοι οι προαναφερθέντες (μη-γραμμικοί) μετασχηματισμοί και πράξεις μεταξύ ΑΔ μπορούν να τελούνται μεταξύ πληθυσμών μετρήσεων μέσω αλγόριθμων παλινδρόμησης, όπως εξηγείται παρακάτω. Το επόμενο υπολογιστικό παράδειγμα ερμηνεύει γεωμετρικά στο επίπεδο την ιδιότητα της Συνέπειας (C2) (βλ. στον ορισμό του βαθμού διάταξης) στο Καρτεσιανό γινόμενο ([,],)([,],), όπως φαίνεται στο Σχήμα 9.9 (α) και (β), με ίδιες συναρτήσεις v()= και θ()= - ανά βασικό πλέγμα ([,],). Επιπλέον, το Σχήμα 9.9 (α) και (β) δείχνει δύο «κουτιά» u= [.5,.6][.3,.4] και w= [.4,.9][.2,.8] με u w. Σημειώστε ότι το Σχήμα 9.9(α), πέραν των u και w, δείχνει το «κουτί» = [.5,.2][.5,.2], το οποίο κείται εκτός των u και w. Ενώ, εκτός από τα u και w, το Σχήμα 9.9(β) δείχνει το «κουτί» = [.85,.9][.55,.6], το οποίο κείται εκτός του u, αλλά εντός του w. 9-3

.8.4.3.2 w u.8.4.3.2 w u.2.4.5.6.9 (α).2.4.5.6.9 (β) Σχήμα 9.9 (α) και (β): Η ιδιότητα της Συνέπειας «u w, u, w» εγγυάται ότι όταν ένα κουτί u είναι εντός ενός άλλου w, τότε κάθε κουτί (ή ) περιέχεται, με την έννοια ενός βαθμού διάταξης, περισσότερο στο w παρά στο u. Είναι εύκολη η επαλήθευση των υπολογισμών u= [.5,.6][.5,.4] και w= [.5,.9][.5,.8], καθώς και των υπολογισμών u= [.5,.9][.3,.6] και w= w. Στη συνέχεια, Vu ( ) υπολογίζουμε βαθμούς διάταξης (.,.). Συγκεκριμένα προκύπτει (,u)= V( u ) = v( (. 5)) v(. 6) v( (. 3)) v(. 4) = 22..848 και 3. (,w)=.98. Συνεπώς, επαληθεύεται v( (. 5)) v(. 6) v( (. 5)) v(. 4) 27. 34. Vu ( ) η ανισότητα (,u) (,w) στο Σχήμα 9.9(α). Επίσης, προκύπτει (,u)= V( u ) = v( (. 5)) v(. 6) v( (. 3)) v(. 4) = 22..848 και (,w)=. Συνεπώς, επαληθεύεται η ανισότητα v( (. 5)) v(. 9) v( (. 3)) v(. 6) 27. (,u) (,w) στο Σχήμα 9.9(β). Σε συνέχεια των υπολογισμών, παρατηρήστε ότι σε κάποιες εφαρμογές είναι δυνατόν να εμφανίζονται «απόντα δεδομένα (missing data)» ή/και «αδιάφορα δεδομένα (don t care data)» σε κάποιο βασικό πλέγμα. Συγκεκριμένα, λέγοντας «απόν δεδομένο» εννοούμε την απουσία μιας συγκεκριμένης τιμής σε κάποιο βασικό πλέγμα, ενώ λέγοντας «αδιάφορο δεδομένο» εννοούμε την παρουσία όλων των δυνατών τιμών σε κάποιο βασικό πλέγμα. Για έναν ουσιαστικό τρόπο χειρισμού των προαναφερθέντων δεδομένων αναπαριστούμε (α) ένα «απόν δεδομένο» με το ελάχιστο στοιχείο [i,o], και (β) ένα «αδιάφορο δεδομένο» με το μέγιστο στοιχείο [o,i] στο αντίστοιχο βασικό πλέγμα (L=[o,i],). Στη συνέχεια παρουσιάζεται ο χειρισμός «απόντων δεδομένων» ή/και «αδιάφορων δεδομένων» επαληθεύοντας την ιδιότητα της Συνέπειας (C2). Έστω το Καρτεσιανό γινόμενο ([,],)([,],) δύο βασικών πλεγμάτων ([,],) με v()= και θ()= - ανά βασικό πλέγμα, όπως φαίνεται στο Σχήμα 9. (α) και (β). Επιπλέον, το Σχήμα 9. (α) και (β) δείχνει δύο «κουτιά» u= [.6,.7][.5,.6] και w= [.5,.9][.4,.8] με u w. Το Σχήμα 9.(α) δείχνει το δεδομένο m = [.3,.3][,] με «απόν δεδομένο» στο δεύτερο βασικό πλέγμα, ενώ το Σχήμα 9.(β) δείχνει το δεδομένο d = [.3,.3][,] με «αδιάφορο δεδομένο» στο δεύτερο βασικό πλέγμα. Είναι εύκολη η επαλήθευση των υπολογισμών m u= [.3,.7][.5,.6], m w= [.3,.9][.4,.8], d u= [.3,.7][,] και d w= [.3,.9][,]. Στη συνέχεια, υπολογίζουμε βαθμούς διάταξης (.,.). Συγκεκριμένα, προκύπτει ( m,u)= Vu ( ) V( u ) = v( (. 6)) v(. 7) v( (. 5)) v(. 6) = 22..88 και v( (. 3)) v(. 7) v( (. 5)) v(. 6) 25. m ( m,w)= 28..9333. Συνεπώς, επαληθεύεται η ανισότητα ( m,u) ( m,w) στο Σχήμα 9.(α). Επίσης, 3. 9-4

προκύπτει ( d,u)= Vu ( ) V( u ) = v( (. 6)) v(. 7) v( (. 5)) v(. 6) = 22..647 και ( d,w)= 28. v( (. 3)) v(. 7) v( ( )) v( ) 34. 36. d.7778. Συνεπώς, επαληθεύεται η ανισότητα ( d,u) ( d,w) στο Σχήμα 9.(β)..8.6.5.4.3 m u w.8.6.5.4.3 d u w.3.5.6.7.9.3.5.6.7.9 (α) (β) Σχήμα 9. Η ιδιότητα της Συνέπειας «u w, u, w» ισχύει με «απόντα δεδομένα» ή/και με «αδιάφορα δεδομένα». (α) «απόν δεδομένο» κατά μήκος του κατακόρυφου άξονα, συγκεκριμένα είναι m = [.3,.3][,]. (β) «Αδιάφορο δεδομένο» κατά μήκος του κατακόρυφου άξονα, συγκεκριμένα είναι d = [.3,.3][,]. 9.3 Αλγόριθμοι Εφαρμογής ΑΔ Αλγόριθμοι που υπολογίζουν με ΑΔ έχουν ήδη προταθεί στη βιβλιογραφία είτε για μηχανική μάθηση, είτε για παλινδρόμηση, όπως εξηγείται στη συνέχεια. 9.3. Αλγόριθμοι Μηχανικής Μάθησης Θυμηθείτε ότι κάθε χρήση μιας συνάρτησης βαθμού διάταξης () ονομάζεται Συλλογιστική Ασαφών Πλεγμάτων (ΣΑΠ) (Kaburlasos & Kehagias, 24). Στη συνέχεια παρουσιάζονται τρεις αλγόριθμοι ΣΑΠ σε ψευδο-κώδικα, όπου ο πρώτος αλγόριθμος είναι για ομαδοποίηση (Σχήμα 9.), ο δεύτερος αλγόριθμος είναι για ταξινόμηση (Σχήμα 9.2), ενώ ο τρίτος αλγόριθμος είναι για αναγνώριση (Σχήμα 9.3), όλοι στον χώρο των ΑΔ. Σημειώστε ότι οι προαναφερθέντες αλγόριθμοι αποτελούν γενικεύσεις αντίστοιχων αλγόριθμων F της Θεωρίας Προσαρμοστικού Συντονισμού (ΘΠΣ) από το Ν-διάστατο Ευκλείδειο χώρο R στο χώρο F. Η αναγνώριση προτύπων (Duda κ.ά., 2) είναι μια περιοχή ενεργού ενδιαφέροντος στη βιβλιογραφία. Παρατηρήστε ότι οι παραπάνω αλγόριθμοι ή/και παραλλαγές των προαναφερθέντων αλγορίθμων έχουν ήδη χρησιμοποιηθεί εκτεταμένα σε προβλήματα αναγνώρισης προτύπων (Kaburlasos, 24 Kaburlasos & Papadakis, 29 Kaburlasos κ.ά., 22). Μάλιστα, σημειώστε ότι κάποιες παραλλαγές βασίζονται σε μια συνάρτηση μετρικής απόστασης, αντί να βασίζονται σε μια συνάρτηση βαθμού διάταξης. Στη συνέχεια παρουσιάζουμε ένα κριτήριο επιλογής των συναρτήσεων v(.)και (.) στο Επίπεδο-. Μια από τις παλαιότερες εφαρμογές του αλγόριθμου ΣΑΠ για ταξινόμηση, όπου οι Ν-διάστατοι ΑΔ W,..., W ήταν αποκλειστικά ορθογώνια παραλληλεπίπεδα και η είσοδος X i ήταν αποκλειστικά σημείο (δηλ. C a τετριμμένο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο) στο Ν-διάστατο Ευκλείδειο χώρο, οδήγησε στην επιλογή ενός ζεύγους συναρτήσεων v(.)και (.), ώστε να ισχύει η συνθήκη v ([a,a])= v(θ(a))+v(a)= σε κάθε βασικό πλέγμα με βάση το ακόλουθο σκεπτικό. Ως αποτέλεσμα της προαναφερθείσας συνθήκης σε κάθε βασικό πλέγμα προκύπτει v ([a,b])= v(θ(a))+v(b)= v(b)-[-v(θ(a))]+= [v(b)-v(a)]+= δ ([a,b])+. Με τη χρήση της συνάρτησης θετικής τιμοδότησης V([a,b ] [a,b ])= v ([a,b ])+ + v ([a,b ]) για κάθε ορθογώνιο V( X παραλληλεπίπεδο προκύπτει: (W i ) J X i )= V ( WJ X i) ( WJ X i). 9-5

Η γραμμή 6 στο Σχήμα 9.2 αφομοιώνει την είσοδο X i επανυπολογίζοντας το W J σύμφωνα με τη σχέση W J W J X i, όταν ήδη έχει εκπληρωθεί η συνθήκη (W J X i ) a. Η τελευταία συνεπάγεται ( ) a W X J i ( a ) ( W X ). Με άλλα λόγια, ο υπολογισμός W J W J X i J i a πραγματοποιείται μόνο όταν το μέγεθος Δ(W J X i ) του ορθογωνίου παραλληλεπίπεδου W J X i είναι μέχρι ( a ). Για τους παραπάνω λόγους ο αλγόριθμος ΣΑΠ για ταξινόμηση, ακόμη και όταν εφαρμόζεται στο a γενικότερο πλέγμα ( F, ) ή στο πλέγμα ( F, ), συχνά ελέγχει τη συνθήκη «Δ(W J X i ) a» αντί της συνθήκης «(W J X i ) a» προκειμένου να προβεί στον υπολογισμό W J W J X i. 2 Ένα ζεύγος συναρτήσεων v(.) και (.), το οποίο ικανοποιεί τη συνθήκη v ([a,a])= v(θ(a))+v(a)= στο βασικό πλέγμα (L=[,],) είναι το v()= και () = -. Ένα άλλο τέτοιο ζεύγος, το οποίο ικανοποιεί τη συνθήκη v ([a,a])= v(θ(a))+v(a)= στο βασικό πλέγμα (L=[-,+],) είναι το v()= και () = ( ) e 2-. Σημειωτέον ότι η συνάρτηση v()= είναι γνωστή (α) στη στατιστική ανάλυση με το όνομα ( ) e λογιστική (logistic) συνάρτηση (Kleinbaum & Klein, 22) και (β) στη βιβλιογραφία των ΤΝΔ με το όνομα σιγμοειδής (sigmoid) συνάρτηση (Duda κ.ά., 2). Η μαθηματική ανάλυση εδώ παρουσίασε ένα πλεονέκτημα της προαναφερθείσας συνάρτησης v(.) στο χώρο των ΑΔ. : Έστω ένα σύνολο { W,..., W } C 2 F, έστω K = C η πληθικότητα του συνόλου C και έστω η σταθερά C επαγρύπνησης (vigilance parameter) ρ[,] η οποία ορίζεται από κάποιον χρήστη. 2: Από i = έως i = n trn κάνε 3: Θεώρησε την επόμενη είσοδο (ΑΔ) X i F. 4: Έστω το σύνολο S C. 5: J = argma[ ( X W )]. j {,..., S } WjS i 6: Όσο ισχύει (S {}).KAI.((W J X i ) < ) κάνε 7: S S\{W J }. 8: J = argma[ ( X W )] j {,..., S } WjS 9: Τέλος // Όσο ισχύει : Εάν S {} τότε : C C{X i }. 2: K K+. 3: αλλιώς 4: W J W J X i. 5: Τέλος // Εάν 6: Τέλος // Από έως i j j Σχήμα 9. Αλγόριθμος ΣΑΠ για ομαδοποίηση. 9-6

: Έστω ένα σύνολο { W,..., W } C 2 F, έστω K = C a η πληθικότητα του συνόλου C a, έστω η σταθερά Ca a επαγρύπνησης a [,], η οποία ορίζεται από κάποιον χρήστη, έστω ε ένας πολύ μικρός θετικός αριθμός, έστω B= {b,,b L } ένα σύνολο από «ετικέτες», και έστω μια συνάρτηση :F B πάνω στο C a. 2: Από i = έως i = n trn κάνε 3: Θεώρησε την επόμενη είσοδο (X i,l(x i )) F B. 4: Έστω το σύνολο S C a. 5: J = argma[ ( X W )]. j {,..., S } WjS 6: Εάν l(w J ) l(x i ) τότε a = (W J X i ) + ε. i 7: Όσο ισχύει (S {}).KAI.((W J X i ) < a ) κάνε 8: S S\{W J }. 9: J = argma[ ( X W )] j {,..., S } WjS : Εάν l(w J ) l(x i ) τότε a = (W J X i ) + ε. : Τέλος // Όσο ισχύει 2: Εάν S {} τότε 3: C a C a {X i } και K K+. 4: Εάν l(x i )B τότε (B B{l(X i )} και L L+). 5: αλλιώς 6: W J W J X i. 7: Τέλος // Εάν 8: Τέλος // Από έως i j j Σχήμα 9.2 Αλγόριθμος ΣΑΠ για ταξινόμηση. : Έστω ένα σύνολο { W,..., W } C 2 F από ΑΔ, έστω C η πληθικότητα του συνόλου C, έστω ένα σύνολο B= K {b,,b L } από ετικέτες, και έστω μια απεικόνιση :F B. 2: Από i = έως i = n tst κάνε 3: Θεώρησε το επόμενο ζευγάρι εισόδου (X i,b i )F B προς αναγνώριση. 4: J = argma[ ( X W )]. j {,..., C } WjC i j 5: Το δεδομένο εισόδου X i κατηγοριοποιείται στην κατηγορία l(w J ). 6: Τέλος // Από έως 7: Υπολόγισε το ποσοστό των σωστών αναγνωρίσεων στο σύνολο των δεδομένων. Σχήμα 9.3 Αλγόριθμος ΣΑΠ για αναγνώριση. 9-7

9.3.2 Αλγόριθμοι Παλινδρόμησης Δύο ΑΔ μπορούν να προστεθούν μεταξύ τους. Επίσης, ένας ΑΔ μπορεί να πολλαπλασιαστεί με μη-αρνητικό αριθμό ή/και να μετασχηματιστεί μη-γραμμικά με τη χρήση μιας (γνησίως) αύξουσας συνάρτησης. Με εκτέλεση των προαναφερθέντων δύο πράξεων (βλ. πρόσθεση και πολλαπλασιασμός) προκύπτει ένας αλγόριθμος παλινδρόμησης, ο οποίος απεικονίζει μη-γραμμικά μια Ν-άδα ΑΔ σε ένα ΑΔ. Για παράδειγμα, θεωρήστε το ΤΝΔ στο Σχήμα.2 με βάρη που είναι μόνον θετικοί αριθμοί και εισόδους ΑΔ. Σύμφωνα με τα προηγούμενα, το ΤΝΔ στο Σχήμα.2 μπορεί να υλοποιήσει μια συνάρτηση παλινδρόμησης f: F F (Kaburlasos κ.ά., 23). Συνεπώς, η αρχιτεκτονική του Σχήματος.2 μπορεί να υλοποιήσει ένα νευρο-ασαφές σύστημα, αν ένας ΑΔ ερμηνευτεί ως μια κατανομή εφικτότητας. Επεκτάσεις σε ΑΔ Τ2 (Mendel, 23) είναι κατευθείαν υλοποιήσιμες. Περαιτέρω δυνατότητες προκύπτουν αν ένας ΑΔ ερμηνευτεί ως μια κατανομή πιθανότητας. Στην τελευταία περίπτωση, η αρχιτεκτονική στο Σχήμα.2 μπορεί να υπολογίσει μια κατανομή (στην έξοδο του ΤΝΔ) από Ν κατανομές (στην είσοδο του ΤΝΔ). Συνεπώς, αν ένας ΑΔ αναπαριστάνει μια (τεράστια) κατανομή αριθμητικών δειγμάτων τότε ο χειρισμός ΑΔ συνεπάγεται τον χειρισμό τεράστιων δεδομένων (Kaburlasos & Papakostas, 25). Ερωτήσεις Κατανόησης και Ασκήσεις 9.) Για το ζεύγος συναρτήσεων v ( ) ( ) e και () = 2- να υπολογιστεί η τιμή της συνάρτησης v ([a,a])= v((a))+v(a) για ένα τετριμμένο διάστημα [a,a] στο ατομικό πλέγμα (I, ) των διαστημάτων Τ στο πλέγμα (L=[-,+],). Τι παρατηρείτε; Να επαναληφθεί η άσκηση για το ζεύγος συναρτήσεων v()= και () = - στο πλέγμα (L=[,],). 9.2) Να αποδειχθεί (α) ότι η συνάρτηση θετικής τιμοδότησης v (.) επαληθεύει τις δύο λογικές απαιτήσεις v (O=[i,o])= και v (I=[o,i])<+ και (β) ότι η συνάρτηση θετικής τιμοδότησης v 2 (.) επαληθεύει τις δύο λογικές απαιτήσεις v 2 (O= [[o,i],[i,o]])= και v 2 (I=[[i,o],[o,i]])<+. 9.3) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση d : Ι Ι R στο πλέγμα (I, ) των διαστημάτων Τ, η οποία δίνεται από τον τύπο (9.): d ([a,b],[c,e])= d((a),(c)) + d(b,e), είναι μετρική. 9.4) Θεωρήστε το πλέγμα (Ι 2, ) των διαστημάτων Τ2 σε ένα πλήρες πλέγμα (L,) πραγματικών αριθμών. Να δείξετε ότι μια μετρική συνάρτηση d 2 : Ι 2 Ι 2 R δίνεται από τον τύπο (9.4): d 2 ([[a,a 2 ],[b,b 2 ]],[[c,c 2 ],[e,e 2 ]])= d(a,c ) + d((a 2 ),(c 2 ))+ d((b ),(e ))+ d(b 2,e 2 ). 9.5) Έστω ένα πλήρες πλέγμα (L,). Να δειχθεί ότι η συνάρτηση : LLLL, η οποία δίνεται από τον τύπο ([a,b])= [b,a], είναι δυϊκού ισομορφισμού στο πλέγμα (LL,) των γενικευμένων διαστημάτων. 9.6) Θεωρήστε το σύνολο C των κύκλων στο επίπεδο με θετικές και με αρνητικές ακτίνες (Kaburlasos, 26). Συγκεκριμένα, έστω ότι η περιφέρεια κύκλου με θετική ακτίνα απεικονίζεται στο επίπεδο με συνεχή γραμμή, ενώ η περιφέρεια κύκλου με αρνητική ακτίνα απεικονίζεται στο επίπεδο με διακεκομμένη γραμμή, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Το ζεύγος (C, ) προφανώς είναι μδσυν, αλλά δεν είναι πλέγμα διότι για p,qc δεν υπάρχει ούτε μέγιστο κάτω φράγμα (p q)c, ούτε ελάχιστο άνω φράγμα (p q)c. Έστω το γνήσιο υποσύνολο C ε C το οποίο περιλαμβάνει όλους τους κύκλους του επιπέδου, τα κέντρα των οποίων βρίσκονται επάνω σε μια ευθεία (ε) όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Τότε το ζεύγος (C ε, ) είναι πλέγμα και σκιαγραφείται στην ακόλουθη, κατασκευαστική απόδειξη. 9-8

p q p q (ε) p p q q (ε) p p q q (α) (β) Απόδειξη: Έστω μια ευθεία (ε) με μια τυχαία αρχή και δύο κύκλοι p,qc ε. Προς τη μία κατεύθυνση, η (ορθή) προβολή ενός κύκλου cc ε πάνω στην ευθεία (ε) είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα [a c,b c ] τέτοιο, ώστε a c b c, αν και μόνο αν ο κύκλος c έχει θετική ακτίνα ίση με (b c -a c )/2 και a c >b c, αν και μόνο αν ο κύκλος c έχει αρνητική ακτίνα ίση με (b c -a c )/2. Προς την άλλη κατεύθυνση, δοθείσης της προβολής [a c,b c ] ενός κύκλου cc ε, ο κύκλος c κατασκευάζεται με κέντρο το μέσον του διαστήματος [a c,b c ] και ακτίνα ίση με (b c -a c )/2. Συνεπώς, υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ του συνόλου των κύκλων στο C ε και του συνόλου των γενικευμένων διαστημάτων στο πλέγμα ([-,-][-,-],). Δοθέντων των προβολών [a p,b p ] και [a q,b q ] δύο κύκλων p,qc ε η διατομή υπολογίζεται ως [a p,b p ] [a q,b q ]= [a p a q,b p b q ] και η συνένωση υπολογίζεται ως [a p,b p ] [a q,b q ]= [a p a q,b p b q ]. Ως συνάρτηση v: RR θετικής τιμοδότησης μπορεί να οριστεί μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση πάνω στην «ευθεία των ακτίνων». Επίσης, ως συνάρτηση : RR δυϊκού ισομορφισμού μπορεί να οριστεί μια γνησίως φθίνουσα συνάρτηση πάνω στην «ευθεία των ακτίνων». Σημειωτέον ότι διαφορετικές συναρτήσεις v(.) και (.) μπορούν να οριστούν πάνω σε διαφορετικές ευθείες. Ωστόσο, όταν ορίσουμε ίδιες συναρτήσεις v(.) και (.) πάνω σε κάθε ευθεία του επιπέδου τότε το επίπεδο καλείται ισοτροπικό (isotropic). Τα προηγούμενα μπορούν να επεκταθούν σε υπερ-σφαίρες στον χώρο R. Ερωτήσεις: (α) Να υπολογίσετε μια μετρική ανάμεσα στον κύκλο με κέντρο το σημείο (,) και ακτίνα r= και στον κύκλο με κέντρο το σημείο (2,3) και ακτίνα R= -2. (β) Δείξτε μια συνάρτηση v: C ε C ε R θετικής τιμοδότησης που να ικανοποιεί τις δύο λογικές απαιτήσεις v(o)= και v(i)<+. 9.7) Μια συνάρτηση v: LR θετικής τιμοδότησης στο πλέγμα (L=[o,i],) τυπικά επιλέγεται έτσι, ώστε να ικανοποιούνται οι δύο λογικές απαιτήσεις v(o)= και v(i)<+. Ένας τρόπος υπολογισμού της συνάρτησης v(.) είναι η ολοκλήρωση v( ) m( t) dt μιας συνάρτησης μάζας m: LR, η οποία o δίδει ένα προκαθορισμένο βάρος m() σε κάθε L. Να υπολογιστεί: () η συνάρτηση μάζας m : RR, η οποία υπολογίζει τη συνάρτηση θετικής τιμοδότησης v ()= /[+e -λ(-μ) ] και (2) η συνάρτηση μάζας m 2 : [,][,], η οποία υπολογίζει τη συνάρτηση θετικής τιμοδότησης v 2 ()=. 9-9

9.8) Έστω δύο ΑΔ F και F 2 με συναρτήσεις βαθμού συμμετοχής f 2.5.5, αν 3 και 4, αν 3 4 6, αν 5 6 f2, αντίστοιχα. Θεωρήστε τις ακόλουθες δύο γραμμικές.5 4, αν 6 8 συναρτήσεις ()= - και v()=. (α) Να δείξετε στο επίπεδο τις γραφικές παραστάσεις των ΑΔ F και F 2. (β) Να υπολογίσετε τη μετρική απόσταση D (F,F 2 ). (γ) Να υπολογίσετε τους βαθμούς διάταξης (F,F 2 ) και (F,F 2 ). (δ) Επαναλάβετε τα παραπάνω ερωτήματα με τις συναρτήσεις ()= -e και v()= /e -/2., αν 2 f.5 2, αν 2 4 και 7 2, αν 6 8 f2, αντίστοιχα. Θεωρείστε τις δύο γραμμικές, αλλιώς συναρτήσεις ()= -2 και v()= +. 9.9) Έστω δύο ΑΔ F και F 2 με συναρτήσεις βαθμού συμμετοχής (α) Να δείξετε στο επίπεδο τις γραφικές παραστάσεις των ΑΔ F και F 2. (β) Να υπολογίσετε την μετρική απόσταση D (F,F 2 ). (γ) Να υπολογίσετε τους βαθμούς διάταξης (F,F 2 ) και (F,F 2 ). (δ) Επαναλάβετε τα παραπάνω ερωτήματα με τις συναρτήσεις ()= ln(/) και v()= /(+e - ). 9.) Έστω δύο ΑΔ F και F 2 με συναρτήσεις βαθμού συμμετοχής 2 2 2, αν 3 24, αν 4 6 f και f2,, αλλιώς, αλλιώς αντίστοιχα. Θεωρείστε τις δύο γραμμικές συναρτήσεις ()= - και v()= 2+. (α) Να δείξετε στο επίπεδο τις γραφικές παραστάσεις των ΑΔ F και F 2. (β) Να υπολογίσετε την μετρική απόσταση D (F,F 2 ). (γ) Να υπολογίσετε τους βαθμούς διάταξης (F,F 2 ) και (F,F 2 ). (δ) Επαναλάβετε τα παραπάνω ερωτήματα με τις συναρτήσεις ()= e - και v()= ln(). 9.) Έστω δύο τραπεζοειδείς ΑΔ F και F 2 με συναρτήσεις βαθμού συμμετοχής, αν 2 6, αν 6 7 f, αν 2 3 και f2, αν 7, αντίστοιχα..5 2.5, αν 3 5.5 6, αν 2 Θεωρείστε τις δύο γραμμικές συναρτήσεις ()= -2+ και v()= +. (α) Να δείξετε στο επίπεδο τις γραφικές παραστάσεις των ΑΔ F και F 2. (β) Να υπολογίσετε την μετρική απόσταση D (F,F 2 ). (γ) Να υπολογίσετε τους βαθμούς διάταξης (F,F 2 ) και (F,F 2 ). (δ) Επαναλάβετε τα παραπάνω ερωτήματα με τις συναρτήσεις ()= e - και v()= ln(). 9-2

9.2) Έστω ένας τριγωνικός ΑΔ F και ένας τραπεζοειδής ΑΔ F 2. Η συνάρτηση βαθμού συμμετοχής του 2, αν.5 F είναι f 5, ενώ η συνάρτηση βαθμού συμμετοχής του F 2 είναι, αν 5 4 4.5 3, αν 6 8 f2, αν 8. Θεωρήστε τις συναρτήσεις ()= -2+ και v()= e., αν (α) Να δείξετε στο επίπεδο τις γραφικές παραστάσεις των δύο ΑΔ F και F 2. (β) Να υπολογίσετε τη μετρική απόσταση D (F,F 2 ). (γ) Να υπολογίσετε τους βαθμούς διάταξης (F,F 2 ) και (F,F 2 ). 9.3) Δίδονται οι ΑΔ F, F 2, F 3 και F 4 με συναρτήσεις βαθμού συμμετοχής 2 2, αν.5 2, αν 5 6.5 3 3 3 3 f, f2, 2 7 2 6, αν 2 3.5, αν 6.5 8 3 3 3 3 9, αν 4.5 6.5.5, αν 2 f3 και f4 2 4, αντίστοιχα. Θεωρήστε.5 2, αν 2 4 7, αν 6.5 8.5 2 4 τις δύο γραμμικές συναρτήσεις ()= -2 και v()= 3+2. (α) Να δείξετε στο επίπεδο τις γραφικές παραστάσεις των ΑΔ F, F 2, F 3 και F 4. (β) Να υπολογίσετε τις μετρικές αποστάσεις D (F,F 2 ) και D (F 3,F 4 ). (γ) Να υπολογίσετε τους βαθμούς διάταξης (F,F 2 ) και (F 3,F 4 ). (δ) Συγκρίνετε και σχολιάστε τα αποτελέσματα του (β) ερωτήματος, καθώς και τα αποτελέσματα του (γ) ερωτήματος. 9.4) Δίδονται οι ΑΔ F, F 2, F 3 και F 4 με συναρτήσεις βαθμού συμμετοχής 2 2, αν.5 2, αν 5 6.5 3 3 3 3 f, f2, 2 7 2 6, αν 2 3.5, αν 6.5 8 3 3 3 3 9, αν 4.5 6.5.5, αν 2 f3 και f4 2 4, αντίστοιχα. Θεωρήστε.5 2, αν 2 4 7, αν 6.5 8.5 2 4 τις δύο μη-γραμμικές συναρτήσεις ()= e -/2 και v()= e 2+. (α) Να δείξετε στο επίπεδο τις γραφικές παραστάσεις των ΑΔ F, F 2, F 3 και F 4. (β) Να υπολογίσετε τις μετρικές αποστάσεις D (F,F 2 ) και D (F 3,F 4 ). (γ) Να υπολογίσετε τους βαθμούς διάταξης (F,F 2 ) και (F 3,F 4 ). (δ) Συγκρίνετε και σχολιάστε τα αποτελέσματα του (β) ερωτήματος, καθώς και τα αποτελέσματα του (γ) ερωτήματος. 9-2

9.5) Να υπολογιστεί η μετρική απόσταση D (F,E) μεταξύ των δύο παραβολικών ασαφών αριθμών F = F(h) = [a h,b h ], h[,] και E = E(h) = [c h,d h ], h[,] που φαίνονται στο παρακάτω σχήμα, με ( ) και v( ). F E 2 4 6 9 2 9.6) Να υπολογιστεί η μετρική απόσταση D (F,E) μεταξύ των δύο τριγωνικών ασαφών αριθμών F = F(h) = [a h,b h ], h(,] και E = E(h) = [c h,d h ], h(,] του παρακάτω σχήματος, με ( ) και v( ). F E 3 4 6 9.7) Έστω D (F,E) η μετρική απόσταση μεταξύ των δύο τριγωνικών ασαφών αριθμών F = F(h) = [a h,b h ], h[,] και E = E(h) = [c h,d h ], h[,] του παρακάτω σχήματος, με ( ) και, k v ( ) k k. Να υπολογιστεί η θέση k > της κορυφής του Ε, ώστε D (F,E) = 2.5. F E 2 5 k- k k+2 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ln ah b a dh ah b C 2 ( ah b) ah bdh C 3a 3 9-22

Βιβλιογραφία Κεφαλαίου Alefeld, G. & Herzberger, J. (983). Introduction to Interval Computation. ew York, Y: Academic Press. Davey, B.A. & Priestley, H.A. (99). Introduction to Lattices and Order. Cambridge, UK: Cambridge University Press. Dietterich, T.G., Lathrop, R.H. & Lozano-Perez, T. (997). Solving the multiple-instance problem with aisparallel rectangles. Artificial Intelligence, 89(-2), 3-7. Duda, R.O., Hart, P.E. & Stork, D.G. (2). Pattern Classification. 2 nd ed. ew York,.Y.: John Wiley & Sons, Inc.. Kaburlasos, V.G. (24). FIs: lattice theoretic tools for improving prediction of sugar production from populations of measurements. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics Part B, 34(2), 7-3. Kaburlasos, V.G. (26). Towards a Unified Modeling and Knowledge-Representation Based on Lattice Theory. Heidelberg, Germany: Springer, series: Studies in Computational Intelligence, 27. Kaburlasos, V.G. & Kehagias, A. (26). ovel fuzzy inference system (FIS) analysis and design based on lattice theory. part I: working principles. International Journal of General Systems, 35(), 45-67. Kaburlasos, V.G. & Kehagias, A. (24). Fuzzy inference system (FIS) etensions based on lattice theory. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 22(3), 53-546. Kaburlasos, V.G. & Pachidis, T. (24). A Lattice-Computing ensemble for reasoning based on formal fusion of disparate data types, and an industrial dispensing application. Information Fusion, 6, 68-83. Kaburlasos, V.G. & Papadakis, S.E. (26). Granular self-organizing map (grsom) for structure identification. eural etworks, 9(5), 623-643. Kaburlasos, V.G. & Papadakis, S.E. (29). A granular etension of the fuzzy-artmap (FAM) neural classifier based on fuzzy lattice reasoning (FLR). eurocomputing, 72(-2), 267-278. Kaburlasos, V.G. & Papakostas, G.A. (25). Learning distributions of image features by interactive fuzzy lattice reasoning (FLR) in pattern recognition applications. IEEE Computational Intelligence Magazine, (3), 42-5. Kaburlasos, V.G., Papadakis, S.E. & Amanatiadis, A. (22). Binary image 2D shape learning and recognition based on lattice computing (LC) techniques. Journal of Mathematical Imaging and Vision, 42(2-3), 8-33. Kaburlasos, V.G., Papakostas, G.A., Pachidis, T. & Athinellis, A. (23). Intervals numbers (Is) interpolation /etrapolation. In Proceedings of the IEEE International Conference on Fuzzy Systems (FUZZ-IEEE 23), Hyderabad, India, 7- July. Kaufmann, A. & Gupta, M.M. (985). Introduction to Fuzzy Arithmetic Theory and Applications. ew York, Y: Van ostrand Reinhold. Kleinbaum, D.G. & Klein, M. (22). Logistic Regression A Self-Learning Tet. (2 nd ed.) (Statistics for Biology and Health). ew York, Y: Springer Science. Long, P.M. & Tan, L. (998). PAC learning ais-aligned rectangles with respect to product distributions from multiple-instance eamples. Machine Learning, 3(), 7-2. Luemburg, W.A.J. & Zaanen, A.C. (97). Riesz Spaces. Amsterdam, The etherlands: orth-holland. Mendel, J.M., Hagras, H. & John, R.I. (Eds.) (23). Special issue on: Type-2 fuzzy sets and systems. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2(3), 397-398. Moore, R.E. (979). Methods and Applications of Interval Analysis. Philadelphia, PA: SIAM Studies in Applied Mathematics. Moore, R. & Lodwick, W. (23). Interval analysis and fuzzy set theory. Fuzzy Sets and Systems, 35(), 5-9. Papadakis, S.E. & Kaburlasos, V.G. (2). Piecewise-linear approimation of nonlinear models based on probabilistically/possibilistically interpreted Intervals umbers (Is). Information Sciences, 8(24), 56-576. Ralescu, A.L. & Ralescu, D.A. (984). Probability and fuzziness. Information Sciences, 34(2), 85-92. Salzberg, S. (99). A nearest hyperrectangle learning method. Machine Learning, 6(3), 25-276. Samet, H. (988). Hierarchical representations of collections of small rectangles. ACM Computing Surveys, 2(4), 27-39. Tanaka, H. & Lee, H. (998). Interval regression analysis by quadratic programming approach. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 6(4), 473-48. 9-23