ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Μεταπτυχιακό πρόγραμμα ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Κατεύθυνση: ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Η συνεισφορά των ψηφιακών μοντέλων τοπογραφίας στον υπολογισμό αναγωγών σχετικών με το πεδίο βαρύτητας της Γης Πέτρος Τ. Παπαγεωργίου Επιβλέπων καθηγητής: Ηλίας Ν. Τζιαβός Θεσσαλονίκη 2008
ii
Πρόλογος Τον Φεβρουάριο του 2000 πραγματοποιήθηκε η διαστημική αποστολή με την κωδική ονομασία SRTM (Shuttle Radar Topographic Mission). Η αποστολή αυτή οδήγησε στην δημιουργία ενός παγκόσμιου ψηφιακού μοντέλου τοπογραφίας διακριτικής ικανότητας 3" (περίπου 90 m). Στον ελλαδικό χώρο ωστόσο μέχρι και σήμερα, τα υψηλής ανάλυσης μοντέλα τοπογραφίας κατασκευάζονται αποκλειστικά από την Γεωγραφική Υπηρεσία Στρατού (ΓΥΣ). Το μοντέλο της ΓΥΣ που είναι σήμερα διαθέσιμο για πολιτική χρήση, έχει διακριτική ικανότητα 15" (περίπου 500 m). Υπάρχει επίσης ένα ακόμη ψηφιακό μοντέλο εδάφους της ΓΥΣ, ανάλυσης 100 m, το οποίο όμως χρησιμοποιείται μόνο για στρατιωτικούς σκοπούς. Τα μοντέλα αυτά έχουν προέλθει από ψηφιοποίηση τοπογραφικών χαρτών και επομένως η ακρίβεια τους σε πολλές περιπτώσεις μπορεί να διαφέρει, ενώ άλλοτε να είναι άγνωστη. Για να προσδιοριστεί το γεωειδές σε πλέγμα μικρής ισοδιάστασης, 30" 1' (περίπου 1 km 2 km), είναι απαραίτητο να χρησιμοποιείται ένα ψηφιακό μοντέλο εδάφους μεγάλης διακριτικής ικανότητας για τον υπολογισμό της επίδρασης της τοπογραφίας στις ανωμαλίες βαρύτητας και της έμμεσης επίδρασης στα υψόμετρα του γεωειδούς. Σε περίπτωση όμως που ένα τέτοιο μοντέλο δεν είναι διαθέσιμο και χρησιμοποιείται κάποιο άλλο μικρότερης διακριτικής ικανότητας, τότε έχουμε απώλεια χρήσιμης πληροφορίας με αποτέλεσμα να μην επιτυγχάνεται η επιθυμητή ακρίβεια στον προσδιορισμό του γεωειδούς. Στην συγκεκριμένη εργασία αξιολογείται αρχικά το μοντέλο SRTM ως προς την ακρίβεια και αξιοπιστία των δεδομένων του, μέσα από συγκρίσεις με το μοντέλο της ΓΥΣ αλλά και με άλλα παγκόσμια μοντέλα όπως το GLOBE, ETOPO2, ETOPO5 και το SRTM30_plus που περιέχει και βαθυμετρικά δεδομένα. Όπου το SRTM παρουσιάζει ελλείψεις δεδομένων διορθώνεται-συμπληρώνεται χρησιμοποιώντας τιμές από το μοντέλο της ΓΥΣ. Αποτέλεσμα της διαδικασίας αυτής είναι να δημιουργηθεί ένα νέο μοντέλο, το SRTMG08. Στην συνέχεια το νέο αυτό μοντέλο χρησιμοποιείται για να υπολογιστούν οι διάφοροι τύποι τοπογραφικών αναγωγών και όλα τα αποτελέσματα συγκρίνονται με αυτά που προκύπτουν από μοντέλα ΓΥΣ, GLOBE, ETOPO2, ETOPO5 και SRTM30_plus για να εξαχθούν τα απαραίτητα συμπεράσματα. iii
iv
Extended Abstract Products from satellite missions always give big benefits to countries all over the world that are using them. The Shuttle Radar Topographic Mission (SRTM) is one of them. Its product, a high resolution digital terrain model (DTM) of 3 arcsec (90 m), was a model that become available for Greece for various uses. Until today, the only high resolution DTMs that were available for Greece were produced by the Hellenic Military Geographic Service (HMGS). They have various resolutions but the finest of them, the one of the 100 m, is not yet available and it is only being used for military purposes. These DTMs are produced by digitizing topographic maps and therefore their accuracy may sometimes be unknown or not so reliable. The need of a very high resolution DTM is necessary when a high resolution, e.g., 0.5 1 arcmin geoid has to be computed. If this can not be done and a coarser DTM is used then the results of the topographic effects are likely to be aliased due to the insufficient topographic information used for the computations. Digital Terrain Models (DTMs) are very important in studies that have to do with gravity field, because they provide the high frequency content of the gravity field spectrum. These DTMs are nowadays widely available for geoid and gravity field approximation, due the continuous launch of new altimetric and gravity field satellite missions. In several countries around the world though, the DTMs are not widely available because they are produced by geodetic/cartographic agencies and are related to confidential issues. Moreover, the DTMs available are not homogeneous because they are derived by a merging of available height data. On the contrary, SRTM was launched on-board space shuttle Endeavour and collected data of the Earth s topography in global scale and with homogeneous coverage. This had as result the distribution of a global 3" (roughly 90 m) SRTM DTM by NASA and the National Geospatial Intelligence Agency (NGA). The first main goal of the present thesis is the validation of the SRTM 3" DTM over the area under study. This is achieved through comparisons with a national DTM produced by the Hellenic Military Geographic Service (HMGS). Due to the lack of data of the SRTM model, a new model called SRTMG08 was generated for the area under study. Another objective is the evaluation of the generated SRTMG08 DTM, against the national DTM and other global models by estimating the contribution of all models to gravity anomalies and geoid heights through a number of terrain reduction techniques. v
Extended Abstract The SRTM mission took place in February 11-20, 2000 on-board space shuttle Endeavour. The main instrumentation was a space borne imaging radar modified with a mast like the one used in the International Space station and an antenna, so that a 60 m long interferometer could be formed. The SRTM data cover 80% of Earth s total land between 60 north to 54 south. The data for the area under study, between 40º φ 41º and 22º λ 24º, were downloaded from the US Geological Survey (USGS) ftp site and consisted of a total number of 2883601 elevations and 28468 undefined elevations which represent 0.98% of the total dataset. The undefined elevations were mainly located in coastal areas and over river basins. The SRTM data are referenced to the EGM96 geopotential model and the horizontal datum is the WGS84. The national DTM obtained from HMGS has a 15" ( 500 m) resolution and is generated from the digitization of 1:50,000 topographic maps. This the standard set of heights available in Greece for surveying and engineering applications. It covers the entire country and the heights provided have a formal vertical accuracy of 20 m. A higher resolution DTM (100 m) exists but is not available to the public and is only for military use. Moreover, the GLOBE, ETOPO2, ETOPO5 and SRTM30_plus DTMs were used as well, in order to investigate and validate their performance in the area under study. GLOBE is a 30" global DTM generated from a mosaic of vector and raster data sources. The horizontal datum used is WGS84 and the accuracy of the data for Greece is at the 30 m level. ETOPO5 DTM is a globe model of 5 (about 9 km) resolution and is the predecessor of the ETOPO2 DTM. The ETOPO2 is a 2 (about 3.7 km) global DTM and is generated by assimilating a number of other DTMs and digital depth models (DDMs). The models that were used in the determination of ETOPO2 were GLOBE, ETOPO5, DBDB5, DBDV and the Sandwell and Smith DDM. Its horizontal datum is also the WGS84. Finally the SRTM30_plus is a 30" (about 1 km) resolution with global coverage. This model combines land and bathymetric data. The data that concerns the land masses are obtained from the SRTM DTM. The bathymetric data are based on a 2 resolution grid of Sandwell and Smith. Furthermore, other grids that are based on the LDEO Ridge Multibeam Synthesis Project and the NGDC Coastal Relief Model (Sandwell and Becker 2004) have been used. vi
Extended abstract The first step of the present thesis is the validation of the SRTM DTM with comparisons against HMGS DTM and the correction in areas where gaps in the data exist. In the area under study there is no roof effect present in the data so this leads to the absence of bias between the two models. Thus, for the construction of the corrected SRTM dataset, the only processing done was to fill in the existing gaps in the data with heights predicted from HMGS using spline interpolation. So the SRTMG08 (SRTM Greece 2008) DTM was generated. For both SRTM and SRTMG08 models, the larger differences with HMGS are located over the mountain Olimpos. Nevertheless, these comparisons also give evidence that the SRTM DTM presents a realistic picture of the topography in the area under study. All available DTMs were used to estimate various types of topographic corrections on gravity anomalies, geoid heights and deflections of the vertical. These computations help in investigating the performance of the SRTM DTM and its implications to gravity field and geoid modelling. Also, the loss of detail when using coarser in resolution DTMs was studied. This phenomenon is called aliasing effects. This procedure is achieved by constructing lower resolution DTMs. So from the SRTMG08 DTM five new lower resolution DTMs were constructed at resolutions of 15", 30", 1', 2' and 5'. The topographic effects on gravity and the geoid computed are (a) full topographic effects, i.e., the combined effect of the Bouguer and terrain corrections, (b) terrain correction (TC) effects, (c) residual terrain model effects and (d) isostatic effects using the Airy/Heiskanen model. Indirect effects on the geoid are also computed. From the results of all these estimations it can be easily observed that SRTM DTM is very accurate, at least for the area under study. This happens because the topographic effects on gravity anomalies and geoid heights are very close to those estimated using the national HMGS model. As a result the 3" SRTM DTM is a valuable model and can be used for gravity field and geoid determination even at national scales, where higher resolution national models may be not available. The results of the other global models that were examined lead to the fact that GLOBE is a good model and can be used for global geoid determination but in comparison with the SRTM DTM, it is of a little use. Satisfying results are concluded from the ETOPO2 although is a much coarser model than the SRTM and ETOPO5 gives far more disappointing results. Still, the SRTM30_plus gives very good results vii
Extended Abstract in comparison with the SRTM DTM. This is probably due to the fact that SRTM30_plus is constructed from SRTM DTM data as well. Finally, from the study of the aliasing effects, it can be concluded that the use of a DTM with resolution lower than 15" is prohibitive, if a high accuracy geoid determination is needed. A very interesting goal would be to extend the present study in a larger part of the country in order to validate and investigate the SRTM DTM performance at a national scale. viii
Ευχαριστίες Στο σημείο αυτό θα ήθελα να εκφράσω τις ευχαριστίες μου προς αυτούς που με στήριξαν και με βοήθησαν κατά τη διάρκεια εκπόνησης της εργασίας αυτής. Αρχικά οφείλω να ευχαριστήσω τον καθηγητή μου κ. Ηλία Τζιαβό για την διαρκή συμπαράσταση, καθοδήγηση αλλά και εμπιστοσύνη που μου έδειξε τόσο κατά την προπτυχιακή αλλά και κατά την μεταπτυχιακή διπλωματική μου εργασία. Οι συμβουλές του και οι προτάσεις του βοήθησαν κατά την εξέλιξη και ολοκλήρωση της παρούσας εργασίας. Επίσης θα ήθελα να ευχαριστήσω: Τον λέκτορα κ. Γιώργο Βέργο για το έντονο ενδιαφέρον που έδειξε αλλά και τη συνεχή υποστήριξη και βοήθεια καθ όλο το χρονικό διάστημα εκπόνησης της εργασίας. Τους γονείς μου Θεοδώρα και Τιμολέων καθώς και την αδερφή μου Κατερίνα για την συμπαράσταση και στοργή που μου δείχνουν όλα αυτά τα χρόνια. Τέλος, την Λαμπρινή για την υπομονή της αλλά και το κουράγιο που μου έδινε κατά τη διάρκεια των μεταπτυχιακών μου σπουδών. ix
x
Περιεχόμενα Πρόλογος... Extended abstract... Ευχαριστίες... Περιεχόμενα... Κατάλογος πινάκων... Κατάλογος σχημάτων... Συντομογραφίες... iii v ix xi xiii xvii xxi 1. Εισαγωγή... 1 1.1 Σκοπός της εργασίας... 2 1.2 Δομή της εργασίας... 3 2. Το πεδίο βαρύτητας... 5 2.1 Γενικές έννοιες για το πεδίο βαρύτητας... 5 2.1.1 Συνιστώσες του πεδίου βαρύτητας... 10 2.1.2 Συστήματα υψών... 14 2.2 Η επίδραση της τοπογραφίας στις συνιστώσες του πεδίου βαρύτητας. 17 2.2.1 Τοπογραφικές αναγωγές... 18 2.3 Το φαινόμενο της παραποίησης (aliasing effect)... 29 3. Ψηφιακά μοντέλα εδάφους... 31 3.1 Ο ρόλος των Ψηφιακών Μοντέλων Εδάφους στη μελέτη του πεδίου βαρύτητας.... 31 3.2 Τα μοντέλα SRTM και SRTM30_plus... 32 3.3 Το μοντέλο GLOBE... 35 3.4 Τα μοντέλα ΕΤΟΡΟ2 και ΕΤΟΡΟ5... 38 3.5 Το μοντέλο της ΓΥΣ... 39 3.6 Τα ψηφιακά μοντέλα εδάφους στην περιοχή μελέτης... 40 3.6.1 Διόρθωση του SRTM... 47 3.6.2 Δημιουργία μοντέλων SRTM χαμηλότερης ανάλυσης... 49 3.6.3 Σύγκριση μοντέλων... 50 xi
4. Αριθμητικά αποτελέσματα... 53 4.1 Η επίδραση των Ψηφιακών Μοντέλων Εδάφους στις ανωμαλίες βαρύτητας... 54 4.1.1 Αναγωγή με τη σφαιρική πλάκα Bouguer... 54 4.1.2 Τοπογραφικές διορθώσεις στις ανωμαλίες βαρύτητας... 55 4.1.3 RTM αναγωγή των ανωμαλιών βαρύτητας... 58 4.1.4 Ισοστατική αναγωγή των ανωμαλιών βαρύτητας με το μοντέλο Airy/Heiskanen... 61 4.1.5 Σύγκριση των μεθόδων αναγωγής... 62 4.2 Η επίδραση των Ψηφιακών Μοντέλων Εδάφους στα υψόμετρα του γεωειδούς... 64 4.2.1 Η επίδραση της αναγωγής Bouguer στα υψόμετρα του γεωειδούς... 65 4.2.2 Η επίδραση της τοπογραφικής διόρθωσης στα υψόμετρα του γεωειδούς... 65 4.2.3 Η επίδραση της αναγωγής RTM στα υψόμετρα του γεωειδούς... 68 4.2.4 Η επίδραση της ισοστατικής αναγωγής στα υψόμετρα του γεωειδούς... 70 4.2.5 Έμμεση επίδραση στα υψόμετρα του γεωειδούς... 72 4.3 Η επίδραση των Ψηφιακών Μοντέλων Εδάφους στις αποκλίσεις κατακορύφου... 73 4.4 Διερεύνηση του φαινομένου της παραποίησης (aliasing effects)... 75 4.4.1 Επιδράσεις στις ανωμαλίες βαρύτητας... 76 4.4.2 Επιδράσεις στα υψόμετρα του γεωειδούς... 81 5. Συμπεράσματα... 89 Βιβλιογραφία... 93 xii
Κατάλογος πινάκων Πίνακας 3.1 Η ισοδιάσταση του GLOBE κατά παράλληλο... 36 Πίνακας 3.2 Χαρακτηριστικά των DTM στην περιοχή μελέτης... 40 Πίνακας 3.3 Στατιστική του μοντέλου SRTMG08... 41 Πίνακας 3.4 Στατιστική του μοντέλου της ΓΥΣ... 42 Πίνακας 3.5 Στατιστική του μοντέλου της GLOBE... 43 Πίνακας 3.6 Στατιστική του μοντέλου ETOPO2... 44 Πίνακας 3.7 Στατιστική του μοντέλου ETOPO5... 45 Πίνακας 3.8 Στατιστική του μοντέλου SRTM30_plus... 46 Πίνακας 3.9 Στατιστική του SRTM πριν και μετά τη διόρθωση και διαφορές από το ΓΥΣ... 48 Πίνακας 3.10 Στατιστική των SRTM μικρότερης ανάλυσης... 49 Πίνακας 3.11 Στατιστική των διαφορών μεταξύ των μοντέλων.... 50 Πίνακας 4.1 Αναγωγή Bouguer στις ανωμαλίες βαρύτητας... 54 Πίνακας 4.2 Διαφορές από την αναγωγή Bouguer στις ανωμαλίες βαρύτητας... 55 Πίνακας 4.3 Τοπογραφικές διορθώσεις στις ανωμαλίες βαρύτητας... 56 Πίνακας 4.4 Διαφορές από την τοπογραφική διόρθωση στις ανωμαλίες βαρύτητας... 57 Πίνακας 4.5 Η επίδραση της αναγωγής RTM στις ανωμαλίες βαρύτητας... 58 Πίνακας 4.6 Διαφορές από την αναγωγή RTM στις ανωμαλίες βαρύτητας.. 60 Πίνακας 4.7 Ισοστατική αναγωγή των ανωμαλιών βαρύτητας με το μοντέλο ΑΗ... 61 Πίνακας 4.8 Διαφορές από την ισοστατική αναγωγή με το μοντέλο ΑΗ... 61 Πίνακας 4.9 Αναγωγή Bouguer στα υψόμετρα γεωειδούς... 65 Πίνακας 4.10 Διαφορές στα υψόμετρα γεωειδούς από την αναγωγή Bouguer... 65 Πίνακας 4.11 Τοπογραφικές διορθώσεις στα υψόμετρα γεωειδούς... 66 Πίνακας 4.12 Διαφορές στα υψόμετρα γεωειδούς από την τοπογραφική διόρθωση... 67 Πίνακας 4.13 Αναγωγή RTM στα υψόμετρα γεωειδούς... 68 Πίνακας 4.14 Διαφορές στα υψόμετρα γεωειδούς από την RTM αναγωγή... 69 Πίνακας 4.15 Ισοστατική αναγωγή στα υψόμετρα γεωειδούς... 70 xiii
Πίνακας 4.16 Διαφορές στα υψόμετρα γεωειδούς από την ισοστατική αναγωγή... 72 Πίνακας 4.17 Έμμεση επίδραση στα υψόμετρα γεωειδούς... 72 Πίνακας 4.18 Η επίδραση της αναγωγής Bouguer στη συνιστώσα ξ... 74 Πίνακας 4.19 Η επίδραση της αναγωγής Bouguer στη συνιστώσα η... 74 Πίνακας 4.20 Η επίδραση της ισοστατικής αναγωγής στη συνιστώσα ξ... 74 Πίνακας 4.21 Η επίδραση της ισοστατικής αναγωγής στη συνιστώσα η... 74 Πίνακας 4.22 Η επίδραση της αναγωγής RTM στη συνιστώσα ξ... 74 Πίνακας 4.23 Η επίδραση της αναγωγής RTM στη συνιστώσα η... 75 Πίνακας 4.24 Η επίδραση της τοπογραφικής διόρθωσης στη συνιστώσα ξ... 75 Πίνακας 4.25 Η επίδραση της τοπογραφικής διόρθωσης στη συνιστώσα η... 75 Πίνακας 4.26 Η αναγωγή Bouguer για τα SRTM διαφόρων αναλύσεων... 76 Πίνακας 4.27 Φαινόμενο παραποίησης στις ανωμαλίες βαρύτητας από την αναγωγή Bouguer... 76 Πίνακας 4.28 Η τοπογραφική διόρθωση για τα SRTM διαφόρων αναλύσεων... 77 Πίνακας 4.29 Φαινόμενο παραποίησης στις ανωμαλίες βαρύτητας από την τοπογραφική διόρθωση... 78 Πίνακας 4.30 Η αναγωγή RTM για τα SRTM διαφόρων αναλύσεων... 78 Πίνακας 4.31 Φαινόμενο παραποίησης στις ανωμαλίες βαρύτητας από την RTM αναγωγή... 79 Πίνακας 4.32 Η ισοστατική αναγωγή για τα SRTM διαφόρων αναλύσεων... 80 Πίνακας 4.33 Φαινόμενο παραποίησης στις ανωμαλίες βαρύτητας από την ισοστατική αναγωγή... 80 Πίνακας 4.34 Η αναγωγή Bouguer για τα SRTM διαφόρων αναλύσεων... 82 Πίνακας 4.35 Φαινόμενο παραποίησης στα υψόμετρα γεωειδούς από την αναγωγή Bouguer... 82 Πίνακας 4.36 Η τοπογραφική διόρθωση για τα SRTM διαφόρων αναλύσεων... 83 Πίνακας 4.37 Φαινόμενο παραποίησης στα υψόμετρα γεωειδούς από την τοπογραφική διόρθωση... 83 Πίνακας 4.38 Η αναγωγή RTM για τα SRTM διαφόρων αναλύσεων... 83 Πίνακας 4.39 Φαινόμενο παραποίησης στα υψόμετρα γεωειδούς από την RTM αναγωγή... 84 xiv
Πίνακας 4.40 Η ισοστατική αναγωγή για τα SRTM διαφόρων αναλύσεων... 84 Πίνακας 4.41 Φαινόμενο παραποίησης στα υψόμετρα γεωειδούς από την ισοστατική αναγωγή... 84 Πίνακας 4.42 Η έμμεση επίδραση στα υψόμετρα του γεωειδούς για τα SRTM διαφόρων αναλύσεων... 84 xv
xvi
Κατάλογος σχημάτων Σχήμα 2.1 Το ελλειψοειδές εκ περιστροφής... 9 Σχήμα 2.2 Το αντισταθμισμένο γεωειδές (co-geoid)... 15 Σχήμα 2.3 Ορισμός του ορθομετρικού υψομέτρου... 16 Σχήμα 2.4 Τελουροειδές, σχεδόν γεωειδές και κανονικό υψόμετρο... 17 Σχήμα 2.5 Αναγωγή πλάκας Bouguer και αναγωγή τοπογραφικού αναγλύφου... 20 Σχήμα 2.6 Η αναγωγή σε σχέση με μια επιφάνεια αναφοράς... 24 Σχήμα 2.7 Το ισοστατικό μοντέλο Airy-Heiskanen... 26 Σχήμα 3.1 α) Η διάταξη των συσκευών λήψης β) Η σάρωση της γήινης επιφάνειας για τη δημιουργία στερεοσκοπικής εικόνας... 33 Σχήμα 3.2 Η ζώνη κάλυψης της γήινης επιφάνειας... 34 Σχήμα 3.3 Το παγκόσμιο ψηφιακό μοντέλο GLOBE... 37 Σχήμα 3.4 Το μοντέλο GLOBE για την Ευρώπη... 38 Σχήμα 3.5 Η συνεισφορά διαφόρων μοντέλων υψομετρίας και βαθυμετρίας στο ΕΤΟΡΟ2... 39 Σχήμα 3.6 Το μοντέλο SRTMG08 στην περιοχή μελέτης... 41 Σχήμα 3.7 Το μοντέλο της ΓΥΣ στην περιοχή μελέτης... 42 Σχήμα 3.8 Το μοντέλο GLOBE στην περιοχή μελέτης... 43 Σχήμα 3.9 Το μοντέλο ΕΤΟΡΟ2 στην περιοχή μελέτης... 44 Σχήμα 3.10 Το μοντέλο ΕΤΟΡΟ5 στην περιοχή μελέτης... 45 Σχήμα 3.11 Το μοντέλο SRTM30_plus στην περιοχή μελέτης... 46 Σχήμα 3.12 Το αρχικό και το διορθωμένο SRTM... 47 Σχήμα 3.13 Οι διαφορές μεταξύ SRTM και ΓΥΣ πριν και μετά τη διόρθωση του SRTM... 48 Σχήμα 3.14 SRTM χαμηλότερης ανάλυσης... 50 Σχήμα 3.15 Ιστογράμματα των διαφορών ανάμεσα στα μοντέλα SRTMG08- ΓΥΣ, SRTMG08-GLOBE, SRTMG08-ETOPO2, SRTMG08-ETOPO5, SRTMG08-SRTM30_plus... 52 xvii
Σχήμα 4.1 Τοπογραφικές διορθώσεις στις ανωμαλίες βαρύτητας... 56 Σχήμα 4.2 Οι διαφορές στις ανωμαλίες βαρύτητας από την τοπογραφική διόρθωση μεταξύ SRTMG08 και ΓΥΣ... 57 Σχήμα 4.3 Η αναγωγή RTM στις ανωμαλίες βαρύτητας... 59 Σχήμα 4.4 Οι διαφορές στις ανωμαλίες βαρύτητας από την αναγωγή RTM μεταξύ SRTMG08 και ΓΥΣ... 60 Σχήμα 4.5 Οι τέσσερις τύποι αναγωγών βαρύτητας για το SRTMG08... 62 Σχήμα 4.6 Η συσχέτιση των αναγωγών βαρύτητας με τη τοπογραφία για το SRTMG08... 63 Σχήμα 4.7 Η επίδραση της τοπογραφικής διόρθωσης στα υψόμετρα του γεωειδούς... 67 Σχήμα 4.8 Οι διαφορές στα υψόμετρα του γεωειδούς μεταξύ SRTMG08 και ΓΥΣ από την τοπογραφική διόρθωση... 67 Σχήμα 4.9 Η επίδραση της αναγωγής RTM στα υψόμετρα του γεωειδούς... 69 Σχήμα 4.10 Οι διαφορές στα υψόμετρα του γεωειδούς μεταξύ SRTMG08 και ΓΥΣ από την αναγωγή RTM... 70 Σχήμα 4.11 Η επίδραση της ισοστατικής αναγωγής στα υψόμετρα του γεωειδούς... 71 Σχήμα 4.12 Η έμμεση επίδραση στα υψόμετρα του γεωειδούς... 73 Σχήμα 4.13 Φαινόμενο παραποίησης στις ανωμαλίες βαρύτητας από την αναγωγή Bouguer... 77 Σχήμα 4.14 Οι διαφορές στις ανωμαλίες βαρύτητας από την τοπογραφική διόρθωση μεταξύ των μοντέλων SRTM3" και SRTM15" και των SRTM3" και SRTM5'... 78 Σχήμα 4.15 Οι διαφορές στις ανωμαλίες βαρύτητας από την αναγωγή RTM μεταξύ των μοντέλων SRTM3" και SRTM15" και των SRTM3" και SRTM5'... 79 Σχήμα 4.16 Οι διαφορές στις στατιστικές ποσότητες μεταξύ του SRTM3" και των SRTM χαμηλότερης ανάλυσης για τις ανωμαλίες βαρύτητας... 81 Σχήμα 4.17 Η μεταβολή της έμμεσης επίδρασης στα υψόμετρα του γεωειδούς από το SRTM3" στο SRTM5'... 85 xviii
Σχήμα 4.18 Σχήμα 4.19 Οι διαφορές στις στατιστικές ποσότητες μεταξύ του SRTM3" και των SRTM χαμηλότερης ανάλυσης για τα υψόμετρα του γεωειδούς... 86 Φαινόμενο παραποίησης στα υψόμετρα του γεωειδούς για την τοπογραφική διόρθωση... 87 xix
xx
Συντομογραφίες ΑΗ Airy/Heiskanen GLOBE Global Land One-kilometer Base Elevation GMT Generic Mapping Tools GPS Global Positioning System DBDBV Digital Bathymetric Data Base, Variable-resolution DBDB5 Digital Bathymetric Data Base 5 minute DDM Digital Density Model DEM Digital Elevation Model DTM Digital Terrain Model EGM96 Earth Geopotential Model 1996 IAG International Association of Geodesy IBCAO International Bathymetric Chart of the Artic Ocean JPL Jet Propulsion Laboratory NASA National Aeronautics and Space Administration NGA National Geospatial-Intelligence Agency NGDC National Geophysical Data Center RCR Remove-Compute-Restore RTM Residual Terrain Model SRTM Shuttle Radar Topography Mission SRTMG08 Shuttle Radar Topography Mission Greece 2008 TC Terrain Corrections UCL University College of London USGS United States Geological Survey WGS84 World Geodetic System 1984 ΓΥΣ ΕΕΠ ΗΠΑ Γεωγραφική Υπηρεσία Στρατού Ελλειψοειδές Εκ Περιστροφής Ηνωμένες Πολιτείες Αμερικής xxi
xxii
Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Τα ψηφιακά μοντέλα εδάφους έχουν σχετικά σημαντική επίδραση σε εφαρμογές σχετικές με τη μελέτη του πεδίου βαρύτητας, καθώς περιέχουν τις υψηλές συχνότητες (μικρά μήκη κύματος) στο φάσμα του πεδίου βαρύτητας. Στην δημιουργία και στην εξέλιξη τέτοιων μοντέλων βοήθησαν κατά πολύ οι δορυφορικές αποστολές που έχουν γίνει τα τελευταία χρόνια και που έχουν οδηγήσει στη συλλογή νέων, μεγαλύτερης διακριτικής ικανότητας δεδομένων. Είναι σαφές λοιπόν ότι τα ψηφιακά μοντέλα εδάφους που χρησιμοποιούνται για τη μελέτη του πεδίου βαρύτητας και τον προσδιορισμό του γεωειδούς, πρέπει να χαρακτηρίζονται από υψηλή ακρίβεια και ανάλυση. Σε πολλές χώρες, όπως και στην Ελλάδα υπάρχουν υψηλής ανάλυσης μοντέλα τοπογραφίας που όμως δεν είναι διαθέσιμα για τα το ευρύ κοινό καθώς χρησιμοποιούνται για στρατιωτικούς σκοπούς. Επίσης τα διαθέσιμα μοντέλα εδάφους, σε πολλές περιπτώσεις δεν χαρακτηρίζονται από ενιαία ακρίβεια, καθώς προέρχονται από τη συγχώνευση προγενέστερων υψομετρικών δεδομένων. Μια σημαντική δορυφορική αποστολή που έλαβε χώρα το Φεβρουάριο του 2000, ήταν η αποστολή με κωδική ονομασία SRTM (Shuttle Radar Topography Mission). Σκοπός της αποστολής αυτής ήταν η λεπτομερής χαρτογράφηση του πλανήτη. Μέσα σε έντεκα ημέρες συγκέντρωσε πληθώρα υψομετρικών δεδομένων, σε παγκόσμια κλίμακα και με ομοιογενή κάλυψη. Αποτέλεσμα ήταν η έκδοση ενός παγκόσμιου ψηφιακού μοντέλου εδάφους από τη διαστημική υπηρεσία των Ηνωμένων Πολιτειών Αμερικής (NASA) και την εθνική υπηρεσία διαχείρισης γεωδεδομένων (National Geospatial-Intelligence NGA), διακριτικής ικανότητας 3" (περίπου 90 m). Ένα τέτοιο μοντέλο τοπογραφίας περιέχει σημαντική πληροφορία για
2 Εισαγωγή εφαρμογές της φυσικής γεωδαισίας, όπως η μελέτη του πεδίου βαρύτητας και ο προσδιορισμός του γεωειδούς σε τοπική αλλά και παγκόσμια κλίμακα. 1.1 Σκοπός της εργασίας Προγράμματα σε Η/Υ Πρωταρχικός σκοπός της εργασίας είναι ο έλεγχος του ψηφιακού μοντέλου εδάφους SRTM ως προς την ακρίβεια και την αξιοπιστία των δεδομένων του για τον ελλαδικό χώρο. Έτσι λοιπόν το μοντέλο SRTM συγκρίνεται με ένα μοντέλο της Γεωγραφικής Υπηρεσίας Στρατού (ΓΥΣ), διακριτικής ικανότητας 15" (περίπου 500 m) και τελικά προκύπτει ένα νέο διορθωμένο μοντέλο με ονομασία SRTMG08. Σε δεύτερο στάδιο γίνεται αξιολόγηση της συνεισφοράς του νέου μοντέλου SRTMG08 στη μελέτη του πεδίου βαρύτητας και τον προσδιορισμό του γεωειδούς σε σύγκριση με το εθνικό μοντέλο της ΓΥΣ και άλλων παγκόσμιων ψηφιακών μοντέλων. Τα παγκόσμια μοντέλα που χρησιμοποιούνται είναι το GLOBE (Global Land One-kilometer Base Elevation), ανάλυσης 30" (περίπου 1 km), το ΕΤΟΡΟ2, ανάλυσης 2 (περίπου 4 km), το ΕΤΟΡΟ5, ανάλυσης 5 (περίπου 10 km) και τέλος το SRTM30_plus που είναι ανάλυσης 30". Για την επίτευξη του σκοπού αυτού εκτιμήθηκε η συνεισφορά όλων των μοντέλων αυτών στις ανωμαλίες βαρύτητας και στα υψόμετρα του γεωειδούς μέσα από μια σειρά τοπογραφικών αναγωγών. Οι αναγωγές αυτές είναι η αναγωγή της σφαιρικής πλάκας Bouguer, η τοπογραφική διόρθωση, η αναγωγή με το μοντέλο της υπολειπόμενης τοπογραφίας (Residual Terrain Model RTM) και η ισοστατική αναγωγή με ο μοντέλο Airy/Heiskanen. Επίσης υπολογίστηκε και η έμμεση επίδραση στα υψόμετρα του γεωειδούς με τη δεύτερη μέθοδο συμπύκνωσης των τοπογραφικών μαζών κατά Helmert. Τέλος, ένας ακόμη σκοπός της εργασίας είναι να διαπιστωθεί κατά πόσο χάνεται χρήσιμη πληροφορία όταν χρησιμοποιείται ένα όχι και τόσο πυκνό ψηφιακό μοντέλο εδάφους (φαινόμενο παραποίησης aliasing effect), δημιουργώντας μοντέλα χαμηλότερης ανάλυσης, στα 15", 30", 1, 2 και 5, από τις τιμές του SRTMG08 και υπολογίζοντας άλλη μια φορά τις παραπάνω τοπογραφικές αναγωγές. Η περιοχή μελέτης της συγκεκριμένης εργασίας οριοθετείται από τις o o o o συντεταγμένες 40 φ 41 και 22 λ 24. Μπορεί να θεωρηθεί
Κεφάλαιο 1 3 αντιπροσωπευτική για τον ελλαδικό χώρο, καθώς εκτός από πεδινές περιοχές περιλαμβάνει και περιοχές με έντονο τοπογραφικό ανάγλυφο. Προγράμματα σε Η/Υ Για την επεξεργασία των μοντέλων και τους υπολογισμούς χρησιμοποιήθηκε μια σειρά προγραμμάτων σε Fortran77. Αναλυτικά, για τον υπολογισμό των τοπογραφικών αναγωγών χρησιμοποιήθηκε το πρόγραμμα TC (GRAVSOFT 1994) και για την έμμεση επίδραση το indirect (Li 1993). Για την επεξεργασία των υψομετρικών δεδομένων και τη δημιουργία νέων πλεγμάτων δύο διαστάσεων χρησιμοποιήθηκε τα προγράμματα tcgrid, geoip και geogrid (GRAVSOFT 1994). Όλα τα στατιστικά στοιχεία υπολογίστηκαν με το comdata (Li 1993) ενώ τα διαγράμματα και ιστογράμματα δημιουργήθηκαν με το Excel και Matlab6.1. Τέλος, η απόδοση όλων των γραφικών έγινε με τα Generic Mapping Tools GMT4.2.0 (Wessel and Smith 1998) 1.2 Δομή της εργασίας Η παρούσα μεταπτυχιακή εργασία με τίτλο Η συνεισφορά των ψηφιακών μοντέλων τοπογραφίας στον υπολογισμό αναγωγών σχετικών με το πεδίο βαρύτητας της Γης αποτελείται από πέντε κεφάλαια: α) Εισαγωγή, β) Το πεδίο βαρύτητας, γ) Ψηφιακά μοντέλα εδάφους, δ) Αριθμητικά αποτελέσματα, ε) Συμπεράσματα. Το πρώτο κεφάλαιο είναι εισαγωγικό και περιγράφει τους λόγους που οδήγησαν στην εκπόνηση της εργασίας αυτής καθώς και τους σκοπούς της. Ακολουθεί η δομή της εργασίας και αναφέρονται τα προγράμματα Η/Υ που χρησιμοποιήθηκαν για τους διάφορους υπολογισμούς. Στο δεύτερο κεφάλαιο αναλύονται κάποιες βασικές έννοιες του πεδίου βαρύτητας οι οποίες θεωρούνται απαραίτητες για την κατανόηση της εργασίας. Περιγράφονται το πραγματικό, το κανονικό και το διαταρακτικό πεδίο βαρύτητας, οι συνιστώσες του και τα συστήματα υψών. Επίσης αναλύονται οι τοπογραφικές αναγωγές που εφαρμόζονται στην εργασία αυτή και δίνονται όλοι οι σχετικοί τύποι. Στο τρίτο κεφάλαιο περιγράφονται το μοντέλο SRTM, το μοντέλο της ΓΥΣ και τα GLOBE, ETOPO2, ETOPO5 και SRTM30_plus καθώς και ο τρόπος
4 Εισαγωγή δημιουργίας αυτών και τα κύρια χαρακτηριστικά τους. Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα στατιστικά χαρακτηριστικά των μοντέλων αυτών και γίνονται οι απαραίτητες συγκρίσεις. Ακολουθεί η διόρθωση του μοντέλου SRTM με βάση το μοντέλο της ΓΥΣ και περιγράφεται η διαδικασία δημιουργίας νέων μοντέλων μικρότερης διακριτικής ικανότητας από το SRTM. Το τέταρτο κεφάλαιο περιλαμβάνει τα αριθμητικά αποτελέσματα της αναγωγής Bouguer, της τοπογραφικής διόρθωσης, της αναγωγής με το μοντέλο της υπολειπόμενης τοπογραφίας (Residual Terrain Modelling - RTM) και της ισοστατικής αναγωγής με το μοντέλο Airy/Heiskanen για τις ανωμαλίες βαρύτητας καθώς και οι επιδράσεις των αναγωγών αυτών στα υψόμετρα του γεωειδούς. Τέλος, ελέγχεται το φαινόμενο της παραποίησης (aliasing effect), όταν χρησιμοποιείται ένα μοντέλο χαμηλότερης διακριτικής ικανότητας. Στο πέμπτο κεφάλαιο σχολιάζονται τα αποτελέσματα του προηγούμενου κεφαλαίου και εξάγονται τα σχετικά συμπεράσματα.
Κεφάλαιο 2 Το πεδίο βαρύτητας 2.1 Γενικές έννοιες για το πεδίο βαρύτητας Η λέξη γεωδαισία είναι σύνθετη και αποτελείται από τις λέξεις Γη και δαίομαι (μοιράζω). Σήμερα η λέξη Γεωδαισία δεν χρησιμοποιείται με την ακριβή της έννοια (διαμερισμός της Γης), αλλά περιγράφει ένα σύνολο εφαρμογών που σχετίζονται και με άλλες επιστήμες, όπως η Γεωλογία, η Γεωφυσική και η Γεωδυναμική, που έχουν ως αντικείμενο μελέτης τους τόσο την ίδια τη Γη, όσο και παραμέτρους του πεδίου βαρύτητας της Γης που προσδιορίζονται επάνω ή έξω από τη Γη. Η επιστήμη της Γεωδαισίας και οι διάφοροι κλάδοι της ( Γεωμετρική Γεωδαισία, Φυσική Γεωδαισία), ασχολούνται από θεωρητική και πρακτική σκοπιά με τη μελέτη του σχήματος (μορφή) και του μεγέθους (διαστάσεις), όπως επίσης και με το πεδίο βαρύτητας της Γης. Για το λόγο αυτό η γήινη βαρύτητα αποτελεί παράγοντα εξαιρετικά σημαντικό στη θεωρία και τις εφαρμογές της Γεωδαισίας. Σύμφωνα με τον νόμο του Νεύτωνα κάθε μάζα Μ δημιουργεί ένα πεδίο δυνάμεων (βαρυτικό πεδίο) στην περιοχή που την περιβάλει. Το πεδίο αυτό υπάρχει ανεξάρτητα του αν υπάρχουν άλλες μάζες στην περιοχή του. Αυτό μπορεί να διαπιστωθεί πειραματικά πολύ εύκολα αν μέσα στην περιοχή δράσης της φέρουμε μια άλλη μάζα m. Σε αυτή τη μάζα θα ασκηθεί πάνω της μια ελκτική δύναμη. Με βάση το νόμο της παγκόσμιας έλξης (Newton 1687) «Η δύναμη που ασκείται μεταξύ δύο οποιωνδήποτε σημειακών μαζών m1 και m 2, οι οποίες απέχουν απόσταση l, είναι ελκτική με φορέα την ευθεία που ενώνει τις μάζες και μέτρο
6 Το πεδίο βαρύτητας mm 1 2 F = G (2.1) l 2 όπου G είναι η παγκόσμια σταθερά του Νεύτωνα και ίση με 8 3 1 2 ± cm g». (6.672 0.001) 10 sec Πραγματικό πεδίο βαρύτητας Η δύναμη της έλξης, όπως αυτή εκφράζεται από το νόμο του Νεύτωνα, επιδρά σε όλα τα σώματα που βρίσκονται στην επιφάνεια της Γης ή στον χώρο που την περιβάλλει. Τα σώματα όμως αυτά δέχονται και τις βαρυτικές επιδράσεις των υπολοίπων ουράνιων σωμάτων, ενώ υφίστανται και δυνάμεις εξαιτίας της περιστροφής της Γης, με αποτέλεσμα να εξασκείται σε αυτά μια φυγόκεντρος δύναμη, η οποία είναι ανάλογη της απόστασης του σώματος από τον άξονα περιστροφής. Έτσι, το γήινο δυναμικό δυναμικό της βαρύτητας W (gravity potential) διακρίνεται σε δύο συνιστώσες: - Το δυναμικό έλξης V (gravitational potential), που οφείλεται στην έλξη των μαζών με βάση τη Νευτώνεια θεωρία. - Το φυγόκεντρο δυναμικό Φ (centrifugal potential), που οφείλεται στην περιστροφική κίνηση της Γης. Η δύναμη έλξης (ανά μονάδα μάζας) δίνεται από τη σχέση: F = gradv (2.2) είναι δηλαδή η κλίση του δυναμικού έλξης της Γης: V Gm = (2.3) l Η φυγόκεντρη δύναμη (ανά μονάδα μάζας) εκφράζεται από την ανάλογη σχέση:
Κεφάλαιο 2 7 f grad x y 2 2 = Φ = ( ω, ω,0), (2.4) είναι δηλαδή η κλίση του φυγόκεντρου δυναμικού 2 2 2 ω ( x + y ) Φ= (2.5) 2 όπου ω είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της Γης και x, y είναι οι συντεταγμένες του σημείου υπολογισμού σε ένα γεωκεντρικό καρτεσιανό σύστημα αναφοράς. Η φυγόκεντρη δύναμη είναι ανεξάρτητη της συνιστώσας z του σημείου, έχει τη μέγιστη τιμή της στον γήινο ισημερινό και μηδενίζεται στους δύο πόλους. Είναι φανερό ότι η φυγόκεντρος δύναμη f ασκείται μόνο στα σώματα τα οποία συμμετέχουν στην περιστροφική κίνηση της Γης, είτε εξαναγκάζονται σε περιστροφή λόγω της γήινης ατμόσφαιρας (αεροπλάνα, ελικόπτερα κ.λ.π.). Στην ειδική περίπτωση των τεχνητών δορυφόρων, η φυγόκεντρος δύναμη που αναπτύσσεται, οφείλεται στην ίδια τους την ταχύτητα λόγω περιφοράς γύρω από τη Γη και όχι στην περιστροφή της Γης. Η συνολική συνιστώσα της δύναμης (ανά μονάδα μάζας), δηλαδή η λεγόμενη επιτάχυνση της βαρύτητας g που υφίσταται ένα σώμα, είναι το διανυσματικό άθροισμα της δύναμης έλξης και της φυγόκεντρης δύναμης W W W g = F + f = gradw =,, x y z (2.6) 2 2 2 ρ ω ( x + y ) όπου W = V +Φ = G dυ + (2.7) l 2 για το οποίο ισχύει η γενικευμένη εξίσωση του Poisson 2 2 Δ W = W = 4π Gρ+ 2ω (2.8)
8 Το πεδίο βαρύτητας Από τη σχέση (2.8) προκύπτει ότι το δυναμικό έλξης V είναι αρμονική συνάρτηση έξω από τις έλκουσες μάζες (όπου ρ=0) ικανοποιώντας την εξίσωση του Laplace Δ V = 4π Gρ = 0, (2.9) ενώ αντίθετα το δυναμικό της βαρύτητας δεν είναι αρμονική συνάρτηση έξω από τις έλκουσες μάζες (πράγμα που οφείλεται στο φυγόκεντρο δυναμικό) αφού ισχύει 2 Δ W =ΔΦ = 2ω. (2.10) Κανονικό πεδίο βαρύτητας Το δυναμικό της βαρύτητας μπορεί να διαχωριστεί σε ένα κανονικό μέρος, το οποίο μπορεί να υπολογιστεί με τη βοήθεια απλών μαθηματικών σχέσεων και σε ένα υπολοιπόμενο διαταρακτικό μέρος. Η έννοια του διαχωρισμού σχετίζεται με την κλασική αντιμετώπιση των προβλημάτων της φυσικής γεωδαισίας: το παρατηρούμενο μέγεθος διαχωρίζεται στο μέρος που μπορεί να υπολογιστεί θεωρητικά, μέσω κάποιου μοντέλου, και ενός υπολοιπόμενου μέρους που αποτελεί τη διαφορά του μοντέλου από την πραγματικότητα. Όσο προς το γήινο πεδίο βαρύτητας, το μοντέλο της πραγματικής Γης που χρησιμοποιείται για την περιγραφή του κανονικού πεδίου είναι ένα ελλειψοειδές εκ περιστροφής (ΕΕΠ) για το οποίο γίνονται οι ακόλουθες παραδοχές: 1. Η μάζα του ελλειψοειδούς θεωρείται ίση με την πραγματική μάζα της Γης. 2. Η ταχύτητα περιστροφής του ελλειψοειδούς θεωρείται ίση με την ταχύτητα περιστροφής της Γης. 3. Το κέντρο μάζας του ελλειψοειδούς συμπίπτει με το κέντρο μάζας της Γης.
Κεφάλαιο 2 9 Σχήμα 2.1 Το ελλειψοειδές εκ περιστροφής Απαραίτητος είναι ο ορισμός των διαστάσεων του ΕΕΠ αλλά και των παραμέτρων εκείνων που καθορίζουν το κανονικό πεδίο βαρύτητας του ΕΕΠ. Εκείνο όμως που δεν πρέπει να γίνεται, είναι η οποιαδήποτε παραδοχή σχετικά με την κατανομή των μαζών κάτω από την επιφάνεια του ΕΕΠ, διότι υπάρχουν άπειρες κατανομές μαζών και πυκνοτήτων που δημιουργούν το ίδιο πεδίο έλξης στο χώρο. Το σχήμα και το πεδίο του ΕΕΠ ορίζονται πλήρως από μια τετράδα θεμελιωδών παραμέτρων: a, b, GM, ω, όπου a, b οι ημιάξονες του ελλειψοειδούς που ορίζουν το σχήμα του, GM το γινόμενο της σταθεράς της παγκόσμιας έλξης με τη μάζα της Γης που ορίζει το πεδίο έλξης και η γωνιακή ταχύτητα ω που ορίζει το φυγόκεντρο δυναμικό. Εναλλακτικά μπορεί να χρησιμοποιηθεί η ισοδύναμη τετράδα a, f, GM, ω, όπου f η γεωμετρική επιπλάτυνση, ή και άλλοι συνδυασμοί τεσσάρων παραμέτρων, από τις οποίες μπορούν να προκύψουν όλες οι άλλες παράμετροι. Ορίζονται λοιπόν για το κανονικό πεδίο βαρύτητας του ΕΕΠ: το δυναμικό έλξης του ΕΕΠ V, το δυναμικό της φυγόκεντρης δύναμης Φ (ίδιο με της πραγματικής Γης) και το δυναμικό της κανονικής βαρύτητας U = V +Φ. Εάν x, y, z είναι οι καρτεσιανές συντεταγμένες ενός σημείου της επιφάνειας του ΕΕΠ σε ένα τρισορθογώνιο σύστημα αναφοράς, ισχύει η ακόλουθη σχέση που ταυτόχρονα περιγράφει και την επιφάνεια του ΕΕΠ: 2 2 2 x + y z + = 1 (2.11) 2 2 a b Επιπλέον, εξ ορισμού η επιφάνεια του ΕΕΠ είναι και η ισοδυναμική επιφάνεια του κανονικού πεδίου βαρύτητας που δημιουργεί U( x, y, z) = Uo = σταθερό (2.12)
10 Το πεδίο βαρύτητας Διαταρακτικό πεδίο βαρύτητας Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, το δυναμικό της βαρύτητας W μπορεί να διαχωριστεί σε ένα κανονικό μέρος U, το οποίο μπορεί να υπολογιστεί με τη βοήθεια απλών μαθηματικών σχέσεων και σε ένα υπολοιπόμενο διαταρακτικό μέρος T, το οποίο είναι και το μέρος που ενδιαφέρει, αφού όλες οι παράμετροι του πεδίου βαρύτητας είναι άμεσα ή έμμεσα συσχετισμένες με αυτό. Το διαταρακτικό δυναμικό Τ (disturbing ή anomalous potential) είναι η διαφορά T = W U = V +Φ V Φ = V V. (2.13) 2.1.1 Συνιστώσες του πεδίου βαρύτητας Οι διάφορες συνιστώσες του πεδίου βαρύτητας είναι αυτές με τις οποίες γίνεται η διαχείριση των διαφόρων προβλημάτων συνοριακών τιμών με τα οποία ασχολείται η φυσική γεωδαισία. Αυτές τις ποσότητες αποτελούν οι ανωμαλίες βαρύτητας, οι διαταραχές της βαρύτητας, οι αποκλίσεις της κατακορύφου και τα υψόμετρα του γεωειδούς. Οι ανωμαλίες βαρύτητας, σαν οριακές τιμές στο γεωειδές, χρησιμεύουν στον βαρυτημετρικό προσδιορισμού του γεωειδούς, ενώ οι αποκλίσεις της κατακορύφου στον αστρογεωδαιτικό προσδιορισμό του γεωειδούς. Σαν ανωμαλία βαρύτητας ορίζεται η διαφορά Δg μεταξύ της ανηγμένης τιμής go στο γεωειδές, της τιμής του g που παρατηρείται στην επιφάνεια της Γης, και της κανονικής τιμής γ που υπολογίζεται στο αντίστοιχο σημείο του ελλειψοειδούς. Ισχύει Δ = (2.14) g go γ ο Με ανάλογο τρόπο ορίζεται και η διαταραχή της βαρύτητας σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου ως η διαφορά της πραγματικής από την κανονική βαρύτητα στο ίδιο σημείο. δ g = g γ (2.15)
Κεφάλαιο 2 11 Το βασικό μειονέκτημα στον προσδιορισμό των ανωμαλιών της βαρύτητας εντοπίζεται στην αναγωγή της πραγματικής τιμής της βαρύτητας στο γεωειδές και τον υπολογισμό της κανονικής τιμής της βαρύτητας από τις σχέσεις που αναφέρονται σε κάποιο ελλειψοειδές αναφοράς. Γενικά οι αναγωγές της βαρύτητας έχουν σκοπό: - Να αναχθούν οι παρατηρηθείσες τιμές της βαρύτητας στο γεωειδές και να μετακινηθούν οι τοπογραφικές μάζες που βρίσκονται έξω από το γεωειδές, με τέτοιο τρόπο ώστε το γεωειδές να γίνει συνοριακή επιφάνεια. - Να γίνουν οι τιμές της ανωμαλίας της βαρύτητας όσο το δυνατόν πιο ομαλές, ώστε να απλουστευτεί η διαδικασία παρεμβολής και πρόγνωσης, όπως και η διαδικασία σχηματισμού αντιπροσωπευτικών μέσων τιμών ανωμαλίας της βαρύτητας. - Να απαλλαγούν οι τιμές της ανωμαλίας της βαρύτητας από εξωτερικές επιδράσεις (όπως π.χ. αυτές που προέρχονται από τις τοπογραφικές μάζες), ώστε αν είναι χρήσιμες στη Γεωλογία και τη Γεωφυσική για τη μελέτη της κατανομής της μάζας στο εσωτερικό της Γης. Η αναγωγή της τιμής της βαρύτητας g που μετρήθηκε στο σημείο Ρ της επιφάνειας της Γης στην τιμή go στο σημείο P o του γεωειδούς (βλ. σχήμα 2.2), γίνεται με τη βοήθεια (α) της κατακόρυφης βαθμίδας της βαρύτητας (vertical gravity gradient) g/ H που ισχύει για τον ελεύθερο αέρα και (β) του ορθομετρικού υψομέτρου Η g go = g+ H H (2.16) όπου η ποσότητα δ g F g = H H (2.17) ονομάζεται αναγωγή του ελεύθερου αέρα (free-air reduction). Η σύγκριση με την κανονική βαρύτητα δίνει την ανωμαλία ελεύθερου αέρα (free-air gravity anomaly)
12 Το πεδίο βαρύτητας Δ g = g+ δ g γ (2.18) F F o Η πραγματική τιμή της κατακόρυφης βαθμίδας της βαρύτητας που χρειάζεται για τον υπολογισμό της αναγωγής του ελεύθερου αέρα δεν είναι γενικά γνωστή. Στην πράξη προσεγγίζεται από την αντίστοιχη τιμή του κανονικού πεδίου βαρύτητας, όπου η τιμή -0.3086 mgal/m που αντιστοιχεί στη μεταβολή της κανονικής βαρύτητας μετά του ύψους σε πλάτος φ=45º θεωρείται ικανοποιητική. Η αναγωγή ελεύθερου αέρα αντιστοιχεί σε μια παράλληλη μετατόπιση των τοπογραφικών μαζών κατά το υψόμετρο του σημείου, στο οποίο γίνεται ο υπολογισμός, ή κατά προσέγγιση σε μια συμπύκνωση των τοπογραφικών μαζών επάνω στο γεωειδές. Σε πρακτικές εφαρμογές περιφερειακής ή παγκόσμιας κλίμακας χρησιμοποιούνται μέσες τιμές ανωμαλίας ελεύθερου αέρα. Η μέση τιμή Δg η οποία αναφέρεται σε μια επιφάνεια Δσ ορίζεται από τη σχέση: 1 Δ g = Δgdσ Δ (2.19) σ Δ σ Σχηματίζοντας μέσους όρους τέτοιων ομαλοποιημένων σημειακών τιμών ανωμαλιών ελευθέρου αέρα που καλύπτουν ορισμένη επιφάνεια και χρησιμοποιώντας την τιμή της συσχέτισης των ανωμαλιών του ελεύθερου αέρα με το ύψος που αντιστοιχεί στο μέσο ύψος της επιφάνειας αυτής, υπολογίζουμε μέσες τιμές της ανωμαλίας ελεύθερου αέρα που είναι απαλλαγμένες από τοπικές επιδράσεις του ύψους και για το λόγο αυτό αντιπροσωπευτικές για την αντίστοιχη επιφάνεια.. Τέλος, μια σημαντική παράμετρος για τη μελέτη του πεδίου βαρύτητας είναι η απόκλιση της κατακορύφου θ. Αυτή ορίζεται ως η γωνία που σχηματίζουν στο χώρο η διεύθυνση της κατακορύφου που περνάει από ένα σημείο και είναι κάθετη στην επιφάνεια του γεωειδούς, και η αντίστοιχη διεύθυνση της κάθετου, η οποία περνάει από το ίδιο σημείο και είναι κάθετη στην επιφάνεια του ΕΕΠ. Η απόκλιση της κατακορύφου αναλύεται σε δύο συνιστώσες ξ και η κατά μεσημβρινό (από βορρά προς νότο) και κατά παράλληλο (από ανατολή προς δύση) αντίστοιχα. Έτσι ισχύει η σχέση 2 2 θ = ξ + η (2.20)
Κεφάλαιο 2 13 Η απόκλιση της κατακορύφου θ(ξ,η) σε ένα σημείο, είναι η κλίση της επιφάνειας του γεωειδούς στο σημείο αυτό, κατά τη διεύθυνση μιας γραμμής S που ενώνει δύο σημεία Α και Β dn θ = dn = θds (2.21) ds Επομένως, εάν έχει υπολογιστεί ή αν είναι γνωστή η απόκλιση της κατακορύφου (ή οι δύο συνιστώσες της), τότε με ολοκλήρωση της Εξ. (2.21) από το Α στο Β, προκύπτει η διαφορά των υψομέτρων του γεωειδούς για τα δύο σημεία: Δ N = N N. Το γεωειδές που προκύπτει με αυτό τον τρόπο λέγεται B A αστρογεωδαιτικό γεωειδές και, όπως φαίνεται από τη βασική αρχή προσδιορισμού του απαιτείται η γνώση του υψομέτρου του γεωειδούς σε ένα τουλάχιστον σημείο, με το οποίο συνδέονται τα υπόλοιπα με γραμμές S. Η διαδικασία αυτή λέγεται αστρογεωδαιτική χωροστάθμηση και δεν χρησιμοποιείται πλέον όπως στο παρελθόν, εφόσον η ευκολία που παρέχουν οι μετρήσεις βαρύτητας, από τις οποίες υπολογίζεται το γεωειδές, έχει περιορίσει το ρόλο της. Κατά τη δεκαετία του 1990 αναπτύχθηκε μια τεχνική πρόγνωσης ανωμαλιών της βαρύτητας από αλτιμετρικές αποκλίσεις της κατακορύφου, ως εναλλακτική λύση στη διαδικασία συνόρθωσης των δορυφορικών δεδομένων. Σύμφωνα με την τεχνική αυτή, υπολογίζονται αρχικά οι κλίσεις του γεωειδούς με διαφόριση των αλτιμετρικών δεδομένων κατά μήκος της τροχιάς, δηλ. οι αποκλίσεις της κατακορύφου στη διεύθυνση της τροχιάς. Στη συνέχεια, οι αποκλίσεις της κατακορύφου κατά τη διεύθυνση της τροχιάς συνδυάζονται με κατάλληλο τρόπο ώστε να προκύψουν οι συνιστώσες ξ και η της απόκλισης της κατακορύφου. 2.1.2 Συστήματα υψών Ο προσδιορισμός της επιφάνειας του γεωειδές αποτελεί πρωταρχικό στόχο της φυσικής γεωδαισίας. Το γεωειδές, μια επιφάνεια που επινοήθηκε από τον Gauss προκειμένου να περιγράψει τη Γη, ορίζεται ως η ισοδυναμική επιφάνεια του γήινου
14 Το πεδίο βαρύτητας πεδίου βαρύτητας ( W = W ), που προσεγγίζεται βέλτιστα σύμφωνα με μια o ελαχιστοτετραγωνική συνθήκη, από τη μέση στάθμη των θαλασσών, θεωρώντας ότι αυτές εκτείνονται σε ολόκληρη τη Γη και κάτω από τις ηπειρωτικές εκτάσεις. Το γεωειδές είναι εξ ορισμού ισοδυναμική επιφάνεια και έχει όλες τις ιδιότητες των επιφανειών αυτών. Αυτό σημαίνει ότι το διάνυσμα της βαρύτητας σε κάθε σημείο της γήινης επιφάνειας είναι κάθετο σε αυτό. Το γεγονός αυτό δίνει μεγάλη σημασία στο γεωειδές, καθώς υλοποιώντας με τη βοήθεια μιας απλής αεροστάθμης την κατακόρυφο αποτελεί την επιφάνεια βάσει της οποίας γίνονται οι παρατηρήσεις, οι υπολογισμοί και οι αναγωγές. Αντίστροφα, αυτές οι ιδιότητες καθιστούν δυνατό τον προσδιορισμό του. Το γεωειδές, αν και είναι μια επιφάνεια με φυσική σημασία, η κατακόρυφος της οποίας είναι υλοποιήσιμη μέσω μετρήσεων, παρουσιάζει κάποιες πρακτικές αδυναμίες. Η μαθηματική επιφάνειά του είναι εξαιρετικά πολύπλοκη και ως εκ τούτου δύσχρηστη. Όπως αναφέρθηκε σε προηγούμενη παράγραφο, το κανονικό δυναμικό αντιπροσωπεύει μια αναλυτική συνάρτηση, η τιμή της οποίας μπορεί να υπολογιστεί άμεσα για οποιαδήποτε σημείο εκτός του ελλειψοειδούς αναφοράς. Η τιμή που προκύπτει δεν συμπίπτει βεβαίως με την τιμή του πραγματικού βαρυτικού δυναμικού στο ίδιο σημείο. Μπορούμε ωστόσο να ορίσουμε για κάθε σημείο Ρ, που βρίσκεται στην τοπογραφική επιφάνεια, ένα νέο σημείο που βρίσκεται επάνω στην κάθετο στο ελλειψοειδές που διέρχεται από το Ρ και έχει την ιδιότητα UQ = WP, δηλαδή το κανονικό δυναμικό στο Q ισούται με το πραγματικό δυναμικό στο P (βλ. σχήμα 2.4). Εάν αυτό επαναληφθεί για όλα τα σημεία της τοπογραφικής επιφάνειας προκύπτει το λεγόμενο τελουροειδές. Δεν πρόκειται για μια ισοδυναμική επιφάνεια ούτε μπορούμε να την ερμηνεύσουμε γεωμετρικά. Αν σχεδιαστεί σε απόσταση από το ελλειψοειδές, όση και η απόστασή του από τη γήινη επιφάνεια, τότε προκύπτει το σχεδόν γεωειδές (quasi geoid). Η επιφάνεια αυτή δεν είναι ισοδυναμική επιφάνεια του γήινου πεδίου βαρύτητας (Heiskanen και Moritz 1967). Το σχεδόν γεωειδές ταυτίζεται με το γεωειδές στις θαλάσσιες περιοχές. Μια ακόμη σημαντική επιφάνεια για τη φυσική γεωδαισία είναι το λεγόμενο αντισταθμισμένο γεωειδές (compensated geoid ή απλά co-geoid). Η επιφάνεια αυτή προκύπτει από τη μετατόπιση των τοπογραφικών μαζών, οι οποίες βρίσκονται έξω από το γεωειδές, προς αυτό, με τέτοιο τρόπο ώστε το γεωειδές να αποτελέσει συνοριακή επιφάνεια. Με την μετατόπιση αυτή, το δυναμικό της βαρύτητας
Κεφάλαιο 2 15 μεταβάλλεται. Αυτή η μεταβολή συνιστά την έμμεση επίδραση (indirect effect) της αναγωγής της βαρύτητας στα υψόμετρα του γεωειδούς. «Η χωροσταθμική επιφάνεια που προκύπτει από την μετατόπιση των μαζών και έχει δυναμικό αντισταθμισμένο γεωειδές» (Κατσάμπαλος και Τζιαβός 1991). Wo ονομάζεται Σχήμα 2.2 Το αντισταθμισμένο γεωειδές (co-geoid) Το σχεδόν γεωειδές, όπως και το γεωειδές, χρησιμοποιούνται σαν επιφάνειες αναφοράς για τον προσδιορισμό υψομέτρων σε ηπειρωτικές κατά κύριο λόγο εκτάσεις και σε παγκόσμια κλίμακα. Το ορθομετρικό υψόμετρο Η ορίζεται σαν η γεωμετρική απόσταση ενός σημείου Ρ στην τοπογραφική επιφάνεια από την επιφάνεια του γεωειδούς κατά μήκος της διευθύνσεως της κατακορύφου που συνδέει το σημείο Ρ με την προβολή του P o επάνω στο γεωειδές (Σχήμα 2.3). Ως εκ τούτου η ποσότητα αυτή είναι η υψομετρική διαφορά ενός σημείου από τη μέση στάθμη της θάλασσας και προσδιορίζεται συνήθως με γεωμετρική ή τριγωνομετρική χωροστάθμηση. Σήμερα βέβαια είναι γνωστό ότι η μέση στάθμη της θάλασσας διαφέρει από το γεωειδές εώς και δύο μέτρα, εξαιτίας διαφόρων ωκεανογραφικών φαινομένων (Vergos 2002).
16 Το πεδίο βαρύτητας Σχήμα 2.3 Ορισμός του ορθομετρικού υψομέτρου Η γεωμετρική απόσταση μεταξύ γεωειδούς και ενός ελλειψοειδούς αναφοράς καλείται αποχή του γεωειδούς (geoid undulation) ή υψόμετρο του γεωειδούς (geoid height) και συμβολίζεται με Ν. Ο προσδιορισμός του σε παγκόσμια κλίμακα αποτελεί πρωταρχικό στόχο της φυσικής γεωδαισίας, αφού αποτελεί τη βασική επιφάνεια αναφοράς των θεμελιωδών μεγεθών του πεδίου βαρύτητας καθώς και την αρχή των κατακόρυφων συστημάτων αναφοράς. Η γνώση του είναι επίσης θεμελιώδης και σε άλλες επιστήμες, όπως η ωκεανογραφία, γεωλογία, κ.λπ. Η γεωμετρική απόσταση ενός σημείου της γήινης επιφάνειας από ένα ελλειψοειδές εκ περιστροφής, που ορίζεται κατάλληλα ώστε να προσεγγίζει τη Γη στο σύνολο της (ελλειψοειδές αναφοράς), κατά μήκος της καθέτου στο ελλειψοειδές που διέρχεται από το εν λόγω σημείο, ονομάζεται γεωμετρικό ή ελλειψοειδές υψόμετρο h (βλ. Σχήμα 2.4). Το υψόμετρο αυτό δεν έχει φυσική σημασία, προσδιορίζεται όμως άμεσα από το ευρέως διαδεδομένο δορυφορικό σύστημα παγκοσμίου προσδιορισμού θέσης GPS. Μεταξύ του γεωμετρικού και του αντίστοιχου ορθομετρικού υψομέτρου Η ισχύει η ακόλουθη βασική σχέση (με προσέγγιση κάποιων mm): h= H + N (2.22) Η εφαρμογή της Εξ.(2.22) μπορεί σε ορισμένες περιπτώσεις και κάτω από συγκεκριμένες προϋποθέσεις να αντικαταστήσει τη χρονοβόρα και δαπανηρή διαδικασία της γεωμετρικής χωροστάθμησης και των μετρήσεων βαρύτητας για τον υπολογισμό ορθομετρικών υψομέτρων. Αυτό το γεγονός οφείλεται στην ευκολία και την ταχύτητα που διακρίνει σήμερα τη συλλογή και επεξεργασία δεδομένων GPS, καθώς και την ύπαρξη σε ορισμένες περιοχές μοντέλων γεωειδούς με μεγάλη ακρίβεια και διακριτική ικανότητα.
Κεφάλαιο 2 17 Η απόσταση μεταξύ του τελουροειδούς και της γήινης επιφάνειας, πάντα κατά μήκος της αντίστοιχης καθέτου στο ελλειψοειδές, ονομάζεται ανωμαλία ύψους ζ (height anomaly) και αντιστοιχεί και στο υψόμετρο του σχεδόν γεωειδούς. Η απόσταση του τελουροειδούς από το ελλειψοειδές ονομάζεται κανονικό υψόμετρο και συμβολίζεται με N H. Σχήμα 2.4 Τελουροειδές, σχεδόν γεωειδές και κανονικό υψόμετρο Η νέα γεωμετρία αποδίδεται με τις ακόλουθες σχέσεις: h= H + N, h= H N + ζ, N H H ζ N = (2.23) 2.2 Η επίδραση της τοπογραφίας στις συνιστώσες του πεδίου βαρύτητας Για την επίλυση γεωδαιτικών προβλημάτων συνοριακών τιμών απαιτείται η ύπαρξη μιας συνοριακής επιφάνειας, επάνω στην οποία να βρίσκεται το σύνολο των μετρήσεων. Το κλασικό γεωδαιτικό πρόβλημα συνοριακών τιμών, όπως αυτό διατυπώθηκε από τον Stokes (1886), απαιτεί τη μεταφορά μετρήσεων από τη γήινη επιφάνεια στην επιφάνεια του γεωειδούς. Η μεταφορά αυτή ονομάζεται τοπογραφική
18 Το πεδίο βαρύτητας αναγωγή (terrain reduction) και σχετίζεται άμεσα με την προσέγγιση της τοπογραφίας μεταξύ της γήινης επιφάνειας και της επιφάνειας του γεωειδούς. 2.2.1 Τοπογραφικές αναγωγές Με την τοπογραφική αναγωγή αφαιρείται η επίδραση των τοπογραφικών μαζών της ορατής τοπογραφίας. Με τον όρο ορατή τοπογραφία εννοούνται οι μάζες οι υπερκείμενες του γεωειδούς, οι οποίες αποτελούν περίσσευμα, με πυκνότητα γενικά ίση με τη μέση πυκνότητα της ανώτερης λιθόσφαιρας και οι μάζες των θαλασσών, οι οποίες αποτελούν έλλειμμα, με πυκνότητα γενικά ίση με τη διαφορά ανάμεσα στη μέση πυκνότητα της ανώτερης λιθόσφαιρας και τη μέση πυκνότητα του θαλασσινού νερού. Έχουν αναπτυχθεί διάφορες τεχνικές για τον υπολογισμό της επίδρασης της τοπογραφίας και την αφαίρεση των τοπογραφικών μαζών πάνω από το γεωειδές, οι οποίες χρησιμοποιούνται τόσο στη γεωδαισία όσο και την γεωφυσική. Αναγωγή Bouguer Αν στις ανωμαλίες ελεύθερου αέρα Εξ.(2.18) εφαρμοσθεί η τοπογραφική αναγωγή, προκύπτουν τιμές τις ανωμαλίας της βαρύτητας, οι οποίες αναφέρονται στο γεωειδές, είναι απαλλαγμένες από την επίδραση των τοπογραφικών μαζών και είναι γνώστες ως ανωμαλίες Bouguer. Οι ανωμαλίες Bouguer δίνονται από τη σχέση: Δ g =Δg δ g = g+ δg δg γ (2.24) B F T F T o Η τοπογραφική αναγωγή δ gt αναλύεται στην αναγωγή της πλάκας Bouguer δ g P και την αναγωγή του τοπογραφικού αναγλύφου δ gt (Σχήμα 2.5). Η αναγωγή του τοπογραφικού αναγλύφου αναφέρεται πολλές φορές στη βιβλιογραφία και ως τοπογραφική διόρθωση (terrain correction). Ισχύει η σχέση: δ g = δg + δg (2.25) T P t
Κεφάλαιο 2 19 Η αναγωγή της πλάκας Bouguer αφορά την έλξη μιας σφαιρικής ή άπειρα εκτεινόμενης επίπεδης πλάκας πάχους H P, δηλ. αυτή ίσου με το υψόμετρο του ελκόμενου σημείου Ρ και σταθερής πυκνότητας ρ. Στην παρούσα εργασία, για την αναγωγή, θεωρήθηκε η σφαιρική πλάκα Bouguer. Η τοπογραφική αναγωγή υπολογίζεται σύμφωνα με τον νόμο της έλξης των μαζών. Η αναγωγή της πλάκας Bouguer δίνεται από τη σχέση: δg = 2πGρH = 0.0419 10 ρh ms (2.26) 5 2 P P P όταν η πυκνότητα ρ δίνεται 3 gcm και σε ύψος H P σε m. Για τιμή της πυκνότητας 3 ρ=2.67 gcm, ίση με τη μέση πυκνότητα της ανώτερης λιθόσφαιρας, η (2.26) γίνεται: δ g = 0.1119 10 H ms (2.27) P 5 2 P Η αναγωγή του τοπογραφικού αναγλύφου δημιουργεί μια πλάκα Bouguer προσθέτοντας μάζες σε περιοχές που λείπουν και αφαιρώντας μάζες από περιοχές που υπάρχει περίσσευμα. Στην περίπτωση που χρησιμοποιείται η σφαιρική πλάκα Bouguer (όπως και στην παρούσα εργασία) η αναγωγή του τοπογραφικού αναγλύφου υπολογίζεται σύμφωνα με τη σχέση: όπου δ g = t (2.28) t c [ h( φ, λ ) h( φ, λ )] t = G R d d (2.29) 2 1 2 Q Q P P c( φp, λp) ρ cosφ 3 Q φq λq 2 σ l ( φ,,, ) Q Q λq φp λp όπου R είναι η ακτίνα της σφαίρας αναφοράς σ Q, P το σημείο υπολογισμού, Q το σημείο που βρίσκεται η έλκουσα μάζα και h το ύψος πάνω από τη σφαίρα αναφοράς.
20 Το πεδίο βαρύτητας Σχήμα 2.5 Αναγωγή πλάκας Bouguer και αναγωγή τοπογραφικού αναγλύφου Τα σφάλματα κατά την τοπογραφική διόρθωση οφείλονται σε διάφορες αιτίες. Για τον υπολογισμό της τοπογραφικής αναγωγής σε ένα σημείο Ρ θα πρέπει να ληφθούν υπόψη οι τοπογραφικές μάζες σε παγκόσμια κλίμακα. Αυτό απαιτεί τεράστιο όγκο υπολογισμών και την διαθεσιμότητα ψηφιακού μοντέλου της απομακρυσμένης τοπογραφίας σε παγκόσμια κλίμακα. Επειδή όμως οι απομακρυσμένες τοπογραφικές μάζες ασκούν πολύ μικρή επίδραση στο σημείο που γίνεται η διόρθωση, μπορούμε σε πρώτη προσέγγιση να αγνοήσουμε την επίδραση των μακρινών τοπογραφικών μαζών ή καλύτερα να θεωρήσουμε ότι η επίδραση των μαζών αυτών είναι σταθερή σε όλη την (περιορισμένη) περιοχή που χρειάζεται να κάνουμε τοπογραφικές διορθώσεις. Έτσι, σε μια πολύ ικανοποιητική προσέγγιση αρκεί να λάβουμε υπόψη τις τοπογραφικές μάζες μέχρι την ακτίνα των 600 km περίπου από το σημείο που γίνεται η διόρθωση. Στην πράξη, αρκούμαστε σε μικρότερες αποστάσεις, ανάλογα με την περιοχή και τις απαιτήσεις στην ακρίβεια των αποτελεσμάτων. Η ακρίβεια της τοπογραφικής διόρθωσης περιορίζεται επίσης και από την ακρίβεια του ψηφιακού μοντέλου της τοπογραφίας καθώς και την διακριτική του ικανότητα (resolution). Είναι προφανές ότι μεγαλύτερη ακρίβεια προκύπτει με τη χρησιμοποίηση ψηφιακών μοντέλων με μεγάλη διακριτική ικανότητα, αλλά αυτό έχει ως συνέπεια την αύξηση του όγκου εργασίας τόσο για τη δημιουργία του ψηφιακού μοντέλου, όσο και για τον υπολογισμό της τοπογραφικής αναγωγής. Η κυριότερη αιτία σφάλματος στην τοπογραφική διόρθωση οφείλεται στην υπόθεση για την πυκνότητα των τοπογραφικών μαζών. Για εφαρμογές σε παγκόσμια
Κεφάλαιο 2 21 ή περιφερειακή κλίμακα χρησιμοποιείται η μέση τιμή της πυκνότητας της ανώτερης 3 λιθόσφαιρας ( 2.67 gr / cm ). Για εφαρμογές όπου απαιτείται μεγάλη ακρίβεια θα πρέπει, εκτός από το ψηφιακό μοντέλο της τοπογραφίας, να χρησιμοποιείται και ένα ψηφιακό μοντέλο πυκνότητας (Digital Density Model DDM) με την ίδια διακριτική ικανότητα. Η πληροφορία για τη δημιουργία ενός τέτοιου μοντέλου προέρχεται από γεωλογικούς χάρτες. Οι τιμές της τοπογραφικής αναγωγής της βαρύτητας σε πεδινές περιοχές κυμαίνονται μεταξύ 0.1 και 1 mgal, ενώ σε ορεινές περιοχές μεταξύ 10 και 100 mgal. Σε εκτεταμένες πεδιάδες και περιοχές με πολύ ομαλή τοπογραφία και εφόσον οι απαιτήσεις για την ακρίβεια των μετρήσεων το επιτρέπουν (όπως π.χ. στην περίπτωση μιας διερευνητικής διασκόπησης), είναι δυνατόν να θεωρηθεί ότι η αναγωγή του τοπογραφικού αναγλύφου είναι πολύ μικρή και για το λόγο αυτό μπορεί να παραβλεφθεί. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα ανάλογη απώλεια στην ακρίβεια των αποτελεσμάτων, αλλά από το άλλο μέρος εξοικονόμηση μεγάλου όγκου υπολογισμών, αφού για τον υπολογισμό της ανωμαλίας Bouguer αρκεί να χρησιμοποιήσουμε τον απλουστευμένο τύπο: Δ g = g+ δ g δg γ =Δg δg (2.30) B F P o F P Για να είναι δυνατή η διάκριση τιμών ανωμαλίας Bouguer που έχουν υπολογισθεί με τον τύπο (2.24) από εκείνες που έχουν υπολογισθεί με τον τύπο (2.30) δίνεται ο χαρακτηρισμός πλήρεις (defined) και απλές (simple) ανωμαλίες Bouguer αντίστοιχα. Επειδή στην περίπτωση των ανωμαλιών Bouguer οι τοπογραφικές μάζες έχουν μετακινηθεί (δηλ. έχουν αφαιρεθεί ή προστεθεί) και επομένως έχουν μεγάλη έμμεση επίδραση (indirect effect), οι ανωμαλίες Bouguer δεν είναι κατάλληλες για τον υπολογισμό του γεωειδούς. Από την άλλη, επειδή οι ανωμαλίες Bouguer είναι απαλλαγμένες από την επίδραση της ορατής τοπογραφίας, οφείλονται σε ανωμαλίες της κατανομής της πυκνότητας στη λιθόσφαιρα. Από την άποψη αυτή το πεδίο των ανωμαλιών Bouguer αντανακλά τόσο τη γενικότερη τάση του πεδίου βαρύτητας που οφείλεται στην ύπαρξη διαφορών της πυκνότητας μεταξύ γεωλογικών σχηματισμών μεγάλης έκτασης (γεωλογικό ενδιαφέρον) όσο και τοπικά χαρακτηριστικά, που οφείλονται σε ανωμαλίες της πυκνότητας σε μικρά βάθη (μερικά χιλιόμετρα). Οι
22 Το πεδίο βαρύτητας τοπικές αυτές ανωμαλίες της πυκνότητας συνδέονται κατά κανόνα με οικονομικά ενδιαφέροντες γεωλογικούς σχηματισμούς, που ο εντοπισμός τους αποτελεί αντικείμενο της γεωφυσικής διασκόπησης. Τέλος, επειδή οι ανωμαλίες Bouguer μεταβάλλονται ομαλά, είναι κατάλληλες τόσο για τον σχηματισμό μέσων τιμών (επειδή είναι αντιπροσωπευτικές για μεγαλύτερα τμήματα της επιφάνειας της Γης σε σύγκριση με τις ανωμαλίες ελεύθερου αέρα), όσο και για την πρόγνωση αντίστοιχων τιμών ανωμαλίας της βαρύτητας. Οι τιμές αυτές (μέσες ή σημειακές) μετατρέπονται στη συνέχεια, όταν είναι απαραίτητο, σε αντίστοιχες (μέσες ή σημειακές) τιμές ανωμαλίας ελεύθερου αέρα. Αναγωγή RTM Για την τοπογραφική αναγωγή χρησιμοποιείται συχνά στην πράξη η μέθοδος του Μοντέλου Υπολειπόμενης Τοπογραφίας (Residual Terrain Model RTM) η οποία αναπτύχθηκε από τον Forsberg (1984). Στην περίπτωση αυτή η επίδραση της τοπογραφίας υπολογίζεται σε σχέση με μια επιφάνεια αναφοράς, η οποία προκύπτει ως η μέση υψομετρική επιφάνεια της περιοχής. Οι υπερκείμενες της επιφάνειας αναφοράς μάζες αφαιρούνται, ενώ προστίθενται μάζες σε περιοχές που παρουσιάζεται έλλειμμα μάζας. Η τοπογραφική αναγωγή στη μέθοδο αυτή δίνεται από τη σχέση: h ( h z) δgrtm = Gρ dxdydz [( x x) ( y y) ( h z) ] (2.31) E h ref P 2 2 2 3/2 P + P + P όπου href και h τα υψόμετρα της επιφάνειας αναφοράς και του σημείου υπολογισμού αντίστοιχα. Τέλος, οι RTM ανωμαλίες βαρύτητας υπολογίζονται σύμφωνα με τη σχέση: Δ g = g γ δ g (2.32) RTM P o RTM Με την τεχνική αυτή η επιφάνεια που προσδιορίζεται τελικά είναι το σχεδόν γεωειδές. Για το λόγο αυτό απαιτείται μια τελική διόρθωση για να μεταβούμε από το
Κεφάλαιο 2 23 σχεδόν γεωειδές στο γεωειδές. Η διόρθωση αυτή δίνεται από τη σχέση (Tziavos 1992): g γ Δg δζ = H B H (2.33) γ γ όπου g είναι η μέση τιμή της βαρύτητας κατά μήκος της κατακορύφου, γ η μέση τιμή της κανονικής βαρύτητας κατά μήκος της καθέτου και Δg B η τιμή της ανωμαλίας Bouguer στο σημείο υπολογισμού P. Η ποσότητα δζ στην εξίσωση (2.33) μπορεί να ερμηνευτεί ως ο διορθωτικός παράγοντας για την «προς τα άνω επέκταση» (upward continuation) των υψομέτρων του γεωειδούς από την επιφάνεια της θάλασσας στο επίπεδο της επιφάνειας του εδάφους (Sideris 1997). Κατά μέσο όρο, η τιμή της διόρθωσης δζ κυμαίνεται από μερικά εκατοστά ως και 1 μέτρο, σε πολύ ορεινές περιοχές (Torge 1980). Η διόρθωση αυτή πρέπει να γίνεται στις ανωμαλίες ύψους, έτσι ώστε τα αποτελέσματα να είναι συγκρίσιμα με αποχές του γεωειδούς που λαμβάνονται από άλλες πηγές μετρήσεων, όπως π.χ., αλτιμετρικά δεδομένα ή μετρήσεις GPS. Το πλεονέκτημα της τεχνικής RTM έγκειται στο γεγονός ότι οι τελικά ανηγμένες ανωμαλίες βαρύτητας εμφανίζονται πλήρως εξομαλυμένες σε σύγκριση με οποιαδήποτε άλλη μέθοδο αναγωγής. Οι τιμές των αναγωγών λαμβάνουν τόσο θετικές όσο και αρνητικές τιμές, οπότε οι υπολογισμοί των τοπογραφικών επιδράσεων γίνονται μόνο μέχρι μια κατάλληλη απόσταση από το σημείο υπολογισμού. Αποτέλεσμα αυτού είναι το ότι ελαχιστοποιείται η επίδραση της απομακρυσμένης τοπογραφίας ( Βέργος 2006). Ο βαθμός εξομάλυνσης της πραγματικής τοπογραφίας εξαρτάται από την έκταση της υπό μελέτη περιοχής και τη μορφή του αναγλύφου.
24 Το πεδίο βαρύτητας Σχήμα 2.6 Η αναγωγή σε σχέση με μια επιφάνεια αναφοράς Πρακτικά, η εξομαλυμένη προσέγγιση της τοπογραφίας προσδιορίζεται από το λεπτομερειακό ψηφιακό μοντέλο της τοπογραφίας με το σχηματισμό των μέσων υψών, έτσι ώστε το ψηφιακό μοντέλο της τοπογραφίας που προκύπτει να έχει μικρότερη διακριτική ικανότητα από το αρχικό. Ως κριτήριο για την επιτυχή επιλογή της διακριτικής ικανότητας (βαθμού εξομάλυνσης) της επιφάνειας αναφοράς θα πρέπει να θεωρηθεί η κατά το δυνατό μεγαλύτερη ελάττωση της μεταβλητότητας των ανηγμένων τιμών της βαρύτητας, με την ταυτόχρονη διατήρηση των άλλων στατιστικών χαρακτηριστικών (π.χ. του μέσου όρου) Ισοστατικές αναγωγές Είναι παραδεκτό σήμερα ότι οι ηπειρωτικές μάζες (οι υπερκείμενες των ωκεανών) και οι θαλάσσιες μάζες βρίσκονται σε μια κατάσταση υδροστατικής ισορροπίας. Αυτό συμβαίνει γιατί οι μάζες αυτές κατά ένα μεγάλο βαθμό αντισταθμίζονται στο εσωτερικό της Γης. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται ισοστασία (isostasy) και περιγράφεται με τη βοήθεια δύο παγκοσμίων μοντέλων: του ισοστατικού μοντέλου των Pratt Hayford και του ισοστατικού μοντέλου των Airy Heiskanen. Το πρώτο μοντέλο στηρίζεται στην αρχή του σταθερού ύψους αντιστάθμισης των μαζών και της μεταβλητής πυκνότητας και το δεύτερο στην αρχή της μεταβλητής πυκνότητας των αντισταθμισμένων μαζών και του μεταβλητού επιπέδου αντιστάθμισης. Ακολουθώντας τη θεωρία της ισοστασίας οι αναγωγές στις μετρήσεις της βαρύτητας της γήινης επιφάνειας ονομάζονται ισοστατικές αναγωγές (isostatic
Κεφάλαιο 2 25 reductions) και οι αντίστοιχες ανωμαλίες που προκύπτουν ισοστατικές ανωμαλίες της βαρύτητας (isostatic anomalies). Το αντικείμενο της ισοστατικής αναγωγής είναι η κανονικοποίηση του φλοιού της Γης σύμφωνα με κάποιο μοντέλο ισοστασίας. Οι τοπογραφικές μάζες δεν αφαιρούνται εντελώς, όπως συμβαίνει στις ανωμαλίες Bouguer, αλλά μετατοπίζονται εντός του γεωειδούς με σκοπό την αντιμετώπιση της έλλειψης των μαζών κάτω από τις ηπειρωτικές εκτάσεις. Στη συνέχεια περιγράφεται το μοντέλο των Airy Heiskanen. Στο ισοστατικό μοντέλο Airy Heiskanen έστω ότι η στήλη με h=0 αντιστοιχεί στο κανονικό πάχος T o (Σχήμα 2.7). Οι στήλες που αντιστοιχούν σε ηπειρωτικές περιοχές εισχωρούν στον πυκνότερο μανδύα, δηλαδή έχουν ρίζες κατά ένα πάχος d, ενώ στις στήλες που αντιστοιχούν στους ωκεανούς, εισχωρεί κατά d έτσι ώστε να υπάρχει ισορροπία υδροστατικού τύπου. Οι παραπάνω συνθήκες περιγράφονται με τις εξισώσεις: ( ρ ρ ) d = ρ h (2.34) M o o για τις ηπειρωτικές περιοχές και ( ρ ρ ) d = ( ρ r ) t (2.35) M o o w για τις ωκεάνιες περιοχές, όπου ρm η πυκνότητα του μανδύα, ρo η μέση πυκνότητα της λιθόσφαιρας και r w η μέση πυκνότητα του θαλασσινού νερού. Με αντικατάσταση των τιμών της πυκνότητας ρ o gcm 3 = 2.67, ρ M gcm 3 = 3.27 και rw πάχη d και d αντίστοιχα: 3 = 1.027gcm στις εξισώσεις (2.34) και (2.35) προκύπτουν τα d = 4.45h (2.36) για τις ηπειρωτικές περιοχές και d = 2.73t (2.37) για τις ωκεάνιες περιοχές.
26 Το πεδίο βαρύτητας Το βάθος μπορεί να εκτιμηθεί π.χ. από τα αποτελέσματα που φέρνουν οι ισοστατικές αναγωγές στις τιμές της ανωμαλίας της βαρύτητας και γενικά στα μεγέθη που έχουν σχέση με το πεδίο της βαρύτητας. Με τέτοιους συλλογισμούς, για To που προσεγγίζει την πραγματικότητα θα πρέπει οι τιμές της ισοστατικής ανωμαλίας της βαρύτητας να γίνονται ανεξάρτητες από το ύψος. Επίσης, θα πρέπει οι διαφορές μεταξύ των τιμών των τοπογραφικών-ισοστατικών αποκλίσεων της κατακορύφου και των αντίστοιχων αστρογεωδαιτικών τιμών να γίνονται ελάχιστες. Με τον τρόπο αυτό η τιμή του T o υπολογίστηκε, για το μοντέλο Airy Heiskanen, μεταξύ 30 και 40 km. Οι τελευταίες αυτές τιμές συμφωνούν και με τα αποτελέσματα της μικροσεισμικής έρευνας και δείχνουν ότι η επιφάνεια αντιστάθμισης των τοπογραφικών μαζών προσεγγίζει τη λεγόμενη ασυνέχεια Moho, δηλαδή τη διαχωριστική επιφάνεια φλοιού και μανδύα. Για το λόγο αυτό το μοντέλο Airy Heiskanen είναι το επικρατέστερο σήμερα ισοστατικό μοντέλο. Σχήμα 2.7 Το ισοστατικό μοντέλο Airy-Heiskanen Η επίδραση της τοπογραφίας σύμφωνα με το μοντέλο Airy Heiskanen, υπολογίζεται ως η διαφορά ανάμεσα στην έλξη που προκαλεί η ορατή τοπογραφία και την έλξη που οφείλεται στις μάζες αντιστάθμισης (ρίζες), σύμφωνα με τη σχέση:
Κεφάλαιο 2 27 δ g = δg δg (2.38) AH top comp όπου δ gtop και δ gcomp η έλξη των τοπογραφικών μαζών και των αντισταθμισμένων μαζών αντίστοιχα. Οι δύο αυτές ποσότητες δίνονται από τους τύπους: h ρ( xyz,, )( h z) δ gtop = G dxdydz [( x x) ( y y) ( h z) ] (2.39) E 0 P 2 2 2 3/2 P + P + P και T h o P Δρ( xyz,, )( h z) δ gcomp = G dxdydz [( x x) ( y y) ( h z) ] (2.40) E To d hp P 2 2 2 3/2 P + P + P Έμμεση επίδραση Όπως αναφέρθηκε και στην παράγραφο 2.1.2 λόγω της συμπύκνωσης των μαζών σε μια ισοδυναμική επιφάνεια, το δυναμικό της βαρύτητας αλλάζει και επομένως μεταβάλλεται και η επιφάνεια του γεωειδούς. Αυτή η μεταβολή της επιφάνειας είναι η έμμεση επίδραση των αναγωγών της βαρύτητας στα υψόμετρα του γεωειδούς. Επομένως, η επιφάνεια που υπολογίζεται με τη βοήθεια του ολοκληρώματος του Stokes δεν είναι πλέον το γεωειδές αλλά το αντισταθμισμένο γεωειδές. Σε κάθε διαφορετική αναγωγή αντιστοιχεί και διαφορετικό αντισταθμισμένο γεωειδές. Η απόσταση N ind ανάμεσα στο γεωειδές και το αντισταθμισμένο γεωειδές (Σχήμα 2.2) υπολογίζεται από τη μεταβολή του δυναμικού της βαρύτητας δw σύμφωνα με το θεώρημα του Bruns N ind δw = (2.41) γ Εάν αγνοηθεί το φυγόκεντρο δυναμικό Φ τότε η έμμεση επίδραση των αναγωγών της βαρύτητας στα υψόμετρα του γεωειδούς μπορεί να δοθεί ως συνάρτηση της αντίστοιχης μεταβολής του δυναμικού έλξης (Wichiencharoen 1982):
28 Το πεδίο βαρύτητας N ind δv = (2.42) γ Στην παρούσα εργασία, η έμμεση επίδραση στα υψόμετρα του γεωειδούς, υπολογίζεται σύμφωνα με τη δεύτερη μέθοδο συμπύκνωσης των τοπογραφικών μαζών κατά Helmert (second method of Helmert s condensation of the topography) από τις σχέσεις (Li 1993): N = δ N + δn + δn (2.43) ind o 1 2 με 2 h P δnο = πgρ (2.44) γ δ Gρ γ h h Gρ h h x + y + h γ x + y (2.45) P P N1 = dxdy dxdy 2 2 2 2 2 3 3 2 Gρ h hp Gρh h hp δ N2 = dxdy+ dxdy 2 2 2 3/2 2 2 2 3/2 6γ ( x + y + h ) 2γ ( x + y + h ) (2.46) όπου h το μέσο υψόμετρο της περιοχής μελέτης. Έτσι οι ανωμαλίες βαρύτητας πρέπει να μετακινηθούν από το γεωειδές, στο οποίο βρίσκονται μετά τη συμπίεση, στην επιφάνεια του αντισταθμισμένου γεωειδούς, με σκοπό η επιφάνεια αυτή πλέον να χρησιμοποιηθεί ως συνοριακή επιφάνεια στη λύση του ομώνυμου προβλήματος κατά Stokes. Η μεταφορά των ανωμαλιών βαρύτητας από την επιφάνεια του γεωειδούς στην επιφάνεια του αντισταθμισμένου γεωειδούς πραγματοποιείται με μια διόρθωση, η οποία αποτελεί την έμμεση επίδραση στη βαρύτητα ή δευτερεύουσα έμμεση επίδραση (indirect effect on gravity or secondary indirect effect) και η οποία υπολογίζεται με τη βοήθεια της κανονικής βαθμίδας της βαρύτητας σύμφωνα με τη σχέση: δ = 0.3086N ind (2.47)
Κεφάλαιο 2 29 Οι τιμές της δευτερεύουσας έμμεσης επίδρασης δύσκολα ξεπερνούν την τιμή των 3 mgal και συνήθως δεν λαμβάνονται υπόψη στους πρακτικούς υπολογισμούς τοπικών μοντέλων γεωειδούς (Ανδριτσάνος 2000). Η έμμεση επίδραση στα υψόμετρα του γεωειδούς μπορεί να φτάσει στο όριο των ορισμένων εκατοστών σε περιοχές με έντονο τοπογραφικό ανάγλυφο και για το λόγο αυτό λαμβάνεται πάντοτε υπόψη στους υπολογισμούς ακριβείας. 2.3 Το φαινόμενο της παραποίησης (aliasing effect) Με τον όρο αυτό εννοούμε το φαινόμενο που παρατηρείται, όταν για τη μελέτη του πεδίου βαρύτητας και για τον προσδιορισμό του γεωειδούς χρησιμοποιούνται ψηφιακά μοντέλα εδάφους μικρότερης διακριτικής ικανότητας. Το φαινόμενο της παραποίησης αναπαριστά την απώλεια πληροφορίας, όταν οι τοπογραφικές αναγωγές υπολογίζονται από ένα μοντέλο υψηλής διακριτικής ικανότητας σε σχέση με αυτές που υπολογίζονται από κάποιο άλλο μοντέλο μικρότερης διακριτικής ικανότητας. Με άλλα λόγια τα αποτελέσματα των τοπογραφικών αναγωγών από το μοντέλο της υψηλότερης διακριτικής ικανότητας θεωρούνται ως τιμές ελέγχου και οι διαφορές αυτών των τιμών από τα αποτελέσματα με τη χρήση μοντέλων χαμηλότερης διακριτικής ικανότητας θεωρούνται ως φαινόμενα παραποίησης. Στην παρούσα εργασία υπολογίστηκαν τα φαινόμενα παραποίησης για την αναγωγή Bouguer, την τοπογραφική διόρθωση, την αναγωγή με το μοντέλο της υπολειπόμενης τοπογραφίας (RTM)και την ισοστατική αναγωγή με το μοντέλο Airy/Heiskanen.
Κεφάλαιο 3 Ψηφιακά μοντέλα εδάφους 3.2 Ο ρόλος των ψηφιακών μοντέλων εδάφους στη μελέτη του πεδίου βαρύτητας. Τα ψηφιακά μοντέλα εδάφους (Digital Terrain Models DTMs ή Digital Elevation Models DEMs) αποτελούν σημαντικό εργαλείο για την μελέτη του πεδίου βαρύτητας. Από επεξεργασία δεδομένων που παρέχουν οι γεωμορφολογικοί σχηματισμοί της περιοχής μελέτης προσδιορίζεται μέρος των υψηλών και πολύ υψηλών συχνοτήτων στο φάσμα του πεδίου βαρύτητας. Ένα λεπτομερές ψηφιακό μοντέλο εδάφους παρέχει την απαραίτητη πληροφορία για την απεικόνιση του φάσματος στις υψηλές συχνότητες. Σύμφωνα με τον Schwarz (1984), το 2% και το 34% του φάσματος των υψομέτρων του γεωειδούς και των ανωμαλιών της βαρύτητας αντίστοιχα, περιέχονται στις υψηλές συχνότητες (βαθμός 360 36000), όπου η επίδραση της τοπογραφίας είναι πολύ μεγάλη. Επιπλέον, οι σύγχρονες μέθοδοι προσέγγισης του πεδίου βαρύτητας βασίζονται στην τεχνική «απομάκρυνσης επαναφοράς», κατά την οποία τα ψηφιακά μοντέλα εδάφους χρησιμοποιούνται για την εξομάλυνση του πεδίου βαρύτητας, ώστε η διαδικασία της πρόγνωσης να γίνεται με μεγαλύτερη ακρίβεια, ενώ ταυτόχρονα μειώνεται ο κίνδυνος συστηματικών σφαλμάτων, τα οποία θα ήταν δυνατό να επηρεάσουν τις ανηγμένες τιμές. Τα ψηφιακά μοντέλα εδάφους αποτελούν την τρισδιάστατη απεικόνιση της γήινης επιφάνειας και υπολογίζονται είτε από ψηφιοποιήσεις υψομετρικών χαρτών, είτε φωτογραμμετρικά, είτε τέλος με τη βοήθεια εικόνων τηλεπισκοπικών δορυφόρων. Ειδικές ομάδες εργασίας της Διεθνούς Ένωσης Γεωδαισίας (International Association of Geodesy IAG) έχουν συσταθεί με σκοπό τον έλεγχο της αξιοπιστίας
32 Ψηφιακά Μοντέλα Εδάφους παγκόσμιων ψηφιακών μοντέλων εδάφους. Σύγχρονα μοντέλα είναι το ΕΤΟΡΟ2, το οποίο έχει διακριτική ικανότητα 2 2 ( ΕΤΟΡΟ 2008), το GLOBE το οποίο αποτελεί βελτίωση του ΕΤΟΡΟ2 με διακριτική ικανότητα 30 30 και τελευταία το SRTM με διακριτική ικανότητα που φτάνει σε ορισμένες περιοχές το 1 ( GLOBE 2008, SRTM 2008). Εκτός όμως από τα παγκόσμια μοντέλα, κάθε χώρα είναι υπεύθυνη για την δημιουργία αντίστοιχων μοντέλων εντός των συνόρων της. Έτσι για παράδειγμα η Γερμανία έχει αναπτύξει ψηφιακά μοντέλα εδάφους διακριτικής ικανότητας 1 1 (Denker 2004). Στην Ελλάδα ο μόνος φορέας που είναι αρμόδιος για τη δημιουργία ψηφιακών μοντέλων εδάφους είναι η Γεωγραφική Υπηρεσία Στρατού (ΓΥΣ) και μας παρέχει ένα μοντέλο διακριτικής ικανότητας 15 15. Στις επόμενες ενότητες παρουσιάζονται τα μοντέλα που χρησιμοποιήθηκαν στην παρούσα εργασία. 3.2 Τα μοντέλα SRTM και SRTM30_plus Για την επίλυση πολλών γεωδαιτικών προβλημάτων σε τοπική και παγκόσμια κλίμακα, όπως είναι ο προσδιορισμός του γεωειδούς, είναι απαραίτητη η ύπαρξη λεπτομερών ψηφιακών μοντέλων εδάφους. Για πολλές περιοχές όμως της Γης δεν είναι διαθέσιμα τέτοια μοντέλα εδάφους, ή αν υπάρχουν δεν πληρούν τις σύγχρονες απαιτήσεις σε ανάλυση και ακρίβεια. Για παράδειγμα, ορεινές περιοχές, περιοχές με πυκνή βλάστηση και οι εκτεταμένες έρημοι, εξαιτίας της δύσκολης πρόσβασης σε αυτές, δεν έχουν χαρτογραφηθεί. Επιπλέον, σε πολλές χώρες που οι στρατιωτικές υπηρεσίες είναι υπεύθυνες για τη δημιουργία χαρτών, τα λεπτομερή μοντέλα εδάφους δεν είναι διαθέσιμα παρά μόνο για στρατιωτικούς σκοπούς. Σε άλλες περιπτώσεις, οι διαφορετικές μέθοδοι που ακολουθούνται από τις διάφορες χώρες για τη δημιουργία ψηφιακών μοντέλων εδάφους, οδηγούν σε ασυμβατότητες μεταξύ των μοντέλων γειτονικών κρατών τόσο ως προς την ακρίβεια όσο και ως προς την διακριτική τους ικανότητα. Από τα παραπάνω γίνεται εμφανής η ανάγκη για ύπαρξη ενός παγκοσμίου ψηφιακού μοντέλου εδάφους, ενιαίας ακρίβειας και διακριτικής ικανότητας, το οποίο θα καλύπτει όσο το δυνατό μεγαλύτερο μέρος της Γης. Τον Φεβρουάριο του 2000 ξεκίνησε μια συντονισμένη προσπάθεια από τη διαστημική υπηρεσία των Ηνωμένων Πολιτειών Αμερικής (NASA) και την εθνική υπηρεσία διαχείρισης γεω-δεδομένων (NGA) για τη χαρτογράφηση του πλανήτη μας και τη δημιουργία λεπτομερών ψηφιακών μοντέλων εδάφους. Η διαστημική
Κεφάλαιο 3 33 αποστολή με κωδική ονομασία SRTM (Shuttle Radar Topography Mission) διήρκησε έντεκα ημέρες και συγκέντρωσε πληθώρα υψομετρικών δεδομένων για μεγάλο τμήμα του πλανήτη μας. Το διαστημικό λεωφορείο Endeavour επανδρωμένο από εξαμελές πλήρωμα της Αμερικανικής, της Ευρωπαϊκής και της Ιαπωνικής υπηρεσίας διαστήματος, ήταν αυτό που χρησιμοποιήθηκε για την αποστολή. Αποτέλεσμα της αποστολής αυτής ήταν η έκδοση ενός παγκοσμίου μοντέλου εδάφους με πλέγμα ισοδιάστασης 3 (περίπου 90 m) και ακρίβειας 16 m ως προς την κατακόρυφη θέση (για επίπεδο εμπιστοσύνης 90%) και 20 m ως προς την οριζόντια (Bamler 1999, JPL 2008). (α) Σχήμα 3.1 (β) α) Η διάταξη των συσκευών λήψης β) Η σάρωση της γήινης επιφάνειας για τη δημιουργία στερεοσκοπικής εικόνας Για τη δημιουργία του SRTM χρησιμοποιήθηκε η τεχνική της συμβολομετρίας μεγάλης βάσης (radar interferometry). Με αυτή την τεχνική λαμβάνονται δύο διδιάστατες εικόνες ραντάρ από δύο διαφορετικές θέσεις που απέχουν λίγο μεταξύ τους. Τα ραντάρ σάρωναν λωρίδες εδάφους πλάτους περίπου 250 χιλιομέτρων, το καθένα υπό ελαφρώς διαφορετική γωνία (Σχήμα 3.1β). Οι
34 Ψηφιακά Μοντέλα Εδάφους διαφορές μεταξύ δύο εικόνων της ίδιας περιοχής επιτρέπουν τον υπολογισμό των υψομετρικών διαφορών και εν συνέχεια τις τιμές των απολύτων υψομέτρων. Για να είναι εφικτή η λήψη δύο εικόνων, τοποθετήθηκαν δύο συσκευές λήψης (ραντάρ), η μια στο χώρο φόρτωσης του σκάφους και η άλλη εξαρτημένη από έναν βραχίονα εξήντα μέτρων (Σχήμα 3.1α). Η χρήση ραντάρ, αντί των οπτικών φωτογραφικών μηχανών, επιλέχτηκε γιατί μπορεί να διαπεράσει τα σύννεφα της γήινης ατμόσφαιρας και επιπλέον επιτρέπει τη λήψη εικόνων και κατά τη διάρκεια της νύχτας. Ο τρόπος δημιουργίας όμως της εικόνας, που βασίζεται στην αντανάκλαση της ακτινοβολίας από οποιαδήποτε επιφάνεια, οδηγεί σε πολλές περιπτώσεις, σε τιμές υψομέτρων που δεν ανταποκρίνονται στην πραγματικότητα. Το φαινόμενο αυτό (γνωστό ως roof effect) γίνεται ιδιαίτερα αισθητό σε περιοχές πυκνής βλάστησης και σε πυκνοκατοικημένες περιοχές, όπου τα μεγάλα δέντρα και τα ψηλά κτίρια αντίστοιχα, εμποδίζουν τη σάρωση της επιφάνειας του εδάφους (Showstack 2003). SRTM COVERAGE MAP 80% της συνολικής ηπειρωτικής έκτασης καλύφθηκε 99.968% καλύφθηκε τουλάχιστον μια φορά 94.59% καλύφθηκε τουλάχιστον δύο φορές 49.25% καλύφθηκε τουλάχιστον τρεις φορές 24.10% καλύφθηκε τουλάχιστον τέσσερις φορές Σχήμα 3.2 Η ζώνη κάλυψης της γήινης επιφάνειας Το διαστημικό λεωφορείο Endeavour που έφερε σε πέρας την αποστολή, τέθηκε σε τροχιά γύρω από τη Γη με κλίση 57 μοιρών. Αυτό είχε ως αποτέλεσμα να
Κεφάλαιο 3 35 καλυφθούν όλες οι ηπειρωτικές περιοχές εντός της ζώνης που ορίζεται από τις o o o o συντεταγμένες 56 φ + 60 και 180 λ + 180, ενώ το διαστημικό λεωφορείο δεν ήταν δυνατό να πλησιάσει τους πόλους της Γης (Σχήμα 3.2). Η ζώνη αυτή κάλυψης περιλαμβάνει το 80% των ηπειρωτικών περιοχών του πλανήτη. Από τα δεδομένα που συγκέντρωσε η ενδεκαήμερη αποστολή το Φεβρουάριο του 2000, προέκυψε, μετά από επεξεργασία τεσσάρων ετών, ένα παγκόσμιο ψηφιακό μοντέλο εδάφους για το 80% περίπου της Γης. Ορισμένες μάλιστα από τις περιοχές που καλύπτει ο χάρτης, όπως τμήματα της Νότιας Αμερικής και ορισμένα νησιά του νότιου Ειρηνικού, ουδέποτε είχαν χαρτογραφηθεί σε τρεις διαστάσεις μέχρι σήμερα. Η διακριτική ικανότητα του μοντέλου, που είναι διαθέσιμο για επιστημονικές εφαρμογές και για το σύνολο της Γης, είναι 3, δηλαδή περίπου 90 m, ενώ για τις ΗΠΑ διατίθεται σε πλέγμα ισοδιάστασης 1, περίπου 30 m, και ίδιας ανάλυσης. Το σύστημα αναφοράς των οριζόντιων συντεταγμένων είναι το WGS84, ενώ για το κατακόρυφο datum χρησιμοποιήθηκε το παγκόσμιο γεωδυναμικό μοντέλο EGM96. Το πρόγραμμα ολοκληρώθηκε την άνοιξη του 2005 με τη δημοσίευση των τοπογραφικών χαρτών της Αυστραλίας, της Νέας Ζηλανδίας και ορισμένων νησιών του Ειρηνικού και του Ινδικού ωκεανού. Ένα άλλο μοντέλο που συνδυάζει δεδομένα ξηράς καθώς και ωκεάνια δεδομένα είναι το SRTM30_plus. Η ισοδιάσταση του πλέγματος του μοντέλου είναι 30 (περίπου 1 km) με τα δεδομένα της ξηράς να προέρχονται από την αποστολή SRTM. Σε περιοχές με μεγάλο γεωγραφικό πλάτος, όπου δεδομένα από την αποστολή SRTM δεν είναι διαθέσιμα, χρησιμοποιήθηκαν δεδομένα από το μοντέλο GTOPO30. Όσον αφορά τα ωκεάνια δεδομένα, αυτά βασίζονται στο πλέγμα ισοδιάστασης 2 των Smith και Sandwell (1994) εύρους ± 72 o. Επίσης πλέγματα μεγαλύτερης ισοδιάστασης έχουν χρησιμοποιηθεί, τα οποία προέρχονται από το LDEO Ridge Multibeam Synthesis Project και από το NGDC Coastal Relief μοντέλο (SRTM30_plus 2008). 3.3 Το μοντέλο GLOBE Το μοντέλο GLOBE είναι αποτέλεσμα διεθνούς συνεργασίας που ξεκίνησε το 1990 και η πρώτη του έκδοση ολοκληρώθηκε το 1999. Τη δημιουργία του ξεκίνησε η
36 Ψηφιακά Μοντέλα Εδάφους γερμανική υπηρεσία διαστήματος (German Remote Sensing Data Center / German Aerospace Center), με την προοπτική και οργανισμοί άλλων χωρών να συμμετάσχουν στο πρόγραμμα. Έτσι, για τη δημιουργία του συνεργάστηκαν το Πανεπιστήμιο του Λονδίνου (University College of London UCL), η Αμερικανική γεωλογική υπηρεσία (U.S. Geological Survey USGS) και το εθνικό γεωφυσικό ινστιτούτο της Αμερικής (National Geophysical Data Center NGDC). Αρχικά δημιουργήθηκε ένα κοινό πλέγμα ισοδιάστασης 30 κατά γεωγραφικό πλάτος και μήκος και συγκεντρώθηκαν όλα τα ψηφιακά μοντέλα εδάφους, υποψήφια για τη συμπλήρωση του GLOBE. Τέτοια ήταν το GTOPO30 που αναπτύχθηκε από τη USGS και DTM που δημιουργήθηκε από το Εργαστήριο Αεροδιαστημικής (Jet Propulsion Laboratory JPL) του Τεχνολογικού Ινστιτούτου της Καλιφόρνιας (California Institute of Technology). Τελικά, χρησιμοποιήθηκαν άλλα τέσσερα ψηφιακά μοντέλα εδάφους και πέντε χάρτες ισοϋψών καμπύλων. Συνολικά, για τη δημιουργία του GLOBE χρησιμοποιήθηκαν 18 διαφορετικές πηγές. Γεωγραφικό πλάτος Απόσταση σε μέτρα (μοίρες) E/W N/S Ισημερινός 928 921 10 914 922 20 872 923 30 804 924 40 712 925 50 598 927 60 465 929 70 318 930 74 256 930 78 193 930 82 133 931 86 64 931 89 16 931 90 0 931 Πίνακας 3.1 Η ισοδιάσταση του GLOBE κατά παράλληλο Το μοντέλο GLOBE (Global Land One-kilometer Base Elevation) που δημιουργήθηκε με αυτόν τον τρόπο, είναι πλέγμα υψομετρικών δεδομένων που καλύπτει τη Γη από 180º δυτικά ως 180º ανατολικά και από 90º νότια ως 90º βόρεια. Η ισοδιάσταση του πλέγματος είναι 30 (ή 0.00833333º) και οι διαστάσεις του
Κεφάλαιο 3 37 21600 43200. Περιέχει 120 τιμές ανά μοίρα, με αποτέλεσμα η ισοδιάσταση του να αντιστοιχεί σε λιγότερο από ένα χιλιόμετρο στον ισημερινό (κατά μήκος του παραλλήλου) και η τιμή αυτή να μειώνεται καθώς πλησιάζουμε προς τους πόλους της Γης (Πίνακας 3.1). Σχήμα 3.3 Το παγκόσμιο ψηφιακό μοντέλο GLOBE Η διακριτική ικανότητα του μοντέλου είναι 2.83 φορές μεγαλύτερη από την ισοδιάσταση του, ενώ η ακρίβεια του διαφέρει από περιοχή σε περιοχή.αυτό οφείλεται στο διαφορετικό τρόπο δημιουργίας του μοντέλου σε κάθε περιοχή και οι διαφορές αυτές γίνονται ιδιαίτερα αισθητές στα σύνορα των περιοχών αυτών. Για την Ελλάδα η ακρίβεια των υψομέτρων θεωρείται ίση με 30 μέτρα. Το οριζόντιο σύστημα αναφοράς του GLOBE είναι το παγκόσμιο γεωδαιτικό σύστημα WGS84, ενώ τα υψόμετρα αναφέρονται στη μέση στάθμη της θάλασσας. Οι τιμές των υψομέτρων κυμαίνονται από -407 m ως 8752 m στη ξηρά, ενώ για τις θαλάσσιες περιοχές δεν υπάρχουν δεδομένα και για τη διάκριση τους έχει δοθεί συμβατικά η τιμή -500.
38 Ψηφιακά Μοντέλα Εδάφους Σχήμα 3.4 Το μοντέλο GLOBE για την Ευρώπη 3.4 Τα μοντέλα ΕΤΟΡΟ2 και ΕΤΟΡΟ5 Το μοντέλο ΕΤΟΡΟ5 δημιουργήθηκε από μια ψηφιακή βάση δεδομένων που αποτελείται από υψόμετρα τόσο στη ξηρά όσο και στη θάλασσα, των οποίων οι τιμές διατίθενται σε πλέγμα ισοδιάστασης 5 5. Η διακριτική ικανότητα του πλέγματος των δεδομένων αυτών μπορεί να διαφέρει από περιοχή σε περιοχή και μεταβάλλεται από την τιμή των 5 για τις ωκεάνιες περιοχές, τις ΗΠΑ, την Ευρώπη, την Ιαπωνία και την Αυστραλία μέχρι και την τιμή της 1 o για περιοχές της Ασίας, της Νοτίου Αμερικής και της Αφρικής. Διάδοχο του μοντέλου αυτού αποτελεί το μοντέλο ΕΤΟΡΟ2. Το μοντέλο ΕΤΟΡΟ2 είναι ένα παγκόσμιο ψηφιακό μοντέλο υψομετρίας, οι τιμές του οποίου διατίθενται σε πλέγμα ισοδιάστασης 2 2 (περίπου 3.7 km στον ισημερινό). Η δημιουργία του ήταν αποτέλεσμα συνδυασμού άλλων μοντέλων υψομετρίας (DTMs) και μοντέλων βαθυμετρίας (Digital Depth Models DDMs). Συγκεκριμένα, χρησιμοποιήθηκαν το παγκόσμιο ψηφιακό μοντέλο GLOBE (βλ. 3.3) για τη κάλυψη όλων των ηπειρωτικών περιοχών και τα μοντέλα βαθυμετρίας Smith/Sandwell (1994), DBDBV (Digital Bathymetric Data Base, Variableresolution), IBCAO (International Bathymetric Chart of the Arctic Ocean) και DBDB5 (Digital Bathymetric Data Base 5 minute), για τις ωκεάνιες περιοχές, όπως φαίνεται και στο σχήμα 3.5.