ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Διαλείψεις & Χαρακτηρισμός Ασύρματου Διαύλου Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Παν/μίου Πειραιώς Πεδία Περιγραφής ιασπορά στα Φασματικά Πεδία (Spetral Domans) Καθυστέρηση ( ) Χρονική ιασπορά ή ιασπορά στην Καθυστέρηση (Delay Dsperson) Συχνότητα Doppler ( v ) Φασματική ιασπορά ή Ολίσθηση Doppler (Frequeny Dsperson) Κατεύθυνση ( ˆ ) ιασπορά στην Κατεύθυνση Πρόσπτωσης (Dreton Dsperson) Επιλεκτικότητα στα Βασικά Πεδία (Base Domans) Συχνότητα ( ) Συχνοεπιλεκτική Συμπεριφορά (Frequeny Seletvty) Χρόνος (t ) Χρονική Μεταβολή (Tme Seletvty) Χώρος ( x ) Χωρική Μεταβολή (Spae Seletvty)
Αναπαράσταση στη Βασική Ζώνη 3 Υποθέτουμε ζωνοπερατό σήμα x(t) με φάσμα συγκεντρωμένο σε μια περιοχή εύρους W, δηλαδή ±W γύρω από την συχνότητα. Το σήμα τίθεται ως είσοδος σε ΓΧΑ ζωνοπερατό σύστημα με κρουστική απόκριση h(t) και συνάρτηση μεταφοράς H(). Το εύρος ζώνης του συστήματος είναι B, δηλαδή ±B γύρω από την. Συνήθως το εύρος ζώνης του συστήματος είναι μικρότερο ή ίσο από το εύρος ζώνης του σήματος εισόδου. Η έξοδος του συστήματος είναι ένα ζωνοπερατό σήμα yt xt ht Y X H Αναπαράσταση στη Βασική Ζώνη 4 Οι μιγαδικές περιβάλλουσες ορίζονται ως εξής xt yt Re xte Re yte j t j t Η σχέση που συνδέει το φάσμα της μιγαδικής περιβάλλουσας και του ζωνοπερατού σήματος είναι X u X X X X
Αναπαράσταση στη Βασική Ζώνη 5 W X W A - 0 A X 0 W Αναπαράσταση στη Βασική Ζώνη 6 Αν θέλουμε η σχέση της συνέλιξης να ισχύει και για τις μιγαδικές περιβάλλουσες y t x t h t Πρέπει j t ht Re hte Την h t πολλές φορές την αποκαλούμε μιγαδική κρουστική απόκριση (omplex mpulse response) του ζωνοπερατού συστήματος και γράφουμε h t h t jh t I Q 3
Αναπαράσταση στη Βασική Ζώνη 7 Σε αυτή την περίπτωση ισχύει ότι H u H και Y X H Ζωνοπερατά ΓΧΑ Συστήματα 8 Εναλλακτικά αν θεωρήσουμε ότι Τότε πρέπει και ht Re hte jt y t x t h t Y X H 4
Ζωνοπερατά ΓΧΑ Συστήματα 9 h x t d y t j t x t X e d x t ht y t j t X x t e dt Y X H X H Y Χρονικά Μεταβαλλόμενο Σύστημα 0 Στα χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα δεν ισχύει ούτε η συνέλιξη στο πεδίο του χρόνου ούτε ο πολλαπλασιασμός στο πεδίο της συχνότητας για τον υπολογισμό του σήματος εξόδου από το σύστημα. Η συνάρτηση μεταφοράς είναι χρονικά μεταβαλλόμενη, δηλαδή H, t Για μετάδοση βασικής ζώνης η σχέση εισόδουεξόδου είναι jt y t X H, te d 5
Χρονικά Μεταβαλλόμενο Σύστημα Πλέον το ζευγάρι, t δεν αποτελεί ζεύγος Fourer αφού σε τέτοια περίπτωση ο αντίστροφος Fourer της H, t θα έδινε μια συνάρτηση μόνο του χρόνου η οποία θα ήταν άχρηστη για τον υπολογισμό του εκπεμπόμενου σήματος. j t Λάθος Σχέση H t H, te d Αντίστοιχα ο Fourer αυτής της συνάρτησης θα ήταν συνάρτηση της συχνότητας μόνο!!! Χάνεται δηλαδή η πληροφορία της χρονικής μεταβολής. Συμβολισμός Συναρτήσεων Η περιγραφή του διαύλου με τα βασικά πεδία χρόνου, συχνότητα, χώρου, γίνεται μέσω της συνάρτησης μεταφοράς (transer unton) H x,, t Όταν ένα ή περισσότερα από τα βασικά πεδία μετασχηματιστεί στο αντίστοιχο φασματικό πεδίο τότε προκύπτει μια συνάρτηση διασποράς (spread unton) h φασματικά πεδία; βασικά πεδία H συνάρτηση διασποράς h,, v είναι ο Fourer ως προς όλες τις μεταβλητές, ενώ η h ; x, t είναι η γνωστή κρουστική απόκριση του διαύλου (hannel mpulse response). 6
3 Χρονική Διασπορά & Φασματική Επιλεκτικότητα Η διασπορά στο χρόνο επισημαίνει το μηχανισμό με τον οποίο πολλαπλά κύματα καταφθάνουν στο δέκτη με διαφορετική καθυστέρηση λόγω των διαφορετικών ηλεκτρικών δρόμων που διανύουν. Η φασματική επιλεκτικότητα αναφέρεται στη διαφορετική συμπεριφορά του διαύλου με τη συχνότητα, δηλαδή στη συχνοεπιλεκτική συμπεριφορά της συνάρτησης μεταφοράς. Χρονική Διασπορά και ISI 4 Θεωρούμε μόνο συνιστώσες στο δέκτη h t A t A t o Σημαντική παράμετρος είναι η διαφορά των καθυστερήσεων Δτ = τ -τ ο, που καθορίζει το μέγεθος της χρονικής διασποράς. Αυξανομένης της διαφοράς αυξάνεται η διασυμβολική παρεμβολή (ISI). o 7
Χρονική Διασπορά και ISI 5 Έξοδος Διαύλου Καθυστερημένη Έκδοση του ου Συμβόλου Μικρός Λόγος Δτ/Τ s Είσοδος Διαύλου ο Σύμβολο 0 T s T s Έξοδος Διαύλου 0 T s T s Καθυστερημένη Έκδοση του ου Συμβόλου ο Σύμβολο Μεγάλος Λόγος Δτ/Τ s 0 T s T s Χρονική Διασπορά και ISI 6 Η συνάρτηση μεταφοράς είναι j j 0 j H h e d Ae 0 Ae j j j j 0 Ae Ae Ae Ae 0 0 0 0 j 0 H A Ae A A / A0 0 os sn A A A H A0 A Aos 8
Χρονική Διασπορά και ISI 7.5 = 50nse = 500nse = ìse H().5 A 0.5 0.5 0 - -0.5 0 0.5 Óõ íüôçôá (Hz) x 0 6 Χρονική Διασπορά και ISI 8.5 = 50nse = 500nse = ìse H().5 A 0.05 0.5 0 - -0.5 0 0.5 Óõ íüôçôá (Hz) x 0 6 9
Χρονική Διασπορά και ISI 9.5 = 50nse = ìse = ìse.5 H() 0.5 Sgnal BW 0 - -0.5 0 Óõ íüôçôá (Hz) 0.5 x 0 6 Χρονική Διασπορά και ISI 0.5 ñïíéêþ óôéãìþ = 750nse ñïíéêþ óôéãìþ = 900nse ñïíéêþ óôéãìþ 3 = 600nse.5 H() 0.5 0 -.5 - -0.5 0 0.5.5 Óõ íüôçôá (Hz) x 0 6 0
Διασπορά Doppler & Χρονική Επιλεκτικότητα Η διασπορά στη συχνότητα επισημαίνει το μηχανισμό με τον οποίο λόγω ολίσθησης Doppler στο δέκτη καταφθάνουν κύματα διαφορετικής συχνότητας. Η χρονική επιλεκτικότητα αναφέρεται στις μεταβολές του λαμβανόμενου σήματος εξαιτίας της χρονικά μεταβαλλόμενης κρουστικής απόκρισης του διαύλου. Η μεταβολή εμφανίζεται κυρίως με την σχετική κίνηση πομπού και δέκτη. Χρονική Μεταβολή Ολίσθηση Doppler l dos utos l ut os v d u os t
Χρονική Μεταβολή Ολίσθηση Doppler 3 3 / v F H(t) 0 - - 0 0.5.5 ñüíïò h v A v v A v v j vt j vt j vt j v t jvt H t h v e dv Ae A e Ae Ae 4 Διασπορά Κατεύθυνσης & Χωρική Επιλεκτικότητα Η διασπορά στην κατεύθυνση επισημαίνει το μηχανισμό με τον οποίο τα κύματα καταφθάνουν στο δέκτη από διαφορετικές κατευθύνσεις (γωνίες άφιξης). Η χωρική επιλεκτικότητα αναφέρεται στις μεταβολές του ηλεκτρικού πεδίου που είναι αποτέλεσμα της υπέρθεσης των αφικνούμενων κυμάτων σε διαδοχικά χωρικά σημεία δίνοντας εναλλάξ προσθετική και αφαιρετική συμβολή.
5 Διασπορά Κατεύθυνσης & Χωρική Επιλεκτικότητα Ορίζουμε το μοναδιαίο διάνυσμα της κατεύθυνσης πρόσπτωσης μιας MPC στο δέκτη. os sn sn sn os, 0, 0 3 sn 0,0, sn sn ˆ os sn os k 0,,0,, 0, 6 Διασπορά Κατεύθυνσης & Χωρική Επιλεκτικότητα Τα προσπίπτοντα από τους σκεδαστές κύματα αλληλεπιδρούν με το διάγραμμα ακτινοβολίας της κεραίας δέκτη. Η αλληλεπίδραση γίνεται μέσω του ενεργού μήκους της κεραίας l και e, le προκύπτει η τάση ανοικτοκυκλώματος, δηλαδή η τάση που επάγεται στους ακροδέκτες της κεραίας. Έχουν συμπεριληφθεί δε και όλες οι πιθανές απώλειες της κεραίας. V E O l, E O l o e e 3
7 Διασπορά Κατεύθυνσης & Χωρική Επιλεκτικότητα Το ενεργό μήκος εμπεριέχει ως πληροφορία το διάγραμμα πεδίου της κεραίας λήψης l ˆ ˆ e bf bf F όπου b είναι μια σταθερά αναλογίας που εξαρτάται άμεσα από την κεραία λήψης. Στην γενική περίπτωση θεωρούμε ελλειπτικά πολωμένο προσπίπτον κύμα j, ˆ j, E O E O e E O e ˆ,, 8 Διασπορά Κατεύθυνσης & Χωρική Επιλεκτικότητα V E l be F O O o e j, E, O e b F F j, E, O e j, b F E, O e F E, O e Στην πράξη το διάγραμμα πεδίου της κεραίας είναι ένας μιγαδικός πολλαπλασιαστικός παράγοντας στα κύματα που έρχονται από διαφορετικές κατευθύνσεις j, 4
9 Διασπορά Κατεύθυνσης & Χωρική Επιλεκτικότητα Για απλοποίηση θεωρούμε ότι το προσπίπτον κύμα είναι γραμμικά πολωμένο O O jargf j j o V b F e E e Re R b F E arg F Θεωρούμε τη μιγαδική αυτή τάση ως μια μιγαδική j συνάρτηση μεταφοράς, όπου Re, είναι το μιγαδικό πλάτος κάθε προσπίπτουσας συνιστώσας μετά και την αλληλεπίδρασή της με το διάγραμμα ακτινοβολίας της κεραίας 30 Διασπορά Κατεύθυνσης & Χωρική Επιλεκτικότητα Στη συνέχεια θεωρούμε ότι μετατοπίζουμε την κεραία του δέκτη σε σημείο με διάνυσμα θέσης x xx Υποθέτουμε ότι η 3 μετατόπιση είναι x τόσο μικρή ώστε το πλάτος του πεδίου x x δεν μεταβάλλεται, παρά μόνο η φάση. k 5
3 Διασπορά Κατεύθυνσης & Χωρική Επιλεκτικότητα Το πεδίο και η συνάρτηση μεταφοράς είναι jk x E x E O e E O e E O e j x j x x j x j jk x j o H x V x Re e Re e Η αντίστοιχη συνάρτηση διασποράς συνδέεται με τη συνάρτηση μεταφοράς με απλή σχέση Fourer j x j x j j H x Re e Re e d j x j x j e Re d e h d 3 Διασπορά Κατεύθυνσης & Χωρική Επιλεκτικότητα j Άρα h Re Υποθέτουμε τώρα ότι στο σημείο του δέκτη καταφθάνουν δύο πολυδιαδρομικές συνιστώσες j j h Re R e j x H x h e d j x j x j j j x j x Re e Re e Ae Ae 6
33 s s 3 k k s k 34 j, j, E, O e E, O e j r jkr E e e j, j, E, O e E, O e j, E, O r e j e j, E, O e Έχει σαφώς αναφερθεί η μετατόπιση φάσης (ηλεκτρική μετατόπιση) από τον πομπό στον οστό σκεδαστή και στη συνέχεια στο δέκτη που βρίσκεται στο σημείο. Άρα η απόσταση r είναι το άθροισμα της απόστασης d από τον πομπό στο σκεδαστή Tx s και της απόστασης από το σκεδαστή στο δέκτη. ds Rx 7
35 Στις φάσεις, έχει συμπεριληφθεί και η πιθανή αλλαγή φάσης λόγω της αλληλεπίδρασης του κύματος με το σκεδαστή. Για κάθε συνιστώσα j r j, j, Vo, bf E, O e F E, O e e j r jarg F j,, O bf e E e e j r jarg F j,, O bf e E e e 36 Για απλοποίηση θεωρούμε ότι το προσπίπτον κύμα είναι γραμμικά πολωμένο jargf j o, O V b F e E e e O arg F j r r j j j Re e Re e R b F E j r 8
37 Μέχρι στιγμής έχουμε θεωρήσει ότι ο πομπός εκπέμπει ένα απλό φέρον συχνότητας. Στις πραγματικές όμως συνθήκες ο πομπός εκπέμπει ένα σήμα με κάποιο εύρος ζώνης και θα πρέπει να συμπεριλάβουμε μια μικρή μετατόπιση στη συχνότητα ως προς τη συχνότητα του φέροντος. Δηλ. για διαμορφωμένο φέρον από σήμα πληροφορίας, αναλύουμε την RF συχνότητα σε συχνότητα φέροντος και συχνότητα βασικής ζώνης r r r j j j j j o, V Re e Re e e 38 Ο όρος του μιγαδικού εκθετικού με την συχνότητα του φέροντος είναι ένας σταθερός όρος για κάθε πολυδιαδρομική συνιστώσα και μπορεί να ενσωματωθεί στον όρο της φάσης j V Re e o, r j Υποθέτουμε Ν το πλήθος σκεδαστές που συνεισφέρουν επίπεδα κύματα και που στο εξής θα τα καλούμε συνιστώσες πολυδιαδρομικής διάδοσης (MPCs). Η συνάρτηση μεταφοράς γράφεται ως η υπέρθεση όλων των συνεισφορών από τις MPCs. 9
39 j V H V Re e o o, r j Η ηλεκτρική μετατόπιση του οστού κύματος γράφεται r όπου τ είναι η καθυστέρηση από τον πομπό στον οστό σκεδαστή και από εκεί στο δέκτη. Άρα H Re e j j 40 Άρα η κρουστική απόκριση του διαύλου (hannel mpulse response CIR) j j h - H - F Re F e Re j Τελευταία έχουν αναπτυχθεί κεραιοσυστήματα με περισσότερα από ένα κεραιοστοιχεία, τα οποία είναι μετατοπισμένα ως προς ένα σημείο αναφοράς. Απαιτείται λοιπόν η μελέτη του ραδιοδιαύλου εισάγοντας μια επιπλέον μεταβλητή, που περιγράφει τη μετατόπιση ως προς το σημείο αναφοράς. 0
4 3 k k k x x 4 Η συνάρτηση μεταφοράς γράφεται H x Re e e, j jk x j j x j j Re e e j x j x j j Re e e e όπου έχουμε θεωρήσει ότι το φέρον είναι διαμορφωμένο από ένα σήμα πληροφορίας
43 Για να απλοποιηθεί η εξίσωση αυτή, κάνουμε συνήθως την παραδοχή ότι η μετατόπιση θα συμβεί εντός μιας μικρής περιοχής, την οποία ονομάζουμε τοπική περιοχή (loal area), εντός της οποίας ο όρος j της φάσης x είναι αμελητέος. e Η φάση είναι πάντα ευαίσθητη ακόμη και σε μικρές μετατοπίσεις. Συνεπώς πρέπει να θέσουμε ένα κριτήριο με βάση το οποίο θα αποφασίσουμε για την ορθότητα της προσέγγισης, που θα προκύψει με την απόρριψη του όρου της φάσης που προαναφέρθηκε. 44 Αρχικά απαιτούμε η φάση να μην μεταβάλλεται περισσότερο από π/ x Η μέγιστη τιμή του αριστερού όρου της ανίσωσης προκύπτει αν υποθέσουμε τη μέγιστη απόκλιση της συχνότητας από το φέρον, δηλ. W W RF /, και τη μέγιστη μετατόπιση του δέκτη από το σημείο αναφοράς, δηλ. την ακτίνα της τοπικής περιοχής W W W WRF x x x x x la la x la x la la
45 Άρα πρέπει WRF WRF xla xla Επειδή x la είναι η μέγιστη γραμμική διάσταση της στοιχειοκεραίας του δέκτη, xla / Tmax είναι η μέγιστη καθυστέρηση με την οποία θα ληφθεί ένα προσπίτον κύμα από ένα κεραιοστοιχείο ως προς το πλέον απομακρυσμένο από αυτό κεραιοστοιχείο. Είναι δηλαδή ο μέγιστος χρόνος που απαιτείται για να διατρέξει ένα κύμα μια στοιχειοκεραία. 46 Άρα αν εξασφαλίσουμε ότι WRF Tmax τότε ο όρος της φάσης μπορεί να αμεληθεί χωρίς σφάλμα στην προσέγγιση. Εναλλακτικά μπορούμε να πούμε ότι WRF xla x la W RF δηλαδή η έκταση της τοπικής περιοχής κανονικοποιημένης ως προς το μήκος κύματος του φέροντος, θα πρέπει να είναι μικρότερη από το λόγο του φέροντος προς το εύρος ζώνης του ζωνοπερατού σήματος. 3
47 Επιστρέφοντας στη συνάρτηση μεταφοράς γράφουμε j x j j H x, Re e e x j x j j Re e e Κίνηση (Μετατόπιση) Δέκτη 48 Μέχρι στιγμής θεωρήσαμε στατικό πομπό, δέκτη και σκεδαστές. Αν θεωρήσουμε ότι ο δέκτης αρχικά είναι στο σημείο Ο και στη συνέχεια μετατοπίζεται προς την κατεύθυνση r, τότε για σταθερούς στο χώρο σκεδαστές προκύπτει r r r k 4
Κίνηση Δέκτη 49 Για το κάθε προσπίπτον κύμα j jk r E r E e E e Η συνάρτηση μεταφοράς r x j x j r j r j H x,, r Re e e e Ο νέος όρος αλλαγής της φάσης γράφεται r rr ros Dr Κίνηση Δέκτη 50 Η χωρική ολίσθηση Doppler (rad/m), που συνδέεται με την γνωστή ολίσθηση Doppler (Hz), μέσω της ταχύτητας, με την οποία μετατοπίζεται ο δέκτης όπου u Dut uost ostvt RF RF 5
Κίνηση Δέκτη 5 Άρα η μιγαδική συνάρτηση μεταφοράς x j x j jvt j H x,, t Re e e e Συνδέεται με τη χωρικά και χρονικά μεταβαλλόμενη κρουστική απόκριση του διαύλου με σχέση Fourer h - ; x, t F H x,, t x j x j jvt - j Re e e F e x j x j jvt Re e e Παράδειγμα H(t,) 5 6
53 Χωρικά Μεταβαλλόμενη Συνάρτηση Διασποράς Με διπλό μετ/σμό Fourer στην συνάρτηση μεταφοράς προκύπτει η χωρικά μεταβαλλόμενη συνάρτηση διασποράς καθυστέρησης και Doppler h -, v; x F h ; x, t x j x j - jvt Re e F e x j x j Κάθε σκεδαστής είναι σαφώς διαχωρισμένος ως προς την καθυστέρηση και την ολίσθηση Doppler Re e vv Συνάρτηση Διασποράς (Ω, τ, v) 54 Με τριπλό Fourer στη συνάρτηση μεταφοράς προκύπτει η συνάρτηση διασποράς σε όλα τα φασματικά πεδία j x h v e e e H x t dxddt j jvt,,,, j Re vv 7
Συναρτήσεις Γραμμικού Συστήματος 55 x h ; x, t t x H x,, t t v h ;, t h, ; t v t v x h, v; x t v x h v; x, h,, v h, v; 56 Ευχαριστώ για την προσοχή σας Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Τηλ: +30 0 44759 e mal: kanatas@unp.gr 8